圆锥曲线单元测试题
高中试卷-专题15 圆锥曲线的方程(单元测试卷)(含答案)
专题15 《圆锥曲线的方程》单元测试卷一、单选题1．（2020·辽宁省高三月考（文））若抛物线上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】抛物线的焦点，准线为，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线的距离也为10，故到M 到的距离是9，故选C ．2．（2019·涟水县第一中学高二月考）椭圆的焦距为，则的值等于（ ）A ．B ．C ．或D ．【答案】C 【解析】若椭圆的焦点在轴上时，则有，解得；若椭圆的焦点在轴上时，则有，解得.综上所述，或.故选：C.3．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（ ）A ．y 2=﹣8x B ．y 2=8xC ．y 2=﹣4xD ．y 2=4x【答案】B 【解析】∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=424y x =24y x =()10F ，1x =-2214x y m +=2m 53538x 2=5m =y 2=3m =5m =3∴抛物线的方程为y 2=8x 故选B4．（2020·天津高三一模）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则（ ）AB ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，得．又因为AB 的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C ．5．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））已知，，则椭圆的标准方程是（ ）A ．B ．C ．或D ．【答案】C 【解析】由，，，可解得，，则当椭圆的焦点在轴上时，此时椭圆的标准方程为：；当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为：.故选：C6．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））双曲线，则（）F 2:3C y x =F 30o C A B AB =6123(,0)4F 0k tan 30==34y x =-2=3y x 21616890x x -+=1122(,),(,)A x y B x y 12AB x x p =++=168312162+=9a b +=3c =221259x y +=2212516x y +=2212516x y +=2251162x y+=221169x y +=9a b +=3c =222a b c =+225a =216b =x 2212516x y +=y 2251162x y +=()2221012x y b b-=>0+=b =A ．3B ．2CD ．【答案】D 【解析】双曲线的焦点在轴，，渐近线方程是，，解得：.故选：7．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））已知椭圆的一个焦点为F （0，1），离心率，则椭圆的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意知，又离心率，所以，，即所求椭圆的标准方程，故选D ．8．（2019·涟水县第一中学高二月考）设双曲线(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为( )A．y ＝x B ．y ＝±2xC ．y ＝x D ．y ＝±x【答案】C 【解析】由题意知∴,a 2=c 2-b 2x a =by x a=±0+=k ===b =D12e =2212x y +=2212y x +=22143x y +=22134x y +=1c =12e =2a =2223b a c =-=22134x y +=22221x y a b-=12∴渐近线方程为y=±x.故选C.9．（2019·浙江省高二期中）如图，，，是椭圆上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为（ ）A．BCD【答案】B【解析】取左焦点，连接，，根据椭圆的对称性可得：是矩形，设，中，即：解得：，则在中即：，.b a A B C 22221x y a b+=()0a b >>AB O AC F BF AC ^3BF CF =121F 111,,AF CF BF BF AC ^1AFBF 11,2,3,23,22CF m CF a m BF AF m AF a m AC a m ==-===-=-1Rt AF C D 22211AF AC CF +=222(3)(22)(2)m a m a m +-=-3am =1,AF a AF a ==1Rt AF F D 22211AF AF FF +=222(2)a a c +=222212,2c a c a ==故选：B10．（2018·安徽省合肥一中高三一模（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆在第一象限上的一个动点，圆与的延长线，的延长线以及线段都相切，且为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B 【解析】设圆与的延长线相切于点，与相切于点，由切线长相等，得，，，，，由椭圆的定义可得，，，则，即，又，所以因此椭圆的离心率为.故选：B.二、多选题11．（2019·山东省青岛二中高二月考）（多选题）下列说法正确的是（ ）2221(1)x y a a+=>1F 2F A C 1F A 12F F 2AF ()3,0M C 1F A N 2AF T AN AT =11F N F M =22F T F M =1(,0)F c -2(,0)F c 122AF AF a +=()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-222(3)a F M a c =-=--26a =3a =1b =c ==c e a ==A ．方程表示两条直线B ．椭圆的焦距为4，则C ．曲线关于坐标原点对称D ．双曲线的渐近线方程为【答案】ACD 【解析】方程即，表示，两条直线，所以A 正确；椭圆的焦距为4，则或，解得或，所以B 选项错误；曲线上任意点，满足，关于坐标原点对称点也满足，即在上，所以曲线关于坐标原点对称，所以C 选项正确；双曲线即，其渐近线方程为正确，所以D 选项正确.故选：ACD12．（2019·山东省高二期中）已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆方程为B ．椭圆方程为C ．D ．的周长为【答案】ACD 【解析】2x xy x +=221102x y m m +=--4m =22259x y xy +=2222x y a b l -=b y xa=±2x xy x +=()10x x y +-=0x =10x y +-=221102x y m m +=--()1024m m ---=()2104m m ---=4m =8m =22259x y xy +=(),P x y 22259x y xy +=(),P x y (),P x y ¢--()()()()22259x y x y --+=--(),P x y ¢--22259x y xy +=22259x y xy +=2222x y a b l -=0l ¹b y x a=±C 1F 2F y 1F y C P Q 2213y x +=2213x y +=PQ =2PF Q D由已知得，2b =2，b =1，又，解得，∴椭圆方程为，如图：∴，的周长为．故选：ACD．13．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）A ．的方程为B ．C ．曲线经过的一个焦点D ．直线与有两个公共点【答案】AC 【解析】对于选项A ：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A 正确；对于选项B ：由双曲线方程可知，，从而离心率为，所以B 选项错误；c a =222a b c =+23a =2213y x +=22b PQ a ===2PF Q D 4a =C (y x =C 2213x y -=C 21x y e -=-C 10x -=C y =±2213y x =2213x y l -=C (22133l ´-=1l =a =1b =2c =c e a ===对于选项C ：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C 正确；对于选项D ：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D 错误.故选AC 三、填空题14．（2019·江苏省高三三模）双曲线的焦距为______.【答案】【解析】双曲线的焦距为.故答案为：.15．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为________.【答案】6【解析】双曲线的左焦点为，即，故.故答案为：.16．（2020·浙江省高三二模）已知椭圆，F 为其左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，点A 在第二象限，且∠FAB ＝∠BFO ，则直线l 的斜率为_____．【答案】【解析】设，则，，且，()2,021x y e -=-221013x x y ì-=ïí-=ïî220y +=2420D =-´=C 2212x y -=2212x y -=2c ==22154x y -=22y px =p 22154x y -=()3,0-32p -=-6p =622197x y C +=：()00,A x y ()00,B x y --00x <00y >2200197x y +=∵F 为其左焦点，∴，AB 的斜率．经分析直线AF 的斜率必存在，设为则，又，，∴，又，，可解得：，，∴直线l的斜率为．故答案为：17．（2019·乐清市知临中学高二期末）已知抛物线的焦点为，定点.若抛物线上存在一点，使最小，则点的坐标为________，最小值是______.【答案】 【解析】根据题意，作垂直于准线，画出几何关系如下图所示：()F tan BFO Ð=10y k x =2k =1212tan 1k k FAB k k -Ð==+FAB BFO Ð=Ð=220002x y ++=2200197x y +=0(3,0)x Î-0x =0y =00y x =22y x =F ()32A ，M MA MF +M ()22，72MH根据抛物线定义可知，，因而当在同一直线上时，的值最小，此时，的纵坐标为2，代入抛物线解析式可知，所以的横坐标为2，即，故答案为：，；四、解答题18．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上.（1）求双曲线的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】因为抛物线的准线方程为，则由题意得，点是双曲线的左焦点.（1）双曲线的焦点坐标.（2）由（1）得，又双曲线的一条渐近线方程是，所以，，所以双曲线的方程为：.19．（2019·湖南省衡阳市八中高二月考）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的横坐标为，．MF MH =,,A M H MA MF +72MA MF AH +==M 42x =M ()2,2M ()2,2M 72()222210,0x y a b a b-=>>y =224y x =()6,0F ±221927x y-=224y x =6x =-()16,0F -()6,0F ±22236a b c +==y =ba=29a =227b =221927x y -=22(0)y px p =>F M M 45MF =（1）求抛物线的方程；（2）设过焦点且倾斜角为的交抛物线于两点，求线段的长．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意得，∴，故抛物线方程为．（2）直线的方程为，即．与抛物线方程联立，得，消，整理得，其两根为，且．由抛物线的定义可知，．所以，线段的长是．20．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为x 轴，其准线过点.(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线焦点F 作直线l ，使得抛物线C 上恰有三个点到直线l 的距离都为l 的方程.【答案】(1)；(2)【解析】(1)由题意得，抛物线的焦点在轴正半轴上，设抛物线C 的方程为，因为准线过点，所以，即. 所以抛物线C 的方程为.(2)由题意可知，抛物线C 的焦点为.当直线l 的斜率不存在时，C 上仅有两个点到l 的距离为当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为，F 45°l A B 、AB 24y x =8452p MF +==2p =24y x =l 0tan 45(1)y x -=°⋅-1y x =-214y x y x =-ìí=îy 2610x x -+=12,x x 126x x +=12||628AB x x p =++=+=AB 8()2,1--28y x =20x y ±-=x 22y px =()2,1-22p =4p =28y x =()2,0F ()2y k x =-要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P 到直线l 的距离为，过点P 的直线平行直线且与抛物线C 相切.设该切线方程为，代入，可得.由，得.，整理得，又，解得，即.因此，直线l 方程为.21．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））设抛物线：的焦点为，是上的点．（1）求的方程：（2）若直线：与交于，两点，且，求的值．【答案】（1）（2）.【解析】（1）因为是上的点，所以， 因为，解得，抛物线的方程为.（2）设，，由得，则，，():2l y k x =-y kx m =+24y x =()222280k x km x m +-+=()2222840km k m D =--=2km =224m k =2km =21k =1k =±20x y ±-=C 22(0)x py p =>F (,1)M p p -C C l 2y kx =+C A B 13AF BF ⋅=k 24x y =1k =±(),1M p p -C ()221p p p =-0p >2p =C 24x y =()11,A x y ()22,B x y 224y kx x y=+ìí=î2480x kx --=216320k D =+>124x x k +=128x x =-由抛物线的定义知，，，则，，，解得.22．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））在直线：上任取一点，过作以，为焦点的椭圆，当在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程.【答案】，【解析】设关于：的对称点，则，，连交于，点即为所求点.：，即，解方程组，，当点取异于的点时，.满足题意的椭圆的长轴最短时，，所以，，.椭圆的方程为：.11AF y =+21BF y =+()()()()12121133AF BF y y kx kx ⋅=++=++()2121239k x x k x x =+++24913k =+=1k =±l 90x y -+=M M ()13,0F -()23,0F M ()5,4M -2214536x y +=()13,0F -l 90x y -+=(),F x y 3909220613x y x y y x -ì-+=ï=-ìïÞíí-=îï=-ï+î()9,6F -2F F l M M 2F F 1(3)2y x =--230x y +-=2305904x y x x y y ì+-==-ìÞíí-+==îî()5,4M -'M M 22''FM M F FF +>22a FF ===a =3c =22245936b a c =-=-=2214536x y +=23．（2019·安徽省高二期末（理））已知点为坐标原点椭圆的右焦点为，离心率为，点分别是椭圆的左顶点、上顶点，的边．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点直线分别交直线于两点，求．【答案】（1）；（2）0.【解析】（1）如图所示由题意得为直角三角形，且，所以则所以椭圆的标准方程为：.O 2222:1(0)x y C a b a b+=>>F 12,P Q C POQ △PQ C F l A B 、PA PB 、2x a =M N 、FM FN ⋅uuuu r uuu r 22143x y +=POQ △PQ PQ =222a b c =+=ïïî1a b c ìï=íï=î22143x y +=（2）由题意，如图设直线的方程为：，，，则，，联立方程化简得.则.由三点共线易得，化简得，同理可得.．l 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()34,M y ()44,N y 221143x my x y =+ìïí+=ïî22(34)690m y my ++-=122122634934m y y m y y m ì+=-ïï+íï⋅=-ï+î,,P A M ()31100422y y x --=--+13163y y my =+24263y y my =+1234341266(3,)(3,)9933y y FM FN y y y y my my ⋅==+=+⋅++uuuu r uuu r g ()122121236939y y m y y m y y =++++2222222936()36934990969189(34)()3()93434m m m m m m m m m --´+=+=+=--++-+-+++。
高二圆锥曲线单元测试题及答案
《圆锥曲线》单元测试题一、选择题1．已知椭圆方程192522=+y x ，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．23 2．从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120º，那么此椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．33C ．21D ．363．设1>k ，则关于x 、y 的方程1)1(222-=+-k y x k 所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线4．到定点(7, 0)和定直线x =7716的距离之比为47的动点轨迹方程是（ ）。
A ．116922=+y x B ．191622=+y x C ．1822=+y x D ．1822=+y x 5．若抛物线顶点为（0，0），对称轴为x 轴，焦点在01243=--y x 上那么抛物线的方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 162-=； C ．x y 122=； D ．x y 122-=；6．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫14，94B ．⎝⎛⎭⎫23，1C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎝⎛⎭⎫0，12 7．若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．128．双曲线221(0)x y mn m n-=≠的离心率为2, 有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则mn 的值为( ) A ．316 B ．38 C ．163 D ．839．设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） A ．2± B ．43±C ．12±D ．34± 10．已知椭圆222(0)2y x a a +=>与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ）A．02a <<B．02a <<或2a > C ．103a <<D．22a << 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，3），那么k 的值为 。
高中数学选修《圆锥曲线图》单元测试题
《圆锥曲线》单元测试一、选择题:每小题8分，共40分1.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ,若曲线上存在点P 满足1122||:||:||4:3:2PF F F PF =,则曲线C 的离心率等于 A.1322或B.23或2 C.12或2 D.3223或2.已知两个正数,a b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线22221x y ab-=的离心率为A.53 B.4C.5453.已知椭圆22:12xC y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段A F 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF =B.2 D.34.下列命题中假命题是A. B. 双曲线2228x y -=的虚轴长是 C.抛物线22y x =的焦点到准线的距离为1 D.2222135x y +=的两条准线之间的距离为2545.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为A.24y x =±B.28y x =±C.24y x =D.28y x =6.已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
若||2||FA FB =,则k = A.322 B.32 C.32D. 317.已知双曲线2221(0)2xy b b-=>的左、右焦点分别是12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在双曲线上.则12PF PF ⋅=A.4B.0C.2-D.12-8.已知双曲线22122xy-=的准线过椭圆22214xy b+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是A.11[,]22k ∈-B.11(,][,)22k ∈-∞-⋃+∞C.[22k ∈-D.(,])22k ∈-∞-⋃+∞ 二、填空题：每小题5分，共30分9.曲线C 是平面内与两个定点12(1,0),(1,0)F F -的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF D 的面积不大于22a;其中,所有正确结论的序号是 .10.若双曲线22221(,)x y a b R a b+-=∈的离心率2]e ∈，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围_ _．11.已知双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点构成一个内角为60 的菱形，那么双曲线C 的离心率为 .12.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163xy-=的右焦点重合，则p 的值为 ．13.若椭圆22221x y ab+=的焦点在x 轴上，过点1(1,)2作圆221x y +=的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 14.已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为 .三、解答题：须写出演算过程、文字说明等，满分48分15.（10分）求与椭圆x 2144＋y 2169＝1有共同焦点，且过点()0，2的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率．16.（12分）在平面直角坐标系xoy 中， 已知点(0,1)A -,B 点在直线3y =-上，M 点满足//,M B O A M A ABM B BA ?，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）若00(,)P x y 为C 上一动点，l 为过P 点的直线且斜率为02x ，求O 点到l 距离的最小值．17.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221xy ab+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程.18.（14分）如下图，椭圆的中心为原点O ，离心率2e =，一条准线的方程为x =．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中,M N 是椭圆上的点，直线O M 与O N 的斜率之积为12-,问:是否存在两个定点12,F F ，使得12||||PF PF +为定值？若存在，求12,F F 的坐标；若不存在，说明理由．班级姓名座号得分圆锥曲线单元测试答题卡9. 10. 11.12. 13. 14.三、解答题：满分48分15.（10分）16.（12分）17.（12分）18.（14分）圆锥曲线单元测试参考答案1-8:ADAD BABA 9.②③10. [π4,π3].2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴2213b a≤≤，得1b a ≤≤，∴43ππθ≤≤11.212.6 13.22154xy+=14.)1,1-因为在12P F F ∆中，由正弦定理得1211a c P F P F =，知12c P F P F a=由椭圆的定义知 212222222c aPF PF a PF PF a PF ac a+=+==+则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,aPF a c a c c c a c a<+<++->+则既所以2210,e e +->11(0,1)e e e <<∈或，又，故椭圆的离心率1,1)e ∈-15.解：椭圆221114169xy +=的焦点是(0,5),(0,5)-,焦点在y 轴上， 设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b ab-=>>又因为双曲线过点(0,2)，把这个点代入方程可得224,21a b == 所以双曲线的方程为221421yx-=，双曲线的实轴长为4，焦距为10，离心率为2.5.16. 解: (Ⅰ)设(,)M x y 由已知得(,3),(0,1)B x A --.所以 (,1),(0,3),(,2)M A x y M B y AB x =---=--=-再由题意可知()0M A M B AB +?即(,42)(,2)0x y x ---?=,故曲线C 的方程式为224xy =-.(Ⅱ)因为00(,)P x y ，l 的斜率为02x 因此直线l 的方程为000()2xy y x x -=-，即2000220x x y y x -+-=．则O 点到l的距离2d =.又20024x y =-，所以2014122x d +==，当200x =时取等号，故O 点到l 距离的最小值为2.17. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y ab+=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为2212xy +=.（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x km x m +++-=，因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=，整理得22210k m -+= ①24y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=。
人教版高中数学选择性必修第一册-第3章-圆锥曲线的方程单元测试卷(含解析)
第3章圆锥曲线的方程单元测试卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为()A ．4B ．－4C ．－14D.142．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为()A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1 D.y 29＋x 28＝13．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为()A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－1或04．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为()A.52B.5C.52D ．55．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是()6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2B ．4C ．6D ．87.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是()A ．3B ．2C.3D.28．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为()A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θ10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为()A.2－1 B.22C.2D.2＋111．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是()A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是()A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F2向∠F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P，求P点的轨迹方程．18．(12分)已知点P到F1(0，3)，F2(0，－3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与轨迹C交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)若|AB|＝825，求k.19．(12分)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求m的值；(2)若OA⊥OB，求m的值．x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t>0)作不过20．(12分)如图，已知抛物线C1：y＝14原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．21．(12分)已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为M(－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1，0)的直线AB交椭圆Γ于A，B两点；当MA→·MB→取得最大值时，求△MAB的面积．22．(12分)已知曲线C上任意一点S(x，y)都满足到直线l′：x＝2的距离是它到点T(1，0)的距离的2倍．(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与x轴正半轴交于点A2，不垂直于x轴的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点A2)．若以AB为直径的圆经过点A2，试问直线l是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．1．过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13<k<12，则椭圆离心率的取值范围是()2．若椭圆x2m＋y2n＝1(m>n>0)和双曲线x2a－y2b＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是()A．m－a B.12(m－a)C．m2－a2 D.m－a3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C ．3D ．24．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝15．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为()A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝16．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是()A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 27．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则()A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．9．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．10．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．12．已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线l 与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于E(x0，0)．(1)求k的取值范围；(2)求证：x0<－3.13．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43 3.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值．14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆x225＋y29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝π2.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且AB→与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．第3章圆锥曲线的方程单元测试卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为()A ．4B ．－4C ．－14 D.14答案C2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为()A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1 D.y 29＋x 28＝1答案C解析因为△AF 1B 的周长为12，所以4a ＝12，所以a ＝3.又c a ＝13，所以c ＝1，b 2＝8，所以C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.3．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为()A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－1或0答案C解析由题意可知直线l 恒过点(2，0)，即双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为y ＝±x .要使直线l 与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，所以k ＝±1.故选C.4．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为()A.52B.5C.52D ．5答案B解析由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2.∴c 2＝5a 2，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ca＝ 5.5．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是()答案B解析方程ax 2－by 2＝ab 变形为x 2b －y 2a＝1，直线bx －y ＋a ＝0，即y ＝bx ＋a 的斜率为b ，纵截距为a .当a >0，b >0时，x 2b －y 2a ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，此时直线的斜率b >0，纵截距a >0，故C 错误；当a <0，b <0时，x 2b －y 2a ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，此时直线的斜率b <0，纵截距a <0，故D 错误；当a <0，b >0，且－a ≠b 时，x 2b －y 2a ＝1表示椭圆，此时直线的斜率b >0，纵截距a <0，故A 错误．故选B.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2B ．4C ．6D ．8答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由|AB |＝42，|DE |＝25，可取D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.故选B.7.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是()A ．3B ．2C.3 D.2答案B解析如图，记AF1，AF 2与△APF 1的内切圆分别相切于点N ，M ，则|AN |＝|AM |，|PM |＝|PQ |，|NF 1|＝|QF 1|，又因为|AF 1|＝|AF 2|，则|NF 1|＝|AF 1|－|AN |＝|AF 2|－|AM |＝|MF 2|，因此|QF 1|＝|MF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝(|PQ |＋|QF 1|)－(|MF 2|－|PM |)＝|PQ |＋|PM |＝2|PQ |＝2，即2a ＝2，则a ＝1.由|F 1F 2|＝4＝2c ，得c ＝2，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.故选B.8．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)答案D解析如图，显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题意，当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，M (x 0，y 0)12＝4x 1，22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．由于x 1≠x 2，所以y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2⇒ky 0＝2.①圆心为C (5，0)，由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1⇒ky 0＝5－x 0.②由①②解得x 0＝3，即点M 必在直线x ＝3上，将x 0＝3代入y 2＝4x ，得y 02＝12⇒－23<y 0<23，因为点M 在圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)上，所以(x 0－5)2＋y 02＝r 2(r >0)，r 2＝y 02＋4<12＋4＝16.因为斜率存在，所以y 0≠0，所以4<y 02＋4<16⇒2<r <4.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为()A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θ答案AD解析对于A ，y 2＝4x ，抛物线的焦点为F (1，0)，满足；对于B ，x 2＝4y ，抛物线的焦点为F (0，1)，不满足；对于C ，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ(±cos 2θ－sin 2θ，0)或(0，±sin 2θ－cos 2θ)或曲线表示圆不存在焦点，均不满足；对于D ，x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θF (1，0)，满足．10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为()A.2－1 B.22C.2D.2＋1答案ABD 解析若圆锥曲线E 为椭圆，不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设椭圆的离心率为e .因为△ABC 为等腰直角三角形，所以当AB 为斜边时，可以得到b ＝c ＝22a ，则e ＝c a ＝22；当AB 为直角边时，不妨令|AC |＝|AB |＝2c ，所以22c ＋2c ＝2a ，所以e ＝ca ＝2－1.若圆锥曲线E 为双曲线，不妨设双曲线方程为x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′>0，b ′>0)，设双曲线的离心率为e ′.因为△ABC 为等腰直角三角形，所以AB 只能为直角边，不妨令AC ⊥AB ，则|AC |＝|AB |＝2c ，可以得到22c ′＝2a ′＋2c ′，则e ′＝c ′a ′＝2＋1.故选ABD.11．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是()A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)答案CD解析设点P 的坐标为(x ，y )，由椭圆E ：x 28＋y 24＝1，可知a 2＝8，b 2＝4，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×2c ×|y |＝12×4×|y |＝3，得到y ＝±32，A 说法错误；将y ＝±32代入椭圆E 的方程，得到x 28＋916＝1，解得x ＝±142，不妨取PF 1→·PF 2→2－142，－－142，－＝144－4＋94>0，所以∠F 1PF 2为锐角，B 说法错误；因为a ＝22，所以|PF 1|＋|PF 2|＝42，所以△F 1PF 2的周长为4＋42＝4(2＋1)，C 说法正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×r ×4(2＋1)＝3，解得r ＝32(2－1)，D 说法正确．故选CD.12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是()A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)答案ABD解析设点P 的坐标为(x ，y )(x ≠±1)，则直线AP 的斜率为k AP ＝yx ＋1，直线BP 的斜率为k BP＝y x －1.因为k AP ·k BP ＝m ，所以y x ＋1·y x －1＝m (x ≠±1)，化简得到点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－m ＝1(x ≠±1)，所以正确结论有A 、B 、D.故选ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．答案38解析由题意，得(a ，b )共有8种不同情况，其中满足“曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆”的有(1，2)，(3，1)，(3，2)，共3种情况，由古典概型的概率公式，得所求概率P ＝38.14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案2255解析抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线方程分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p ，三角形的高为p 2，因此12×2p ×p2＝2，解得p ＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y ＝2x 和y ＝－2x 的距离相等，均为|2－0|5＝255.15．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．答案0或2或4解析设该点为P (x ，y )，椭圆的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2a ＋ex ，|PF 2|＝a －ex .|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|＝2a 2＋2c 2a2x 2＝4c 2.∴x 2＝2a 2－a 4c 2＝a 2（2c 2－a 2）c 2≥0.∴当a 2＞2c 2时，该点不存在；当a 2≤2c 2时，该点存在，且当a 2＝2c 2时这样的点有2个，当c 2<a 2<2c 2时有4个．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案52解析利用渐近线与直线方程求出交点A ，B 的坐标，进而得出中点C 的坐标；由|PA |＝|PB |可知，PC 与直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)垂直，利用斜率关系求出a ，b 的关系式．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax .＝b a x ，－3y ＋m ＝0，得＝－b a x ，－3y ＋m ＝0，得－am a ＋3b ，所以AB 的中点C设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|PA |＝|PB |，所以PC ⊥l .所以k PC ＝－3，即3b 2m 9b 2－a 2a 2m9b 2－a 2－m＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F 2向∠F 1QF 2的平分线作垂线F 2P ，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．解析如图，延长F 2P 交F 1Q 于点A ，连接OP ，则由角平分线的性质，知|AQ |＝|F 2Q |.由三角形中位线性质，知|OP |＝12|F 1A |.∴|OP |＝12(|QF 1|－|QA |)＝12(|QF 1|－|QF 2|)．若点Q 在双曲线的左支上时，|OP |＝12(|QF 2|－|QF 1|)，即|OP |＝12×2a ＝a ，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)．18．(12分)已知点P 到F 1(0，3)，F 2(0，－3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与轨迹C 交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)若|AB |＝825，求k .解析(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，即a ＝2，c ＝3，b ＝22－（3）2＝1，故轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y1)，B (x 2，y 2)．2＋y 24＝1，＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＝16(k 2＋3)>0，且x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.则(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16（k 2＋3）（k 2＋4）2，所以|AB |2＝(1＋k )2(x 1－x 2)2＝(1＋k )2·16（k 2＋3）（k 2＋4）2＝12825，整理得(17k 2＋53)(k 2－1)＝0，解得k 2＝1，所以k ＝±1.19．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求m 的值．解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)＝x ＋m ，2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0，＝（2m －8）2－4m 2>0，1＋x 2＝8－2m ，1x 2＝m 2.由|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10.得m ＝716(m ＜2)．(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0.∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.∴2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0.∴m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8.经检验得m ＝－8.20．(12分)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解析(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )，＝k （x －t ），＝14x 2，消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，令Δ＝0，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知点B ，O 关于直线PD 对称，＝－x 02t ＋1，－y 0＝0，0＝2t 1＋t 2，0＝2t 21＋t 2.因此，点B(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2.设△PAB 的面积为S ，所以S ＝12|AP |·d ＝t 32.21．(12分)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M (－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N (1，0)的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点；当MA →·MB →取得最大值时，求△MAB 的面积．解析(1)由已知a ＝2，c a ＝22，得c ＝2，∴a 2－b 2＝2，即4－b 2＝2，∴b 2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 与x 轴重合时，MA →·MB →＝0.当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1)，MB →＝(x 2＋2，y 2)．ty ＋1，＋y 22＝1，得(t 2＋2)y 2＋2ty －3＝0.显然Δ>0，∴y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－3t 2＋2.∴MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＝(t 2＋1)·－3t 2＋2＋3t ·－2t t 2＋2＋9＝－3－3t 2－6t 2t 2＋2＋9＝－9t 2－3t 2＋2＋9＝15t 2＋2≤152，∴MA →·MB →的最大值为152.此时t ＝0，直线AB 的方程为x ＝1.综上可知MA →·MB →的最大值为152.1，＋y 22＝1，＝1，＝6＝1，＝－62，不妨令|AB |＝6，又|MN |＝3，∴S △MAB ＝12|MN |·|AB |＝12×3×6＝362.22．(12分)已知曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)的距离的2倍．(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴正半轴交于点A 2，不垂直于x 轴的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点A 2)．若以AB 为直径的圆经过点A 2，试问直线l 是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解析(1)∵曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)的距离的2倍，∴|x －2|＝2·（x －1）2＋y 2，化简，得x 22＋y 2＝1，即曲线C 是椭圆，其方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，kx ＋m ，y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－2＝0，∴Δ＝(4mk )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0，即2k 2＋1>m 2，x 1＋x 2＝－4mk1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.∵y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·2m 2－21＋2k 2＋mk ·－4mk 1＋2k 2＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2.∵点A 2(2，0)在以AB 为直径的圆上，∴AA 2⊥BA 2，即AA 2→·BA 2→＝0.又AA 2→＝(2－x 1，－y 1)，BA 2→＝(2－x 2，－y 2)，∴(2－x 1，－y 1)·(2－x 2，－y 2)＝0，即(2－x 1)(2－x 2)＋y 1y 2＝2－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2＋2·4mk1＋2k 2＋2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝0，化简得2k 2＋42mk ＋3m 2＝0，即(2k ＋m )(2k ＋3m )＝0，∴2k ＋m ＝0或2k ＋3m ＝0.当2k ＋m ＝0时，直线l ：y ＝k (x －2)过定点(2，0)，即过点A 2(2，0)，不满足题意；当2k ＋3m ＝0时，直线l 的方程可化为y ＝综上，直线l1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是()答案C解析由题意知k ＝b 2a c ＋a＝a －ca ＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23.故选C.2．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是()A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2D.m －a 答案A解析不妨取P 1|＋|PF 2|＝2m ，1|－|PF 2|＝2a ，解得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a .∴|PF 1|·|PF 2|＝(m ＋a )(m －a )＝m －a .3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C ．3D ．2答案A解析利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解．设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cosπ3，得4c 2＝r 12＋r 22－r 1r 2.1＋r 2＝2a 1，1－r 2＝2a 2，1＝a 1＋a 2，2＝a 1－a 2.∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c＝r 1c .令m ＝r 12c 2＝4r 12r 12＋r 22－r 1r 2＝41－r 2r 14＋34，当r 2r 1＝12时，m max＝163，∴max＝433.即1e 1＋1e 2的最大值为433.4．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案D解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.故选D.5．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为()A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝1答案AB解析因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P (0，b )，Q (0，－b )，所以|A 1A 2|＝2a ，|PQ |＝2b ，所以|A 1P |＝|A 2Q |＝|A 1Q |＝|A 2P |＝a 2＋b 2＝c .又四边形A 1PA 2Q 的面积为22，所以4×12ab ＝22，即ab ＝2.记四边形A 1PA 2Q 的内切圆的半径为r ，则2πr ＝263π，解得r ＝63，所以2cr ＝22，所以c ＝ 3.又c 2＝a 2＋b 2＝3＝2，＝1＝1，＝2，所以双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1或x 2－y 22＝1.故选AB.6．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是()A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2答案BD 解析∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．对于A ，若|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2，则(a －c )2＝(2c )2，∴a －c ＝2c ，∴e ＝13，不符合题意，故A 错误；对于B ，若∠F 1B 1A 2＝90°，则|A 2F 1|2＝|B 1F 1|2＋|B 1A 2|2，∴(a ＋c )2＝a 2＋a 2＋b 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)，符合题意，故B 正确；对于C ，若PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1，则c k PO ＝kA 2B 1，∴b 2a －c ＝b －a，解得b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴e ＝c a ＝c 2c ＝22，不符合题意，故C 错误；对于D ，若四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2，即四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆的半径为c ，则由菱形面积公式可得ab ＝c a 2＋b 2，∴c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52(舍去)或e 2＝3－52，∴e ＝5－12，故D 正确．故选BD.7．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则()A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆答案BD解析mx 2＋ny 2＝1表示椭圆的充要条件是m >0，n >0，A 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示双曲线的充要条件是mn <0，B 正确；当n ＝0时，mx 2＝1不表示抛物线，C 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是n >m >0，D 正确．故选BD.8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．答案2＋1思路分析根据正方形的边长及O 为AD 的中点，求出点C ，F 的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解．解析∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴b ，又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，2＝pa ，2＝2解得ba ＝2＋1.9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案x 2＋32y 2＝1思路分析根据题意，求出点B 的坐标代入椭圆方程求解．解析设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →.∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－51－b 23，y 0＝－b 23.∴点B －51－b 23，－将B －51－b 23，－x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案±1解析设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)2＝4x ，＝k （x ＋1），得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∴x 1＋x 2＝－2（k 2－2）k 2.∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2，y 1＋y 22＝2k ，即1＋2k 2，又|FQ |＝2，F (1，0)，1＋2k2－＝4，解得k ＝±1.11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析方法一：根据题图设焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，依题意设M ，23b 在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.方法二：设，23b ，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于E (x 0，0)．(1)求k 的取值范围；(2)求证：x 0<－3.解析(1)由y 2＝－4x ，可得准线x ＝1，从而M (1，0)．设l 的方程为y ＝k (x －1)，＝k （x －1），2＝－4x ，得k 2x 2－2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 存在，∴Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0，∴－1<k <1.又k ≠0，∴k ∈(－1，0)∪(0，1)．(2)证明：设P (x 3，y 3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 3＝x 1＋x 22＝k 2－2k 2，y 3＝＝－2k k 2＝－2k.即直线PE 的方程为y ＋2k ＝－令y ＝0，x 0＝－2k2－1.∵k 2∈(0，1)，∴x 0<－3.13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解析(1)设F (－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组k （x ＋1），＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2.14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆x225＋y29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝π2.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．解析(1)椭圆x225＋y29＝1的右焦点为(4，0)，所以抛物线C的方程为y2＝16x.(2)设点M(a，0)(a≠0)满足题设，当PQ的斜率存在时，PQ的方程为y＝k(x－a)，2＝16x，＝k（x－a）⇒k2x2－2(ak2＋8)x＋a2k2＝0，则x1＋x2＝2（ak2＋8）k2，x1x2＝a2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由∠POQ＝π2，得x1x2＋y1y2＝0.从而x1x2＋k2(x1－a)(x2－a)＝0⇒a2－16a＝0⇒a＝16，若PQ的方程为x＝a，代入抛物线方程得y＝±4a，当∠POQ＝π2时，a＝4a，即a＝16，所以存在满足条件的点M(16，0)．15.如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且AB→与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．解析(1)设M(x M，y M)，∵F1(－c，0)，∴x M＝－c，y M＝b2a，∴k OM＝－b2ac.由题意知k AB＝－ba，∵OM→与AB→是共线向量，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，∴a＝2c，∴e＝22(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，则r1＋r2＝2a.又|F1F2|＝2c，∴由余弦定理，得cosθ＝r12＋r22－4c22r1r2＝（r1＋r2）2－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1a2－1＝0，当且仅当r1＝r2时等号成立，∴cosθ≥0，∴θ，π2..。
高二数学选修1-1《圆锥曲线》单元测试卷
A． x 2 y 2 1 9 16
x2
B．
y2
1
25 16
x2
C．
y2
1或 x2
y2
1
25 16
16 25
D．以上都不对
3.抛物线 y2 8x 的准线方程是（ ）
(A) x 2
(B) x 4
(C) y 2
(D) y 4
4.曲线 x2 y2 1(m 6) 与曲线 x2 y2 1(5 m 9) 的（ ）
10 m 6 m
5m 9m
(A)焦距相等
(B) 离心率相等
(C)焦点相同
(D)准线相同
5.已知
F1 ,
Hale Waihona Puke F2是椭圆x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) 的两个焦点， AB 是过 F1 的弦，则 ABF2 的周长是
(
)
A. 2a
B. 4a
C. 8a
D. 2a 2b
6.一动圆与圆 x2 y2 1外切，同时与圆 x2 y2 6x 91 0 内切，则动圆的圆心在（ ）
F (
3,
0)
,右顶点为
D(2,
0)
,设点
A
1,
1 2
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程；
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x2 20、（本大题满分 13 分）椭圆 a2
y2 b2
1(a, b 0) 的两个左右焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆 C 上，
4
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13.直线 x＋2y－2＝0 经过椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率 等于
(完整版)(最新)圆锥曲线单元测试题(含答案解析)
完美WORD 格式.整理圆锥曲线与方程单元测试(高二高三均适用)、选择题A 、25、过抛物线y 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ()A 、有且仅有一条B 、有且仅有两条C 、有无穷多条D 、不存在6、一个椭圆中心在原点， 焦点R 、F 2在x 轴上，P (2, 3 )是椭圆上一点，且|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2 |成等差数列，则椭圆方程为()7 .设0v k v a 2,那么双曲线 上 - 异 =1与双曲线 ％ - y 2 = 1有()a — KD +K a b(A )相同的虚轴(B )相同的实轴(C )相同的渐近线(D )相同的焦点8 .若抛物线y 2= 2p x (p > 0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6,则p 的值等于1 •方程x 、.、3y2 1所表示的曲线是 (A )双曲线(B )椭圆(C )双曲线的一部分 (D )椭圆的一部分2 •椭圆2y a21与双曲线—a 2-1有相同的焦点，贝U a 的值是 23.双曲线 2y_ b 2(A ) 2 已知圆x 2(B ) 1 或-2(D ) 11的两条渐近线互相垂直, 那么该双曲线的离心率是 (B ) ..3(C ) 、22y 6x7 0与抛物线y 2 2px(p(D )I0)的准线相切，则()()()()2A 、— 8 2壬162B 、—16 2乞1 62C 、x - 8 2乞1 42x D 、— 16 2上142222(A ) 2 或 18(B ) 2x9、设F 1> F 2是双曲线一 4或18(C ) 2或16 (D ) y 2 1的两个焦点，点P 在双曲线上，且 4或16UULTLUUQPF PFUUU 则 |PF 1 | LULU |PF 2 | 的值等于 A 、2B 、2 210.若点A 的坐标为(3,2) , F 是抛物线y 22x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MF MA取得最小值的M的坐标为1A . 0,0B .- 1 C . 1,V2 D . 2,22’2 2X y 11、已知椭圆 — F =1 (a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上，且 BF 丄x 轴,ab直线AB 交y 轴于点P ,若AP 2BP (应为PB)，则离心率为 ()A 、二B 、二C 、1D 1223212 .抛物线y22x 上两点A(X 1, yj 、B(X 2, y 2)关于直线1y x m 对称，且x 1 x 2则m 等于()A . 3B. 25C . -D . 322、填空题: 13 .若直线xy2与抛物线y 24x 交于A 、B 两点， 则线段 AB 的中点坐标是。
人教A版选修2-1：圆锥曲线单元理科测试题(含答案)
圆锥曲线单元测试（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)两点，如果x 1 + x 2 = 6，那么AB 等于 ( )A.10B.8C.7D.62.已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x 43y =，则双曲线的离心率为 ( )A.35B.34C.45D.23 3.以（-6，0），（6，0）为焦点，且经过点（-5，2）的双曲线的标准方程是（ ）A.1201622=-y x B.1201622=-x y C.1162022=-y x D.1162022=-x y 4.方程22125-16x y m m +=+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) A.1625m -<< B.9162m -<<C.9252m <<D.92m > 5.过双曲线22149x y -=的右焦点F 且斜率是32的直线与双曲线的交点个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个6.抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ）A.35B.553 C.552 D.1053 7.抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于（ ） A.15 B.152C.215D.158.设12,F F 是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则 21F PF ∆的面积为（ ）A.4B.6C.22D.24 9.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线10.设P 为椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上一点，两焦点分别为21F ,F ，如果1275PF F ∠=2115PF F ∠=，则椭圆的离心率为 （ ） A.36二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填在题中横线上.11.抛物线261x y -=的准线方程为 .12.中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为21，长轴为8的椭圆的标准方程为________.13.以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程为 .14.过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦,使弦被M 点平分,则这条弦所在的直线方程是 .15.动点P 在曲线221y x =+上移动，则点P 和定点(0,1)A -连线的中点的轨迹方程是 . 16.如图，已知1F 、2F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >> 的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则12PF PF ?uuu r uuu r；椭圆C 的离心率为 ．三、解答题：本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题共两小题满分10分，每小题5分） (1)求离心率36=e ，并且过点（3，0）的椭圆的标准方程;(2)双曲线C 和椭圆2241x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y =，求双曲线C 的方程.18.（本题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，过(,0),(0,)AaB b -的直线到原点的距离是554. （1）求椭圆的方程;（2）已知直线1(0)y kx k =+≠交椭圆于不同的两点,E F 且,E F 都在以B 为圆心的圆上 ，求k 的值.19.（本题满分14分）给定抛物线x y C 4:2=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，记O 为坐标原点. （1）求⋅的值；（2）设]52[,，的面积当三角形∈=S OAB FB AF λ时，求λ的取值范围.圆锥曲线测试理科答案一、选择题（满分40分，每题4分）二、填空题（满分24分，每题4分）11. 23y = 12.11216112162222=+=+x y y x 或 （丢解扣2分）13. 22135x y -= 14. 042=-+y x 15. 24y x = 16.0 , 3（每空2分） 三、解答题（满分36分）17.（本小题满分10分）(1) 13922=+y x 或192722=+x y …………………5分（丢解扣2分） （2）椭圆的焦点坐标为(0, ，…………………6分由双曲线的一条渐近线为y =，可得ab=，…………………7分 解得12b =，2a =， …………………9分 则双曲线方程为22241y x -= …………………10分 18. （本小题满分12分） 解（1）∵,c a=222a b c -= .∴ a = 2b ， …………2分 ∵ 原点到直线AB ：1x y a b-=的距离d ==.∴ b = 2 ，∴ 故所求椭圆方程为 221164x y+= . …………………5分（2）把2211164x yy kx =++=代入中消去y ，整理得22(14)8120k x kx ++-=.可知0∆>…………………7分设3344(,),(,),E x y F x y EF 的中点是00(,)M x y ，则 340002241,1,21414x x k x y kx k k +-===+=++……9分 0021.BM y k x k +==-……10分 ∴0020,x ky k ++=即 224201414k kk k k -++=++ .又 k ≠ 0 ，∴ 2k =18.故所求k=±4…………………12分 19. （本小题满分12分）（1）解：根据抛物线方程x y 42=可得F （1，0）………………………………1分设直线l 的方程为,1+=my x 将其与C 的方程联立，消去x 得0442=--my y ……3分 设A ，B 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则y 1y 2=－4…………4分 因为1161,4,4222121222121====y y x x x y x y 所以………………5分 故32121-=+=⋅y y x x ……………………………………6分 （2）解：因为,FB AF λ=所以),1(),1(2211y x y x -=--λ，即12121(1)(2)x x y y λλλ-=-⎧⎨-=⎩……8分又1214x y = ③2224x y = ④由②、③、④消去22121,x x y y λ=后得， 将其代入①，注意到λλ1,02=>x 解得从而可得λλ2,212=-=y y ……………………………………11分故三角形OAB 的面积λλ1||||2121+=-⋅=y y OF S ………………12分 因为5121≤+≥+λλλλ恒成立，所以只要解即可，解得253253+≤≤-λ……………………………………………………14分。
圆锥曲线》单元测试题
圆锥曲线》单元测试题本文为一份圆锥曲线单元测试题，共有选择题12道，每道题5分，总分60分。
题目中涉及到椭圆、双曲线、抛物线等知识点。
1.若双曲线$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()。
A。
5 B。
5 C。
2 D。
22.圆锥曲线$\frac{y^2}{x^2} + \frac{1}{9} = 1$的离心率$e$，则$a$的值为()。
frac{9a+8}{5}$A。
4 B。
$-\frac{4}{5}$ C。
4或$-\frac{4}{5}$ D。
以上均不正确3.以椭圆的右焦点$F_2(2,0)$为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点$M$、$N$，椭圆的左焦点为$F_1(-2,0)$，且直线$MF_1$与此圆相切，则椭圆的离心率$e$为()。
A。
$3-\sqrt{5}$ B。
$2-\sqrt{3}$ C。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ D。
$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$4.已知双曲线$\frac{x^2}{a_1^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$与椭圆$\frac{x^2}{a_2^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的离心率互为倒数，其中$a_1>0$，$a_2>b>0$，那么以$a_1,b$，$a_2,b$为边长的三角形是()。
A。
锐角三角形 B。
直角三角形 C。
钝角三角形 D。
等腰三角形5.设椭圆$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1(m>0,n>0)$的右焦点与抛物线$y^2=8x$的焦点相同，离心率为$\frac{1}{2}$，则此椭圆的方程为()。
A。
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$ B。
$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ C。
圆锥曲线单元测试题
圆 锥 曲 线 单 元 测 试 题四川省邻水中学(国家级示范高中) 特级教师 杨才荣 638500一、选择题 (每小题3分，共36分) .1、双曲线x a 22-y b22=1的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率是 ( ) (A)2 (B)2 (C)22 (D)32、方程mx 2＋ny 2＋mn=0 (m<n<0) 所表示的曲线的焦点坐标是 ( ) (A) (0，±-m n ) (B) (0，±-n m) (C) (±-m n ，0) (D) (±-n m，0) 3、椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)(12222+∈=-R n m ny m x 、有公共焦点，P 是椭圆与双曲线的交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为 ( )(A) a 2＋m 2 (B) b 2－n 2 (C) a 2－m 2 或b 2＋n 2 (D) a 2＋m 2 或b 2－n 24、设x 2－y 2=4，则xy x -21的取值范围是 ( ) (A)（－∞，0）∪（0，＋∞） (B)（－1，1）(C)（－8，45） (D)（－∞，－2）∪[2，＋∞] 5、设双曲线的左、右焦点是F 1、F 2，左、右顶点为M 、N ，若△PF 1F 2的顶点P 在双曲线上,则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点位置 ( )(A)不能确定 (B)在线段MN 的内部(C)在线段F 1M 内部或在线段NF 2内部 (D)是点M 或点N6、方程11662222=--+-+k k y k k x 表示双曲线的必要但非充分条件是 ( )(A)21＜k ＜2 (B)－3＜k ＜－31 (C) 21＜k ＜2 或－3＜k ＜－31 (D)－3＜k ＜2 7、直线x －y －1=0与实轴在y 轴上的双曲线x 2－y 2=m 的交点在以原点为中心，边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么m 的取值范围是 ( )(A) 0＜m ＜1 (B) m ＞－1 (C) m ＜0 (D) －1＜m ＜08、过点P(－3，－4)的直线与双曲线116922=-y x 有一个公共点，则直线l 的方程为 ( ) (A) 4x －3y=0 (B) 4x ＋3y ＋24=0(C) x ＋3=0 (D) x ＋3=0或4x ＋3y ＋24=09、双曲线1251622=-y x 的两条渐近线所夹的锐角是 ( ) (A) 45arctg (B) 45arctg -π (C) 245arctg (D) 452arctg -π 10、过点A(1,1)作双曲线1222=-y x 的弦MN ，使A 为MN 的中点，则直线MN 的方程是 ( ) (A) 2x －y －1=0 (B )x －2y ＋1=0(C) 2x ＋y －3=0 (D) 不存在11、焦点在x 轴上，实轴长为8，一条渐近线方程是3x －2y=0的双曲线的标准方程是 ( ) (A) 191622=-y x (B) 11441622=-y x (C) 1361622=-y x (D) 1163622=-y x 12、以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的顶点为焦点、焦点为顶点的双曲线方程为 ( ) (A) 12222=-by a x (B) 122222=--b y b a x(C) 122222=--b a y a x (D) 12222=-ay b x 二、填空题(每小题4分，共24分).13、双曲线离心率为2，则渐近线夹角为________。
文科圆锥曲线测试题
圆锥曲线单元复习题一、选择题：在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、F 1、F 1是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ）A 椭圆B 直线C 线段D 圆2、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ）A 、双曲线B 、双曲线左支C 、一条射线D 、双曲线右支3、已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，x=1及x 轴的交点K ，点A 在C 上且|AK|=2|AF|，则△AFK 的面积为（ ） A 8 B 4 C 2 D 14、抛物线y=x 2上到直线2x —y=4距离最近的点的坐标是（ ）A )45,23( B (1，1) C )49,23( D (2，4)5、设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF •=，则12PF PF +=（A B ． C D ．6.已知椭圆的焦点)1,0(),1,0(21F F -，P 为椭圆上一点，且2121PF PF F F 2+=,则椭圆的方程为（ ） A.13422=+y x B.14322=+y x C.1322=+y xD.1322=+y x7．过椭圆22ax +22b y =1（0<b<a ）中心的直线及椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是（ ）A ．abB ．acC ．bcD ．b 28、过定点P(0,2)作直线l ，使l 及曲线y 2=4x 有且仅有1个公共点，这样的直线l 共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线AA 1和BC 的距离相等，则动点P 的轨迹是 （ ）A.线段B.抛物线的一部分C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分10，. 若抛物线22y px =的焦点及双曲线22162x y k k+=--的右焦点重合，则p 的值为（ ） A.2- B.2 C.4- D.411、 已知椭圆)0,0(1)0(122222222>>=->>=+n m ny m x b a b y a x 与双曲线有相同的焦点（－c ，0）和（c ，0），若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2及c 2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ） A.33 B.22 C.41 D.21 12. θ是任意实数，则方程x 2+y 2sin θ＝４的曲线不可能是（ ） Ａ.椭圆Ｂ.双曲线 Ｃ.抛物线Ｄ.圆13、 的取值范围是则有两个不同的交点与曲线若直线 ,112k y x kx y +=+=（ ） 15、某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A )32,2(-,B )5,23(-，则（ ）A.曲线C 可为椭圆也可为双曲线B.曲线C 一定是双曲线有C.曲线C 一定是椭圆D.这样的曲线C 不存在16、设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则cos 21PF F ∠的值等于（ ） A.41 B.31 C.91 D.53 17、 1cos sin ,21cos sin ,22=-=+αααα∆αy x ABC 则方程且的一个内角是已知表示的曲线方程是（ ）A.焦点在x 轴上的双曲线B.焦点在x 轴上的椭圆C.焦点在y 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的椭圆. 18、.则的离心率和分别为圆锥曲线已知, 1x 1,,02222222221=-=+>>by a b y a x e e b a lge 1+lge 2的值（ ）A.一定是正数B.一定是零C.一定是负数D.以上答案均不对19、 设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰直角OPQ ∆，则动点Q 的轨迹是（ ）A.两条直线B.圆C.抛物线D.双曲线的一支20、 已知点A(t 2,2t )(t ∈R)、B(3,0)，则｜AB ｜的最小值为 （ ）A.2 22.B C.3 D.821、 已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ）A.21 B.23 C.27 D.522、 关于方程x 2sinα＋y 2cosα＝tanα(α是常数且α≠kπ2，k ∈Z )，以下结论中不正确的是（ ）A .可以表示双曲线B .可以表示椭圆C .可以表示圆D .可以表示直线23、 抛物线x y 42-=上有一点P ，P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为（ ）A.32B.2+3C.3D.32-25、 设21,e e 分别为具有公共焦点F 1及F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为（ ）A.1B.21C.2D.不确定26、 二次曲线1422=+my x ，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.[2，2] B.[2，2] C.[2，2] D.[2，227、直线2y k =及曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ）A.1B.2C.3D.428、 若关于x 、y 的二次方程1||2522=-+-k y k x 的轨迹存在，则它一定表示（ ）A. 椭圆及圆B. 椭圆或双曲线C. 抛物线D. 双曲线30、 函数()a f x ax x=+（0a >）的图像具有的特征：①原点是它的对称中心；②最低点是(1,2)a ；③y 轴是它的一条渐近线。
高二理科数学圆锥曲线单元测试
高二年单元考试试卷（圆锥曲线)一、选择题(60分）1.已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一个焦点为()5,0,则双曲线C 的渐近线方程为( ）A. 4312x y ±= Ｂ. 40x ±= C ． 1690x y ±= D. 430x y ±=2.平面直角坐标系中,已知O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为(1,1)、()3,3-． 若动点P 满足OP OA OB λμ=+，其中λ、R μ∈,且1λμ+=，则点P 的轨迹方程为 A ． 0x y -= B ． 0x y += C. 230x y +-= D ．()()22125x y ++-=3.抛物线22(0)y px p =>上横坐标为6的点到焦点的距离是1０，则焦点到准线的距离是( ）A. 4B. 8 Ｃ. 1６ D. 324.椭圆221mx y +=的离心率是2,则它的长轴长是（ ） A. １ Ｂ. 1或２ C. 2 D ． ２或45．设经过点()2,1M 的等轴双曲线的焦点为12,F F ，此双曲线上一点N 满足12NF NF ⊥，则12NF F ∆的面积为（ )A.B. C ． 2 D. 36．抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ,一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B 射出,则直线AB 的斜率为（ ） Ａ. 43-B. 43 Ｃ． 43± D ． 169- 7.已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的左、右焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,那么12PF PF +的最小值是( )A ． 2 B. Ｃ． 0 Ｄ. 18.椭圆22221x y a b +=(0a b >>）上存在一点P 满足F 2π∠AP =, F 为椭圆的左焦点，A 为椭圆的右顶点,则椭圆的离心率的范围是( ） A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. 20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ． 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D. 2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭９．把离心率512e +=的曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>称之为黄金双曲线.若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆O ,则圆O 与黄金双曲线C ( ）Ａ． 无交点 B ． 有１个交点 Ｃ. 有２个交点 D. 有4个交点 10.已知，则方程是与在同一坐标系内的图形可能是( ）A B C D 11．设直线()1y k x =+与抛物线24y x =相交于M 、N 两点,抛物线的焦点为F ，若F 2F M =N ，则k 的值为（ ）A ． 233±Ｂ. 223± C. 322± D. 33±12.已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点,且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（ )A. B. Ｃ. ２ Ｄ. 3二、填空题（20分） 13.已知是抛物线 的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则_____＿＿＿_＿__．1４.抛物线的焦点为Ｆ,其准线与双曲线相交于两点,若△为等边三角形，则=_＿__＿_＿＿15．已知椭圆 离心率为,双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形面积为1６，则椭圆的方程为_＿_＿_________＿_1６.设椭圆2222x :1(a b 0)y C a b+=>>的左右焦点为12,F F ,过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B 两点，1F B 与y 轴相交于D ,若1AD F B ⊥,则椭圆C 的离心率等于 ．三、解答题17（10分）.设命题p :方程221231x y k k -=++表示双曲线；命题q ：斜率为k 的直线l 过定点()2,1,P -且与抛物线24y x =有两个不同的公共点．若p q ∧是真命题，求k 的取值范围.1８（12分)．（１)已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为4，求椭圆的标准方程。
《圆锥曲线》单元测试题(有答案)
《圆锥曲线》单元测试题 答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题所给出的四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案的代号填入下表内。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11、22186x y +=或223412525y x +=. 12、1±=k 或25±=k . 13、、14三、解答题：本大题共6小题，共80分，写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2219x y +=.联立方程组22192x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得, 21036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )那么: 12185x x +=-,0x =12925x x +=所以0y =0x +2=15. 也就是说线段AB 中点坐标为(-95,15).16、解:由于椭圆焦点为F(0,±4),离心率为e=45,所以双曲线的焦点为F(0,±4),离心率为2,从而. 所以求双曲线方程为:221412y x -= 17、解:由于x y 22=,而==其中x 0≥(1)a ≤1时,当且仅当x=0时, )(a f =|PA|min =|a|.(2)a>时, 当且仅当x=a-1时, )(a f =|PA|min .所以)(a f =||,11a a a ≤⎧⎪>18.解：抛物线y a x 12=的焦点为)41,0(a F ，准线方程为ay 41-= 设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为akx y 41+=，代入2y ax =，并化简，得0412=--akx ax设P(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，则1x 2x =241a -，从而2222222121161)41(aa a ax ax y y =-== ∴2212121)41()(41)41)(41(||||ay y a y y a y a y QN PM pq +++=++== =pq)(41)]41()41[(41)41()(41)41(212212q p a a y a y a a y y a a +=+++=+++ ∴a pq q p =+ 即 a qp 411=+ 19、解:设双曲线方程为x 2-4y 2=λ.联立方程组得: 22x -4y =30x y λ⎧⎨--=⎩,消去y 得，3x 2-24x+(36+λ)=0设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(11,x y ),B(22,x y )，那么1212283632412(36)0x x x x λλ+=⎧⎪+⎪=⎨⎪∆=-+>⎪⎩ ∴===解得: λ=4,所以，所求双曲线方程是：2214x y -= 20.解：（1）联立方程223x -y =11y ax ⎧⎨=+⎩，消去y 得：（3-a 2）x 2-2ax-2=0.设A(11,x y ),B(22,x y ),那么：122122222323(2)8(3)0a x x a x x a a a ⎧+=⎪-⎪⎪=-⎨-⎪∆=+->⎪⎪⎩。
高中数学选修《圆锥曲线图》单元测试题
则k=
22
A.
3
7. 已知双曲线
2
2
B.
C.
3
3
2
2
xy
2 b 2 1( b 0) 的左 、右焦点分别是
1
D.
3
F1 , F 2 ， 其一条渐近线 方程为 y x ，点
P ( 3 , y 0 )在双曲线上 .则 PF 1 PF 2
A.4
B.0
2
x 8.已知双曲线
2
2
2
y
x
1 的准线过椭圆
2
4
点的充要条件是
三、解答题：须写出演算过程、文字说明等，满分
48 分
2
2
15.（ 10 分）求与椭圆 x ＋ y ＝ 1 有共同焦点，且过点 (0， 2)的双曲线方程，并且求出这条双曲
144 169
线的实轴长、焦距、离心率．
16.（ 12 分）在平面直角坐标系 xoy 中， 已知点 A (0, - 1) ,B 点在直线 y = - 3 上， M 点满足
9.②③
ππ
c
2
c
2
2
2
ab
b
b
10. [ , ]. 2 43
a
2 ，∴ 2
2
a
4 ，即 2
2
a
4 ，∴1 2 3 ，得1
a
a
3 ，∴ 4
3
6 11.
2
12.6
x2 y2 13. + = 1
54
a
c
c
14. 2 1,1 因为在 P F1 F 2 中，由正弦定理得
，知 P F1
PF 2
P1 F2
圆锥曲线单元测试卷及答案
圆锥曲线单元测试卷及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 椭圆的标准方程是哪一个？A. \( (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1 \)，其中 \( a > b \)B. \( (x-h)^2/b^2 + (y-k)^2/a^2 = 1 \)，其中 \( a > b \)C. \( (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1 \)，其中 \( b > a \)D. \( (x-h)^2/b^2 + (y-k)^2/a^2 = 1 \)，其中 \( b > a \)2. 下列哪个方程不能表示双曲线？A. \( x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \)B. \( y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 \)C. \( x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \)D. \( y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1 \)3. 抛物线的焦点到准线的距离称为什么？A. 焦距B. 准距C. 焦点D. 准线4. 以下哪个选项是抛物线的方程？A. \( y^2 = 4px \)B. \( x^2 = 4py \)C. \( y^2 = 4ax \)D. \( x^2 = 4ay \)5. 椭圆的离心率 \( e \) 的取值范围是？A. \( 0 < e < 1 \)B. \( e = 0 \)C. \( e > 1 \)D. \( e < 0 \)6. 双曲线的离心率 \( e \) 的取值范围是？A. \( 0 < e < 1 \)B. \( e = 0 \)C. \( e > 1 \)D. \( e < 0 \)7. 直线与椭圆相交于两点，这两点的中点坐标是什么？A. 直线与椭圆的交点的坐标平均值B. 椭圆的中心点坐标C. 直线的中点坐标D. 无法确定8. 抛物线的准线方程是什么？A. \( x = -\frac{p}{2} \)B. \( y = -\frac{p}{2} \)C. \( x = \frac{p}{2} \)D. \( y = \frac{p}{2} \)9. 双曲线的渐近线方程是什么？A. \( y = \pm \frac{a}{b}x \)B. \( x = \pm \frac{a}{b}y \)C. \( y = \pm \frac{b}{a}x \)D. \( x = \pm \frac{b}{a}y \)10. 椭圆的焦点在哪个轴上？A. x轴B. y轴C. 两轴上D. 不确定二、填空题（每题2分，共20分）11. 椭圆 \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \) 的长轴长度为______。
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第8章圆锥曲线单元测试题
高二年级 _班 学号 ______ 姓名 ________________ 、选择题（
每题3分） — 1）如果实数x,y 满足等式（
x 2)2
y 3，那么—的最大值是（ ） 人1 B 、 C 3 D
A 、— 、— 、■. 3 2 3 2
2）若直线（1 a)x y 1 0与圆 2 2 x y 2x 0相切，贝y a 的值为（ A 1, 1 B 、 2, 2 C 、1 D 、1
2 2 3）已知椭圆X 2 — 1
（a 5）的两个焦点为F i 、F 2，且| F” | 8，弦AB 过点R ，则
a 25 ）（A ） 10 （ B ）20 （ C ）
2 .. 41 ( D 4； 41
4）椭圆 2 x 2 y_
100 36 是（ )(A ) 15
2 2 5）椭圆 x y
25 9 面积为 ( )(A )
2 2 6）椭圆 x y
16 4
(A ) 3 (B ) △ ABF 2的周长为
(B ) 12 1的焦点 9 （ B ） 1上的点P 到它的左准线的距离是 (C ) 10 ( D ) 8 10,那么点 到它的右焦点的距离
F 1> F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1 PF 2，则△ F 1PF 2 的
12 ( C 10 ( D )8 1上的点到直线x 2y . 2 0的最大距离是（ ( C ) 2/2( D ) J10- 7)以坐标轴为对称轴、 2 y 2 y 2 y 9 (B ) 2 y （A ） x 2 （C ） x 2
2 x 8） 双曲线— 16 （A ） 6 9） 过双曲线
x 2 渐近线互相垂直、两准线间距离为 2 （ B ） 4 或 y x 4 （ D
） 2的双曲线方程是（ x 2 2
y 2 2 或 y 2 x 2 2 1右支点上的一点P 到右焦点的距离为 2,则P 点到左准线的距离为（）
为（）（A ） 28 10） 双曲线虚轴上的一个端点为 率为（）（A ）吋3 （ B ） --- 2 8 （ C ） 10 （ D ） 12 8
的右焦点F 2有一条弦 （B ） 14 8、2 （C ） 14 M,两个焦点为 （C ） （ D ）
3 PQ |PQ|=7,F 1是左焦点，那么△ F 1PQ 的周长 8.2 （ D ） F 1、F 2，
.3 8,2 F 1MF 2 120，则双曲线的离心
P 、Q 两点，若线段 PF 与FQ 的长
1 分别为p 、q ,则一
1等于 ()
P q (A ) 2a
(B )丄 (C ) 4a (D )-
11）过抛物线y ax 2 （a>0）的焦点F 作一直线交抛物线于 2a
2
y
1的弦被点(4 , 2)平分，则这条弦所在的直线方程是( 9
0 (B ) x 2y 4 0 (C ) 2x 3y 12 0 (D ) x 2y 8 0
‘5 、、、、 一、、 x 2 9y 2 , ，一条准线为x 3的椭圆的标准方程是
1 o
3
5
20
2
y 2px (p>0)的焦点F 作一直线I 与抛物线交于 P 、Q 两点，作PP 、QQ
1
所以 y 0 = x 0 +2=.
5
4
离心率为e=-,所以双曲线的焦点为 F(0, 4),离心率为
垂直于抛物线的准线， 垂足分别是P 1、Q ,已知线段PF 、 2 . ab o 16)若直线 QF 的长度分别是a 、b ,那么|P 1Q|=
长为 4,则
I 过抛物线y 1
a=。
4 2
ax (a>0)的焦点，并且与 y
轴垂直，若I 被抛物线截得的线段
解答题 已知椭圆C 的焦点F 1 C 于A 、B 两点，求线段 AB 的中点坐标。
(8分) x 轴上,其中c= 2 2 ,a=3,
17) 椭圆 解：由已知条件得椭圆的焦点在 2 2
x y --- y 2 1.联立方程组 9 9
y
(-2,2 , 0)和 F 2 ( 2.2 , 0),长轴长6,设直线y x 从而b=1,所以其标准方程是
y 1,消去y 得，10x 2 x 2 36x 27 0.
设 A(x 1,%),B( X 2,y 2),AB 线段的中点为 M(x o , y o )那么:
X 1 X 2
18 x 1 x 2 ,X 0 =
5
2
2
12)如果椭圆—
36 (A ) x 2y
、填空题(每题4分)
2 2
x y_ 4 3 1或哎 25 13)与椭圆
1具有相同的离心率且过点(
2, -.3)的椭圆的标准方程是
2
y_ 6
空1
I o
25
14)离心率e
15)过抛物线 也就是说线段 AB 中点坐标为 (-9山
2 18)已知双曲线与椭圆 —
9
2
25
1共焦点，它们的离心率之和为 14
一，求双曲线方程.(10
5
分)解：由于椭圆焦点为F(0,
4),
5
2, 从而c=4,a=2,b=2 3.
2 2
所以求双曲线方程为：乙冬1.
4 12
19）抛物线y22x上的一点P（x , y）至悚A（a,O）（a € R）的距离的最小值记为f（a），求
f(a)的表达式(10分)
解:由于y22x，而|PA|= . (x a)2 y2x2 2ax a2y2x2 2ax a2 2x
=,x2 2(a 1)x a2= , [x (a 1)]2 2a 1，其中x 0
(1) a 1 时,当且仅当x=0 时，f (a) =|PA| min=|a|.
(2) a> 时，当且仅当x=a-1 时，f (a) =|PA| min = •- 2a 1 .
20）求两条渐近线为x 2y 0且截直线x y 3 0所得弦长为8卫的双曲线方程。
（10
3
分）
解:设双曲线方程为x2-4y 2
联立方程组得：
2 2
x -4y = o
，消去y 得，3X2-24X+(36+ )=0
x y 3 0
x_j x28
36
X1X2
3
2
24212(36 ) 0
解得：=4,所以，所求双曲线方程是:
21）已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A B两点，（1）若以AB线段为直径的圆过坐
标原点，求实数a的值。
（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y 1
x对称?
说明理由。
（10
分）
解：（1 ）联立方程
2 2.
3x -y =1
y ax 1
，消去y得: (3-a2) x2-2ax-2=0.
所以f(a) = |a |,a 1 、、2a 1,a
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A( X" yj B(X2, y2),那么:
那么：|AB|= .(TV )[(x1 x2) 4x1x2]■ (1 1)(82 4 36
3
8(12—) 8.3
V 3 3
X i X 2 2a
设 A( X i , %),B( X 2, y 2),那么: XiX2
3 (2 a)2 8(3 3 a 2 2
a a 2) 0 由于以AB 线段为直径的圆经过原点，那么： 所以：X i X 2 (ax i i)(ax 2 i) 0,得到: uu u OA (a 2 i) uuu OB ， 2 3 a 2 ⑵假定存在这样的a ，使A( X i , y i ),B( X 2, y 2)关于直线y
即 X i X 2 y i y 2 0。
2a a 2 3 a 2 1 X 对称。
2 i 0,a 2 6，解得 a= i
那么： 呼了，两式相减得: 3x 22-y 2
2
=i 3(x i 2-X 22)=y i 2-y 22，从而 yi y2 = 3(Xi+X2) X i -X 2 y i +y 2 (*)
因为A( X i , y i ),B ( X 2, y 2)关于直线y
y i +y 2 = i 1 2 =2 x 对称，所以 2 y i -y 2 x i -x 2 X i +X 2 2 代入(x )式得到：-2=6，矛盾。
也就是说：不存在这样的 a ，使A( X i ,y i ),B(X 2,y 2)关于直线y -x
2 对
称。