2 第2课时应用案巩固提升

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整理与复习《巩固应用》(教案)2023-2024学年数学五年级上册北师大版

整理与复习《巩固应用》课程内容：2023-2024学年数学五年级上册，北师大版教学目标：1. 让学生通过整理与复习，巩固所学知识，提高数学应用能力。

2. 培养学生良好的学习习惯，提高自主学习能力。

3. 培养学生合作交流的能力，提高团队协作意识。

教学内容：1. 对本学期所学知识进行梳理，总结。

2. 针对不同知识点，设计巩固练习，提高学生的应用能力。

3. 对学生进行学习方法指导，培养良好的学习习惯。

教学重点：1. 巩固所学知识，提高应用能力。

2. 培养良好的学习习惯，提高自主学习能力。

教学难点：1. 如何引导学生进行有效的整理与复习。

2. 如何设计有针对性的巩固练习。

教学准备：1. 教师准备：对本学期所学知识进行梳理，设计巩固练习。

2. 学生准备：带齐学习资料，准备好笔记本。

教学过程：一、导入1. 教师简要介绍本节课的内容和目标。

2. 提问：同学们，我们这个学期学习了哪些数学知识？你们觉得自己掌握得怎么样？二、整理与复习1. 教师引导学生对本学期所学知识进行梳理，总结。

2. 学生分组讨论，共同完成知识梳理。

三、巩固练习1. 教师根据知识点，设计有针对性的巩固练习。

2. 学生独立完成练习，教师巡回指导。

四、学习方法指导1. 教师针对学生的学习情况，进行学习方法指导。

2. 学生分享自己的学习心得，互相学习。

五、课堂小结1. 教师总结本节课的学习内容，强调重点。

2. 学生提问，教师解答。

六、作业布置1. 教师布置适量的作业，要求学生在规定时间内完成。

2. 学生认真完成作业，家长签字。

教学反思：本节课通过整理与复习，巩固了学生所学知识，提高了学生的数学应用能力。

在教学过程中，教师应注重引导学生进行有效的整理与复习，设计有针对性的巩固练习，同时进行学习方法指导，培养学生良好的学习习惯。

在今后的教学中，教师还需继续关注学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学效果。

重点关注的细节：如何引导学生进行有效的整理与复习，以及如何设计有针对性的巩固练习。

高中语文课件：任务二课下提升任务落实与巩固

(节选自《红楼梦》第十七回至十八回“大观园试才题对额荣国府归省庆元宵”)
20课24版下高考提总升复习任务落实与巩固
文本三：宝玉笑道：“你爱打就打，这些东西原不过是借人所用，你爱这样，我爱那样，各自性情不同。比如那扇子原是扇的，你要撕着玩也可以使得，只是不可生气时拿他出气。就如杯盘，原是盛东西的，你喜听那一声响，就故意的碎了也可以使得，只是别在生气时拿他出气。这就是爱物了。” 晴雯听了，笑道：“既这么说，你就拿了扇子来我撕。我最喜欢撕的。” 宝玉听了，便笑着递与他。晴雯果然接过来，嗤的一声，撕了两半，接着嗤嗤又听几声。宝玉在旁笑着说：“响的好，再撕响些！”
20课24版下高考提总升复习任务落实与巩固
造这孽。他也没折了手，叫他自己搬去。”晴雯笑着，倚在床上说道： “我也乏了，明儿再撕罢。”宝玉笑道：“古人云，‘千金难买一笑’，几把扇子能值几何！”一面说着，一面叫袭人。袭人才换了衣服走出来，小丫头佳蕙过来拾去破扇，大家乘凉，不消细说。
(节选自《红楼梦》第三十一回“撕扇子作千金一笑因麒麟伏白首双星”)
答：
答案：(1)对比：①薛宝钗的委婉内敛与林黛玉的敏感尖刻；②薛宝钗的现实与林黛玉的诗化；③薛宝钗、贾宝玉的婚姻空洞与林黛玉、贾宝玉的纯净的感情。(意思对即可)
(2)表达效果：将薛宝钗和林黛玉在性格、处事原则及感情上的特点揭示得更加鲜明，更凸显出《红楼梦》成功塑造人物的特点。(意思对即可)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
从上到下、由外而内、由表及里的顺序，自然全面，也符合观察顺序。 C．宝玉的出场采取了反复亮相的方法，先描写其服饰后描写其容貌，
20课24版下高考提总升复习任务落实与巩固
____②____，【甲】连跟随他的清客相公们——一些依附于官僚富贵以帮闲凑趣的文人——也有着充满讽刺意味的名字。例如一个叫“詹光” 的，还有叫“单聘仁”的。【乙】整日与沾光、善骗人等为友，他是何等样人可想而知。刘禹锡在《陋室铭》里说“谈笑有鸿儒，往来无白丁”，而他则刚好相反，【丙】是“谈笑无鸿儒，往来皆白丁。”更具有讽刺意味的是，这样一个腹内空空的人竟然被朝廷“点了学差”，此处情节的安排足见作者对皇权思想的批判。

高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式第2课时一元二次不等式及其解法(二)应用案巩固提升数学

第十八页，共二十三页。
4．(选做题)某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系用图中的两条线段表示．该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t 的关系式为 Q(t)＝－t＋40.
(1)根据提供的图象，写出商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式； (2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几天．
12/8/2021
第六页，共二十三页。
7．关于 x 的方程xm2＋x＋m－1＝0 有一个正实数根和一个负实数根，则实数 m 的取值范围是________．解析：若方程xm2＋x＋m－1＝0 有一个正实根和一个负实根，则有mm＞－01，＜0或mm＜－01，＞0，所以 0＜m＜1. 答案：(0，1)
1 设全集 I 是实数集 R.M＝{x|x2>4}与 N＝xx－2 1≥1
都是 I 的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为 ________．解析：全集 I 是实数集 R.M＝{x|x2>4}＝ (－∞，－2)∪(2，＋∞)，∁IM＝[－2，2]，N＝xx－2 1≥1＝ (1，3]，阴影部分所表示的集合为 N∩∁IM＝{x|1<x≤2}．答案：{x|1<x≤2}
12/8/2021
第十二页，共二十三页。
[B 能力提升] 1．设 a≠0，对于函数 f(x)＝log3(ax2－x＋a)，若定义域为 R，则实数 a 的取值范围为________．解析：若函数 f(x)的定义域为 R，则不等式 ax2－x＋a>0 对任意 x∈R 均成立．所以aΔ>＝0，1－4a2<0，解得 a>12. 所以 a 的取值范围为12，＋∞. 答案：12，＋∞

新教材高中数学.1集合的概念(第2课时)集合的表示应用案巩固提升新人教A版必修第一册

第2课时集合的表示[A 基础达标]1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．一次函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合解析：选D.本题中的集合是点集，其表示一次函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合．故选D.2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是( ) A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}解析：选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B 中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C 中t ＝0时，x ＝－3，不属于给定的集合；只有D 是正确的．故选D.3．已知集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0，1}，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选A.由题意，x 2＋ax ＝0的解为0，1，利用根与系数的关系得0＋1＝－a ，所以a ＝－1.4．(2019·襄阳检测)已知集合A ＝{1，2，4}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝xy，x ∈A ，y ∈A ，则集合B 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B.因为A ＝{1，2，4}．所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝xy ，x ∈A ，y ∈A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，14，2，4，所以集合B 中元素的个数为5.5．下列说法中正确的是( ) ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．只有②和④解析：选C.①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．6．用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3，x ∈N ，y ∈N *}为____________．解析：集合A 是由方程x ＋y ＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝1，故A ＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．答案：{(0，3)，(1，2)，(2，1)}7．用列举法表示集合{x |x ＝(－1)n，n ∈N }＝________．解析：当n 为奇数时，(－1)n＝－1；当n 为偶数时，(－1)n＝1，所以{x |x ＝(－1)n，n ∈N }＝{－1，1}．答案：{－1，1}8．已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－3x ＋a ＝0}用列举法表示为________．解析：因为－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，所以(－5)2＋5a －5＝0，解得a ＝－4. 解x 2－3x －4＝0得，x ＝－1或x ＝4，所以{x |x 2－3x ＋a ＝0}＝{－1，4}．答案：{－1，4}9．用列举法表示下列集合． (1){x |x 2－2x －8＝0}．(2){x |x 为不大于10的正偶数}． (3){a |1≤a <5，a ∈N }．(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N . (5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}．解：(1){x |x 2－2x －8＝0}，用列举法表示为{－2，4}．(2){x |x 为不大于10的正偶数}，用列举法表示为{2，4，6，8，10}．(3){a |1≤a <5，a ∈N }，用列举法表示为{1，2，3，4}． (4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N ，用列举法表示为{1，5，7，8}．(5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}，用列举法表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．10．用描述法表示下列集合： (1){0，2，4，6，8}． (2){3，9，27，81，…}．(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，34，56，78，…. (4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．解：(1){x ∈N |0≤x <10，且x 是偶数}． (2){x |x ＝3n，n ∈N *}．(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n －12n ，n ∈N *. (4){x |x ＝5n ＋2，n ∈Z }．[B 能力提升]11．若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R }只有一个元素，则实数k 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．0或1D ．2解析：选C.集合A 中只有一个元素，即方程kx 2＋4x ＋4＝0只有一个根．当k ＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k ≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k ＝0，即k ＝1.所以实数k 的值为0或1.12．设P 、Q 为两个实数集，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B.因为0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，所以P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}．故选B.13．(2019·襄阳检测)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z }，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z }，若x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则( )A ．a ∈M ，b ∈PB ．a ∈P ，b ∈MC ．a ∈M ，b ∈MD ．a ∈P ，b ∈P解析：选A.设x 0＝2n ＋1，y 0＝2k ，n ，k ∈Z ，则x 0＋y 0＝2n ＋1＋2k ＝2(n ＋k )＋1∈M ，x 0y 0＝2k (2n ＋1)＝2(2nk ＋k )∈P ，即a ∈M ，b ∈P ，故选A.。

小学数学人教版六年级上册《第二课时简便计算和巩固练习》教案

小学数学人教版六年级上册
第二课时简便计算和巩固练习
教学内容：课本第60页例3，完成“做一做”题目和练习十五的第6～11题。

教学目的：使学生进一步学会分数四则混合运算；使学生在分数四则混合运算的计算中能够应用一些简便算法；培养学生认真计算，检查的习惯。

教学过程：
一、复习。

1．用简便方法计算。

7275326++ 5
1541127-- 62×37＋38×37 36×99 指名说一说应用了什么定律进行简便计算。

二、新授。

1．导语。

在分数四则混合运算中，有时也可以应用运算定律使计算简便。

（板书课题：简便计算与巩固练习）
2．教学例3。

出示例3：计算 8
3758771+⨯+ （1）问：这道题应该先算什么？
（2）指名学生说出计算方法，教师板书：
8
385718
3175871
718
3758771++=+⨯+=+⨯+ （3）问：下一步应该怎样算？有没有简便算法？
学生把题目做完：
7
1117
1)8
385(71=+=++= 三、巩固练习。

1、完成“做一做”题目。

让学生说一说怎样简便运算。

2．练习十五的第7题。

让学生比一比，谁算得快，谁的计算方法灵活。

3．练习十五第8题。

第2题让学生列出综合算式，也可以列方程解答。

四、全课小结。

1.这节课我们研究了什么？
2.在分数四则混合运算中，如果能简便运算的应该怎么办？
五、布置作业。

练习十五第6、9、10题。

六．课后反思；。

《巩固与应用》(教案)2023-2024学年数学四年级上册-北师大版

《巩固与应用》（教案）20232024学年数学四年级上册北师大版教案：《巩固与应用》一、教学内容1. 小数的加法和减法；2. 小数的乘法和除法；3. 分数的加法和减法；4. 分数的乘法和除法。

二、教学目标1. 使学生掌握小数和分数的加减乘除运算方法；2. 培养学生解决实际问题的能力；3. 提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

三、教学难点与重点1. 小数和分数的加减乘除运算方法；2. 将实际问题转化为数学问题，并运用所学知识解决。

四、教具与学具准备1. 的教具：黑板、粉笔、投影仪；2. 学具：练习本、尺子、圆规、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的物品，如桌子、椅子、书本等，找出相同数量物品并进行分类。

2. 例题讲解：以桌子为例，讲解如何用小数和分数表示桌子的数量，并进行加减乘除运算。

3. 随堂练习：让学生分组合作，用小数和分数解决实际问题，如教室里有3张桌子，又运来了2张，一共有多少张？4. 讲解答案：邀请学生上黑板演示解题过程，并讲解答案。

5. 课堂互动：让学生提问，解答其他学生的疑问。

6. 板书设计：将本节课的主要知识点和例题步骤写在黑板上，以便学生复习。

六、作业设计1. 题目：小明有2.5元，小红有3.2元，他们一共多少钱？答案：5.7元2. 题目：一个苹果的重量是0.25千克，三个苹果的重量是多少千克？答案：0.75千克七、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生掌握了小数和分数的加减乘除运算方法，并能运用所学知识解决实际问题；2. 拓展延伸：让学生思考如何运用小数和分数解决更复杂的实际问题，如购物时如何计算总价？本节课通过实践情景引入，让学生直观地理解小数和分数的加减乘除运算方法，并通过例题讲解和随堂练习，使学生熟练掌握所学知识。

通过课堂互动和板书设计，帮助学生巩固知识点，提高逻辑思维能力和团队合作能力。

作业设计让学生在课后巩固所学，拓展延伸则激发学生思考，培养解决实际问题的能力。

2018年高中数学人教A版必修三应用案巩固提升：1.1 1-1

[A 基础达标]1．某程序框图如图所示，下列说法不正确的是( )A ．该框图包含顺序结构和条件结构B ．框图中的起止框不能省略C ．可以同时输出两个不同的结果c 和mD ．判断条件为“m >c ？”解析：选C.题中的程序框图中有判断框，根据给定条件判断并根据判断结果进行不同处理，执行一次只能有一个结果输出．2．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则log 24⊗⎝⎛⎭⎫13－1的值为( ) A.13 B ．1 C.43D ．2解析：选B.因为log 24＝2<3＝⎝⎛⎭⎫13－1，由题意知所求值为3－12＝1.3．运行如图程序框图，使得当成绩不低于60分时，输出“及格”，当成绩低于60分时，输出“不及格”，则( )A．①框中填“是”，②框中填“否”B．①框中填“否”，②框中填“是”C．①框中填“是”，②框中可填可不填D．①框中填“否”，②框中可填可不填解析：选A.当x≥60时，应输出“及格”；当x＜60时，应输出“不及格”，故①框中应填“是”，②框中应填“否”．4．(2018·绵阳高一检测)如图所示的程序框图中，若输入的分别为a＝20.9，b＝(－0.9)2，c＝log0.91.3，则输出的数为()A．20.9B．(－0.9)2C．log0.91.3 D．不确定解析：选A.由程序框图，可知输出的数是a，b，c三者当中最大的数．因为a＝20.9>1，b＝(－0.9)2∈(0，1)，c＝log0.91.3<0，所以a最大，所以输出的数是20.9，故选A.5．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.由题意得该程序的功能是计算并输出分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －4，2<x ≤5，1x ，x >5的值．当x ≤2时，由x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1，当2<x ≤5时，由x ＝2x －4，解得x ＝4，当x >5时，由x ＝1x ，解得x ＝±1(舍去)，故满足条件的x 值共有3个，故选C.6．已知a ＝2，b ＝log 33，执行如图所示的程序框图，则输出的值为__________．解析：由a ＝2，b ＝log 33＝lg 3lg 3＝2，知a >b 不成立，故输出a b ＝22.答案：227．任给一个x 值计算y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（x ＜0），2（x ＝0），3（x ＞0）中的y 值的算法的程序框图如图所示，其中程序框中的①②③分别为________，________，________．解析：由于第一个判断框“是”执行y ＝1，故①填“x ＜0？”，再由y ＝1，y ＝2知③填“y ＝3”，故②填“x ＞0？”．答案：x ＜0？ x ＞0？ y ＝38．如图所示的程序框图运行后输出结果为12，则输入的x 值为________．解析：程序框图表示的是求分段函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x ≥14，2x，x ≤0，log 12x ，0＜x ＜14的函数值，由⎩⎨⎧x 2＝12x ≥14得，x ＝22；由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝12x ≤0得，x ＝－1；又⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ＝120＜x ＜14无解，故x ＝－1或22.答案：－1或229．阅读如图程序框图，并根据该框图回答以下问题．(1)分别求f (－1)，f (0)，f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)的值； (2)写出函数f (x )的表达式．解：(1)当x ＝－1时，满足x <0，故执行y ＝0，即f (－1)＝0，同样地，可得f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＝3.(2)由程序框图得函数f (x )的表达式为： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0（x <0），1（0≤x <1），x （x ≥1）.10．设汽车托运重量为P kg 的货物时，托运每千米的费用标准为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2P ，当P ≤20 kg 时，0.3×20＋1.1（P －20），当P ＞20 kg 时，画出货物托运费用的程序框图．解：程序框图如图(x 为托运路程)．[B 能力提升]11．执行如图的程序框图，如果输入t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( )A ．[－3，4]B ．[－5，2]C ．[－4，3]D ．[－2，5]解析：选A.因为t ∈[－1，3]，当t ∈[－1，1)时，s ＝3t ∈[－3，3)；当t ∈[1，3]时，s ＝4t －t 2＝－(t 2－4t )＝－(t －2)2＋4∈[3，4]，所以s ∈[－3，4]．12．已知某程序框图如图所示，若输入的x 的值分别为0，1，2，执行该程序后，输出的y 的值分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝____________．解析：由程序框图可得函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，1，x ＝1，4x ，x <1，记y ＝f (x )，则a ＝f (0)＝40＝1，b ＝f (1)＝1，c ＝f (2)＝22＝4，故a ＋b ＋c ＝6.答案：613．设计算法，判断给定的直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与任意圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系，并画出程序框图．解：算法步骤如下：第一步，输入A ，B ，C ，a ，b ，r 的值．第二步，计算d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2的值．第三步，判断d >r 是否成立，若成立，则输出“相离”，结束算法，否则，执行第四步．第四步，判断d ＝r 是否成立，若成立，则输出“相切”，结束算法；否则，输出“相交”，结束算法．程序框图如图．14．(选做题)学习优秀的条件如下： (1)五门课的成绩总分不低于500分； (2)每门课成绩都不低于90分；(3)三门主课每门的成绩都不低于100分，其他两门课的成绩都不低于90分．输入某学生的五门课的成绩，问他是否够优秀条件．画出程序框图．解：程序框图如图所示(其中a ，b ，c 为三门主课成绩)：。

北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第二章章末复习提升课含解析

章末复习提升课1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是[0°，180°)．(2)k ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan α，α≠90°，不存在，α＝90°.(3)斜率的求法：①依据直线方程；②依据倾斜角；③依据两点的坐标． 2．两条直线的位置关系设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0. (2)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0.(3)重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．3．距离公式(1)两点间的距离公式：已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)点到直线的距离公式：①点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；②两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C ＝0与l 2：Ax ＋By ＋D ＝0的距离d ＝|C －D |A 2＋B 2. 4．点和圆的位置关系设点P (x 0，y 0)及圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点P 在圆外． (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点P 在圆内． (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点P 在圆上． 5．直线与圆的位置关系设直线l 与圆C 的圆心之间的距离为d ，圆的半径为r ，则 d >r →相离；d ＝r →相切；d <r →相交． 6．圆与圆的位置关系设C 1与C 2的圆心距为d ，半径分别为r 1与r 2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r 1、r 2的关系 d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 d ＝|r 1－r 2| d <|r 1－r 2| (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝（1＋k 2）[（x A ＋x B ）2－4x A x B ].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．1．明确直线的倾斜角与斜率的关系(1)倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．(2)倾斜角可正可零不可为负，而斜率k 不仅可正，可零，而且可以为负．2．讨论斜率的情况：在利用直线的斜率处理平行与垂直的关系时，特别要注意直线的斜率不存在的情况．3．点到直线的距离公式的应用在应用点到直线的距离公式时，一定要把直线化为一般式，明确系数A ，B ，C . 4．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆应满足的条件： (1)A ＝C ≠0，(2)B ＝0，(3)D 2＋E 2－4AF >0. 5．画空间直角坐标系的三大注意事项(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长度相等，x 轴的单位长度等于y 轴单位长度的一半．(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它们的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它们的几何图形的形象直观性来分析问题．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3D ．2[解析] 由已知可得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1，4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A.[答案] A已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．[解析] 设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即||3m －3m 2＋1＝3，解得m＝－33，则直线l：x－3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝|AB|cos 30°＝4.[答案] 4最值问题解析几何中的最值问题是人们工作和生活追求的目标，可用于解决生活中的一些实际问题，本章主要研究直线与圆中的最值及动点轨迹等．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)设yx＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时有|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3，故yx的最大值是3，最小值是－ 3.(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当直线y＝x＋b与圆相切时b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6，故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何的知识知，其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又知圆心到原点的距离为2，故x2＋y2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－4 3.圆的切线方程问题求圆的切线的问题经常出现，主要有以下三类．(1)求过圆上一点的圆的切线方程已知圆x2＋y2＝r2，M(x0，y0)是圆上一点，则过点M的圆的切线方程为xx0＋yy0＝r2.一般地，若圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则过切点M (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)求过圆外一点的圆的切线过程求过圆外一点的圆的切线方程，一般设为点斜式，运用待定系数法或判别式法求出斜率k ，但用点斜式表示直线方程的前提是斜率必须存在．过圆外一点可以作圆的两条切线，如果只有一解，那么一定有一条切线斜率不存在，这时可用数形结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来．(3)已知斜率求圆的切线斜率为k 且与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2相切的切线方程的求法：①先设切线方程为y ＝kx ＋m ，然后化成一般式kx －y ＋m ＝0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m ；②设切线方程为y ＝kx ＋m ，与圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式为0求出m .过点P (－2，0)向圆x 2＋y 2＝1引切线，求切线的方程． [解] 设所求切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝k (x ＋2)．由题意联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 2＋y 2＝1，即(k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋4k 2－1＝0.由题意知上述一元二次方程有两相等实根，所以Δ＝16k 4－4(k 2＋1)(4k 2－1)＝－12k 2＋4＝0，即k ＝±33，所以所求切线的方程为y＝±33(x ＋2)．1．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab <0，bc >0 C ．ab >0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A.由题意知，直线的斜率小于0，直线在y 轴上的截距大于0，从而ab >0，bc <0. 2．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0解析：选D.设圆心为(a ，0)(a >0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离等于2，即3a ＋432＋42＝2，解得a ＝2.故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4.3．对任意实数k ，圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝13与直线l ：kx －y －4k ＋3＝0的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．与k 取值有关解析：选D.圆心(3，4)到直线距离d ＝|3k －4－4k ＋3|k 2＋1＝|k ＋1|k 2＋1与k 取值有关，故选D.4．如果直线ax ＋3y ＋2＝0与直线3ax －y －2＝0垂直，那么a ＝________．解析：由题意得a ·3a －3＝0，解得a ＝±1. 答案：±15．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是________．解析：注意到圆心C (3，－5)到已知直线的距离为|4×3－3×（－5）－2|42＋（－3）2＝5，结合图形可知有两个极端情形：其一是如图所示的小圆，半径为4；其二是如图所示的大圆，其半径为6，故4<r <6.答案：(4，6)6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1，0)．(1)若l 1与圆相切，求l 1的方程；(2)若l 1与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，求证：AM ·AN 为定值．解：(1)①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意． ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解之得k ＝34.所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)证明：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0得 N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1. 又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k （x －3）得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2. 所以AM ·AN ＝ |y M －0|1＋1k2·|y N －0| 1＋1k2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2＋2k 1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋1k 2＋1k 2 ＝6为定值．。

北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第二章223第2课时圆与圆的位置关系含解析

第2课时圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系及判定 (1)几何方法已知两圆C 1：(x －x 1)2＋(y －y 1)2＝r 21， C 2：(x －x 2)2＋(y －y 2)2＝r 22，则圆心分别为C 1(x 1，y 1)，C 2(x 2，y 2)，半径分别为r 1，r 2，圆心距d ＝|C 1C 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2．则两圆C 1，C 2有以下位置关系：两圆位置关系图形情况 d 与r 1、r 2的关系相离d >r 1＋r 2 外切d ＝r 1＋r 2 相交|r 2－r 1|<d <r 1＋r 2 内切d ＝|r 2－r 1|内含d <|r 2－r 1|(2)代数方法设两圆方程分别为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0――→消元一元二次方程 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0相交Δ＝0相切Δ<0内含，相离. 方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交，有一组实数解⇔两圆相切，无实数解⇔两圆相离或内含．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆相离．( )(2)两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交．()(3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含．()(4)若两圆有且只有一个公共点，则两圆外切．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9的位置关系是()A．相离B．外切C．相交D．内切解析：选B.圆心距d＝（－2－1）2＋（－2－2）2＝5，两圆半径的和r1＋r2＝2＋3＝5，则d＝r1＋r2，即两圆外切．3．若圆x2＋y2＝9与圆(x－4)2＋(y＋3)2＝r有3条公切线，则实数r的值为()A．8 B．64C．2 D．4解析：选D.两圆有3条公切线，即两圆外切，两圆圆心距d＝（0－4）2＋（0＋3）2＝5，所以有5＝3＋r，解得r＝4.4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________．解析：圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0，配方得(x－a)2＋y2＝1，两圆的连心线长为（a－0）2＋02＝|a|＝2－1，解得a＝±1.答案：±15．已知圆O1与圆O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)，若两圆相交，则r的取值范围是________．答案：(1，3)1．两圆的公切线问题(1)公切线的条数判断因两圆位置关系变化而变化①两圆外离时有4条，其中2条内公切线，2条外公切线；②两圆外切时有3条，其中1条内公切线，2条外公切线；③两圆相交时有2条，只有2条外公切线；④两圆内切时有1条，只有1条外公切线；⑤两圆内含时无公切线．(2)公切线的求法：由于公切线与两圆都相切，所以圆心到切线的距离都等于圆的半径，故可设公切线方程为y ＝kx ＋b (注意斜率不存在的情况)．由两圆心到直线的距离分别等于两圆半径，联立方程组即可求解．(3)公切线的长度：一定要结合几何图形，利用构造直角三角形，两点间的距离公式等方法灵活求解．2．两圆相交时公共弦问题(1)设圆O 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆O 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0. 则两圆相交公共弦所在直线方程为：(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)－(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，即(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.(2)求两圆的公共弦长问题可转化为直线与圆相交求相交弦长问题，从而得以解决，如图，利用圆O 1，首先求出O 1点到相交弦所在直线的距离d ，而|AC |＝12|AB |，所以14|AB |2＝r 21－d 2，即|AB |＝2r 21－d 2，从而得以解决．圆与圆的位置关系的判定已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，当m 为何值时，(1)两圆相外切；(2)两圆内含．[解] 两圆的方程分别化为C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以两圆的圆心坐标分别为C 1(m ，－2)和C 2(－1，m )，两圆的半径分别为r 1＝3，r 2＝2.(1)如果两圆相外切，则有（m ＋1）2＋（－2－m ）2＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. (2)当两圆内含时，则有（m ＋1）2＋（－2－m ）2<3－2，即m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1.所以当m＝－5或m＝2时两圆相外切，当－2<m<－1时两圆内含．在本例中，条件不变，若两圆相内切、相交，结果如何？解：如果两圆相内切，则有（m＋1）2＋（－2－m）2＝3－2，即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2或m＝－1.如果两圆相交，则有3－2<（m＋1）2＋（－2－m）2<3＋2，解得－5<m<－2或－1<m<2.判定两圆位置关系的步骤(1)将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径．(2)计算圆心距，半径和、半径差的绝对值．(3)利用圆心距，半径和、半径差的绝对值判定两圆的位置关系．1.圆C1与圆C2的半径是方程x2－3x＋1＝0的两个根，d为两圆的圆心距，求当C1与C2(1)外切；(2)外离；(3)内切；(4)内含时，d的取值范围．解：设两圆C1、C2的半径分别为r1、r2，则r1＋r2＝3，r1r2＝1，所以|r1－r2|＝（r1＋r2）2－4r1r2＝32－4×1＝5，(1)当C1与C2外切时，d＝3；(2)当C1与C2外离时，d>3；(3)当C1与C2内切时，d＝5；(4)当C1与C2内含时，0≤d< 5.圆与圆相切的问题已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．[解]两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.圆心分别为C1(1，3)，C2(5，6)．半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.因为k c 1c 2＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43，设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝⎛⎭⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311，直线与另一圆相交，故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311.即4x ＋3y ＋511－13＝0.求公切线的五个步骤(1)判断公切线的条数． (2)设出公切线的方程．(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值． (4)验证特殊情况下的直线是否为公切线． (5)归纳总结．[注意] 对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数．2.(1)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11(2)求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．解：(1)选C.圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，所以|C 1C 2|＝5. 又因为两圆外切，所以5＝1＋25－m ，解得m ＝9.(2)圆方程x 2＋y 2－2x ＝0化为(x －1)2＋y 2＝1，设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）2＋b 2＝r ＋1，|a ＋3b |2＝r ，b ＋3a －3＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－43r ＝6.，所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.圆与圆相交的问题已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．[解] (1)将两圆方程化为标准方程，圆C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10.则圆C 1的圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52；圆C 2的圆心为C 2(－1，－1)，半径r 2＝10.又|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10，所以|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2，所以两圆相交． (2)两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程． (3)法一：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，② 两式相减得x ＝2y －4，③把③代入②得y 2－2y ＝0，所以y 1＝0，y 2＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2，所以交点坐标为(－4，0)和(0，2)．所以两圆的公共弦长为（－4－0）2＋（0－2）2＝2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝5 2.由(2)知两圆公共弦所在直线的方程为x －2y ＋4＝0，所以圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离 d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝3 5.设公共弦长为2l ，由勾股定理r 2＝d 2＋l 2，得50＝45＋l 2，解得l ＝5，所以公共弦长2l ＝2 5.求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：[注意] (1)当两圆相切时，两圆方程相减所得直线方程即为两圆的公切线方程． (2)当两圆外离时，方程作差也能得一条直线方程，但这条直线方程不是两圆的公共弦所在直线方程．3.求过两圆x 2＋y 2＝25和(x －1)2＋(y －1)2＝16的交点且面积最小的圆的方程．解：圆x 2＋y 2＝25和(x －1)2＋(y －1)2＝16的公共弦所在直线的方程为x 2＋y 2－25－[(x －1)2＋(y －1)2－16]＝0，即2x ＋2y －11＝0，过直线2x ＋2y －11＝0与圆x 2＋y 2＝25的交点的圆系方程为x 2＋y 2－25＋λ(2x ＋2y －11)＝0，即x 2＋y 2＋2λx ＋2λy －(11λ＋25)＝0.依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(－λ，－λ)必在公共弦所在直线2x ＋2y －11＝0上．即－2λ－2λ－11＝0，则λ＝－114，代回圆系方程得所求圆方程为⎝⎛⎭⎫x －1142＋⎝⎛⎭⎫y －1142＝798.思想方法巧用圆系方程解题求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y－8＝0的交点的圆的方程．[解] 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(2λ－2)x ＋(2λ＋10)y －8λ－24＝0，同除以1＋λ可得， x 2＋y 2＋2λ－21＋λx ＋2λ＋101＋λy －8λ＋241＋λ＝0，此圆的圆心P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ－11＋λ，－λ＋51＋λ. 又因为圆心在直线x ＋y ＝0上，所以－λ－11＋λ－λ＋51＋λ＝0，得λ＝－2.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.(1)一般地，过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．(2)利用圆系，恰当设出所求圆的方程是解本题的关键，将方程整理后，圆心坐标的表示要准确．最后的结果要整理成圆的一般方程(或标准方程)．1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()A．相离B．外切C．内切D．相交解析：选D.圆O1的圆心为(1，0)，半径r1＝1，圆O2的圆心为(0，－2)，半径r2＝2，|O1O2|＝5，r1＋r2＝3，r2－r1＝1，所以r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，则两圆相交．2．以点(2，－2)为圆心且与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0外切的圆的方程是()A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9C．(x－2)2＋(y－2)2＝16D．(x－2)2＋(y＋2)2＝16解析：选B.由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心(－1，2)，半径r1＝2，故所求的圆的半径：r2＝（2＋1）2＋（－2－2）2－2＝5－2＝3，则所求的圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9，故选B.3．两圆C1：x2＋y2＝a与C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为________．解析：x2＋y2＋6x－8y－11＝0⇔(x＋3)2＋(y－4)2＝36，从而C1(0，0)，r1＝a，C2(－3，4)，r2＝6，因为C1与C2内切，所以|C1C2|＝|r2－r1|，5＝|6－a|，所以a＝1或121.答案：1或1214．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0.因为A ，B 两点坐标都满足此方程，所以3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程，易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r ＝3.又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95.所以|AB |＝2r 2－d 2＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245. 即两圆的公共弦长为245., [学生用书P133(单独成册)])[A 基础达标]1．已知圆C 1与C 2相切，圆心距为10，其中圆C 1的半径为4，则圆C 2的半径为( ) A ．6或14 B ．10 C ．14D ．不确定解析：选A.由题意知，r ＋4＝10或10＝|r －4|，解得r ＝6或r ＝14.2．两圆x 2＋y 2－2y －3＝0与x 2＋y 2＋2x ＝0的公共弦所在的直线方程为( ) A ．2x －2y －3＝0 B ．2x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋2y ＋3＝0 D ．2x ＋2y －3＝0解析：选C.两圆方程相减得2x ＋2y ＋3＝0.即为两圆的公共弦所在的直线方程． 3．圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.两圆的圆心距d ＝（－2－2）2＋（2＋5）2＝65，半径分别为r 1＝1，r 2＝4，则d >r 1＋r 2，所以两圆相离，因此它们有4条公切线．4．⊙A ，⊙B ，⊙C 两两外切，半径分别为2，3，10，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B.△ABC 的三边长分别为5，12，13，52＋122＝132，所以△ABC 为直角三角形．5．两圆相交于点A (1，3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 解析：选C.由题意知，AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12，1在直线x －y ＋c ＝0上，所以m ＋12－1＋c ＝0，m ＋2c ＝1.又直线AB 的斜率k AB ＝3－（－1）1－m ＝41－m ＝－1，所以m ＝5，c ＝－2.故m ＋c ＝3，故选C.6．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________．解析：由题设知，圆心为(a ，6)，R ＝6，所以（a －0）2＋（6－3）2＝6－1，所以a 2＝16.所以a ＝±4，所以所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.答案：(x ±4)2＋(y －6)2＝367．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0上的点之间的最短距离是__________．解析：由x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，由x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0得(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，两圆圆心距为（－1－2）2＋（2＋1）2＝32>22，故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是32－2－2＝ 2. 答案： 28．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：由题意知O 1(0，0)，O 2(m ，0)，且5<|m |<35，又O 2A ⊥AO 1，所以有m 2＝(5)2＋(25)2＝25⇒m ＝±5，所以|AB |＝2×5×205＝4. 答案：49．求与已知圆x 2＋y 2－7y ＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x －3y －1＝0，且过点(－2，3)，(1，4)的圆的方程．解：公共弦所在直线的斜率为23，已知圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫0，72，故两圆圆心所在直线的方程为y －72＝－32x ，即3x ＋2y －7＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2＋32－2D ＋3E ＋F ＝0，12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0，3⎝⎛⎭⎫－D 2＋2⎝⎛⎭⎫－E 2－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－10，F ＝21.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －10y ＋21＝0.10．已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0交于A ，B 两点．(1)求过A ，B 两点的直线方程；(2)求过A ，B 两点且圆心在直线2x ＋4y ＝1上的圆的方程．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0.两式相减并整理得：x －y －1＝0，所以过A ，B 两点的直线方程为x －y －1＝0.(2)依题意：设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ，因为圆心在直线2x ＋4y ＝1上，所以2·21＋λ＋4·λ－11＋λ＝1，解得λ＝13，所以所求圆的方程为：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0. [B 能力提升]11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：选D.设动圆圆心坐标为(x ，y )，当两圆内切时有（x －5）2＋（y ＋7）2＝4－1，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝9，当两圆外切时有（x －5）2＋（y ＋7）2＝4＋1，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝25.12．若点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，则圆(x －a )2＋y 2＝1与圆x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是________．解析：因为点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，所以a 2＋b 2＝4.又圆x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 1(0，b )，半径r 1＝1，圆(x －a )2＋y 2＝1的圆心C 2(a ，0)，半径r 2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2，所以d ＝r 1＋r 2，所以两圆外切．答案：外切13．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．解：设圆B 的半径为r ，因为圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，所以圆B 的圆心可设为(t ，2t )，所以圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.①因为圆A 的方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，②所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③因为圆B 平分圆A 的周长，所以圆A 的圆心(－1，－1)必须在公共弦上，于是将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215，所以当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215. 14．(选做题)已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2，1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)由两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是：(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0.(2)设圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，因为圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0.①作O 1H ⊥AB ，则AH ＝12|AB |＝2，O 1H ＝2，由圆心(0，－1)到直线①的距离得 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20，故圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。

语文知识的巩固与提升教案

语文知识的巩固与提升教案教学目标：1. 巩固与提升学生的语文知识水平。

2. 培养学生的阅读和写作能力。

3. 增强学生对语文的兴趣和自信心。

教学内容：1. 词语的辨析与用法。

2. 句子的结构与变换。

3. 阅读理解与写作技巧。

教学步骤：一、引入（5分钟）教师与学生互动，引发学生对语文知识的兴趣，激发学习的动力。

二、知识巩固（25分钟）1. 词语的辨析与用法（10分钟）教师通过例句和语境解释，帮助学生理解并掌握词语的正确用法。

例如，辨析“热情”和“热忱”、区分“记者”和“新闻报道员”等。

2. 句子的结构与变换（15分钟）教师通过分析句子结构和变换练习，引导学生理解句子的基本组成和不同句式之间的转换关系。

例如，主谓宾结构的转换、从句与主句的转换等。

三、知识提升（35分钟）1. 阅读理解（20分钟）教师提供一段文章，让学生进行阅读，并回答相关的问题。

通过训练学生的阅读理解能力，提高他们的信息获取和推理能力。

2. 写作技巧（15分钟）教师讲解一些常用的写作技巧，例如使用恰当的过渡词、注意段落结构等。

然后给学生一个写作任务，让他们运用所学的技巧来写一篇短文或作文。

学生可以选择自己感兴趣的话题，进行创作。

四、课堂总结（5分钟）教师对本节课所学内容进行总结，强调学生在平时学习中的巩固与提升的重要性，并鼓励学生在接下来的学习中持续努力。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够巩固和提升自己的语文知识水平，并且增强了阅读和写作的能力。

教师在授课中注重互动和实践，提高了学生的学习积极性和参与度。

在今后的教学中，可以进一步拓展语文知识的内容和培养学生的创造力，进一步提升教学效果。

教案巩固提升模板范文

一、教学目标1. 知识目标：- 学生能够熟练掌握本节课所学知识，并能运用到实际情境中。

- 学生能够对所学知识进行归纳总结，形成知识体系。

2. 能力目标：- 学生能够通过小组合作、讨论等方式，提高自己的团队协作能力和沟通能力。

- 学生能够运用所学知识解决实际问题，提高自己的问题解决能力。

3. 情感目标：- 学生能够树立正确的价值观，培养积极向上的学习态度。

- 学生能够增强自信心，勇于面对挑战。

二、教学内容1. 本节课所学知识点：- 详细列出本节课所涉及的知识点，包括理论知识和实际应用。

2. 教学重点与难点：- 明确指出本节课的教学重点和难点，帮助学生有针对性地进行巩固。

3. 教学资源：- 列出本节课所需的教学资源，如教材、多媒体课件、实验器材等。

三、教学过程1. 复习导入- 通过提问、复习旧知识等方式，引导学生回顾本节课所学内容，为新知识的学习做好铺垫。

2. 新知识讲解- 结合教材和教学资源，详细讲解本节课的新知识点，突出重点和难点。

3. 小组讨论与合作- 将学生分成小组，针对本节课的重点和难点进行讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4. 实践操作- 通过实验、练习等方式，让学生将所学知识应用到实际操作中，提高自己的实践能力。

5. 总结与巩固- 教师总结本节课所学内容，强调重点和难点，并布置相应的巩固练习。

四、巩固提升方法1. 课堂练习- 设计具有针对性的课堂练习题，让学生在课堂上巩固所学知识。

2. 课后作业- 布置适量的课后作业，让学生在课后复习和巩固所学知识。

3. 小组互助- 鼓励学生之间相互帮助，共同解决学习中的问题。

4. 课外拓展- 引导学生关注与所学知识相关的课外知识，拓宽知识面。

5. 定期测试- 定期进行知识测试，了解学生的学习情况，及时调整教学策略。

五、教学反思1. 教学效果- 对本节课的教学效果进行反思，总结经验教训，为今后的教学提供借鉴。

2. 学生反馈- 收集学生的反馈意见，了解学生对教学内容的掌握程度，为教学改进提供依据。

北师大版二年级数学下册《巩固与运用》第二课时马杰

课题：北师大版二年级数学下册巩固与运用第二课时上课班级二（3）（4）班备课教师马杰上课时间2017年3月22日第6周星期三教学目标知识与能力让学生回顾整理一至四单元所学过的知识，复习掌握所学内容。

过程与方法学生主动展示学习中谈学习的收获及练习，达成对知识的巩固和应用。

情感态度与价值观培养学生提出问题解决问题的能力。

教学重点学生对自己本阶段所学的知识进行归纳总结和反思教学难点培养学生提出问题解决问题的能力。

教具准备PPT 投影教法运用情景导入法引导法讲授法学法指导小组交流合作实践法练习法环节教师授课过程（教师活动）学生学习过程（学生活动）达成目标Ppt、时间导入一、口算练习。

42÷6= 6×5= 43÷8= 21÷5= 65÷8=7×9= 3×8= 34÷4= 75÷9= 45÷5=学生独立完成提高学生的积极性P1-25min初学新知二、巩固练习。

1，35÷8=4（组）…3（人）强调单位及答。

认真思考，学生独立完成，再集体订正。

并要求学生说一说每一步的意思。

复习第一单元有余数除法的知识。

P3-48min合作探究引导析疑2，从这幅图中你找到了哪些数学信息，问题是什么？引导学生分析题意，再让学生独立完成。

3，全班分小组进行讨论分别派各组代表总结发言学生在理解的基础上，独立完成。

P5-612min环节教师授课过程（教师活动）学生学习过程（学生活动）达成目标Ppt、时间深化学习拓展训练学生独立完成，再集体订正。

并要求学生说一说每一步的意思。

巩固方向与位置的知识。

P7-88min检测反馈说题意----独立完成----集体订正巩固基础知识P94min课堂小结全课总结：今天我们学习了什么？你有什么收获？学生自由回答，总结所学的知识内容。

回顾新知P102min 作业布置板书设计1.手抄作业2.数学宝典训练整理与复习1.有余数的除法总结2.方向与位置总结（东，南，西，北，东北，东南，西北，西南）3.生活中的大数知识总结（个，十，百，千，万）4.测量知识总结。

巩固应用二-完整版教学设计

教学重点
巩固三位数乘两位数的计算，进一步认识相互平行与相互垂直；
教学难点
感受数学在生活中的广泛应用；感受数学的神奇，激发学生学习的兴趣和探索规律的欲望。
教具
Байду номын сангаас准备
板书
设计
课后
反思
教
学
流
程
教师导学
学生自探
一、提出问题三位数乘两位数怎么计算？应注意什么？
小明从家去游乐园，怎么走路最近？二、全班交流，教师进行归纳总结
先让学生说估计的方法，再估计有多少字，可以有误差。
同桌先玩，自己想一个两位数，再乘101，告诉我结果的最后两位是多少。再猜这个数。
教师说其中的奥秘。
授课教师：授课班级：授课时间：年月日
教学
内容
《巩固应用二》
第____周第_____课时
总_____ 课时
教学目标
1、通过练习，进一步巩固三位数乘两位数的计算;
2、进一步认识相互平行与相互垂直，感受数学在生活中的广泛应用；
3、通过有趣的计算问题，熟练乘法计算，感受数学的神奇，激发学生学习的兴趣和探索规律的欲望。
第十一题：估计语文书中字最多的一页。
第十二题：神奇的101.
生自由汇报。
学生先独立完成，在全班交流讲解。注意强调中间和末尾有0的乘法。
学生先小组交流自己的想法，再独立完成。讲解时，引导学生先理解题意，先算电视和电脑共花了多少钱，再比较。
学生独立完成，全班集体订正即可。
学生同桌互说。注意引导学生说清哪条路与哪条路互相平行；哪条路与哪条路互相垂直。
三位数乘两位数时1、数位对齐
2、计算时时要注意把进的数加上。
3、直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短。三、课堂练习

小学数学巩固提升教案模板

教学目标：1. 巩固学生已学过的数学知识，提高学生的数学素养。

2. 培养学生良好的数学思维和解决问题的能力。

3. 激发学生对数学的兴趣，提高学生的自主学习能力。

教学重点：1. 巩固学生对数学基础知识、基本技能的掌握。

2. 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

教学难点：1. 如何激发学生对数学的兴趣，提高他们的自主学习能力。

2. 如何引导学生进行合作学习，提高学生的团队协作能力。

教学过程：一、导入1. 回顾上节课所学内容，让学生谈谈自己的收获。

2. 提出本节课的学习目标，让学生明确学习方向。

二、基础知识巩固1. 教师提问，学生回答，巩固学生对基础知识的掌握。

2. 布置练习题，让学生独立完成，教师巡视指导。

三、技能提升1. 教师讲解典型例题，分析解题思路和方法。

2. 学生独立完成练习题，教师巡视指导，解答疑问。

四、实际问题解决1. 教师提出实际问题，让学生运用所学知识解决。

2. 学生分组讨论，分享解题思路和方法。

3. 教师点评，总结解决问题的方法和技巧。

五、合作学习1. 学生分组，进行数学游戏或竞赛，提高团队协作能力。

2. 学生互相评价，分享学习心得。

六、课堂小结1. 教师总结本节课的学习内容，强调重点和难点。

2. 学生回顾所学知识，提出自己的疑问。

七、布置作业1. 布置适量的练习题，巩固所学知识。

2. 布置思考题，培养学生的数学思维。

教学反思：1. 关注学生的学习兴趣，激发他们的学习热情。

2. 注重学生合作学习，培养学生的团队协作能力。

3. 优化教学手段，提高教学效果。

4. 注重个别辅导，关注学生的个体差异。

高中数学课件-第二章22.2应用案巩固提升

于( )
A．23x＋5
B．23x＋1
C．2x－3
D．2x＋1
第二章函数
解析：选 A.因为 f(x)是一次函数，所以设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，由 3f(x＋1)＝2x＋17，得 3[a(x＋1)＋b]＝2x＋17，整理得 3ax＋3(a＋b)＝2x＋17，所以33a（＝a2＋，b）＝17，所以ba＝＝523，，所以 f(x)＝23x＋5，故选 A.
第二章函数
12．已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，<x1≥，1，若 f(1－a) ＝f(1＋a)，则 a 的值为__________．解析：当 a>0 时，1－a<1，1＋a>1，由 f(1－a)＝f(1＋a)可得 2－2a＋a＝－1－a－2a，解得 a＝－32，不合题意；当 a<0 时，1－a>1，1＋a<1，由 f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得 a＝－34. 答案：－34
第二章函数
14．(选做题)设 f(x)是 R 上的函数，且满足 f(0)＝1，并且对任意的实数 x，y，有 f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求 f(x)的解析式．解：因为对任意实数 x，y，有 f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令 y＝x，有 f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，即 f(0)＝f(x)－x(x＋1)，又 f(0)＝1，所以 f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1，即 f(x)＝x2＋x＋1.
第二章函数
[B 能力提升]
11．设 f(x)＝2x＋a，g(x)＝14(x2＋3)，且 g(f(x))＝x2－x＋1，则

【优质文档】2第2课时应用案巩固提升

3 ，所以
ω＝ 3，又
φ＝ 6，
故
f(x) ＝2sin
π 3x＋ 6
＋ 1.
π 4．若将函数 y＝ sin 2x－ 4 的图象上的各点的横坐标伸长到原来的
再向右平移
π 6
个单位，则所得函数
g(x)图象的一个对称中心为 (
)
A. 5π ， 0 12
B. π ，0 4
π C. 6 ， 0
π D. 12， 0
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)在 x∈ [ － 1， 2]的值域．解： (1)由题图，知 A＝ 2， T＝ 7－ (－ 1)＝ 8，
2π 2π π 所以 ω＝ T ＝ 8 ＝ 4 ，
所以
f(x)＝ 2sin
π 4x＋φ.
将点 (－ 1，0)代入，
得
0＝2sin
－
π 4＋
φ
图象．因为所得的图象关于原点对称，所以－
π
π
4|φ|＋ 4 ＝ kπ＋2 ，k∈Z ，所以当 k＝－ 1 时， φ
3π 的一个值是 16.
11．已知函数
f(x)＝ |Acos(x＋φ)＋ 1|
π A>0，|φ |< 2
的部分图象如图所示，则
(
)
π A ． A＝ 2，φ ＝ 6
π C．A＝ 2，φ ＝ 3
为
－
23，
1 2
∪{1 ，－ 1} ．
π B ． A＝ 3， φ ＝ 6
π D ． A＝ 3， φ ＝ 3
3－（＝
2
＝ 2，
又 f(0) ＝|2cos φ＋ 1|＝ 2，
所以
cos
φ＝12或
cos

2018年高中数学人教A版必修三应用案巩固提升：2.2 2-2

[A 基础达标]1．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )A ．平均数B ．极差C ．中位数D ．方差解析：选C.判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．2．某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，平均数为85.5，则x ＋y ＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：选B.因为中位数为85，所以4＋x ＝2×5，解得x ＝6.又平均数为85.5，所以73＋79＋3×84＋86＋87＋88＋93＋90＋y ＝855，所以y ＝7.故x ＋y ＝13. 3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选C.由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．4．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )A ．40.6 1.1B ．48.8 4.4C ．81.2 44.4D ．78.8 75.6 解析：选A.法一：设原来的数据为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则新数据为2x 1－80，2x 2－80，2x 3－80，…，2x n －80，所以（2x 1－80）＋（2x 2－80）＋…＋（2x n －80）n ＝1.2，所以2（x 1＋x 2＋…＋x n ）－80n n ＝1.2，即x 1＋x 2＋…x nn ＝40.6.1n[(2x 1－80－1.2)2＋(2x 2－80－1.2)2＋…＋(2x n －80－1.2)2]＝4.4，即1n[(2x 1－81.2)2＋(2x 2－81.2)2＋…＋(2x n －81.2)2]＝4.4，则1n [(x 1－40.6)2＋(x 2－40.6)2＋…＋(x n －40.6)2]＝14n [(2x 1－81.2)2＋(2x 2－81.2)2＋…＋(2x n －81.2)2]＝14×4.4＝1.1.法二：设原数据的平均数为x －，方差为s 2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2x －－80，方差为22s 2，由题意得2x －－80＝1.2，22s 2＝4.4，解得x －＝40.6，s 2＝1.1.5．如图是某市甲、乙两地五月上旬日平均气温的统计图(温度为整数)，则甲、乙两地这十天的日平均气温x －甲，x －乙和日平均气温的标准差s 甲，s 乙的大小关系应为( )A ．x －甲＝x －乙，s 甲＜s 乙 B ．x －甲＝x －乙，s 甲＞s 乙 C ．x －甲＞x －乙，s 甲＜s 乙D ．x －甲＞x －乙，s 甲＞s 乙解析：选B.由折线统计图可得甲、乙两地五月上旬10天的日平均气温，从方差的统计意义是各数据浮动的大小可得乙的标准差比较小．则只需要计算均值即可．x －甲＝24＋30＋28＋24＋22＋26＋27＋26＋29＋2410＝26，x －乙＝24＋26＋25＋26＋24＋27＋28＋26＋28＋2610＝26.故选B.6．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)解析：分析表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．答案：丙7．若a 1，a 2，…，a 20，这20个数据的平均数为x －，方差为0.20，则数据a 1，a 2，…，a 20，x －这21个数据的方差约为________．解析：这21个数的平均数仍为x －，从而方差为121×[20×0.2＋(x －－x －)2]≈0.19.答案：0.198．已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，标准差是2，则xy ＝________．解析：由平均数是10，得x ＋y ＝20，由标准差是2，得15[（9－10）2＋（10－10）2＋（11－10）2＋（x －10）2＋（y －10）2]＝2，所以(x －10)2＋(y －10)2＝8，所以xy ＝96. 答案：969．甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km 2)：若某村要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议．解：由题意得x －甲＝x －乙＝10.s 2甲＝15×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02， s 2乙＝15×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于10，且s 2甲＜s 2乙，所以产量比较稳定的为甲种冬小麦，推荐引进甲种冬小麦大量种植．10．为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x －1，x －2，估计x －1－x －2 的值．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n .由题意知30n＝0.05，解得n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x －1′，x －2′. 根据样本茎叶图可知30(x －1′－x －2′)＝30x －1′－30x －2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x －1′－x －2′＝0.5.故x －1－x －2的估计值为0.5分．[B 能力提升]11．若某同学连续三次考试的名次(第一名为1，第二名为2，以此类推且可以有名次并列的情况)均不超过3，则称该同学为班级尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是( )A ．甲同学：平均数为2，中位数为2B ．乙同学：平均数为2，方差小于1C ．丙同学：中位数为2，众数为2D ．丁同学：众数为2，方差大于1解析：选D.甲同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又中位数为2，得出三次考试名次均不超过3，断定甲是尖子生；乙同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又方差小于1，得出三次考试名次均不超过3，断定乙是尖子生；丙同学名次数据的中位数为2，众数为2，说明三次考试中至少有两次名次为2，故丙可能是尖子生；丁同学名次数据的众数为2，说明某两次名次为2，设另一次名次为x ，经验证，当x ＝1，2，3时，方差均小于1，故x ＞3，断定丁一定不是尖子生．12．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s ，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s 1，则s 与s 1的大小关系为( )A ．s ＝s 1B ．s ＜s 1C ．s ＞s 1D ．不能确定解析：选C.由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x －，则s ＝115[（15－x －）2＋（23－x －）2＋（x 3－x －）2＋…＋（x 15－x －）2]， s 1＝115[（20－x －）2＋（18－x －）2＋（x 3－x －）2＋…＋（x 15－x －）2]. 若比较s 与s 1的大小，只需比较(15－x －)2＋(23－x －)2与(20－x －)2＋(18－x －)2的大小即可．而(15－x －)2＋(23－x －)2＝754－76x －＋2x －2，(20－x －)2＋(18－x －)2＝724－76x －＋2x －2，所以(15－x －)2＋(23－x －)2＞(20－x －)2＋(18－x －)2.从而s ＞s 1.13．(2016·高考四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a ＋0.5×a ，解得a ＝0.30.(2)由第一问知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x 吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x <2.5.由0.50×(x －2)＝0.5－0.48，解得x ＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨． 14．(选做题)某工厂36名工人的年龄数据如下表．(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x －和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －－s 与x －＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解：(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，根据题意，所抽取工人编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，相应工人的年龄数据为44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)样本均值x －＝19×(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37)＝40.样本方差s 2＝19×[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝19×[42＋02＋(－4)2＋32＋(－4)2＋(－3)2＋42＋32＋(－3)2]＝1009.(3)由于x －＝40，s ＝s 2＝103≈3.33，36名工人中年龄在x －－s ≈36.67与x －＋s ≈43.33之间有23人，所占比例为2336≈63.89%.。

语文教案设计：巩固运用二

注：本文为，如有雷同纯属巧合语文教案设计是一项重要的教学任务，针对不同的学生群体和不同的教学课程，设计合适的教案对于提高语文教学效果起着至关重要的作用。

本篇文章将会探讨一个关于巩固和运用语文知识的二的教案设计。

一、教学目标1.会运用二来推断生词、计算字数；2.了解中国古代叙事文学的发展，能归纳出古代叙事文学的主要特点；3.运用学过的语文知识，写一篇叙事作文，要求条理清晰、结构完整、语言优美。

二、教学重点与难点1.教学重点：学生能够长久地记忆和运用二来推断生词和计算字数。

2.教学难点：如何帮助学生了解中国古代叙事文学的发展和主要特点，并引导学生将这些知识运用到写作中。

三、教学过程与策略1.知识输入环节a.了解中国古代叙事文学的发展1)定义：叙事文学是用文学语言来叙述故事或事件的文学形式。

2)发展阶段：a.《左传》b.《史记》c.《汉书》d.《三国演义》e.《水浒传》f.《红楼梦》3) 主要特点：a.历史性和现实性b.抒情性和理性c.艺术性和真实性d.学习运用二来推断生词和计算字数1)二的概念和原理2)二的分类和运用3)二的练习与应用2. 语言运用环节a.阅读篇章并计算字数学生们可以通过在教师的引导下阅读篇章，运用二的方法来计算字数，并总结出每一段的主旨。

b.叙事作文让学生以叙事文学为主题，结合自己的生活经历或心理感受，运用学过的语文知识来写一篇叙事作文。

3. 教学反思通过本次教学，让学生们了解到中国古代叙事文学的发展和主要特点，并学会了如何运用二来计算字数和推断生词。

通过写作，学生们还能够进一步巩固和运用所学的语文知识，提高语言表达能力和写作能力。

四、小结通过本次教案设计，我们可以看出巩固和运用语文知识的二是一项非常有效的教学手段。

通过引导学生了解并运用二的方法，在教学中可以更有效地巩固语文知识，提高学生的语言表达能力和写作能力。

同时，本教案中所涉及的古代叙事文学的发展和主要特点等内容也可以培养学生的古代文学素养，丰富学生知识面，让学生们更好地掌握语文知识。