复杂网络基础4

图4.1 100个节点的ER随机网络及其度分布 (a)ER随机网络；(b)度分布

由图4.1(b)可见，ER随机网络的度分布在10附近， 是一种均匀网络，计算得到其平均度为＜k＞≈pN＝ 1 10，所以根据式 k 可知其传播阈值为：
c
c
1 1 0.1 k pN

4.2.1流行病传播的基本模型
4. SIRS模型 SIRS模型适合描述免疫期有限或者说免疫能力有限 的疾病。 与SIR模型不同的是，在SIRS模型中，处于移除状 态的个体(治愈后具有免疫力)还会以概率γ失去免疫 力。 S (i ) I ( j ) I (i ) I ( j )

4.2.1流行病传播的基本模型
需要采用不同的数学模型来表征不同的传播规律，它 们是复杂网络传播动力学研究的基础。 传播模型中的每一类个体都处于同一种状态。基本状 态包括：易感状态(S)，即健康的状态，但有可能被 感染；感染状态(I)，即染病的状态，具有传染性； 移除状态(R)，即感染后被治愈并获得了免疫力或感 染后死亡的状态。处于移除状态的个体不具有传染性， 也不会再次被感染，即不再对相应动力学行为产生任 何影响，可以看作已经从系统中移除。 在真实系统中不同种类的传染病具有不同的传播方式， 研究它们的传播行为通常采用不同的传播模型。
d s (t ) d t i (t ) s (t ) i (t ) d i (t ) i (t ) s (t ) i (t ) dt

令有效传染率λ＝α／β，该方程存在阈值λc，当λ＜λc 时，稳态解i(T)＝0；而当λ＞λc时，稳态解i(T)＞0。 其中，T代表达到稳态所经历的时间。
4.2.1流行病传播的基本模型
4. SEIR模型 SEIR模型适合于描述具有潜伏态的疾病，如季节性 的感冒。 易感个体与感染个体接触后先以一定概率α变为潜伏 态(E)，然后再以一定概率β变为感染态。SEIR模型 的感染机制可以描述如下：

S (i ) I ( j ) E (i ) I ( j ) E (i ) I (i ) I (i ) R(i )
4.2.2均匀网络中的流行病传播
按照度分布，复杂网络可以分为均匀网络和非均匀网 网络。 均匀网的度分布范围不大，在某一平均值附近且度分 布指数衰减，如随机网络与小世界网络。 对于均匀网络，其传播动力学通常可以由平均场或均 匀混合方法给出。 本小节介绍均匀网络中的流行病传播规律，分别基于 SIS和SIR两种模型加以讨论。

4.2.1流行病传播的基本模型
1. SI模型 SI模型用来描述那些染病后不可能治愈的疾病，或 对于突然爆发尚缺乏有效控制的流行病，如黑死病及 非典型肺炎。

S (i ) I ( j ) I (i ) I ( j )

设s(t)和i(t)分别标记群体中个体在t时刻处于S态和I 态的密度，λ为传染概率，则SI模型的动力学模型可 以用如下的微分方程组描述：

式中第一项表示感染个体以单位速率减少(因为假设 概率β＝1)，第二项表示单个感染个体产生的新感染 个体的平均密度，它与有效传播率、节点(个体)的平 均度＜k＞及感染节点与易感节点连接的概率ρ(t)[1ρ(t)]成正比。
[1 k (1 )] 0

式中，ρ为感染个体的稳态密度。可以解得，均匀网 络流行病传播的阈值为： c 1
d s(t ) d t i (t ) s(t ) d i (t ) i (t ) s(t ) dt
4.2.1流行病传播的基本模型
2. SIS模型 SIS传播模型适合描述像感冒、淋病这类治愈后患者 不能获得免疫力的疾病；计算机病毒也属于这一类型。 在SIS传播模型中，个体只存在两种状态：易感状态 (S)和感染状态(I)。感染个体为传染的源头，它通过 一定的概率α将传染病传给易感个体。同时，感染个 体本身以一定的概率β得以治愈。另一方面，易感人 群一旦被感染，就又成为新的感染源。SIS模型的感 染机制可以描述如下：

4.2.2均匀网络中的流行病传播
1． 基于SIS模型的情形 均匀网络中每个节点的度近似等于网络的平均度，即 k≈＜k＞。 对于SIS模型来说，在每一个时间步，如果网络中易感 个体至少和一个感染个体相连，则它被感染的概率为α； 同时，感染个体被治愈变为易感个体的概率为β。 为了便于研究，这里对SIS模型作了两个假设：(1)均 匀混合假设：有效传染率λ与系统中处于感染状态的个 体的密度ρ(t)成正比，即α和β都是常数。(2)假设病毒 的时间尺度远远小于个体的生命周期，从而不考虑个 体的出生和自然死亡。令有效传染率(或叫有效传播 率)λ＝α／β，它是一个非常重要的参量。
随着时间的推移，上述模型中的感染个体将逐渐增加。 但是，经过充分长的时间后，因为易感个体的不足使得 感染个体也开始减少，直至感染人数变为0，传染过程结 束。 因此，SIR模型在稳态时刻t＝T的传染密度r(T)和有效传 染率λ存在着一一对应的关系，且r(T)可以用来测量传染 的有效率。

4.2.1流行病传播的基本模型

假设t时刻系统中处于易感状态、潜伏状态、感染状 态和移除状态的个体的密度分别为s(t)、e(t)、i(t)和 r(t)。
4.2.1流行病传播的基本模型

SIRS模型的动力学行为可描述为如下的微分方程组：
d s(t ) e(t ) s (t ) dt d e( t ) e( t ) s ( t ) e( t ) dt d i ( t ) e( t ) i ( t ) dt d r (t ) i (t ) dt
4.2.2均匀网络中的流行病传播
2.基于SIR模型的情形 对于SIR模型来说，处于易感状态、感染状态和移除 状态的个体的密度s(t)、i(t)和r(t)满匀网络中的流行病传播
均匀网络中存在一个传播阈值λc。 当有效传播率λ大于λc 时，感染个体能够将病毒传播 扩散，并使得整个网络中感染个体的总数最终稳定于 某一平衡状态，网络此时处于激活相态(active phase)； 当有效传播率λ小于λc 时，感染个体的数量呈指数衰 减，无法大范围传播，网络此时处于吸收相态 (absorbing phase)。

所以在均匀网络中，存在一个正的传播阈值以将激活 相态和吸收相态明确地分隔开。
4.2.2均匀网络中的流行病传播

不失一般性，令β＝1(这种做法只是改变演化时间的 尺度)，利用平均场理论，均匀网络中被感染个体的 密度随时间的演化满足如下方程：
d (t ) (t ) k (t )[1 (t )] dt

4.2复杂网络上的流行病传播
真实网络通常由有限的个体所组成，不符合系统尺寸 无限大的这个极限。因此，理论和数值研究结论与实 验结果将存在很大差异。 网络的结构对传染病的传播也会产生很大的影响。 在不同的网络模型上系统研究体系尺寸对传播阈值的 影响，对于探讨真实复杂系统中传播特性具有指导意 义。 本节首先介绍流行病传播的几个基本模型，然后介绍 不同结构性质的复杂网络上的传染病传播规律，接着 介绍具有社团结构的网络对传染病传播的影响，最后 简要介绍特殊无标度网络和关联网络的传播阈值。

4.2复杂网络上的流行病传播
4.2.1流行病传播的基本模型 4.2.2均匀网中的流行病传播 4.2.3非均匀网中的流行病传播 4.2.4社团网上的流行病传播 4.2.5有限规模无标度网络和广义无标度网络的传播阈值 4.2.6关联网络的传播阈值

4.2复杂网络上的流行病传播
流行病传播的速度很快，对社会的影响非常大，引起 全 社 会 的 极 大 关 注， 如 网 络 病 毒、人 类 社 会 中 的 SARS、性病、艾滋病和谣言等等。 在复杂网络上，最近的理论和实验都表明流行病的传 播阈值与网络系统的尺寸(节点数)有着紧密联系。 在复杂网络传播动力学的研究中，传播阈值λc是理论 和实验研究工作者特别关注的一个重要参量。对于尺 寸非常大的网络系统而言，如果流行病的传播概率大 于该传播阈值，那么受感染人数将占一个有限大小的 比例，即传染病会爆发且持续地存在；否则，受感染 人数会呈指数衰减，其占总人数的比例将接近于0， 即传染病将会自然消失。
复杂网络
复杂网络上的传播动力学
4.1 引言
复杂网络上的传播动力学问题是复杂网络研究的一个 重要方向。 主要研究社会和自然界中各种复杂网络的传播机理与 动力学行为以及对这些行为高效可行的控制方法。 复杂网络上的传播过程可以分为两类：不符合物质或 能量守恒的过程以及符合物质或能量守恒的过程。 本章首先介绍复杂网络上的流行病传播机理，接着介 绍复杂网络的免疫策略，然后介绍复杂网络上的舆论 传播和知识传播，最后介绍复杂网络上的数据包传递 机理和拥塞控制。

S (i ) I ( j ) I (i ) I ( j )
I (i ) S (i )

4.2.1流行病传播的基本模型

假设t时刻系统中处于易感状态、感染状态的个体的 密度分别为s(t)和i(t)。当易感个体和感染个体充分混 合时，SIS模型的动力学行为可以描述为如下的微分 方程组
k
4.2.2均匀网络中的流行病传播

而且满足
0 c
c c
由此可见，传播阈值与平均度成反比。这很好理解， 因为接触的人越多，被感染的几率就越大，故降低平 均度是控制传染病传播的一个有效手段。 【例4.1】用Matlab程序产生连接概率为p=0.1的含 100个节点ER随机网络，绘制网络及其度分布，分 析其均匀性，并计算其传播阈值。

I (i ) R (i )

假设t时刻系统中处于易感状态、感染状态和移除状 态的个体的密度分别为s(t)、i(t)和r(t)。当易感个体 和感染个体充分混合时，SIR模型的动力学行为可以 描述为如下的微分方程组：