数学建模-最优化模型

例 1 求 x = 2 e x sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值 .
主程序为wliti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8) f1='-2*exp(-x).*sin (x)'; [xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
f x* f x 则称 x * 是最优化问题的整体最优解。
局部最优解：若 x D，存在某邻域 N ( x* ) ，使得对于一切 * x N ( x* ) D ，恒有 f x f x 则称 x * 是最优化问题的局部 最优解。其中 N ( x* ) { x | x x* , 0}
• 最优化是从所有可能方案中选择最合理的一种
以达到最优目标的学科。
• 最优方案是达到最优目标的方案。 • 最优化方法是搜寻最优方案的方法。 • 最优化理论就是最优化方法的理论。
经典极值问题
包括：
①无约束极值问题
②约束条件下的极值问题
1、无约束极值问题的数学模型 min f ( x)
x
2、约束条件下极值问题的数学模型
2
y
x
m a2 min yi a1 x x i 1 i 4 1 a ln 1 exp 3 a5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
有约束最优化
最优化方法分类
（一）线性最优化：目标函数和约束条件都是线 性的则称为线性最优化。 非线性最优化：目标函数和约束条件如果含 有非线性的，则称为非线性最优化。 （二）静态最优化：如果可能的方案与时间无关， 则是静态最优化问题。 动态最优化：如果可能的方案与时间有关， 则是动态最优化问题
2 建立无约束优化模型为：min y =- (3 2 x) x ， 0< x <1.5
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval
output= iterations: 108 funcCount: 202 algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search
'
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述 所研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和 熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必 须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
*
严格最优解：当 x x* ，有 f x* f x 则称 x *为问题的严 格最优解。
局部最优解
f(X)
整体最优解
求解 P 的基本方法（迭代算法） ：
1 给定一个初始可行点 x0 D ；
2 产生可行点 x1 ，x 2 ， …，x k ， …， 记为 xk ；
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会
经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件
下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。
（比如保险）
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。 以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法（求无约束极值问题），拉格 朗日（Lagrange）乘数法解决等式约束下的条件 极值问题。 计算机技术的出现，使得数学家研究出了许 多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问 题。
有约束最优化问题的数学建模
有约束最优化模型一般具有以下形式：
min
x
f ( x)
max
s.t. ......
或
x
f ( x)
s.t. ......
其中f(x)为目标函数，省略号表示约束式子，可以是 等式约束，也可以是不等式约束。
最优化方法主要内容
根据目标函数，约束条件的特点将最优 化方法包含的主要内容大致如下划分：
最优化模型
一、最优化方法概述 二、无约束最优化问题
三、无约束最优化问题的MATLAB 求解 四、有约束最优化问题
最优化方法概述
1、最优化理论和方法是近二十多年来发展十分迅
速的一个数学分支。 2、在数学上，最优化是一种求极值的方法。 3、最优化已经广泛的渗透到工程、经济、电子技
术等领域。
• 在实际生活当中，人们做任何事情，不管是分 析问题，还是进行决策，都要用一种标准衡量 一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
3 使得或者某个 x k 恰好是问题的一个最优 解，或者该点列 xk 收敛到问题的一个最优解 x* 。
线性规划 整数规划 非线性规划
动态规划
多目标规划
对策论
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
s .t .
hi x 0
min f x i 1, 2, , m j 1, 2, p (P)
g j ( x) 0
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
（3）目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统 的效率，即系统追求的目标。
例1.把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实 心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面 积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量： 圆柱体底面半径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。 即
解:很显然对参数a1 a2 a3 a4 和 a5 任意给定的一组数值,就由上 式确定了 y关于x的一个函数关系式,在几何上它对应一条曲线,这条 曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的 平方和作为这种“偏差”的度量.即
m a2 S yi a1 x a i 1 i 4 1 a ln 1 exp 3 a5 显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
例 用fminsearch函数求解
输入命令:
f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.2 2])
运行结果:
x =1.0000 1.0000 fval =1.9151e-010 exitflag = 1
s.t. Subject to.

利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题
2 4 Lr.h. 2 rh 2 r r h 3 分别对r.h.λ求偏导数,并令其等于零.有:
2
L r 2 h 4 r 2rh 0 L 2 2 r r 0 h L 4 2 r h 0 3
r
2
4 3 h R 3

为金属比重. 0.R 1
即
r
2
4 h 3
即
4 r h 0 3
2
问题目标是圆柱体表面积最小。即 min
2rh 2 r
2

则得数学模型：
min 2 rh 2 r 2 4 2 s .t . r h 0 3
最优化：在一定的条件下，寻求 使得目标最大（最小）的策略
• 约一半以上的问题与最优化问题有关。如： 飞行管理问题（95A） 最优捕鱼策略（96A） 节水洗衣机（96B） 零件的参数设计(97A) 投资收益和风险(98A) 钢管订购和运输(2000B) 电力市场的堵塞管理(2004B) ……
几个概念
h 2r
2 2 r 3 . h 23 3 3
此时圆柱体的表面积为 6 2
2 3
3
例4.多参数曲线拟合问题 已知两个物理量x和y之间的依赖关系为: a2 y a1 x a4 1 a3 ln 1 exp a 5 a2 a3 a4 和a5待定参数,为确定这些参数, 其中 a1 对x.y测得m个实验点: x1, y1 , x2, y2 ,xm , ym . 试将确定参数的问题表示成最优化问题.
一般的模型简化工作包括以下几类：
（1）将离散变量转化为连续变量。
（2）将非线性函数线性化。
（3）删除一些非主要约束条件。
建立最优化问题数学模型的三要素：
（1）决策变量和参数。
决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表 示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。
（2）约束或限制条件。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括 把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这 通常是用约束的数学函数形式来表示的。
综上得，
函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…）
x1 x x2
（5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…）
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边. 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
MATLAB(wliti1)
min f ( x)
s.t. gi ( x) 0, i 1, 2,..., m hi ( x) 0, i 1, 2,..., n
x
其中，极大值问题可以转化为极小值问题来 进行求解。如求： max f ( x)
x
min f ( x ) 可以转化为：
x
1、无约束极值问题的求解
例 1 ：求函数 y=2x3+3x2-12x+14 在区间 [-3,4] 上的最 大值与最小值。 解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14 f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) 解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142，
MATLAB(wliti2)
运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边 长为0.5m时水槽的容积最大,最大容积为2m3.
2.多元函数无约束优化问题
标准型为：min F ( X )
命令格式为: （1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （3）[x，fval]= fminunc（...）； 或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）； 或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）； 或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
例2 有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
解
设剪去的正方形的边长为 x ，则水槽的容积为： (3 2 x) 2 x