习题六__样本及抽样分布解答
六样本及抽样分布
ex ,
解 总体 X 的概率密度为
f (x)
0,
x 0, x 0,
因为 X1, X2 , , Xn 相互独立, 且与 X 有相同的分布,
所以 ( X1, X2 , , Xn )的概率密度为
fn( x1, x2, , xn )
n
f
( xi
)
ne
n
i 1
xi
,
i 1
0,
xi 0, 其他.
请注意 : 设X1, X2 , Xn是来自总体X的一个样本 , x1, x2 ,
xn是一个样本的观察值 ,则g( x1, x2 , xn )也是统 计量g(X1, X2 , Xn )的观察值.
例 设 X1, X2 , X3是来自总体N ( , 2 )的一个 样本, 其中 为已知, 2 为未知, 判断下列各式哪
例5 设总体 X 服从两点分布B(1, p), 其中0 p 1, ( X1, X 2 , , X n )是来自总体的样本, 求样本 ( X1, X 2 , , Xn )的分布律. 解 总体 X 的分布律为
P{ X i} pi (1 p)1i (i 0, 1)
因为 X1, X2 , , Xn相互独立, 且与 X 有相同的分布, 所以 ( X1, X2 , , Xn )的分布律为
如实例3中, 总体就是数集 {15, 16, 17, 18, 19, 20}. 总体分布为
年龄 15 16 17 18 19 20 比率 9 21 132 1207 588 43
2000 2000 2000 2000 2000 2000
二、随机样本的定义
1. 样本的定义
设 X 是具有分布函数F 的随机变量, 若 X1, X2 , , Xn 是具有同一分布函数F、相互独立的 随机变量, 则称 X1, X2 , , Xn 为从分布函数F (或总体 F、或总体 X ) 得到的容量为n 的简单 随机样本, 简称样本.
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
《概率论与数理统计期末试题》(最终版本+最新考研题目)
班级 姓名 班内序号习题一 样本空间、随机事件、概率一、填空题．1．设,,A B C 为三事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件．（1）A 发生，B 与C 不发生：（2）A 与B 都发生，而C 不发生：（3）,,A B C 中至少有一个发生：（4）,,A B C 都不发生：（5）,,A B C 中不多于一个发生：（6）,,A B C 中不多于两个发生：（7）,,A B C 中至少有两个发生：2．设,A B 为两随机事件且3()7P AB =，4()()7P A P B ==，则()P A B ⋃=3．设A B ⊃，(),()P A p P B q ==，则()P A B -=4．判断下列命题的正误．（1）()A B AB B ⋃=⋃ （ ） （2）AB A B =⋃ （ ）（3）若,,AB C A BC φφ=⊂=且则（ ） （4）若B A A B A ⊂⋃=，则（ ）二、计算题．1．写出下列随机试验的样本空间Ω和下列事件所包含的样本点．（1）掷一颗骰子，出现奇数点．（2）掷两颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点”2．设,A B 为两事件且()0.6,()0.7P A P B ==，问（1）在什么条件下()P AB 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下()P AB 取到最小值，最小值是多少？3．设,,A B C 为三事件，且1()()(),()()04P A P B P C P AB P BC =====， 1()8P AC =，求,,A B C 至少有一个发生的概率．4．设,A B 为两事件，且()0.7,()0.3P A P A B =-=，求()P AB ．班级姓名班内序号习题二古典概型一、填空题．1．已知6只产品中有两只次品，在其中任取两只，则两只都是正品的概率是2．设一同学书桌上放着9本书，其中有3本英语书，现随机取两本，取到的全是英语书的概率为3 ．在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连续抽取7张进行排列，则排列结果为ability的概率为二、计算题．1．对一个5人学习小组考虑生日问题：（1）求5个人的生日都在星期日的概率；（2）求5个人的生日都不在星期日的概率；（3）求5个人的生日不都在星期日的概率．2．从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？3．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率． (2) 求最大号码为5的概率．4．随机地向半圆0)y a <<为正常数内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率是多少？班级 姓名 班内序号习题三 条件概率、全概率公式一、计算题．1．设()0.3,()0.4,()0.5P A P B P AB ===，求()P B A B ⋃．2．已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品．3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，问他拨号不超过3次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？4．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？5．有两箱同种类的零件．第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品．今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取1只，作不放回抽样．求（1）第一次取到的零件是一等品的概率．（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率．班级 姓名 班内序号习题四 独立性一、填空题．1．假设,A B 是两个相互独立的事件，()0.7,()0.3P A B P A ⋃==，则()P B =2．某人向同一目标重复射击，每次命中率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好是第二次命中的概率为二、计算题．1．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为111,,534，问三人中至少有一个能将密码译出的概率是多少？2．袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？3．甲、乙、丙3人独立地向飞机射击，设击中的概率分别是0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率．4．证明：若()()P A B P A B =，则,A B 相互独立．（提示：()()()P AB P A P AB =-）班级姓名班内序号习题五离散型随机变量及其分布律1．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示3只求中的最大号码，写出随机变量X的分布律．2．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为=-<<．1(01)q p p（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律．（此时称X服从以p为参数的几何分布）（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律．（此时称Y服从以,r p为参数的巴斯卡分布）3．设离散型随机变量X 的分布律为：{},(1,2,3,)kP X k b k λ===L 且0b >，求λ的值．4．设随机变量X 服从泊松分布，且满足{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投3次，求（1）两人投中次数相等的概率； （2）甲比乙投中次数多的概率．班级姓名班内序号习题六分布函数与连续型随机变量（一）1．将一枚硬币连抛2次，以X表示正面朝上的次数，写出X的分布律和分布函数，并画出分布函数的图形．2．以X表示某商店从早晨开始营业起到直到第一个顾客到达的等待时间（以分钟计），X的分布函数是0.41,0(),0,0xXe xF xx-⎧->=⎨≤⎩求下述概率：（1）{3}P至多分钟；（2）{}P至少4分钟；（3）{3}P分钟至4分钟之间；（4）{3}} P至多分钟或至少4分钟；（5）{ 2.5}P恰好分钟3．设连续型随机变量X 的分布函数为：,0(),(0)0,0x A Be x F x x λλ-⎧+≥=>⎨<⎩（1）求常数,A B ；（2）求{2},{3}P X P X ≤>；（3）求密度函数()f x4．已知随机变量X 的密度函数为：(),()xf x Ae x -=-∞<<+∞求：（1）常数A 的值；（2）{01}P x <<（3）()F x班级 姓名 班内序号习题七 连续型随机变量（二）一、填空题．1．设随机变量X 服从指数分布，其密度函数为：,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，含有变量a 的二次方程220a a X ++=有实根的概率为 2．记z α为标准正态随机变量的上α分位点，则0.01z = ， 0.003z = ，0.997z = ． 二、计算题．1．某种型号的器件的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度：21000,1000()0,x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩其它现有一大批此种器件（设各器件损坏是否相互独立），任取5只，问其中至少有一只寿命大于1500小时的概率是多少？2．设2~(3,2)X N ，求 （1）{25}P X <≤，{2}P X >（2）确定c 使得{}{}P X c P X c >=≤（3）设d 满足{}0.9P X d >≥，问d 至多为多少？3．设随机变量X Y 与均服从正态分布，且2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ，试比较以下12p p 和的大小．12{4},{5}p P X p P Y μμ=≤-=≥+4．设随机变量2~(,)X N μσ，试问：随着σ的增大，概率{}P X μσ-<是如何变化的？班级 姓名 班内序号习题八 随机变量函数的分布1．设随机变量X 的分布律为：求2Y X =的分布律．2．设随机变量X 服从（0，1）上均匀分布． （1）求XY e =的概率密度．（2）求2ln Y X =-的概率密度．3．设~(0,1)X N ，求Y X =的概率密度．4．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,xx f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求sin Y X =的概率密度．5．设随机变量X 服从参数为12的指数分布，证明：21X Y e -=-在区间 （0，1）上的均匀分布．班级 姓名 班内序号习题九 二维随机变量和边缘分布一、填空题．1．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为2(,)(arctan )(arctan ),(,)22x F x y A B y x y R π=++∈则常数A = B =2．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)F x y ，则{,}P a X b Y d <≤≤=二、计算题．1．箱子中装有12只开关，其中2只次品，取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样（2）不放回抽样，我们定义随机变量,X Y 如下：0,1,X ⎧=⎨⎩若第一次取的是正品若第一次取的是次品 0,1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取的是正品若第二次取的是次品试分别就（1）（2）两种情况，写出,X Y 的联合分布律．2．设随机变量(,)X Y 的概率密度为 (6),02,24(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它（1）确定常数k ； （2）求{1,3}P X Y <<；（3）求{ 1.5}P X <； （4）求{4}P X Y +≤．3．设随机变量(,)X Y 的概率密度为 ,0(,)0,y e x yf x y -⎧<<=⎨⎩其它（1）求随机变量X 的密度()X f x ； （2）求{1}P X Y +≤．班级 姓名 班内序号习题十 条件分布、相互独立的随机变量1． 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下：(1)求X Y 和的边缘分布；(2)求在0.4Y =的条件下X 的分布律；(3){50.4}P X Y ≥=；（4）判断X Y 和是否相互独立．2． 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：1,,01(,)0,y x x f x y ⎧<<<=⎨⎩其它（1）求条件概率密度(),()Y X X Y f y x f x y ；（2）判断X Y 和是否相互独立．3． 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：2221,1(,)40,x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（1）求边缘概率密度；（2）判断X Y和是否相互独立．4．在（0，1）上随机取两个数，求这两个数之差的绝对值小于12的概率．5．设X Y和是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为：21,0 ()20,0yYe yf yy-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（1）求X Y和的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为220a Xa Y ++=，试求a 有实根的概率．6*．设随机变量X Y 和相互独立，下表列出随机变量(,)X Y 联合分布律及关于X Y 和的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处．班级 姓名 班内序号习题十一 随机变量函数的分布一、填空题．1、 设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间（0，3）上的均匀分布， 则{max(,)1}P X Y ≤=2、 设X Y 与为两个随机变量，且3{0,0},7P X Y ≥≥=4{0}{0},7P X P Y ≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=二、计算题1．设X Y 与为两个独立的随机变量，其概率密度分别为：1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它， ,0()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它求随机变量Z X Y =+的概率密度．2．设X Y 与为两个独立的随机变量，其概率密度分别为：,0()0,0x X e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，,0(),(,0)0,0y Y e y f y y μμμλ-⎧>=>⎨≤⎩为常数引入随机变量 1,0,X YZ X Y ≤⎧=⎨>⎩，（1）求条件概率密度()X Y f x y ；（2）求Z 的分布律和分布函数．3．设某种型号的电子元件的寿命（于小时计）近似地服从2(160,20)N 分布，随机地取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率．4．设X Y 与相互独立，1{},(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为 1,01()0,Y y f y ≤≤⎛=⎝其它，记Z X Y =+， （1）求1{0}2P Z X ≤=；（2）用全概率公式计算{ 1.4}P Z ≤5．设随机变量,X Y 相互独立，且服从同一分布．试证明： 22{min(,)}[{}][{}]P a X Y b P X a P X b <≤=>->班级 姓名 班内序号习题十二 数学期望一、填空题．1．X 服从参数为1的指数分布，则2(23)XE X e-+=2．~(1)X π，则{2()}P X E X ==二、计算题．1．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次．每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备．以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X ．（设各产品是否为次品是相互独立的）2．设随机变量X Y 与的联合概率分布如下：求()E X ，()E Y ，()E XY ．3．设(,)X Y 的概率密度为： 212,01(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求()E X ，()E Y ，()E XY ，22()E X Y +．4．将n 只球（1~n 号）随机地放进n 只盒子（1~n 号）中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求()E X ．班级 姓名 班内序号习题十三 方差一、填空题．1．设~(,)X b n p ，则()E X = ，()D X = 2．设~()X πλ，则()E X = ，()D X = 3．设~(,)X U a b ，则()E X = ，()D X =4．设X 服从参数为θ的指数分布，则()E X = ，()D X = 5．设2~(,)X N μσ，则()E X = ，()D X = 6．已知随机变量~(3,1),~(2,1)X N Y N -，且,X Y 相互独立，27Z X Y =-+，则~Z二、计算题．1．设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且有(),()5,i i E X i D X i ==-(1,2,3,4)i =．设12341232Y X X X X =-+-，求(),()E Y D Y ．2．卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X （以公斤计）服从2(50,2.5)N ，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05．3．设随机变量,X Y 相互独立，且~(6,16),~(1,9)X N Y N ，求 （1）{}P X Y >，（2）{7}P X Y +>4．设X 为随机变量，C 为常数，证明2(){()}D X E X C ≤-．班级 姓名 班内序号习题十四 协方差与相关系数一、填空题．1．设()1,()1,()1,()2,(,)1E X D X E Y D Y Cov X Y =-====， 则(34)E X Y += ，(34)D X Y -= 2．设()2,()3,(,)1D X D Y Cov X Y ===-， 则(321,43)Cov X Y X Y -++-=3．设~(0,1),~(1,4)X N Y N ，1xy ρ=，则{21}P Y X =+=4．设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X Y 和相互独立的充要条件是ρ=二、计算题．1．设随机变量(,)X Y 具有概率密度：1(),02,02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()E X ，()E Y ，(,),,().XY Cov X Y D X Y ρ+2．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：221,1(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它，试验证X Y 和是不相关的，但X Y 和不是相互独立的．3．设(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()X Y D X D Y σσ==，证明当222/X Y a σσ=时随机变量W X aY X aY =-=+与V 相互独立．班级 姓名 班内序号习题十五 大数定律与中心极限定理一、填空题．1．设随机变量X 具有2(),()E X D X μσ==，则有切比雪夫不等式，有{3}P X μσ-≥≤2．设12,,,,n X X X L L 相互独立同分布，且()n E X =0，则1lim {}ni n i P X n →∞=<=∑二、计算题．1．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数．设所有舍入误差是独立的且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布．（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？2．设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9，以95%概率估计，在一次行动中，至少有多少人能够进入？3．在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费，求：（1）保险公司没有利润的概率为多大？（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？4．一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95？班级 姓名 班内序号习题十六 样本及抽样分布（一）一、填空题．1．设12,,,n X X X L 为来自总体2(0,)N σ的样本，且随机变量221()~(1)ni i Y C X χ==∑，则常数C =2．设1234(,,,)X X X X 取自正态总体2~(0,2)X N 的样本，且22123411(2)(34)20100Y X X X X =-+-，则，~Y 分布． 二、计算题．1．在总体2(52,3)N 中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率．2．求总体(20,3)N 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率．3．设1210,,,X X X L 为2(0,0.3)N 的一个样本，求1021{ 1.44}ii P X=>∑．4．设总体2~()X n χ，1210,,,X X X L 是来自X 的样本，求2(),(),()E X D X E S ．班级 姓名 班内序号习题十七 样本及抽样分布（二）二、填空题．1．设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，则22221()(1)~ni i X X n S σσ=--=∑分布，221()~ni i X μσ=-∑分布．2．记()t n α为t 分布的上α分位点，则0.995(29)t = 3．已知~(),X t n 则2~X 分布． 二、解答题．1．设总体~(1,)X B p ，12,,,n X X X L 是来自X 的样本． （1）求12(,,,)n X X X L 的分布律；（2）求1nii X=∑的分布律；（3）求2(),(),()E X D X E S ．2．设在总体2(,)N μσ中抽取一容量为16的样本，这里2,μσ均为未知．（1）求222{ 2.041},S P S σ≤其中为样本方差；（2）求2()D S3．设总体2~(,)X N μσ，1234,,,X X X X 为来自X 的样本，Y =~(2).Y t班级 姓名 班内序号习题十八 点估计1． 设12,,,n X X X L 为总体X 的一个样本，X 的密度函数为：1,01(),(0)0,x f x θ≤≤=>⎝其它，求θ的矩估计和最大似然估计．2．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为 2()2,(;)0,x e x f x θθθ--⎧>=⎨⎩其它其中0θ>为未知参数，又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值．3．设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本，且~()X πλ．求{0}P X =的最大似然估计．4．设总体X 具有分布律（如下表）其中(01)θθ<<为未知参数．已知取得了样本值1231,2,1x x x ===．试求θ的矩估计值和最大似然估计值．班级 姓名 班内序号习题十九 估计量的评价标准一、填空题．1．设12,,,n X X X L 是来自总体(,)B n p 的样本，若2X kS +为2np 的无偏估计，则k =2．设12,,,n X X X L 是来自总体2(,)N μσ的样本，若21()n i i aX μ=-∑和21()n i i b X X =-∑都是2σ的无偏估计，则a = ，b = 二、解答题．1．设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本，设2(),()E X D X μσ==（1）确定常数c 使1211()n i i i cX X -+=-∑为2σ的无偏估计；（2）确定常数c 使22()X cS -为2μ的无偏估计．2．设1234,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布总体的样本．其中θ未知．设有估计量： 1123411()()63T X X X X =+++， 212341(234)5T X X X X =+++， 312341()4T X X X X =+++ （1）指出中哪几个是θ的无偏估计量；（2）在上述θ的无偏估计量中指出哪一个较为有效．3．设ˆθ是参数θ的无偏估计，且有ˆ()0D θ>，试证^22ˆ()θθ=不是2θ的无偏估计．班级 姓名 班内序号习题二十 正态总体均值与方差的区间估计1．设总体~(,8)X N μ，1236(,,,)X X X L 为其简单随机样本，[1,1]X X -+是μ的一个置信区间，求该置信区间的置信水平．2．设某种油漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）分别为： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.3设干燥时间总体服从正态分布2(,)N μσ，求μ的置信水平为0.95的置信区间．（1）若由以往的经验知σ=0.6（小时）；（2）若σ为未知．3．随机地取某种炮弹9发做实验，得炮口速度的样本标准差11(/)S m s =，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信水平为0.95的置信区间．4．研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05/cm s ，取样本容量为1220n n ==，得燃烧率的样本均值分别为1218/,24/x cm s x cm s ==，求两燃烧率总体均值差12μμ-的置信水平为0.99的置信区间．5．设2~(,)X N μσ，2σ已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信水平为1α-，且置信区间的长度不大于L ？班级 姓名 班内序号习题二十一 单侧置信区间1．为研究某种汽车轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行使到磨损为止，所行使的路程为1216,,,X X X L ，假设这些数据来自正态总体2(,)N μσ，其中2,μσ未知，计算得出41117,1347X S ==，试求：（1）求μ的置信水平为0.95的单侧置信下限；（2）求方差2σ的置信水平为0.95的单侧置信上限．2．设两位化验员,A B 独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为220.5419,0.6065A B S S ==．设22,A B σσ分别为,A B 所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的，（1）求方差比22/A B σσ的置信水平为0.95的置信区间；（2）求方差比22/A B σσ的置信水平为0.95的单侧置信上限．班级 姓名 班内序号习题二十二 假设检验一、填空题．1．在假设检验中，0H 表示原假设，1H 为备择假设，则犯第一类错误指的是 不真，接受 ；犯第二类错误指的是 不真，接受 ．2．设12(,,,)n X X X L 为来自正态总体2(,)N μσ的样本，2σ已知，现要检验假设00:H μμ=，则应选取的统计量是 ；当0H 成立时，该统计量服从 分布．3．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 ．二、计算题．1．已知某炼钢厂铁水含碳量服从正态分布2(4.55,0.108)N ，现在测定了9种铁水，其平均含碳量4.84．若估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（0.05α=）？2．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，样本标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩仍为70分？（给出检验过程）3．要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时。
样本及抽样理论习题及详解
§样本及抽样理论题型一 有关样本分布及统计量的命题【例6.1】设总体X 服从两点分布(1,)B p ，即{1}P X p ==，{0}1P X p ==-.其中p 是未知参数，125,,,X X X 是来自X 的简单随机样本. （1）写出125,,,X X X 的联合概率分布；（2）指出21255115,max(),2,()i i X X X X p X X ≤≤++-中哪些是统计量哪些不是统计量. 【解】（1）X 的分布律可写为1{}(1),xxP X x p p -==- (0,1)x =所以，125,,,X X X 的联合分布为55111{}(1)i ix x i i i P Xx p p -==∏==∏-55115(1)iii i x x p p ==-∑∑=- .（2）2125115,max(),()i i X X X X X ≤≤+-都是统计量，而52X p +含有未知量p ，不是统计量.【例6.2】设总体服从参数λ为的指数分布，分布密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩ 求()E X ,()D X 和2()E S .【解】 01()x i E X xe dx λλλ+∞-==⎰,201()()x i D X x e dx λλλ+∞-=-⎰21λ=. (1,2,,)i n =由于11ni i X X n ==∑, 所以1111()().n i i n E X E X n n λλ===⨯=∑22211111()()().n ni i i i D X D X D X n n n λ=====∑∑ 2211()(())1n i i E S E X X n ==--∑2111()1n ii E X n λ==--∑11()1n i i D X n ==-∑211n n n λ=⨯-21(1)n λ=-. 【例6.3】设从总体中随机抽取容量为10的样本进行观测，观测数据为：1，2，4，3，3，4，5，6，4，8，试计算样本均值，样本方差和经验分布函数.【解】 依题意，样本均值10114,10i i X X ===∑ 22211()1ni i S X nX n ==--∑ 221111n ii n X X n n ==---∑4=. 经验分布函数10()F x 为100,0,0.1,12,0.2,23,0.4,34,()0.7,45,0.8,56,0.9,68,1,8.x x x x F x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪≥⎩题型二 2χ分布、t 分布和F 分布的应用【例6.4】 设1216,,,X X X 是来自正态总体(0,1)N 的样本，记421()ii Y X ==∑812162225913()()()i i i i i i X X X ===+++∑∑∑，问c 取何值时，cY 服从2χ分布.【解】令4812162222123415913(),(),(),()ii i i i i i i Y X YX Y X Y X ========∑∑∑∑ ，则1Y ，2Y ，3Y ，4(0,4)Y N ，从而12Y ，22Y ，32Y ，4(0,1)2Y N ，且它们相互独立，得 22222123411()(4)44Y Y Y Y Y χ=+++， 故取14c =.【例6.5】（99.3.7）设129,,,X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本，11261()6Y X X X =+++，27891()3Y X X X =++，922211()2i i S X Y ==-∑，12)Y Y Z S -=.证明：统计量Z 服从自由度为2的t 分布.【证明】记2()D X σ=（未知），由于12()()()E Y E Y E X ==，12()0E Y Y -=，2212(),()63D Y D Y σσ==，又1Y 和2Y 独立，则22212()632D Y Y σσσ-=+=.从而(0,1)U N =根据正态分布方差的性质，2222S χσ=服从自由度为2的2χ分布.由于1Y 和2Y 独立，1Y 和2S 独立，2Y 和2S 独立，且1Y ，2Y ，2S 相互独立，因此12Y Y -与2S 也独立，根据t 分布的应用模式12)(2)Y Y Z t S-==【例6.6】 设121,,,,,,n n n m X X X X X ++为总体2(0,)XN σ的样本，（1）确定a 与b ，使2211()()nn mii i i n a X b X +==++∑∑服从2χ分布 ；(2) 确定c，使1n i cX=∑t 分布；（3）确定d ，使2211n n miii i n cXX+==+∑∑服从F 分布.【解】（1）由21(0,)nii XN n σ=∑，得1(0,1)ni i X N σ=∑，从而22211()(1)ni i X n χσ=∑，同理22211()(1)n mi i n X n χσ+=+∑，又因21()nii X =∑与21()n mii n X +=+∑相互独立，故222221111()()(2)nn mi i i i n X X n m χσσ+==++∑∑从而2211,a b n m σσ==. （2）因为1(0,1)ni N =，221()()n mii n X m χσ+=+∑1n i i X =与21()n mii n X σ+=+∑独立，由t 分布定义知1ni X =1nX =(1)t m -.故c =（3）因为22211()nii Xn χσ=∑，22211()n mii n X m χσ+=+∑，且2211nii Xσ=∑与2211n mii n Xσ+=+∑独立，由F 分布定义知22221111()n mn m ii i n i n XX n m σσ++=+=+∑∑=2211n m n mi ii n i n m X Xn ++=+=+∑∑(,)F n m =.从而md n=. 【例6.7】若()T t n 分布，问2T 服从什么分布？ 【分析】当2(0,1),()XN Yn χ，且X 与Y 相互独立时，()T t n =，22X T Y n= 又22(1)Xχ，且2X 与Y 相互独立，因此 2221(1,)X X T F n Y n Y n==.即2T 服从自由度为(1,)n 的F 分布.题型三 抽样分布定理【例6.8】设总体X 服从正态分布2(,0.3)N μ，12,,,n X X X 是总体X 的一个样本，求容量至少取多大才能使{0.1}0.05P X μ-≥≤.【解】由2(,0.3)X N μ知20.3(,)XN nμ 有{0}0.05P X μ-≥≤， 1{0.1}0.05P X μ--<≤，即 {0.1}0.95P X μ-<≥，而 {0.1}P X P μ-<=<213=Φ-.要求2)10.953Φ-≥，查正态分布表 1.963≥，所以35n =. 【例6.9】设总体2(,)XN μσ，已知样本容量24n =，样本方差212.5227s =，求总体标准差大于3的概率. 【解】 由222(1)(1)n s n χσ--，现24n =，故 222223(23)s χχσ=，所以 211{3}{}9P P σσ>=<22232312.5227{}9s P σ⨯=<22{32}1{32}.P P χχ=<=-≥ 查表得{3}10.10.9P σ>=-=. 【例6.10】设总体2(,)XN μσ，μ与2σ皆末知，已知样本容量16n =，样本均值12.5x =，样本方差2 5.333s =，求{0.4}P x μ-<.【解】 由于σ未知，需用t 统计量： (1).x t t n=-其中s 为样本标准差，现16, 2.309n s ==，(15).0.5773x t t μ-={0.4}{0.692}0.5773x P x P μμ--<=< {0.692}P t =<{0.6920.692}P t =-<<1{0.692}{0.692}P t P t =-≥-≤-. 由于t 分布关于原点对称，故{0.692}{0.692}P t P t ≥=≤-故{0.4}12{0.692}P x P t μ-<=-≥，查表得{0.692}0.25P t ≥=. 所以，{0.4}120.250.5P x μ-<=-⨯=.【例6.11】 （94.3.3）设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 是样本均值，记2111()1n i i S X X n ==--∑，2211()n i i S X X n ==-∑， 2311()1n i i S X n μ==--∑，2411()n i i S X n μ==-∑. 则服从自由度为1n -的t 分布的是 【 】()A X t =()BX t =()C X t =. ()DX t =【分析】由抽样分布知识和 t 分布的应用模型(0,1)X N ，2212()(1)nii XX n χσ=--∑(1)t n -.即(1)X X t n =-.选()B .【例 6.12】设12,,,n X X X 和12,,,n Y Y Y 是分别来自于正态总体21(,)X N μσ和22(,)YN μσ，且相互独立，则以下统计量服从什么分布？（1）22122(1)()n s s σ-+ ； （2）2122212[()()]n X Y s s μμ---+ 【解】（1）由2212(1)(1)n s n χσ--，2222(1)(1)n s n χσ--，由2χ分布的性质.222122(1)()(22)n s s n χσ-+-.（2）2122(,)X Y N n σμμ--(0,1)X Y N故有22(1)X Y χ，又有222122(1)()(22)n s s n χσ-+-，由F 分布的定义21222212222212122[()()]1[()()](1,22)(1)()(22)nX Y n X Y F n n s s s s n μμσμμσ------=--++-.【例6.13】设总体211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ从两个总体分别抽样，得到如下结果：111n =，218.27s =，18n =，22 4.89s =，求概率2212{}P σσ>.【解】 由于211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ所以22112222(10,7)s F s σσ，从而22211222{}{1}P P σσσσ>=>222111222222{}s s P s s σσ=<{(10,7) 1.6912}P F =<0.750=.§历年考研真题评析1、【06.3.4】设总体X 的概率密度为1()()2xf x e x -=-?<+?，12,,,n X X X 为总体X 的简单随机样本，样本方差2S ，则2()E S =______________.【分析】样本方差2S 的数学期望等于总体方差，由于X 概率密度的对称性， ()0E X =，故2222201()()()()222x E S D X E X x f x dx x e dx s +??--?=====?蝌.2、【04.3.4】设总体X 服从正态分布21(,)N m s ，总体Y 服从正态分布22(,)N m s ，112,,,n X X X 和212,,,n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==轾犏-+-犏犏=犏+-犏犏臌邋______________. 【分析】因为122111()1n i i E X X n s =轾犏-=犏-臌å，222121()1n j j E Y Y n s =轾犏-=犏-臌å，故应填2s .3、【09.3.4】设12,,,n X X X 是来自二项分布(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则()E T =______________. 【分析】222()()()()(1)E T E X S E X E S np np p np =-=-=--=. 4、【10.3.4】设12,,,n X X X 是来自总体2(,)(0)N m s s >的简单随机样本，记统计量211n i i T X n ==å，则()E T =________.【分析】因简单随机样本12,,,n X X X 独立同分布，即2(,)iX N m s ，于是，22222(),(),()()[()]i i i i i E X D X E X D X E X m s s m ===+=+，因此，222222111111()()n n n i i i i i E T E X E X n n n s m s m ===骣骣鼢珑===+=+鼢珑鼢珑桫桫邋?. 5、【02.3.3】设随机变量X 和Y 都服从标准正态，则 【 】()A X Y +服从正态分布. ()B 22X Y +服从2c 分布. ()C 2X 和2Y 服从2c 分布. ()D 22X Y服从F 分布.【分析】由于X ，Y 不一定相互独立，故()A ，()B ，()D 不一定成立，又(0,1)X N ，故22(1)Xχ，同理，22(1)Y χ.选()C .6、【98.3.3】设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，212(2)X a X X =-233(34)b X X +-，则当a =_______,b =________时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为________.【分析】1234,,,X X X X 独立同正态分布2(0,2)N ，因此，122X X -与3434X X -也相互独立且分别服从正态分布(0,20)N 和(0,100)N ，都服从标准正态分布(0,1)N ，利用2χ分布的应用模式2223412(34)(2)(2)20100X X X X X χ--=+.因此，当11,20100a b ==时，统计量X 服从2χ分布. 7、【97.3.3】设随机变量X 和Y 独立且都服从正态分布2(0,3)N ，而129,,,X X X 和129,,,Y Y Y 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量U =服从________分布，参数为________.【分析】由于129,,,X X X 相互独立与X 同分布，故1291()(0,1)9X X X N +++类似地，129,,,Y Y Y 相互独立且与Y 同分布，故22221291()(9)9Y Y Y χ+++，由于1291()9X X X +++与2221291()9Y Y Y +++相互独立，，因此1291()(9)X X X t +++=.即U 服从参数为9的t 分布.8、【01.3.4】设总体X 服从正态分布2(0,2)N ，而1215,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本， 则随机变量2221210222112152()X X X Y X X X +++=+++服从________，参数为________. 【分析】因为2(0,2)(1,2,,15)iX N i =.于是(0,1)2i X N ，从而有22221012(10)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222151112(5)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而且由样本的独立性可知，22221012(10)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭与2222151112(5)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭相互独立，故222101222212102222221121515111210222(10,5)2()10222X X X X X X Y F X X X X X X 骣骣骣÷鼢ç珑+++÷鼢ç珑鼢?珑ç+++桫桫桫==+++骣骣骣÷鼢ç珑+++÷鼢ç珑鼢?珑ç桫桫桫.9、【05.1.4】设12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则 【 】()A (0,1)nX N . ()B 22().nS n χ()C (1)(1).n Xt n S--. ()D222(1)(1,1).i ni i n X F n X =-=-å【分析】由抽样分布定理知，(0,1).X N =可排除()A ；(1)X t n =-，可排除()C ；2222(1)(1)(1)1n S n S n c -=--，可排除()B ；因为221(1)Xc ，222(1)nii X n c =-å，且221(1)Xc 与222(1)ni i X n c =-å相互独立，于是2212222(1)1(1,1).(1)i nn ii i i n X X F n Xn X ==-==--邋选()D .10、【03.1.4】设随机变量()(1)Xt n n >，21Y X=，则 【 】 ()A 2()Yn χ. ()B 2(1).Y n χ- ()C (,1).Y F n . ()D (1,).Y F n =【分析】由题设知，X =，其中(0,1)U N ，2()Vn χ.于是22211V n V n Y X U U ===，这里22(1)U χ，由F 分布的定义知21(,1)Y F n X =.选()C .11、【01.1.9】设总体X 服从正态分布2(,)(0),N μσσ>从该总体中抽取简单随机样本12,,,(2)n X X X n ≥，其样本均值为2112ni i X X n ==∑，求统计量21(2)ni n i i Y X X X +==+-∑的数学期望().E Y【解】记111n i i X X n ==∑，211nn i i X X n +==∑，则有122X X X =+.因此221211()(2)()()n n i n i in i i i E Y E X X X E X X X X ++==⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑ 2211221()2()()()n i i n i n i i E X X X X X X X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ 221211()0()n n i n i i i E X X E X X +==⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑22(1)(1)n n σσ=-+- 22(2)n σ=-. 12、【98.1.4】从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 【解】以X(0,1)X N ，从而{1.4 5.4}X P X P ⎧⎫<<=<<210.95⎫=Φ≥⎪⎭. 所以0.975Φ≥即1.96≥，2(3 1.96)34.57n ≥⨯≈. 因此n 至少应取35.§6.4 习题全解1、设128,,,X X X 是来自(0,)θ 上均匀分布的样本，0θ>末知，求样本的联合密度函数.【解】128812810,,,(,,,)0x x x f x x x 其他θθ<<=⎧⎪⎨⎪⎩2、 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其概率分布律为()(0,1,)!iP X i ei i λλ-===求样本12,,...,n X X X 的联合分布律.【解】样本12,,...,n X X X 的联合分布律为{}1122,,...,n n P X i X i X i ==={}1nk k P X i ==∏=11()!nkk in nk k ei λλ=-=∑=∏0,1,2,,1,2,,k i i n == .3、若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，但μ末知，而12,,,n X X X 为它的一个简单随机样本，指出下列量中哪些是统计量，哪些不是统计量. （1）11nii X n=∑ ；（2）211()nii X n μ=-∑ ；（3）211()1nii X X n =--∑ ；（4；（5； （6【解】（1）、（3）、（4）、（6）给出的各统计量，而（2）、（5）给出的量因含有末知参数μ，所以不是统计量 .4、总体X 的一组容量为10的样本观测值为：0,0.2,0.25,0.3,0.1,2,0.15,1,0.7,1----，求经验分布函数10()F x .【解】将样本观测值重新排序10.70.30.100.150.20.2512-<-<-<-<<<<<<，所以经验分布函数为：10010.210.70.40.70.3()0.81212x x x F x xx ≤--<≤--<≤-=<≤>⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩5、 来自总体X 的一组样本观测值为：i x102 104 106i n2 3 5求样本均值X ，样本方差2S 和样本标准差S .【解】104.6x =，22.71=s ， 1.646s = .6、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 在50.8到53.8之间的概率. 【解】 由2(52,6.336)X N 知5252(0,1)6.362.12X X N --=故所求概率为{}50.8525253.85250.853.8 2.122.12 2.12X P X P ---<<=<<⎧⎫⎨⎬⎩⎭521.14 1.712.12X P -=-≤≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭(1.71)(1.14)=Φ-Φ-(1.71)1(1.14)=Φ-+Φ0.956410.8729=-+0.8293= .7、设随机变量X 与Y 相互独立，且222(,),()YXN n μσχσ，证明()t t n =.【证明】由于2(,)X N μσ，则(0,1)X N μσ-据t分布的定义，()X t t n μ-==. 8、若对总体X 有()E X m =，2()D X s =，取X 的容量为n 的样本，样本均值为X ，问n 多大时，有(0.1)0.95P X μσ-<≥.【解】 由2(,)XN n σμ(0,1)X N -知(0.1)P X P μσ-<=<(210.95=Φ-≥即(0.975Φ≥，查表得 1.96≥，即385n ≥ . 9、 设总体(150,400)XN ，(125,625)Y N ，并且X ，Y 相互独立，现从两总体中分别抽取容量为5的样本，样本均值分别为X ，Y ，求{}0P X Y -≤ . 【解】 {}0P X Y P -≤=≤(1.75)=Φ-0.0401= .10、 设总体X ，Y 都服从正态分布2(,)N μσ，并且X ，Y 相互独立，X ，Y 分别是总体X 和Y 的容量为n 的样本均值，确定n 的值，使{}00.01P X Y ->= .【解】 由于)(0,1)X Y X Y N -=-于是，{}P X Y P Y σ->=->21=-⎡⎢⎣0.01=.即0.995Φ=2.58=，13.3128n =，取14n = . 11、 设总体(0,1)XN ，126,,,X X X 为X 的一个样本，设2123()=++Y X X X2456()+++X X X ，求常数C ，使2χY分布.【解】 由于126,,,X X X 独立同分布,所以123456(0,3),(0,3)X X X N X X X N ++++456(0,1),(0,1)3X X X X X X N N ++++于是 22123456()()X XX X X X +++++=223+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2212Y Y =+其中222212(1),(1)33Y Y χχ.所以 22221212345611()()()33Y Y X X X X X X +=+++++⎡⎤⎣⎦ 21(2)3Yχ，即13C = .12、 设1210,,,X X X 为来自总体(0,0.09)N 的样本，求{}10211.44ii PX=>∑ .【解】 设总体为X ，则由(0,0.09)X N 可知(0,1)0.3X N ，(0,1)0.3i X N ，1,2,,10,i =因此 10222211(10),0.3i i Xχχ==∑ 利用2χ分布表，可得1021 1.44i i P X =>⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑1022211 1.440.30.3i i P X =⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∑{}216P χ=>0.10≈ .13、设125,,,X X X 是总体(0,1)X N 的一个样本，若统计量()U t n =，试确定c 与n .【解】 由于i X 独立同分布(1,2,3,4,5)=i ,所以2222345(0,1),(3)X XN X X Xχ+++,且两者相互独立,由t分布定义知(3)U t=故=c3=n .14、设总体2(0,)X Nσ，12,X X是样本，求212212()()X XYX X+=-的分布.【解】记X X X XU V+-==22122212()()X X UYX X V+==-，由于221212(0,2),(0,2)X X N X X Nσσ+-则2222(0,1),(0,1),(1),(1)U N V N U Vχχ .下面证明U和V相互独立.因为U，V都服从标准正态分布(0,1)N，因此只要证明U，V互不相关，即cov(,)0U V=即可.由于()0,()0E U E V==，因此，cov(,)()()()()=-=U V E UV E U E V E UV[]121221()()2E X X X Xσ=+-221221()2E X Xσ=+221221()()02E X E Xσ=-=⎡⎤⎣⎦.即22(1,1)UY FV=.15、设总体21(,)X Nμσ,222(,)Y Nμσ,从二总体中分别抽取样本,得到下列数据:18n= ,10.5x=,2142.25s=；210n= , 13.4y=，2256.25s=，求概率2221( 4.40)Pσσ< .【解】由于22122212(7,9)S SF Fσσ=，0.05(7,9) 3.29F=，故( 3.305)0.05P F≥≈ .从而 22221122212242.254.40 4.4056.25σσσσ<=⋅<⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S P P S ( 3.305)P F =< 1( 3.305)P F =-≥10.05=-0.95= .B1、设有N 个产品，其中有M 个次品，进行放回抽样，定义i X 如下：1,0,i i X i 第次取得次品,第次取得正品.=⎧⎨⎩求样本12,,...,n X X X 的联合分布.【解】 因为是放回抽样，所以12,,...,n X X X 独立同分布，{}{}1,01i i M M P X P X NN====-.则12,,...,n X X X 的联合分布为{}111,,()(1)ni i ni i n xi n n x P X x X x M N M N ==-∑===-∑. 2、设总体2(,)XN nσμ，12,,...,n X X X 是样本，证明：22241[()](1)σ=-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑n i i E X X n . 【证明】由222(1)(1)n Sn χσ--和221(1)()ni i n S X X =-=-∑得22212()(1)nii X X n χχσ=-=-∑ .使用2χ分布期望和方差的公式，22()1,()2(1)E n D n χχ=-=-，于是，22224121()([()])n i n i i i X X E X X E σσ==--=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑422()E σχ⎡⎤=⎣⎦2422(()())D E σχχ⎡⎤=+⎣⎦42242(1)(1)(1)n n n σσ⎡⎤=-+-=-⎣⎦. 3、设129,,...,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，11262789()6,()3=+++=++Y XX X Y X X X ,922221271(),)2ii S X Y Z Y Y S ==-=-∑ . 证明：统计量Z 服从自由度为2的t 分布.【证明】 因为2()D X σ=为末知，而12()()E Y E Y =，21()6D Y σ=，22()3D Y σ=.由1Y 与2Y 的独立性，12()0E Y Y -=，22212().632D Y Y σσσ-=+=故 1((0,1).U Y Y N =-由正态总体样本方差的性质知，2222().S n σχ又由1Y 与2Y 独立知，1Y 与2S 独立，2Y 与2S 独立，于是12Y Y -也与2S 独立.从而，由t 分布随机变量的构造知12)(2).Z Y Y S t =-=§同步自测题及参考答案一、选择题1、设12,X X 是来自总体X 的样本，a 是一个未知参数，则是统计量的是 【 】()A 12X aX +. ()B 12aX X . ()C 2212X X +. ()D 221()i i X a =-å.2、设12,,n X X X 是来自总体2(,)XN m s 的样本，m 是未知参数，则是统计量的是()A max{}i X . ()B 21()ni i X m =-å. ()C X m -. ()D 22()X m s -+. 【 】3、设126,,X X X 是来自2(,)N m s 的样本，62211()5i i s X X ==-å，则2()D s = 【 】 ()A 413s . ()B 425s . ()C 415s . ()D 225s .4、设2(1,2)XN ，12,,n X X X 为X 的样本，则 【 】()A1(0,1)2X N -. ()B1(0,1)4X N -.()C(0,1)X N . ()D(0,1)X N .5、X 服从正态分布，且()1E X =-，2()4E X =，则11ni i X X n ==å服从的分布为【 】()A 3(1,)N n -. ()B 4(1,)N n -. ()C 1(,4)N n -. ()D 13(,)N n n-. 6、设随机变量2(,)X N m s ，2()Y n c ，则T =【 】 ()A (1)t n -分布. ()B ()t n 分布. ()C (0,1)N 分布. ()D (1,)F n 分布.7、设12,,n X X X 是来自总体(0,1)XN 的样本，X 是样本均值，则 【 】()A (0,1)X N . ()B (0,1)nXN . ()C 221()ni i X n c =å. ()D (1)Xt n -.8、设2()X m χ，2()Y n χ，且X 与Y 相互独立，则随机变量X mF Y n=服从的分布为 【 】()A (1,1)F n m --. ()B (1,1)F m n --. ()C (,)F n m . ()D (,)F m n .9、设1234,,,X X X X 为来自正态总体(0,1)N服从的分布为 【 】()A (1,2)F . ()B (2,2)F . ()C (2)t . ()D (3)t10、设1234,,,X X X X 为来自正态总体(0,1)N 的一个样本，则统计量212234()()X X X X +-服从分布为 【 】()A (2,2)F . ()B (1,1)F . ()C (2)t . ()D (4)t二、填空题1、设12,,n X X X 是来自指数分布()E l 的简单随机样本，0l >为未知参数，则12,,n X X X 的概率分布为：________________，设10n =时，样本的一组观测值为4，6，4，3，5，4，5，8，4，7则样本均值为：________________，样本方差为________________.2、设12,,n X X X 是来自于正态总体2(,)N m s 的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则X_________X ________X _________分布.3、设X 与Y 相互独立，且22(),()X m Y n χχ，则X Y+______________.4、设2(,)XN m s ，X 与2S 分别是容量为n 的样本均值和样本方差，则21()ni i X Xσ=-∑____________分布.5、设总体(,4)XN m ，12,,n X X X 是来自总体的一个简单随机样本，n ³______时才能使2()0.1E X m -?.6、设随机变量X 服从自由度k 为t 的分布，则随机变量函数2X 服从自由度__________为的___________分布.7、设随机变量X 服从自由度为(,)m n 的F 分布，则随机变量函数1X服从自由度为____________的____________分布.8、设随机变量X 和Y 相互独立且均服从正态分布2(0,4)N ，而随机样本1216,,X X X 和1216,,Y Y Y 分别是来自正态总体X 和Y，则统计量U =服从_______分布，参数为______________. 三、解答题1、设总体],[~b a U X ，12,,n X X X 是来自总体X 的样本，试写出样本12,,nX X X 的联合密度函数.2、从织布车间抽取7尺布，检查每尺的疵点数，得到样本值：0，3，2，1，1，0，1，求其经验分布函数.3、设从总体2(,)XN m s 抽取样本1210,,,X X X ，求下列概率：（1）1210{max(,,,)10}P X X X >；（2）1210{min(,,,)5}P X X X £.4、设总体X 的分布密度为 11()0x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他1250,,,X X X 是来自总体的一样本，试求()E X ,()D X ,2()D S .5、 总体(,6)XN m ，从中取出一个容量为25的样本，样本方差为2S ，求2{9.1}P S >.6、设总体X 服从正态分布2(,5)XN m .（1）从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值X 与总体均值μ之差的绝对值小于1的概率{1}P X μ-<；（2）抽取样本容量n 多大时，才能使{1}P X μ-<达到0.95？ 7、设126,,,X X X 是来自正态总体2(,)N m s 的一个样本，记11231()3Y X X X =++， 24561()3Y X X X =++， 322111()3i i S X Y ==-å，试求统计量12()T Y Y S =-的概率分布.8、设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(30,3)XN ；1220,,,X X X 和1225,,,Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，求{0.4}P X Y ->.9、设总体1(,10)XN m 、2(,15)YN m ,从总体X 中取出容量为25的样本，从总体Y 中取出容量为31的样本，设X 和Y 相互独立且样本方差分别为21S ，22S ,求2122{ 1.26}S P S >. 10、设总体21(,)XN m s ，22(,)Y N m s ，从二总体中分别抽取样本，得到下列数据：17n =，54x =，21116.7;s =28n =，42y =，2285.7;s = 求概率12{0.87.5}P m m <-<.同步自测题参考答案一、选择题1、()C . 2. ()A . 3. ()B . 4. ()C . 5. ()A . 6. ()D . 7. ()C . 8. ()D 9. ()C . 10. ()B 二、填空题 1、112exp{}0,(,,,)00.nn i i i n i x x f x x x x l l=ìïï->ï=íïï£ïïîå， 5x =，22.2S = 2.2(,)N ns m ，(0,1)N ，(1)t n - 3. 2(2)m c . 4. 2(1)n c -. 5.40. 6.(1,)k ，F 7. (,)n m ，F8. t ，16. 三、解答题 1、12121,,,()(,,,)0.n nn a x x x b b a f x x x 其他ìïï?ï-=íïïïïî.2、70,2701,(10)5712,6723,13.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ . 3.(1)0.8224,(2)0.4991. .4、()0,E X =()0.01,D X = 2()0E S = .5、0.05.提示：222(251)(24)6S c c -=，22(251)9.1{9.1}{}6P S P c -?>=>6. (1)0.8904,(2)96.n = 7、(2)t8、0.66,提示：(30,920),(30,925)XN Y N ，2(0,0.9)X YN -，{0.4}P X Y ->1{0.4}P X Y =--?1[2(0.44)1]0.66.=-F -=1{90.44}P X Y =--<9、0.05,提示：2221122212(1,1)SF n n S s s --.10、0.175,提示：取统计量12()()(2).X Y T t n n μμ---=+-。
概率论与数理统计 第六章抽样分布 练习题与答案详解
概率论与数理统计 第六章 抽样分布练习题与答案详解（答案在最后）1．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本，总体方差2σ=DX 为已知，X和2S 分别为样本均值，样本方差，则下列各式中（ ）为统计量．(A)21)(∑=-ni iEX X(B) 22)1(σS n - (C) i EX X - (D) 12+nX2．设总体) ,(~2σμN X ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 是来自X的样本，判断下列样本的函数中，（ ）是统计量．(A) σ++21X X (B) 221)(S X ni i∑=-μ(C) ),,,min(21n X X X (D)212σ∑=ni iX3．今测得一组数据为12.06，12.44，15.91，8.15，8.75，12.50，13.42，15.78，17.23．试计算样本均值，样本方差及顺序统计量*1X ,*9X ．4．设总体) ,(~2σμN X ，样本观测值为3.27，3.24，3.25，3.26，3.37，假设25.3=μ，22016.0=σ，试计算下列统计量的值：(1) nX U σμ-=，(2) 251221)(1∑=-=i iX Xσχ,(3) 251222)(1∑=-=i iXμσχ．5．某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，但参数λ未知，为统计推断需要，任意抽查n 只电容器测其实际使用寿命．试问此题中的总体，样本及其分布各是什么？6．某市抽样调查了一百户市民的人均月收入，试指出总体和样本． 7．某校学生的数学考试成绩服从正态分布) ,(2σμN ．教委评审组从该校学生中随机抽取50人进行数学测试，问这题中总体，样本及其分布各是什么？8．设1621,,,X X X 是来自正态总体) ,2(~2σN X 的样本，X 是样本均值，则~1684-X （ ） (A) )15(t (B) )16(t (C) )15(2χ (D) 1) ,0(N9．设总体) ,0(~2σN X ，n X X X ,,,21 为其样本，∑==n i i X n X 11，212)(1∑=-=n i i n X X n S ，在下列样本函数中，服从)(2n χ分布的是（ ）． (A)σnX (B)∑=ni iX1221σ (C)22σnnS (D)nS n X 1- 10．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为X 的简单随机样本，X ，2nS 同上题，则服从)1(2-n χ分布的是（ ）．(A)nX σμ- (B)1--n S X nμ (C)22σnnS (D)212)(1∑=-ni iXμσ11．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是X 的样本，X ,2S 是样本均值和样本方差，则下列式子中不正确的有（ ）(A))1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (B))1 ,0(~N X σμ-(C) )1(~--n t nSX μ (D))(~)(2221n Xni iχσμ∑=-12．设n X X X ,,,21 和n Y Y Y ,,,21 分别取自正态总体) ,(~21σμN X 和) ,(~22σμN Y ，且X 和Y 相互独立，则以下统计量各服从什么分布？(1) 22221))(1(σS S n +-； (2)nS S Y X )()()(222121+---μμ；(3) 2221221)]()[(S S Y X n +---μμ． 其中X ,Y 是X ,Y 的样本均值，21S ,22S 是X ,Y 的样本方差．13．设n X X X ,,,21 是正态总体) ,(~2σμN X 的样本，记2121)(11∑=--=n i i X X n S ， 2122)(1∑=-=n i i X X n S ， 2123)(11∑=--=n i i X n S μ， 2124)(1∑=-=n i i X n S μ， 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量有（ ）(A) 11--n S X μ (B) 12--n S X μ (C) n S X 3μ- (D) nS X 4μ-14．设321 , ,X X X 是来自正态总体)9 ,(~μN X 的样本，232212)()(μχ-+-=X b X X a ，则当=a ____，=b ____时，22~χχ(___)．15．设921,,,X X X 和1621,,,Y Y Y 分别为来自总体)2 ,(~21μN X 和)2 ,(~22μN Y 的两个相互独立的样本，它们的样本均值和样本方差分别为X ,Y 和21S ,22S ．求以下各式中的621,,,ααα ．(1) 9.0})({91221=<-<∑=i i X X P αα；(2) 9.0}|{|31=<-αμX P ；(3) 9.0)(||416122=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=αμi i Y Y Y P ；(4) 9.0815621225=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααS S P ． 16．在天平上重复称量一个重为a （未知）的物品．假设n 次称量结果是相互独立的，且每次称量结果均服从).20 ,(2a N ．用n X 表示n 次称量结果的算术平均值．为使n X 与a 的差的绝对值小于0.1的概率不小于%95，问至少应进行多少次称量？17．根据以往情形，某校学生数学成绩)10 ,72(~2N X ，在一次抽考中，至少应让多少名学生参加考试，可以使参加考试的学生的平均成绩大于70分的概率达到0.9以上？18．在均值为80，方差为400的总体中，随机地抽取一容量为100的样本，X 表示样本均值，求概率}3|80{|>-X P 的值．19．设总体)5 ,40(~2N X ，从中抽取容量64=n 的样本，求概率}1|40{|<-X P 的值．20．设总体X 与Y 相互独立，且都服从)2 ,30(2N ，从这两总体中分别抽取了容量为201=n 与252=n 的样本，求4.0||>-Y X 的概率．21．设总体)2 ,0(~2N X ，而1521,,,X X X 是X 的样本，则)(221521121021X X X X Y ++++= 服从什么分布，参数是多少？又问当a 为何值时，215272621X X X X a F ++++= 服从)9 ,6(F ？22．设总体)4 ,0(~N X ，1021,,,X X X 是X 的样本，求(1) }13{1012≤∑=i i X P ；(2) }76)(3.13{2101≤-≤∑=i i X X P ．23．从总体) ,(~2σμN X 中抽取容量为16的样本，2S 为样本方差，求}041.2{22≤σS P ．24．从总体)2 ,12(~2N X 中随机抽取容量为5的样本521,,,X X X ，求} 284.44)12( {512>-∑=i i X P ．答案详解1．B(A)中含总体期望EX 是未知参数，(C)中EX EX i =也是未知参数，都不是统计量，而(D)不是样本的函数，当然不是统计量．2．B ，C3．样本容量9=n ，利用计算器的统计功能键，算出92.12=x ，65.9)107.3(22==s ，观察921,,,x x x ，可得最小值15.8*1=x ，最大值23.17*=n x ．注 上面得到的x ，2s ，*1x ，*nx 依次是统计量∑==ni i X n X 11，),,,max( ),,,,min( ,)(1121*21*1212n n n n i i X X X X X X X X X X n S ==--=∑=的观察值．注意统计量与统计量的观察值的区别，前者是随机变量，后者是具体的数值4．258.3=x ，00017.02=s (1) 118.1=u ； (2) 656.221=χ；(3) 906.322=χ，提示 为了计算22χ的值，先将其展开为)52(1251512222μμσχ+-=∑∑==i i i iX X ，其中，∑=512i iX ，∑=51i i X 均可由计算器的统计功能键求出来5．“电容器的使用寿命”是总体X ，其服从参数为λ的指数分布，即X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0.x , 0 0,x ,)(x X e x f λλ“抽查的n 只电容的使用寿命”是容量为n 的样本n X X X ,,,21 ．由于n X X X ,,,21 相互独立且每个i X 与总体X 具有相同的分布，所以，样本的联合概率密度为⎩⎨⎧=>=∏=+++-=., 0,,,1 ,0,)(),,,()(12121其它n i x e x f x x x f i x x x n i X ni n n λλ 6．总体X 为该市市民户的人均月收入，容量为100的样本10021,,,X X X 为抽查的100户市民的人均月收入7．总体X 为该校学生的数学考试成绩，容量为50的样本5021,,,X X X 为抽取的50人的数学成绩总体) ,(~2σμN X ，即其概率密度为222)(21)(σμσπ--=x X ex f ，样本5021,,,X X X 的概率密度为∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--50122)(2150502121),,,(i i x e x x x f μσσπ8．D因为) ,2(~2σN X ，根据正态总体的抽样分布),2(~2nN X σ，)1 ,0(~)2(4162222N X X n X U σσσ-=-=-=9．(A) 因) ,0(~2σN X ，由正态总体的抽样分布，有) ,0(~2nN X σ，所以)1 ,0(~2N nX nXU σσ==．(B) 因) ,0(~2σN X i ，得)1 ,0(~N X iσ，n i ,,1 =，且这n 个标准正态变量相互独立，所以由2χ分布的定义知，)(~1212122n X X ni i ni i χσσ∑∑==⎪⎭⎫⎝⎛=．(C) 2122)1()(S n X X nS ni i n-=-=∑=，由正态总体的抽样分布知)1(~)1()(22221222--=-=∑=n S n X XnSni iχσσσ．(D) ()nS X X n n n S n i i n 2122)1(11=--=-∑=,由正态分布的抽样分布知 )1(~11--=-=-=n t S n X n S X nSX T nnμ， 或者，由(A)，(C)的结果，根据t 分布的定义有)1(~1)1(22--=-=n t S n X n nS n X T nn σσ．综上可知，应选B ． 10．C 11．B12．(1) )22(2-n χ； (2) )22(-n t ； (3) )22 ,1(-n F 13．B 14．181=a ，91=b 时，)2(~22χχ 15．(1) 由正态总体的抽样分布得∑=-91222)8(~)(21i iX Xχ，因此，}44)(4{})({2912191221αααα<-<=<-<∑∑==i ii i X XP X X P9.0}4)8({}4)8({2212=>->=αχαχP P ，令95.0}4)8({12=>αχP ，05.0}4)8({22=>αχP ，根据2χ分布得上侧临界值的定义，查表可得，733.2)8(4295.01==χα，955.21)8(4205.02==χα，即932.104733.21=⨯=α，82.874955.212=⨯=α注 一般来说，满足条件{}αχ-=<<12B A P的数（临界值）A ，B 有很多对，这里我们采用的取法是使A ，B 满足{}{}222αχχ=≥=≤B P A P ．通常认为这样的取法比较好，对于F 分布也类似(2) 由正态总体的抽样分布)1 ,0(~91N X σμ-，即)1 ,0(~321N X μ-， 得9.0}23||23{}|{|3131=<-=<-αμαμX P X P ，根据)1 ,0(N 分布得双侧临界值的定义，查表得645.1232/10.03==u α，所以097.132645.13=⨯=α．(3) 由正态总体的抽样分布)15(~1622t S Y μ-，即)15(~)(422t S Y μ-，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=422241612215||)(||αμαμS Y P Y Y Y P i i 9.0154)(4 422=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=αμS Y P ．根据t 分布的双侧临界值的定义，并查表得75.1)15(1542/10.04==t α，于是，113.015475.14==α．(4) 由正态总体得抽样分布)8 ,15(~222212222122F S S S S =，得90.005.095.0158158815621225621225=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααααS S P S S P ， 查F 分布上侧临界值表，得645.21)15 ,8(1)8 ,15(15805.095.05===F F α， 22.3)8 ,15(15805.06==F α， 所以，709.08645.2155=⨯=α，038.6709.081522.36==⨯=α 16．16≥n ，即至少应进行16次称量提示 对该物品进行独立重复称量的所有可能结果，看成总体X ，则n 次称量结果n X X X ,,,21 就是X 的一容量为n 的样本，n X 即样本均值．由题意知，).20 ,(~2a N X ，根据正态总体的抽样分布，)2.0 ,(~2na N X n ，按条件95.0}1.0 || {≥<-a X P n 来求出n17．至少要42个学生参加抽考18．0.1336提示 该总体并非正态总体，然而100=n 为大样本，所以)100400,80(~N X 19．0.8904 20．约等于0.3446 21．)5 ,10(~F Y ；23=a 22．(1) 因为)4 ,0(~N X i ，)10,,1( =i 且1021,,,X X X 相互独立，所以)10(~421012χ∑=i i X ， }4134{}13{10121012∑∑==≤=≤i i i iX P X Pαχ-=>-=1}25.3)10({1 2P ，由于25.3)10(2=αχ，反查2χ分布表，得，975.0=α，故025.0975.01}13{1012=-=≤∑=i i X P ．(2) 因为)9(~49)(2221012χσS X Xi i=-∑=，所以， }194932.3{}76)(3.13{21012≤≤=≤-≤∑=S P X X P i i 2122}19)9({}32.3)9({ ααχχ-=>->=P P ， 由32.3)9(21=αχ及19)9(22=αχ，反查2χ分布表，得95.01=α及025.02=α，所以，925.0025.095.0}76)(3.13{1012=-=≤-≤∑=i i X X P23．0.99 24．0.05。
抽样分布习题及答案
抽样分布习题及答案1. 题目：从一个容器中随机取出30个样本，每个样本的体积服从正态分布，均值为150，标准差为10。
计算样本均值的抽样分布的标准差。
解答：我们知道，样本均值的抽样分布的标准差（也称为标准误差）可以通过总体标准差除以样本容量的平方根来计算。
标准误差 = 总体标准差/ √样本容量在本题中，总体标准差为10，样本容量为30，代入公式可得：标准误差= 10 / √30 ≈ 1.83因此，样本均值的抽样分布的标准差约为1.83。
2. 题目：某电视台进行了一项调查，随机抽取了500名观众，其中有380人表示喜欢该电视节目。
根据该样本数据，计算其样本比例的抽样分布的标准差。
解答：样本比例的抽样分布的标准差可以通过以下公式计算：标准误差= √((样本比例 × (1 - 样本比例)) / 样本容量)在本题中，样本比例为380/500 = 0.76，样本容量为500，代入公式可得：标准误差= √((0.76 × (1 - 0.76)) / 500) ≈ 0.018因此，样本比例的抽样分布的标准差约为0.018。
3. 题目：某商品的包装袋上注明每袋重量服从正态分布，均值为500克，标准差为10克。
为了确定该注明是否准确，随机抽取了100袋该商品，计算抽取样本的平均重量的抽样分布的标准差。
解答：抽取样本的平均重量的抽样分布的标准差可以通过总体标准差除以样本容量的平方根来计算。
标准误差 = 总体标准差/ √样本容量在本题中，总体标准差为10克，样本容量为100，代入公式可得：标准误差= 10 / √100 = 1因此，抽取样本的平均重量的抽样分布的标准差为1克。
4. 题目：某超市进行了一次促销活动，随机抽取了50个顾客进行调查，得知他们购买的平均金额为200元，标准差为50元。
计算该样本的平均金额的抽样分布的标准差。
解答：样本的平均金额的抽样分布的标准差可以通过总体标准差除以样本容量的平方根来计算。
样本及抽样分布习题
第六章 样本及抽样分布习题( 附注: 以下各章的习题中 2211(),1ni i S X X n ==--∑都表示样本方差，不在赘述。
)1．填空题：⑴ 设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = ，样本方差 = ；⑵ 在总体)16,5(~N X 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = ；⑶ 设某厂生产的灯泡的使用寿命),1000(~2σN X (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到100,940==s x ，则(940)P X <= .[4] 设71,,X X 为总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，则=>∑=)4(712i iXP ;[5] 设61,,X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，26542321)()(X X X X X X Y +++++=，则=c .2．设321,,X X X 是总体),(~2σμN X 的一个样本，其中μ已知而0>σ未知，则以下的函数：⑴ 321X X X ++； ⑵ μ33+X ； ⑶ 1X ；⑷ 22X μ；⑸321ii Xσ=∑；⑹ }max{i X ；⑺3X +σ 中哪些为统计量？为什么？3．在总体)3.6,52(~2N X 中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8与53.8之间的概率.4．设n X X ,,1 是总体~(8)X P 的一个样本，X 与2S 分别为其样本均值与样本方差，求X D X E ,与2ES .5. 设51,,X X 是总体)4,12(~N X 的一个样本，求: ⑴ 样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率; ⑵ },15),,{max(51>X X P }10),,{min(51<X X P .6．设41,,X X 是来自正态总体)4,0(N 的样本，证明统计量Y 服从)2(2χ分布，这里 243221)43(01.0)2(05.0X X X X Y -+-=.7．设921,,,X X X 是来自正态总体X 的样本，∑==61161i i X Y ，∑==97231i i X Y ，922271()2i i S X Y ==-∑， SY Y Z )(221-=，证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布．8．已知)(~n t X ，求证),1(~2n F X ．*9．设),(~2σμN X ，n X X X 221,, 是总体X的容量为2n 的样本，其样本均值为∑==ni i X n X 2121，试求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Z 12)2(的数学期望及方差．。
管理统计学(李金林版教材)课后习题答案~~~第六章
管理统计学（李金林版教材）课后习题答案~~~第六章基础习题1. 解释总体分布、样本分布和抽样分布的含义。
答：总体分布：整体取值的概率分布规律，即随机变量X 服从的分布；样本分布：从总体中按照一定的抽样规则抽取的部分个体的分布，若从总体中简单随机抽取容量为n 的样本，则样本分布为(X 1,X 2,...,X n )；抽样分布：样本统计量的分布。
2. 简述卡方分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系，它们的概率密度曲线各有什么特征？答：若随机变量X 服从N(μ,σ2)，则Z =X−μσ服从N(0,1)；若随机变量X 服从N(0,1)，则Y =∑(X i )2n i=1服从自由度为n 的χ2分布；若随机变量X~N(0,1)，随机变量Y~χ2(n)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量T =√Y n⁄服从自由度为n 的t 分布；若随机变量X~χ2(n)，若随机变量Y~χ2(m)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量F n,m =X n ⁄Y m ⁄服从第一自由度为n ，第二自由度为m 的F 分布，记为F n,m ~F(n,m)。
χ2分布的概率密度曲线分布在第一象限内，随着自由度n 的增大，曲线向正无穷方向延伸，并越来越低阔，越来越趋近于正态分布的曲线形态。
t 分布的概率密度曲线以0为中心，左右对称，随着自由度n 的增大，t 分布的概率密度曲线逐渐接近标准正态分布的概率密度曲线。
F 分布的概率密度曲线分布在第一象限内，当第一个自由度不变，第二个自由度增大时，曲线越来越向右聚拢，当两个自由度都增加时，F 分布概率密度曲线逐渐接近正态分布的概率密度曲线。
3. 解释中心极限定理的含义。
从均值为μ，方差为σ2的任意一个总体中抽取样本容量为n 的随机样本，则当n 充分大时，样本均值x̅的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ2n ⁄的正态分布，即x̅~N(μ, σ2n ⁄)。
4. 某公司有20名销售员，以下是他们每个人的销售量：3，2，2，3，4，3，2，5，3，2，7，3，4，5，3，3，2，3，3，4。
统计学第六章统计量与抽样分布习题附参考答案
样本极差 ；
样本中位数
样本的p分位数
其中 , 为不超过np的最大整数；
样本的切尾均值 ,样本的切尾均值是分别去掉k个最小的和k个最大的观测值后得到的均值。
§6.3 抽样分布及抽样分布定理
为了在正态分布假定下,得到样本统计量的精确分布,本节需要讨论几个十分重要的随机变量函数的分布,它们是 分布、 分布和 分布。在此基础上讨论抽样分布的重要定理。
如果实物总体中个体很多,则对应的数值总体其规模将非常大,而且往往其中重复的值会很多,即使没有重复值（变量取值连续时）,在不同值周围的“密集程度”也会不相同。逐一研究每个变量值将会非常繁琐,当总体规模趋于无穷时,研究每个变量值更是变得不可能。若统计出变量的所有不同取值（或取值区间）及其出现的频率,编制变量的分布数列,则可以对变量的全部取值情况一览无遗。研究一个变量的全部数值,就转化为研究该变量的分布了。用变量及其分布来描述一个总体,可以称之为分布总体。例如研究某批麦子的出酒量X,这是个连续变量,可以统计出X在不同区间取值的频率,得到X的分布。对全部单位出酒量的数值的研究,就可转化研究出酒量X的分布了。这是对总体概念的第二次抽象。
服从自由度为 的 分布,记为 。
根据服从卡方分布随机变量的定义,我们可以根据求随机变量函数的概率分布的方法求出 分布的概率密度函数。如果随机变量 服从自由度为 的 分布,其概率密度为：
(6.2)
其中 为gamma函数。
2. 分布的性质特征
（1） 分布的数学期望与方差
若X服从自由度为n的 分布,其数学期望和方差分别为
§6.1 总体与样本的统计分布
总体与样本是统计推断中的两个基本概念。统计推断的目的是从样本信息出发,运用概率论的方法,推断总体的特征；因此如何将统计学的总体、样本和概率论的基础——随机变量与分布联系起来,就成为统计推断首先要解决的问题。
习题六__样本及抽样分布解答.doc
样本及抽样分布一、填空题1．设来自总体 X 的一个样本观察值为：，，，，，则样本均值=，样本方差=2.7162；2．在总体X ~ N (5,16)中随机地抽取一个容量为36 的样本，则均值X 落在 4 与6之间的概率=；3．设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~ N (1000, 2 )(单位:小时)，抽取一容量为9 的样本，得到x940, s 100 ，则 P( X 940)；74．设X1, X2,..., X7为总体X ~ N (0,0.52)的一个样本，则P(X i24)；i 15．设X1, X2,..., X6为总体X ~ N (0,1)的一个样本，且 cY 服从 2 分布，这里，Y ( X1X 2X 3 )2( X 4X 5X 6 )2，则 c1/3 ；6．设随机变量X ,Y相互独立，均服从N (0,32)分布且X1, X2,..., X9与Y1,Y2,..., Y9分别是来自总体 X , Y 的简单随机样本，则统计量U X1...X9服从参数为9 Y12...Y92的 t分布。
7．设X1, X2, X3, X4是取自X ~ N (0, 22)正态总体的简单随机样本且Y a( X! 2 X 2 ) 2 b(3 X3 4 X 4 ) 2, ，则 a ，b 时，统计量 Y 服从 2 分布，其自由度为 2 ；8．设总体 X 服从正态分布X ~ N (0, 22) ,而X1, X2,..., X15是来自总体的简单随机样本，则随机变量 Y X12 (X)102F 分布，参数为10,5 ；...服从2( X112 X152 )9．设随机变量 X ~ t (n)( n 1),Y 1 ,则Y ~ F(n,1) ；X 21 ) 10．设随机变量X ~ F (n, n)且 P( X A) 0.3 ，A 为常数，则 P( XA11 若 1 ,, n是取自正态总体N ( , 2 )的一个样本，则 1nni 服从。
抽样分布试题及答案详解
抽样分布试题及答案详解1. 抽样分布是指什么？抽样分布是指在一定条件下，从总体中随机抽取样本，样本统计量（如均值、方差等）的分布。
2. 请解释中心极限定理。
中心极限定理表明，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布将趋近于正态分布。
3. 简述抽样分布的两个主要特征。
抽样分布的两个主要特征是：(1) 均值的抽样分布；(2) 方差的抽样分布。
4. 为什么样本均值的抽样分布通常呈正态分布？样本均值的抽样分布通常呈正态分布，是因为中心极限定理的作用，即随着样本容量的增加，样本均值的分布趋向于正态分布。
5. 样本容量对抽样分布的影响是什么？样本容量越大，样本均值的抽样分布越接近正态分布，且分布的离散程度越小。
6. 请举例说明抽样分布的应用。
在质量控制中，通过抽样分布可以估计产品合格率的置信区间。
7. 已知总体均值为μ，标准差为σ，样本容量为n，求样本均值的抽样分布的均值和标准差。
样本均值的抽样分布的均值是μ，标准差是σ/√n。
8. 抽样分布与总体分布有何不同？抽样分布是基于样本统计量（如均值、方差）的分布，而总体分布是描述总体中所有个体的分布。
9. 如何确定样本容量？样本容量的确定通常依赖于研究目的、总体大小、总体变异性以及所需置信水平。
10. 请解释标准误差的概念。
标准误差是指样本均值的标准差，它反映了样本均值的抽样分布的离散程度。
11. 抽样分布对于统计推断有何意义？抽样分布是统计推断的基础，它允许我们根据样本数据推断总体参数。
12. 为什么在实际研究中，我们通常使用抽样分布而不是总体分布？在实际研究中，我们通常无法获得总体的所有数据，因此使用抽样分布来估计总体参数。
13. 请解释抽样误差的概念。
抽样误差是指由于抽样过程中的随机性导致的样本统计量与总体参数之间的差异。
14. 如何减少抽样误差？增加样本容量、使用分层抽样或提高抽样设计的质量可以减少抽样误差。
15. 请举例说明抽样分布在医学研究中的应用。
概率论与数理统计+第六章+样本及抽样分布+练习题答案
Ⅲ、典型例题分析〖填空题〗例6.1（F 分布） 设随机变量X 服从自由度为),(21f f 的F 分布，则随机变量X Y 1=服从参数为 的 分布 ．分析 因为服从自由度为),(21f f 的F 分布的随机变量X ，可以表示为222121f f X χχ=，1212221f f X Y χχ==， 其中2221 χχ和独立，分别服从自由度为21f f 和的2χ分布．由F 分布变量的典型模式，知Y 服从自由度为),(12f f 的F 分布．例6.2（2χ分布） 设4321,,,X X X X 是来自正态总体()22 ,0N 的简单随机样本，记()()243221432X X b X X a X -+-=，则当=a ，=b 时, 统计量X 服从2χ分布，其自由度为 ．分析 由条件知4321,,,X X X X 相互独立且同正态分布()22 ,0N ．因此()212X X -服从正态分布()20,0N ，而()4343X X -服从正态分布()100,0N ，并且相互独立．由2χ变量典型模式知()()10043202243221X X X X T -+-=服从自由度为2的2χ分布，从而a=1/20 , b= 1/100．例6.3（2χ分布） 设4321,,,X X X X 相互独立同服从标准正态分布，X 是算术平均值，则24X 服从参数为 的 分布．分析 熟知4321X X X X +++服从正态分布)4,0(N ，因此()44243212X X X X X +++=服从自由度为“1”的“2χ”分布．例6.4（t 分布） 假设总体)3,0(~2N X ，821,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则统计量282726254321X X X X X X X X Y ++++++=服从参数为 的 分布．分析 由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，易见．)1,0(~6)(432143214321N X X X X X X X X X X X X U +++=++++++=D作为独立标准正态随机变量的平方和，99992822252X X X X +++=７６χ服从2χ分布，自由度为4；随机变量2 χ和U 显然相互独立．随机变量Y 可以表示为()4496228222541χUX X X X X X X X Y =++++++=７６３２．由t 分布随机变量的典型模式，可见随机变量Y 服从自由度为4的t 分布．例6.5（F 分布） 设(1521,,,X X X )是来自正态总体()9,0N 的简单随机样本，则统计量2152122112102221 21X X X X X X Y ++++++= 的概率分布是参数为 的 分布 ．分析 由2χ分布的典型模式，知99215211222102121X X X X ++=++= χχ和服从自由度相应为10和5的2χ分布，并且相互独立．从而，由F 变量的典型模式，知510 21222121521121021χχ=++++=X X X X Y 服从自由度为(10, 5)的F 分布．例6.6（F 分布） 设X 服从自由度为ν的t 分布，则2X Y =服从参数为 的 分布．分析 由自由度为ν的t 分布随机变量X 可以表示为νχν2UX =，其中2 ),1,0(~νχN U 服从自由度为ν的2χ分布，并且2νχ和U 独立．由2χ分布变量的典型模式，可见221U =χ服从自由度为1的2χ分布．因此，由F 分布变量的典型模式，可见随机变量νχχνχνν2212221===U X Y服从自由度为(1,ν)的F 分布．例6.7（F 分布） 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布并且相互独立，则22Y X Z =服从参数为 的 分布，．分析 由于X 和Y 都服从标准正态分布，可见2X 和2Y 都服从自由度为1的2χ分布．此外，由X 和Y 独立，可见2X 和2Y ．从而，由服从F 分布的变量的典型模式，知22Y X Z =服从自由度为(1,1)的F 分布．例6.8（2χ分布） 设总体)2,(~)2,(~b N Y a N X ，并且独立；基于分别来自总体X 和Y的容量相应为n m 和的简单随机样本，得样本方差22yx S S 和，则统计量 []22)1()1(21y x S n S m T -+-=服从参数为 的 分布．分析 统计量T 服从自由度为2-+n m 的2χ分布．由(6.14)知2221)1(21 )1(21y x S n T S m T -=-=， 分别服从自由度为m －1和服从自由度为n －1的2χ分布，并且相互独立．从而，由2χ分布随m+n －2的2χ分布．机变量的可加性知，T 服从自由度为例6.9（经验分布函数） 设总体X 在区间[0,2]上服从均匀分布；()x F n 是基于来自X 的容量为n 的简单随机样本的经验分布函数，则对于任意[]2,0∈x ，()x F n E = ．分析 总体X 的分布函数为()x F =x/2，若[]2,0∈x ；()x F =0，若[]2,0∉x ．对于任意[]2,0∈x ，以)(x n ν表示n 次简单随机抽样事件}{x X ≤的出现的次数，则)(x n ν服从参数为()()x F n ,的二项分布，因此)()(E x nF x n =ν，从而()()2)(x x F nx x F n n ===νEE ． 例6.10（经验分布函数） 设（2,1,5,2,1,3,1）是来自总体X 的简单随机样本值，则总体X 的经验分布函数()xF n = .分析 将各观测值按从小到大的顺序排列，得1,1,1, 2, 2, 3, 5，则经验分布函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=．若；若；若；若若 5 , 1 53 , 76 3 2 , 75 21 , 73;1 , 08x x x x x x F例6.11 设Y X 和是两个样本均值，基于来自同一正态总体),(2σμN 的两个相互独立且容量相同的简单随机样本，则满足{}05.0≤>-σY X P 的最小样本容量≥n 8 ．分析 由于总体服从正态分布),(2σμN ，可见{}．05.022≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-=>-n YX n Y X σσP P 6832.796.1296.122≈⨯≥≥n n，．5.14 （1）3ln4（2）532（3））（12χ（4）)5,10(F （5）23〖选择题〗例6.13（常用分布） 设随机变量)1,0(~),1,0(~N Y N X ，则 (A) Y X +服从正态分布． (B) 22Y X +服从2χ分布． (C) 22Y X 服从F 分布． (D) 22Y X 和服从2χ分布． [ D ]分析 因为标准正态分布变量的平方服从自由度为1的2χ分布．当随机变量Y X 和独立时可以保证选项(A),(B),(C)成立，但是题中并未要求随机变量Y X 和独立，选项(A),(B),(C)未必成立．6.14（F 分布） 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),0(~2σN X 的简单随机样本，则服从F 分布的统计量是()()]D [ 2)D (2)C ()B ( )A (2925242322212925242322212726252424232221292524232221．． ． ． X X X X X X Y X X X X X X Y X X X X X X X X Y X X X X X X Y +++++=+++++=++++++=+++++=分析 本题可以直接选出正确的选项．事实上，选项（D ）可以表示为636)(3)(2623292524232221χχ=+++++=X X X X X X Y ． 因为随机变量，，)(1)(1292524226232221223X X X X X X +++=++=σχσχ分别服从自由度为3和6的2χ分布，并且相互独立．因此，由服从F 分布的随机变量典型模式，知随机变Y 量服从自由度为)6,3(的F 分布．例6.17（正态总体） 设总体X 的概率密度为)(x f ，而),,,(21n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，)()1(n X X X 和，相应为n X X X ,,,21 的样本均值、最小观测值和最大观测值，则)(x f 是(A) )1(X 的概率密度． (B) )(n X 的概率密度．(C) 1X 的概率密度． (D) X 的概率密度． [C ] 分析 应选（C ）．1X 作为总体X 的一个观测值，与总体X 有相同的概率密度)(x f ．5.13 （1）C （2）D （3）D （4）C （5）A〖计算题〗例6.21（经验分布函数） 假设)(x F 是总体X 的分布函数，)(x F n 是基于来自总体X 的容量为n 的简单随机样本的经验分布函数．对于任意给定的)(∞<<-∞x x ，试求)(x F n 的概率分布、数学期望和方差．解 以n ν表示自总体X 的n 次简单随机抽样中，事件{}x X ≤出现的次数，则n ν服从参数为())(,x F n 的二项分布．经验分布函数)(x F n 可以表示为)()()(∞<<-∞=x nx x F n n ν．由此可见，)(x F n 的概率分布、数学期望和方差相应为：{}[][][][][]．，；)(1)()()()(),,2,1,0()(1)(C )()(x F x nF x F x nF x F n k x F x F k x n k x F n n kn k k n n n -===-===⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-D E P P νk m ki i k mi m 20C C C=∑=-．对于任意n>2，变量n X X X ,,,21 独立同服从参数为),(p m 的二项分布，则用数学归纳法容易证明n X X X +++ 21服从参数为),(p nm 的二项分布．从而，得X 的概率分布{}()．mn k p p C k X X n k X k mn k kmn n ,,1,0)1(1 =-==++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-P P例6.26（样本容量） 假设总体X服从正态分布)4,(μN ，由来自体X 的简单随机样本得样本均值X ．试分别求满足下列各关系式的最小样本容量n ：(1) {}95.010.0≥≤-μX P ； (2) 10.0≤X D ； (3) 10.0≤-μX E ． 解 由于)4,(~μN X ，可见()n N X 4,~μ，从而)1,0(~2N nX U μ-=．(1) 由标准正态分布函数)(u Φ的数值表（附表1）或标准正态分布双侧分位数αu 表(附表2)，可见()()()()．96.196.195.005.005.0210.02--=≥--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-ΦΦΦΦμnn n n X P ； 由此，得96.105.0≥n ．于是，为使{}10.010.0≤≤-μX P ，样本容量n 应满足153705.096.12≈⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n ．(2) 由于10.04≤=n X D ，可见40≥n . (3) 由于)1,0(~N U ，有． 22d e22d e21202222πππμ====⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰∞-∞∞--uu uu U n X u u E E由于10.0≤-μX E ，可见．，，255205.02210.022210.022≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππμn n n n X E 例6.23 假设总体X 服从正态分布)4,12(N ，而()521,,,X X X 是来自体X 的简单随机样本；X 的样本均值，)1(X 和)5(X 分别是最小观测值和最大观测值．试分别求事件{}13>X ，{}10)1(<X 和{}15)5(>X 的概率．解 设)(x Φ是标准正态分布函数．(1) 由于总体X~)4,12(N ，可见样本均值X ~()4,12N ，因此{}{}{}．1414.08686.01)12.1(112.1118.1255212521213521213=-=-=≤-=>=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧->-=>ΦU U X X X P P P P P (2) 为求事件{}10)1(<X 的概率，先求最小观测值)1(X 的概率分布．对于任意x ，有{}{}{}{}{}；5515151521521)1(21211212212111],,,min[1],,,min[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=≤-=>-=>-=≤=≤∏∏∏===x x X x Xx Xx X X X x X X X x X i i i ii iΦP P P P P P{}()[]()[]．4684.011111212101110555)1(=-=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=≤ΦΦΦX P (3) 为求事件{}15)5(>X 的概率，先求最大观测值)5(X 的概率分布．对于任意x ，有{}{}{}{}()[]．； 2922.05.1121215115212212212],,,max[55)5(511521)5(=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=≤=≤∏∏==ΦΦΦX x x X x Xx X X X x X i i i iP P P P P 55〖证明题〗例6.28 设总体()2,~σμN X ，而),,,,(121+n n X X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本；X 和2S 相应为根据),,,(21n X X X 计算的样本均值和样本方差．利用正态总体的样本均值和样本方差的性质，证明统计量11+-=+n nS X X t n 服从自由度为1-=n ν的t 分布．证明 首先对所给统计量作变换，在统计量的表达式中将分子和分母同除以σ，得1)111222121-=-=+-==+-=++n S n n n XX U Un nS X X t n n νσχσνχ，（，，由于总体()2,~σμN X ，可见()21,~σμN X n +，()n N X 2,~σμ，从而()1,0~111,0~121N n nX X U n N X X n n +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++σσ，． 熟知，对于正态总体，X 和2S 独立，随机变量222)1(σχS n -=服从自由度为1-=n ν的2χ分布．现在证明，1+n X ，X 和2S 独立．首先它们显然两两独立；其次对于任意实数w v ,,u ，有{}，，，， }{}{}{}{}{212121w v w v wv ≤≤≤=≤≤≤=≤≤≤+++S X u X S X u X S X u X n n n P P P P P P 其中第一个等式成立，因为n X X ,,1 和1+n X 独立；第二个等式成立，因为正态总体的样本均值和样本方差独立．从而1+n X －X 和2S 独立．于是，由服从t 分布的随机变量的典型模式，知统计量νχ2Ut =服从自由度为1-=n ν的t 分布．例6.29（样本均值和方差的独立性） 假设总体()2,1=i X i 服从正态分布()2,i i μN σ；1X 和2X 相互独立；由来自总体()2,1=i X i 的简单随机样本，得样本均值i X 和样本方差2i S ．(1) 利用正态总体样本均值和样本方差的性质，证明4个随机变量1X ,21S ,2X ,22S 相互独立．(2) 假设μμμ==21，证明()μαα=+2211X X E ，其中i α是统计量：()2,1 22212=+=i S S S i i α． 证明 (1) 由于（1X ,21S ）与（2X ,22S ）分别依赖于两个相互独立的样本，可见它们相互独立；此外，由于正态总体的样本均值和样本方差相互独立，可见1X 和21S 以及2X 和22S 分别相互独立．因此，对于任意实数v ,,,u t s ，有{}{}{}{}{}{}{}．；v vv≤≤≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤≤222211222211222211 , , , , S u Xt S s X S u X t S s XS u X t S s X P P P P P P P从而1X ,21S ,2X ,22S 相互独立．(2) 由于1X ,21S ,2X ,22S 相互独立，可见1α和1X 以及2α和2X 相互独立．从而，有()()()．2121221122112211μααμααμαααααα=+=+=+=+=+E E E E E E E E E E X X X X X X 例6.30(F 分布分位数) 设),(21f f F α是自由度为),(21f f 的F 分布水平α上侧分位数，证明1),(),(12121=-f f F f f F αα．证明 设随机变量X 服从自由度为),(21f f 的F 分布，则随机变量X Y 1=服从自由度为),(12f f 的F 分布（例6.7）．因此，有．．，ααααα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=----),(1),(1),(11121121121f f F X f f F X f f F X P P P由此可见),(),(121121f f F f f F --=αα，即1),(),(12121=-f f F f f F αα．例5.15 设某商店一小时内到达的顾客数X 服从参数为2的Poisson 分布, 1021,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(1) 求),,,(1021X X X 的联合分布律; （2）求X 的分布律.解：),,,(1021X X X 的联合分律为(){}∏======101102211,,,i i in x XP x X x X x X P,!!!!21101101λλλλn n x i i xe x x x ex i ii-=-∑===∏n i x i ,2,1,10,,1,0==（2）先求21X X +的概率分布()()()∑===+===+mk K X m X X P k X P m X X P 0121121|()()()λλλλ-=--=∑∑-⋅=-===e k m ek k m X P k X P mk km km k 021!!() ,2,1,0,!2!202===-=-∑m e m Cem mmk k mkλλλλ即()λ2~21p X X +，从而可用数学归纳法证明()λ10~101P Xi i∑=即∑==1011i i X n X 的分布函数为() ,3,2,1,0,!1010101==⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∑k e k n k X P k X P ki i λλ例5.16 设总体X 和Y 同服从)3,0(2N 分布, 而921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是取自总体X 和Y 的两个独立简单随机样本, 试证:统计量)9(~292929921t YY Y X X X Z ++++++=解：)9(~292929921t YY Y X X X Z ++++++=()1,0~33921N X X X ⋅+++ ,()9~3332229222221χY Y Y +++故)9(~292929921t YY Y X X X Z ++++++=例5.17 设1+n 21,,,X X X 是正态总体的简单样本，设∑==n i i X n X 11和=2n S ()∑=-n i X i X n 121（1） 试求])([))(1(2221∑=---ni i X X n μμ的分布. （2) 试求111+n +--n n S X X n的分布. 解：1+n 21,,,X X X 设他们的方差为2σ，期望为μ（1）()()()()()1~)(,1~,1,0~2222211----∑=n X X N X ni i χσμχσμσμ()1,1~)()(1)1(])([))(1(2222212221----=---∑∑==n F X X n X X n ni i ni i σμσμμμ(2) 1+n 21,,,X X X 设他们的方差为2σ，期望为μ因为()()1~,1,0~12221+n -+-n nS N nn X X nχσ()1~111221+n 1+n -+-=+--n t nS n n X X n n S X X n nσ例5.18 设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是取自两个独立的正态总体),(21σμN 和),(22σμN 的随机样本, α和β是两个实数, 试求nmn m S n S m Y X Z nm 222221212)1()1()()(βαμβμα+-+-+--+-=的概率分布. 其中21,m S X 和22,n S Y 分别是两个总体的样本均值和样本方差.解：由正态样本总体均值与样本方差的抽样分布定理知()(),1~,1~,,~,,~222222212221--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mS m mS n N Y m N X χσχσσμσμ 得 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-n m N Y X 2221,0~σσμβμα()2~222221-++n m mS mS χσ由t 分布的定义知()2~-+n m t Z例5.19 设 4321,,,X X X X 是来自正态总体)4,0(N 的简单样本, 记243221)43(1001)2(201X X X X Y -+-=求EY 和DX .解： ()()()()02,2044442212121=-=⨯+=+=-X X E X D X D X X D()()()()043,10016943212143=-=+=-X X E X D X D X X D()()()(),1,0~10043,1,0~2024321N X X N X X --()()()()()()1~1004310043,1~20220222432432221221χχX X X X X X X X -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 由2χ分布的可加性，得()2~)43(1001)2(2012243221χX X X X Y -+-=故()()4,2==Y D Y E例5.20 设n X X X ,,,21 为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，求样本的二阶原点矩的期望与方差.解：n X X X ,,,21 为独立同分布的随机变量，∑==n i i X n A 1221()()()()()()221212122111σμ+=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===n i i i n i i n i i X E X D n X E n X n E A E()()241212211n X D n X n D A D n i i n i i σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==例5.21 设2621,,,X X X 是总体),0(~2σN X 的一个样本，求概率))16((26112101αt XXP j ji i≤∑∑==解：()(),16~,1,0~102611222101∑∑==j ji iX N Xχσσ()16~16110261122101t X Xj ji i∑∑==σσ所以αα-=≤∑∑==1))16(104(26112101t XXP j ji i例5.22 设921,,,X X X 是总体),0(~2σN X 的一个样本，试确定σ的值，使)31(<<X P 为最大.例5.23 设n X X X ,,,21 为取自总体)2,(~2μN X 的一个样本，X 为样本均值，要使1.0)(2≤-μX E 成立，则样本容量n 至少应取多少?例5.24 设总体X 服从)4,(a N 分布,Y 服从)4,(b N 分布, 而921,,,X X X 和1621,,,Y Y Y 分别是来自X 和Y 的两个独立的随机样本, 记∑=-=9121)(i i X XW ,∑=-=16122)(j iY Y W ,其中∑==9191i i X X ,∑==161161i i X Y(1) 求常数C, 使9.0)||(2=<-C W b Y P ; (2) 求)038.6709.0(12<<W WP参考答案（样本与抽样分布部分）5.15 (1) ,1,0,!!!2),,,(20102110102211101=∑====-=j x x e x x x x X x X x X P i i(2) ,2,1,0,!10)10(10===-k k e k X P k 5.17 （1）)1,1(-n F （2）)1(-n t ，5.18 )2(-+n m t ，5.19 2; 45.20 n4222;σμσ+，5.21 α-1，5.223ln 6，5.23 40，5.24 (1) 0.1132; (2) 0.9。
概率论与数理统计习题册
概率论与数理统计习题册(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第六章 样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）. A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）.A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x X N X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑4． 设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（ ）.A. 2221122212~(1,1)SF n n S σσ--12(~(0,1)X X N C.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--5. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量 612,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC. 221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S- 7. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 ( ).A. C.320D. 2658设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21B. a 2C. a +21 D. a 211- 9设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（ ）.A. 161,121,81B. 161,121,201C. 31,31,31D. 41,31,2110设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑服从分布是( ).A. )9(tB. )8(tC. )81,0(ND. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中， 称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni i X n X 11，则EX =；.DX =4.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P .5．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ .10．6设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2n S 是样本方差，n 为样本容量，则常用的随机变量22)1(σn S n -服从 分布.第七章 参数估计一、选择题1. 设总体),(~2σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-ni i X X n 12)(1是（ ）.)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计2 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本n X X ,,1 ，a 的最大似然估计为（ ）（A ）},,,max{21n X X X （B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,min{},,,max{2121n n X X X X X X - （D ）∑=+ni i X n 111；3 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）∑=-n i i X X n 12)(1 （B ）∑=--n i i X X n 12)(11 （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 4 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）2S （B ）21S nn - （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 5 321,,X X X 设为来自总体X 的样本，下列关于)(X E 的无偏估计中，最有效的为（ ）.（A ）)(2121X X + （B ）)(31321X X X ++（C ）)(41321X X X ++ （D ）)313232321X X X -+6 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本，若统计量∑-=+-1121)(n i i i X X K 为2σ的无偏估计，则K 的值应该为（ ）（A ）n 21 （B ）121-n （C ）221-n （D ）11-n 7. 设θ为总体X 的未知参数，21,θθ是统计量，()21,θθ为θ的置信度为)10(1<<-a a 的置信区间，则下式中不能恒成的是（ ）.A. a P -=<<1}{21θθθB. a P P =<+>}{}{12θθθθC. a P -≥<1}{2θθD. 2}{}{12aP P =<+>θθθθ 8 设),(~2σμN X 且2σ未知，若样本容量为n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则μ的95%的置信区间为（ ）A. )(025.0u n X σ±B. ))1((05.0-±n t nS XC. ))((025.0n t nS X ±D. ))1((025.0-±n t nS X9 设22,),,(~σμσμN X 均未知，当样本容量为n 时，2σ的95%的置信区间为（ ）A. ))1()1(,)1()1((2025.022975.02----n x S n n x S nB. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n x S n n x S nC. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n t S n n t S n D. ))1((025.0-±n t nS X 二、填空题1. 点估计常用的两种方法是： 和 .2. 若X 是离散型随机变量，分布律是{}(;)P X x P x θ==，（θ是待估计参数），则似然函数是 ，X 是连续型随机变量，概率密度是(;)f x θ，则似然函数是 .3. 设总体X 的概率分布列为：X 0 1 2 3 P p 2 2 p (1-p ) p 2 1-2p其中p (2/10<<p ) 是未知参数. 利用总体X 的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3则p 的矩估计值为__ ___，极大似然估计值为 . 4. 设总体X 的一个样本如下：，，，，则该样本的数学期望)(X E 和方差)(X D 的矩估计值分别_ ___.5. 设总体X 的密度函数为：⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x ，设n X X ,,1 是X 的样本，则λ的矩估计量为 ，最大似然估计量为 .6. 假设总体),(~2σμN X ，且∑==ni i X n X 11，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则X 是 的无偏估计.7 设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则常数k= , 使∑=-ni i X X k 1为的无偏估计量.8 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为40=S .设电子管寿命分布未知，以置信度为95.0，则整批电子管平均寿命μ的置信区间为（给定96.1,645.1025.005.0==Z Z ） .9设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为.10 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定05.0=α则滚珠的平均直径的区间估计为 .)96.1,645.1(025.005.0==Z Z11. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：已知原来直径服从)06.0,(N μ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 ，（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）.12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得2.0=S ，则σ的置信区间为 （1.0=α，68.19)11(22=αχ，57.4)11(221=-αχ）.第八章 假设检验一、选择题1. 关于检验的拒绝域W,置信水平α,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是( ). A. α的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述 B ．事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件C ．设W 是样本空间的某个子集，指的是事件120{(,,,)|}n X X X H 为真D ．确定恰当的W 是任何检验的本质问题2. 设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,要采用检验估计量( ).A.nX /0σμ- B.nS X /0μ- C.nS X /μ- D.nX /σμ-3. 样本n X X X ,,,21 来自总体)12,(2μN ,检验100:0≤μH ,采用统计量( ). A.nX /12μ- B.nX /12100- C.1/100--n S X D.nS X /μ-4设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题拒绝域形式为 .A.}C >B. }/100{C nS X <- C. }10/100{C S X >- D. }{C X >5．设n X X X ,,,21 为来自总体)3,(2μN 的样本，对于100:0=μH 检验的拒绝域可以形 如（ ）.A ．}{C X >-μ B. {100}X C ->C. }C >D. {100}X C -<6、 样本来自正态总体),(2σμN ,μ未知,要检验100:20=σH ,则采用统计量为( ). A.22)1(σS n - B. 100)1(2S n - C. n X 100μ- D. 1002nS7、设总体分布为),(2σμN ,若μ已知,则要检验100:20≥σH ,应采用统计量( ).A.nS X /μ- B.22)1(σSn - C.100)(21∑=-ni iXμ D.100)(21∑=-ni iX X二、填空题1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:, , , 101,2,,假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H 为 .2．设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知.对于检验00:μμ=H ，01:μμ=H ，取拒绝域形如k X ≥-0μ，若取05.0=a ，则k 值为 .第六章 样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2.（C ） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3.（D ）对于答案D,由于~(0,1),1,2,,iX N i n μσ-=，且相互独立，根据2χ分布的定义有2212()~()nii Xx n μσ=-∑4.(C) 注：1~(1)X t n -才是正确的.5.(D)6C) 注：1~(0,)X N n~(1)t n -才是正确的{}{}12121211P X P X -≤=-≤-(({}2121121P X =-≤-=Φ- 7.(A) ()9922221192859257.591918iii i XX XX S ==--⨯-⨯====--∑∑ 8.(A) 9.(B) 解：由题意可知122~(0,20)X X N +，345~(0,12)X X X N ++，6789~(0,16)X X X X N +++，且相互独立，因此()()()()22212345678922~3201216X X X X X X X X X χ++++++++，即111,,201216a b c === 10(A)解：()99211~(0,9)9~0,1i i i i X N X N ==⇒∑∑，()92219~9i i Y χ=∑由t分布的定义有()9t 二、填空题1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量2.代表性和独立性3.μ，2nσ4.6.2(1)n χ-第七章 参数估计一、选择题 1.答案： D.[解] 因为)()(222X E X E -=σ，∑===n i i X n A X E 12221)(ˆ，∑===ni i X n A X E 111)(ˆ，所以，∑=-=-=n i i X X n X E X E 12222)(1)(ˆ)(ˆˆσ. 2.答案： A.[解]因为似然函数n i in X a a L )max (11)(≤=，当i i X a max =时，)(a L 最大， 所以，a 的最大似然估计为},,,max{21n X X X . 3 答案 A .[解]似然函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∏=2212)(21exp 21),(μσσπσμi ni x L ， 由0ln ,0ln 2=∂∂=∂∂L L σμ，得22A =∧σ. 4. 答案 C.[解]在上面第5题中用μ取代X 即可.5答案 B.6.答案 C. 7答案 D. 8.答案 D. 9.答案 B.二、填空题：1. 矩估计和最大似然估计；2.∏iix p );(θ，∏iix f );(θ；.3 41, ； [解] （1） p 的矩估计值28/1681===∑=i i X X ，令X p X E =-=43)(，得p 的矩估计为 4/14/)3(ˆ=-=X p. （2）似然函数为4281)]3()[2()]1()[0()()(=======∏=X P X P X P X P x X P p L i i42)21()1(4p p p --=)21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln p p p p L -+-++=令 0218126])(ln [=----='pp p p L ， 0314122=+-⇒p p 12/)137(±=⇒p . 由 2/10<<p ，故12/)137(+=p 舍去 所以p 的极大似然估计值为 .2828.012/)137(ˆ=-=p 4、 ，；[解] 由矩估计有：nXX E X X Eii∑==22)(ˆ,)(ˆ，又因为22)]([)()(X E X E X D -=，所以71.1575.165.17.175.17.1)(ˆ=++++==X X E且00138.0)(1)(ˆ12=-=∑=n i i X X n X D . 5、XX --=112ˆλ, ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ；[解] （1）λ的矩估计为：210121)1()(21++=++=+⋅=+⎰λλλλλλλx dx x x X E 样本的一阶原点矩为：∑==ni i x n X 11所以有：XX X --=⇒=++112ˆ21λλλ （2）λ的最大似然估计为：λλλλλ)()1()1(),,(111∏∏==+=+=ni i nni i n X X X X L ；∏=++=ni i X n L 1ln )1ln(ln λλ0ln 1ln 1=++=∑=ni i X nd L d λλ 得：∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ.6、μ；[解]μμ===∑=nn X E n X E n i i 1)(1)(.7、)1(2-n n π；[解]注意到n X X X ,,,21 的相互独立性，()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121 21)(,0)(σnn X X D X X E i i -=-=-所以，)1,0(~2σnn N X X i --， dz enn z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=σπnn 122-=因为：⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i n i i X X E k X X k E 11||||σσπ=-=nn kn122 所以，)1(2-=n n k π.8、. [，]；[解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：05.0,40,1000=α==S X ，96.1025.0=Zμ的95%的置信区间是：]84.1007,16.992[],[025.0025.0=+-Z nSX Z n S X . 9、22((1),(1))X n X n αα--； [解]这是2σ为未知的情形，所以)1(~/--n t nS X μ.10、 [，]；[解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得：905.004.0152==α=σ=n x ，代入计算可得：]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-， 化间得：]131.15,869.14[. 11、 [，]；[解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为：],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X696.105.0025.0===αn Z 代入即得：]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯- 所以为：]146.15,754.14[12、. [，]； [解] 由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得： 2222)1(αχσS n -≥，22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为：[)11()1(222αχS n -，)11()1(2212αχ--S n ] ， 将12=n ，2.0=S 代入得 [15.0，31.0].第八章 假设检验一、选择题 、、、、、、、 二、填空题 1.100=μ 2.。
第六章样本及抽样分布例题
Xi
)2
+
16 (∑ i=13
Xi
)2
，问 c 取何值时，cY 服从 χ2 分布.
).
A. N (0, 1)B. Biblioteka (µ,C. χ2 (19)
D. χ2 (20)
n 1∑ 5. 设 总 体 X ∼ N (µ, σ 2 )， X1 , X2 , · · · , Xn 为 其 样 本，记 X = Xi ， S 2 = n i=1 √ n 1 ∑ n(X − µ) 2 (Xi − X ) ，则 Y = 服从的分布是 ( ). n − 1 i=1 S
).
2. 设 随 机 变 量 X 和 Y 独 立 且 都 服 从 正 态 分 布 N (0, 32 )，而 X1 , X2 , · · · , X9 和 X1 + X2 + · · · + X9 Y1 , Y2 , · · · , Y9 分别来自总体 X 和 Y 的样本，则统计量 U = √ 2 Y1 + Y22 + · · · + Y92 服从 分布，参数为 . 三、解答题 1. 设 X1 , X2 , · · · , X16 是来自正态总体 N (0, 1) 的样本，记 Y =
学院
专业
班级
姓名
学号
概率论与数理统计练习题
2014 -2015学年第二学期
第六章 样本及抽样分布
一、选择题 1. X1 , X2 , X3 是取自总体 X 的样本，a 是一未知参数，则统计量是 ( ). 3 1∑ (Xi − a)2 A. X1 + aX2 B. X1 X3 C. aX1 X2 X3 D. 3 i=1 2. X1 , X2 , · · · , Xn 是取自总体 X 的样本，则 A. 样本矩 B. 二阶原点矩
浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)【名校笔记+课后习题+考研真题】第6章 样本及抽样分布【圣才出
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 6 章 样本及抽样分布
6.1 复习笔记
一、抽样分布 1．样本统计量 （1）常用的统计量（见表 6-1-1）
表 6-1-1 常用统计量
2．经验分布函数 设 x1，x2，…， xn 是总体 F 的一个容量为 n 的样本值，将 x1，x2，…，xn 按从小到大的
1
4 / 5 4 / 5
0.2628
（2）记 M＝max{X1，X2，X3，X4，X5}，因 Xi X i 的分布函数为Φ（（x－12）/2），则
M 的分布函数为
FM（m）＝[Φ（（m－12）/2）]5
因而
P{max{X1，X2，X3，X4，X5}＞15}＝P{M＞15}＝1－P{M≤15}＝1－FM（15）＝1－[Φ （（15－12）/2）]5＝0.2923
①定理一
设 X1，X2，…，Xn 是来自正态总体 N (, 2 ) 的样本，其样本均值和样本方差为
X
1 n
n i 1
Xi,S2
1 n 1
n i 1
Xi X
2
a．
(n 1)S 2 2
~
2 (n 1)
b. X ~ N (, 2 ) n
c． X 与 S2 相互独立。
③定理二
设 X1，X2，…，Xn 是来自正态总体 N (, 2 ) 的样本， X ，S2 分别是该样本的均值和
且两者是相互独立，因此
X1 X 2 X3 ~ N 0，1 , X 4 X5 X 6 ~ N 0，1
3
3
又两者相互独立，按χ2 分布的定义
（X1＋X2＋X3）2/3＋（X4＋X5＋X6）2/3～χ2（2）
即 1/3Y～χ2（2），因此所求常数 C＝1/3。
习题六__样本及抽样分布解答
样本及抽样分布一、填空题1．设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =22.716；2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = 0.9332 ；3． 设某厂生产的灯泡的使用寿命2~(1000,)X N σ (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==，则(940)P X <= ；4．设127,,...,X X X 为总体2~(0,0.5)X N 的一个样本，则721(4)i i P X =>=∑ 0.025 ；5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ；6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分别是来自总体,X Y的简单随机样本，则统计量U =服从参数为 9的 t 分布。
7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从2χ分布，其自由度为 2 ；8．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单随机样本，则随机变量 22110221115...2(...)X X Y X X ++=++服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量21~()(1),,X t n n Y X >=则~Y F(n,1) ； 10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=，A 为常数，则1()P X A>= 0.711若n ξξ,,1 是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，则∑==ni i n 11ξξ服从 。
习题六__样本及抽样分布解答
样本及抽样分布一、填空题一、填空题1．设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值，则样本均值 = 4.8 ，样本方差，样本方差 =22.716；2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率之间的概率 = 0.9332 ； 3． 设某厂生产的灯泡的使用寿命2~(1000,)X N s (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==，则(940)P X <= ；4．设127,,.,....,X X X 为总体2~(0,0.5)X N 的一个样本，则721(4)ii PX=>=å 0.025 ；5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2c 分布，这里，分布，这里，22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ；6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分别是来自总体,X Y 的简单随机样本，则统计量192219......X X U Y Y ++=++服从参数为服从参数为 9 的 t 分布。
分布。
7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且正态总体的简单随机样本且22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从2c 分布，其自由度为分布，其自由度为2 ； 8．设总体．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单随机样本，则随机变量样本，则随机变量 22110221115...2(...)X X Y X X ++=++服从服从 F 分布，参数为分布，参数为 10,5 ；9．设随机变量21~()(1),,X t n n Y X>=则~Y F(n,1) ；10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=，A 为常数，则1()P X A>= 0.7 11若n xx ,,1是取自正态总体),(2s m N 的一个样本，则å==ni in11x x 服从服从 。
抽样分布的考试题及答案
抽样分布的考试题及答案一、单选题1. 抽样分布是指什么？A. 总体中所有样本的分布B. 从总体中抽取的样本的分布C. 总体中所有个体的分布D. 总体中所有样本均值的分布答案：D2. 样本均值的抽样分布具有什么特性？A. 正态分布B. 均匀分布C. 指数分布D. 二项分布答案：A3. 样本量增加时，样本均值的抽样分布会如何变化？A. 标准差增加B. 标准差减少C. 标准差不变D. 无法确定答案：B二、多选题4. 影响抽样分布的因素包括哪些？A. 总体分布B. 样本大小C. 抽样方法D. 样本均值答案：A、B、C5. 以下哪些情况下，样本均值的抽样分布会呈现正态分布？A. 总体分布是正态分布B. 总体分布是均匀分布C. 样本量足够大D. 总体分布是二项分布答案：A、C三、判断题6. 抽样分布的中心趋势由总体分布的中心趋势决定。
答案：错误7. 样本均值的抽样分布的标准差等于总体标准差除以样本量的平方根。
答案：错误8. 抽样分布的形态与总体分布的形态无关。
答案：错误四、简答题9. 描述一下抽样分布的概念及其重要性。
答案：抽样分布是指从同一总体中抽取的多个样本的某个统计量（如均值、方差等）的分布情况。
抽样分布对于推断总体参数具有重要意义，因为它允许我们使用样本数据来估计总体参数，并计算出相应的置信区间和假设检验。
10. 为什么在大样本情况下，样本均值的抽样分布会呈现正态分布？答案：根据中心极限定理，当样本量足够大时，无论总体分布的形状如何，样本均值的抽样分布都会趋近于正态分布。
这是因为样本均值的波动会随着样本量的增加而减小，使得样本均值的分布趋于稳定，从而呈现出正态分布的特征。
结束语：通过以上题目的练习，希望你能对抽样分布的概念、特性以及其在统计学中的应用有一个更加清晰的认识。
概率论与数理统计6.第六章：样本及抽样分布
),
,
,
,
是来
Z=
(
－
证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布。
14
),
,
,
,
是来 ， ．ຫໍສະໝຸດ 自 总 体 X 的 样 本 ， E( ) 则 ，D( )=
是来自总体 X ，D(X)= ． ，
，D( )=
11
3. 设 , 本 ,E(X)=
, , 为来自总体 X 的样 ,D(X)=9, 为样本均值 , 试用 ＜ ≥ ,
切比雪夫不等式估计 P{ P{ 4.设 , 则当 K= ＞ ≤ , , . 是总体 X
lim f (t ) (t )
n
1 e 2
t2 2
, x
3.分位点 设 T～t(n)， 若对 :0<<1,存在 t(n)>0，
4
满足 P{Tt(n)}=， 则称 t(n)为 t(n)的上侧分位点 注: t1 (n) t (n) 三、F—分布 1.构造 若 1 ~2(n1)， 2~2(n2)，1， 2 独立，则
y0
2. F—分布的分位点 对于 ：0<<1，若存在 F(n1, n2)>0， 满足 P{FF(n1, n2)}=， 则称 F(n1, n2)
5
为 F(n1, n2)的上侧 分位点； 注： F1 (n1 , n2 )
1 F (n2 , n1 )
§ 6.3 正态总体的抽样分布定理
X Y /n ~ t ( n)
t(n)称为自由度为 n 的 t—分布。 t(n) 的概率密度为
n 1 ) 1 t 2 n2 2 f (t ) (1 ) , t n n n ( ) 2 (
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
样本及抽样分布一、填空题1．设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =22.716；2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = 0.9332 ；4．设127,,...,X X X 为总体2~(0,0.5)X N 的一个样本，则721(4)i i P X =>=∑ 0.025 ；5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ；6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分别是来自总体,X Y的简单随机样本，则统计量U =服从参数为 9的 t 分布。
7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从2χ分布，其自由度为 2 ；8．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单随机样本，则随机变量 22110221115...2(...)X X Y X X ++=++服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量21~()(1),,X t n n Y X>=则~Y F(n,1) ； 10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=，A 为常数，则1()P X A>= 0.7 14 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量292191YY X X U ++++=服从 分布。
t (9)15 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量29212921Y Y X X V ++++= 服从 F(9,9) 分布。
二、选择题4．设12,,...,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 是样本均值，记222222123111111(),(),(),11n n n i i i i i i S X X S X X S X n n n μ====-=-=---∑∑∑ 22411(),ni i S X n μ==-∑则服从自由度1n -的t 分布的随机变量是T =（ A ）； A．BCD5．设()n F x 是经验分布函数，基于来自总体X 的样本，而()F x 是X 总体的 分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的,()n x F x （ B ） A ．是分布函数 B ．依概率收敛于()F x C ．是一个统计量 D ．其数学期望是()F x 6．设总体X 服从0－1分布，125,,...,X X X 是来自总体X 的样本，X 是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ） A ．12345min{,,,,}X X X X X B 1(1)X p X--C12345max{,,,,}X X X X XD ．55X X -7．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，其中μ已知而2σ未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。
A ．21()nii Xμ=-∑ B ．211()n i i X X n =-∑ C ．21()ni i X σ=∑ D ．min{}i X8．设12,,...,n X X X 和12,,...,n Y Y Y 分别来自两个正态总体2(1,2)N -和(2,5)N 的样本，且相互独立，2212,S S 分别为两个样本的样本方差，则服从(7,9)F 的统计量是（ B ）A ．2122S S B ．212254S S C ．212245S S D ．212252S S9．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（ D ）A ．,X S 相互独立；B ．X 与2(1)n S -相互独立；C ．X 与2211()nii XX σ=-∑相互独立D ．X 与2211()nii Xμσ=-∑相互独立。
11．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则服从自由度为1n -的t －分布的随机变量是（ C ） A．S B．2SC ．nX SD ．2nX S12．设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则（ C ） A ．22~(1,1)X F n S- B ．22(1)~(1,1)n XF n S -- C ．22~(1,1)nX F n S - D ．22(1)~(1,1)n XF n S +-三、解答题1．设123,,X X X 是总体2(,)N μσ的一个样本，其中μ已知而0σ>未知，则以下的函数中哪些为统计量？为什么？（1）123X X X ++；是（2）33X μ+；是（3）1X ； 是（4）22X μ； 是（5）312ii Xσ=∑；不是 （6）max{}i X ； 是（7）3X σ+；不是2． 在总体2(52,6.3)N 中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8与53.8之间的概率。
解：26.3~(52,)36X N }{{}5250.853.8 1.142 1.7146.3/6(1.714)( 1.142)0.8293X P X P -<<=-<<=Φ-Φ-=3． 对下列两种情形中的样本观测值，分别求出样本均值的观测值x 与样本方差的观测值2s ，由此你能得到什么结论? (1)5，2，3，5，8： x =4.6 222.059s =(2)105，102， 103，105，108 x =104.6 222.059s =4． 设12,,...,n X X X 是取自总体X 的一个样本．在下列三种情形下，分别写出样本12,,...,n X X X 的概率函数或密度函数 ：(1)~(1,)X B p ； (2)~()X Exp λ； (3)~(0,),0X U θθ>。
解：(1) 1()(1),0,1i i x x i P X x p p i -==-=1111122,1(,,)(1)(1)nniii i iiin x x nx xn n i P X x X x X x p pp p ==--=∑∑====-=-∏ (2) ,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩111211,0(1,2,,)(,,,)()0,0,0(1,2,,)niii nx n x nn i i n i i i i e e x i n f x x x f x x i n λλλλ=--===⎧⎧∑⎪⎪>====⎨⎨⎪⎪⎩≤=⎩∏∏∏ (3) 1,0()0,0f x θθθ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩1211,(,,,)()0(1,2,)0,.nn n i i i f x x x f x x i n o wθθ=⎧⎪==≤≤=⎨⎪⎩∏5. 设12,,...,n X X X 是取自总体X 的一个样本．在下列三种情形下，分别求出2(),(),()E X D X E S .(1)~(1,)X B p ； 2(1)(),(),()(1)p p E X p DX E S p p n-===- (2)~()X Exp λ； 222111(),(),()E X D X E S n λλλ===(3)~(0,),0X U θθ>。
222(),(),()21212E X D X E S nθθθ===6. 设12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量，且都服从2(0,)N σ，试证： （1）22211~()nii Xn χσ=∑； （2）22211()~(1)ni i X n χσ=∑解：（1）12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量，且都服从2(0,)N σ ~(0,1),(1,2)iiX X N i n σσ= 独立，2222111()~()nniii i X X n χσσ===∑∑（2）21~(0,~(0,1)nini i XX N n N σ=∑∑222211()~(1)nini i X X n χσ=⎛⎫ ⎪=⎭⎝∑∑ 7．设12,X X 是取自总体X 的一个样本． 试证：1X X - 与 2X X - 相关系数等于-1. 解：[22121111122211122221212122111cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)](0)222211((,222211cov(,),22cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)02X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X σσσσσσσσσ+==+=+=-++-==---=--+=--22D （）=D ）D ）-2cov()=同理D （）=222222σσσ+=-1222,212X X XXX X σρσ---=== 8. 设12,,...,n X X X 是取自正态总体2(,)N μσ的一个样本，试求统计量1ni i i c X =∑的分布，其中(1,2,...,)i c i n =是不全为零的已知常数。
解：22111~(,)nnni i i i i i i c X N c c μσ===∑∑∑9. 设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别是取自正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的样本，且相互独立，试求统计量U aX bY =+的分布，其中,a b 是不全为零的已知常数；解：2222111111~(,),1,2,,,~(,),~(,)i a X N i n X N a X N a n n σσμσμμ=2222222222~(,),1,2,,,~(,),~(,)j b Y N j m Y N bX N b n n σσμσμμ=22221212~(,)a b aX bX N a b n nσσμμ+++。