基于三阶Adams格式的求解声波方程的多步算法

创新项目论文

一种基于三阶Adams 格式的求解声波方程的多步算法

China University of Mining & Technology-Beijing

摘要

一个准确、高效、低数值频散的正演算法能够提高反演精度、加快反演收敛速度，因此研究地震波场正演模拟技术具有重要意义。区别于传统的空间离散方法，利用空间插值, 用网格点处的函数值及其梯度共同逼近空间高阶偏导数的方法称为近似解析离散化方法。声波方程通过变换，并采用近似解析离散化方法进行空间离散，从而转变成为一个半离散化的常微分方程组，再利用三阶显式Adams格式进行时间推进，求解半离散化的常微分方程组，从而得到了一个新的求解声波方程的有限差分方法（AD-STEM）。对AD-STEM进行了理论误差和数值误差分析、计算效率比较和数值波场模拟。研究表明，与传统方法AD-LWC比较，AD-STEM方法数值精度更高，数值频散更低，更高效，且与解析解匹配更好。AD-STEM方法能够通过压制数值频散而提高计算效率。在无可见数值频散的条件下，AD-STEM的计算速度是AD-LWC的1.88倍，而存储量只有其72%，更适合在粗网格下进行大规模地震波场数值模拟。

关键词：近似解析离散化方法；三阶Adams格式；数值频散；有限差分

目录

1 绪论 (1)

1.1选题背景和研究意义

1.2粘弹性介质国内外研究现状

1.3有限差分国内外研究现状

1.4本文主要研究内容

2 粘弹性介质的基本模型 (6)

3方法介绍....................................................................................................................... 错误！未定义书签。

3.1 Stereo-modeling方法简介 (10)

3.2 Lax-Wendroff correction方法简介 ...................................................................... 错误！未定义书签。

4 粘弹性介质中的波场数值模拟..................................................................................... 错误！未定义书签。

4.1 波场快照 (11)

4.2 波形图.................................................................................................................. 错误！未定义书签。

4.3 SEG模型的地表地震记录 (14)

5 结论 (17)

6 参考文献 (19)

1 绪论

1.1 选题背景和研究意义

随着我国石油和天然气工业的迅速发展，油气勘探的精度和难度也在不断地加大。这就要求我们必须深入了解地震波在地下介质中的传播规律，以便我们能更加准确地进行地下油气的勘探。地震波数值模拟技术是目前地震勘探领域人们研究地震传播规律的一个重要手段。传统地震波数值模拟技术，一般假设地层介质是均匀和完全弹性的，但是我们发现：在这种假设情况下，数值模拟的结果和我们在野外观察到的实际记录有很大差别。造成这种差别的主要原因是因为实际的地层介质并不是均匀和完全弹性的，我们应该用粘弹性介质来代替，这对于我们研究地震波波场的传播规律具有了非常重要的理论和实际意义。1.2 粘弹性介质国内外研究现状

为了对实际地震资料的解释以及地震波的偏移反演等处理提供可靠依据，我们需要建立不同的介质模型来模拟地下介质，发展相应的理论和勘探方法。从以往的模拟结果来看，以经典弹性波理论为基础得到的理论记录实际地震波在大地中传播时所接收到的记录之间存在很大差别，为了消除这种差别，我们通常要对球面扩散、界面的透射损失等进行补偿，但是在补偿过后，理论记录上来自深层的地震波振幅仍然较小、低频成分较丰富，这说明地下介质对地震波有吸收衰减的作用，特别是对高频成分，吸收更为严重。地震波衰减受多种因素影响，事实上现在没有一种机理可以描述所有环境条件下产生的损耗，介质的粘滞性就是其中的一个主要原因，为了弄清楚地震波在地层中的衰减机制，很多研究人员开始对粘弹性介质的理论和应用方法进行研究。

（一）国外研究现状

早在1845年Stokes就开始研究粘弹性介质中的地震波，他提出要考虑具有耗损的固体就必须使这种固体具有类似于粘滞液体的性质，因此他给固体的剪切模量附加上一个剪切粘滞，并建立了由于粘滞型内摩擦引起的能量耗损的Stokes粘弹性波动方程。但是粘弹介质理论的发展却是非常缓慢的，直到上个世纪40年代，美国地球物理学家N.K.Ricker 首次在粘弹介质理论中完整详细的描述了地震波在地下介质传播中时的衰减问题。其后，人们纷纷开始研究粘弹介质中地震波的传播理论，提出了一系列的理论和研究方法。Aki 和Richards(1980)建立了一种新的粘弹性介质模型——标准线性固体模型，相对于开尔芬—佛格特模型和麦克斯韦尔模型，标准线性固体模型更加适合描述地震波衰减的物理机

制。粘弹介质地震波数值模拟技术的研究是从上世纪八十年代开始的，Day和Minster (1984)第一次成功的在粘弹性介质中利用Pade近似法进行2-D时间域数值模拟。EmmeriCh 和Korn (1987)发现这种方法存在明显的缺陷即质量低劣和计算效率低，于是他们提出了一种新的近似称之为“广义标准线性固体”(GSLS)，同时对粘弹性模量的有理式进行推导，并发展二维有限差分算法使之适合标量波的传播，提高了计算效率。CarCione(1988)等对粘滞声波在地层中传播的进行了模拟并推导出了模拟方程。Robertsson(1994)等设计了一种速度一应力有限交错网法，并利用它研究了二维粘弹性介质下纵波和横波的传播规律，随后他们又将该算法推广到三维介质情况。

(二)国内研究现状

跟国外关于粘弹性介质理论及其数值模拟的迅速发展，国内对这方面研究起步较晚。近年来国内地球物理学家也开始对地震波在粘弹性介质中传播进行研究。张剑锋、李幼铭(1994)把地层介质假设为水平层状介质，利用混合变量粘弹性波方程，直接逐层求解位移、应力的方法进行数值模拟四。毕玉英、杨宝俊(1995)给出一种实现二维粘滞介质完全波场模型计算的方法。该方法的独到之处在于将传播时间分解成了传播水平时间和传播垂直时间两部分，平面源人射改为线源人射，无需繁杂的射线追踪，只考虑入射角随偏移距的变化情况便可获得包括反射纵波、转换波、多次波、折射波及面波等在内的多种波场的时间一空间道集的正演模拟记录，而且还能灵活地模拟井间和VSP地震剖面。宋守根(1996)提出了一种提高地震剖面纵横向分辨率的粘弹性介质波场外推方法，利用该方法进行反演时，无需对积分方程作线性化近似，适应性较强，并通过实例对该理论推断予以验正。张建贵(1999)等针对塔里木盆地的沙漠覆盖面大，地层埋藏深，地质构造幅度小的特点以大地介质为粘弹性介质为前提，利用粘弹性介质波动方程聚焦成像技术得到了一套高分辨率、高信噪比和高保真的地震处理剖面。孟凡顺(2000)等人根据粘滞弹性理论，推导出了粘滞弹性波的有限差分运动方程并对任意复杂地质体粘滞弹性波进行了正演模拟；程昌钧(2001)等系统研究了粘弹性介质中波的逆散射问题及其求解过程；崔建军和何继善 (2001)以二维粘弹性波动方程为基础，研究了粘弹性波动方程F-K域的正演模拟和偏移方法的思路和理论基础，并阐明了推导过程；杨午阳(2003)提出了一种利用粘弹性声波波动方程进行偏移的新方法；奚先和姚姚(2004)通过波动方程的交错网格有限差分数值模拟方法，对地震波在二维粘弹性随机介质中的传播进行了模拟并研究了其波场特征；朱慧卿(2004)利用新定义的各向异性网格一广义拟一致网格对粘弹性方程各向异性有限元方法的超收敛