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中考数学试题分类汇编-压轴题2

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2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编(通用版)函数(二)(含答案与解析)

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编(通用版)函数(二)(含答案与解析)

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编（通用版）函数（二）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2021•丹东）如图，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB//x 轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值（）A．﹣6B．﹣8C．﹣10D．﹣12解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，∵AB∥x轴，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，∴S△AOM＝×|2|＝1，S△BOM＝×|k|＝﹣k，∵S△ABC＝S△AOB＝6，∴1﹣k＝6，∴k＝﹣10．故选：C．2．（2021•丹东）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣．判断下列结论：①abc＜0；②2a+2b+c＞0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2≤x≤3时，y最小＝3a；⑤该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，其中正确结论的个数（）A．2B．3C．4D．5解：∵a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣，∴两式相减得b＝，两式相加得c＝﹣1﹣a，∴c＜0，∵a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确；∴2a+2b+c＝2a+2×﹣1﹣a＝a＞0，故②正确；∵当x＝1时，则y＝a+b+c＝﹣，当x＝﹣1时，则有y＝a﹣b+c＝﹣，∴当y＝0时，则方程ax2+bx+c＝0的两个根一个小于﹣1，一个根大于1，∴抛物线与x轴必有一个交点，故③正确；由题意知抛物线的对称轴为直线x＝＝，∴当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时，有最小值，即为y＝4a+2b+c＝4a+1﹣1﹣a＝3a，故④正确；联立抛物线y＝ax2+bx+c及直线y＝x﹣c可得：x﹣c＝ax2+bx+c，整理得：，∴Δ＝，∴该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故选：D．3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC ＝3BD，则点B的横坐标为（）A．B．2C．D．3解：作BE⊥x轴于E，∴AC∥BE，∴△CDF∽△BDE，∴＝＝，∵BC＝3BD，∴＝＝，∴CF＝2BE，DF＝2DE，设B（，b），∴C（1，﹣2b），∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，∴k＝2b，∴B的横坐标为＝＝2，故选：B．4．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（）A．﹣8B．﹣2C．﹣8D．﹣6解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝经过A、B两点，∴x B＝，x A＝，即A（，4），B（，2），∴AB2＝（﹣）2+（4﹣2）2＝+4，∴BC＝AB＝，又∵菱形ABCD的面积为8，∴BC×（y A﹣y B）＝8，即×（4﹣2）＝8，整理得＝4，解得k＝±8，∵函数图象在第二象限，∴k＜0，即k＝﹣8，故选：A．5．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5B．5C．﹣6D．6解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，解得m＝﹣5．故选：A．6．（2021•本溪）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠CDB＝30°，∴BD＝2AD＝2，当点P在AD上时，S＝•（2﹣2t）•（1﹣t）•sin60°＝（1﹣t）2（0＜t＜1），当点P在线段BD上时，S＝（4﹣2t）•（t﹣1）＝﹣t2+t﹣（1＜t≤2），观察图象可知，选项D满足条件，故选：D．7．（2021•陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，∴（1）函数图象开口向上，（2）与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），（3）当x＝时，函数有最小值为﹣，（4）函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故选：C．二．填空题（共2小题）8．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F 两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为﹣2+2．解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝x2，设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，∴点E坐标为（m，4﹣2m），∴m2＝4﹣2m，解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．∴CD＝2m＝﹣2+2．故答案为：﹣2+2．9．（2021•陕西）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1＜y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）解：∵2m﹣1＜0（m＜），∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，又∵0＜1＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．三．解答题（共16小题）10．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2），过点B作BC⊥y轴于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积．解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，∴B点坐标满足一次函数解析式，∴，∴m＝3，∴B（3，2），∴k＝6，∴反比例函数的解析式为；（2）∵BC⊥y轴，∴C（0，2），BC∥x轴，∴BC＝3，令x＝0，则y＝，∴A（0，﹣2），∴AC＝4，∴，∴△ABC的面积为6．11．（2021•陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB 相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+8，取x＝0，得y＝8，∴C（0，8），取y＝0，得﹣x2+2x+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴B（4，0）；（2）存在点P，设P（0，y），若CC'是斜边，则PC＞PO，不合题意，舍去，∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边，∴，即：，解得：y1＝16，，∴P（0，16）或P（0，）．12．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．（1）当m＝时，点A的坐标是（，1），抛物线与y轴交点的坐标是（0，）；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y 随x的增大而减小时x的取值范围；（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m 的值．解：（1）当m＝时，y＝2（x﹣）2+1，∴顶点A（，1），令x＝0，得y＝，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），故答案为：（，1），（0，）；（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA＝，∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0，解得：m＝1，∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，①当m＜0时，2（2m﹣m）2+2m＝3，解得：m＝（舍）或m＝﹣，②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝3，解得：m＝，综上所述，m的值为或﹣；（4）如图1，当m＞0时，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m），∴M（m，2），N（m，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+或x＝m﹣（不合题意，应舍去），∴B（m+，2），C（m，2m），根据题意，得2m＝m+，解得：m＝或m＝（不合题意，应舍去）；若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+，解得：m＝，经检验，m＝不符合题意，舍去，∴m＝，若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，解得：m＝﹣1＜0，不合题意，舍去；当m＜0时，如图2，若点B在NQ边上，点C在PM边上，则2﹣2m＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+或x＝m﹣（舍去），∴|m+|＝2，当m+＝2时，得m2﹣2m+3＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴该方程无解；当m+＝﹣2时，得m2﹣6m+3＝0，解得：m＝3﹣或m＝3+，∵m＜0，∴均不符合题意；若点B在NQ边上，点C在MN边上，则|m+|＝|2m|，∴m+＝﹣2m或m+＝2m，∵m＜0，∴m＝﹣或m＝﹣1﹣，经验证，m＝﹣时，不符合题意；∴m＝﹣1﹣；若点B在PQ边上，点C在PM边上，显然点B到y轴的距离为4，点C到x轴的距离为2，不符合题意；综上所述，m的值为或或﹣1﹣．13．（2021•丹东）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x2＝90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣5＜0，此图象开口向下，∴当x＝80时，w有最大值为4500元，∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．14．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，∴﹣3m+1＞0满足题意，解得m＜．②∵0＜PQ≤7，∴0＜﹣3m+1≤7，解得﹣2≤m＜，如图，当x＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣，∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点，当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ 与图象有2个交点．15．（2021•大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中50≤x≤80．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）设y＝kx+b，将（50，100）、（80，40）代入，得：，解得：∴y＝﹣2x+200 （50≤x≤80）；（2）设电商每天获得的利润为w元，则w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵﹣2＜0，且对称轴是直线x＝70，又∵50≤x≤80，∴当x＝70时，w取得最大值为1800，答：该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．16．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．解：（1）∵直线y＝2x+m过点B（﹣5，4），交y轴于点C，∴﹣4＝2×（﹣5）+m，解得：m＝6，∴C（0，6），将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，理由如下：∵点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），点C（0，6），∴AB2＝（﹣8+5）2+（0+4）2＝25，AC2＝（﹣8+0）2+（0﹣6）2＝100，BC2＝（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2＝125，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°；（3）由（2）知AB＝5，AC＝10，∴tan∠BCA＝＝tan∠ECA，∴∠BCA＝∠ECA，如图1，延长BA至F，使AF＝AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，∴F（﹣11，4），∵∠BAC＝∠F AC＝90°，AF＝AB，AC＝AC，∴△F AC≌△BAC（SAS），∴∠BCA＝∠FCA，∴点E为直线CF与抛物线的交点，设直线CF的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线CF的解析式为，联立方程组，解得：或（舍去），故点E坐标为（，）；（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM'⊥BC交AC于N'，连接FN，则FN＝BN，∵AB＝5，BC＝，∴sin∠BCA＝，∴MN＝，又CO＝6，∴点P运动时间t＝＝BN+MN+6＝FN+MN+6≥FM'+6，当F、N、M三点共线时，t最小，∵AC＝10，BC＝，∴sin∠ABC＝，∴FM'＝，∴点P运动时间t的最小值为，由直线BC的表达式y＝2x+6得点D坐标为（﹣3，0），∵FD＝，∴点D与点M'重合，则点N（即N'）为直线FD与直线AC的交点，由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为，由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为，联立方程组，解得：，∴此时N坐标为（﹣6，）．17．（2021•营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），将点（60，100）、（70，150）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），∴y与x的函数关系式为：y＝；（2）设获得的利润为w元，①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝50时，w有值最大，最大值为4000元；②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，∵5＞0，∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，∴当x＝70时，w有最大，最大值为：5（70﹣50）2+2500＝4500（元），综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．18．（2021•大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．（1）当m＝2时，①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m 的值；（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交与点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．解：（1）当m＝2时，y＝，①∵M（4，n）在该函数图象上，∴n＝42﹣2×4+2＝10；②当0≤x＜2时，y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+2，∵﹣＜0，∴当x＝时，y有最大值是2，当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2，∵2＜2，∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是2；（2）分两种情况：①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OP＝m，∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，∴△POQ是等腰直角三角形，∴OP＝PQ，∴m＝﹣+m+m，解得：m1＝0，m2＝6，∵m＞0，∴m＝6；②当Q在x轴下方时，同理得：m＝﹣﹣m 解得：m1＝0，m2＝14，∵m＞0，∴m＝14；综上，m的值是6或14；（3）分两种情况：①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D，当x＝0时，y＝m，∴OB＝m，∵CD＝m，∴CD＝OB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD，∵∠AOB＝∠CDB＝90°，∴△ABO≌△BCD（ASA），∴OA＝BD，当x＜m时，y＝0，即﹣x2+x+m＝0，x2﹣x﹣2m＝0，解得：x1＝，x2＝，∴OA＝，且﹣≤m≤3，∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，∴OD＝c＝﹣a，∴BD＝m﹣OD＝m+a，∵OA＝BD，∴＝m+，解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2＝；②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D，同理得：OA＝BD，当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0，解得：x1＝，m2＝（舍），∴OA＝＝a，∴＝c﹣m＝﹣a﹣m，解得：m1＝0，m2＝﹣；综上，m的值是或﹣．19．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC ＝2．（1）求点C坐标；（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．解：（1）∵抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝3x2﹣5x﹣2，如图1中，设BC交y轴于D．∵tan∠OBD＝2＝，OB＝2，∴OD＝4，∴D（0，4），设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4，由，解得（即点B）或，∴C（﹣1，6）．（2）∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，6），∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣8x﹣2，∴E（﹣，0），当0＜m＜2时，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，m﹣2），∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6，∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（﹣3m+6）＝3m2﹣12m+12．当﹣＜m≤0时，如图2中，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，﹣8m﹣2），∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6，∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（6m+6）＝﹣6m2+6m+12．综上所述，S＝．（3）∵直线AC交x轴于（﹣，0），B′（2m﹣2），当﹣6m2+6m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝或（都不符合题意舍弃），当3m2﹣12m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝1或11（舍弃）或﹣2+或﹣2﹣（舍弃），综上所述，满足条件的m的值为1或﹣2+．20．（2021•本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？解：（1）由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，∴y＝﹣2x+220；（3）W＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，∵﹣2＜0，∴当x＝75时，W有最大值，最大值为2450元，答：每件定价为75元时利润最大，最大利润为2450元．21．（2021•吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），0.5a＝25﹣5，解得a＝40．（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：，解得，∴y＝x+15（40≤x≤100）．（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，40﹣35＝5（万人）．22．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝2，∴A（﹣6，0），B（2，0），当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，∵DE∥BC，∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6），∴点E的坐标为（2﹣2，2）；综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵A（﹣6，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，∴设直线l的解析式为y＝3x+b，∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），∴b＝﹣4m﹣6，∴M（﹣2，﹣4m﹣12），∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．∴N（﹣2，﹣4），∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，∵S△DMN＝S△AOC，∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，整理得：m2+4m﹣5＝0，解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），∴点M的坐标为（﹣2，8），∴DM＝＝3，答：DM的长为3．23．（2021•本溪）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF 的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，解得x＝1或3，故点P的坐标为（1，）或（3，3）；（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，设BQ交x轴于点H，由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，故设直线BQ的表达式为y＝x+t，该直线过点B（0，3），故t＝3，则直线BQ的表达式为y＝x+3，当x＝时，y＝x+3＝5，即n＝5；②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，∴∠BQN＝∠MAQ，∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即，则，解得n＝；24．（2021•陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1m/min；（2）求AB的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．解：（1）由图象知：“鼠”6min跑了30m，∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min），“猫”5min跑了30m，∴“猫”的速度为：30÷5＝6（m/min），∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1（m/min），故答案为：1；（2）设AB的解析式为：y＝kx+b，∵图象经过A（7，30）和B（10，18），把点A和点B坐标代入函数解析式得：，解得：，∴AB的解析式为：y＝﹣4x+58；（3）令y＝0，则﹣4x+58＝0，∴x＝14.5，∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣1＝13.5（min）．答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min．25．（2021•长春）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x（小时）02468箭尺读数y（厘米）618304254【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．【结论应用】应用上述发现的规律估算：①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）解：【探索发现】①如图②，②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，则，解得：，∴y＝6x+6；【结论应用】应用上述发现的规律估算：①x＝12时，y＝6×12+6＝78，∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；②y＝90时，6x+6＝90，解得：x＝14，∴供水时间为14小时，∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8：00+14＝22：00，∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．。

2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(二)四边形中的计算和证明综合(原卷版)

2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(二)四边形中的计算和证明综合(原卷版)

图1@2 图3 二、四边形中的计算和证明综合题1. （2020安徽）如图1,已知四边形ABCD 是矩形，点E 在的延长线上，AE=AD. EC 与8D 相交于点 G,与A 。

相交于点F, AF=AB.求证：BDREC ；2. （2020黑龙江七台河）以Rt&BC 的两边AB 、AC 为边，向外作正方形ABDE 和正方形ACFG,连接EG, 过点A 作AMLBC 于M,延长MA 交EG 于点N.(1)如图①，若ZBAC=90° , AB=AC,易证：EN=GN ：(2)如图②，ZBAC=90c :如图③，匕8ACK90° , (1)中结论, 形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由.(2) 若AB=1,求AE 的长:如图2,连接AG,求证：EG ・DG= y/^AG.是否成立，若成立，选择一个图 (3) ® 1ENGB M C3.(2020黑龙江绥化)如图，在正方形A8CD中，A8=4,点G在边8C上，连接AG,作。

EVAG于点E,BGBFA.AG 于点、F,连接BE、OF,设ZEDF=a. ZEBF=B，— =k.BC(1)求证：AE=BF；(2)求证：tana=k・tai】。

：(3)若点G从点B沿8C边运动至点C停止，求点E, F所经过的路径与边A8围成的图形的面积.4. (2020湖南长沙)在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把左ADE沿AE翻折，使点。

恰好落在BC边上的点F.(1)求证：△ABFs/^FCE；(2)若AB=2V5, AO=4,求EC 的长：(3)若AE・DE=2EC,记N8AF=a, ZME=p.求tana+tanp 的值.5. （2020江苏连云港）（1）如图1,点P为矩形ABCD对角线上一点，过点P作EF〃BC,分别交A8、CD 于点、E、F.若BE=2, PF=6, ZkAEP 的面积为Si, 的面积为则Si+S2=:（2）如图2,点P为"ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点.设四边形AEPH的面积为Si，四边形PFCG的面积为S2 （其中S2>Si）,求△P8O的面积（用含Si、S?的代数式表示）：（3）如图3,点P为"BCD内一点（点P不在BD上）,过点P作EF〃A。

第十八章全国通用版中考数学：《平行四边形》与坐标系结合压轴题(二)—解析版

第十八章全国通用版中考数学：《平行四边形》与坐标系结合压轴题(二)—解析版

第十八章专题：《平行四边形》与坐标系结合压轴题(二)1.如图，在平面直角坐标系中，AB //OC, A (0, 12), B (a, c) , C (b, 0),并且a, b满足b= 府市 /口' + 16. 一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点 B 运动；动点Q 从点。

出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P 运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t (秒)(1)求B、C两点的坐标；(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；(3)当t为何值时，APQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标.(1) •, b= ^a-21 J^T^+16,••.a=21, b=16,故B (21, 12) C (16, 0)； (2)由题意得：AP=2t, QO=t,贝U： PB=21-2t , QC=16-t,•••当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形,.•.21-2t=16-t,解得：t=5,,P (10, 12) Q (5, 0);(3)当PQ=CQ 时，过Q 作QN^AB,由题意得：122+t2=(16-t) 2, 解得：t=3.5,故P (7, 12), Q (3.5, 0),当PQ=PC时，过P作PM ±x轴,由题意得：QM=t , CM=16-2t ,则t=16-2t,解得：t=16, 2t=32, 3 3故P( 32,12), Q(16,3 30).2.如图1,在平面直角坐标系中， AB ，y 轴于点A, BC ，x 轴于点B,点D 为线段BC 的中点，若AB=a , CD=b ,且J 2 a 8 v 5 +/4我 a +2屈=b .连接AD ,在线段OC 上取一点E,使/ EAD= / DAB .(1)贝U a=, b=(2)求证：AE=OE+CD ;【解答】(1) a =4 v15 , b =2 后,(2)由(1)可知 AB=4 75, CD=BD=2 V 5 , • . AB=CB ,,.AB ±y 轴于点 A, BC±x 轴于点 B,，乙 BAO= / B= / AOC=90° ,••・四边形ABCO 是矩形，••・AB=CB , ••・四边形ABCO 是正方形，延长 CO 至u M ,使得 OM=BD ,贝u ^ABD AOM , ，/4=/M, Z1 = Z2=Z3,. OA//BC, . ・/4=/2+/5=/5+/3=/EAM , . . / M= / EAM , • . AE=EM=OE+OM=OE+BD ••• BD=CD , .1. AE=OE+CD .(3)如图 2 中，设 AE=EM=x .在 RtAAOE 中，AO 2+OE 2=AE 2, - x 2= (4<5 ) 2+ (x-2 J 5 ) 2, . . x=5石, OE=3 而,•.D (4V 5, 2 45), E (3V5 , 0), •. F (0, -6V5 )风0)3.如图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其中A(0, 0), B (m, 0) , D (0, n), m是最接近质的整数，n是16的算术平方根，若将4ABC沿矩形又•角线AC所在直线翻折，点B落在点E处，AE与边CD相交于点M .(1)求AC的长；(2)求4AMC的面积；(3)求点E的坐标.【解答】(1)•' m是最接近#5的整数,• ' m=8,.「n 是16 的算术平方根，，n=4,，B (8, 0), D (0, 4),.••点C 矩形ABCD 的一个顶点，..C (8, 4),，AB=8, BC=4 ,AC=4 J5 ,(2)由折叠有，CE=AD=BC=4 , AE=AB=8 ,设DM=x 则CM=8-x ,・. /ADM= / CEM , /AMD=/CME, /.A ADM ^ACEM , • .AM=CM=8-x , ME=MD , 在RtAADM 中，AD=4 , DM=x , AM=8-x ,根据勾股定理有：AD2+DM 2=AM 2,即：16+x2= (8-x) 2, •1- x=3 , DM=3 , CM=5 , S AAMC = —Ch/|X AD=)>^M=10,2 2(3)过点E作EFXCD,如图，由(2)有，CM=5 , CE=4, ME=DM=3在Rt^CEM 中，由射影定理得，CE2=CFXCM , 16=CFX5,，CF=3.2,••・Ma CE=CMK EF (直角三角形的面积的两种计算) ，，EF=2.4,• . DF=CD -CF=4.8 , BC+EF=6.4 , . . E (4.8, 6.4)4 .已知正方形OABC 在平面直角坐标系中，点 A, C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，E, F 分别在OA, OC 上，且OA=4 , OE=2 .将AOEF 绕点O 逆 时针旋转，得△OE I F I ,点E, F 旋转后的对应点为Ei, Fi.(I )①如图①，求EiFi 的长；②如图②，连接CFi, AEi,求证△OAEi^^OCFi；「(II)将AOEF 绕点O 逆时针旋转一周，当 OEi//CFi 时，求点Ei 的坐标(直接写出结果即可)姝 姝CB C 石【解答】(I )①解：二.等腰直角三角形 OEF 的直角顶点O 在原点，OE=2, / EOF=90 , OF=OE=2 ,「. EF=2 血，・ ••将AOEF 绕点 O 逆时针旋转，得△OE i F i, ••.E i F i =EF=2 J 2 ； ②证明：四边形OABC 为正方形，OC=OA .・ •・将AOEF 绕点 O 逆时针旋转，得 △OE i F i,AOE i =/COF i, • △OEF 是等腰直角三角形，・•.△OEiFi 是等腰直角三角形， ••OE i =OF i.在 AOAE i 和 ^OCF i 中，OA=OC, /AOEi=/COF i, OEi=OFi% E・•.△OAE 卢^OCF i (SAS)；(n)解：••• OEXOF,卜过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，当三角板OEF绕。

安徽中考数学压轴题训练

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安徽省中考数学试题分类解析汇编————押轴题汇总（1）一、选择题1. （2001安徽省4分）⊙O 1、⊙O 2和⊙O 3是三个半径为1的等圆，的等圆，且圆心在同一条直线上．若⊙O 2分别与⊙O 1，⊙O 3相交，⊙O 1与⊙O 3不相交，则⊙O 1与⊙O 3的圆心距d 的取值范围是的取值范围是。

2-1. （2002安徽省4分）如图，在△ABC 中，中，BC BC BC＝＝a ，B 1，B 2，B 3，B 4是AB边的五等分点；边的五等分点；C C 1，C 2．C 3．C 4是AC 边的五等分点，则B 1C 1＋B 2C 2＋B 3C 3＋B 4C 4＝．2-2.（2002安徽省4分）（华东版教材实验区试题）如图是2002年6月份的日历，现有一矩形在日历任意．．框出4个数a b c d，请用一个等式表示，请用一个等式表示a 、b 、c 、d 之间的关系：之间的关系：。

3. 如图，在平行四边形ABCD 中，中，AC=4AC=4AC=4，，BD=6BD=6，，P 是BD 上的任一点，过P 作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E ，F 。

设BP=x BP=x，，EF=y EF=y，则能反映，则能反映y 与x 之间关系的图象为【之间关系的图象为【】A ：B ：C ：D ：4. （2004安徽省4分）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是【为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是【 】．】．(A)(B) (C) (D)5. （2005安徽省大纲4分）下图是某地区用水量与人口数情况统计图．日平均用水量为400万吨的那一年，人口数大约是【年，人口数大约是【】A 、180万B 、200万C 、300万D 、400万6. （2005安徽省课标4分）如图所示，圆O 的半径OA=6OA=6，以，以A 为圆心，为圆心，OA OA 为半径的弧交圆O 于B 、C 点，则BC 为【为【】 A. 63 B.62 C. 33 D. 32 7. （2006安徽省大纲4分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y 和月份n 之间函数关系式为2y n 14n 24=-+-，则该企业一年中应停产的月份是【应停产的月份是【】 A ．1月、月、22月、月、33月 B ．2月、月、33月、月、44月 C ．1月、月、22月、月、1212月 D ．1月、月、1111月、月、1212月8. （2006安徽省课标4分）如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图（图1）和梅花图案和梅花图案（图（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为【中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为【】A ．36° B．42° C．45° D．48°9. （2007安徽省4分）如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=【接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=【】 A ．60° B．65° C．72° D．75°10. （2008安徽省4分）如图，在△ABC 中，中，AB=AC=5AB=AC=5AB=AC=5，，BC=6BC=6，点，点M 为BC 中点，MN⊥AC于点N ，则MN 等于【等于【】 A.65 B. 95 C. 125 D. 16511. （2009安徽省4分）△ABC 中，中，AB AB AB＝＝AC AC，∠A ，∠A 为锐角，为锐角，CD CD 为AB 边上的高，边上的高，I I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是【的度数是【】 A ．120° B．125° C．135° D．150°12. （2009安徽省4分）甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s 和6m/s 6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y （m ）与时间t （s ）的函数图象是【）的函数图象是【】 A ． B ． C ． D ．13. （2011安徽省4分）如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设AC AC＝＝2，BD BD＝＝1，AP AP＝＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是【状是【】 14. （2012安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【的斜边长是【】 A.10 B.54 C. 10或54 D.10或172 二、填空题1. （2001安徽省4分）如图，如图，AB AB 是⊙O 的直径，的直径，l l 1，l 2是⊙O 的两条切线，且l 1∥AB∥l 2，若P 是PA PA、、PB 上一点，直线PA PA、、PB 交l 2于点C 、D ，设⊙O 的面积为S 1，△PCD 的面积为S 2，则12S S =【 】 A ．π B ．2p C ．4p D ．8p 2. （2002安徽省4分）如图，在矩形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝3，AD AD＝＝4．P 是AD 上的动点，PE⊥AC 于E ，PE⊥BD 于F ．则PE PE＋＋PF 的值为【的值为【】 A ．512 B ．2 C ．25 D ．5133. （2003安徽省4分）如图，如图，l l 是四形形ABCD 的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD ②AB=BC ③AB⊥BC ④AO=OC 其中正确的结论是其中正确的结论是。

2021年中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何(压轴题2)(学生版)

2021年中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何(压轴题2)(学生版)

中考真题分类汇编（函数）----函数与几何（2）1.（2021•四川省眉山市）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；（2）求直线MN所对应的函数表达式；（3）求△BCN的面积．2.（2021•四川省南充市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2021•遂宁市）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴x=-，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，交于C（0，－3），对称轴为直线1与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．4. (2021•四川省自贡市) 如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △104，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5. （2021•天津市）已知抛物线22y ax ax c =-+（a ，c 为常数，0a ≠）经过点()0,1C -，顶点为D ．（Ⅰ）当1a =时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当0a >时，点()0,1E a +，若22DE DC =，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当1a <-时，点()0,1F a -，过点C 作直线l 平行于x 轴，(),0M m 是x 轴上的动点，()3,1N m +-是直线l 上的动点．当a 为何值时，FM DN +的最小值为10，并求此时点M ，N 的坐标．6. 2021•湖北省恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点B ，D （﹣4，5）两点，且与直线DC 交于另一点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2021•浙江省金华市）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．8.（2021•湖北省荆门市）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求|QO|+|QA|的最小值；（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接P A，PB，记△P AQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．9.（2021•江苏省盐城市）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P ′也随之运动，并且点P ′的运动轨迹能形成一个新的图形． 试根据下列各题中所给的定点A 的坐标、角度α的大小来解决相关问题． 【初步感知】如图1，设A （1，1），α＝90°，点P 是一次函数y ＝kx +b 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P 1（﹣1，1）．（1）点P 1旋转后，得到的点P 1′的坐标为 （1，3） ；（2）若点P ′的运动轨迹经过点P 2′（2，1），求原一次函数的表达式． 【深入感悟】如图2，设A （0，0），α＝45°，点P 是反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上的动点，过点P ′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M ，求△OMP ′的面积． 【灵活运用】 如图3，设A （1，﹣），α＝60°，点P 是二次函数y ＝x 2+2x +7图象上的动点，已知点B （2，0）、C （3，0），试探究△BCP ′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．10. （2021•重庆市A ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．11.（2021•重庆市B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求△P AD 面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4（a ≠0）沿射线AD 平移4个单位，得到新的抛物线y 1，点E 为点P 的对应点，点F 为y 1的对称轴上任意一点，在y 1上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．12. （2021•湖北省十堰市） 已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．13. （2021•湖南省张家界市）如图，已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点)3,2(-C ，且与x 轴交于原点及点)0,8(B .(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式； （3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为⊙O 上的动点，且⊙O 的半径为 22，一动点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值.14. （2021•海南省）已知抛物线y ＝ax 2+x +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且点A 的坐标为（﹣1，0）、点C 的坐标为（0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P ，求△PBC 的面积；（3）如图2，有两动点D 、E 在△COB 的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C 和点B 同时出发，点D 沿折线COB 按C →O →B 方向向终点B 运动，点E 沿线段BC 按B →C 方向向终点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，请解答下列问题： ①当t 为何值时，△BDE 的面积等于；②在点D 、E 运动过程中，该抛物线上存在点F ，使得依次连接AD 、DF 、FE 、EA 得到的四边形ADFE 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标．_y _x _ A_ B _ O _ C _ P15. （2021•广西玉林市）已知抛物线：234y ax ax a =--（0a >）与x 轴交点为A ，B（A 在B 的左侧），顶点为D ．（1）求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）若直线32y x =-与抛物线交于点M ，N ，且M ，N 关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D 在直线7:8l y =上，设直线l 与y 轴的交点为O '，原抛物线上的点P 平移后的对应点为点Q ，若O P O Q ''=，求点P ，Q 的坐标．16. （2021•广西贺州市）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，且()1,0A -，对称轴为直线2x =．（1）求该抛物线的函数达式；（2）直线l 过点A 且在第一象限与抛物线交于点C ．当45CAB ∠=︒时，求点C 的坐标； （3）点D 在抛物线上与点C 关于对称轴对称，点P 是抛物线上一动点，令(,)P P P x y ，当1P x a ≤≤，15a ≤≤时，求PCD 面积的最大值（可含a 表示）．17. 2021•山东省济宁市）如图，直线y ＝﹣x +分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，过点A 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为C ，与y 轴交于点D （0，3），抛物线的对称轴l 交AD 于点E ，连接OE 交AB 于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OE ⊥AB ；（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M ，是否存在这样的点P ，使以A ，O ，M 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．18 . (2021•内蒙古包头市) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x =-+经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A ，点(,)M m n 是抛物线上一动点．（1）如图1，当0m >，0n >，且3n m =时，①求点M 的坐标： ②若点15,4B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该抛物线上，连接OM ，BM ，C 是线段BM 上一动点（点C 与点M ，B 不重合），过点C 作//CD MO ，交x 轴于点D ，线段OD 与MC 是否相等？请说明理由； （2）如图2，该抛物线的对称轴交x 轴于点K ，点7,3E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在对称轴上，当2m >，0n >，且直线EM 交x 轴的负半轴于点F 时，过点A 作x 轴的垂线，交直线EM 于点N ，G 为y 轴上一点，点G 的坐标为180,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接GF ．若2EF NF MF +=，求证：射线FE 平分AFG ∠．19. （2021•齐齐哈尔市） 综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为2x =，点D 为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．20.（2021•内蒙古通辽市）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

04挑战压轴题(解答题二)-2022年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编(安徽卷)(原卷版)

04挑战压轴题(解答题二)-2022年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编(安徽卷)(原卷版)

2022年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（安徽考卷）04 挑战压轴题（解答题二）1．（2022·全国）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．2．（安徽省2020年中考数学试题）在平面直角坐标系中，已知点()()()1,2.2,3.2,1A B C ，直线y x m =+经过点A ．抛物线21y ax bx =++恰好经过,,A B C 三点中的两点． ()1判断点B 是否在直线y x m =+上．并说明理由；()2求,a b 的值；()3平移抛物线21y ax bx =++，使其顶点仍在直线y x m =+上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．3．（安徽省2019年中考数学试题）一次函数y =kx +4与二次函数y =ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点（1）求k ，a ，c 的值；（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y =ax 2+c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W =OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值.4．（安徽省2018年中考数学试题）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2（单位：元）（1）用含x 的代数式分别表示W 1，W 2;（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少? 5．（2021·江苏·涟水县义兴中学）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W 与x 之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？1．（2022·陕西师大附中九年级期末）已知抛物线223y x x =--与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求点B 、D 的坐标；(2)若点P 是x 轴上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，是否存在这样的P ，使得以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与BCD ∆相似？若存在请求出，点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校九年级开学考试）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线23y x mx =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C ，OB OC =．(1)如图1，求m 的值；(2)如图2，点P 是第四象限抛物线上一点，连接P A 交y 轴于点D ，E 为PD 中点，连接BE ，设点P 的横坐标为t ，ABE △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，连接CE ，F 为CE 上一点，连接PF ，M 为抛物线的顶点，连接PM ，将射线PM 绕点P 逆时针旋转45︒，交y 轴于点G ，交抛物线于点N ，若DCE FPM ∠=∠，2PF DG =，求点N 的坐标．3．（2022·四川凉山·九年级期末）某商场出售甲乙两种商品，出售甲种商品15件，乙种商品20件共获利390元，出售甲、乙两种商品各10件共获利220元．(1)求甲、乙两种商品每件的利润；(2)商场调研甲种商品发现：若按现在售价出售，每周可出售商品100件，如果每件商品的售价每上涨2元，则每周少卖10件，商场要求每周甲商品的销量不低于80件．设甲种商品每件价格上涨x （元），销售数量为y （件）①写出y （件）与x （元）之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；②每件甲商品的利润为多少元时，每周可获得最大利润？最大的利润是多少元？4．（2021·河南·模拟预测）已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ＋c （a ＞0）．(1)若该图象经过点A （1，0），B （2，4），求这个二次函数的解析式；(2)若（x 1，y 1），（4，y 2）在该函数图象上，当y 2＞y 1时，求x 1的取值范围；(3)该函数图象与x 轴只有一个交点时，将该图象向上平移2个单位恰好经过点（4，8），当m ≤x ≤n 时，2m ≤y ≤2n ，求m ﹣n 的值．5．（2021·黑龙江·牡丹江四中九年级阶段练习）一天早晨，佳佳从家出发匀速步行去学校，妈妈发现佳佳忘带数学书了，于是立即下楼骑车沿佳佳行进路线匀速追赶，妈妈追上佳佳后，立即按原路线返回家中，由于路人渐多，妈妈返回时的速度只是去时的23，佳佳则以原速度的1．5倍赶往学校妈妈与佳佳之间的路程y （米）与佳佳从家出发后步行的时间x （分）之间的关系如图所示（佳佳与妈妈交接学习用品耽搁的时间忽略不计），结合图象信息解答下列问题：(1)佳佳步行速度是______，妈妈追佳佳时的速度是______；(2)求图象中线段DE所表示的y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)直接写出佳佳出发多长时间，佳佳与妈妈相距300米的时间．1．（2022·贵州遵义·九年级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b为常数）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0），与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线y＝﹣43x+4与x轴交于点D．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积；(3)如图2，点M是二次函数图象上一动点，过点M作ME△CD于点E，MF//x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF△△COD，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2021·河南省实验中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点(1,4)A ，(1,0)B -，(0,2)C ，抛物线23y ax bx =++经过A ，B ，C 三点中的两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点(,)M m n 为（1）中所求抛物线上一点，且04m <<，求n 的取值范围；(3)一次函数(1)33y k x k =--+（其中1)k ≠与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是1x 和2x ，且121x x <-<，请直接写出k 的取值范围．3．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x +b 与反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象交于点A (3，n )，与y 轴交于点B (0，﹣2)，点P 是反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象上一动点，过点P 作直线PQ ∥y 轴交直线y ＝x +b 于点Q ，设点P 的横坐标为t ，且0＜t ＜3，连接AP ，BP ．(1)求k ，b 的值．(2)当ABP 的面积为3时，求点P 的坐标．(3)设PQ 的中点为C ，点D 为x 轴上一点，点E 为坐标平面内一点，当以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为正方形时，求出点P 的坐标．4．（2021·江苏扬州·一模）如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为()3,0顶点P 的坐标为()1,4-，以AB 为直径作圆，圆心为D ，过P 向右侧作D 的切线，切点为C ．(1)求抛物线的解析式；(2)请通过计算判断抛物线是否经过点C ；(3)设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的两个动点，当四边形PNMC 的周长最小时，请直接写出M ，N 两点的坐标． 5．（2020·福建省福州屏东中学九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线Γ：()2430y ax ax a a =-+<与x轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧）．抛物线顶点为C 点，△ABC 为等腰直角三角形．(1)求此抛物线解析式．(2)若直线1:l y kx k =-与抛物线Γ有两个交点，且这两个交点与抛物线Γ的顶点所围成的三角形面积等于6，求k 的值．(3)若点()2,0D ，且点E ，D 关于点C 对称，过点D 作直线2l 交抛物线Γ于点M ，N ，过点E 作直线3l x ∥轴，过点N 作3NF l ⊥于点F ，求证：点M ，C ，F 三点共线．。

人教中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附答案

人教中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.2．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编(通用版)几何综合(二)(含答案与解析)

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编(通用版)几何综合(二)(含答案与解析)

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编（通用版）几何综合（二）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．2．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE 交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A．B．2C．D．3解：如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE平分∠ABD，∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴OF＝OA＝AB•tan30°＝2×＝2，故选：B．3．（2021•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA'B'的度数为（）A．αB．α﹣45°C．45°﹣αD．90°﹣α解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，∴AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，∴△ACA'是等腰直角三角形，∴∠CA'A＝45°，∵∠BAC＝α，∴∠CA'B'＝α，∴∠AA'B'＝45°﹣α．故选：C．4．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．+1B．+3C．+1D．4解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故选：C．二．填空题（共8小题）5．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE ＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为8．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，∴∠BEA＝90°，∵BC＝7，∴BE+CE＝7，∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，又∵AC＝5，在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，解得：CE＝3，又∵点F是AC的中点，∴，∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．故答案为：8．6．（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是2．解：∵菱形ABCD，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵AB′⊥BD，∴∠BAB'＝，∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，∴BE＝B'E，AB＝AB'，∴∠ABB'＝，∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，∴∠BEB'＝90°，在Rt△BEB'中，由勾股定理得：BB'＝，故答案为：2．7．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为．解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE＝∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC＝∠BEF＝90°，又∵BE＝BE，∴△BEC≌△BEF（ASA），∴CE＝FE，BF＝BC＝2，同理：CH＝GH，DG＝CD＝，∴HE是△CGF的中位线，∴HE＝，在矩形ABCD中，，，由勾股定理得：BD＝，∴GF＝BF+DG﹣BD＝，∴HE＝，故答案为：．8．（2021•营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S＝1，则S△ABC＝24．△EFG解：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（ASA），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM为△ABG的中位线，∴＝，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案为：24．9．（2021•本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D 的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是①③④（填序号即可）．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．∴∠BEP+∠AEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE．∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ．∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE～△QFG．故①正确；②过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS）．∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，∴②不正确；③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正确；④连接DH，MH，HE，如图，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°．∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG．∴EG2﹣EH2＝GH2．由折叠可知：EH＝CH．∴EG2﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四点共圆，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴．∴GH2＝GQ•GD．∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④．10．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝6．解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，∵AE＝3，∴DE＝＝＝5，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，∴∠CDH＝∠F，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，∴＝，∴＝，∴CF＝6，故答案为：6．11．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴△BDH∽△BFE，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．12．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1．解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，∴OE＝OF＝1，∴OC平分∠BCD，∵四边形ABCD为正方形，∴点O在AC上，∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，故答案为3+1．三．解答题（共18小题）13．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，∴CD＝AB＝a．（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB＝∠ACB＝90°，∴DF∥AC；由折叠得，DF＝DB，∵DB＝AB，∴DF＝AB；∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∴DF＝AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD＝AB，∴AD＝DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°；由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE+∠BDE＝270°，∴∠BDE＝135°．综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．14．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为．解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴＝，∵AE＝AD，∴AE＝BC，∴＝＝，∴AM＝CM＝AC＝1．（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，∴tan∠MBO＝＝．故答案为：．15．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB ﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P 作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．解：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝，∠PQD＝60°，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1．（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，同（1）可得MQ＝AD＝1．∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝x+1，当x+1＝3时x＝2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC＝＝，∴∠DBC＝30°，∵∠PQD＝60°，∴∠DEQ＝90°．∵sin30°＝＝，∴EQ＝DQ＝，∵sin60°＝＝，∴EN＝EQ＝（x+1），∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2），∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝x2﹣2x+2，∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝﹣x2+x﹣（2＜x≤3）．当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝4﹣x，∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．综上所述，y＝16．（2021•长春）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝45度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝60度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；（2）若AB＝，则线段AP的长为2﹣2．操作一：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°，故答案为：45；操作二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，由操作一得：∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60；（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中，，∴△ANP≌△FNE（ASA）；（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，∴AP＝FE，PN＝EN，∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，∴∠NEF＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝60°，∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝1，∴AE＝2BE＝2，设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，∵AN+EN＝AE，∴a+a＝2，解得：a＝﹣1，∴AP＝2a＝2﹣2，故答案为：2﹣2．17．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF//BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．解：（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；（2）设BC、AD交于点N，∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴，∴DN＝，∵点D是的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝2，∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．18．（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P 从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为2；（2）用含t的代数式表示线段BP的长；（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，∴AD＝AC＝2．故答案为：2．（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．综上所述，PB＝．（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，∴＜t＜时，点A'在△ABC内部．（4）如图，0＜t＜5时，∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ADP＝∠BAC，∴AE＝AD＝1，∵cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当5＜t＜8时，∵∠AA'B＝∠B＝∠A'AD，∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠A'AD＝90°，∴PE∥BA，∴∠DPC＝∠B，∵在Rt△PCD中，CD＝＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝，∴tan∠DPC＝＝＝，∴t＝．综上所述，t＝或．19．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．（1）证明：连接OB，如图1，∵直线MN与⊙O相切于点D，∴OD⊥MN，∵BC∥MN，∴OD⊥BC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD，∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BAC＝∠COD；（2）∵E是OD的中点，∴OE＝DE＝2，在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝2，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝4，在Rt△ABE中，AE＝＝＝2．20．（2021•丹东）已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设△AFM的面积为S1，△NGC 的面积为S2，△MEN的面积为S3．（1）如图（1），当四边形EFBG为正方形时，①求证：△AFM≌△CGN；②求证：S3＝S1+S2．（2）如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n），请直接写出AF：FB的值．解：（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，AB＝CB，BF＝BG，∠F AM＝∠GCN＝45°，∠AFM＝∠CGN＝90°，∴AB﹣BF＝CB﹣BG，即AF＝CG，∴△AFM≌△CGN（ASA）②如图1，连接BD，则BD过点E，且BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝45°，由①知△AFM≌△CGN，∴AM＝CN，∵∠BAM＝∠BCN，AB＝BC，∴△ABM≅△CBN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠CBN，∵∠MBN＝45°＝∠ABD，∴∠FBM+∠MBO＝∠MBO+∠OBN，∴∠FBM＝∠OBN，∵∠BFM＝∠BON＝90°，∴△FBM≅△OBN（AAS），∴FM＝ON，∵∠AFM＝∠EON＝90°，∠F AM＝∠OEN＝45°，∴△AFM≅△EON（AAS），同理△CGN≌△EOM（AAS），∴S△EOM＝S△CGN，S△EON＝S△AFM，∵S3＝S△MEN＝S△EOM+S△EON＝S△CGN+S△AFM，∴S3＝S1+S2．（2）S3＝S1+S2，理由如下：如图2，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，四边形EFBG为矩形，∴BD⊥AC，∠BFM＝∠BON＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝BD＝2OB，∵∠MBN＝45°，∠FBM＝∠OBN＝45°﹣∠MBO，∴△FBM∽△OBN，∴，同理△BOM∽△BGN，∴，∴，∴OB2＝BF⋅BG，∵，S矩形EFBG＝BF⋅BG，∴S矩形EFBG＝S△ABC，∴S1+S2＝S△ABC﹣S五边形MFBGN，S3＝S矩形EFBG﹣S五边形MFBGN，∴S3＝S1+S2．（3）根据题意可设BG＝mx，GC＝nx，AB＝BC＝（m+n）x，∴，即，∴BF＝＝＝，∴，∴AF：BF＝：＝（m﹣n）：（m+n）．21．（2021•大连）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿BA﹣AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC﹣CD运动，设运动时间为t秒．（1）求AC的长；（2）若S△BPQ＝S，求S关于t的解析式．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，∴AC的长为5；（2）当0＜t≤1.5时，如图，S＝；当1.5＜t≤4时，如图，作PH⊥BC于H，∴CP＝8﹣2t，∵sin∠BCA＝，∴，∴，∴S＝＝﹣；当4＜t≤7时，如图，点P与点C重合，S＝．综上所述：S＝．22．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠F AB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．23．（2021•大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．（1）找出与∠DBF相等的角并证明；（2）求证：∠BFD＝∠AFB；（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，∴∠BAE＝∠DBF．（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，∵AB＝BD，AE＝EF，∴，∵∠ABD＝∠AEF，∴△ABD∽△AEF，∴∠BDG＝∠AFB，∵∠BGD＝∠AGF，∴△BGD∽△AGF，∴，∴，∵∠AGB＝∠FGD，∴△AGB∽△FGD，∴∠BAD＝∠BFD，∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，∴∠BFD＝∠AFB．（3）如图3，作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′、DD′，作EH∥MD′交AC于点H，则BF垂直平分DD′，∴D′F＝DF，D′M＝DM，∵MF＝MF，∴△D′MF≌△DMF，∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，∴∠EDF＝∠EHA，∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，∴△EFD≌△EAH（AAS），∴DF＝AH，∵，D′F＝DF，∴，∵AF＝kDF，∴，∴．24．（2021•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．证明：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠OAE＝∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC，∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接DE，∵OC＝9，AC＝4，∴OA＝OC﹣AC＝5，∵AD＝2OA，∴AD＝10，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∵DE＝＝＝6，∴cos∠DAE＝＝＝，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴＝，∴AB＝5，∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵EF是⊙O的切线，∴∠FEO＝90°，∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，∴∠FEB＝∠OED，∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，∴△FBE∽△ODE，∴＝，∴＝，∴BF＝．25．（2021•营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．（1）证明：连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE．（2）结论：CE2+BF2＝BC2．理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，∵△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ACD＝45°，∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，∴∠BAF＝∠ACE，∵AB＝CA，AF＝CE，∴△BAF≌△ACE（SAS），∴BF＝AE，∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，∴AE2+CE2＝AC2，∴BF2+CE2＝BC2．（3）解：设EH＝m．∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，∴△ADH∽△CEH，∴＝＝＝＝2，∴DH＝2m，∴AD＝CD＝2m+2，∴EC＝m+1，在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，∴22＝m2+（m+1）2，∴2m2+2m﹣3＝0，∴m＝或（舍弃），∴AE＝AH+EH＝，∴AD＝1+，∴AC＝AD＝+．26．（2021•本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，由旋转知：EP＝EB，∴△BPE是等边三角形，∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠AEP＝∠CBP，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∴△APE≌△CPB（SAS），∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，即∠APC＝∠BPE＝60°，∴△APC是等边三角形，∴AP＝AC；方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，∴PE∥BC∥AD，∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴四边形ADQE是菱形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，∴△AEQ是等边三角形，∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，∵四边形BCQE是平行四边形，∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，∴∠AEP＝∠AQC，∴△AEP≌△AQC（SAS），∴AP＝AC；（2）AB2+AD2＝2AF2，理由：如图2，连接CF，在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+AD2＝2AF2；（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，∵BE＝AB，AB＝CD，∴AB＝CD＝2BE，设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，∴GM＝GN，∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，＝＝＝＝2，∴S△CDG＝2S△ADG，∴S△CDG＝S△ACD＝a2，由（1）知PE∥BC，∴∠AEH＝∠B＝60°，∵∠H＝90°，∴AH＝AE•sin60°＝a，∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，∴＝＝．②如图4，当点E在AB延长线上时，由①同理可得：S△CDG＝•S△ACD＝××2a××3a＝a2，S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，∴＝＝，综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴△AEG∽△CDG，∴＝（）2，＝，①当点E在AB上时，∵BE＝AB，∴AE＝BE＝AB＝CD，∴＝（）2＝，又∵＝＝，∴＝，即＝3，∴＝＝3，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，∴AE＝AD，∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，∴△AED≌△EAP（SAS），∴S△AED＝S△EAP，∴＝•＝•＝3×＝；②如图4，当点E在AB延长线上时，∵BE＝AB，∴AE＝AB＝CD，由①知，AD＝AE＝CD，∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝，∵＝（）2＝（）2＝，∴＝••＝××＝；综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．27．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．28．（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，∵＝2，∴＝＝，∴∠COB＝∠BOF，∵∠A＝∠BOF，∴∠COB＝∠A；（2）解：连接BF，如图，∵CD为⊙O的切线，∴AB⊥CD，∴∠OBC＝∠ABD＝90°，∵∠COB＝∠A，∴△OBC∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8，29．（2021•山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F 为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴＝＝1，∴EH＝HB，∴BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DF＝CD，∴BG＝AB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB•DJ，∴DJ＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ＝＝＝2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tan A＝＝＝2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，∵tan A＝tan A′＝＝2，∴NH＝2，∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝，∴S四边形BHNM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝．30．（2021•陕西）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，过点E作EG⊥CH于G，∴∠H＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∴∠ADH＝∠BAD＝45°，在Rt△ADH中，AD＝6，（2）存在，如图2，分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）＝4（x﹣350）2+470000，∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米），AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米．。

中考数学 压轴题汇编 二次函数综合题训练(含答案)

中考数学 压轴题汇编 二次函数综合题训练(含答案)

2020中考数学压轴题汇编二次函数综合题训练（含答案）1.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A，B，C，已知点A的坐标为(－3，0)，点B坐标为(1，0)，点C在y轴的正半轴，且∠CAB＝30°.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线l∶y＝3x＋m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D，E.①当m＞0时，在线段AC上是否存在点P，使得P，D，E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l的对称线段A′C′与该二次函数图象有交点，请直接写出m的取值范围．解：（1）在Rt△AOC中，∠CAB＝30°，∵A(－3，0)，即OA＝3，∴OC＝3，即C(0，3)，可设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，将C(0，3)代入解析式得－3a＝3，解得a＝－3 3 .∴y＝－33(x＋3)(x－1)＝－33x2－233x＋3；（2）由题意可知，OE＝m，OD＝33m，∠DEO＝30°，第1题解图①①(ⅰ)如解图①，当PD ⊥DE ，PD ＝DE 时，作PQ ⊥x 轴于点Q ， ∴∠PQD ＝∠EOD ＝90°，∴∠PDQ ＋∠EDO ＝90°，∠EDO ＋∠DEO ＝90°， ∴∠DEO ＝∠PDQ ＝30°， ∴△DPQ ≌△EDO (AAS)， ∴DQ ＝OE ＝m ，∵∠PAQ ＝∠PDQ ＝30°， ∴PA ＝PD ，∴AQ ＝DQ ＝m ， ∴OA ＝2m ＋33 m ＝3，∴m ＝96＋3＝18－3311>0，∴x p ＝－(OE3＋QD )＝－15＋3311，y p ＝PQ ＝AQ 3＝63－311，∴P (－15＋3311，63－311)；(ii)如解图②，当PE ⊥DE ，PE ＝DE 时，作PQ ⊥y 轴于点Q ，第1题解图②同理可得OE ＝m ，CQ ＝EQ ＝OD ＝33m ，∴OC ＝m ＋233 m ＝3，∴m ＝6－33>0；设直线PE 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1， ∵PE ⊥l ，∴k 1＝－13＝－33，代入E (0，6－33)得y 1＝－33x ＋6－33，设直线AC 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2， ∵过点A (－3，0)和点C (0，3)，∴y 2＝33x ＋ 3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－33x ＋6－33y 2＝33x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33－6y ＝3－3，即点P (33－6，3－3)；(iii)如解图③，当PD ⊥PE ，DP ＝PE 时，作DM ⊥AC ，EN ⊥AC ，第1题解图③可得AP ＝AD ＝9－3m 3，PN ＝DM ＝12AD ＝9－3m 6，CN ＝3－m2，∴AC ＝9－3m 3＋9－3m 6＋3－m2＝23，∴m ＝9－333＋1＝63－9>0.过点P 作PK ⊥x 轴于点K ， ∵AP ＝9－3m3，∠KAP ＝30°，∴KP ＝12×9－3m 3＝33－32，∴AK ＝3KP ＝9－332，∴OK ＝AO －AK ＝33－32，即点P (3－332，33－32)．综上所述，当m ＞0时，在线段AC 上存在点P ，使得P ，D ，E 构成等腰直角三角形， 点P 的坐标为(－15＋3311，63－311)或(33－6，3－3)或(3－332，33－32)；②m 的取值范围为－33≤m ≤ 3.2.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过点(2，6)，且与直线y ＝12x ＋1相交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (4，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)若P 是直线AB 上方该抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ，求线段PE 的最大值；(3)在(2)的条件下，设PC 与AB 相交于点Q ，当线段PC 与BE 互相平分时，请求出点Q 的坐标．第2题图解：（1）∵BC ⊥x 轴，垂足为点C (4，0)，且点B 在直线y ＝12x ＋1上，∴点B 的坐标为(4，3)，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过点(2，6)和点B (4，3)，∴⎩⎨⎧4a ＋2b ＋1＝616a ＋4b ＋1＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝92，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋92x ＋1；（2）设动点P 的坐标为(x ，－x 2＋92x ＋1)(0<x <4)，则点E 的坐标为(x ，12x ＋1)，∵PD ⊥x 轴于点D ，且点D 在x 轴上， ∴PE ＝PD －ED ＝(－x 2＋92x ＋1)－(12x ＋1)＝－x 2＋4x＝－(x －2)2＋4，则当x ＝2时，线段PE 的值最大，最大值为4； （3）∵线段PC 与BE 互相平分， ∴△PEQ ≌△CBQ ， ∴PE ＝BC ，∴－x 2＋4x ＝3，即x 2－4x ＋3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝3，∵点Q 分别是PC ，BE 的中点，且点Q 在直线y ＝12x ＋1上，∴①当x ＝1时，点Q 的横坐标为1＋42＝52，则点Q 的坐标为(52，94)；②当x ＝3时，点Q 的横坐标为3＋42＝72，则点Q 的坐标为(72，114)．综上所述，点Q 的坐标为(52，94)或(72，114)．3.如图，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点B ，E 两点，与y 轴交于点A ，OB＝8，tan ∠ABD ＝1，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C ，D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C ，D 停止运动．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？(3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：（1）∵OB ＝8，tan ∠ABD ＝1， ∴OA ＝OB ＝8，∴A (0，8)，B (8，0)．把点A (0，8)，B (8，0)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝8－12×82＋8b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝3c ＝8，∴抛物线解析式为y ＝－12x 2＋3x ＋8；（2）令y ＝0时，有－12x 2＋3x ＋8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴E (－2，0)， ∴BE ＝10，∵S △CED ＝12DE ·OC ，∴S ＝12t (10－t )＝－12t 2＋5t ，∴S 与t 的函数解析式为S ＝－12t 2＋5t ＝－12(t －5)2＋252(0≤t ≤8)，∴当t ＝5时，△CED 的面积最大，最大面积为252；（3）存在，P 点坐标为(8，0)或(43，1009)或(343，－2009)．【解法提示】当△CED 的面积最大时，t ＝5，即BD ＝DE ＝5，此时要使S △PCD ＝S △CED ，CD 为公共边，只需求出过点B 、或点E 且平行于CD 的直线即可，如下：第3题解图设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ， 由(2)可知OC ＝5，OD ＝3， ∴C (0，5)，D (3，0)，把C (0，5)、D (3，0)代入，得⎩⎨⎧b ＝53k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－53b ＝5， ∴直线CD 的解析式为y ＝－53x ＋5，∵DE ＝DB ＝5，∴过点B 且平行于CD 的直线为y ＝－53(x －5)＋5，过点E 且平行于CD 的直线为y ＝－53(x ＋5)＋5，与抛物线解析式联立得方程①：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x －5)＋5，解得x 1＝8，x 2＝43，方程②：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x ＋5)＋5，解得x 3＝343，x 4＝－2，分别将x 的值代入抛物线的解析式，得y 1＝0，y 2＝1009，y 3＝－2009，y 4＝0，又∵P 点不与E 点重合，∴满足题意的P 点坐标有3个，分别是P 1(8，0)，P 2(43，1009)，P 3(343，－2009)．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C ，且其对称轴l 为直线x ＝－1，点P 是抛物线上B ，C 之间的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P 的位置时发现：当动点N 在对称轴l 上时，存在PB ⊥NB ，且PB ＝NB 的关系，请求出点P 的坐标；(3)是否存在点P 使得四边形PBAC 的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC 面积的最大值，若不存在，请说明理由．第4题图解：（1）y ＝x 2＋2x －3；【解法提示】∵A (1，0)，对称轴l 为直线x ＝－1， ∴B (－3，0)，∴⎩⎨⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3；（2）如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接BP ，过点B 作BN ⊥PB 交直线l 于点N ，设抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ， ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°. ∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°. ∴∠BPM ＝∠NBQ . 又∵PB ＝NB ， ∴△BPM ≌△NBQ . ∴PM ＝BQ .由(1)得y ＝x 2＋2x －3， ∵Q (－1，0)，B (－3，0) ∴BQ ＝2， ∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点，且点P 的纵坐标为－2， 将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3，解得x1＝－1－2，x2＝－1＋2(不合题意，舍去)，∴点P 的坐标为(－1－2，－2)；第4题解图①（3）存在．如解图②，连接AC ，BC ，CP ，PB ，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ， ∵A (1，0)，B (－3，0)，C (0，－3)， ∴S △ABC ＝12×3×4＝6，直线BC 的解析式为y ＝－x －3.设P (t ，t 2＋2t －3)，则D (t ，－t －3)，∴S △BPC ＝12×3×(－t －3－t 2－2t ＋3)＝－32t 2－92t ，∴S 四边形PBAC ＝－32t 2－92t ＋6＝－32(t ＋32)2＋758，当t ＝－32时，S 四边形PBAC 存在最大值，最大值为758.此时点P 的坐标为(－32，－154)．第4题解图②5.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE.已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)分别求出点B和点E的坐标；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．第5题图解：（1）抛物线的函数表达式为y＝12x2－3x－8；（2）点B的坐标为(8，0)．点E的坐标为(3，－4)；（3）需分两种情况进行讨论：①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，如解图①，第5题解图①∵点E 的坐标为(3，－4)， ∴OE ＝32＋42＝5，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则OM OP ＝OE OQ， ∴OM ＝OE ＝5，∴点M 的坐标为(0，－5)，设直线ME 的函数表达式为y ＝k 1x －5， ∴3k 1－5＝－4，解得k 1＝13，∴直线ME 的函数表达式为y ＝13x －5，H 在直线ME 上， 令y ＝0，解得x ＝15， ∴点H 的坐标为(15，0)． 又∵MH ∥PB ，∴OP OM ＝OB OH ，即－m 5＝815， ∴m ＝－83；②当QO ＝QP 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图②，∵当x ＝0时，y ＝12x 2－3x －8＝－8，第5题解图②∴点C 的坐标为(0，－8)， ∴CE ＝32＋（8－4）2＝5，∴OE ＝CE ， ∴∠1＝∠2， 又∵QO ＝QP ， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴CE ∥PB .设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为y ＝k 2x －8， ∴3k 2－8＝－4，解得k 2＝43，∴直线CE 的函数表达式为y ＝43x －8，令y ＝0，得43x －8＝0，∴x ＝6，∴点N 的坐标为(6，0)． ∵CN ∥PB .∴OP OC ＝OB ON，∴－m 8＝86，解得m ＝－323.综上所述，当m 的值为－83或－323时，△OPQ 是等腰三角形．6.如图，点A (－2，0)、B (4，0)、C (3，3)均在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，点D 在y 轴上，且DC ⊥BC ，∠BCD 绕点C 顺时针旋转后两边与x 轴、y 轴分别相交于点E ，F . (1)求抛物线的解析式；(2)CF 能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E 的坐标；若不能，说明理由； (3)若△FDC 是等腰三角形，求点F 的坐标．第6题图解：（1）∵抛物线与x 轴有两个交点A (－2，0)、B (4，0)， ∴可设抛物线解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)， 将C (3，3)代入得a (3＋2)(3－4)＝3， 解得a ＝－35，故抛物线的解析式是y ＝－35(x ＋2)(x －4)＝－35x 2＋65x ＋245；（2）能，理由如下：如解图①，过点C 作CH ⊥y 轴于点H ，CS ⊥x 轴于点S .第6题解图①由抛物线的解析式可以求得顶点M 的坐标为M (1，275)，∴由C ，M 两点坐标可以求得CM 即CF 的直线方程为y ＝－65x ＋335，∴F 点坐标为(0，335)．∵∠FCH ＋∠HCE ＝90°，∠ECS ＋∠HCE ＝90°， ∴∠ECS ＝∠HCF ，又∵CH ＝CS ，∠CHF ＝∠CSE ＝90°， ∴△FCH ≌△ECS (ASA)， ∴FH ＝SE ＝335－3＝185，∴EO ＝185－3＝35，∴E (－35，0)，即CF 能经过抛物线的顶点，此时点 E 的坐标为(－35，0)（3）如解图②，由C ，B 两点坐标利用待定系数法可以求得CB 直线方程为：y ＝－3x ＋12，过点C 作CH ⊥y 轴于点H ，CS ⊥x 轴于点S ，第6题解图②∵C(3，3)，B(4，0)，四边形HOSC是正方形，OS＝3，∴BS＝1，∵∠HCD＋∠DCS＝90°，∠BCS＋∠DCS＝90°，∴∠DCH＝∠BCS，∴△DCH≌△BCS(ASA)，∴DH＝SB＝1，OD＝2，∴D(0，2)，由C、D两点坐标可以求得CD＝10，则△FDC是等腰三角形可以有三种情形：①FC＝CD＝10，则DH＝1，FH＝1，则F点坐标为(0，4)；②FD＝CD＝10，则F点坐标为(0，2＋10)；③FD＝FC，设F(0，m)，∵FC2＝FH2＋HC2，∴FC2＝(m－3)2＋32，又∵FD＝m－2，∴(m－3)2＋32＝(m－2)2，∴m＝7，故F(0，7)．综上所述，点F的坐标为(0，4)或(0，2＋10)或(0，7)．7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋6x＋c(a≠0)交y轴于点A，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知点A的坐标为(0，－5)，点B的坐标为(1，0)．(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：（1）抛物线解析式为y＝－x2＋6x－5，顶点坐标为(3，4)；（2）抛物线的对称轴与⊙C相离．∵当y＝0时，x＝1或x＝5，∴B(1，0)，C(5，0)，由(1)知抛物线的对称轴为x＝3，如解图①所示，设切点为E，连接CE，第7题解图①由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，∴ABBC＝OBCE，即52＋124＝1CE， ∴CE ＝426＝42626＝22613； 而点C 到对称轴x ＝3的距离为2，∵2＞22613， ∴抛物线的对称轴与⊙C 相离；（3）存在．当AC 为直角边时，有两种情况：①∠PCA ＝90°，②∠PAC ＝90°. ①当∠PCA ＝90°时，如解图②所示，点P 在x 轴上方．第7题解图②∵A (0，－5)，C (5，0)，∴△AOC 为等腰直角三角形，∠OCA ＝45°；∵PC ⊥AC ，∴∠PCO ＝45°.过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，则△PCF 为等腰直角三角形．设点P 的的坐标为(m ，－m 2＋6m －5)，则PF ＝FC ，∴－m 2＋6m －5＝5－m ，解得：m ＝2或m ＝5.当m ＝5时，点P 与点C 重合，故舍去，∴点P 坐标为(2，3)；②当∠PAC ＝90°时，如解图③所示，点P 在x 轴下方．∵A (0，－5)，C (5，0)，∴△AOC 为等腰直角三角形，∠OAC ＝45°；过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，第7题解图③∵PA⊥AC，∴∠PAF＝45°，即△PAF为等腰直角三角形．设点P的坐标为(t，－t2＋6t－5)，且AF＝PF，∴－5－(－t2＋6t－5) ＝t，解得：t＝0或t＝7，当t＝0时，点P的与点A重合，故舍去，∴点P坐标为(7，－12)．综上所述，存在点P使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，点P的坐标为(2，3)或(7，－12)．8.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F，使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．第8题图解：（1）∵点A (－2，0)与点B 关于直线x ＝1对称，∴B (4，0)，将点A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝0c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝1c ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4； （2）不存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17，理由如下：第8题解图∵B (4，0)，C (0，4)，∴BC 的解析式为y ＝－x ＋4，如解图，过点F 作x 轴垂线，交BC 于G ，设F 点的坐标为(m ，－12m 2＋m ＋4)，则G (m ，－m ＋4)， ∴FG ＝(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m ， ∴S 四边形ABFC ＝S △ABC ＋S △BCF＝12AB ·y C ＋12FG ·(x B －x C ) ＝12×6×4＋12×4(－12m 2＋2m )＝17， 整理得m 2－4m ＋5＝0，∵b 2－4ac ＝16－4×1×5＝－4<0.∴方程无解，∴F 点不存在；（3）当x ＝1时，－12x 2＋x ＋4＝92，即D (1，92)． 当x ＝1时，－x ＋4＝3，即E (1，3)，∴DE ＝92－3＝32. 设Q 点坐标为(m ，－12m 2＋m ＋4)，则P (m ，－m ＋4)． ∴|PQ |＝|(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)|＝|－12m 2＋2m |. 由PQ ∥DE ，PQ ＝DE 得|－12m 2＋2m |＝32， ∴－12m 2＋2m ＝32或－12m 2＋2m ＝－32， 解得m 1＝1(PQ 与DE 重合，舍去)，m 2＝3，m 3＝2＋7，m 4＝2－7.∴P 点坐标为(3，1)或(2＋7，2－7)或(2－7，2＋7)．9.如图，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，点M 为抛物线的对称轴上的一个动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点M 在x 轴的上方时，求四边形COAM 周长的最小值；(3)在平面坐标内是否存在点N ，使以C ，P ，M ，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图 备用图解：（1）∵直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，∴B (3，0)，C (0，3)，把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得 ⎩⎨⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；（2）∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2，∵点A 与点B (3，0)关于直线x ＝2对称，∴点A 的坐标为(1，0)，∴OC ＝3，OA ＝1，OB ＝3，∴BC ＝OC 2＋OB 2＝32，∵四边形COAM 的周长＝OA ＋OC ＋MA ＋MC ，∴当点M 为线段BC 与抛物线的对称轴的交点时，MA ＋MC 的值最小，且线段BC 的长就是MA ＋MC 的最小值，∴四边形COAM 周长的最小值＝OC ＋OA ＋BC ＝3＋1＋32＝4＋32；（3）存在，以C ，P ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，即存在以C ，P ，M 为顶点的三角形是等腰三角形，点M 的坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)． 【解法提示】∵对称轴为x ＝2，P (2，－1)，设M (2，t )，且C (0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2 ＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25，∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M (2，32)； ②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M (2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M (2，－1＋25)或(2，－1－25)．10. 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，∴⎩⎨⎧9＋3b ＋c ＝01＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；（2）令x ＝0，则y ＝3，∴C (0，3)，则直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，设点P (x ，x 2－4x ＋3)，∵PD ∥y 轴，∴点D (x ，－x ＋3)，∴PD ＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x＝－(x －32)2＋94， ∵a ＝－1<0，∴当x ＝32时，线段PD 的长度有最大值，最大值为94； （3）存在．由抛物线的对称性得，对称轴垂直平分线段AB ，∴MA ＝MB ，当M 、B 、C 不在同一条直线上时，由三角形的三边关系得，|MA －MC |＝|MB －MC |<BC ，当M 、B 、C 三点共线时，|MA －MC |＝|MB －MC |＝BC ，∴|MA －MC |≤BC ，即当点M 在BC 的延长线上时，|MA －MC |最大，最大值即为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵B (1，0)，C (0，3)，∴⎩⎨⎧k ＋b ＝0b ＝3， 解得⎩⎨⎧k ＝－3b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋3，∴当x ＝2时，y ＝－3×2＋3＝－3，∴点M (2，－3)，即抛物线对称轴上存在点M (2，－3)，使|MA －MC |最大．。

中考数学专题《与三角形、四边形相关的压轴题》2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)原卷

中考数学专题《与三角形、四边形相关的压轴题》2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)原卷

专题21 与三角形、四边形相关的压轴题解答题1．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正7x 12 0的两个根OA OB半轴上，M 为BC 的中点，OA、OB 的长分别是一元二次方程x2，4tan DAB ，动点P 从点D 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿折线DC CB 向点B 运动，到达B 点停3止．设运动时间为t 秒，△APC 的面积为S．(1)求点C 的坐标；(2)求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；(3)在点P 的运动过程中，是否存在点P，使!CMP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·贵州黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，V ABC 和V BDE 都是等边三角形，点A 在DE 上．求证：以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC ，根据已知条件，可以证明DC AE ，ADC 120，从而得出V ADC 为钝角三角形，故以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形，点A 在EG 上．①试猜想：以AE 、AG 、AC 为边的三角形的形状，并说明理由．2②若AE2AG 10 ，试求出正方形ABCD 的面积．3．（2022·海南）如图 1，矩形ABCD 中，AB 6, AD 8，点P 在边BC 上，且不与点B、C 重合，直线AP 与DC 的延长线交于点E．(1)当点P 是BC 的中点时，求证：△ABP≌△ECP ；V，点B落在矩形ABCD 的内部，延长PB交直线AD 于点F．(2)将△APB 沿直线AP 折叠得到APB①证明F A FP ，并求出在（1）条件下AF 的值；②连接B C ，求△PCB周长的最小值；③如图 2，BB 交AE 于点H，点G 是AE 的中点，当EAB 2AEB 时，请判断AB 与H G的数量关系，并说明理由．4．（2022·吉林）如图，在V ABC 中，ACB 90， A 30， AB 6cm ．动点 P 从点 A 出发，以 2cm/ s 的速度沿边 AB 向终点 B 匀速运动．以 P A 为一边作A P Q 120 ，另一边 PQ 与折线 AC CB 相交于点 ，以Q PQ 为边作菱形 PQMN ，点 N 在线段 PB 上．设点 P 的运动时间为 x (s) ，菱形 PQMN 与V ABC 重叠部分图形y (cm ) ．(1)当点Q 在边 AC 上时， PQ 的长为cm ；（用含 x 的代数式表示） 的面积为 2 (2)当点 M 落在边 BC 上时，求 的值；(3)求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围．x y x x 5．（2022·黑龙江牡丹江）在菱形 ABCD 和正三角形 BGF 中，ABC 60 ， P 是 DF 的中点，连接 PG 、 PC ．(1)如图 1，当点G 在 BC 边上时，写出 PG 与 PC 的数量关系 ．（不必证明）(2)如图 2，当点 F 在 AB 的延长线上时，线段 PC 、 PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；(3)如图 3，当点 F 在CB 的延长线上时，线段 PC 、 PG 又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证 明）．6．（2022·内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，AEF 90，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证AE EF ．（提示：取AB 的中点G ，连接EG ．）(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；(2)如图 1，若点E 是BC 边上任意一点（不与B 、C 重合），其他条件不变．求证：AE EF ；BE(3)在（2）的条件下，连接AC ，过点E 作EP AC，垂足为P ．设kBC，当k 为何值时，四边形ECFP 是平行四边形，并给予证明．△△7．（2022·福建）已知ABC ≌DEC ，AB＝AC，AB＞BC．(1)如图 1，CB 平分∠ACD，求证：四边形ABDC 是菱形；(2)如图 2，将（1）中的△CDE 绕点C 逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE 的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE 与∠EFC 之间的数量关系，并证明；(3)如图 3，将（1）中的△CDE 绕点C 顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若BAD BCD ，求∠ADB 的度数．8．（2022·湖南衡阳）如图，在菱形ABCD 中，AB 4 ，BAD 60，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒 1PQ AB个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作于点，作Q PM AD交直线AB于点，交直线BCM于点F ，设V PQM 与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动时间为t （秒）．(1)当点M 与点B 重合时，求t 的值；(2)当t 为何值时，APQ 与BMF 全等；(3)求S 与的函数关系式；V V t(4)以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE ，当 2 t 4时，求点E 运动路径的长．39．（2022·浙江金华）如图，在菱形ABCD 中，AB 10,sin B，点E 从点B 出发沿折线B C D 向终点D5运动．过点E 作点E 所在的边（BC 或CD ）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF 的右侧作矩形EFGH ．(1)如图 1，点G 在AC 上．求证：F A FG ．(2)若EF FG ，当EF 过AC 中点时，求AG 的长．(3)已知FG 8 ，设点E 的运动路程为s．当s 满足什么条件时，以G，C，H 为顶点的三角形与BEF 相似V（包括全等）？10．（2022·四川南充）如图，在矩形 ABCD 中，点 O 是 AB 的中点，点 M 是射线 DC 上动点，点 P 在线段 AM1 上（不与点 A 重合），OP AB ．(1)判断△ABP 的形状，并说明理由．(2)当点 M 为边 D C 中点时，连接CP CPQ 90 ，当 时， 28 Q AB 5, AD 4,DQ 在边 AD 上，并延长交 AD 于点 N ．求证： PN AN ．(3) 点 5 求 DM 的长．11．（2022·湖北武汉）已知CD 是V ABC 的角平分线，点 E ，F 分别在边 AC ， BC 上，AD m ， BD n ， V ADE 与V BDF 的面积之和为 S ．(1)填空：当ACB 90， DE AC ， DF BC时， n n S _____________； S _____________；①如图 1，若 B 45 ， m 5 2 ，则 _____________， ②如图 2，若 B 60 ， m 4 3 ，则 _____________， (2)如图 3，当 ACB EDF 90 时，探究 S 与 m 、n 的数量关系，并说明理由： (3)如图 4，当 ACB 60 ， EDF 120 n 4时，请直接写出 S 的大小．， m 6 ，12．（2022·山东临沂）已知V ABC 是等边三角形，点B，D 关于直线AC 对称，连接AD，CD．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)在线段AC 上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD 绕点Р 逆DPQ 时针旋转，使点D 落在BA 延长线上的点Q 处．请探究：当点Р 在线段AC 上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ 与CP 之间的数量关系，并加以证明．13．（2022·江西）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角PEF90 , FP 60的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板O O PEF板与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为 2）．(1)操作发现：如图 1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，重叠部分的面积为__________；当OF 与BC 垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在S 1S的关系为__________；旋转过程中，重叠部分的面积与(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处，在旋转过程中，OE,OP 分别与正方形的边相交于点M，N．①如图 2，当BM CN 时，试判断重叠部分V OMN的形状，并说明理由；②如图 3，当CM CN 时，求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处，该锐角记为GOH （设GOH ），将GOH绕点O 逆时针旋转，在旋转过程中，GOH ABCD 的边所围成的图形的面积为S2 ，的两边与正方形请直接写出S2 的最小值与最大值（分别用含的式子表示），6 2 6 2（参考数据：sin15,cos15, tan15 2 3 ）4414．（2022·贵州贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．AD如图，在□ABCD 中，AN 为BC 边上的高，m ，点M 在AD 边上，且BA BM ，点E 是线段AM 上AN任意一点，连接BE ，将△ABE 沿BE 翻折得V FBE ．AMAN (1)问题解决：如图①，当BAD 60，将△ABE 沿BE 翻折后，使点F 与点M 重合，则BE 翻折后，使EF ∥BM ，求ABE______；(2)问题探究：如图②，当BAD 45 ，将△ABE 沿的度数，并求出此m的最小值；(3)拓展延伸：当BAD 30，将△ABE 沿BE 翻折后，若EF AD ，且AE MD ，根据题时m意在备用图中画出图形，并求出的值．15．（2022·吉林长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4 纸，如图①，矩形ABCD 为它的示意图．他查找了A4 纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD 2AB ．他先将A4 纸沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上，点B 的对应点为点E，折痕为AF ；再沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上，点C 的对应点为点H，折痕为FG ；然后连结AG ，沿AG 所在的直线再次折叠，发现点D 与点F 重合，进而猜想△ADG≌△AFG ．【问题解决】(1)小亮对上面△ADG≌△AFG 的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD 是矩形，∴BAD B C D 90．12由折叠可知，BAF B AD 45 ，BF A EF A．∴EF A BFA 45 ．∴AF 2AB AD ．请你补全余下的证明过程．FG【结论应用】(2) DAG 的度数为________度，的值为_________；AF1(3)在图①的条件下，点P 在线段AF 上，且AP AB ，点Q 在线段AG 上，连结FQ 、PQ ，如图②，设2FQ PQAB =a ，则的最小值为_________．（用含a 的代数式表示）16．（2022·广东深圳）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，将△AEB 沿BE 翻折到V BEF 处，延长EF 交CD 边于G 点．求证：△BFG≌△BCGAD 8, AB 6,（2）【类比迁移】如图②，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，且将△AEB 沿BE 翻折到V BEF 处，延长EF 交BC 边于点G, 延长BF 交CD 边于点H,且FH CH, 求AE 的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形ABCD 中，E为CD 边上的三等分点， D 60,将V ADE 沿AE 翻折得到BC 于点P, 求CP 的长．△AFE ，直线EF 交17．（2022·黑龙江）V ABC 和V ADE 都是等边三角形．(1)将V ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD，CE 并延长相交于点P（点P 与点A 重合），有P A PB PC （或P A PC PB ）成立；请证明．(2)将ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD，CE 相交于点PV，连接 P A ，猜想线段 P A 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将V ADE 绕点 A 旋转到图③的 位置时，连接 BD ，CE 相交于点 P ，连接 P A ，猜想线段 P A 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结 论，不需要证明．18．（2022·辽宁锦州）在V ABC 中， AC BC ，点 D 在线段 AB 上，连接CD 并延长至点 E ，使 DE CD ，过点 E 作 EF AB ，交直线 AB 于点 F ．(1)如图 1，若 ACB 120 ，请用等式表示 AC 与 EF 的数量关系：____________．(2)如图 2．若ACB 90，完成以下问题：①当点 D ，点 F 位于点 A 的异侧时，请用等式表示 AC , AD ,DF 之间的数量关系，并说明理由； ②当点 D ，点 F 位于点 A 的同侧时，若 DF 1, AD 3，请直接写出 AC 的长． 19．（2022·广西）已知 MON ，点 A ，B 分别在射线OM ,ON 上运动， AB 6．(1)如图①，若 90，取 AB 中点 D ，点 A ，B 运动时，点 D 也随之运动，点 A ，B ，D 的对应点分别为 A , B , D OD ,OD OD 与OD 60，以 AB，连接 ．判断 有什么数量关系 证明你的结论：(2)如图②，若 ? 45，当点 A ，B 运 为斜边在其右侧作等腰直角三角形 ABC ，求点 O 与点 C 的最大距离：(3)如图③，若 动到什么位置时，V AOB 的面积最大?请说明理由，并求出V AOB 面积的最大值．20．（2022·湖北十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD ， B D180，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若BAD 2EAF ，则EF BE DF ．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知CD CB 100m ，D 60ABC 120BCD 150M N DM 100m，，，道路AD ，AB 上分别有景点，，且，M A N的长少_________ BN 50 3 1 m，若在M，N M N之间修一条直路，则路线的长比路线m （结果取整数，参考数据： 3 1.7 ）．21．（2022·陕西）问题提出(1)如图 1，AD 是等边V ABC 的中线，点P 在AD 的延长线上，且AP AC ，则APC的度数为__________．问题探究(2)如图 2，在V ABC 中，CA C B 6, C 120．过点 l BC ，分别交 AB 、BC 于点 O 、E ，求四边形OECA 的面积．A 作 ，且 AP BC，过点 P 作直线 AP ∥BC 问题解决(3)如图 3，现有一块V ABC 型板材，ACB 为钝角， BAC 45 ．工人师傅想用这块板材裁出一个 BAP 15, AP AC △ABP 型部件，并要求 ．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点 C 为圆心，以CA 长为半径画弧，交 AB 于点 D ，连接CD ；②作CD 的垂直平分线 l ，与CD 于点 E ；③以点 A 为圆心，以 AC 长为半径画弧，交直线 l 于点 P ，连接 AP 、BP ，得△ABP ． 请问，若按上述作法，裁得的△ABP 型部件是否符合要求？请证明你的结论．。

中考数学压轴题--有关圆的压轴题汇编含答案Word版

中考数学压轴题--有关圆的压轴题汇编含答案Word版

2020中考数学押题--有关圆的压轴题汇编含答案（53页）1.如图，在M e 中，»AB 所对的圆心角为120o ，已知圆的半径为2cm ，并建立如图所示的直角坐标系． （1）求圆心M 的坐标； （2）求经过A B C ，，三点的抛物线的解析式；（3）点D 是弦AB 所对的优弧上一动点，求四边形ACBD 的最大面积； （4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P ，使PAB△和ABC △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] （1）如图（1），连结MA MB ，． 则120AMB ∠=o 60CMB ∴∠=o ，30OBM ∠=o ．112OM MB ∴==，(01)M ∴，． （2）由A B C ，，三点的特殊性与对称性， 知经过A B C ，，三点的抛物线的解析式为2y ax c =+．1OC MC MO =-=Q ，223OB MB OM =-=，(01)(30)C B ∴-，，，．113c a ∴=-=，2113y x ∴=-．（3）ABC ABD ACBD S S S =+Q △△四边形，又ABC S △与AB 均为定值，∴当ABD △边AB 上的高最大时，ABD S △最大，此时点D 为M e 与y 轴的交点，如图1．211143cm 222ABC ABD ACBD S S S AB OC AB OD AB CD ∴=+=+==△△四边形···． （4）方法1：如图2，ABC Q △为等腰三角形，303ABABC BC∠==o ，，ABC PAB ∴△∽△等价于302336PAB PB AB PA PB ∠=====o ，，．设()P x y ，且0x >，则cos3033323x PAAO =-=-=o ·，sin 303y PA ==o ·． 又(233)P Q ，的坐标满足2113y x =-，∴在抛物线2113y x =-上，存在点(233)P ，，使ABC PAB △∽△． y xAM O BCy xB C A MP 图2O yxAM OBCD图1由抛物线的对称性，知点(233)-，也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，． 方法2：如图（3），当ABC PAB △∽△时，30PAB BAC ∠=∠=o ，又由（1）知30MAB ∠=o ，∴点P 在直线AM 上．设直线AM 的解析式为y kx b =+，将(30)(01)A M -，，，代入，解得31.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AM 的解析式为31y x =+． 解方程组231113y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得(233)P ，． 又tan 3233PBx ∠==-Q ，60PBx ∴∠=o ．30P ∴∠=o ，ABC PAB ∴△∽△．∴在抛物线2113y x =-上，存在点(233)P ，，使ABC PAB △∽△． 由抛物线的对称性，知点(233)-，也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，． 方法3：如图3，ABC Q △为等腰三角形，且3ABBC=，设()P x y ，则 图3 ABC PAB △∽△等价于23PB AB ==，36PA AB ==．当0x >时，得2222(3)23(3) 6.x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，解得(233)P ，． 又Q (233)P ，的坐标满足2113y x =-，∴在抛物线2113y x =-上，存在点(233)P ，，使ABC PAB △∽△． 由抛物线的对称性，知点(233)-，也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，． [点评]本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第4小问中涉及了相似三角形的问题，很有可能会有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。

二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

专题20 与圆相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编(第2期)试题及答案

专题20 与圆相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编(第2期)试题及答案

专题20 与圆相关的压轴题解答题1．（2022·湖北宜昌）已知，在ABC 中，90ACB ∠=︒，6BC =，以BC 为直径的O 与AB 交于点H ，将ABC 沿射线AC 平移得到DEF ，连接BE ．(1)如图1，DE 与O 相切于点G ．①求证：BE EG =；②求BE CD ⋅的值；(2)如图2，延长HO 与O 交于点K ，将DEF 沿DE 折叠，点F 的对称点'F 恰好落在射线BK 上．①求证：'HK EF ∥；②若'3KF =，求AC 的长．2．（2022·贵州遵义）与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC 同侧有两点B ，D ，连接AD ，AB ，BC ，CD ，如果B D ∠=∠，那么A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A ，C ，D 的O ，在劣弧AC 上取一点E （不与A ，C 重合），连接AE ，CE 则180AEC D ∠+∠=︒（依据1）B D ∠=∠ 180AEC B ∴∠+∠=︒∴点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B ，D 在点A ，C ，E 所确定的O 上（依据2）∴点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形ABCD 中，12∠=∠，345∠=︒，则4∠的度数为__________．(3)展探究：如图4，已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，点D 在BC 上（不与BC 的中点重合），连接AD ．作点C 关于AD 的对称点E ，连接EB 并延长交AD 的延长线于F ，连接AE ，DE ．①求证：A ，D ，B ，E 四点共圆；②若AB =AD AF ⋅的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．3．（2022·黑龙江哈尔滨）已知CH 是O 的直径，点A ，点B 是O 上的两个点，连接,OA OB ，点D ，点E 分别是半径,OA OB 的中点，连接,,CD CE BH ，且2AOC CHB ∠=∠．(1)如图1，求证：ODC OEC ∠=∠；(2)如图2，延长CE 交BH 于点F ，若CD OA ⊥，求证：FC FH =；(3)如图3，在（2）的条件下，点G 是BH 上一点，连接,,,AG BG HG OF ，若:5:3AG BG =，2HG =，求OF 的长．4．（2022·黑龙江绥化）如图所示，在O 的内接AMN 中，90MAN ∠=︒，2AM AN =，作AB MN ⊥于点P ，交O 于另一点B ，C 是AM 上的一个动点（不与A ，M 重合），射线MC 交线段BA 的延长线于点D ，分别连接AC 和BC ，BC 交MN 于点E ．(1)求证：CMA CBD △∽△．(2)若10MN =，MC NC =，求BC 的长．(3)在点C 运动过程中，当3tan 4MDB ∠=时，求ME NE的值．5．（2022·黑龙江大庆）如图，已知BC 是ABC 外接圆O 的直径，16BC =．点D 为O 外的一点，ACD B ∠=∠．点E 为AC 中点，弦FG 过点E ．2EF EG =．连接OE ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：()()OC OE OC OE EG EF +-=⋅；(3)当FG BC 时，求弦FG 的长．6．（2022·湖南长沙）如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC ，BD 相交于点E ，点F 在边AD 上，连接EF ．(1)求证：ABE DCE ∽△△；(2)当2DC CB DFE CDB =∠=∠，时，则AE DE BE CE -=___________；AF FE AB AD +=___________；111AB AD AF+-=___________．（直接将结果填写在相应的横线上）(3)①记四边形ABCD ，ABE CDE ，△△的面积依次为12,,S S S =断，ABE CDE ，△△的形状，并说明理由．②当DC CB =，AB m AD n CD p ===，，时，试用含m ，n ，p 的式子表示AE CE ⋅．7．（2022·湖南娄底）如图，已知BD 是Rt ABC 的角平分线，点O 是斜边AB 上的动点，以点O 为圆心，OB 长为半径的O 经过点D ，与OA 相交于点E ．(1)判定AC 与O 的位置关系，为什么？(2)若3BC =，32CD =，①求sin DBC ∠、sin ABC ∠的值；②试用sin DBC ∠和cos DBC ∠表示sin ABC ∠，猜测sin 2α与sin α，cos α的关系，并用30α=︒给予验证．8．（2022·四川凉山）如图，已知半径为5的⊙M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分∠OAM ，AO ＋CO ＝6。

2021年中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练二：与角的度量有关的压轴题(附答案

2021年中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练二：与角的度量有关的压轴题(附答案

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练二:与角的度量关系相关的压轴题(附答案)方法提炼:1.将角的度量关系转化为边的数量,利用边的数量关系求解问题的答案｡2.利用角的度量关系,寻找问题中的特殊角,结合三角函数求解｡3.利用角的度量关系,构建图形的全等､相似,利用图形的全等､相似的性质求解典例引领:例:如图,抛物线y=ax2+3x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=4.(1)求该抛物线的函数解析式.(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S:S△CDF=4:3时,求点D的坐标.△COF(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣2),点P是抛物线上的点,连接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在点P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.14.解:(1)∵OB=OC=4,∴B(4,0),C(0,4),把B(4,0),C(0,4)代入y=ax2+3x+c,得,解得∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+3x+4;(2)如图1,设直线BC解析式为y=kx+b,则,解得∴直线BC解析式为y=﹣x+4,令点D､F的横坐标分别为x D,x F,∵S△COF:S△CDF=4:3,∴S△COF=S△COD,即OC•x F=×OC•x D,∴x D=x F,设点D横坐标为7t,点F横坐标为4t,∵点F在直线BC上,∴F(4t,4﹣4t),设直线OF解析式为y=k′x,则4﹣4t=4tk′,∴k′==,∴直线OF解析式为y=x,∵点D在直线OF上,∴D(7t,7﹣7t),将D(7t,7﹣7t)代入y=﹣x2+3x+4中,得7﹣7t=﹣(7t)2+3×7t+4,解得:t1=,t2=,∴D的坐标为(1,6)或(3,4);(3)①当∠PEB=2∠OBE,且点P在x轴上方时,如图2,作BE的垂直平分线交OB于F,连接EF,在∠BEO内部作射线EP交x轴于G,交抛物线于P,使∠PEB=∠EFO,过点G作GH⊥BE于H,则BF=EF,设BF=EF=m,∴OF=OB﹣BF=4﹣m在Rt△OEF中,∠EOF=90°,∵OE2+OF2=EF2∴22+(4﹣m)2=m2,解得:m=,∴BF=EF=,OF=4﹣=,∴tan∠OBE===,tan∠OFE===,∵BF=EF∴∠BEF=∠OBE∵∠OFE=∠BEF+∠OBE∴∠OFE=2∠OBE∵∠PEB=2∠OBE∴∠PEB=∠OFE∴tan∠PEB==tan∠OFE=,设GH=4a,则EH=3a,∴BE===2,BH=2﹣3a∵=tan∠∠OBE=,∴=,解得:a=,∴GH=,BH=∴BG==∴OG=OB﹣BG=4﹣=∴G(,0),设直线EG解析式为y=k″x+b″,则,解得∴直线EG解析式为y=x﹣2,联立方程组,解得:(舍去),,∴P(,),②当∠PEB=2∠OBE,且点P在x轴下方时,如图3,过点E作EF⊥y轴,作点B关于直线EF 的对称点G,连接BG交EF于F,射线EG交抛物线于点P,∵E(0,﹣2),∴直线EF为:y=﹣2∵B(4,0),∴G(4,﹣4)∴直线EG解析式为y=﹣x﹣2,解方程组,得,(不符合题意,舍去),∴P(,);③当∠PBE=2∠OBE,且点P在x轴上方时,如图4,在y轴正半轴上截取OF=OE=2,作射线BF交抛物线于P,在△BOE和△BOF中,∴△BOE≌△BOF(SAS)∴∠PBO=∠OBE∴∠PBE=2∠OBE易求得直线PF解析式为y=﹣x+2,联立方程组,解得(不符合题意,舍去),,∴P(﹣,);④当∠PBE=2∠OBE,且点P在x轴下方时,如图5,过点E作EF⊥BE交直线BP于F,过F 作FG⊥y轴于G,由①知:tan∠PBE==,BE=2∴EF=∵∠EGF=∠BOE=∠BEF=90°∴∠BEO+∠FEG=∠BEO+OBE=90°∴∠FEG=∠OBE∴△EFG∽△BEO∴==,即==∴FG=,EG=∴OG=OE+EG=2+=∴F(,﹣)易求得直线BF解析式为y=x﹣22,联立方程组,解得(舍去),∴∴P(﹣,﹣);综上所述,符合条件的点P的坐标为:(,)､(,)､(﹣,)､(﹣,﹣).跟踪训练:1.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一点,且位于第一象限,当△ABP的面积为3时,求出点P的坐标;(3)过B作BC⊥OA于C,连接OB,点G是抛物线上一点,当∠BAG+∠OBC=∠BAO时,请直接写出此时点G的坐标.2.如图,抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A(﹣5,0),B(1,0),顶点为D,与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式及D点坐标;(2)在直线AC上方的抛物线上是否存在点E,使得∠ECA=2∠CAB,如果存在这样的点E,求出△ACE面积,如果不存在,请说明理由.3.如图1,抛物线y=﹣+bx+c经过原点(0,0),A(12,0)两点.(1)求b的值;(2)如图2,点P是第一象限内抛物线y=﹣+bx+c上一点,连接PO,若tan∠POA=,求点P的坐标;(3)如图3,在(2)的条件下,过点P的直线y=﹣x+m与x轴交于点F,作CF=OF,连接OC交抛物线于点Q,点B在线段OF上,连接CP､CB､PB,PB交CF于点E,若∠PBA=2∠PCB,∠BEF=2∠BCF,求点Q的坐标.4.如图,抛物线y=﹣+bx+c交x轴于点A､B(A在B左侧),交y轴于点C,直线y=﹣x+6经过点B､C.(1)求抛物线解析式;(2)点P为第一象限抛物线上一点,连接P A交BC于点D,设点P的横坐标为t,的值为d,求d与t的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)在(2)的条件下,点E为线段OB上一点,连接CE,过点O作CE的垂线交BC于点G,连接PG并延长交OB于点F,若∠OGC=∠BGF,F为BE中点,求t的值.5.抛物线y=ax2+c经过点(0,﹣1),交x轴于A(﹣1,0),B两点,点P是第一象限内抛物线上一动点.(1)直接写出抛物线的解析式;(2)如图1已知直线l的解析式为y=x﹣2,过点P作直线l的垂线,垂足为H,当PH=时,求点P的坐标;(3)如图2,当∠APB=45°时,求点P的坐标.6.已知抛物线y=x2﹣mx﹣m﹣1与x轴交于A､B两点,点A在点B的左边,与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求点A､B的坐标;(2)点D是抛物线上一点,且∠ACO+∠BCD=45°,求点D的坐标;(3)将抛物线向上平移m个单位,交线段BC于点M,N,若∠MON=45°,求m的值.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(﹣1,0),D(﹣3,0),C(﹣4,3),四边形ABCD是平行四边形.现将▱ABCD沿x轴方向平移n个单位,得到▱A1B1C1D1,抛物线M经过点A1,C1,D1.(1)若抛物线M的对称轴为直线x=4,求抛物线M的解析式;(2)抛物线M的顶点为E,若以A,E,C1为顶点的三角形的面积等于▱ABCD的面积的一半,求n的值;(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点P,使得∠C1P A=∠C1EA?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A､B,交y轴于点C,A､B两点横坐标为﹣1和3,C点纵坐标为﹣4.(1)求抛物线的解析式;(2)动点D在第四象限且在抛物线上,当△BCD面积最大时,求D点坐标,并求△BCD面积的最大值;(3)抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得∠QBC=45°,如果存在,求出点Q的坐标,不存在说明理由.9.抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A､B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.直线y=﹣2x+6经过B､C两点,连接AC.(1)求抛物线的解析式:(2)点P是第一象限抛物线上一点,P点横坐标为t,连接PC､PB,设△PBC的面积为S,求S与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围):(3)在(2)问的条件下,当S=3且t<2时,连接PB,在抛物线上是否存在一点Q,使∠PBQ=∠ACB?若存在求出Q点坐标,若不存在,说明理由.10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A､B两点,与y轴交于C点,B点与C点是直线y=x﹣3与x轴､y轴的交点.D为线段AB上一点.(1)求抛物线的解析式及A点坐标.(2)若点D在线段OB上,过D点作x轴的垂线与抛物线交于点E,求出点E到直线BC的距离的最大值.(3)D为线段AB上一点,连接CD,作点B关于CD的对称点B′,连接AB′､B′D①当点B′落坐标轴上时,求点D的坐标.②在点D的运动过程中,△AB′D的内角能否等于45°,若能,求此时点B′的坐标;若不能,请说明理由.11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c交x轴于点A､点B,交y轴于点C.直线y=﹣x+2经过于点C､点B,(1)求抛物线的解析式;(2)点D为第一象限抛物线上一动点,过点D作y轴的平行线交线段BC于点E,交x轴于点Q,当DE=5EQ时,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,点M为第二象限抛物线上一动点,连接DM,DM交线段OC于点H,点F在线段OB上,连接HF､DF､DC､DB,当HF=,∠CDB=2∠MDF时,求点M的坐标.12.已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣1,0)､B两点,与y轴交于点C,且过点P(5,12).(1)求抛物线的解析式.(2)如图,点Q为线段CP上一动点,过点Q作QF⊥x轴于点F,交抛物线于点D,连接CD,PD,若S△QDC:S△QDP=2:3,求直线PD的解析式.(3)过点B的直线交抛物线于M,是否存在点M使∠ABM=∠PCO,若存在,求出点M的坐标.若不存在,说明理由.13.如图1,抛物线C1:y=x2+(m﹣2)x﹣2m(m>0)与x轴交于点A､B(A在B的左侧),与y轴交于点C,连接AC､BC,S△ABC=3.(1)求m的值;(2)如图2,将射线BC绕点B顺时针方向旋转交抛物线C1第二象限的图象于点D,连接DC.当x轴恰好三等分△DBC的面积时,求此时点D的横坐标;(3)将抛物线C1向右平移,使新抛物线C2经过原点,如图3,C2的对称轴l交抛物线C2于E,交直线y=4于F,直线y=4交C2于点G､H(G在H的左侧),点M､N分别从点G､H同时出发,以1个单位长度/秒向点F运动.设点M运动时间为t(秒),点M､N到达F时,运动停止,点W在l上,WF=,连MW､NE.当∠MWF=3∠FEN时,求t的值.参考答案1.解:(1)将点A､B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=﹣1,b=4,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x…①;(2)过点P作直线m交x轴于点M,过点P作PH⊥AB于点H,过点A作AN⊥直线m,在AB下方作直线n距离直线AB的长度为PH,△ABP的面积S=AB×PH=×3×PH=3,解得:PH==AN,直线AB的倾斜角为45°,故直线m､n所在直线的k值为:﹣1,则AM=AH=2,故点M(6,0),则直线m的表达式为:y=﹣x+6…②,同理直线n的表达式为:y=﹣x+2…③,联立②①并解得:x=2或3,联立③①并解得:x=(舍去);综上,点P的坐标为:(3,3)或(2,4)或(,);(3)∵BC=AC=3,故∠BAO=45°=∠BAG+∠OBC,①当点G在AB上方时,如图2(左侧图),设抛物线对称轴交x轴于点M,连接BM,OC=OM=1,故∠CBM=∠OBC,则∠CAB=45°=∠CBM+∠MBA=∠OBC+∠ABM,而45°=∠BAG+∠OBC,故∠ABM=∠GAB,则AG∥BM,直线BM表达式中的k值为:3,故直线AG的表达式为:y=﹣3x+b,将点A的坐标代入上式并解得:直线AG的表达式为:y=﹣3x+12…④;联立①④并解得:x=3或4(舍去4);②当点G在AB下方时,如图2(右侧图),∠BAG+∠OBC=∠BAO=45°,而∠BAG+∠GAC=45°,∴∠OBC=∠GAC,而tan∠OBC===tan∠GAC,则直线AG的表达式为:y=﹣x+b′,将点A坐标代入上式并解得:直线AG的表达式为:y=﹣x2+…⑤,联立⑤①并解得:x=或4(舍去4).综上,点P的坐标为:(3,3)或(,).2.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A(﹣5,0),B(1,0),∴,∴∴抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+,∴顶点D(﹣2,)(2)如图,过点C作CM∥AB,过点E作EF⊥CM,设点E(m,﹣m2﹣2m+)∵y=﹣x2﹣2x+交y轴交于点C,∴点C(0,),∴OC=,∵CM∥AB,∴∠MCA=∠CAB,∵∠ECA=2∠CAB=∠ECF+∠MCA,∴∠ECF=∠CAB,且∠AOC=∠EFC=90°,∴△CEF∽△ACO,∴,∴=∴m=0(不合题意),m=﹣3,∴点E(﹣3,4),∴S△AEC=×(+4)×3+×4×2﹣×5×=.3.解:(1)∵抛物线y=﹣+bx+c经过原点(0,0),A(12,0)两点.∴c=0,0=﹣×144+12b+c∴b=;(2)如图2,过点P作PE⊥OA于点E,∵c=0,b=,∴抛物线解析式为:y=﹣+x∵点P是第一象限内抛物线y=﹣+x上一点,∴设点P(m,﹣m2+m),(m>0)∵tan∠POA==,∴=,∴m=8,∴点P(8,4);(3)连接OP,∵直线y=﹣x+m过点P(8,4),∴m=,∴直线解析式为y=﹣x+,当y=0,x=,∴点F(,0),∵∠BEF=∠BCF+∠PBC,且∠BEF=2∠BCF,∴∠PBC=∠BCF,∵∠PBA=2∠PCB,∠BEF=2∠BCF,∴∠EFB=180°﹣2∠PCB﹣2∠PBC,∵OF=CF,∴∠COF=∠PCB+∠PBC=∠OCF,∵∠CPB=180°﹣∠BCP﹣∠PBC,∴∠CPB+∠COF=180°,∴点O,点B,点P,点C四点共圆,∴∠PBA=∠OCP,∠OCB=∠OPB,∠BCP=∠BOP,∵∠PBA=2∠PCB,∠PBA=∠OCP=∠OCB+∠BCP,∴∠OCB=∠BCP,∴∠BPO=∠POB,∴OB=PB,设点B(a,0)∴OB=BP=a,∴a=∴a=7∴点B(7,0)设过点O,点B,点P,点C四点的圆的圆心M(,y),∵MO=MP,∴()2+y2=(8﹣)2+(4﹣y)2,∴y=,∴M(,),设点C(a,n)∵MO=MC,OF=CF,∴(a﹣)2+(b﹣)2=()2+()2 ①,(a﹣)2+b2=()2 ②,∴由①②组成方程组可求b=a,设直线OC解析式为:y=kx,且过点C(a,b)∴b=ka,∴k=∴直线OC解析式为:y=x,∴x=﹣+x∴x1=0(不合题意舍去),x2=4,∴点Q(4,4)4.解:(1)直线y=﹣x+6经过点B､C,则点B､C的坐标分别为:(6,0)､(0,6),则c=6,将点A的坐标代入抛物线表达式并解得:b=2,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+6…①;(2)点P(t,﹣t2+2t+6),将点P､A的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线AP的表达式为:y=﹣(t﹣6)x+(6﹣t),将上式与直线BC的表达式联立并解得:x=,故点D(,+6),则=,则d==﹣1=﹣t2+t(0<t<6);(3)设OE=a,则点E(a,0),设OG交CE于点H,∵∠ECO+∠COH=90°,∠COH+∠HOE=90°,∴∠HOE=∠OCH, tan∠OCH===tan∠HOE,则直线OH的表达式为:y=x…②,联立①②并解得:x=,故点G(,),则BG==,则CG=BC﹣BG=,∵OB=OC=6,故∠OCB=∠OBC=45°,而∠OGC=∠BGF,则△CGO∽△BGF,即:,即:,解得:BF=a,F为BE中点,则OE=EF=FB,故a=2,故点F(4,0),点G(,);将点F､G的坐标代入一次函数表达式并解得:直线FG的表达式为:y=3x﹣12…③,联立①③并解得:x=﹣1(舍去负值),故t=﹣1+.5.解:(1)∵抛物线y=ax2+c经过点(0,﹣1),A(﹣1,0),∴,∴,∴抛物线的解析式的解析式为y=x2﹣1;(2)过点P作y轴的平行线交直线l于点M,∵直线l的解析式为y=x﹣2,∴直线与y轴的夹角为45°,∴∠PMH=45°,∵PH⊥MH,PH=,∴PM=7,设P(a,a2﹣1),则M(a,a﹣2),∴PM=a2﹣1﹣a+2=7,∴a1=3,a2=﹣2(舍去),∴P(3,8);(3)如图2,在y轴上取点D(0,1),则△ABD为等腰直角三角形,∵AO=BO=1,∠ADB=90°,∴=,以点D为圆心､AD长为半径画圆,则点P在优弧AB上时总有∠APB=45°,连结PD,设P点坐标为(m,m2﹣1),∴PD==,∴m2+(m2﹣2)2=2,解得:,(舍去),m3=1(舍去),m4=﹣1(舍去),∴P(,1).6.解:(1)﹣m﹣1=﹣3,解得:m=2,故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3…①,令y=0,解得:x=3或﹣1,故点A､B的坐标分别为:(﹣1,0)､(3,0);(2)①当点D在BC下方时,∵∠ACO+∠BCD=45°,则AC⊥CD,则直线CD的表达式为:y=x﹣3…②,联立①②并解得:x=0或,故点D(,﹣);②当点D(D′)在BC上方时,过点D作DE⊥BC交BC于点H,交CD′于点E,直线BC的表达式为:y=x﹣3…③则ED的表达式为:y=﹣x+…④,联立③④并解得:x=,故点H(,﹣),点E的坐标为:(,﹣),则直线CE的表达式为:y=3x﹣3…⑤,联立①⑤并解得:x=0或5(舍去0),故点D(D′)的坐标为:(5,12),综上,点D的坐标为:(,﹣)或(5,12);(3)如图2,抛物线平移后的图象为虚线部分,则抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3+m(m>0),设点M､N的坐标分别为:(x1,y1)､(x2､y2),则x1+x2=3,x1x2=m,x2=,∵∠MON=45°=∠OCM,∠ONM=∠ONM,∴△NOM∽△NCO,∴NO2=MN•CN,而NO2=(x22+y22),MN=(x2﹣x1),CN=x22,即(x22+y22)=2x2(x2﹣x1),即2x1x2=x22﹣y22,而y2=x2﹣3,故=+m,解得:m=(﹣1+)(不合题意的值已舍去).7.解:(1)四边形ABCD是平行四边形,则点B的坐标为:(﹣2,3),即点B在AD的中垂线上,过点A､D的二次函数表达式为:y=a(x+1)(x+3)=a(x2+4x+3),将点C的坐标代入上式并解得:a=1,则过A､C､D的抛物线为:y=x2+4x+3=(x+2)2﹣1,抛物线M的对称轴为直线x=4,相当于将上述抛物线向右平移了6个单位,故抛物线M的表达式为:y=(x﹣4)2﹣1;(2)将▱ABCD沿x轴方向平移n个单位,则点C1､E的坐标分别为:(n﹣4,3)､(n﹣2,﹣1),点A(﹣1,0),连接C1E交x轴于点M,将点C1､E的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线C1､E的表达式为:y=﹣2x+(2n﹣5),则点M的坐标为:(,0),S△AEC1=×AM×(y C1﹣y E)=(+1)×4=S▱ABCD=×2×3=3,解得:n=3;(3)存在,理由:由(2)知点C(﹣1,3),点A(﹣1,0),则AC⊥x轴,故点A､C1､E作圆Q,则点Q在AC1的中垂线上,设点Q(m,),则此时,∠C1P A=∠C1EA,由QC1=QE得:(m+1)2+(3﹣)2=(m﹣1)2+(1+)2,解得:m=1,则点Q(1,),设点P(0,t),由QP=QE得:1+(﹣t)2=()2,解得:t=,故点P的坐标为:(0,).8.解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),故﹣3a=﹣4,解得:a=,故抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣4;(2)过点D作y轴的平行线交BC于点N,由B､C的坐标可得直线BC的表达式为:y=x﹣4,设点D(x,x2﹣x﹣4),点N(x,x﹣4),S△BCD=×OB×ND=3×(x﹣4﹣x2+x+4)=﹣2x2+6x,∵﹣2<0,故S有最大值,此时,x=,点D(,﹣5);(3)存在,理由:直线BC的表达式为:y=x﹣4,抛物线的对称轴为:x=1,故点H(1,﹣),过点Q作QM⊥BC于点M,tan∠OCB==tanα,∠QBC=45°,设QM=3x,则HM=4x,MB=3x,BH=HM+MB=7x==,解得:x=,QH=5x=,则y Q=y H+=﹣,故点Q(1,).9.解:(1)直线y=﹣2x+6经过B､C两点,则点B､C的坐标为:(3,0),(0,6),将点B､C的坐标代入抛物线表达式并解得:b=1,c=6,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+6…①;(2)过点P作y轴的平行线交BC于点H,设点P(t,﹣t2+t+6),则点H(t,﹣2t+6),S=×PH×OB=(﹣t2+t+6+2t﹣6)=﹣t2+t(0<t<3);(3)S=3,即:﹣t2+t=3,解得:t=1或2(舍去2),故点P(1,6),而点B(0,3),则直线PB的表达式为:y=﹣x+9,则点M(0,9),tan∠BMO=,过点A作AL⊥BC于点L,S△ABC=OC×AB=×BC×AL,即3×5=×AL×3,解得:AL=,sin∠ACB==,则∠ACB=45°=∠MBQ,设BQ交y轴于点H,过点H作HN⊥MB于点N,tan∠BMO=,∠MBQ=45°,设:HN=x,则BN=x,MN=3x,MB=4x=,解得:x=,HB=x=,则OH2=BH2﹣OB2=,则点H(0,),则BH的函数表达式为:y=﹣x+…②,联立①②并解得:x=﹣(不合题意值已舍去),则点Q(﹣,).10.解:(1)∵B点与C点是直线y=x﹣3与x轴､y轴的交点.∴B(3,0),C(0,﹣3),∴,解得:,∴抛物线的解析式为,令y=0,,解得x1=﹣2,x2=3,∴A(﹣2,0),(2)设E点到直线BC的距离为d,E点横坐标为m,F(m,m﹣3),∵B(3,0),C(0,﹣3),∴∠OBC=45°,如图1,过点E作EH⊥BC于点H,则△EFH为等腰直角三角形,∴EH=,EF=y F﹣y E=m﹣3﹣(,=(0≤m≤3),=,当时,EF的最大值为,∴d=EF==.即E到BC的最大距离为.(3)①点B′在以C为圆心,CB为半径的圆C上;(Ⅰ)当B′点落在x轴上时,D1(0,0);(Ⅱ)当B′点落在y轴上时,如图2,CB′=CB=3,∵∠OB′D=45°∴OD=OB'=3﹣3,∴;②分别画出图形进行讨论求解:(Ⅰ)∠B′DA=45°时,如图2,OB′=3﹣3,B′(0,3﹣3)(Ⅱ)如图3,连接CB′,∠B′DA=∠CBD=45°,∴DB′∥BC,可得四边形DB′CB是菱形,B′(﹣3,﹣3).(Ⅲ)∠B′AD=45°,如图4,连接CB′,过点B′分别作坐标轴的垂线,垂足为E､F,设线段FB'的长为m,B′E=AE=2﹣m,可得CF=5﹣m,在直角三角形CFB'中,m2+(5﹣m)2=(3)2,解得m=,故B′(),(Ⅳ)如图5,∠AB′D=45°,连接CB',过点B′作y轴的垂线,垂足为点F,由轴对称性质可得,∠CB′D=∠CBD=45°,所以当∠AB′D=45°时,点A在线段CB′上,∴,设线段FB′的长为2m,FC=3m,(2m)2+(3m)2=(3,解得:m=,B′(﹣,综合以上可得B′坐标为(0,)或或()或(﹣).11.解:(1)针对于直线y=﹣x+2,令x=0,则y=2,∴C(0,2),令y=0,则0=﹣x+2,∴x=4,∴B(4,0),将点B,C坐标代入抛物线y=ax2+x+c中,得∴,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2;(2)如图1,由(1)知,抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2,设点D坐标为(m,﹣m2+m+2),∵DE⊥x轴交BC于E,直线BC的解析式为y=﹣x+2,∴D(m,﹣m+2),∴DE=﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)=﹣m2+m,DQ=﹣m+2,∵DE=5EQ,∴﹣m2+m=5(﹣m+2),∴m=3或m=4(点B的横坐标,舍去),∴D(3,3);(3)如图2,由(2)知,D(3,3),由(1)知,B(4,0),C(0,2),∴DB=,DC=,BC=2,∴DC=DB,DB2+DC2=BC2,∴△BDC是等腰直角三角形,∴∠BDC=90°,∵BDC=2∠FDM=90°,∴∠FDM=45°,过点D作DP⊥y轴于P,则DQ=DP,OP=3,∴CP=1=BQ,∴△DPC≌△DQB(SAS),在CP的延长线取一点G,使PG=QF=n,∴OF=3﹣n,OG=3+n,∴△DPG≌△DQF(SAS),∴DG=DF,∠PDG=∠QDF,∴∠FDG=∠PDG+∠PDF=∠QDF+∠PDG=∠PDQ=90°∴∠GDM=90°﹣∠FDM=45°=∠GDM,∵DH=DH,∴△GDH≌△FDH(SAS),∴GH=FH=,∴OH=OG﹣GH=3+n﹣=n+,在Rt△HOF中,根据勾股定理得,(n+)2+(3﹣n)2=,∴n=1或n=(此时,OH=n+=2,所以点H与点C重合,舍去),∴H(0,),∵C(3,3),∴直线CH的解析式为y=x+①,∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2②,联立①②解得,或(由于点M在第二象限,所以舍去),∴M(﹣,).12.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣3过点A(﹣1,0)､P(5,12)两点,∴,解得:,∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;(2)如图1,过点P作PN⊥y轴,QM⊥y轴,∵S△QDC:S△QDP=2:3,∴,∴,∵PN⊥y轴,QM⊥y轴,∴QM∥PN,∴△CQM∽△CPN,∴,∵PN=5,∴QM=2,∵QF⊥x轴于点F,交抛物线于点D,∴D点的横坐标为2,把x=2代入y=x2﹣2x﹣3=4﹣4﹣3=﹣3,∴D(2,﹣3),设直线PD的解析式为y=kx+b,∴,解得:,∴直线PD的解析式为y=5x﹣13; (3)如图2,过点P作PN⊥y轴,∵P(5,12),C(0,﹣3),∴CN=OC+ON=12+3=15,PN=5,∴,∵∠ABM=∠PCO,∴,如图2,若点M在x轴上方,∵OB=3,∴在y轴上取E(0,1),tan∠OBE=,设直线BE的解析式为y=mx+n,∴,解得:m=﹣,∴直线BE的解析式为y=﹣,∴,解得:x1=3,,∴M(﹣),如图3,当点M在x轴下方,同理取点D(0,﹣1),求得直线BD的解析式为y=x﹣1,∴,解得:,∴M(﹣,﹣),综合以上可得M点的坐标为(﹣或(﹣).13.解:(1)在y=x2+(m﹣2)x﹣2m(m>0)中,令x=0,得y=﹣2m,∴C(0,﹣2m),令y=0,得x2+(m﹣2)x﹣2m=0,解得:x1=2,x2=﹣m,∴A(﹣m,0),B(2,0),∴AB=2﹣(﹣m)=m+2,OC=2m∵S△ABC=3∴(m+2)•2m=3,解得:m1=1,m2=﹣3(不符合题意)∴m=1;∴抛物线C1:y=x2﹣x﹣2(2)如图2,设D(t,t2﹣t﹣2),CD交x轴于K,作DT⊥x轴于T,由(1)得:B(2,0),C(0,﹣2)∵当x轴恰好三等分△DBC的面积时,有S△BDK=S△BCD或S△BDK=S△BCD ∴=或=,①当=时,=∴DT=OC∴t2﹣t﹣2=×2,解得:t1=,t2=,∵点D在第二象限,∴t<0∴t=,②当=时,=2∴DT=2OC∴t2﹣t﹣2=2×2,解得:t1=3,t2=﹣2,∵t<0∴t=﹣2综上所述,当x轴恰好三等分△DBC的面积时,点D的横坐标为或﹣2;(3)如图3,取WE中点T,过点T作TR⊥EF交EN于点R,连接WR,WN,由题意知:抛物线C1:y=x2﹣x﹣2=﹣,将抛物线C1向右平移,使新抛物线C2经过原点,∴新抛物线C2解析式为y=(x﹣)2﹣=x2﹣3x,对称轴为:直线x=,顶点E(,﹣),∴F(,4),EF=在y=x2﹣3x中,令y=4,则4=x2﹣3x,解得:x1=﹣1,x2=4∴G(﹣1,4),H(4,4)∴GH=5∵GM=NH=t,WF=,∴MF=NF=﹣t,WE=﹣=5,WT=TE=WE=,∵∠EFM=∠EFN=90°,WF=NF∴△MWF≌△NWF(SAS)∴∠MWF=∠NWF∵∠MWF=3∠FEN∴∠NWF=3∠FEN∵∠NWF=∠FEN+∠ENW∴∠ENW=2∠FEN∵WT=ET,TR⊥EF∴RW=RE∴∠FEN=∠EWR∴∠NRW=2∠FEN∴∠ENW=∠NRW∴RW=WN∴RE=WN由勾股定理得:EN2=EF2+NF2=+,WN2=WF2+NF2=+,∵△ERT∽△ENF∴=,即ER=EN∴ER2=EN2=[+],∴[+]=+,解得:t1=(不符合题意,舍去),t2=,故t=(秒).。

中考数学中二次函数压轴题分类总结

中考数学中二次函数压轴题分类总结

二次函数的压轴题分类复习一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.练习：1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式；（3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求∆BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；yBAMEF2. 如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题 如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（－3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．OABP EQFxyEN MDCBAOyx练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图，已知抛物线()()()120y x x a a a=-+>与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题； ①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．练习：1. 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）． （1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP2. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线12 x=-（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．3. 如图，已知抛物线于x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

中考数学压轴题专集 2一元二次方程 试题

中考数学压轴题专集 2一元二次方程 试题

2021年全国各地中考数学压轴题专集：2一元二次方程1．△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．〔1〕当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；〔2〕当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．2．△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sin A、sin B是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根．〔1〕求m的值；〔2〕假设△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．3．关于x的方程x2－(m＋n＋1)x＋m＝0〔n≥0〕的两个实数根为α、β，且α≤β．〔1〕试用含有α、β的代数式表示m和n；〔2〕求证：α≤1≤β；〔3〕假设点P〔α，β〕在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A〔1，2〕，B〔12，1〕，C〔1，1〕，问是否存在点P，使m＋n＝54？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．4．请阅读以下材料：问题：方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，那么y＝2x，所以x＝y2．把x＝y2代入方程，得(y2)2＋y2－1＝0．化简，得y2＋2y－4＝0．故所求方程为y2＋2y－4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法〞．请用阅读材料提供的“换根法〞求新方程〔要求：把所求方程化为一般形式〕；〔1〕方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程根的相反数，那么所求方程为：___________________；〔2〕关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程根的倒数．5．关于x的一元二次方程x2－2x－a2－a＝0〔a＞0〕．〔1〕证明这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；〔2〕假如当a＝1，2，3，…，2021时，对应的一元二次方程的两个根分别为α1、β1，α2、β2，α3、β3，…，α2021、β2021，求1α1＋1β1＋1α2＋1β2＋1α3＋1β3＋…＋1α2021＋1β2021的值．6．关于x的一元二次方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．〔1〕假设方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；〔2〕假设方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；〔3〕假设方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．7．方程x2＋2ax＋a－4＝0有两个不同的实数根，方程x2＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x2＋2ax＋a－4＝0的两根之间，求k的取值范围．8．关于x的方程x2－4|x|＋3＝k．〔1〕当k为何值时，方程有4个互不相等的实数根？〔2〕当k为何值时，方程有3个互不相等的实数根？〔3〕当k为何值时，方程有2个互不相等的实数根？〔4〕是否存在实数k，使得方程只有1个实数根？假设存在，求k的值和方程的根；假设不存在，请说明理由．9．x1，x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0的两个非零实数根，那么x1与x2能否同号？假设能同号，恳求出相应的m的取值范围；假设不能同号，请说明理由．10．α、β为关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，假如关于x 的另一个方程x2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m的值．11．a为实数，且关于x的二次方程ax2＋(a2＋1)x－a＝0的两个实数根都小于1，求这两个实数根的最大值．12．务实数a的取值范围，使关于x的方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0〔1〕有两个实根x1、x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜4；〔2〕至少有一个正根．13．x1、x2是方程x2－mx－1＝0的两个实数根，满足x1＜x2，且x2≥2．〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＋mx1－m＋x1＋mx2－m＝2，求m的值．14．关于x的方程x2－(m－2)x－m24＝0〔m≠0〕〔1〕求证：这个方程总有两个异号实根；〔2〕假设这个方程的两个实根x1、x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1、x2．15．△ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x2－12x＋m＝0的两个根，求m的取值范围．16．：α，β〔α＞β〕是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，设s1＝α＋β，s2＝α2＋β2，…，s n＝αn＋βn．根据根的定义，有α2－α－1＝0，β2－β－1＝0，将两式相加，得(α2＋β2)－(α＋β)－2＝0，于是，得s2－s1－2＝0．根据以上信息，解答以下问题：〔1〕利用配方法求α，β的值，并直接写出s1，s2的值；〔2〕猜测：当n≥3时，s n，s n-1，s n-2之间满足的数量关系，并证明你的猜测的正确性；〔3〕根据〔2〕中的猜测，求(1＋52)8＋(1－52)8的值．17．方程(x－1)(x2－2x＋m)＝0的三个实数根恰好构成△ABC的三条边长．〔1〕务实数m的取值范围；〔2〕当△ABC为直角三角形时，求m的值和△ABC的面积．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

专题02 填空压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编(福建专用)(解析版)

专题02 填空压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编(福建专用)(解析版)

专题02 填空压轴题1．（2021•福建）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5AD =，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的动点，点E 不与A ，B 重合，且EF AB =，G 是五边形AEFCD 内满足GE GF =且90EGF ∠=︒的点．现给出以下结论：①GEB ∠与GFB ∠一定互补；②点G 到边AB ，BC 的距离一定相等； ③点G 到边AD ，DC 的距离可能相等； ④点G 到边AB 的距离的最大值为22．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）ABCD90B ∴∠=︒90EGF ∠=︒360︒180GEB GFB ∴∠+∠=︒G GM AB ⊥GN BC ⊥AB M BC NGE GF =90EGF ∠=︒45GEF GFE ∴∠=∠=︒90B ∠=︒90BEF EFB ∴∠+∠=︒90BEF EFB∠=︒-∠18018045(90)45GEM BEF GEF EFB EFB∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-∠=︒+∠2．（2020•福建）设，，，是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形可以是平行四边形； ②四边形可以是菱形； ③四边形不可能是矩形； ④四边形不可能是正方形．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）【答案】①④【详解】如图，过点任意作两条直线分别交反比例函数的图象于，，，，得到四边形．45GFN EFB GFE EFB ∠=∠+∠=∠+︒GEM GFN ∴∠=∠GEM∆GFN∆90GME GNF GEM GFN GE GF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()GEM GFN AAS ∴∆≅∆GM GN∴=4AB =5AD =GAD DCEMG MG EG E M EG4EF AB ==24222GE EB BF FG ∴====⨯=A B C D ky x=ABCD ABCD ABCD ABCD O A C B D ABCD由对称性可知，，，四边形是平行四边形，当直线和直线关于直线对称时，此时，即四边形是矩形．反比例函数的图象在一，三象限，直线与直线不可能垂直， 四边形不可能是菱形或正方形，故选项①④正确3．（2019•福建）如图，菱形顶点在函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过点，两点，若，，则．【答案】【详解】连接，，过作轴于点，延长与轴交于点，过点作轴于点，函数的图象关于直线对称，，，三点在同直线上，且，，不妨设，则，点在在反比例函数的图象上，OA OC =OB OD =∴ABCD AC BD y x =OA OC OB OD ===ABCD ∴AC BD ∴ABCD ABCD A 3(0)y x x =>(3,0)ky k x x=>>AC B D 2AB =30BAD ∠=︒k =623+OC AC A AE x ⊥E DA x F D DG x ⊥G (3,0)ky k x x =>>AC O ∴A C 45COE ∠=︒OE AE ∴=OE AE a ==(,)A a a A 3(0)y x x=>， ， ，，，， ， ，，，，， ，，4．（2018•福建）如图，直线与双曲线相交于，两点，轴，轴，则面积的最小值为．【答案】6 【详解】方法一：设，，则．将代入，得， 整理，得， 则，，． 23a ∴=3a ∴=3AE OE ∴==30BAD ∠=︒1152OAF CAD BAD ∴∠=∠=∠=︒45OAE AOE ∠=∠=︒30EAF ∴∠=︒2cos30AEAF ∴==︒tan301EF AE =︒=2AB AF ==//AE DG 1EF EG ∴==223DG AE ==31OG OE EG ∴=+=+(31D ∴+23)y x m =+3y x=A B //BC x //AC y ABC ∆3(,)A a a 3(,)B b b3(,)C a b y x m =+3y x =3x m x+=230x mx +-=a b m +=-3ab =-222()()412a b a b ab m ∴-=+-=+12ABC S AC BC ∆=， 当时，的面积有最小值6．方法二：因为斜率为1，且轴，轴 为等腰直角三角形当最小时，，直线为 联立方程，解得，，5．（2021•宁波模拟）如图，平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，，与交于点，则． 133()()2a b a b =--13()()2b a a b ab-=-21()2a b =-21(12)2m =+2162m =+∴0m =ABC ∆y x m =+//BC x //AC y 45ABC BAC ∴∠=∠=︒ABC ∴∆22AC BC AB ∴==21124ABC S AC BC AB ∆∴==AB 0m =y x =3y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩33x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩33x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(3A ∴3)(3B 3)-22326AB =⨯=14664ABC S ∆∴=⨯⨯=最小xOy 4(0,0)ky k x x=>>A OA k y x =B B //BC x 4k y x=C C //CE y ky x=E AC OC BE OC BEF CEFABCS S ∆∆=【答案】【详解】如图，过点作轴于，过点作轴于．，，，， ， ， 设，则，， 轴，轴， ，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由，解得，，，38A AN x ⊥N B BM x ⊥M //AN BM OBM OAN ∴∆∆∽2OBM kS ∆=2AON S k ∆=∴21()4OBM OAN S OM S ON ∆∆==∴12OM BM ON AN ==4(,)k A m m (2mB 2)k m //BC x //EC y 2(2,)k C m m ∴(2,)2KE m m∴OC 2k y x m =BE 252k ky x m m=-+2252k y x m k k y x m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩5454x m k y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5(4F m ∴5)4km6．（2021•厦门模拟）在平面直角坐标系中，点，，，，，，，在双曲线上，且，．要使得四边形是矩形，至少要满足条件 ．（只需写出一种符合题意的答案，填写相应的序号即可）①；②；③且；④，都经过点． 【答案】①③或①④或②③或②④ 【详解】满足①③，如图：且，为、的中点，即四边形为平行四边形， ，即，由反比函数的几何意义可得：， ，， ，即，平行四边形是矩形， ①③可得结论．7．（2021•宁德模拟）已知矩形，顶点，分别在轴的正半轴上和轴的正半轴上，顶点，在反比例函数的图象上．点的横坐标是2，且矩形的面积是24，则 ． 【答案】16 【详解】如图所示，∴132()324214218()(2)22CEF ABCk k m S m m k k S m m m m ∆∆⋅⋅-==⋅-⋅-xOy (A A x )A y (B B x )B y (C C x )C y (D D x )D y (0)ky k x=>0A B x x <<0D C x x <<ABCD B A x y =0D A x y +=0A C x x +=0B D x x +=AC BD O 0A C x x +=0B D x x +=O ∴AC BD ABCD B A x y =OE OF =k AF BE =AFO BEO ∠=∠()AFO BEO SAS ∴∆≅∆OA OB ∴=AC BD =∴ABCD ∴ABCD A B x y C D (0,0)k y k x x=>>C ABCDk =由．设，，，过作交轴于点，点的坐标，， ， ，在中， ， ，， ，， ，，，，，，， ，(2,)2kC (0,)B y (,0)A x (,)kD a aD DE x ⊥x E E ∴(,0)a 90BAD ∠=︒1290∴∠+∠=︒2390∴∠+∠=︒Rt ADE ∆1390∠+∠=︒23∴∠=∠90BOA DEA ∠=∠=︒BOA AED ∴∆∆∽∴BO AEAO ED=//CD AB ∴D C A B D C A B x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩∴22x a k k y a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩(2,0)A a ∴-(0,)2k k Ba-2AE ∴=BO AEAO ED=∴222k k a ka a-=-， ，， ， ， ，，，， ， ．8．（2021•泉州模拟）如图，点、为反比例函数上的动点，点、为反比例函数上的动点，若四边形为菱形，则该菱形边长的最小值为．【答案】4【详解】连接、，过点作轴于，过点作轴于，如图， 四边形为菱形， ，为反比例函数上的点，点为反比例函数上的点，，， ，， ， ，，224k a ∴=0k >AB ADAD DE=∴22AB a AD AD -=22242ABCD a S AB AD AD -=⋅=⋅=矩形22222()(0)2()k kAD x a a a∴=-+-=+2k a =28AD ∴=∴28242a -⨯=8a ∴=216k a ∴==A C 16y x=-B D 22y x=ABCD AC BD A AE x ⊥E D DF x ⊥F ABCD AC BD ∴⊥A 16y x =-D 22y x =1|6|32AOE S ∆∴=-=1212ODF S ∆=⨯=90OAE AOE ∠+∠=︒90AOE DOF ∠+∠=︒OAE DOF ∴∠=∠Rt AOE Rt ODF ∴∆∆∽22::3:1AOE ODF S S OA OD ∆∆∴==，， 当最小时，最小， 点为反比例函数的对称轴与反比例函数图象在一象限的交点时，最小，，的最小值为4，即该菱形边长的最小值为4．9．（2021•龙岩模拟）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于，，，两点，连接、，现有以下4个结论：①；②不等式的解集是；③；④．其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有结论的序号）【答案】①③④【详解】①如图所示，直线经过第一、三象限，则． 双曲线经过第一、三象限，则． 所以． 故结论①正确；②如图所示：不等式的解集是或； 故结论②不正确；:3:1OA OD ∴=222AD OA OD OD ∴=+=OD AD D 22y x=OD OD ∴22(2)(2)2+=AD ∴11(0)y k x b k =+≠x y Q P 22(0)k y k x=≠1(A x 1)y 2(B x 2)y OA OB 120k k >21k k x b x +>12x x x <<121bx x k +=-AOP BOQ S S ∆∆=11(0)y kx b k =+≠10k >22(0)k y k x=≠20k >120k k >21k kx b x+>10x x <<2x x >③把，，，的坐标代入得，，， 把，，，的坐标代入，得， ，， ， ，，； 故结论③正确；④把，，，的坐标代入得，，解得，直线解析式为， 点，，把，，，的坐标代入，得， ∴， ，．故结论④正确．1(A x 1)y 2(B x 2)y 1y k x b =+111122k x b y k x b y +=⎧⎨+=⎩∴211111212222k x bx x y k x bx x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1(A x 1)y 2(B x 2)y 2k y x=1122x y x y =∴22111122k x bx k x bx +=+1121212()()()0k x x x x b x x ∴+-+-=12112()[()]0x x k x x b ∴-++=12x x ≠112()0k x x b ∴++=∴121b x x k +=-1(A x 1)y 2(B x 2)y 1y k x b =+111122k x b y k x b y +=⎧⎨+=⎩12112122112y y k x x x y x y b x x -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩∴1212211212y y x y x y y x x x x x --=+--∴122112(0,)x y x y P x x --211212(,0)x y x yQ y y --1(A x 1)y 2(B x 2)y 2k y x=1122x y x y =2221221122211121112121212121112222POBx y x y x x y x y x y x y x y x y S x x x x x x x ∆---+=⨯⨯=⨯=⨯=---222211221121212221222111112121*********QOAx y x y x y x x y x y x y x y x y x y x y S y y y y y y y ∆---++=⨯⨯=⨯=⨯==---POB QOA S S ∆∆∴=AOP BOQ S S ∆∆∴=10．（2021•海沧区模拟）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且点与点关于直线对称，为的中点，若，则线段的长为．【答案】 【详解】设，点与点关于直线对称，，，，，即或 解方程，得（由于点在第一象限，所以舍去）或， 经检验，，符合题意，，，，，为的中点，，．11．（2021•莆田模拟）在平面直角坐标系中，若原点关于直线的对称点在xOy A B 2(0)y x x=>A B y x =C AB 4AB =OC 222(,)A t tA B y x =2(B t∴)t 4AB =22222()()4t t t t∴-+-=222t t -=222t t-=-222t t-=-22t =--A 22t =22t =-+(22A ∴-+22)+(22B 22)-C AB (2,2)C ∴222222OC ∴=+=O 12y x k =-+O '双曲线上，则的值为．【答案】【详解】如图，设直线关系式为，，，设中点为，则，，由对称性可得在直线上，且与直线垂直，，解得：，，．12．（2021•梅列区一模）如图，菱形的四个顶点分别在反比例函数和第一象限的图象上，则点的坐标为．【答案】，kyx=k2532OO'y ax=(,)O m n'nam∴=OO'N(2mN)2nN12y x k=-+OO'12y x k=-+∴1()121222nmm nkknm⎧⋅-=-⎪⎪⎪-⋅+=⎨⎪⎪=⎪⎩2532k=58m=54n=ABCD1yx=4yx=B35(2+35-【详解】连接、，交于点，根据菱形和反比例函数的对称性可知、在直线上， ，，是的中点，，，，设直线为，把，代入得，解得，直线为，解得或， 点的坐标为13．（2021•三明模拟）如图，在中，，，直线经过原点，点在轴上，交轴于点，，若反比例函数经过，两点，则的值为 ．AC BD P A C y x =(1,1)A ∴(2,2)C P AC 3(2P ∴3)2BD AC ⊥∴BD y x b =-+3(2P 3)23322b =-+3b =∴BD 3y x =-+31y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩3535x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩3535x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩B ∴35(+35-Rt ABC ∆90ACB ∠=︒8AB =AB O C y AC x D :4:3CD AD =ky x=A B k【答案】【详解】过点作轴于点，，，，， 、关于原点对称，，为直角三角形， ， ，， ，，把的坐标代入可得． 14．（2021•漳州模拟）已知直线与双曲线相交于点，，，，则的最大值是 ． 【答案】137-A AE x ⊥E ODC EDA ∠=∠90COD AED ∠=∠=︒COD AED ∴∆∆∽∴43CD CO AD AE ==A B OA OB ∴=ABC ∆118422CO AB ∴==⨯=3AE ∴=2222437DE OA AE ∴=-=-=(7A ∴3)-A ky x=37k =-y ax =by x=1(P x 1)y 2(Q x 2)y 1212x x x +【详解】与相交于点，，，，且这两个函数图象都是关于原点对称的中心对称图形，点与点关于原点对称，，，设，则是的二次函数，，开口向下，二次函数有最大值， 有最大值，， 即的最大值为115．（2021•南平模拟）如图，点在反比例函数图象上，连接并延长交另一支图象于点，以为对角线作菱形，点、在反比例函数图象上，且，则的值是．【答案】【详解】如图，分别过点、作轴于，轴于，，轴与轴垂直， ，， ，y ax =by x=1(P x 1)y 2(Q x 2)y ∴P Q 21x x ∴=-2121111112()22x x x x x x x x ∴+=⋅-+=-+2112m x x =-+m 1x 10-<m ∴()202141m -==⨯-最大1212x x x +A 2y x=AO C AC ABCD B D ky x=tan 2ABO ∠=k 12-A B AF y ⊥F BE y ⊥E 90BEO AFO ∠=∠=︒x y 90BOE AOF ∴∠+∠=︒90FAO AOF ∠+∠=︒BOE FAO ∴∠=∠，中，，， ， 点在反比例函数图象上， ，，点在反比例函数图象上， ．16．（2020•洛江区一模）如图，矩形的顶点、都在曲线上，若顶点的坐标为，则直线的函数表达式是．【答案】【详解】， ，，，，，设直线的解析式为，把，，代入得，解得， 直线的解析式为． BOE OAF ∴∆∆∽Rt AOB ∆tan 2ABO ∠=∴2OAOB=2:24AOF BOE S S ∆∆∴==A 2y x=1||12AOF S k ∆∴==14BOE S ∆∴=B ky x=12k ∴=-ABCD A C (0,0)ky k x x=>>D (6,3)BD 12y x =(6,3)D (3kA ∴3)(6,)6k C (3kB ∴)6kBD y mx n =+(6,3)D (3k B )6k 6336m n k k m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩120m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴BD 12y x =17．（2021•闽侯县模拟）已知过原点的直线与双曲线在一三象限分别交于，两点，点在轴上，且，，则的面积为 ．【答案】5【详解】由题意可知， ，，点为轴上一点，， ， ，， ，设点为，，则，，， ， ，， ， ， 解得，或（舍弃）， ， O 3y x=A B C x 90ACB ∠=︒1tan 2ABC ∠=ABC ∆OA OB =90ACB ∠=︒OA OB =C x 90ACB ∠=︒OA OB OC ∴==OCB ABC ∴∠=∠90OCB ACD CAD ACD ∠+∠=∠+∠=︒CAD ABC ∴∠=∠A 3(a )a 3OD a =AD a =1tan 2ABC ∠=1tan 2CD CAD AD ∴∠==12CD a ∴=312OA OC a a ∴==+222OA OD AD =+222313()()2a a a a∴+=+2a =2-52OC ∴=2AD =18．（2021•上杭县模拟）如图，平面直角坐标系中，点，在轴上，点在轴上，直线交双曲线第一象限于点，连接，，，若，，，则的值是 ．【答案】4【详解】过点作于，如图，，， ．，设，，则，．15222522ABC AOC S S ∆∆∴==⨯⨯⨯=A D x C y AC (0)ky k x =>B OB BD CD AB BD =35OA OD =3CAD S ∆=k B BE AD ⊥E AB BD =BE AD ⊥AE ED ∴=35OA OD =∴3OA a =5OD a =2AD a =AE ED a ==． ，． ． ，，． ．． ． ． ．． 19．（2021•鼓楼区校级模拟）如图，中，，，，点在边上，以为直径的圆，与边有公共点，则的最小值是．【答案】【详解】当点是切点且时，则有最小值，如图， ，， ，， 中，，，， ，设，4OE OA AE a ∴=+=3CAD S ∆=∴132AD OC ⨯⨯=3OC a∴=BE AD ⊥OC OA ⊥//OC BE ∴AEB AOC ∴∆∆∽∴BE OCAE OA=∴33BE aa a=1BE a∴=1(4,)B a a ∴144k a a∴=⨯=Rt ABC ∆90ACB ∠=︒3AC =5BC =D AB AD BC E AD 204183425-E EO BC ⊥AD EBO ABC ∠=∠90OEB ACB ∠=∠=︒EBO CBA ∴∆∆∽∴OB OEAB AC=Rt ABC ∆90ACB ∠=︒3AC =5BC =34AB ∴=OA OD OE m ===， 解得， ． ．20．（2020•浙江自主招生）函数的最小值是 ． 【答案】【详解】，表示的几何含义为抛物线上的一点到点和点的距离之和， 即，如图，当且仅当、、三点共线时，取得最小值．21．（2021•永定区模拟）如图，正方形的边长为2，点与原点重合，与反比例函数的图象交于、两点，若的面积为，则的值 ． ∴34334mm -=10293425m -=2041834225AD m -∴==AD ∴2041834-22242(1)(2)34y x x x x =-+-+-+5222222(2)(1)(0)(2)y x x x x =-+-+-+-y ∴2y x =2(,)P x x (2,1)A (0,2)B y AP PB AB =+A P B y 22(20)(12)5AB -+-ABCD B O k y x =E F DEF ∆98k【答案】1【详解】设，则，，，， 解得或（不合题意，舍去）， ，22．（2020•浙江自主招生）如图，已知在第一象限内反比例函数的图象上有一点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为，，使四边形为正方形．又在反比例函数的图象上有一点，过点分别作和轴的垂线，垂足分别为，，使四边形为正方形，则点的坐标是．【答案】【详解】是正方形， 点的横纵坐标相等，因而设坐标是，代入函数解析式得， 解得，在第一象限，点的坐标是，设，(2)AFa a =<(,2)F a (2,)E a 2FD DE a ∴==-2119(2)228DEF S DF DE a ∆∴=⋅=-=12a =721k ∴=1y x=P P x y A B OAPB 1P 1P BP y 1A 1B 111BA PB 1P 15(2-+15)+OAPB P ∴(,)a a 1a a =1a =±∴P (1,1)1(,1)P b b +代入函数解析式得， 解得，在第一象限，点的坐标是 23．（2021•厦门模拟）已知抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，是的中点．在抛物线上，关于直线的对称点为，关于点的对称点为．当时，线段的长随的增大而发生的变化是 ． “变化”是指增减情况及相应的取值范围） 【答案】当时，的长随的增大而减小，当时，的长随的增大而增大【详解】，顶点， 对称轴为直线，，是的中点， ，关于直线的对称点为， ，点关于的对称点为，是的中点，， 和的横坐标相同， 轴，令，则，，①当时，在点下方，如图1，在下方，，，11b b+=152b -±=∴1P 15(-+15+265y x x =-+-P l x A N PA (,)M m n M l B M N C 13m BC m (m 132m -BC m 323m <BC m 2265(3)4y x x x =-+-=--+∴(3,4)P l 3x =(3,0)A ∴N PA (3,2)N ∴M l B (6,)B m n ∴-M N C N ∴MC (6,4)C m n ∴--B C //BC y ∴2y =2652x x -+-=∴32x =132m -M N B ∴C 42BC n ∴=-2(3)4n m =--+，，当时，的大小随着的增大而减小，②当时，在点上方，如图2在上方，，， ，当时，的大小随着增大而增大，即当时，的长随的增大而减小，当时，的长随的增大而增大．24．（2020•思明区校级模拟）如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，边的中22(3)4BC m ∴=--20a =>∴132m -BC m 323m -<M N B ∴C 424BC n n n ∴=-+=-22(3)4BC m ∴=--+30a =-<∴323m -<BC m 132m -BC m 323m BC m A C y x BC点在轴上，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的长为 ．【答案】6【详解】过作轴于，连接，设：，，过点作轴的平行线交轴于点，作于点，四边形是正方形，，，，，点与点分别是，的中点，，，点是的中点，则，，同理，则，，，故，点，则，而，解得：，，25．（2020•鼓楼区一模）如图，是半圆的直径，点（不与点，重合）为半圆上一点，将图形沿折叠，分别得到点，的对应点，，过点，若与半圆恰好相切，则的大小为 ．F y 6y X=CD E OA E EH x ⊥H OE CO a =CH b =B y x N AM MN ⊥M ABCD BC CD ∴=90BCD ∠=︒90EHC FCO ∠=∠=︒OFC ECH ∴∠=∠F E BC CD CF CE ∴=()CFO CEH AAS ∴∆≅∆F BC ON OC a ==22NB OF b ==()CNB BMA AAS ∆≅∆2MA BN b ==2MB CN a ==2AM b ON a ===2a b =(,)E a b a +()6a a b +=2a b =1b =2a =226OA MN BM BN a b ==+=+=AB O P A B BP A O A 'O '//ACAB 'A C 'O ABP ∠︒【答案】15【详解】作于，于，如图， 与半圆恰好相切，为的半径，即，，，，，四边形为正方形，图形沿折叠，分别得到点，的对应点，，，，，，，．26．（2020•泉州模拟）如图，，是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且为线段的中点，过点作轴于点，为线段的三等分点，且．连接，．若，则的值为 ．【答案】OG AC⊥'G BH AC ⊥'H A C 'O OG ∴O OG OB =//AC AB 'OG OB ∴⊥BH OB ⊥HA B ABA ∠'=∠'∴OBHG BP A O A 'O 'A BP ABP α∴∠'=∠=BA BA '=2A B BH ∴'=30BA H ∴∠'=︒2HA B ABA α∠'=∠'=15α∴=︒A B (0)k y k x=≠AB y C B AC A AD x ⊥D E OD OE DE <AE BE 7ABE S ∆=k 12-【详解】设，，则，，， ，， ，，连接，．，，，， ， ．解法二：如图，作于．设，则，，，，，，， ， ， 解得．(,)k A m m (0,)C n (,0)D m 1(3E m 0)AB BC =(,)22k n m m B +∴∴22k n m m k +⋅=4k mn k ∴+=3mn k ∴=EC OA AB BC =214AEC AEB S S ∆∆∴=⋅=AEC AEO ACO ECO S S S S ∆∆∆∆=+-1111114()()()23223k m n m m n m ∴=⋅-⋅+⋅--⋅-⋅1314622k k k ∴=--+12k ∴=-BH OD ⊥H (,)k A a a (2a B 2)k a 13OE a =-23DE a =-16HE a =-2k BH a =12DH a =-7ABE BHE ADE ABHD S S S S ∆∆∆=+-=梯形∴12111212()()()()7222623k K k k a a a a a a a+⨯-+⨯-⨯-⨯-⨯=12k =-27．（2020•建瓯市模拟）如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上．若轴，轴，且，，，则．【答案】 【详解】设，则，，，依题意有 ，解得： 28．（2020•旌阳区模拟）已知双曲线与在第一象限内交于，两点，，则扇形的面积是 ．A D (0)m y m x=<B C (0)n y n x=>////AB CD x //AC y 4AB =3AC =2CD =n =83(,)n B x x (4,)4m A x x --(4,)4n C x x --(2,)2m D x x --434442n m x x m n x x n m x x ⎧=⎪-⎪⎪-=⎨--⎪⎪=⎪--⎩838343x n m ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩4y x=O A B 45AOB ∠=︒OAB【答案】【详解】设的半径，连接，作直线，与交于点，示、过作轴于点，过作轴于点，过作于点．在第一象限关于对称，也关于对称， ，，，，，由对称性知，，由反比例函数的几何意义知，， ，，，， ， ， ，2πO OA OB r ==AB y x =AB C A AD y ⊥D B BE x ⊥E A AF OB ⊥F O y x =4(0)y k x=>y x =AOC BOC ∴∠=∠OC AB ⊥AOD BOE ∠=∠45AOB ∠=︒22.5AOD AOC BOC BOE ∴∠=∠=∠=∠=︒AOD AOC BOC BOE ∆≅∆≅∆≅∆1422AOD BOE S S ∆∆==⨯=2AOC BOC S S ∆∆∴==224AOB S ∆∴=+=45AOB ∠=︒2222AF OF OA r ∴===12AOB S OB AF ∆=12422r r ∴=⨯∴282r =． 29．（2020•寿宁县一模）已知为双曲线的点，点作轴，轴的垂线分别交直线于点、两点（点在点下方），若直线与轴交于点，与轴相交于点，则的值为 ．【答案】 【详解】设，则，与轴、轴的交点为、， ，即是等腰直角三角形，过点作轴，垂足为，则是等腰直角三角形， ，同理：， ．30．（2020•福州模拟）如图，直线与双曲线交于，两点，交该双曲线于点，则的值是 ．【答案】 【详解】与交于、两点， ∴24582452360OAB r S πππ⨯=扇形M 3(0)y x x=>M x y (0)y x m m =-+>D C D M (0)y x m m =-+>y A x B AD BC 23(,)M a b 3ab =(0)y x m m =-+>x y (0,)A m (,0)B m OA OB m ∴==AOB ∆D DN y ⊥N ADN ∆22AD DN a ∴==2BC b =22223AD BC a b ab ∴===12y x =(0)k y k x=>A B BC AB ⊥C sin BAC ∠3512y x =k y x =A B联立方程组， 解得，， ， ， 设直线的解析式为， ，， ， 联立， 解得， ， 由勾股定理得，， ．∴12y x k y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11222x k k y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2222x k k y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴22(2,(2,k k A k B k AB ∴2222(22)()1022k k k k k +++=BC y mx b =+BC AB ⊥2m ∴=-522b k ∴=-∴5222y x k =--5222y x k k y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11222x k k y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩2212422x k y k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2212310(22)(22)424k k BC k k k ∴=-++-+=22310510(10)()44k k AC k =+=∴31034sin 5510kBC BAC AC k ∠===。

中考数学压轴题二

中考数学压轴题二

1．如图，点P是反比例函数y＝－2x（x＜0）图象上一动点，点A、B分别在x轴，y轴上，且OA＝OB＝2，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．（1）当动点P的纵坐标为53时，连接OE（2）设动点P的坐标为P（a，b）（－2＜探索：以AE、EF、BF2、如图，在△OAB中，OA＝OB，点A坐标为（－33，3），点B在x轴负半轴上．（1）将△OAB沿x轴向右平移a个单位后，点A恰好落在反比例函数y＝63x的图象上，求a的值；（2）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）．①当α＝30°时，点B恰好落在反比例函数y＝k的图象上，求k的值；②点A、B请说明理由．3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，E是AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．（1）如图2，若点D是边AB的中点，求证：DE＝DF；（2）若AD:DB＝m，求DE:DF的值；（3）若AC＝BC＝6，AD:DB＝1:2，设AE＝x，BF＝y．①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切，若可能，求出此时x的值，若不可能，请说明理由．B图1B图2B 备用图B 备用图4．Rt △ABC 的直角顶点B 在Rt △DEF 的斜边DF 上，已知AB ＝DF ，DE ＝EF ，∠A ＝30°．固定△DEF 不动，将△ABC 绕点B 旋转，并使边AB 与边DE 交于点P ，边BC 与边EF 于点Q ．（1）如图1，若FBBD ＝m ，求BPBQ的值，并确定m 的取值范围；（2）若DF ＝30， FBBD＝2，连接PQ ，设△BPQ 的面积为S ，在旋转过程中：①如图2，当点E 恰好落在边AC 上时，求AE 的长；②S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由； ③随着S 取不同的值，对应△BPQ 的个数有哪些变化？求相应S 值的取值范围．Q E D F B A PC 图1 Q ED FBA PC图2 H5．如图，已知抛物线y＝(3－m)x2＋2(m－3)x＋4m－m2的顶点A在双曲线y＝3x上，直线y＝mx＋b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交与点E，求sin∠BDE 的值；（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点F，点M在直线BF上，且到抛物线的对称轴的距离为6．若点N在直线BF上，直接写出使得∠AMB＋∠ANB＝45°的点N的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx（m＞0）与双曲线y＝kx交于A、B两点，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，AC与BC交于点C，AC与y轴交于点M，BC与x 轴交于点N，若∠BAC＝60°，AB＝4．（1）求m、k的值；（2）将一把三角尺的直角顶点放在原点O处，绕着点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q，设点P的横坐标为x，PQ的长为L，当点P在边AC上运动时，求L与x的函数关系式；（3）当△PQC的面积为32时，求点P的坐标．7．如图，矩形ABCD的顶点A在坐标原点，顶点B坐标为（－2，1），顶点C在y轴上．（1）求顶点D的坐标；（2）将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的点G处，得到矩形AEFG，EF 与AD交于点M，过点M的反比例函数图象交FG于点N（3）求证：△AMN是直角三角形．8．在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （0，4）．以点A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD ．记旋转转角为α，∠ABO 为β．（1）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标； （2）如图②，当旋转后满足BC ∥x 轴时，求α与β之间的数量关系； （3）当旋转后满足∠AOD ＝β时，求直线CD 的解析式．图①图②9．已知∠MON ＝60°，射线OT 是∠MON 的平分线，点P 是射线OT 上的一个动点，射线PB 交射线ON 于点B ．（1）如图，若射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与射线OM 交于点A ，求证：P A ＝PB ； （2）在（1）的条件下，若点C 是AB 与OP 的交点，且满足PC ＝32PB ，求△POB 与△PBC 的面积之比；（3）当OB ＝2时，射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与直线OM 交于点A （点A 不与点O 重合），直线P A 交射线ON 于点D ，且满足∠PBD ＝∠ABO ，求OP 的长．B C M A N PT M N T 备用图MNT 备用图10．已知一次函数y＝－12x＋b的图象与反比例函数y＝6x（x＞0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）如图1，若AB＝2AC，求b的值；（2）在（1）的条件下，将一块直角三角板的直角顶点P放在反比例函数y＝6x（x＞0）图象的AB段上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB分别交于Q、R两点．设点P 的横坐标为x，QR的长为L，求L关于x的函数关系式，并求L的最大值；（3）如图2，过点A作直线AE∥x轴，交轴于点E；过点B作直线BF∥轴交x轴于点F，交直线AE于点并说明理由．11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝AB ＝1，BC ＝2．将点A 折叠到CD 边上，记折叠后A 点对应的点为P （P 与D 点不重合），折痕EF 只与边AD 、BC 相交，交点分别为E 、F ．过点P 作PN ∥BC 交AB 于N ，交EF 于M ，连结P A 、PE 、AM ，EF 与P A 相交于O ．（1）指出四边形PEAM 的形状（不需证明）；（2）记∠EPM ＝α，△AOM 、△AMN 的面积分别为S 1、S 2．①求证：S 1tanα2＝18P A 2；②设AN ＝x ，y ＝S 1－S 2tanα2，试求出以x 为自变量的函数y 的解析式，并确定y 的取值范围．OABCDPE FMN12．已知：在△ABC 中，BC ＝2AC ，∠DBC ＝∠ACB ，BD ＝BC ，CD 交线段AB 于点E ． （1）如图l ，当∠ACB ＝90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为____________________； （2）如图2，当∠ACB ＝120°时，求证：DE ＝3CE ； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于点G ，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点B 的对称点是点K ），延长DK 交AB 于点H ．若BH ＝10，求CE 的长．C A B DE 图1C A BDE 图2C AB D E 图3K HG F13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－1，0），点B（9，0），以AB为直径作⊙M，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，抛物线经过A、B、C三点．（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙M于点D，连接BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，二次函数y＝ax2＋bx（a＞0）的图象与反比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4），点B在第三象限．（1）求该二次函数的表达式；（2）设二次函数图象与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不重合），过E点作EF∥OB，交BD于F，连接BE①设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S②当△BEF为等腰三角形时，求点E15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．（1）当DF∥AB时，连接EF，求cos∠DEF的值；（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．ACB DEF16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，CB＝4cm．点P、Q分别是AB、CB上动点，它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动，移动速度为1cm/秒，设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）．（1）当∠CPQ＝90°时，求t的值；（2）是否存在t，使△CPQ成为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，能否改变Q 的运动速度（P的速度不变），使△CPQ成为等边三角形？如何改变？并求出相应的t值．17．如图，抛物线y＝－14x2＋4交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接AC、BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求证：BF⊥AB；（3）连接CP，记△CPF的面积为S1，△CPB的面积为S2，若S＝S1－S2，试探究S的最小值．18．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP＝x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．EQAC19．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置，连接DE、CE，设∠BCE＝β．（1）如图1，若α＝90°，求β的大小；（2）如图2，当点D在线段BC上运动时，试探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出α与β之间的数量关系，并说明理由．EA图1E A图220．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）图121．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，设锐角∠DOC ＝α，将△DOC 绕点O 按逆时针方向旋转得到△D ′OC ′（0°＜旋转角＜90°），连接AC ′、BD ′，AC ′ 与BD ′ 相交于点M ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，请猜想AC ′ 与BD ′ 的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，已知AC ＝kBD ，请猜想此时AC ′ 与BD ′ 的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（3）当四边形ABCD 是等腰梯形时，如图3，AD ∥BC ，此时（1）AC ′ 与BD ′ 的数量关系是否成立？∠AMB 与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．M B C A O D C ′ D ′ 图1MB C A O D C ′D ′ 图2MB C A O D C ′ D ′图322．在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N．（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：BE＝PD＋33MN；（2）若BC＝6，设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC 于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长．A E M DNC图1 A E DC备用图A E M DN图2GF23．如图1，边长为2的正方形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，且AE ＝AB ，点P 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿D →C →B 向终点B 运动，直线EP 交AD 于F ，过点F 作直线FG ⊥DE 于G ，交AB 于Q ．设点P 运动时间为t （秒）． （1）求证：AF ＝AQ ；（2）当t 为何值时，四边形PQBC 是矩形？（3）如图2，连接PB ，当t 为何值时，△PQB 是等腰三角形？A B C E D F G Q P 图1 A B C E D FG Q P 图224．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋8（a≠0）与x轴交于点A（－2，0）、B，与y轴交于点C，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P 的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF25．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PE＝PD．（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）B 图1B 图226．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，AD ＝14，点E 、F 、G 分别在BC 、AB 、AD 上，且BE ＝3，BF ＝2，以EF 、FG 为邻边作□EFGH ，连接CH 、DH ．（1）直接写出点H 到AD 的距离；（2）若点H 落在梯形ABCD 内或其边上，求△HGD 面积的最大值与最小值； （3）当△EHC 为等腰三角形时，求AG 的长．A D C GB F E H27．如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y＝kx＋b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝|S1－S2|．（1）求∠OAB的大小；（2）当M、N重合时，求l的解析式；（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S＝0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与b的函数关系式。

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中考数学试题分类汇编 压轴题(二)24. (金华卷)如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为12 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动． 请解答下列问题：（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合；（3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为菱形，则t 的值是多少？② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）333+-=x y ；………4分 （2）（0,3），29=t ； (4)（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒又∵t FG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-=由t t 323=-得 59=t ；…………………1分当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2） ∵t OE 33=,∴t BE 3333-=,∴3360tan 0t BE EF -== ∴6921tEF EH MP -===， 又∵)6(2-=t BP在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos 即6921)6(2tt -=⋅-，解得745=t ．…………………………………………………1分②存在﹒理由如下：∵2=t ，∴332=OE ,2=AP ，1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△EC B '（如图3）∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上， C 点坐标为（332，332－1）过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,则△FEQ ∽△EC B '由3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－32，33）………………………1分根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－32，3）也符合条件．……1分24.( 绍兴市)如图,设抛物线C 1:()512-+=x a y , C 2:()512+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A , B ,点A 的坐标是)4,2(,点B 的横坐标是－2. （1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的 直线为l ,且l 与x 轴交于点N .① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为 (1, 2)，求点N 的横坐标；② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横 坐标的取值范围.解：（1）∵ 点A )4,2(在抛物线C 1上，∴ 把点A 坐标代入()512-+=x a y 得 a =1.∴ 抛物线C 1的解析式为422-+=x x y ,设B (－2,b )， ∴ b ＝－4, ∴ B (－2,－4) . （2）①如图1，y第24题图∵ M (1, 5)，D (1, 2), 且DH ⊥x 轴，∴ 点M 在DH 上，MH =5. 过点G 作GE ⊥DH ,垂足为E,由△DHG 是正三角形,可得EG=3, EH =1， ∴ ME ＝4. 设N ( x , 0 ), 则 NH ＝x －1,由△MEG ∽△MHN ,得 HN EGMH ME =, ∴ 1354-=x , ∴ =x 1345+, ∴ 点N 的横坐标为1345+．② 当点Ｄ移到与点A 重合时,如图2，直线l 与DG 交于点G ,此时点Ｎ的横坐标最大． 过点Ｇ,Ｍ作x 轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F , 设Ｎ（x ，0），∵ A (2, 4), ∴ G (322+, 2),∴ NQ =322--x ，ＮF =1-x , GQ =2, MF =5. ∵ △NGQ ∽△NMF ，∴MFGQNF NQ =, ∴ 521322=---x x ,∴ 38310+=x .当点D 移到与点B 重合时,如图3， 直线l 与DG 交于点D ,即点B , 此时点N 的横坐标最小.∵ B (－2, －4), ∴ H (－2, 0), D (－2, －4), 设N （x ，0），∵ △BHN ∽△MFN ， ∴ MFBHFN NH =， ∴5412=-+x x , ∴ 32-=x . ∴ 点N 横坐标的范围为 32-≤x ≤38310+.第24题图3图4第24题图1第24题图224. (丽水市卷)△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转． (1) 当点BB 的横坐标； (2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C① 当a =，12b =-，c =A ，B 两点是否都 在这条抛物线上？并说明理由； ② 设b =-2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不 可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 若不存在，请说明理由．解：tan 301OC OB =⨯︒==． ……1分由此，可求得点C 的坐标为)， ……1分 点A 的坐标为()， ∵ A ，B 两点关于原点对称，∴ 点B 的坐标为)． 将点A 的横坐标代入(＊)式右边，，即等于点A 的纵坐标；将点B 的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B 的纵坐标．∴ 在这种情况下，A ，B 两点都在抛物线上．……2分情况2：设点C 在第四象限(如图乙)，则点C 的坐标为)，点A 的坐标为)，点B 的坐标为(，)． 经计算，A ，B 两点都不在这条抛物线上． ……1分(情况2另解：经判断，如果A ，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A ，B 两点不可能都在这条抛物线上) ② 存在．m 的值是1或-1． ……2分 (22()y a x m am c =--+，因为这条抛物线的对称轴经过点C ，所以-1≤m ≤1．当m =±1时，点C 在x 轴上，此时A ，B 两点都在y 轴上．因此当m =±1时，A ，B 两点不可能同(甲)(乙)(第24题)时在这条抛物线上)20.（益阳市）如图9，在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （－2，0），B （6，0），C （0，3）.(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；(2)过Ｃ点作CD 平行于x 轴交抛物线于点D ，写出D 点的坐标，并求AD 、BC 的交点E 的坐标；(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC 、ＰD ，判断四边形CEDP 的形状，并说明理由.解：⑴ 由于抛物线经过点)3,0(C ，可设抛物线的解析式为)0(32≠++=a bx ax y ，则⎩⎨⎧=++=+-036360324b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=141b a∴抛物线的解析式为3412++-=x x y ……………………………4分 ⑵ D 的坐标为)3,4(D ……………………………5分直线AD 的解析式为121+=x y 直线BC 的解析式为321+-=x y由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=321121x y x y求得交点E 的坐标为)2,2( ……………………………8分 ⑶ 连结PE 交CD 于F ，P 的坐标为)4,2(PA CD E B o y 1-119图又∵E )2,2(，)3,4(),3,0(D C∴,1==EF PF 2==FD CF ，且PE CD ⊥∴四边形CEDP 是菱形 ……………………………12分26．(丹东市)如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）． （1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC ． ·········································· 1分 ∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称，∴A （0，4），B （6，4），C （8，0） ························································· 3分 （写错一个点的坐标扣1分）O MN HA C E FDB↑→ －8(－6，－4)xy（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2y ax bx c =++， ∵抛物线过点A （0，4），∴4c =．则抛物线关系式为24y ax bx =++． ·········································· 4分 将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得3664464840a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．··················································································· 5分 解得1432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． ······················································································· 6分 所求抛物线关系式为：213442y x x =-++． ·············································· 7分 （3）∵OA =4，OC =8，∴AF =4－m ，OE =8－m ． ·········································· 8分 ∴AGF EOF BEC EFGB ABCO S S S S S =---△△△四边形梯形 21=OA （AB +OC ）12-AF ·AG 12-OE ·OF 12-CE ·OA m m m m m 421)8(21)4(2186421⨯-----+⨯⨯=）（ 2882+-=m m （ 0＜m ＜4） ········································· 10分∵2(4)12S m =-+． ∴当4m =时，S 的取最小值．又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． ····································· 12分 （4）当2m =-+GB =GF ，当2m =时，BE =BG ． ····························· 14分25.（威海市12分）（1）探究新知：①如图，已知AD ∥BC ，AD ＝BC ，点M ，N 是直线CD 上任意两点． 求证：△ABM 与△ABN 的面积相等．②如图，已知AD ∥BE ，AD ＝BE ，AB ∥CD ∥EF ，点M 是直线CD 上任一点，点G 是直线EF 上任一点．试判断△ABM 与△ABG 的面积是否相等，并说明理由．ABDCMN图 ①CA BDM（2）结论应用：如图③，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点D ．试探究在抛物线c bx ax y ++=2上是否存在除点C 以外的点E ，使得△ADE 与△ACD 的面积相等？ 若存在，请求出此时点E 的坐标，若不存在，请说明理由．﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚解：﹙1﹚①证明：分别过点M ，N 作 ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为点E ，F ． ∵ AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． ∴ AB ∥CD ． ∴ ME = NF ．∵S △ABM ＝ME AB ⋅21，S △ABN ＝NF AB ⋅21， ∴ S △ABM ＝ S △ABN ． ……………………………………………………………………1分 ②相等．理由如下：分别过点D ，E 作DH ⊥AB ，EK ⊥AB ，垂足分别为H ，K ． 则∠DHA =∠EKB =90°． ∵ AD ∥BE ，∴ ∠DAH =∠EBK ．∵ AD ＝BE ，∴ △DAH ≌△EBK ．∴ DH =EK ． ……………………………2分∵ CD ∥AB ∥EF ， ∴S △ABM ＝DH AB ⋅21，S △ABG ＝EK AB ⋅21，∴ S △ABM ＝ S △ABG . …………………………………………………………………3分﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分 解：因为抛物线的顶点坐标是C (1，4)，所以，可设抛物线的表达式为4)1(2+-=x a y .A B D C M N 图 ①E F HC 图 ②A B DM F E G K图 ③又因为抛物线经过点A (3，0)，将其坐标代入上式，得()41302+-=a ，解得1-=a .∴ 该抛物线的表达式为4)1(2+--=x y ，即322++-=x x y ． ………………………5分 ∴ D 点坐标为（0，3）．设直线AD 的表达式为3+=kx y ，代入点A 的坐标，得330+=k ，解得1-=k . ∴ 直线AD 的表达式为3+-=x y ．过C 点作CG ⊥x 轴，垂足为G ，交AD 于点H ．则H 点的纵坐标为231=+-．∴ CH ＝CG －HG ＝4－2＝2． …………………………………………………………6分 设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为322++-m m ．过E 点作EF ⊥x 轴，垂足为F ，交AD 于点P ，则点P 的纵坐标为m -3，EF ∥CG ． 由﹙1﹚可知：若EP ＝CH ，则△ADE 与△ADC①若E 点在直线AD 的上方﹙如图③-1﹚，则PF =m -3，EF ＝322++-m m ．∴ EP ＝EF －PF ＝)3(322m m m --++-=m m 32+-．∴ 232=+-m m ．解得21=m ，12=m ． ……………………………7分当2=m 时，PF =3－2＝1，EF=1+2＝3．∴ E 点坐标为（2，3）． 同理 当m =1时，E 点坐标为（1，4），与C 点重合． ………………………………8分 ②若E 点在直线AD 的下方﹙如图③－2,③－3﹚，则m m m m m PE 3)32()3(22-=++---=． ……………………………………………9分 ∴232=-m m ．解得21733+=m ，21734-=m ． ………………………………10分 当2173+=m 时，E 点的纵坐标为2171221733+-=-+-；当2173-=m 时，E 点的纵坐标为2171221733+-=---．∴ 在抛物线上存在除点C 以外的点E ，使得△ADE 与△ACD 的面积相等，E 点的坐标为E 1（2，3）；)21712173(2+-+，E ；)21712173(3+--，E ． ………………12分 ﹙其他解法可酌情处理﹚24．(荆门市本题满分12分)已知：如图一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝12x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式； (2)求四边形BDEC 的面积S ；(3)在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．解：(1)将B (0，1)，D (1，0)的坐标代入y ＝12x 2＋bx ＋c 得 1,10.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩得解析式y ＝12x 2－32x ＋1……………………………………………………3分(2)设C (x 0，y 0)，则有00200011,213 1.22y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩解得004,3.x y =⎧⎨=⎩∴C (4，3)．……………………………………………6分由图可知：S ＝S △ACE －S △ABD ．又由对称轴为x ＝32可知E (2，0)．∴S ＝12AE ·y 0－12AD ×OB ＝12×4×3－12×3×1＝92 (8)分第24题图第24题图当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF ⊥x 轴于F ． ∵Rt △BOP ∽Rt △PFC ，∴BO OP PF CF =．即143a a =-． 整理得a 2－4a ＋3＝0．解得a ＝1或a ＝3∴所求的点P 的坐标为(1，0)或(3，0)综上所述：满足条件的点P 共有二个………………………………………………………12分(3)设符合条件的点P 存在，令P (a ，0)：23．（济宁市10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.解：（1）设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =. ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. .................................3分 (2) 答：l 与⊙C 相交. (4)分证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =.x(第23题)∴B 为（2，0），C 为（6，0）.∴AB ==设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=︒=∠. ∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠.又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆. ∴CE BC OB AB =.∴2CE =.∴2CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2.∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7分(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .可求出AC 的解析式为132y x =-+.…………………………………………8分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）.∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）. …………………………………………10分22．（中山市）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB =6，BC =4，点F 在DC 上，DF =2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得△FMN ，过△FMN 三边的中点作△PWQ ．设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN ∽△QWP ；（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，△PWQ 为直角三角x(第23题)形？当x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．24．（青岛市本小题满分12分）已知：把Rt△ABC 和Rt△DEF 按如图（1）摆放（点C 与点E重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm ，BC = 6 cm ，EF = 9 cm ．如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2 cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动.当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4.5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？（2）连接PE ，设四边形APEC 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）第22题图（1）AC图（3）A DBC E ） 图（1）图（2）解：（1）∵点A 在线段PQ 的垂直平分线上，∴AP = AQ .∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF ＋∠ACB ＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°.∴∠DEF =∠EQC . ∴CE = CQ . 由题意知：CE = t ，BP =2 t ，∴CQ = t . ∴AQ = 8－t . 在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB = 10 cm .则AP = 10－2 t . ∴10－2 t = 8－t . 解得：t = 2.答：当t = 2 s 时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上. ····· 4分（2）过P 作PM BE ⊥，交BE 于M ，∴90BMP ∠=︒.在Rt△ABC 和Rt△BPM 中，sin AC PMB AB BP==， ∴8210PM t = . ∴PM = 85t .∵BC = 6 cm ，CE = t ， ∴ BE = 6－t .∴y = S △ABC －S △BPE =12BC AC ⋅－12BE PM ⋅= 1682⨯⨯－()186t t 25⨯-⨯=24242455t t -+ = ()2484355t -+. ∵405a =>，∴抛物线开口向上.∴当t = 3时，y 最小=845.答：当t = 3s 时，四边形APEC 的面积最小，最小面积为845cm 2. ··· 8分（3）假设存在某一时刻t ，使点P 、Q 、F 三点在同一条直线上.过P 作PN AC ⊥，交AC 于N ， ∴90ANP ACB PNQ ∠=∠=∠=︒.∵PAN BAC ∠=∠，∴△PAN ∽△BAC .∴PN AP AN BC AB AC==. ∴1026108PN t AN -==. ∴665PN t =-，885AN t =-. ∵NQ = AQ －AN ，∴NQ = 8－t －(885t -) = 35t ．∵∠ACB = 90°，B 、C （E ）、F 在同一条直线上， ∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ . ∵∠FQC = ∠PQN ，图（3）图（2）∴△QCF ∽△QNP .∴PN NQ FC CQ = . ∴636559t tt t-=- . ∵0t <<4.5 ∴663595tt -=- 解得：t = 1.答：当t = 1s ，点P 、Q 、F 三点在同一条直线上.12分22、（南充市）已知抛物线2142y x bx =-++上有不同的两点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，抛物线2142y x bx =-++与x 轴和y 轴的正半轴分别交于点A 和B ，M 为AB 的中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ ＝45°，MP 交y 轴于点C ，MQ 交x 轴于点D ．设AD 的长为m （m ＞0），BC 的长为n ，求n 和m 之间的函数关系式． （3）当m ，n 为何值时，∠PMQ 的边过点F ．解：（1）抛物线2142y x bx =-++的对称轴为122bx b =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． ……..（1分） ∵ 抛物线上不同两个点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+的纵坐标相同， ∴ 点E 和点F 关于抛物线对称轴对称，则 (3)(1)12k k b ++--==，且k ≠－2．∴ 抛物线的解析式为2142y x x =-++． ……..（2分） （2）抛物线2142y x x =-++与x 轴的交点为A （4，0），与y 轴的交点为B （0，4）， ∴ AB＝AM ＝BM＝ ……..（3分） 在∠PMQ 绕点M 在AB 同侧旋转过程中，∠MBC ＝∠DAM ＝∠PMQ ＝45°， 在△BCM 中，∠BMC ＋∠BCM ＋∠MBC ＝180°，即∠BMC ＋∠BCM ＝135°， 在直线AB 上，∠BMC ＋∠PMQ ＋∠AMD ＝180°，即∠BMC ＋∠AMD ＝135°． ∴ ∠BCM ＝∠AMD ．故 △BCM ∽△AMD ． ……..（4分） ∴BC BM AM AD =，即m =8n m =． 故n 和m 之间的函数关系式为8n m=（m ＞0）． ……..（5分） （3）∵ F 2(1,1)k k ---+在2142y x x =-++上， ∴ 221(1)(1)412k k k ---+--+=-+， 化简得，2430k k -+=，∴ k 1＝1，k 2＝3．即F 1（－2，0）或F 2（－4，－8）． ……..（6分） ①MF 过M （2，2）和F 1（－2，0），设MF 为y kx b =+，则 2220.k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得，121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴ 直线MF 的解析式为112y x =+． 直线MF 与x 轴交点为（－2，0），与y 轴交点为（0，1）． 若MP 过点F （－2，0），则n ＝4－1＝3，m ＝83； 若MQ 过点F （－2，0），则m ＝4－（－2）＝6，n ＝43． ……..（7分） ②MF 过M （2，2）和F 1（－4，－8），设MF 为y kx b =+，则 2248.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得，534.3k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴ 直线MF 的解析式为5433y x =-．直线MF 与x 轴交点为（45，0），与y 轴交点为（0，43-）．若MP 过点F （－4，－8），则n ＝4－（43-）＝163，m ＝32；若MQ 过点F （－4，－8），则m ＝4－45＝165，n ＝52． ……..（8分）故当118,33,m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩226,4,3m n =⎧⎪⎨=⎪⎩333,2163m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4416,552m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，∠PMQ 的边过点F ．24. (（衢州卷）本题12分)△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点BB 的横坐标； (2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：①当a =，12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；② 设b =-2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．tan 301OC OB =⨯︒==． ……1分由此，可求得点C 的坐标为)， ……1分 点A 的坐标为()， ∵ A ，B 两点关于原点对称， ∴ 点B 的坐标为)． 将点A 的横坐标代入(＊)式右边，，即等于点A 的纵坐标；将点B 的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B 的纵坐标．∴ 在这种情况下，A ，B 两点都在抛物线上．……2分情况2：设点C 在第四象限(如图乙)，则点C 的坐标为)，(甲)(乙)解：(1)∵点O是AB的中点，∴12OB AB==……1分设点B的横坐标是x(x>0)，则222x+=，……1分解得1x=2x=(舍去)．∴点B……2分(2)①当a=12b=-，c=212y x x=-……(＊)2y x=-．……1分以下分两种情况讨论．情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C，点A的坐标为)，点B的坐标为(，)．经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．……1分(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)②存在．m的值是1或-1．……2分(22()y a x m am c=--+，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)24.（莱芜市本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线cbxaxy++=2交x轴于)0,6(),0,2(BA两点，交y轴于点)32,0(C.（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线xy2=交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、FEF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ．∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a ， 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==3233463c b a . ∴抛物线的解析式为：32334632+-=x x y . …………………………3分 （2）易知抛物线的对称轴是4=x .把x =4代入y =2x 得y =8，∴点D 的坐标为（4,8）．∵⊙D 与x 轴相切，∴⊙D 的半径为8． …………………………4分 连结DE 、DF ，作DM ⊥y 轴，垂足为点M ． 在Rt △MFD 中，FD =8，MD =4．∴cos ∠MDF =21． ∴∠MDF =60°，∴∠EDF =120°． …………………………6分EF 的长为：π=⨯π⨯3168180120． …………………………7分（3）设直线AC 的解析式为y =kx +b . ∵直线AC 经过点)32,0(),0,2(C A .∴⎩⎨⎧==+3202b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=323b k .∴直线AC 的解析式为：323+-=x y . ………8分设点)0)(3233463,(2<+-m m m m P ，PG 交直线AC 于N ， 则点N 坐标为)323,(+-m m .∵PN S S G NA PNA ::=∆∆∴①若PN ︰GN =1︰2，则PG ︰GN =3︰2，PG =23GN . 即32334632+-m m =）（32323+-m .解得：m 1=－3， m 2=2（舍去）.当m =－3时，32334632+-m m =3215. ∴此时点P 的坐标为)3215,3(-. …………………………10分②若PN ︰GN =2︰1，则PG ︰GN =3︰1， PG =3GN . 即32334632+-m m =）（3233+-m . 解得：121-=m ，22=m （舍去）.当121-=m 时，32334632+-m m =342. ∴此时点P 的坐标为)342,12(-. 综上所述，当点P 坐标为)3215,3(-或)342,12(-时，△PGA 的面积被直线AC 分成1︰2两部分． …………………12分24. （舟山卷 本题12分)△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转． (1) 当点BB 的横坐标； (2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：①当a =12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；② 设b =-2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) ∵ 点O 是AB 的中点， ∴12OB AB == ……1分设点B 的横坐标是x (x >0)，则222x +=，……1分解得1x =2x =(舍去)．(第24题)∴点B……2分(2)①当a=12b=-，c=212y x x=-……(＊) 2y x=-．……1分以下分两种情况讨论．情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C，tan301OC OB=⨯︒==．……1分由此，可求得点C的坐标为)，……1分点A的坐标为()，∵A，B两点关于原点对称，∴点B的坐标为)．将点A的横坐标代入(＊)式右边，，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．……2分情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为)，点A的坐标为)，点B的坐标为(，)．经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．……1分(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)②存在．m的值是1或-1．……2分(22()y a x m am c=--+，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)(甲)(乙)25．(2010．十堰)（本小题满分10分）已知关于x 的方程mx 2-(3m －1)x +2m －2=0（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数y= mx 2-(3m －1)x +2m －2的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y =x +b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围. 解：（1）分两种情况讨论：①当m =0 时，方程为x －2=0，∴x =2 方程有实数根 ②当m ≠0时，则一元二次方程的根的判别式△=[－（3m －1）]2－4m （2m －2）=m 2+2m +1=（m +1）2≥0 不论m 为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根综合①②，可知m 取任何实数，方程mx 2-(3m －1)x +2m －2=0恒有实数根.（2）设x 1，x 2为抛物线y= mx 2-(3m －1)x +2m －2与x 轴交点的横坐标. 则有x 1+x 2=31m m -，x 1·x 2=22m m- 由| x 1－x 21||m m +， 由| x 1－x 2|=2得1||m m +=2，∴1m m +=2或1m m+=－2 ∴m =1或m =13-∴所求抛物线的解析式为：y 1=x 2－2x 或y 2=13-x 2+2x －83即y 1= x （x －2）或y 2=13-（x －2）（x －4）其图象如右图所示.（3）在（2）的条件下，直线y =x +b 与抛物线y 1，y 2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b 的取值范围.212y x x y x b ⎧=-⎨=+⎩，当y 1=y 时，得x 2－3x －b =0，△=9+4b =0，解得b =－94； 同理2218233y x x y x b ⎧=-+-⎪⎨⎪=+⎩，可得△=9－4（8+3b ）=0，得b =－2312. 观察函数图象可知当b <－94 或b >－2312 时，直线y =x +b 与（2）中的图象只有两个交点.由21222 18233y x x y x x ⎧=-⎪⎨=-+-⎪⎩当y 1=y 2时，有x =2或x =1 当x =1时，y =－1所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y =x －2，综上所述可知：当b <－94 或b >－2312 或b =－2时，直线y =x +b 与（2）中的图象只有两个交点.。

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