第11章-参考资料：无向哈密顿图的一个充分条件的证明
哈密尔顿图的充分必要条件（精品）
哈密尔顿图的充分必要条件摘要图论在现实生活中有着较为广泛的应用, 到目前为止,哈密尔顿图的非平凡充分必要条件尚不清楚,事实上,这是图论中还没解决的主要问题之一,但哈密尔顿图在实际问题中,应用又非常广泛,因此哈密尔顿图一直受到图论界以及运筹学学科研究人员的大力关注.关键词:哈密尔顿图;必要条件;充分条件;1 引言 (3)2 哈密尔顿图的背景 (3)3 哈密尔顿图的概念 (4)4 哈密顿图的定义 (5)4．1定义 (5)4．2定义 (5)4．3哈密顿路是遍历图的所有点。
(6)4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论 (7)5 结论 (8)参考文献 (8)指导老师 (9)1 引言图论是一门既古老又年轻的学科,随着科学技术的蓬勃发展,它的应用已经渗透到自然科学以及社会科学的各个领域之中,利用它我们可以解决很多实际生活中的问题,给你一个图,你怎么知道它是否是哈密尔顿图呢?当然如果图的顶点不多,你可以用最古老的”尝试和错误”的方法试试找哈密尔顿回路就可以解决和判断.但是,数学家们并不满足这样的碰得焦头烂额后才找到的真理方法.是否存在一组必要和充分的条件,使得我们能够简单轻易地判断一个图是否是哈密尔顿图?有许多智者通过各种方式去尝试过了,遗憾的是至今尚未找到一个判别哈密尔顿回路和通路的充分必要条件.虽然有些充分非必要或必要非充分条件,但大部分还是采用尝试的办法,不过这些条件也是非常有用的.2 哈密尔顿图的背景美国图论数学家奥在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。
闭合的哈密顿路径称作哈密顿圈，含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径.1857年，哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。
游戏目的是“环球旅行”。
为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示(如图1)。
欧拉图与哈密顿图
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欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.21
图G称为可2-着色（2-chromatic），
如果可用两种颜色给G的所有顶点着色， 使每个顶点着一种颜色，而同一边的两端点 必须着不同颜色。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.16
设图G是可2-着色的。如果G是哈密顿 图，那么着两种颜色的顶点数目相等；如 果G有哈密顿通路，那么着两种颜色的顶点 数目之差至多为一。
✓定理8.14
设图G为具有n个顶点的简单无向图，如果G的 每一对顶点的度数之和都不小于n – 1 ，那么G中有 一条哈密顿通路；如果G的每一对顶点的度数之和 不小于n，且n≥3，那么G为一哈密顿图。
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欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.15
当n为不小于3的奇数时，
Kn上恰有 n 1 条互相均无任何公共边的 2
离散数学导论
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
➢ 定义8.19
图G称为欧拉图（Euler graph），
如果图G上有一条经过G的所有顶点、所有
边的闭路径。图G称为欧拉路径（Euler
walk），如果图G上有一条经过G 所有顶点、所有边的路径。
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
✓ 定理8.11
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欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.20
无向图G称为哈密顿图（Hamilton graph），
如果G上有一条经过所有顶点的回路
（也称这一回路为哈密顿回路）。称无向图有哈密顿 通路(非哈密顿图)，如果G上有一条经过所有顶点的
哈密顿图论
哈密顿图十二面体中的哈密顿路径哈密顿图（英语：Hamiltonian path，或Traceable path）是一个无向图，由天文学家哈密顿提出，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。
在图论中是指含有哈密顿回路的图，闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle），含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径。
美国图论数学家奥勒在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。
哈密尔顿回路问题与欧拉回路类似。
它是1859年哈密尔顿首先提出的一个关于12面体的数学游戏：能否在图10.4.9中找到一个回路，使它含有图中所有结点一次且仅一次？若把每个结点看成一座城市，连接两个结点的边看成是交通线，那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次，再回到原来的出发地呢？为此，这个问题也被称作周游世界问题（10.4.9）对图10.4.9 ，图中粗线给出了这样的回路。
定义10.4.3 给定图G，若有一条路通过G中每个结点恰好一次，则这样的路称为哈密尔顿路；若有一个圈，通过G个每个结点恰好一次，这样的圈称为哈密尔顿回路（或哈密尔顿圈）。
具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图。
尽管哈密尔顿回路与欧拉回路问题在形式上极为相似，但是到目前为止还不知道一个图为哈密尔顿图的充要条件，寻找该充要条件仍是图论中尚未解决的主要问题之一。
下面先给出一个简单而有用的必要条件。
定理10.4.4 设图G＝〈V ,E〉是哈密尔顿图，则对于V的每个非空子集S，均有W（G－S）≤|S| 成立，其中W（G－S）是图G－S的连通分支数。
证明: 设α是G的哈密尔顿回路，S是V的任一非空子集。
在G－S中，α最多被分为|S|段，所以W（G－S）≤|S|利用本定理可判别某些图不为哈密尔顿图。
如在图10.4.10中，若取S＝｛v1，v4｝，则G－S有3 个连通分支，故该图不是哈密尔顿图。
Hamilton图的若干判定条件
摘要Hamilton回路判断的充分必要条件是至今尚未解决的一个难题，本文探讨了一些Hamilton图的充分条件，必要条件，并根据Hamilton图的相关性质给出了若干种判定Hamilton图的方法，同时，也给出了判定方法相应的实例。
关键词Hamilton图；充要条件；判定方法；回路；简图AbstractThe sufficient and necessary condition for judging Hamiltonian graph has been an unsettled problem for a long time. This paper mainly concerns some sufficient condition and some necessary conditions, and gives some methods for judging Hamiltonian graph based on the properties of Hamiltonian graph. Meanwhile , some examples are given.Key wordsHamiltonian graph; the sufficient and necessary condition; methods of judgement ; cycle；simple graph目录1．引言 (1)2．Hamilton图的相关概念 (2)3．Hamilton图的性质 (3)4．Hamilton图的若干判定方法 (5)5．相关的应用实例 (7)5.1 典型例子 (7)5.2 简单实例 (8)5.3 判断Hamilton图－1 (8)5.4 判断Hamilton图－2 (8)5.5 Petersen图是非Hamilton图的一个证明 (11)参考文献 (13)谢辞 (14)Hamilton图的若干判定条件Judgement of Hamiltonian Graph１.引言1859年，英国数学家哈密顿（Hamilton）爵士提出了下列周游世界的游戏：在正十二面体的二十个顶点上依次标记伦敦，巴黎，莫斯科，华盛顿，北京，东京等世界著名大城市;正十二面体的棱（边）表示连接这些城市的路线，问：能否在图中做一次旅行，从顶点到顶点，沿着边行走，经过每个城市恰好一次之后再回到出发点？这个问题被称为Hamilton问题。
7_2_Hamiltonian graph
必要条件充分条件其它方法应用特殊图哈密顿图周游世界问题1859年英国数学家威廉·哈密顿爵士发明了一个小玩具，这个小玩具是一个木刻的正十二面体，每面系正五角形，共有20个顶点，每个顶点标有世界上一个重要城市。
他提出一个问题：要求沿正十二面体的边寻找一条路通过20个城市，而每个城市只通过一次，最后返回原地。
哈密顿将此问题称为周游世界问题。
Definition设G是一个无向或有向图，若存在一条通路(回路)，经过图中每个结点一次且仅一次，则称此通路(回路)为该图的一条哈密顿通路(回路)。
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图(Hamiltonian graph)。
注意规定：平凡图为哈密顿图；哈密顿通路是经过图中所有结点的通路中长度最短的通路；哈密顿回路是经过图中所有结点的回路中长度最短的回路。
Examplev1v2v3v4(a)哈密顿图(哈密顿回路)v1v2v3v4v5(b)存在哈密顿通路v1v2v3v4v5v6v7(c)无哈密顿通路v1v2v3v4(d)哈密顿图(哈密顿回路)v1v2v3v4(e)v1v2v3v4(f)引子定义必要条件充分条件其它方法应用哈密顿图的必要条件Theorem设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V1是V的任意非空子集，则p(G−V1)⩽|V1|，其中p(G−V1)是从G中删除V1后所得到图的连通分支数。
Proof.设C是G中的一条哈密顿回路，V1是V的任意非空子集。
下面分两种情况讨论：（1）V1中结点在C中均相邻，删除C上V1中各结点及关联的边后，C−V1仍是连通的，但已非回路，因此p(C−V1)=1⩽|V1|。
（2）V1中结点在C上存在r(2⩽r⩽|V1|)个互不相邻，删除C上V1中各结点及关联的边后，将C分为互不相连的r段，即p(C−V1)=r⩽|V1|。
一般情况下，V1中的结点在C中即有相邻的，又有不相邻的，因此总有p(C−V1)⩽|V1|。
第11章-参考资料：无向哈密顿图的一个充分条件的证明
证明：设 = v0v1…vl 是由初始路径 0 用扩大路径法的得到 的极大路径，则 l .
因为v0 不与 外的顶点相邻，又 d(v0) ，因而在 上除 v1 外，至少还存在 1个顶点与 v0 相邻. 设 vx 是离 v0 最远的顶点，于是 v0v1…vxv0 为 G 中长度 +1 的圈.
扩大路径法
设G = <V, E>为 n 阶无向图，E . 设 l 为G中一条路径. 若此路径的始点或终点与通路外的顶点相邻，就将它们扩到 通路中，继续这一过程，直到最后得到的通路的两个端 点不与通路外的顶点相邻为止. 设最后得到的路径为l+k（长度为 l 的路径扩大成了长度为 l+k 的路径），称l+k为“极大路径”. 称使用此种方法证明问题的方法为“扩大路径法”. 有向图中类似讨论，只需注意，在每步扩大中保证有向边方 向的一致性. 1
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证明详解2
(3) 由于G是连通的，可得比 更长的路径。 如图(2) 所示，由 l < n可知，存在vl+1V(G) - V(C)与C上某一 点vt相邻。当t < ir – 1时，删除(vt-1, vt)，得到路径 ‘= vt1…v1vir…vlvir-1…vtvl+1比 的长度大1. 对于t > ir – 1和t = ir 的情况也可以构造类似的 ‘
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实例
(1) (2)
(3)
(4)
由某条路径扩大出的极大路径不惟一，极大路径不一定是 图中最长的路径
上图中，(1)中实线边所示的长为2的初始路径，(2), (3), (4) 中实线边所示的都是由(1)扩展成的极大路径.
西北工业大学《离散数学》课件-第11章
W(C1)=10 W(C2)=11 W(C3)=9
最短
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11.3 二部图与匹配
定义11.3 设 G=<V,E>为一个无向图, 若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得 G 中的每条边的两个端点都是一 个属于V1, 另一个属于V2, 则称 G 为二部图 ( 或称二分图, 偶 图), 称V1和V2为互补顶点子集, 常将二部图G记为<V1,V2,E>. 又若G是简单二部图, V1中每个顶点均与V2中所有的顶点相邻， 则称G为完全二部图, 记为 Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|.
邻的顶点vi,vj, 均有
d(vi)+d(vj) n 则G中存在哈密顿回路.
（）
14
判断是否为哈密顿图
判断是否为(半)哈密顿图至今还是一个难题. (1) 观察出一条哈密顿回路或哈密顿通路. (2) 证明满足充分条件. (3) 证明不满足必要条件.
例4 证明右图(周游世界问题)是哈密顿图 证 abcdefghijklmnopqrsta 是一条哈密顿回路. 注意，此图不满足定理11.3推论的条件.
与已知条件矛盾. 得证V1中任意两顶点不相邻. 由对称性, V2 中也不存在相邻的顶点, 得证G为二部图．
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最大匹配
定义11.4 设G=<V1,V2,E>为二部图, ME, 如果M中的任意两 条边都不相邻, 则称M是G的一个匹配. G中边数最多的匹配 称作最大匹配. 又设|V1||V2|, 如果M是G的一个匹配且 |M|=|V1|, 则称M是V1到V2的完备匹配. 当|V2|=|V1|时, 完备匹 配又称作完美匹配．
图论方法描述如下: 设G=<V,E,W>为一个n阶完全带权图Kn, 各边的权非负, 且可能为. 求G中的一条最短的哈密顿回路.
哈密顿回路
2算法的依据定理1图中任何不同的H回路至少有两个不同的边。
证明令H1是图G的一个H回路。
任取一个边(vi,vj),删去后,再加上任何其它一个边,必然使vi或vj的度数1。
此时,该回路不是H回路。
故,任何不同的H回路至少有两条不同的边。
定理2令Kn中所有哈密顿回路为HCn=(e1,e2,…,ek),回路数为k,Kn的结点为v1,v2,v3,…,vn,每个et(t=1,2,…,n)有n 条边。
某个ej与vn+1结点生成的H回路为:HCn+1(ej)=∑i,jej {(vn+1,vi),(vn+1,vj),(vi,vj)}={ej1,vj2,…,ejn}共n个,其中,i ≠j,i,j<=n,vi与vj相连。
则HCn+1(ej)是Kn+1的对应ej的H回路,共n个,所有的回路是不同的。
且,所有的HCn+1(e1,…,ek)的H回路也是不同的,故,HCn+1中的所有H回路为k n。
3证明1)由定理知,HC (e) ∑e {(v ,v),(v ,v),1 n+1 j = i,jj n+1 i n+1 j(vi,vj)}是Kn+1的一组对应ejH回路,共n个;ej是一个Kn的H回路,断其边(vi,vj),加入两个边(vn+1,vi),vn+1,vj),去掉(vi,vj),再加上ej的其余的边,得一个n+1个结点的回路,令为H1,边数为n+1,且每个结点的度数为2,则H1是图1Kn+1的哈密顿回路。
如图1所示(v1,v2,v3,v4)是K4的一个H回路,再加入一个点V5,删去边(v2,v3)加入边(v5,v2)和(v5,v3),组成{v5,v2,v1,v4,v3,v5}则是K5的一个回路。
2)HCn+1(ej)中的所有H回路是不同的。
因为由ej有n条边,HCn+1(ej)=i,jej{(vn+1,vi),(vn+1,vj),(vi,vj)}是断其每一条边生成的H回路,共有n个回路,每个回路都有在另一个H回路中被删去的边,故HCn+1(ej)中的所有H回路是不同的。
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实例
(1) (2)(3)(4)由某条路径扩大出的极大路径不惟一，极大路径不一定是 图中最长的路径
上图中，(1)中实线边所示的长为2的初始路径，(2), (3), (4) 中实线边所示的都是由(1)扩展成的极大路径.
还能找到另外的极大路径吗？
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扩大路径法的应用
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无向哈密顿图的一个充分条件2(续)
定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi, vj，均有 d(vi) + d(vj) n 1 () 则G 中存在哈密顿通路. 证明： (2)证明G中存在哈密顿通路。 ① 设 = v1v2…vl 为G中极大路径. 若l = n, 证毕. ② 否则要证G 中存在过上所有顶点的圈C。由G是连通图知 C外顶点存在与C上某顶点相邻顶点，从而得比 更长的 路径. 重复① – ② ，直至最后得一条哈密顿通路.
扩大路径法
设G = <V, E>为 n 阶无向图，E . 设 l 为G中一条路径. 若此路径的始点或终点与通路外的顶点相邻，就将它们扩到 通路中，继续这一过程，直到最后得到的通路的两个端 点不与通路外的顶点相邻为止. 设最后得到的路径为l+k（长度为 l 的路径扩大成了长度为 l+k 的路径），称l+k为“极大路径”. 称使用此种方法证明问题的方法为“扩大路径法”. 有向图中类似讨论，只需注意，在每步扩大中保证有向边方 向的一致性. 1
对它再扩大路径，重复②，最后得到哈密顿通路.
l+1
t-1
t
图(2)
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推论
推论 设G为n (n 3) 阶无向简单图，若对于G中任意两个 不相邻的顶点vi, vj，均有
d(vi) + d(vj) n
——①
则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图. 证明线索：由定理15.7得 = v1v2…vn 为G中哈密顿通路. 若(v1, vn) E(G)，得证. 否则利用①证明存在过v1, v2, …, vn的圈(哈密顿回路). 定理15.8 设u, v为n阶无向简单图G中两个不相邻的顶点，且d(u) + d(v) n，则G为哈密顿图当且仅当G (u, v)为哈密顿图.
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证明详解2
(3) 由于G是连通的，可得比 更长的路径。 如图(2) 所示，由 l < n可知，存在vl+1V(G) - V(C)与C上某一 点vt相邻。当t < ir – 1时，删除(vt-1, vt)，得到路径 ‘= vt1…v1vir…vlvir-1…vtvl+1比 的长度大1. 对于t > ir – 1和t = ir 的情况也可以构造类似的 ‘
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证明详解1
证明：讨论l < n的情况，即要证G中存在过上所有顶点的圈C. ① 若(v1, vl)在G中，则 (v1, vl)为G中满足要求的圈。 ② 否则，设v1与上 vi1 v2 , vi2 ,...,vik相邻，则k 2 否则由极大路径端点性质及G的连通性，会得到 d(v1) + d(vl) 1 + l 2 < n 1， v 又vl 至少与 vi2 , vi3 ,... ik 的相邻顶点之一相邻 否则 d(v1) + d(vl) k + l 2 – (k – 1) < n 1 设 vir 1与vl相邻，见图 (1) ，于是得G中回路C. (1)中图去掉边 ( vir 1 , vir )，得到一条更长的路径。 图(1)
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无向哈密顿图的一个充分条件1
定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi, vj，均有 d(vi) + d(vj) n 1 则G 中存在哈密顿通路. ()
证明：(1) 首先证明G是连通图
反证法。假设 G不连通，则G至少有两个连通分支。设G1和 G2为阶数是n1和n2的两个连通分支，对uV(G1)， vV(G2)，有 dG(vi) + dG(vj) = dG1(vi) + dG2(vj) ≤ n1–1 + n2–1 ≤ n – 2 与题设矛盾，所以G是连通图
例4 设 G 为 n（n3）阶无向简单图， 2，证明G 中存在 长度 +1 的圈.
证明：设 = v0v1…vl 是由初始路径 0 用扩大路径法的得到 的极大路径，则 l .
因为v0 不与 外的顶点相邻，又 d(v0) ，因而在 上除 v1 外，至少还存在 1个顶点与 v0 相邻. 设 vx 是离 v0 最远的顶点，于是 v0v1…vxv0 为 G 中长度 +1 的圈.
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几点说明
定理15.7 d(vi) + d(vj) n - 1是半哈密顿图的充分条件，但 不是必要条件.
例如：长度为n1（n4）的路径构成的图不满足d(vi) + d(vj) n 1条件，但它显然是半哈密顿图.
定理15.7的推论d(vi) + d(vj) n同样不是哈密顿图的必要条 件。 例如：G为长为n的圈，不满足d(vi) + d(vj) n条件，但它 当然是哈密顿图. 由定理15.7的推论可知，Kn（n3）均为哈密顿图.