大学物理习题20-24(1)

S
E dS qi'
Pn '
' 2、电介质存在时的总电量为 E E0 E ，在电介质内部 E E0 ， 但是不为零。对各向同性的均匀电介质有
P 0 ce E
ce称为电介质的极化率。
3 、有电介质时的高斯定理，电位移矢量为 D 。
二、电势
1. 定义: Va
b

E pa q0
E dl
a

2. 静电场力作的功与电势差、电势能之间的关系：
Wab q E d l q( Va Vb ) qU ab ( E pb E pa )
a
3. 电势叠加原理
(1)点电荷的电势分布: VP
q 4 0 r
本章小结
本章研究对象---真空中静电场的性质和规律。 一个实验规律：库仑定律 F 12
1 (1)高斯定理: e E d S qi 0 i s
q1q2 e 12 2 4 0 r12
电通量：
e E d S
s
两个定理：高斯定理、环流定理。
EdS cos

介质极化后，内部场强不为零，在均匀极化时，
E＝E0 r
★注意真空中与介质中高斯定理的区别 真空中
1 / E dS ( q qi )
S
0
介质中
D dS q
S
练习20（静电场一）
1. 图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷 线 (x＜0)和－ (x＞0)，则Oxy坐标平面上点(0，a) 密度分别为＋ E y 处的场强 为 (0, a) i . (A) 0 ． (B) (C)

2
4 0 a
cos d
x
2

2 0 a
1 2 0
答案为：B
或
2. 在坐标原点放一正电荷 Q，它在P点(x=+1,y=0)产生的电场强度为 E ．现在，另外有一个负电荷-2Q，试问应将它放在什么位置 才能使P点的电场强度等于零？ y (A) x轴上x>1． (B) x轴上0<x<1． (C) x轴上x<0． (E) y轴上y<0．
RA , RB 分别为内外导体半径， 为介质的介电常数 l 为圆柱体长度，
RA , RB分别为内外导体半径， 为介质的介电常数。
电介质的极化
1、极化电荷与极化强度 处在静电场中的电介质会被极化。在介质内部出现极化电荷 q ， 。介质的极化状态用极化强度矢量 P描 表面极化电荷面密度 述。极化强度 P 与极化电荷的关系为
解：如图可知-2Q产生的电场强度方向水平向左，所以位于
x 轴，又负电荷是正电荷的两倍，根据公式
y
(D) y轴上y>0．
O +Q (1,0) P x
F
可知
'
q 4 0 r 2
r
所以在x < 0
O E’ +Q (1,0) P
E
r r (r 1)
x
或由于对称性可知当负电荷为Q 时在 x =0 时，P点总场强为0， 所以当负电荷为2Q 时，则距P点更远，即在x <0 处。
(2)点电荷系的电势分布: V Vi
i
4 0 ri 1 dq (3)任意带电体的电势分布: V dV 4 0 r V V
qi
4. 电势分布的典型结论
(1) 电偶极子的场强分布: VP
1 4 0
2
px (x y )
2 3 2
(2) 均匀带电圆环轴线上的电势分布: V (3) 无限长均匀带电直线的电势分布: V
(ii) 导体表面上任一点的场强方向与该处表面垂直（导 体表面为等势面）。
5、导体在静电平衡时的性质 （1）导体是等势体，导体表面是等势面
E内 0
Q
∴导体内部任意P，Q 两点电势差为零
U pQ p 或 E内 gradU 内 U内 0
即：U内= 常数 ∵在导体表面
叠加法
电势的计算
V
i
dV

定义法
静电场 的场量 电场叠加性
E E i 或 d E
i V
VP E d l
P
E ,V的关系
VP E d l
P
E
VP
VP Vi 或 dV
i V
E V
电势能的概念
１、电势能 电荷在电场中某点所具有的电势能等于将电荷从该(a)
E dr 0
Q
P
E 0
即
故 U表= 常数
dU El 0 dl
严格说来， U内 ≠ U表 ，二值之差构成了金属电子逸出 金属表面需要逸出功的原因。
2）导体内部无净电荷，电荷只分布在导体的外表面 在导体内部任取一闭合高斯面Ｓ
q E dS
S

令 D 0E P
则有

(S )
D dS qi
称为有电介质时的高斯定理，其中 qi 是闭合面内自由电荷的代数和。
D 0 E P是D, E , P三个矢量场普遍成立的关系。 对各向同性均匀电介质有 D r 0 E E
V
dV 0
0
0
当S0时，导体内任一点净电荷密度为零。
6、有导体存在时，静电场的电场强度与电势的计算 首先根据静电平衡条件和电荷守恒定理求出静电平衡 条件下导体上的电荷分布，再由电荷分布求电场分布。
导体的电容及电容器
1、电容的定义 孤立导体的电容——
q C U
式中q是导体所带电量，U为导体电势。
(1) 电偶极子的场强分布:
qi e 2 i0 i 4 0 ri dl dq dS dV
3. 电场强度分布的典型结论(大小）
2P a 延长线上的点： EA 4 0 r 3 1 P b中垂线上的点： EB 4 0 r 3 1
(2) 无限长均匀带电直线的场强分布: E 2 0 a
q 电容器的电容—— C U AB
式中q为电容器一个极板所带电量（另一极板所带电量为-q）， UAB为两极板的电势差。
2、典型电容器的电容公式 S 平行板电容器的电容—— C S为极板面积，d为两极板距离， 为介质的介电常数。

d
2 l 圆柱形电容器的电容—— C ln( R / R ) B A 4 RA RB 球型电容器的电容—— C RB RA
百度文库
s E ds qi 0 求E
i
*：如果场分布不具备对称性，则由高斯定理求Ｅ并不方便， 但高斯定理依然成立。
注意: ★过曲面的通量由曲面内的电荷决定。
S
q1 q2
qn
★高斯面上的场强是由全部电 荷（面内外电荷）共同产生。
q4
★当场源分布具有高度对称性时求场强分布的步骤：
１.由电荷分布的对称性分析，确定场强的大小、 方向分布特征； ２. 作高斯面，计算电通量及 qi ; ３. 利用高斯定理求解.
答案为：C
3. 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分别为 ＋ 和＋2 ，如图所示，则A、B、C 三个区域的电场强度分 别为：EA＝__________________，EB=__________________，
两个物理量：电场强度、电势。 一、电场强度 1. 定义: E F
q0
2. 电场强度叠加原理
(1)点电荷的场强分布: E
q 4 0 r
2
e0
(2)点电荷系的场强分布: E E i (3)任意带电体的场强分布:
1 dq E dE e 2 0 4 0 r V V
s
穿过任一闭合曲面的电通量 e 等于该曲 面内所包围的所有电荷的代数和除以 0 ，而与闭合面外的电荷无关。

s
E dS
q
ε0
i
(2)环流定理:
E dl 0
l
静电场的环流定理
E dl 0 l
静电场中电场强度沿闭合路径的线积分等于零。 静电场是保守场。
叠加法
场强的计算 高斯定理法 梯度法
E
S
i
dE
1
E dS
E V
0
q
i
应用高斯定理求E的步骤
首先分析场源的对称性（常见的是中心、面、轴对称性）
选取一个合适的高斯面，使得或者在该高斯面的某一部分曲 面上的E值为常数，或者使某一部分曲面上的E与它们的法线方向 处处垂直。 然后由高斯定理
i 4 0 a
．
(D)
2 0 a i j 4 0 a
.
2 0 r
+ O y
- x
E1
解：无限长均匀带电直线的场强分布 E
(0, a) + O -
E2
E
由图可知在(0， a)点的总的场强水平向右
E 2
1

cos d 4 0 a
dW q0dU
★ 即电场力的功等于电势能增量的负值。 ★ 将电荷q0由a移至b点的过程中，电场力的功等于q0与 这两点的电势差的乘积。
导体的静电平衡
1、金属导体的电结构 由电子 游移在整个金属中的自
的离子实 晶格 形成金属骨架的带正电
无外场时，整个金属的电量代数和为零，呈电中性，这时电子 只是作无规则的热运动。 2、静电感应 当把导体引入场强为E0的外场后，导体中的自由电子就在 外电场的作用下，沿着与场强方向相反的方向运动，从而引起 导体内部电荷的重新分布现象，这就是静电感应。 因静电感应而出现的电荷称感应电荷。
(3)均匀带电圆环轴线上的场强分布: E
xq
2 2 3
4 0 ( x R ) 2 x (4)均匀带电圆盘轴线上的场强分布: E (1 ) 2 2 2 0 R x
(5) 无限长均匀带电平面的场强分布: E 2 0
rR 0 q (6)均匀带电球面的场强分布: E rR 2 4 0 r (7)均匀带电球体的场强分布: qr r R 4 R 3 0 E q r R 2 4 0 r
电势差
1、电势差
U ab U a U b
U0
a
U0 E dl E dl b

b
a
E dl
2、 用电势差表示电场力的功
Wab q0
b
a
E dl q0 (U a U b )
Wab q0U ab q0 (Ub U a ) (E p b Ep a )
处移至电势能为零的参考点(b)的过程中电场力做的功。
2、电势能的性质 1）电势能是系统所共有，故又称相互作用能。 2） 电势能是一个相对量。 对于有限大小带电体，通常定义W∞＝0，这时电场中
某点电势能为
E p a q0

a
E dr
Epb Ep 0
即电荷在电场中某点所具有的电势能等于将电荷从该处 移至无穷远处的过程中，电场力做的功。
r 为介质的相对介电常数， 为介质的介电常数。 0
静电场的能量
1、充电电容器的能量
1 Q2 1 2 We CU QU 2 2C 2
2、电场能量密度
1 2 1 we E E D 2 2
3、非均匀电场的能量
1 2 1 We E dV E DdV V 2 V 2
q
4 0 R 2 x 2
r ln B 2 0 r
( VB 0 )
q 4 R r R 0 (4) 均匀带电球面的电势分布: V q r R 4 0 r (5)均匀带电圆盘轴线上的电势分布: V ( R2 x 2 x ) 2 0
3、导体内部的场 E E0 E
式中E/是感应电荷所产生的附加场。
4、导体静电平衡及其条件 （1）静电平衡：在导体内部及表面各处都没有电荷作宏观定向 运动的状态（这一定义对荷电导体亦成立）。 （２）导体静电平衡的条件： （i） 导体内部任一点的场强为零（导体为等势体）：
/ E内 E E0 0
＊导体与电介质的比较： 1，电结构
导体内有可移动的自由电荷， 电介质内无可移动的电荷，
2，电荷的分布 导体的感应电荷（或荷电）只分布在外表面， 称束缚电荷 。 3，内部场强 导体在静电平衡时，内部场强为零，即 ／ E内＝E0＋E ＝0
介质的极化电荷可在表面也可在内部，但不能移动，故又