立体几何练习题(精)

立体几何练习题

1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n ． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A ．

B ．

C

D ．

3.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是 边长为

的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个

球的体积为（） A ． 8π

B ．

C ．

D ． 8

π

4.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 长为（） A ． 5 B ． 2 C ． 3 D ． 5

5.如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（） A ． AC⊥SB B ． AB∥平面SCD

C ． SA 与平面SB

D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ． AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角

6.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ） A ． 1＜d 1＜d 2 B ． d 1＜d 2＜1

C ． d 1＜1＜d 2

D ． d 2＜d 1＜1

7.在锐角的二面角βα--EF ，A EF ∈，AG α⊂， 45=∠GAE ，若AG 与β所成角为 30，则二面角βα--EF 为__________. 8.给出下列四个命题：

(1)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//； (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；

(3)两条异面直线中的一条平行于平面α，则另一条必定不平行于平面α；

E

F

A G

α

β

(4)b ,a 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个． 其中正确命题的序号是_______________________

9.已知正方体 1111ABCD A B C D -中，点E 是棱 11A B 的中点，则直线AE 与平而 11BDD B 所成角的正弦值是_________.

10.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090ABC ∠=，122AC AA ==，2AB =，M 为1BB 的中点，则1B 与平面ACM 的距离为______

11.边长分别为a 、b 的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则

b

a

的取值范围是 ． 12.已知矩形ABCD 的长4AB =，宽3AD =，将其沿对角线BD 折起，得到四面体A BCD -，如图所示，

给出下列结论：

①四面体A BCD -体积的最大值为

725

； ②四面体A BCD -外接球的表面积恒为定值；

③若E F 、分别为棱AC BD 、的中点，则恒有EF AC ⊥且EF BD ⊥； ④当二面角A BD C --为直二面角时，直线AB CD 、所成角的余弦值为1625

； ⑤当二面角A BD C --的大小为60︒时，棱AC 的长为

145

． 其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)． 13.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角．

（I ）求证：平面B 1AC⊥平面ABB 1A 1；

（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值．

14.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5．

4

34

3

A

B

C

D

4

3

3

4

D

C

B

A

（1）若PB⊥BC，证明平面BDE⊥平面ABC．

（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值．

15.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；

（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；

（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．

16.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱

PB上

（1）求证：AC⊥平面PDB

（2）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的

大小．

17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M

为PD中点．

（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；

（Ⅱ）求证：AD⊥平面PAC；

（Ⅲ）求二面角M﹣AC﹣D的正切值．

18.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

（1）证明：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

19.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．

（1）求证：BC 1∥平面A1CD；

（2）求证：A1C⊥AB1；

（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时

三棱锥C﹣A1DE的体积．

20.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长

的倍，P为侧棱SD上的点．

（1）求证：AC⊥SD；

（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；

（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面

PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．