有余数的除法 找规律
芜湖县第二小学二年级数学下册 6 有余数的除法知识归纳与整理 新人教版
第六单元有余数的除法一、有余数的除法1.有余数的除法的意义：在平均分一些物体时，有时会有剩余。
2.余数与除数的关系：在有余数的除法中，余数必须比除数小。
最大的余数小于除数1，最小的余数是1。
3.笔算除法的计算方法：（1）先写除号“厂”（2）被除数写在除号里，除数写在除号的左侧。
（3）试商，商写在被除数上面，并要对着被除数的个位。
（4）把商与除数的乘积写在被除数的下面，相同数位要对齐。
（5）用被除数减去商与除数的乘积，如果没有剩余，就表示能除尽。
4.有余数的除法的计算方法可以分四步进行：一商，二乘，三减，四比。
（1）商：即试商，想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数，那么商就是几，写在被除数的个位的上面。
（2）乘：把除数和商相乘，将得数写在被除数下面。
（3）减：用被除数减去商与除数的乘积，所得的差写在横线的下面。
（4）比：将余数与除数比一比，余数必须必除数小。
二、解决问题根据除法的意义，解决简单的有余数的除法的问题，要根据实际情况，灵活处理余数。
2的乘法【学习目标】1．会编2的乘法口诀。
2．熟练掌握2的乘法口诀，并能熟练地口算有关2的表内乘除法。
3．能够利用所学的知识解决简单的实际问题。
【学习重难点】1．掌握编制2的乘法口诀的方法并熟记口诀。
2．用乘法口诀熟练地求积、求商。
【学习过程】一、快速口答。
二（）得四二（）得六二五（）二九（）2×2= （）3×2=（）说一说：2×10=（）3×2=（）你是怎么想的？小结：用学过的乘法口诀可以帮助我们求积或商。
二、学习新课1．编制口诀。
（1）小熊要去河的对岸采草莓，河上有座数字桥，让我们帮助他顺利过河吧。
问：他是怎么过河的？（2格一跳）小熊跳1次，就是（）个（）是（），算式是1×2=2，口诀是：一二得二小熊跳2次，就是（）个（）是（），算式是2×2=4，口诀是：二二得四小熊跳3次，就是（）个（）是（），算式是3×2=6，口诀是：二三得六说一说：18你是怎么算出来的？2．熟记口诀（1）哪几句口诀是我们今天新学的？（2）有没有好办法记住2的乘法口诀？规律：①相邻的每两个积都相差2。
有余数的除法怎么验算
有余数的除法怎么验算
有余数除法的验算方法:被除数=商×除数+余数。
基本规律:从高位除起，到哪一位，就把商写在那一位;三位数除以一位数时百位上够除，商就是三位数;百位上不够除，商就是两位数。
除法是四则运算之一。
已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
两个数相除又叫做两个数的比。
若ab=c (b#0)，用积数c 和因数b来求另一个因数a的运算就是除法，写作c+b，读作c除以b (或b除c)。
其中，c叫做被除数，b叫做除数，运算的结果a叫做商。
小学数学人教2011课标版二年级有余数的除法——找规律解决问题
贴教具）师：从题目中你又知道了什么？生：按照下面的规律摆小旗。
这样摆下去，第 16 面小旗应该是什么颜色？2、自主探究1师：明白了题目的意思，下面请同学们自己想办法解决这个问题。
拿出学习单，完成第一题的第1小题，请你动手画一画、涂一涂，把自己的想法表达清楚。
先独立完成，完成后和同桌交流一下想法。
学生活动，教师巡察，了解学生解决问题的基本思路和基本方法，选取典型案例。
师：接下来的3面小旗涂什么颜色呢？生：第14面涂红色，第15面涂红色，第16面涂黄色。
（相机贴黑板）师：你们都是这样画的吗？生：是的。
师：看来我们同学们很会找规律，也很善于用画的方式来解决问题。
师：除了画一画，涂一涂的方法，还有其他方法可以解决吗？先独立思考并完成学习单上的第2小题，完成后请在小组内说说你的想法。
（1）预设1规律：黄红红黄红红黄红红黄红红黄红红黄3 6 9 12 15 16师: 这位同学是用什么表示出第16面小旗是（黄）色的？生：他用数字和文字表示的。
师：这些数字和文字表示的是什么意思？请你自己来说一说你的想法。
生：3表示的是1组这样的小旗是3面，6......师：这位同学不但善于运用规律，而且还通过数字和文字的结合把规律表示出来。
（2）预设2师：这位同学列了一道除法算式来解决，你看明白了吗？16÷3＝5（组）……1（面）（板书横式、竖式）师：老师把他的算式写出来。
请当事人说一说，除法算式中16、3、5、1分别表示什么意思？引导生回答：16表示16面小旗，3表示每3面小旗为一组重复出现，（板书圈出来）5表示按规律摆了5组，1表示按规律重复后剩余1面小旗，也就是下一组的第一面小旗。
师：同学们听明白了吗？老师根据他的思路再说一遍。
16表示16面小旗，3表示每3面小旗为一组重复出现，5表示按规律摆了5组，1表示按规律重复后剩余1面小旗，也就是下一组的第一面小旗。
余数是1，就说明第16面小旗是下一组的第1面，应该是什么颜色？生口答：第16面小旗是黄色的。
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一、知识点回顾1、有余数的除法的意义：在平均分一些物体时，有时会有剩余。
2、余数与除数的关系：在有余数的除法中，余数必须比除数小。
最大的余数小于除数1，最小的余数是1。
3、笔算除法的计算方法：（1）先写除号“厂”（2）被除数写在除号里，除数写在除号的左侧。
（3）试商，商写在被除数上面，并要对着被除数的个位。
（4）把商与除数的乘积写在被除数的下面，相同数位要对齐。
（5）用被除数减去商与除数的乘积，如果没有剩余，就表示能除尽。
4、有余数的除法的计算方法可以分四步进行：一商，二乘，三减，四比。
（1）商：即试商，想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数，那么商就是几，写在被除数的个位的上面。
（2）乘：把除数和商相乘，将得数写在被除数下面。
（3）减：用被除数减去商与除数的乘积，所得的差写在横线的下面。
（4）比：将余数与除数比一比，余数必须必除数小。
二、解决问题根据除法的意义，解决简单的有余数的除法的问题，要根据实际情况，灵活处理余数。
1.租船问题：运用有余数的除法解决租船问题时，商加1才是最后的结果。
2.周期问题：在实际生活中，有一些事物按照一定的规律循环出现，这样的问题，称为周期问题。
解决周期问题时，可以根据题中循环出现的规律列出除法算式，求出余数，再根据余数得出所求问题的答案。
在有余除法中，要记住：（1）余数＜除数；（2）被除数＝商×除数＋余数精典例题例1：（1）（）÷7=8……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？（2）（）÷（）＝（）……6，除数最小是几？思路点拨（1）根据余数一定要比除数小的原理，余数可以取1,2,3,4,5,6。
最大的余数确定最大的被除数，最小的余数确定最小的被除数。
（2）根据余数一定要比除数小的原理，除数要大于6，而大于6的数有很多，其中最小的是。
模仿练习1．算式（）÷（）＝8……（）中，被除数最小是几？2．下题中被除数最大可填几，最小可填几？（）÷8＝3……（）3．你能写出下面题中最大的被除数和最小的被除数吗？（）÷4＝7……（）例2：算式28÷（）=（）……4中，除数和商各是多少？思路点拨根据“被除数＝商×除数＋余数”，商×除数＝被除数－余数，即，商×除数＝28－4＝24。
有余数的除法,总结
有余数的除法,总结有余数的除法归纳总结1.把一些物体平均分后还有剩余，这个过程可以用有余数的除法算式来表示，其中不够再分而剩余的数就是余数。
2.有余数的除法横式中有四个数字：被除数、除数、商、余数，其中商和余数两部分是算式的结果。
3.除法竖式计算步骤：1 写竖式除号2 写被除数和除数3 写商4 写商与除数的积5 写余数4.竖式要注意数位对齐。
5.有余数除法的求商方法：“被除数”里最多有几个“除数”，商就是几。
6.余数一定都比除数小。
7.解应用题时，要注意“商”和“余数”两数的单位，余数的单位与被除数相同，最后要写回答问题。
8.被除数÷除数=商??余数被除数=商×除数＋余数除数=÷商商=÷除数余数=被除数-商×除数第65课时：第六单元单元小结教学目标：知识与技能目标：使学生加深理解有余数的除法的含义，认识余数，理解余数要比除数小的道理。
并能够运用有余数的除法解决生活中的简单实际问题。
过程与方法：学生在获取知识的过程中，渗透借助直观研究问题的意识和方法，积累观察、操作、讨论、合作交流、抽象和概括等数学活动经验，发展抽象思维。
情感、态度与价值观：学生在自主探究解决问题的过程中，感受数学与生活的联系，体验成功的喜悦。
教学重点：有余数除法的意义和计算方法。
教学难点：利用有余数的除法结合实际解决生活中的问题。
教学方法：三疑三探教学方法教学用具：小黑板、小棒等。
教学过程：一、设疑自探：、练习巩固：1、看谁算的又对又快17÷2= 31÷5=25÷6=19÷4= 27÷8=19÷5=2、用竖式计算56÷8= 37÷4=50÷7=、导入新课看来大家已经初步掌握了简单的有余数的除法，今天我们就来对有余数的除法进行整理复习，让我们对这一单元的知识掌握的更牢固。
、看到课题你还对这一部分的知识有什么疑问吗？请你提出来。
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一、知识点回顾1、有余数的除法的意义：在平均分一些物体时，有时会有剩余。
2、余数与除数的关系：在有余数的除法中，余数必须比除数小。
最大的余数小于除数1，最小的余数是1。
3、笔算除法的计算方法：（1）先写除号“厂”（2）被除数写在除号里，除数写在除号的左侧。
（3）试商，商写在被除数上面，并要对着被除数的个位。
（4）把商与除数的乘积写在被除数的下面，相同数位要对齐。
（5）用被除数减去商与除数的乘积，如果没有剩余，就表示能除尽。
4、有余数的除法的计算方法可以分四步进行：一商，二乘，三减，四比。
（1）商：即试商，想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数，那么商就是几，写在被除数的个位的上面。
（2）乘：把除数和商相乘，将得数写在被除数下面。
（3）减：用被除数减去商与除数的乘积，所得的差写在横线的下面。
（4）比：将余数与除数比一比，余数必须必除数小。
二、解决问题根据除法的意义，解决简单的有余数的除法的问题，要根据实际情况，灵活处理余数。
1.租船问题：运用有余数的除法解决租船问题时，商加1才是最后的结果。
2.周期问题：在实际生活中，有一些事物按照一定的规律循环出现，这样的问题，称为周期问题。
解决周期问题时，可以根据题中循环出现的规律列出除法算式，求出余数，再根据余数得出所求问题的答案。
在有余除法中，要记住：（1）余数＜除数；（2）被除数＝商×除数＋余数精典例题例1：（1）（）÷7=8……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？（2）（）÷（）＝（）……6，除数最小是几？思路点拨（1）根据余数一定要比除数小的原理，余数可以取1,2,3,4,5,6。
最大的余数确定最大的被除数，最小的余数确定最小的被除数。
（2）根据余数一定要比除数小的原理，除数要大于6，而大于6的数有很多，其中最小的是。
模仿练习1．算式（）÷（）＝8……（）中，被除数最小是几？2．下题中被除数最大可填几，最小可填几？（）÷8＝3……（）3．你能写出下面题中最大的被除数和最小的被除数吗？（）÷4＝7……（）例2：算式28÷（）=（）……4中，除数和商各是多少？思路点拨根据“被除数＝商×除数＋余数”，商×除数＝被除数－余数，即，商×除数＝28－4＝24。
求余数找规律
求余数找规律陈开金我们知道，任给一个整数A ，将自然数1，2，3，4，…依次除以A ，所得的余数总是循环重复出现，呈周期性变化。
例如，连续自然数1，2，3，4，5，6，…，依次除以3，所得的余数分别为1，2，0，1，2，0，…每隔3个循环一次。
连续自然数1，2，3，4，5，6，…依次除以4，所得的余数分别为1，2，3，0，1，2，3，0，…每隔4个就重复出现一次。
连续自然数1，2，3，4，5，6，…依次除以5，所得的余数分别为1，2，3，4，0，1，2，3，4，0，…每隔5个就重复出现一次。
巧妙借用这个模型，常常能快速解决问题。
现以2005年中考试题为例说明。
例1. 把编号为1，2，3，4，…的若干盆花按图1所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、紫四种颜色依次循环排列，则第8行从左边数第6盆花的颜色为__________色。
图1解析：由于编号为1，2，3，4，…的花按红、黄、蓝、紫四种颜色依次循环排列，每隔4盆就重复出现一次，因此，将花盆的序号除以4，余数为1的就与第1盆花同色，为红色；余数为2的就与第2盆花同色，为黄色；余数为3的就与第3盆花同色，为蓝色；余数为0的则与第4盆花同色，为紫色。
从第1盆到第8行自左边数第6盆，序号为()1234567634+++++++=。
由于34除以4的余数为2，因此应该为黄色。
例2. 如果将点P 绕定点M 旋转180°后与点Q 重合，那么称点P 与点Q 关于点M 对称，定点M 叫做对称中心。
此时M 是线段PQ 的中点。
如图2所示，在直角坐标系中，△ABO 的顶点分别为A （1，0），B （0，1）O （0，0）。
点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A 对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…这些对称中心依次循环。
有余数除法找规律解决问题
《有余数除法找规律解决问题》教学设计教学目标：1、在解决问题的过程中，学会利用有余数除法的知识解决与按规律排列有关的问题（即等余问题）。
2、能借助直观图理解和分析相关数量关系，明白并能准确表达描述说明余数的含义，进而建立解决此类问题的模型。
3、充分借助直观图，经历审读题意、分析数量关系、寻找策略解决问题、反思等思维过程，培养学生对于数量关系分析的问题意识。
教学重点：能借助直观图理解和分析相关数量关系，学会利用有余数除法的知识解决与排列规律有关的问题。
教学难点：明白并能准确表达说明余数的含义。
教学过程：一、游戏铺垫，激趣引入1、出示苹果图片，排列规律是红、绿、黄，并在下面依次标出对应的序号。
师：同学们，你们喜欢玩游戏吗？这里有一些苹果，仔细观察，每个苹果下面依次标出了对应的序号。
现在老师背对屏幕，只要你们随意报一个序号，老师就能很快猜出苹果的颜色。
谁来报序号？师生活动。
2、质疑揭题：为什么老师能很快猜出序号对应的彩旗颜色？生答：利用了彩旗排列的规律。
师：对，今天我们就来学习和排列规律有关的解决问题。
（板题）二、探究新知1、观察规律（1）找规律再次出示PPT苹果图（10个苹果）及文字问题：按照这种规律摆苹果。
这样摆下去，第13个苹果应该是什么颜色？师：需要解决什么问题？要解决这个问题，我们需要先确定什么？生答。
（确定苹果的规律。
）下面我们认真观察一下，你发现了苹果的排列有什么规律？同桌互相说说你的发现。
师板书：1、找同桌互说。
师：谁来概括一下？指2人答。
（三面一组，每组都是按黄、红、红的顺序重复排列。
）（2）分组圈师：那根据我们找到的规律，请你给这些苹果分一下组，圈一圈。
师板书：2、分生圈。
展示。
师：哦，这些苹果按规律排列，分成了几组？每组有几面？指答。
（师把第1组圈起来）师：每组的第1个是什么颜色？第2、3个呢？（对应板书：1、2、3）（3）讨论交流师：找到了规律，怎么确定第13个苹果是什么颜色？你有些什么办法？请小组内先讨论一下。
四年级奥数有余数的除法
补充：有余数的除法讲义知识点拨：一、定义回顾：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是：a＝b×q＋r,（ 0≤r＜b）我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
二、定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【变式】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例 2】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【变式】两个整数相处商是12,余数是6,已知被除数,除数商与余数的差是204,除数是多少？【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
【变式】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【变式】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【模块二：定理的应用】【例 5】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【变式1】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab，求abba．【变式2】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【变式3】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例 9】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．。
人教版小学数学二年级下册《有余数的除法 第2课时 有余数的除法在找规律中的应用教学课件
字吗？
规律：
以“爱、我、中、华”的规律排列。
31 ÷4=7 （组）…… 3 （个）
第31个格中填“中”。
课堂小结
我们用有余数的除法解决了那么多的问题，
和大家说一说你是怎样解决的吧。
先找到图形的排列规律，再用除法计算， 通过余数找到要求位置的图形。
课外作业
自己画一组喜欢的图案，让家长算一算某
一位置的图形是什么。
问题
第27面小旗是什么颜色？ 列式：27 ÷3=9（组） 正好整除， 没有余数，正好是一组的最 后一个，应该是红色。
课堂训练，巩固新知
现在，你知道第33人是谁了吗？
33 ÷4=8（组） ……1(人) 第33人应该是唐僧。
规律：
以“蓝、蓝、红、红、红”的规律排列。
24 ÷5=4（组）……4（个）
去，那你知道第33人是谁吗？
动手动脑，探究新知
ห้องสมุดไป่ตู้
按照下面的规律摆小旗。这样摆下去，第16
面小旗应该是什么颜色？
讨论： （1）都有什么颜色的小旗？ （2）它们是按照什么规律排列的呢？ （3）数一数一共有多少面小旗。 （4）你知道第16面小旗是什么颜色吗？
小旗是按照“黄色、红色、红色”的规
律排列的，一共有13面小旗。如果接着摆， 应该是红色、红色、黄色，所以第16面小旗 应该是黄色的。
思考
同学们用画一画、摆一摆的方法，求出
了第16面小旗是黄色的。如果这些小旗继续
往下摆，第27面是什么颜色？第50面、第100 面呢？ 提示：
已经知道了什么？要求的是什么？
知道
有16面小旗，每3面小旗分为一组。
要求
求有几组，第16面小旗是什么颜色。 16 ÷3=5（组） ……1（面） 第16面小旗为黄色。
第六单元有余数的除法例6《找规律》(教案)人教版二年级下册数学
第六单元有余数的除法例6《找规律》（教案）人教版二年级下册数学今天我要为大家分享的是人教版二年级下册数学第六单元《有余数的除法》例6《找规律》的教案。
一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材P73页的例6以及相应的练习。
例6是通过观察三组有余数的除法算式，让学生找出规律，进一步理解有余数的除法。
二、教学目标1. 让学生通过观察和分析，找出有余数的除法中的规律。
2. 培养学生运用规律解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：让学生理解并掌握有余数的除法中的规律。
2. 教学重点：培养学生运用规律解决实际问题的能力。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、课件。
2. 学具：练习本、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 情景引入：通过一个有趣的故事，引发学生对有余数的除法的兴趣。
2. 自主探究：让学生独立观察例6中的三组算式，找出其中的规律。
3. 小组交流：学生分组讨论，分享自己找到的规律，互相学习和借鉴。
4. 讲解与演示：老师对学生的发现进行讲解和演示，引导学生理解规律。
5. 随堂练习：让学生运用规律解决实际问题，巩固所学知识。
六、板书设计板书设计主要包括本节课的教学目标和重点，以及有余数的除法规律。
七、作业设计（1）21÷4=？（2）28÷6=？（3）32÷8=？2. 作业答案：（1）21÷4=5余1（2）28÷6=4余4（3）32÷8=4八、课后反思及拓展延伸课后反思：本节课通过有趣的故事引入，激发了学生的学习兴趣。
在教学过程中，我注重让学生独立观察和分析，培养他们的自主学习能力。
在小组交流环节，学生积极参与，互相学习，提高了课堂氛围。
通过讲解和演示，学生较好地掌握了有余数的除法规律。
但在随堂练习环节，部分学生对规律的应用还不够熟练，需要在课后加强练习。
拓展延伸：有余数的除法在生活中的应用非常广泛，可以让学生在日常生活中多观察、多思考，发现更多的规律。
有余数的除法_4
有余数的除法有余数的除法对于任意一个整数除以一个自然数，一定存在唯一确定的商和余数，使被除数=除数×商+余数（0≤余数＜除数）也就是说，整数a除以自然数b，一定存在唯一确定的q和r，使a=bq＋r （0≤r＜b）成立．我们把对于已知整数a和自然数b，求q和r，使a=bq＋r（0≤r＜b）成立的运算叫做有余数的除法，或称带余除法．记为a÷b=q（余r）或a÷b=q…r读作“a除以b商q余r”，其中a叫做被除数，b叫做除数，q叫做不完全商（简称商），r叫做余数．例如5÷7=0（余5），6÷6=1（余0），29÷5=5（余4）．解决有关带余问题时常用到以下结论：（1）被除数与余数的差能被除数整除．即如果a÷b=q（余r），那么b｜（a-r）．因为a÷b=q（余r），有a=bq＋r，从而a-r=bq，所以b｜（a-r）．例如39÷5=7（余4），有39＝5×7＋4，从而39-4=5×7，所以5｜（39-4）（2）两个数分别除以某一自然数，如果所得的余数相等，那么这两个数的差一定能被这个自然数整除．即如果a1÷b=q1（余r），a2÷b=q2（余r），那么b｜（a1-a2），其中a1≥a2．因为a1÷b=q1（余r），a2÷b=q2(余r），有a1=bq1+r，a2=bq2＋r，从而a1-a2=（bql＋r）-（bq2＋r）=b（q1-q2），所以b｜(a1-a2)．例如，22÷3=7（余1），28÷3=9（余1），有22=3×7＋1，28=3×9＋1，从而28-22=3×9-3×7＝3×（9-7），所以3｜（28-22）．（3）如果两个数a1和a2除以同一个自然数b所得的余数分别为r1和r2，r1与r2的和除以b的余数是r，那么这两个数a1与a2的和除以b的余数也是r．例如，18除以5的余数是3，24除以5的余数是4，那么（18+24）除以5的余数一定等于（3＋4）除以5的余数（余2）．（4）被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变，余数的也随着扩大（或缩小）相同的倍数．即如果a÷b=q（余r），那么（am）÷（bm）=q （余rm），（a÷m))÷（b÷m）=q（余r÷m）（其中m｜a，m｜b）．例如，14÷6=2（余2），那么（14×8）÷（6×8）＝2（余2×8），（14÷2）÷（6÷2）=2（余2÷2）．下面讨论有关带余除法的问题．例1节日的街上挂起了一串串的彩灯，从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯的顺序重复地排下去，问第1996盏灯是什么颜色？分析：因为彩灯是按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯的顺序重复地排下去，要求第1996盏灯是什么颜色，只要用1996除以5＋4＋3＋2的余数是几，就可判断第1996盏灯是什么颜色了．解：1996÷（5＋4＋3＋2）=142 (4)所以第1996盏灯是红色．例2把1至1996这1996个自然数依次写下来，得一多位数123456789101112……199419951996，试求这一多位数除以9的余数．分析：从前面我们学习被9整除的特征知道，一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数必能被9整除．所以一个数除以9的余数，与这个数的各个数位上的数字之和除以9的余数正好相等．这样问题转化为求1至1996这1996个自然数中所有数字之和是多少，然后用这个和除以9所得的余数即为所求．解：将0至1999这2000个整数一头一尾分成如下1000组：（0，1999），（l，1998），（2，1997），（3，1996），……，（997，1002），（998，1001），（999，1000）．以上每一组的两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：（1＋9＋9+9）×1000=28000而1997至1999这3个自然数所有数字之和为：1×3+9×3+9×3＋7+8+9=81所以从1至1996这1996个自然所有数字之和为:28000-81=2791927919÷9=3102 (1)所以123456789……199419951996除以9的余数是1．另外：因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的位数一定能被9整除．而1至1996共有1996个连续的自然数，且1996÷9=221…7，最后7个自然数为1990，1991，1992，…1996，这7个数的所有数字之和为：1×7＋9×7+9×7+1＋2＋3＋…+6=154154÷9=17 (1)所以123456789……199419951996这个多位数被9除余1．为什么依次写出任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字之和除以9的余数，必是0，1，2，…，7，8这9个数，而各数位上的数字之和除以9的余数，就等于这9个数之和0+1+2+…+8除以9的余数，由于0＋1＋2+…＋8=36能被9整除，所以任意连续的9个自然数各数位上的数字之和必能被9整除，因此任意连续9个自然数所组成的多位数必能被9整除．分析：首先要找到最少几个8连在一起得到的自然数能被7整除，这只要直接用除法进行试验来得出．88÷7＝12…4，888÷7=126…6，8888÷7＝1269…5，88888÷7=12698…2，888888÷7=126984，最少6个8能被7整除，凡是6的整数倍个8均能被7整除，而1996÷6=332…4，解：因为888888÷7=126984，1996÷6=332…4，8888÷7=1269…例4一个数除93，254得到相同的余数，除163所得的余数比上面的余数大1，求这个数．分析：因为这个数除93，254得到的余数相同，除163所得的余数比上面的余数大1，如果除162所得的余数应与上面的余数完全相同．这样将问题转化成相同余数的问题，根据前面结论（2）转化成整除问题，问题就可以得到解决．解：设这个数为a，则a除93，254，162，得到相同的余数，于是有：93＝aq1＋r，254＝aq2＋r,162＝aq3＋r这样a｜（254-162），a（162-93），即a是92和69的公约数，（92，69）=23，23的公约数是1，23，但a≠1，所以a=23．例5一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求这个自然数，分析：先求出被3除余1的数，然后在其中找到除以5余2的数，最后在这些数中找出除以7余3的最小自然数，这个数必然满足被3除余1，被5除余2，被7除余3的最小自然数．再加上3，5，7的公倍数，使得和在1000到1200之间．解：被3除余1的数为：4，7，10，13，16，19，22，…，其中被5除余2的数为：7，22，37，52，67，…，这其中被7除3的最小自然数52，又因为[3，5，7]=105，所以所求数可表示为52＋105m，m是自然数，当m=10时，52＋105×10=1102即为所求．例6如图18—1，图中是一个按一定规律排列的数表，将自然数的所有奇数排成A、B、C、D、E、F六列，问1997出现在哪一列打头字母下？ABCDEF1357919171513112123252729393735333141…………图18—1分析：从数表中可以看出，每两排共10个数为一个循环周期．1997是第（1997＋1）÷2=999个奇数．凡被10除余1或9在B列，被10除余2或8在C列，被10除余3或7在D列，被10除余4或6在E列，被10除余5在F列，被10整除在A列．这样很容易求出第999个奇数除以10的余数，从而得到1997在哪一列．解：因为每两排共10个数为一个循环周期，1997是第（1997+1）÷2=999个奇数，又999÷10=99…9，所以1997在B列．。
五年级带余除法
6、887除以一个数，商是52，且除数比余数大14， 求除数和余数各是多少？ 解：设余数是
x，则除数为 x +14。 52（ x +14）+ x =887 52 x +728+ x =887 x =3
则除数=14+3=17
答：除数和余数分别是17和3.
7、76，103，141三个数，除以同一个整数，得到的 3个余数的和为38，求这个除数。
答：这个两位数是70。
2、205除以一个质数，余数为15，求这个质数。 解析：被除数＝商×除数＋余数 根据题意，除数为大于15的质数 所以 除数×商＝205–15＝190， 190＝2×5×19 所以，这个质数是19。
3、有一类自然数，其中的每一个数与3的和都是8的倍， 与3的差都是7的倍数。请按从小到大的顺序写出这类 自然数中的前三个。
10、小王在一次除法计算中，把被除数171错写成117， 结果商少了3而余数不变，那么这道题中的除数是 多少？ 解析：同余定理 因为余数相同 则（171-117）÷3=18
答：这道题中的除数是18。
思路点拨： 这个数除以6余5，除以5余3。 枚举法： 满足除以6余5的数有：11、17、23、29…… 满足除以5余3的数有：8、13、18、23…… 所以， 最小的是23。 还可以通过奇偶分析来缩小枚举范围， 请尝试一下。
同步练习 有一类自然数，其中的每一个数与5的和都是9的倍数， 与5的差都是7的倍数。请按从小到大的顺序写出这类 自然数中的前3个。
解析：因为余数之和为38，所以这个除数应大于13。 根据余数的可加性，这三个数的和除以这个整数余数为38 则：76+103+141=320 320-38=282 282=2×3×47 由题可知这个除数应该小于76， 所以这个除数应为47。
有余数的除法找规律
二年级有余数的除法在找规律中的应用詹晓玲教学目标：1．通过观察、操作，学会用有余数除法的知识解决问题；2．经历解决问题的全过程，进一步体会解决问题的策略；3．体会数学知识之间的联系，感受数学的统一美；目标解析：本课的教学目标是定位在学生已了解物体排列的简单规律；教学重点：学会用有余数除法的知识解决一类按规律排列的数学问题；教学难点：理解余数在解决问题中的作用；教学过程：一、复习铺垫，激趣引入1、画一画。
同学们，老师带了几个笑脸和爱心，请大家仔细观察，照着老师这样的排列顺序画一画。
（爱心和）你知道横线上应画什么吗？为什么？小结：也就是说他们是按一个爱心、一个笑脸这样重复排列的，每组都先画爱心，再画笑脸，所以应画下一组的第一个，就是爱心。
2、竞猜游戏。
出示一排彩旗，排列规律是：黄、红、红，并在其下面顺次表上序号。
师：同学们，老师画了一排彩旗，每面彩旗的下面依次标上了序号。
下面我们来做个竞猜游戏。
老师不看屏幕，只要你说第几面旗子，我就能很快的说出它是什么颜色，信不？那你考考我？3、质疑揭题。
为什么老师能很快猜出彩旗的颜色呢？想知道老师的小窍门吗？只要你们认真学好今天这节课的知识就能知道答案了。
这节课我们就要来解决与排列规律有关的数学问题。
板书：有余数的除法在找规律中的应用。
二、探究新知1、观察规律（1）师：认真观察这些彩旗，你发现了他们的排列有什么规律？能简单概括一下吗？（三面一组，每组都是按黄、红、红的顺序重复排列的。
）（2）提出问题，猜小旗。
按照这样的规律摆下去，第16面小旗应该是什么？（3）自主尝试。
师：怎样解答这个问题呢？大家开动脑筋想一想，可以在纸上画一画，写一写，把自己的想法表达清楚。
看看第16 小旗应该是什么颜色？学生小组内合作完成。
教师巡视，收集有代表性的案例。
（4）汇报交流。
师：第16 面小旗是什么颜色呢？这里有一些同学的想法，我们来请这些同学说一说。
（在展示台上展示学生的想法，并请学生介绍）。
找规律 (有余数的除法)
……(
)……
第17面小旗是黄色的。
返回
二、你问我说
第17面小旗是什么颜色的？
画பைடு நூலகம்画
每3面一组（红黄绿）
3
6
9
12
15
16 17
第17面小旗是黄色的。
返回
二、你问我说
第17面小旗是什么颜色的？
找规律 小旗的排列规律是每3面一组（红黄绿）。
算一算 看余数 17÷3＝5（组）……2（面） 第17面小旗是第6组的第2面，每组的第2 面都是黄色的，所以，第17面小旗是黄 色的。
返回
试一试
（1）
第25面小旗是什么颜色的？ 25÷3＝8（组）……1（面） 第25面小旗是红色的。
试一试
（2）
第27面小旗是什么颜色的？ 27÷3＝9（组） 第27面小旗是绿色的。
三、自主练习
1.动动手，动动脑。 （1）照这样摆下去，第24个是什么？
1 2 3
24÷3＝8（组）
第24个是 。
三、自主练习
找规律
情境导入 你问我说 自主练习 回顾反思
一、情境导入
问题：从图中，你知道了哪些数学信息？ 你能提出什么问题？ 第17面小旗是什么颜色的？
二、你问我说
第17面小旗是什么颜色的？
数
画
算
练
二、你问我说
第17面小旗是什么颜色的？
数一数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
（2）照这样摆下去，第29个是什么？
1 2 3
29÷3＝9（组）……2（个）
第29个是
。
三、自主练习
2.照这样穿下去，第33个珠子是什么颜色？第40个呢？
二年级有余数的除法找规律解决问
按照上面的规律摆小旗。这样 摆下去，第16面小旗应该是什么颜 色？
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
13 14
15
16
1、仔细观察，你发现这些小旗是按照（ ）（ ）（ ）的规 律重复摆放的，也就是每（ ）面小旗为一组 2、按照这样的规律，试计算16面小旗可以分为（ ）组， 有没有剩余的？试列出算式 3、讨论：第16面小旗应该是什么颜色呢？
30÷5=6（组）
每组里面红月亮有（3）个，6组红月亮一共有（ 18）个
3×6=18（个）
小结： 有余数除法中的规律问题： 先找规律分组，列算式，根据算式解决问题！ 余数是几，答案就是这一组中的第几个； 没有余数说明正好分完，就是每组最后一个。
知识就像是大海里的一朵浪花，不断地 积累，才能汇成知识的海洋！
2.
第32盆应该摆什么颜色的花？（4盆花一组重复循环）
32÷4=8（组）
答：第24面是红色
分析：没有余数，就是这一组的最后一个，就是黄花
六月份有30天，有几个星期？还多几天？
思考：一个星期有（ 7 ）天 30÷7=4（个）…..2（天） 答：有4个星期还多2天
舞会中大象悬挂了30个月亮，亲爱的小朋友，你知道这些月 亮中有几个是红月亮呢？ 思考：30个月亮，每（5 ）个一组，可以分（ 6）组。
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
13 14 15 16
第16面小旗应该是什么颜色呢？ 16÷3=5（组）……1(面）
答：第16面是黄色
分析：16表示16面旗，3表示每3 面一组，5表示分成5组，1表 示还剩1面，剩下的1面是第16面，余数是1，答案就是这一组中的第1 个，所以就是黄色
二年级数学《有余数的除法》知识点讲解
二年级数学《有余数的除法》知识点讲解二年级数学《有余数的除法》知识点讲解在平平淡淡的学习中，看到知识点，都是先收藏再说吧！知识点就是学习的重点。
为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺收集整理的二年级数学《有余数的除法》知识点讲解，欢迎阅读与收藏。
对于任意一个整数除以一个自然数，一定存在唯一确定的商和余数，使被除数=除数×商+余数(0≤余数除数)，也就是说，整数a除以自然数b，一定存在唯一确定的q和r，使a=bq+r(0≤rb)成立。
p= 我们把对于已知整数a和自然数b，求q和r，使a=bq+r(0≤rb)成立的运算叫做有余数的除法，或称带余除法.记为a÷b=q(余r)或a÷b=q…r。
读作“a除以b商q余r”，其中a叫做被除数，b叫做除数，q叫做不完全商(简称商)，r叫做余数. p=例如5÷7=0(余5)，6÷6=1(余0)，29÷5=5(余4)。
解决有关带余问题时常用到以下结论：(1)被除数与余数的差能被除数整除.即如果a÷b=q(余r)，那么b|(a-r)。
因为a÷b=q(余r)，有a=bq+r，从而a-r=bq，所以b|(a-r)。
例如39÷5=7(余4)，有39=5×7+4，从而39-4=5×7，所以5|(39-4)(2)两个数分别除以某一自然数，如果所得的余数相等，那么这两个数的差一定能被这个自然数整除.即如果a1÷b=q1(余r)，a2÷b=q2(余r)，那么b|(a1-a2)，其中a1≥a2。
因为a1÷b=q1(余r)，a2÷b=q2(余r)，有a1=bq1+r，a2=bq2+r，从而a1-a2=(bql+r)-(bq2+r)=b(q1-q2)，所以b|(a1-a2)。
例如，22÷3=7(余1)，28÷3=9(余1)，有22=3×7+1，28=3×9+1，从而28-22=3×9-3×7=3×(9-7)，所以3|(28-22).(3)如果两个数a1和a2除以同一个自然数b所得的余数分别为r1和r2，r1与r2的和除以b的余数是r，那么这两个数a1与a2的和除以b的余数也是r。
有余数的除法
有余数的除法介绍在数学中，除法是一种基本的运算方式，用于将一个数分成若干等分。
然而，并不是所有的除法都能够整除，即结果不一定是一个整数，可能会有余数。
在本文档中，我们将讨论有余数的除法，以及相关的概念和运算规则。
有余数的除法的定义有余数的除法是指除法运算中，除数不完全整除被除数，即有剩余的情况。
在数学符号上，有余数的除法可以表示为$a = b \\cdot q + r$，其中a为被除数，b为除数，q为商，r为余数。
举例说明让我们通过一个具体的例子来说明有余数的除法。
假设我们有一个被除数a= 17，除数b=4。
那么我们可以得到如下运算过程：17 = 4 * 4 + 1在这个例子中，商q等于4，余数r等于1。
所以当我们用4去除17时，结果是商4加上余数1。
有余数的除法的性质有余数的除法有一些特殊的性质。
以下是其中一些常见的性质：1.余数一定小于除数：余数r满足r<b。
2.余数可以为0：当被除数a能够被除数b整除时，余数r等于0。
3.同余：如果两个数除以同一个数的余数相等，那么这两个数是同余的。
例如，如果a除以b的余数等于c除以b的余数，那么a和c是同余的。
有余数的除法的运算规则有余数的除法有一些特殊的运算规则。
以下是其中一些常见的运算规则：1.余数的加法性质：如果$a = b \\cdot q_1 + r_1$，$a = b \\cdot q_2 +r_2$，那么a除以b的余数r1+r2等于0到b−1之间的任意整数。
2.余数的乘法性质：如果$a = b \\cdot q + r$，那么$a \\cdot c = b\\cdot q \\cdot c + r \\cdot c$。
换句话说，将一个数乘以一个有余数的除法的结果，等于将该数乘以除数后再加上余数乘以该数。
3.余数的取模运算：取模运算是指将一个数除以另一个数的余数。
我们可以使用取模运算符（%）来表示。
例如，$17 \\mod 4 = 1$。
(完整word版)二年级有余数的除法找规律解决问题
第六单元《有余数的除法》解决问题教学案例【教学内容】人教版二年级数学下册教科书第68页例6及相关内容。
【教材分析】本课内容是表内除法知识的延伸和扩展，是在表内除法的基础上进行教学的。
教学内容包括有余数除法的含义和利用有余数的除法解决问题两大部分内容。
教材注重联系学生已有的知识和经验，结合具体情景,选择数目小，学生熟悉的事物作为例题，让学生理解有余数除法的含义，解决实际问题。
【学情分析】本单元教学有余数的除法，是在学生已学过乘除法的基础上学习的。
内容包括有余数除法的认识和有余数除法的竖式计算以及用有余数的除法解决问题。
学生在前一阶段刚学会表内除法,已经接触过许多正好全部分完的事例，但二年级的学生思维还是以具体形象思维为主，想完成由形象思维到抽象逻辑思维的转变，就要借助动手操作，让学生亲自去实验，去体验知识的形成过程.在教学时，应该根据知识的系统性以及二年级学生的思维特点，使学生通过积累观察，操作、讨论、合作交流、抽象概括等数学活动获取知识，发展学生的抽象思维。
【教学目标】知识与技能:通过观察、操作，使学生理解并掌握解决与按规律排列有关问题的思路和方法。
过程与方法：经历应用有余数的除法的知识解决问题的全过程,进一步体会解决问题策略与方法的多样化,发展应用意识。
情感态度与价值观：体会数学知识之间的联系,积累解决问题的基本经验。
【教学重点】理解并掌握解决问题的思路和方法【教学难点】理解余数在解决与按规律排列有关的问题中的作用与含义并解决问题。
【教学准备】小旗、课件。
【教学过程】一．情景导入,激发兴趣孩子们，你们喜欢森林吗？喜欢小动物吗？今天啊,谢老师带你们去森林看一下,大家来看一看，森林里发生了什么？对啊，森林里啊，要开舞会啦！同学们，开舞会要之前啊，要把森林装扮一下，小象和小猴子负责装扮森林，我们一起去看看吧！二．学习新知，方法交流1.感受新知同学们，我们来看一下小象和小猴子都装扮了什么？课件出示有规律的月亮，爱心，星星？同学们,看看，你们发现了什么？（都是按一定的规律排列的）指名同学回答。
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教学过程设计（含时间分配）
一、激趣导入
1.出示例6：按黄、红，红顺序排列的彩旗，下面顺次标上序号。
2.谈话：老师不看屏幕，同学们告诉我几号旗，我就能说出它是什么颜色，不信，你考考老师？
师生活动。质疑揭题：老师为什么能很快猜出彩旗的颜色呢？你们想知道吗？其中的道理就在我们今天要学习的内容，让我们共同研究，寻找其中的奥秘吧！
二次建构
舒兰市第四小学校“幸福教育”教师教案用纸（副页）
教学过程设计（含时间分配）
师生互动，教师说第几面，学生说出是什么颜色的。（学生计算，说出颜色，并说说理由。）
3、巩固应用
1.完成教材“练习十五”第4题。
让学生找出题目中的已知条件和所求问题。
提问：要解决这个问题，首先要知道什么？（珠子怎么样排列，每几个一组？）
学生讨论，说说怎样计算。
汇报交流，教师板书：27÷3=9（组）
提问：27面小旗，每3面一组，分成9组，没有余下的，说明第27面是哪一面？
仔细观察，每一组的最后一面是什么颜色的？（红），第27面也是这里某一组的最后一面，说明是什么颜色？（红色）
师：刚才我们找规律的方法你都掌握了吗？上课之前，老师不看屏幕，同学们告诉我几号旗，我就能说出它是什么颜色，现在你们知道老师是怎么做到的了吗？你们有没有信心接受老师的挑战，老师报第几面旗，马上说出是什么颜色的？
舒兰市第四小学校“幸福教育”教师教案用纸（正页）
课题
有余数的除法找规律
年级
二年
课型
新授
课时
1课时
撰写ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ师
总共第（37）课时
教
学
目
标
1.培养学生初步的观察、概括能力。
2.能运用有余数的除法解决一些简单的实际问题，发展应用意识。
3.学会与人合作，并能与他人合作交流思考的过程和结果。
教学重点
培养学生观察、分析、推理能力，在理解图意的基础上讨论出解题策略。
2、互动新授
1.教学例6
让学生独立观察教材第68页的情境图。
（1）谈话：想象老师一样快速说出每一面旗子的颜色，我们首先要解开旗子排列的秘密，认真观察，你发现了什么？和小组的同学互相说一说。
（2）在小组中互相说一说自己观察到了什么内容。你想到了什么？
（3）各组代表汇报。
根据学生的回答，教师进行引导：
小旗的排列是有规律的，有什么样的规律？（三面一组，黄色开头，黄、红、红）
学生列式或用竖式计算：16÷3=5……1
师：这道题里的每一个数字表示什么？（16是要求的第16面旗，3表示每3面一组，所得的5表示16面旗每3面一组，可以分成5组，1表示余下的这一面。）
余下的这1面，其实就是第16面。说明第16面小旗就是某一组里的第1面，应该是黄色。
2.按照刚才例6的妻子的排列接着往下摆，你知道第27面小旗是什么颜色吗？
照这样排下去，你知道，黑板上的这些旗子分成几组？拿出钱包圈一圈。
（4）小结：通过刚才的观察我们知道，这组小旗的排列规律是：3个小旗一个循环周期，分别按照：一面黄、二面红循环排列，你能计算出第16面小旗应该是什么颜色了吗？用什么方法计算？
学生交流讨论，得出结论：计算出第16面小旗经历了几个周期可以用除法计算。
每几个一组圈一圈，根据图意，你能求出吗？用什么方法计算？（学生列式解答）
指名列式。
2.完成教材“练习十五”第5题。
（1）先让学生独立解决，再集体交流，说说计算方法。
（2）你还能提出其他的数学问题并解答吗？
4．课堂小结
师：说说今天学到了什么？
学生自由发言。
教师小结：这节课我们用计算有余数除法的方法找出了有规律排列的事物中的某一位置的物体，可见，数学是与我们的生活息息相关的，下课后，带着数学的眼光去观察生活，看看还能解决什么问题。
教学难点
能运用有除法知识解决实际问题。
教具课件
情境图
板
书
板
画
设
计
找规律
例6旗子排列图
按照上面的规律摆小旗，照这样摆下去，第16面小旗应该是什么颜色？
16÷3=5（组）……1（面）
预习
设计
一串珠子依次按黑白灰的顺序涂色，第1颗珠子是黑色，第25颗珠子是什么颜色？
舒兰市第四小学校“幸福教育”教师教案用纸（副页）