一种基于代数图论的有限元模型节点排序方法
迪杰斯特拉在计算机领域的贡献
迪杰斯特拉在计算机领域的贡献迪杰斯特拉（Dijkstra）是计算机科学领域的一位杰出人物，他为计算机科学做出了许多重要贡献。
他的贡献不仅在于他的研究成果，还在于他的思维方式和对问题的深刻理解。
在本文中，我们将探讨迪杰斯特拉对计算机科学的贡献，以及他的研究对我们的影响。
迪杰斯特拉最著名的贡献之一是他提出的迪杰斯特拉算法，这是一种用于解决图中最短路径问题的算法。
这个算法是基于图论的基础知识，通过计算图中各个节点之间的最短路径，可以帮助我们在网络中找到最优的路径。
这个算法在计算机网络和路由器中被广泛应用，是现代计算机通信的关键技术之一。
除了迪杰斯特拉算法，迪杰斯特拉还提出了很多其他重要的概念和算法。
例如，他引入了“信号量”（semaphore）的概念，这是一种用于处理并发编程的机制。
通过引入信号量，迪杰斯特拉使得程序员能够更好地控制并发执行的顺序，从而避免了由于竞争条件而导致的错误。
迪杰斯特拉还致力于推动软件工程的发展。
他提出了一种称为“结构化编程”的方法，这种方法强调使用结构化的控制流程和模块化的程序设计来提高软件的质量和可维护性。
这个思想对后来的软件开发实践产生了深远的影响，促进了软件工程的发展。
迪杰斯特拉的贡献不仅在于他的研究成果，还在于他的思考方式和对问题的深刻理解。
他注重从基本原理出发，通过严密的逻辑推理和数学方法来解决问题。
他的思维方式和方法论激发了许多计算机科学家的思考，对整个计算机科学领域产生了深远的影响。
总结来说，迪杰斯特拉在计算机科学领域的贡献是多方面的。
他提出了许多重要的概念和算法，如迪杰斯特拉算法和信号量，这些都为计算机科学的发展做出了重要贡献。
此外，他的思维方式和解决问题的方法也对整个领域产生了重要影响。
迪杰斯特拉的研究成果和思考方式，不仅为计算机科学家提供了有力的工具和思想指导，也为我们更好地理解和应用计算机科学做出了巨大贡献。
有限元网格结点编号_欧阳兴
收稿日期:2000-10-22基金项目:国家高技术863计划资助项目(863-511-820-020) 作者简介:欧阳兴(1968-),男,江西都昌人,博士生,100083,北京.有限元网格结点编号欧阳兴 陈中奎 施法中(北京航空航天大学机械工程及自动化学院)摘 要:在有限元分析中,求解高阶线性代数方程组时整体刚度矩阵所需存储与由网格结点编号决定的顺序有关.在基于等带宽存储的求解法与基于变带宽存储的求解法的基础上推导出它们的关系.据此,提出了有限元网格结点编号的前沿法与矩形法,并给出了这两种编号法的内存消耗与结点数量的关系.理论分析和实例表明这两种编号法能有效地减少计算机内存消耗.关 键 词:有限法;刚度矩阵;线性方程;结点编号;排序中图分类号:TB 115文献标识码:A 文章编号:1001-5965(2002)03-0339-041 问题的提出在有限元分析中,由于求解如下形式的高阶线性代数方程组,需要耗费计算机大量的内存和计算时间:K x =f(1)其中 K 是整体刚度矩阵;x 是未知向量;f 是已知向量.K 具有大型、对称、带状、稀疏、正定和主元占优等特点.有限元分析的求解效率很大程度上取决于方程组(1)的求解方法,包括K 的存储方法.因为(1)的求解时间在有限元分析的求解时间中占了很大的比重.当单元增多、结点增多、网格加密和未知数大量增加时,尤为如此.为了提高有限元分析效率,必须结合K 的特点,研究出方程组(1)的高效求解方法.方程组(1)的求解方法主要有两大类:直接求解法和迭代求解法.直接求解法以高斯消元法为基础,求解效率高.迭代求解法有赛德尔迭代法和超松弛迭代法.高斯消元法是目前求解线性方程组最普遍的方法,有一般高斯消元法和基于带状存储的高斯消元法.当K 的阶数非常高时,为了减小内存消耗,考虑到K 的对称性和带状性,带状存储法只存储以主对角线为中心的斜带形区域的半边.带状存储法有等带宽存储法和变带宽存储法.基于变带宽存储的求解法与基于等带宽存储的求解法相比算法更复杂,但内存消耗更少,因而有限元分析中越来越多地采用基于变带宽存储的求解法,如活动列求解器(active column solv -ers)[1]和前沿求解法(frontal solution methods)[2].带状存储法中,(1)所需要的存储空间不仅与(1)中x 的个数有关,而且与x 的顺序有关.而(1)中x 的分量次序与有限元网格结点的编号有关,不同的有限元网格结点编号很可能使(1)所需要的存储空间差别很大.文献[3],[4]提出了有限元网格结点的编号算法.这些算法是通过减小K 的带宽来减少方程组(1)所需要的存储空间,因而只适合于等带宽存储法.本文提出了一种新的有限元网格结点编号算法,这种算法仅与网格模型中结点空间位置及结点的连接关系有关,与网格模型中结点初始编号无关,既适合于等带宽存储法,又适合于变带宽存储法,并且使(1)需要的内存空间非常少.2 结点编号问题的数学描述设一个有限元网格模型总共n 个结点和e 个单元,结点编号和单元编号都从0开始,对于i =0,1,,,n -1,具有编号为i 的结点记为v i ,对于i =0,1,,,e -1,具有编号为i 的单元记为u i .设A =(a ij )n @n 为表示有限元网格模型的结点相连矩阵,a ij 它的第i 行第j 列元素,因而:1)a ij =1,如果i =j 或者v i ,v j 在同一单元内;2002年6月第28卷第3期北京航空航天大学学报Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics June 2002Vol.28 No 132)a ij=0,其它.A是n阶对称方阵.如果每个结点都仅有一个自由度,则不仅K与A阶数相同(都是n),而且它们的零元素与非零元素对应位置完全相同,即它们具有相同的稀疏结构.设每个结点的自由度为f,在A=(a ij)n@n中,将每个1换成f@f个1组成的方阵,将每个0换成f@f个0组成的方阵,这样得到f@n阶方阵记B,则B与K具有相同的稀疏结构,因此有限元网格结点编号算法只需考虑A.以下元素都是针对A,行标和列标都从0开始.对于i=0,1,,,n-1,记第i行第1个元素1的列标为s i,显然s i=min{j|v j与v i在同一单元内,j=0,1,,,n-1}(2)又记l i=i-s i+1(3) s i称为结点v i的最小相关结点号,l i称为第i行半行带宽或称为结点v i的半行带宽.对于j=0,1,,,n-1,记第j列第1个元素1的行标为t j,称c j=j-t j+1为第j列半列带宽.A的半带宽B可以从以下两式得到:B=max{l i|i=0,1,,,n-1}(4)B=max{c j|j=0,1,,,n-1}(5)对应于等带宽存储法,A的半带形区域(包括主对角线)元素个数为A0=nB-B(B-1)P2(6)此时,K的半带形区域(包括主对角线)元素个数为K0=[nB-B(B-1)P2]f2(7)对应于变带宽存储法,A的半带形区域(包括主对角线)元素个数为A1=E n-1i=0l i=E n-1i=0(i-s i+1)(8)此时,K的半带形区域(包括主对角线)元素个数为K1=f2E n-1i=0(i-s i+1)(9)显然A0[A1,K0[K1,因此,变带宽存储法比等带宽存储法更节省内存.由n个结点组成的有限元网格有n!个不同的结点编号,对于这n!个不同的结点编号中任意一个结点编号(记为h,h=0,1,,,n!-1),由有限元网格模型中单元与结点的相互关系,可以立即计算其对应的B,A0,A1,K0和K1.可将B, A0,A1,K0和K1看成以h为自变量的函数,记为B(h),A0(h),A1(h),K0(h)和K1(h).因此,对应于等带宽存储法和变带宽存储法,有限元网格模型的结点最佳编号是分别求解g,使B(g)=min{B(h),h=0,1,,,n!-1}(10)和A1(g)=min{A1(h),h=0,1,,,n!-1}(11)虽然n!是有限数,但对于一般的有限元网格模型来说,n!非常大,所以不可能通过直接求出n!个B(h)及A1(h),再比较n!个B(h)或A1(h)的大小,来求出h.本文根据结点与单元的相互关系导出以下算法.3算法原理算法用到的数据结构包括:整个网格模型的数据包括结点数组和单元数组,每个结点的数据包括结点坐标、结点编号和结点所属的单元数组,每个单元的数据包括单元编号和依序构成单元的结点数组.由(2)、(3)、(4)、(6)、(8)、(10)、(11)等式可归纳出两种结点编号方法.311前沿法先寻找一个边角结点.因边角结点所在的单元数少,可以通过比较结点所属的单元数组的大小,使结点所属的单元数组最小的结点编号为0,依次给0,1,,,n-2号结点所在单元的未编号结点进行编号.图1采用4@5个四边形单元组成的网格模型的结点编号作为前沿法结点编号的示意.24232221202915141312192887611182732510172601491625图1前沿法结点编号312矩形法对矩形区域来说,采用前沿法的图1不是最佳结点编号,图2才是最佳结点编号.一般地,若整个网格模型是一矩形区域,由(a-1)(b-1)个340北京航空航天大学学报2002年四边形单元组成,共有ab个结点,排列成a行b 列.若按图2所示进行结点编号,可得如下结论.49141924293813182328271217222716111621260510152025图2矩形区域的最佳结点编号由(4)式得:B=a+2(12)由(6)式得:A0=(a+2)ab-(a+2)(a+1)P2(13)由(8)式得:A1=1+2+,+2+(a+1)+(a+2)+,+ (a+2)+,+(a+1)+(a+2)+,+(a+2)=ba2+2ba-a2-b(14)当b=a时,由(14)式得:A1=a3+a2-a(15)在(14)式中,交换a与b可得:A1=ab2+2ab-b2-a(16)因为当a<b时,ba2+2ba-a2-b<ab2+ 2ab-b2-a.因此,图3中先按行对结点进行编号比图2中先按列对结点进行编号得到的A1和B要大.在图2中,将从左到右作为x轴正向,从下到上作为y轴正向,定义关系/<0为p(x0,y0)< q(x1,y1),当且仅当x0<x1或x0=x1且y0<y1.则图2所示的结点编号可看作结点从小到大的排序.对于一般的网格模型,虽然单元和结点不如图1~图3所示的矩形区域的单元和结点那样排列得非常规则,但由于同一单元的所有结点的空间位置接近,因而可以采用图2所示的方法进行结点编号.若一般的网格模型中结点、单元的连接关系不与图2所示的矩形区域的单元和结点连接关系相似,则需计算多个排序方法所得编号对应的B或A1,再比较求出最好的结点编号.以下叙述求一般的网格模型的最佳的结点编号方法.24252627282918192021222312131415161767891011012345图3矩形区域的行优先编号如果待编号网格模型是平面网格模型,即所有结点在同一平面内,则可认为网格模型中所有结点有一个坐标分量是同一常数.否则,经平移、旋转坐标系变换可将所有结点的一个坐标分量变换成同一常数.不妨设所有结点z坐标相同,因而z坐标与结点编号无关,下面只有两个坐标的点可认为省写了z坐标.分别定义关系/<0为1)p(x0,y0)<q(x1,y1)当且仅当x0<x1或x0=x1且y0<y1.2)p(x0,y0)<q(x1,y1)当且仅当x0<x1或x0=x1且y0>y1.3)p(x0,y0)<q(x1,y1)当且仅当y0<y1或y0=y1且x0<x1.4)p(x0,y0)<q(x1,y1)当且仅当y0<y1或y0=y1且x0>x1.按这4种结点/<0关系的定义,分别排序得到对应的4种结点编号及对应的B或A1,再比较求出最好的结点编号.如果待编号网格模型不是平面网格模型,则必须把结点按x,y,z3个坐标排序编号.和上述方法一样,因为x,y,z3个坐标分量的排列次序可以任意,而且每个坐标分量可以从大到小也可以从小到大.因而有48种3坐标字典排序方法来定义结点/<0关系.同样分别排序得到对应的48种结点编号及对应的B或A1,再比较求出最好的结点编号.313前沿与矩形结合法大部分情况下矩形法比前沿法更节省内存,只有在一些特殊情况下前沿法比矩形法更节省内存.无论如何,都可以将两种方法结合起来,即通过计算和比较两种方法对应的B或A1,求出最好的结点编号.4实例与总结本文处理的一个实例中,整个网格模型有6684个结点和7321个单元,其中三角形单元1452个,四边形单元5869个.采用变带宽存储法并且实数用双精度浮点数(double)存贮.每个结点自由度为5个.未经本文结点编号而采用初始结点编号需要5801511926MB内存;应用本文前沿法,结果只需要1271346289MB内存;应用本文矩形法,结果只需要861866638MB内存.341第3期欧阳兴等:有限元网格结点编号由(15)式可知,当网格模型基本呈正方形时应用矩形法,K所需要存贮元素个数为O(n3P2).同样可推出,当网格模型基本呈正方形时,应用本文前沿法,K所需要存贮元素个数为O(n3P2).由(14)式可知,当网格模型为长条矩形,K所需要存贮元素个数比网格模型基本呈正方形时还要少.应用矩形法,当网格模型形状非常复杂时与网格模型形状为正方形时基本接近.而大多数结点编号算法K所需要存贮元素个数为O(n2).因而本文算法明显优于这些算法.一般地,设每个实数需要r个字节内存(采用双精度浮点实数r=8,采用单精度浮点实数r= 4),每个结点的自由度为f,采用矩形法K所需要内存大约为r f2n3P2,采用前沿法K所需要内存大约为4P3r f2n3P2.参考文献[1]Bathe K J.Fi nite elenent procedures in engineeri ng analysis[M].Prentice-Hall,Inc,Enge wood Cli ffs,NJ,1982.441~449.[2]Irons B M.A frontal solution program for finite element analysis[J].Int J Numer M eth Engng,1986,23:239~256.[3]Cuthill E,M ckee J.Reducing the bandwidth of s parse symme tricma xtrices[A].Proc24th Nat Conf of the ACM[C].1969.157~ 172.[4]Gibbs N E,Poole W G,Stockmeyer P K.An al gori thm for reducethe bandwidth and profile of a sparse matrix[J].SIMA J Num Anal, 1976,13(2):236~250.Numbering of Fin ite Element Mesh NodesOUYANG Xing C HEN Zhong-kui SHI Fa-zhong(Beijing University of Aeronautics and As tronautics,School of Mechanical Engineering and Automati on) Abstract:In finite element analysis,the storage needed by a total stiffness matrix for solving a large-scale sys-tem of linear equations is related to the sequenace determined by numbering of mesh nodes.Based on the solutions for both constant and varible bandwidth storages,their relationship is derived.On the above basis,the frontal meth-od and rectangle method are proposed,the relationships between memory spending for both methods and a mount of nodes are given.Theoretical analyzing and practical examples have proved that the two methods can efficiently de-crease the memory spending of computer.Key words:finite element methods;stiffness matrix;linear equations;numbering of nodes;sorting 342北京航空航天大学学报2002年。
达芬奇节点顺序-概述说明以及解释
达芬奇节点顺序-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：达芬奇节点顺序是一种图论中常见的算法，用于遍历一幅图的所有节点。
该算法以数学家和艺术家达芬奇的名字命名，因为他在绘画中常常采用分解图像的方式来实现他的作品。
在计算机科学中，图是由节点（顶点）和边组成的数据结构，节点代表实体，边代表它们之间的关系。
遍历图的所有节点是图论中的基本问题之一，达芬奇节点顺序算法提供了一种可靠且高效的解决方法。
达芬奇节点顺序算法基于深度优先搜索（DFS）的思想。
它从图的某个节点开始，依次访问其所有相邻节点，然后再依次访问这些相邻节点的相邻节点，直到所有节点都被访问为止。
与其他遍历算法相比，达芬奇节点顺序算法具有以下特点：1. 深度优先搜索的策略使得达芬奇节点顺序算法能够快速遍历图中的所有节点。
通过沿着深度方向优先探索，它能够尽早地发现图中的连接路径，从而减少遍历的时间复杂度。
2. 达芬奇节点顺序算法还可以用于检测图中的环。
在遍历节点的过程中，如果发现某个节点已经被访问过，那么说明存在环路。
3. 由于深度优先搜索的特性，达芬奇节点顺序算法并不保证可以找到图中的所有连通分量。
如果图中存在多个连通分量，那么需要从每个尚未被访问的节点出发进行深度优先搜索。
在本篇文章中，我们将详细介绍达芬奇节点顺序算法的原理和应用。
首先，我们将对算法的基本思想进行解释，然后详细介绍算法的实现过程和时间复杂度分析。
接着，我们将讨论算法在实际应用中的一些特殊情况，如有向图和带权图。
最后，我们将总结算法的优缺点，并展望它在未来的发展前景。
通过本文的阅读，读者将能够深入了解达芬奇节点顺序算法，并能够在实际问题中应用该算法进行图的遍历和分析。
无论是在学术研究还是工程开发中，都具有重要的参考价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分主要是对整篇文章的结构和组织进行介绍和概述。
在这一部分中，我们将详细介绍本篇长文的组织方式和内部逻辑，以帮助读者快速了解和理解文章的内容。
有限元综述.(优选)
有限元综述蔡璟、吕丹丹、李川摘要：有限元法（Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法。
1965年“有限元”这个名词第一次出现，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。
如今，有限元在工程上得到广泛应用。
本文首先介绍了有限元的研究背景和意义，其次从它的诞生、主要特点以及解题步骤三方面阐述相关概念，再讨论传统有限元算法及优化算法、有限元与其他算法结合得到的混合算法两个方面来分类阐述各自的研究现状与特点，最后总结有限元算法的应用以及发展趋势。
关键词：有限元法，FEM，经典算法，优化算法，网格优化，Herrmann算法，时域有限元，混合算法，矩量法，时域有限差分，应用研究，边界元法，光滑粒子法，发展趋势前言有限元法（Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法，其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。
自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，解决了物理场应用中的限制。
经历几十年的发展，有限元法已经被广泛用于各个领域。
1.研究背景和意义有限元法的思想首先由 R. Courant 在 1943 年提出，十九世纪六十年代数值分析科学家认识了有限元基本思想，建立了有限元方法的数学基础。
其中，我国数学家冯康独立地提出了有限元方法，将其命名为“基于变分原理的差分格式”，对有限元方法的创始及奠基工作做出了重要贡献。
以变分原理为基础建立起来的有限元法,因其理论依据的普遍性,不仅广泛地被应用于各种结构工程,而且作为一种声誉很高的数值分析方法已被普遍推广并成功地用来解决其他工程领域中的问题,例如热传导!渗流!流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。
有限元网络结点编号
减小 内存 消 耗 ， 虑 到 的 对 称 性 和 带 状 性 ， 考 带
状存 储 法 只存储 以主 对角 线 为 中心 的 斜带 形 区域
的半 边 ． 带状 存 储 法 有 等 带 宽 存 储 法 和 变 带 宽存
储 法 ． 于变 带 宽 存 储 的求 解 法 与 基 于 等 带 宽 存 基 储 的求 解法 相 比算 法 更 复杂 ， 内存 消耗 更少 ， 但 因
程组（） １ 的高效 求 解 方法 ． 方程 组 （ ） １ 的求 解方 法 主 要有 两 大类 ： 直接 求 解 法 和迭 代求 解 法 ． 接 求 解 法 以 高 斯 消 元 法 为 直 基 础 ， 解效 率 高 ． 求 迭代 求 解 法有 赛 德 尔迭 代 法 和 超松 弛迭 代法 ． 斯 消 元 法 是 目前 求 解 线 性 方 程 高 组 最 普遍 的方法 ，有 一般 高 斯 消 元 法 和 基 于带 状 存储 的高 斯 消 元 法 ． 当 的 阶 数 非 常 高 时 ， 了 为
格模 型 中结点 初 始 编 号 无 关 ， 适 合 于 等 带 宽 存 既 储法 ， 又适 合 于 变 带 宽 存 储 法 ， 且 使 （ ） 要 的 并 １需
内存 空 间非 常少 ．
２ 结 点 编 号 问 题 的数 学 描 述
设一 个 有 限元 网格模 型总 共 ｎ个结 点 和 ｅ 个 单 元 ， 点编 号 和 单 元 编 号 都 从 ０开 始 ， 于 ｉ 结 对 ： ０ １… ， ， ， ｎ一１ 具 有 编 号 为 ｉ的 结 点 记 为 ， 对 于 ， ， ｉ ，， ， ＝０ １ … ｅ一１ 具有 编 号 为 ｉ 单 元 记 为 ｕ ． ， 的 ，设 Ａ＝（ 为 表 示 有 限元 网 格 模 型 的 结 点 相 连 ｏ） 矩 阵 ， 的第 ｉ行第 列 元 素 ， ｏ它 因而 ： １ ＝１ 如果 ｉ＝ 或者 ， ， 同一 单元 ）ｏ ， 在
有限元网格结点编号
有限元网格结点编号
欧阳兴;陈中奎;施法中
【期刊名称】《北京航空航天大学学报》
【年(卷),期】2002(028)003
【摘要】在有限元分析中,求解高阶线性代数方程组时整体刚度矩阵所需存储与由网格结点编号决定的顺序有关.在基于等带宽存储的求解法与基于变带宽存储的求解法的基础上推导出它们的关系.据此,提出了有限元网格结点编号的前沿法与矩形法,并给出了这两种编号法的内存消耗与结点数量的关系.理论分析和实例表明这两种编号法能有效地减少计算机内存消耗.
【总页数】4页(P339-342)
【作者】欧阳兴;陈中奎;施法中
【作者单位】北京航空航天大学,机械工程及自动化学院;北京航空航天大学,机械工程及自动化学院;北京航空航天大学,机械工程及自动化学院
【正文语种】中文
【中图分类】TB115
【相关文献】
1.三维有限元网格节点编号优化 [J], 江雄心;万平荣
2.改进遗传算法的ERT有限元网格节点编号优化 [J], 肖理庆;王化祥
3.有限元网格自动剖分改进的结点连接法 [J], 杜群贵;黎启柏;罗立峰
4.单亲遗传算法在有限元网格节点编号优化问题中的应用 [J], 王立峰;武哲
5.数值流形方法在八结点有限元网格上的实现 [J], 彭自强;葛修润
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为单元节点位移列阵
(3)同理，设
，其余位移分量均为零，即
此时梁单元如图5-5(c)所示，由梁的变形公式得
伸缩：
挠度：
转角： 由上述三式可以解得
图5-5(c)
利用静力平衡条件，可得
由式(5-3a)解得
这样，便求得式（5-3a）单元刚度矩阵中前三列刚度系数。 剩余三种情况，仿此可推出。最后可以得到平面弯曲梁元的单元 刚度矩阵为
◊集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。
4. 确定约束条件
由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解 之前，必修根据具体情况分析，确定求解对象问题的边界约束条 件，并对这些方程进行适当修正。
5. 有限元方程求解
通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的位移， 进而根据位移可计算单元的应力及应变。
写成矩阵形式为 称为单元的节点位移列阵。
（Hale Waihona Puke -1）（5-2） 称为单元的节点力列阵；若 {F} 为外载荷，则称为载荷列阵。
显然，梁的节点力和节点位移是有联系的。在弹性小变形范围 内，这种关系是线性的，可用下式表示
（5-3a）
或
（5-3b）
上式(5-3b)称为单元有限元方程，或称为单元刚度方程，它代表 了单元的载荷与位移之间（或力与变形之间）的联系；
到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多 达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序 使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性 能分析的可靠依据。
有限元法的分析过程可概括如下：
● 连续体离散化 ● 单元分析 ● 整体分析 ● 确定约束条件 ● 有限元方程求解 ● 结果分析与讨论
本章介绍了如下内容: ■ 有限元法的基本思想及应用 ■ 平面问题有限元分析原理及步骤 ■ 有限元分析的前后处理 ■ 有限元法的设计应用及计算实例
一种基于图论的云计算数据中心任务调度方法[发明专利]
![一种基于图论的云计算数据中心任务调度方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/3d64fe2d08a1284ac9504398.png)
专利名称：一种基于图论的云计算数据中心任务调度方法专利类型：发明专利
发明人：冯炜唯,徐文超,杨艳琴
申请号：CN201710249633.X
申请日：20170417
公开号：CN108737462A
公开日：
20181102
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明公开了一种高能效基于图论的云计算数据中心任务调度方法，包括如下步骤：初始化步骤：获取待执行的工作流任务集合以及云计算数据中心服务器集合，构建工作流任务集合的有向无环图，计算云计算数据中心服务器集合中各服务器的初始化调度和完工时间；最优调度步骤：根据有向无环图和服务器集合上，基于时间约束得到最优任务调度。
本发明能够适应任务集的大小动态提高云计算平台资源利用率和降低能耗。
申请人：华东师范大学
地址：200062 上海市普陀区中山北路3663号
国籍：CN
代理机构：上海麦其知识产权代理事务所(普通合伙)
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列举常用聚类算法
列举常用聚类算法聚类算法是一种将数据集中的相似数据分组的方法。
它是无监督学习的一种应用，可以在没有标签或类别信息的情况下对数据进行分类。
在机器学习和数据挖掘中，聚类算法被广泛应用于数据分析、图像处理、模式识别等领域。
本文将列举常用的聚类算法。
一、K均值聚类算法（K-means Clustering）K均值聚类算法是一种基于距离度量的聚类方法，它将数据集划分为K 个簇，每个簇包含距离其它簇最近的点。
该算法首先随机选择K个点作为初始质心，然后将每个点分配到与其距离最近的质心所在的簇中，并计算每个簇内所有点的平均值作为新的质心。
重复以上过程直到质心不再改变或达到预定迭代次数。
二、层次聚类算法（Hierarchical Clustering）层次聚类算法是一种自下而上或自上而下逐步合并或拆分簇来建立层次结构的方法。
该算法有两种实现方式：凝聚层次聚类和分裂层次聚类。
凝聚层次聚类从每个数据点开始，将它们逐步合并成越来越大的簇，直到所有点都被合并为一个簇。
分裂层次聚类从整个数据集开始，将其逐步拆分成越来越小的簇，直到每个簇只包含一个点。
三、DBSCAN聚类算法（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）DBSCAN聚类算法是一种基于密度的聚类方法，它可以识别任意形状的簇，并能够自动排除离群值。
该算法首先选择一个未访问的核心点作为起始点，并找到其可达范围内的所有点，并将它们加入同一簇中。
然后继续寻找未访问的核心点，并重复以上过程直到所有核心点都被访问完毕。
四、谱聚类算法（Spectral Clustering）谱聚类算法是一种基于图论和线性代数的聚类方法，它将数据集看作是一个图，在图上进行划分。
该算法首先构建一个相似度矩阵或邻接矩阵，并通过特征值分解或奇异值分解来获取特征向量和特征值。
然后将特征向量作为新的数据集，使用K均值或层次聚类等方法对其进行聚类。
图论-拓扑排序详解
图论-拓扑排序详解拓扑排序（topsort）详解这篇随笔就信息学奥林匹克竞赛中图论的⼀个知识点——拓扑排序进⾏讲解。
拓扑排序的内容⽐较基础，只要求读者学习过并了解信息学中图的相关定义和⼀些专业名词，但是拓扑排序的变形题⽬⽐较多，希望读者在看完本随笔后认真体会练习，掌握拓扑排序。
上课！拓扑排序的定义顾名思义，这是⼀种排序，确切地说，是⼀种图上排序，在⼀张有向⽆环图（注解：有向⽆环图即很多参考书和题解中所说的DAG）上进⾏排序，把其中的所有节点排成⼀个序列，使得图中的任意⼀对有边相连的节点（u,v）u要出现在v前。
所以我再次强调，拓扑排序只能⽤在有向⽆环图中！！这样的线性序列我们称之为拓扑序。
注意，拓扑序不唯⼀！这个地⽅不明⽩的请⾃⼰画图理解（或者参考下⾯的那棵树）。
拓扑排序的实现原理在讲解图的拓扑排序之前，我们可以⽤⼀棵树来加深对拓扑排序的理解（因为树是绝对没有环）。
我们随意地定义⼀棵有向树（如下图），如果我们想得到它的拓扑序，那会很简单，只需要先把根节点8号放进队列中，然后再放8号的任意⼀个⼉⼦节点，继续此操作。
直到节点全放进去为⽌。
我们会发现，问放进去的是任意的⼀个⼦节点，所以我们说拓扑序是不唯⼀的（在绝⼤多数情况下，你要⾮跟我抬杠说假如只有⼀条链，我也没办法）。
拓扑排序的实现讲完了实现原理，我们来进⾏拓扑排序的代码实现，根据上⾯的原理，我们会发现，我们要保证拓扑序列的正确性，只需要把图中的⼊度为0的节点先放进拓扑序，然后把这个点和它所有的出边全部删掉，这样就还会出现⼀些⼊度为0的点，我们继续重复以上操作。
有细⼼的⼩伙伴会发现这个和算法中的宽搜很相似，没错，所谓宽搜和深搜，都是基于对树与图的深度/宽度优先遍历⽽定义的，所以拓扑排序的实现其实就是借助了宽搜的思想。
上模板：void topsort(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(rudu[j]==0){x=j;top[++cnt]=j;rudu[j]--;break;}}for(int j=head[x];j;j=nxt[j])rudu[j]--;}}以上代码的top数组存拓扑序列，使⽤的是链式前向星存图并遍历。
一种基于熵变的复杂网络节点重要度的排序方法[发明专利]
![一种基于熵变的复杂网络节点重要度的排序方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/cb11a4140622192e453610661ed9ad51f01d5468.png)
(19)中华人民共和国国家知识产权局(12)发明专利申请(10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201810203964.4(22)申请日 2018.03.13(71)申请人 北京邮电大学地址 100876 北京市海淀区西土城路10号(72)发明人 艾新波 郝圣禹 王松 (51)Int.Cl.G06F 17/30(2006.01)G06Q 10/06(2012.01)G06Q 50/00(2012.01)(54)发明名称一种基于熵变的复杂网络节点重要度的排序方法(57)摘要本发明涉及专门适用于复杂网络中重要节点排序技术领域，特别是涉及一种基于熵度量的系统级利用结构信息中的排序方法。
分为如下步骤：步骤一、将熵变作为节点重要性的度量；步骤二、Top-k最重要节点的排序；步骤三、性能评估。
权利要求书1页 说明书3页 附图2页CN 108536751 A 2018.09.14C N 108536751A1.本发明涉及专门适用于复杂网络中重要节点排序技术领域，特别是涉及一种基于熵度量的系统级利用结构信息中的排序方法。
分为如下步骤：步骤一、将熵变作为节点重要性的度量；步骤二、Top -k最重要节点的排序；步骤三、性能评估。
2.根据权利要求1所述的优化构建方法，其特征在于：在步骤一中，将熵变作为节点重要性的度量。
将一个有向图集G＝(V，E)中的V称作一组节点(或顶点)元素，将其中一组有序的节点E 称作边，其中如果(v，w)是边，v称为边的尾部，w称为边的头部。
节点数|V|被称为图的顺序，边的数量|E|被称为图的大小。
在此前提下重新定义香农熵，与此同时，将v的信息功能被定义为它的程度和中间性，前者是径向步行结构，后者是内侧步行结构。
据此，可以根据入度、出度和全度计算有向图的计算熵。
所提出的熵变的物理意义是：如果一个节点及其连接从网络中移除，则整个系统的熵的改变程度。
因此，熵变可以被看作是节点对结构的影响，或者是代表节点重要性的度量。
阿贝尔拓扑序
阿贝尔拓扑序阿贝尔拓扑序是一个图论中常用的概念，它可以用来描述有向图中节点的顺序关系。
该概念得名于法国数学家贝尔纳·阿贝尔。
阿贝尔拓扑序在实际问题的建模和求解中具有重要的指导意义。
阿贝尔拓扑序的定义是这样的：给定一个有向图，如果存在一种节点的线性排序，使得对于任意一条边 (u, v)，节点 u 在该排序中都排在节点 v 的前面，那么这个图就是一个阿贝尔拓扑序的图。
简单来说，就是图中不存在环路，可以按照线性顺序对节点进行排序。
阿贝尔拓扑序的概念可以应用于很多实际问题中。
比如，在项目管理中，我们可以将任务看作是有向图中的节点，任务之间的先后关系是有向边。
如果在规划项目时，能够得到一个阿贝尔拓扑序，就可以确定任务的执行顺序，确保项目的顺利进行。
这在大型工程项目中尤为重要，可以避免资源的浪费和错误的执行顺序。
另外一个应用领域是编译器设计。
在编译器中，源代码可以看作是一个有向图，代码之间的依赖关系可以表示为有向边。
编译器需要按照正确的顺序对代码进行编译，以保证依赖关系的正确性。
阿贝尔拓扑序可以帮助编译器确定代码的编译顺序，提高编译效率和准确性。
阿贝尔拓扑序也可以应用于任务调度问题。
在分布式系统中，存在多个任务需要同时执行，但是某些任务可能有依赖关系，需要按照一定的顺序进行调度。
通过求解阿贝尔拓扑序，可以确定任务的调度顺序，最大限度地提高系统的并发性和运行效率。
此外，阿贝尔拓扑序还与图的连通性问题密切相关。
如果一个有向图存在阿贝尔拓扑序，那么这个图必然不是强连通的。
这个特性可以用来进行图的分类和分析，帮助我们理解图的结构和性质。
总之，阿贝尔拓扑序是一个在图论中具有重要应用价值的概念。
它帮助我们解决了很多实际的问题，如项目管理、编译器设计、任务调度等。
在实际的应用中，通过求解阿贝尔拓扑序，我们可以更好地理解图的结构和性质，为问题的求解提供指导。
一种有限元网格节点编号的优化算法
46 48 50 52
节点 号和
12 21 16 27
45
33 45
72
51 63
99
69 48 75 52
节 节 最大最
点Байду номын сангаас点 小节点
数 商 编号和
43
6
6 3.5
7
44
8
6 4.5
9
95
10
6 5.5
11
6 7.5
15
98
16
6 8.5
17
6 10.5 21
9 11
22
6 11.5 23
4 12
An Optimal Algorithm of Node Numbering in Finite Element Mesh
Zhang Yuanyuan1，Hou Hua2 ，Cheng Jun2
1.Colleage of Electronics and Computer Science ,North University of China, Taiyuan（030051） 2.Colleage of Materials Science and Engineering ,North University of China, Taiyuan（030051)
2 优化算法分析
在对物体进行有限元分析时，首先要进行网格划分，通常初始划分网格和确定节点序号 是按照某种规律进行，这样有利于计算机自动划分网格。一般来说，编排出来的网格和节点 所形成的有限元总刚度矩阵，有时半带宽值很大，需要对网格节点进行重新排序，以达到半 带宽值最小的目的。本文采用的有限元网格节点优化排序方法是一种归纳、演绎方法。即对 一种最佳的网格节点编号图进行分析，根据其单元上节点的排列，达到构成刚度矩阵半带宽 值最小时的一些特征进行分析，从其中归纳出若干条规律，通过大量的算例来验证该规律的 正确性、可靠性和优越性。该算法的特点，可通过分析图 1 所示具有较优节点编号图来予以 说明。
有限元方法概述
主要工学硕士数学课程
工程数学 计算方法（数值分析） 随机过程 矩阵论 运筹学（最优化方法） 图论 模糊数学 有限元方法 小波分析 应用泛函分析北 Nhomakorabea航空航天大学
数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展日新月异，数学科学地位不断提
高，在自然科学和工程技术方面广泛应用。 数学的面貌发生很大变化，现代数学在理 论上更加抽象、方法上更加综合、应用上 更加广泛。 综合运用数学的能力关系到研究生的创新 能力和研究水平的提高，对研究生的论文 质量至关重要。
X
北京航空航天大学
（2）单元分析 用单元节点位移表示单元内部位移－第i个单元 中的位移用所包含的结点位移来表示。
ui 1 ui ( x xi ) u ( x ) ui Li ui 第i结点的位移 xi 第i结点的坐标
北京航空航天大学
第i个单元的应变 应力 内力
du ui 1 ui i dx Li
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为 E，单位长度的重量为q， 杆的内力为N。 试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
北京航空航天大学
材料力学解答
N ( x) q( L x)
x
N ( x) q ( L x) A A
d2y EI 2 P ( x L) dx
M ( x) EI d2y dx 2
x
和边界条件
y |x 0 0 dy |x 0 0 dx
M ( x) P ( x L)
北京航空航天大学
再如对于弹性力学问题，可以建立起基本方程与 边界条件，如下： 平衡方程： 几何方程： 物理方程： 边界条件：
一种基于机器学习模型的排序方法[发明专利]
![一种基于机器学习模型的排序方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/f2b240f64431b90d6d85c795.png)
专利名称：一种基于机器学习模型的排序方法专利类型：发明专利
发明人：施荣华,毛雷,赵颖,钟增胜,胡超
申请号：CN201811096121.5
申请日：20180919
公开号：CN109271132A
公开日：
20190125
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明公开了一种基于机器学习模型的排序方法，包括以下步骤：第一步，对于给定的待排元素集生成模型训练数据；第二步，根据第一步生成的训练数据利用机器学习的方法构建待排元素集的分布模型；第三步，利用分布模型预测待排元素集中每一个元素在有序数组中的位置；第四步，根据元素的预测位置将元素放入有序数组中，得到一个有序的数组完成排序操作。
本发明由于采用将元素直接放入有序数组中的方式，相比于快速排序、归并排序、堆排序等排序算法，运行时间更短。
申请人：中南大学
地址：410083 湖南省长沙市岳麓区麓山南路932号
国籍：CN
代理机构：长沙市融智专利事务所
代理人：欧阳迪奇
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一种有限元节点坐标快速提取方法[发明专利]
![一种有限元节点坐标快速提取方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/acc6c3ccf605cc1755270722192e453610665b1b.png)
(19)中华人民共和国国家知识产权局(12)发明专利申请(10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201710064476.5(22)申请日 2017.03.20(71)申请人 哈尔滨工大泰铭科技有限公司地址 150001 黑龙江省哈尔滨市南岗区邮政街副434号哈工大科技园大厦603室(72)发明人 王友善 崔志博 吴健 粟本龙 (74)专利代理机构 北京冠和权律师事务所11399代理人 李建华(51)Int.Cl.G06F 17/50(2006.01)(54)发明名称一种有限元节点坐标快速提取方法(57)摘要本发明公开了一种有限元节点坐标快速提取方法，在CAD图形软件下，手动对二维几何模型划分网格，原模型和网格线为不同颜色，截取划分好网格的模型的图片，通过图像处理识别原模型线条，再次识别网格线线条，最后将两个图像叠加，通过识别像素点值的变化来确定各节点之间的相对位置，然后通过坐标变换，获得节点的真正坐标。
上述方法可以方便的将模型中的交点提取出，极大地提高了有限元前处理的效率。
权利要求书2页 说明书5页 附图5页CN 106909720 A 2017.06.30C N 106909720A1.一种有限元节点坐标快速提取方法，包括如下步骤：在CAD图形软件下，对二维几何模型划分网格，原模型和网格线为不同颜色，截取划分好网格的模型的图片，通过图像处理识别原模型线条，再次识别网格线线条，最后将两个图像叠加，通过识别像素点值的变化来确定各节点之间的相对位置，然后通过坐标变换，获得节点的真正坐标。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，上述步骤具体包括：第一步：获得划分好网格的模型几何图像，在CAD软件中，将原始模型图像的线条设置为黑色，对模型进行网格划分，新绘制的网格线使用红色的线条，截取划分好网格的模型的图像，保存为图像文件；第二步：对图像进行灰度处理，获得图像像素矩阵数据，读取第一步中获得的图片，并读取灰度值，获得图像上数据点的矩阵维数为M×N，并且获得矩阵中各个点的数值；第三步：对图像数据进行二值化处理；第四步：提取图像中线段的交点；第五步：提取图像的边界点，找到图像最高点T(a,b)、图像最低点B(c,d)、图像最右点R (e,f)和图像最左点L(g,h)，记录下其所处的矩阵的位置；第六步：进行坐标变换，确定交点的实际位置。
一种填入最少的节点编号排序法及其实现方法
一种填入最少的节点编号排序法及其实现方法
彭国安
【期刊名称】《武汉钢铁学院学报》
【年(卷),期】1992(015)004
【摘要】对于电路节点分析法,作者提出了一种直接通过对节点编号的适当排序而使得所建立的方程组在 LU 分解中填入节点最少的方法,并给出了实现这种排序的具体方法——直观法和系统法。
该法具有存储量少、计算量也少的特点。
文中还任选了一个电路,通过对节点任意编号,按廷奈-沃克算法及本法编号所产生的填入计算,足以说明上述结论的正确性。
【总页数】5页(P426-430)
【作者】彭国安
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TM133
【相关文献】
1.一种用于配网潮流计算的节点编号新方法 [J], 王丹;常宝立
2.基于节点编号的通用树状菜单设计方法与实现 [J], 彭良清
3.基于节点编号的通用树状菜单设计方法与实现 [J], 彭良清
4.一种双代号网络图节点编号方法 [J], 甘焕;赵嵩正;高娜
5.一种填入及长运算最少的节点方程算法 [J], 封小钰
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矩 阵是大 型 的稀疏 矩阵 ， 为节 省存 储 空 间 ， 般 采用 一
关键词 ： 限元 ； 数图论 ； 有 代 节点排序 ； 矩阵半带宽和外形
中 图分 类 号 ： ４ ．１ ０ ２ ２ ２ 文献标识码 ： Ａ
１ 变带宽 数组存 储结 构 刚度矩 阵 ， 维 刚度 矩 阵的半带 宽 和外 形 决 定 着计 算 时 间 和 １维数 组 的存储 空 间 ． 尤 其在非 线 性 问题 和施 工 仿 真 等 问题 的 结 构 分 析 中， 需要 多次迭 代计算 ， 刚度矩 阵 的半 带宽 对 结构 分 析 的整 体 计 算 时 间 的影 响更 为 明显 ． 元 网格 中节 单
点 编号 的顺 序决 定 着 刚 度矩 阵 的半 带宽 ， 运 算 分 在
Ａ ｉ ｉ ｌｍｅ ｔ ｏ ａ ｒ ｅｉ ｇｗｉ ｇ ｂ ａｃ Ｆ ｎ ｔ Ｅ ｅ ｎ ｄ ｌ ｄ ｒｎ ｔ Ａｌｅ ｒ ｉ ｅ Ｎ Ｏ ｈ
Ｇｒ ｐ ｅ ｒ ａ ｈ Ｔｈ ｏ ｙ
ＪＮＧ ｕ ｑａ ，Ｃ／ Ｄｅ ｅ Ｉ ｅ ｏ ｉ￣ ／￣ ｗｉ
是有效的 ．
ｅｆ ｉｎ ． ｆｉ ｅ ｔ ｃ
Ｋｅ ｒ ｓ ｆ ｉ ｌｍｅ ｔ ａｇ ｂ ａ ｃ ｒ ｐ ｔｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄ ： ｉ ｔ ｅ ｅ ｎ ； ｌｅ ｒ ｉ ｎ ｅ ｇ ａ ｈ ｈ ｏ ｙ； ｎ ａ ｄ ｏ ｌ ｏ ｄ ｒｎ ；ｂ ｎ ｗｉ ｔ ｎ ｒ ｆ ｅ ｏ ｔｉ ｒ ｅ ｉ ｇ ａ ｄ ｄ ａ ｄ ｐ ｏ ｉ ｍａ ｒｘ ｈ ｌ ｆ
ｐ ｅ ｎ ｔ ｏ ｓｎ ｔｏ ｌ ｕ ｔｂ ｅ ｆ ｒｃ ｍｍｏ ｎ ｔ ｌ ｍｅ ｔ ｒｓ ｔ ｅ ｍｅ ｈ ｉ ｏ ｎ ｙ ｓ ｉ ｌ ｏ ｄ ａ ｏ ｎ ｆ ｉ ｅｅ ｎ ｉ ｅ
第一类方法是直接利用图的相关参数或者这些
参数 的 函数 ， 为 图的顶点 排序 优 先级 的依 据 ， 排 作 在 序 的不 同阶段 加 以 比较 而确 定 各 顶点 的顺 序 ． 文献 ［ ２—５提 出 的算 法 都 属 于这 一 类 ． 类 方 法 的优点 ］ 此
（ ｅ ａｔ ｎ ｆ Ｂ ｉｇ Ｅ ｇｎｅ ｉ ，Ｔ ｎ ｉ Ｕｎｖ ｒｉ ， Ｓ ａ ｇａ Ｄ ｐｒｍｅ ｔ ｏ ｒ ｅ ｎ ｉｅｒ ｇ ｏ ｇ ｉｅｓ ｙ ｈｎ ｈ ｉ ｄ ｎ ｔ
２ ０ ２，Ｃ ｉａ ００ ９ ｈｎ ）
析之前对节点编号进行优化排序 ， 能显著减少刚度 矩 阵的存储 空 间和结构 分析 的计算 时 间．
Ｊｎ ２１ ｕ ． ００
文章 编 号 ： ２３３ ４ ２ １ ）６０ ２ —６ ０ ５ —７ Ｘ（０ ００ —９ ９０
Ｄ Ｉ１ ．９ ９ ｊｉ ｎ ０ ５ ・７ｘ ２ １ ．６０ ６ Ｏ ：０ ３ ６ ／． ｓ ．２ ３３ ４ ．０ ０ ０ ．２ ｓ
一
种基 于代 数 图论 的有 限元 模 型 节点 排 序 方 法
排 序算法 大致 可 以分 为 ３类 ： ①基 于 图论 的方 法 ； ② 基 于代数 图论 的方法 ； 以上 ２ 的混 合方法 ． ③ 种
ｐ ｏｉ ｆ ｓｉ ｎ ｓ ｍａｒｘ ｎ ｆｎｔ ｅｅ ｎ ａ ａｙ ｉ．Ｔｈ ｒｆｌ ｏ ｔｆ ｅｓ ｅ ｆ ｔｉ ｉ ｉｅ ｌｍｅ ｔ ｎ ｌｓｓ ｉ ｅ
ｗｅｇ ｔｄ ｌｍｅ ｔ ｌ ｕ ｇ ａ ｈ （ＷＥＣ ） ｂ ｓ ｄ ｎ ｏ ａ ｉｈｅ ｅｅ ｎ ｃｉ ｅ ｒ ｐ ｑ Ｇ ａ ｏ ｎ ｄ ｌ ｅ
ｄ ｇ ｅ ｓ ｆ ｒｅ ｏ ｅ ｅ ｏ ｆｅ ｄ ｍ．Ｔｈ Ｆ ｅ ｌｒ ｅ ｔ ｒ ｆ ｈ Ｌ ｐ ａ ｉｎ ｒ ｅ ｉ ｄｅ ｖ ｃｏ ｏ ｔ ｅ ａ ｌｃａ Ｍ ａ ｒｘ ｏ Ｅ Ｇ Ｓ ｕ ｄ ｆ ｒ ｒ ｄ ｃ ｉ ｎ ｏ ｈ ｎ ｗｉｔ ｎ ｔｉ ｆ Ｗ Ｃ ｉ ｓ ｅ ｕ ｔ ｆ ｔ ｅ ｂ ｄ ｄ ａ ｄ ｅ ｏ ｏ ａ ｈ
荆 国强 ， 陈德 伟
（ 同济 大 学 桥 梁 工 程 系 ， 海 ２ ０ ９ ） 上 ０ ０ ２
摘要 ： 出了一种基于有限元 模型中节点 自由度构造赋权 单 提 元 团图的方法 ， 根据 代数 图论 的理 论 ， 应用 赋权单 元 团图 的 拉普拉斯矩阵 的 Ｆｅ ｌ ｉｄ ｒ向量 ， ｅ 对有 限元 模型 的节点 进行 排 序， 以达到减少结构 刚度矩 阵的半 带宽 和外形 的 目的 ． 该方 法不但能适用 于一般有 限元模型 ， 而且适用 于包含不 同类型 单元 、 具有不同 自由度节 点 的混合节 点模 型． 对于混 合节 点 模型 ， 该方法比基 于单元 团图的拉普拉斯矩 阵的代数 图论方 法能够取得更加满 意 的结 果． 据此 编制 的前处 理程 序， 以 可 对任 意编号 的模型进行优化处理 ． 值算 例结果 表明本方 法 数
节 点编 号排序 的大 部分 方法 是将 问题转 化 为有 限元 网格所 生成 的各种 图 的顶点 排 序 问题 ， 献 １ ３ 文 － １
中分析 了反 映有 限元 网格关 系 的 ９种 图 ． 点编 号 节
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ａ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｌｇ ｒ ｐ ｓ ｄ ｆ ｒｃ ｎ ｔｕ ｔ ｎ ｏ ｎ ｗ ｔ ｏ ｏ ｏ ｙ ｉ ｐ ｏ ｏ ｅ ｏ ｏ ｓｒ ｃ ｉ ｆ ｓ ｏ
采 用有 限元 法 进行 结 构 的精 细化 分 析 时 ， 因结 构 网格 的划 分 有 一 定 的精 度 要 求 ， 往会 导 致 单元 往 和节 点数 量 非 常 庞 大 ， 而使 得 结 构精 细 化 分 析变 从
得 非常 困难 ， 去 实 用 意 义 ． 失 众所 周 知 ， 构 的 刚度 结
第 ３ 第 ６期 ８卷 ２１ ０ ０年 ６月
同 济 大 学 学 报（ 然 科 学 版） 自
Ｊ 【 Ｎ ＩＯ Ｏ Ｇ Ｉ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ ０ 瓜 Ａ ＦＴ Ｎ Ｊ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ （ Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ）
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ ６ １３ ．