测量不确定度理论基础
测量结果的不确定度及其计算
讲座测量结果的不确定度及其计算周舜元(卫生部工业卫生实验所,北京100088)1 概述随着生产和科学技术的进步,对检测数据的准确可靠性提出了更高的要求。
过去通常用测量误差即测量结果与真值的差异来表示测量结果的准确可靠程度,但由于真值通常是未知的,所以误差常常也无法知道,只能用约定真值代替真值来求误差。
在实际工作中更多遇到的应该是测量的不准确度,这已逐渐成为人们的共识。
特别是由于国际贸易的发展,检测数据的质量高低需要在国际间得到评价和承认,由此开展的国际间的验证比对试验、实验室认可等活动,越来越重视对测量结果不确定度的分析和表达。
国家标准校准和检验实验室能力的通用要求!(GB/T15481-1995,等同采用ISO导则25)中就要求实验室的每个证书或报告,均应对估算的校准和测试结果的不确定度作出说明:ISO9001也规定,应保证所用设备的测量不确定度已知。
在1993年,由BIPM(国际计量局)、IEC(国际电工委员会)、IFCC(国际临床化学联合会、ISO(国际标准化组织)、IUPAC(国际理论与应用化学联合会)、IUPAP(国际理论与应用物理联合会)和OIML(国际法制计量组织)等7个国际机构共同发起,ISO公布了∀测量不确定度表示指南#,从而形成了共同的基础。
2 基本概念2.1 测量不确定度它是一个与测量结果相关的参数,用以表征可以合理赋予被测量值的分散性。
该参数可以用标准偏差或其给定倍数来表示,也可以用置信水平的区间半宽度来表示。
测量不确定度通常由其所有的不确定度分量构成,其中有些分量可以用测量结果的统计分析来加以评定,有些分量则基于统计分析以外的方法或信息来评定。
测量不确定度一般来源于随机性和模糊性,前者来自一些主客观条件不充分,后者归因于事物本身概念不明确。
在具体实践中,可能包括的来源如下:(1)对被测量的定义不完善;(2)实现被测量的定义的方法不理想;(3)被测量的样本(抽样)不能代表所定义的被测量;(4)环境条件的测量不完善,或对测量受环境条件影响的认识不周全;(5)人员对模拟仪器的读数有偏差;(6)测量仪器的分辨力和鉴别阈不够;(7)赋予计量标准的值和标准物质的值不准;(8)从外部来源取得,并用于数据计算的常数和其他参数不准;(9)与测量方法和测量程序相关联的近似性和假定性;(10)在表面上完全相同的条件下,被测量重复观测值的变化。
§3 测量的不确定度
测量不确定度与数据处理复习纲要§1 测量及其误差1 测量的概念测量：为确定被测对象的测量值，首先要选定一个单位，然后用这个单位与被测对象进行比较，求出它对该单位的比值──倍数，这个数即为数值。
表示一个被测对象的测量值时必须包含数值和单位两个部分。
目前，在物理学上各物理量的单位，都采用中华人民共和国法定计量单位，它是以国际单位制（SI）为基础的单位。
它是以米（长度）、千克（质量）、秒（时间）、安培（电流强度）、开尔文（热力学温度）、摩尔（物质的量）和坎德拉（发光强度）作为基本单位，称为国家单位制的基本单位；其它量（如力、能量、电压、磁感应强度等等）的单位均可由这些基本单位导出，称为国际单位制的导出单位。
2 直接测量、间接测量、等精度测量测量分为直接测量和间接测量。
直接测量是指把待测物理量直接与作为标准的物理量相比较，例如用直尺测某长度，间接测量是指按一定的函数关系，由一个或多个直接测量量计算出另一个物理量。
同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器并在相同的条件下对同一物理量进行的多次测量，叫做等精度测量。
以后说到对一个量的多次测量，如无另加说明，都是指等精度测量。
3 测量的正确度、精密度和精确度正确度表示测量结果系统误差的大小，精密度表示测量结果随机性的大小，精确度则综合反映出测量的系统误差与随机性误差的大小。
4 误差的概念测量值x与真值X之差称为测量误差Δ，简称误差。
Δ＝x-X。
误差的表示形式一般分为绝对误差与相对误差。
绝对误差使用符号±Δx。
x表示测量结果x与直值X之间的差值以一定的可能性（概率）出现的范围，即真值以一定的可能性（概率）出现在x-Δx至x+Δx区间内。
相对误差使用符号β。
由于仅根据绝对误差的大小还难以评价一个测量结果的可靠程度，还需要看测定值本身的大小，故用相对误差能更直观的表达测定值的误差大小。
绝对误差、相对误差和百分误差通常只取1～2位数字来表示。
5 误差的分类与来源一般将误差分为系统误差、随机误差、粗大误差三类。
测量不确定度
测量不确定度测量不确定度是与测量结果关联的一个参数，用于表征合理赋予被测量的值的分散性。
它可以用于“不确定度”方式，也可以是一个标准偏差（或其给定的倍数）或给定置信度区间的半宽度。
该参量常由很多分量组成，它的表达(GUM)中定义了获得不确定度的不同方法。
测量不确定度是“表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数”。
这个定义中的“合理”，意指应考虑到各种因素对测量的影响所做的修正，特别是测量应处于统计控制的状态下，即处于随机控制过程中。
定义中的“相联系”，意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果的完整表示中应包括测量不确定度。
通常测量结果的好坏用测量误差来衡量，但是测量误差只能表现测量的短期质量。
测量过程是否持续受控，测量结果是否能保持稳定一致，测量能力是否符合生产盈利的要求，就需要用测量不确定度来衡量。
测量不确定度越大，表示测量能力越差；反之，表示测量能力越强。
不过，不管测量不确定度多小，测量不确定度范围必须包括真值（一般用约定真值代替），否则表示测量过程已经失效。
原理测量不确定度从词义上理解，意味着对测量结果可信性、有效性的怀疑程度或不肯定程度，是定量说明测量结果的质量的一个参数。
实际上由于测量不完善和人们的认识不足，所得的被测量值具有分散性，即每次测得的结果不是同一值，而是以一定的概率分散在某个区域内的许多个值。
虽然客观存在的系统误差是一个不变值，但由于我们不能完全认知或掌握，只能认为它是以某种概率分布存在于某个区域内，而这种概率分布本身也具有分散性。
测量不确定度就是说明被测量之值分散性的参数，它不说明测量结果是否接近真值。
为了表征这种分散性，测量不确定度用标准〔偏〕差表示。
在实际使用中，往往希望知道测量结果的置信区间，因此，在本定义注1中规定：测量不确定度也可用标准〔偏〕差的倍数或说明了置信水准的区间的半宽度表示。
为了区分这两种不同的表示方法，分别称它们为标准不确定度和扩展不确定度。
误差基础知识
测量结果： 测量结果： 1）测量结果的完整表述：包括测量误差，必要时 测量结果的完整表述：包括测量误差， 测量误差 还应给出自由度和置信概率。 还应给出自由度和置信概率。 2）测量结果的特征：具有重复性和再现性。 测量结果的特征：具有重复性和再现性。 重复性——指在相同测量条件下 相同的测量程序、 重复性——指在相同测量条件下（相同的测量程序、 ——指在相同测量条件 测量仪器、观测者、地点、测量环境、 测量仪器、观测者、地点、测量环境、短期 内的重复测量） 内的重复测量）对同一被测量进行连续多次 测量所得的结果之间的一致性。 测量所得的结果之间的一致性。 再现性(复现性)——指在改变测量条件， 指在改变测量条件 再现性(复现性)——指在改变测量条件，对被测量 进行多次测量时，每一次测量结果的一致性。 进行多次测量时，每一次测量结果的一致性。 指在一定的误差范围内， （指在一定的误差范围内，每次测量结果的 可靠性是相同的）。 可靠性是相同的）。
3）相对真值：凡高一级标准器（计量器）的误差是 相对真值：凡高一级标准器（计量器） 低一级或普通测量仪器误差的1/3～ 低一级或普通测量仪器误差的1/3～1/20 1/3 时，则可认为前者是后者的相对真值。 则可认为前者是后者的相对真值。 在科学试验中，真值就是指在无系统误差的情况下， 在科学试验中，真值就是指在无系统误差的情况下， 就是指在无系统误差的情况下 观测次数无限时 求得的平均值。 观测次数无限时，求得的平均值。 平均值 但实际采用有限次所取得的平均值作为近似真值 但实际采用有限次所取得的平均值作为近似真值 有限次所取得的平均值作为 （最可信赖值）。 最可信赖值）。
（1）测量的目的 求出被测量的真值,但是一切测量都包含有误差, 求出被测量的真值,但是一切测量都包含有误差, 真值 测量值只能接近于真值。与测量手段是否先进无关。 测量值只能接近于真值。与测量手段是否先进无关。 只能接近于真值 手段越先进，越接近于真值。 手段越先进，越接近于真值。 （2）测量：以确定量值（数据）为目的的一组操作。 测量：以确定量值（数据）为目的的一组操作。 （3）测量结果：根据已有的信息和条件对被测量的 测量结果： 最佳估计，及对真值的最佳估计。 最佳估计 最佳估计，及对真值的最佳估计。
大学物理实验误差理论
• 误差的表示方法： 误差的表示方法： ∆x × 100% －绝对误差 ∆x －相对误差 E = • 误差分类 －系统误差
x
－随机误差
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系统误差
• 定义：在相同条件下多次测量同一物理量时，其误差的大小和符号 定义：在相同条件下多次测量同一物理量时，
保持不变， 或按某一确定的规律变化，这类误差称为系统误差。 保持不变， 或按某一确定的规律变化，这类误差称为系统误差。
• 区别：产生的原因不同、误差的性质和处理的方法不 同。前者是非统计量，处理方法针对具体的实验情况 来确定；后者是随机量，在处理上有一套完整的统计 方法。 • 共同之处：系统误差与随机误差都是测量误差的一个 随机误差都是测量误差的一个 分量
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精密度、准确度、精确度
• 精密度高：指随机误差小，测量的 随机误差小，测量的数据很集中。 • 准确度高：指系统误差小，测量的平均值偏离真值小。 系统误差小，测量的平均值偏离真值小 系统误差 • 精确度高：指随机误差和系统误差都非常小，才能说 随机误差和系统误差都非常 系统误差都非常小，才能说 测量的精确度高。
4
测量的要素
• • • • •
测量对象 测量手段（仪器、方法） 测量手段（仪器、方法） 测量结果 测量单位 测量条件
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测量误差及其分类
误差∆x＝测量结果 误差 ＝测量结果x －真值 x0 • 误差特性：普遍性、误差是小量 误差特性：普遍性、
– 由于真值的不可知，误差实际上很难计算 由于真值的不可知， – （有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计 算误差） 算误差）
①小误差出现的概率比大误差出现的概率大； 小误差出现的概率比大误差出现的概率大； ②多次测量时分布对称，具有抵偿性——因此取多次测量的平 多次测量时分布对称，具有抵偿性 因此取多次测量的平 因此 均值有利于消减随机误差。 均值有利于消减随机误差。
不确定度理论
P1~34
1. 研究误差理论及不确定度评定的必要性 1）测量是认知的重要手段。 • 测量的目的是想获得被测量的‚真值‛， 虽然‚ 真值‛ 是客观存在，但无法通过测量获得。由于多 种因素影响，即使对已知或猜测的误差因素进行补 偿、修正后，所得结果依然只能是被测量的一个估 计值。不确定度——测量结果的不能肯定程度 。 2）不确定度评定表征测量结果的分散性，可以： •评价实验室测量质量 ； •对测量结果可靠性有客观的评价； •通过对影响因素的分析，便于有针对性的改进，提 高测量质量。
通过不是对测量所得量值的统计分析手段， 2）不确定度 评定测量不确定度的方法。 注：测量不确定度的该分量可以是： • 测量不确定度—与测量结果相关联的一个参数，用以 •当结果由若干其它量得来时，该测量 与分布的量值相联系； 结果的标准不确定度等于这些量的方 表征合理地赋予被测量之值的分散性。 与有证参考物质的量值相联系； 差和协方差加权的正平方根，权的大 得自校准证书并引入漂移； • 不确定度的 A类评定：对观测列进行统计分析以评定 小取决于这些量的变化及测量结果影 以某量的估计值为 得自经验的测量仪器的准确度等级； 响的程度。 不确定度的方法。 中心，具有特定包 得自由人员经验推断的极限值。
ⅱ).对于消除不彻底、修正不完善、或变化规律复杂而确 定其值不经济的系统效应，由于其值小、其数多，可以 认为具备随机变量性质，便可与随机效应一样，进行评 估。
②随机效应属性及其处理 随机效应是由于未预料到的变化或影响量的随时间和 空间变化所致。在对同一被测量的多次测量过程中，其 值和变化方式不可预知的。 随机效应就其个体是没有规律的、未知的，但其整体 服从统计规律。所以不可能修正，只能用统计方法进行 评估，增加测量次数减少其影响。 2) 误差传统评估的不一致性和不确定度指南的产生
无创自动测量血压计动态血压示值误差不确定度评定与分析
无创自动测量血压计动态血压示值误差不确定度评定与分析本文将对无创自动测量血压计动态血压示值误差不确定度进行评定与分析，并对其影响因素进行探讨，以期为血压仪器的使用和维护提供参考。
1. 理论基础无创自动测量血压计的示值误差不确定度评定的理论基础主要包括血压测量原理、测量装置的性能指标、测试方法和不确定度计算方法等。
2. 测量方法评定无创自动测量血压计的示值误差不确定度时，需要进行一系列的实验。
首先需要准备一台标准血压计，该血压计需要通过国家认证，并且在实验开始前需要进行校准。
需要选择一组代表性的测量对象，他们应该涵盖不同年龄、性别、身体素质等方面的特征。
然后，需要对这些对象进行静息和运动状态下的血压测量，并记录下每次测量结果。
3. 不确定度计算无创自动测量血压计动态血压示值误差不确定度的计算需要考虑多个因素，如仪器的精度、环境因素、使用者的身体状态等。
通过对实验数据的统计分析，可以得出不确定度的大小和分布规律。
1. 仪器精度无创自动测量血压计的精度是影响血压示值误差不确定度的关键因素之一。
在实际使用中，仪器的精度受到多个因素的影响，如传感器性能、测量算法、测量装置的结构等。
在评定血压计示值误差不确定度时，需要对仪器的精度进行全面的考量和分析。
3. 测量对象测量对象的身体状态、年龄、性别等特征也会对血压示值误差不确定度产生一定的影响。
在进行评定和分析时，需要考虑到测量对象的多样性，并选取具有代表性的测试对象进行实验。
4. 运动状态无创自动测量血压计的动态血压示值误差不确定度还受到测量对象运动状态的影响。
一般来说，体育锻炼会导致血压升高，因此在进行误差不确定度评定时，需要考虑测量对象在不同运动状态下的血压变化。
5. 体位变化体位变化也是导致血压示值误差不确定度产生变化的关键因素之一。
不同的体位会对血压产生影响，如直立位时血压会略高于卧位。
在评定和分析过程中，需要充分考虑测量对象的体位变化对血压示值误差不确定度带来的影响。
测量误差与不确定度评定讲座01_一_测量误差的概念及其分类
4. 测量误差的分量 ， 按其出现在测得量值中的规律进
行分类 。
5. 所有从测量误差引申出来的一些词组 ， 例如基值误
差 、 零值误差 、 仪器误差 、 人员误差 、 环境误差 、 调整误差 、 允许误差 、 观测误差等 ， 其中的含义均是测量误差的引 申 。 过去常用的 “ 极限误差 ” 也源于测量误差 。 但有些误差 是在特定条件下人为规定的 ， 例如 ： 最大允许误差和误差 限 ， 是指技术规范或检定规程对给定测量 、 测量仪器所允 许的误差的极限值 。 需要引起注意的是 ， 不应将测量误差 与产生的错误和过失相混淆 。 有时将测量误差称为 “绝对测量误差 ”或 “绝对误差 ”， 这样可以同 “ 相对误差 ” 相区别 。 相对误差是指测量误差除以被测量的参考量值 。 根据测量误差定义 δ=x-μ ， 若用 δr 表示相对误差 ， 则有
说明 ： （ 1 ） 随机 误 差 的 参 考 量 值 应 确 保 是 同 一 个 被 测 量 无 穷多次重复测量的平均值 。 因此 ， 随机误差可理解为测得 量值减去同一个被测量无穷多次重复测量的平均值 。 而 同一个被测量无穷多次重复测量的平均值就是数学期望 值 ，即
3. 测量误差往往是由若干个分量构成的 ， 这些分量也
δr =
δ x-μ = ×100% μ μ
所以，相对误差表示绝对误差所占参考量值的百分比 。 一般来说 ， 当被测量的大小相近时 ， 通常用绝对误差 进行测量水平的比较 。 当被测量相差较大时 ， 用相对误差 才能进行有效的比较 。 二 、 测量误差的分类 测量误差可以按其在测得量值中的规律分为若干分 量。 根据测量误差的定义 ， 有
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测量不确定度理论基础1.1 测量不确定度概念1.1.1 测量不确定度评定代替误差评定误差的概念至少在100多年前就已经出现，当时就知道，在给测量结果的同时，还应给出其测量误差。
过去用传统方法对测量结果进行误差评定，存在一些问题，大体上遇到了两个方面的困难：如逻辑概念上的问题和评定方法上的问题。
误差在逻辑概念上的混乱是经典的误差评定遇到的第一个问题。
误差定义为“测量结果减去被测量真值”。
真值是被测量在观测时所具有的真实大小，这样的真值只是一个理想的概念，只有通过完善的测量才可能获得，而任何测量都会有缺陷，严格意义上的真值是无法得到的。
实际测量用约定真值来代替，约定真值本身就存在误差，因此可能得到的只是误差的估计值。
根据误差定义，从另一个角度来说，一旦知道了测量结果的误差，就可以对测量结果进行修正而得到真值，这又是不可能的。
误差的定义表明，误差是一个差值，一个是具有确定符号的量值。
过去在使用误差这一术语时，有时是符合误差定义的，如测量仪器的示值误差，它表示“测量仪器的示值与对应输入量真值之差”。
但也有误用的情况，如过去通过误差分析所得到的测量结果的所谓“误差”，实际上并不是真正的误差，而是被测量不能确定的范围，或者说是测量结果可能存在的最大误差，它不符合误差的定义。
误差评定遇到的第二个问题是评定方法的不统一。
在进行误差评定时，要获得被测量的总误差，通常要求先找出所有需要考虑的误差来源，然后根据这些误差来源的性质将它们分为随机误差和系统误差两类。
随机误差用测量结果的标准差或其倍数表示，系统误差用该分量的最大可能误差，即误差限表示。
由于数学上无法解决两个不同性质的量之间的合成问题。
长期以来，不仅各国之间，即使在同一国家内不同的测量领域，对随机误差和系统误差的合成处理方式不尽相同。
这种误差评定方法的不一致，使不同的测量结果之间缺乏可比性，这与当今全球经济一体化发展是不相适应的，社会、经济、科技和发展都要求改变这一现状，用测量不确定度来统一评价测量结果就是在这种背景下产生的。
测量不确定度的概念以及不确定度的评定和表示方法的采用，是计量科学的一个新进展，从1963年提出测量不确定度的概念以来，到1993年正式发布测量不确定度评定系统完整的指导性文件GUM，整整花了30年时间，汇集了世界各国计量学家的经验和智慧。
1.1.2 测量不确定度定义测量不确定度定义为“合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数”。
为了表征这种分散性，测量不确定度用标准偏差，或标准偏差的倍数，或说明了置信水准区间的半宽度来表示。
测量不确定度是对测量结果可能误差的度量，也是定量说明测量测量结果质量好坏的一个参数，因此是一个与测量结果相联系的参数。
一个完整的测量结果，除了应给出被测量的最佳估计值之外，还应同时给出测量结果的不确定度。
根据定义测量不确定度表示被测量之值的分散性，因此不确定度表示一个区间，即被测量之值可能的分布区间。
而测量误差是一个差值，这是测量不确定度和测量误差最根本的区别。
在数轴上，误差表示为一个点，而不确定度则表示为一个区间。
一般说来，被测量之值可以理解为被测量的真值，但在这里不能直接将被测量之值理解为真值，因为真值的分散性的说法无法理解。
由于JJF1001-1998中给出测量结果的定义为由“测量所得到的赋予被测量的值”，将两者比较可以发现这里的被测量之值似乎应该理解为测量结果，但它与我们通过测量所得到的测量结果仍有差别。
在对被测量进行测量时，最后给出一个测量结果，它是被测量的最佳估计值，而这里的被测量之值应理解为许多个测量结果，其中不仅包括通过测量可以得到的测量结果，还应包括在实际测量中无法得到但又是可能出现的测量结果，如系统效应引入的不确定度分量在测量结果的分散性中并没有反映出来。
定义还指出测量不确定度是测量者合理赋予给测量结果的，因此测量不确定度将或多或少与评定者有关，带有主观色彩，如评定者的认知能力和专业经验等。
定义中的合理，是指应该考虑对测量过程中的各种系统效应是否进行了修正，并估计它们对测量不确定度的影响，特别是测量应处于统计控制状态下，即处于随机控制过程中。
1.1.3 测量误差与测量不确定度比较测量误差和测量不确定度的最根本的区别是定义上的区别，表2.1列出了两者的主要区别。
虽然测量误差和测量不确定度都可以用来描述测量结果，测量误差是描述测量结果对真值的偏离，而测量不确定度则描述被测量之值的分散性，但两者在数值上并无确定关系。
测量结果可能非常接近于真值，此时其误差很小，但由于对不确定度来源认识不足，评定得到的不确定度很大；也可能误差实际上较大，但由于分析估计不足，评定得到的不确定度很小，例如当存在还未发现的较大系统误差时。
测量误差和测量不确定度是两个不同的概念，各有各的定义，它们是相互有关但又各不相同的两个量，它们相互之间并不排斥，各自应用于不同的场合，一般情况下是不能相互替代的，应该根据这两个术语的定义来判断，该用误差的地方用误差，该用不确定度的地方用不确定度。
表1.1测量误差和测量不确定度的主要区别测量得到的误差肯定会有不确定度。
反之也是一样，评定得到的不确定度可能存在误差。
例如，在测量仪器检测/校准/检定时，主要目的是给出测量仪器的示值误差，换句话说，示值误差就是校准/检定的测量结果，这时不确定度评定的目的，就是要估算出所测得的示值误差的不确定度。
反之，评定得到的不确定度也会存在误差，当知道不确定度的约定真值时，就可以得到不确定度的误差。
文件GUM给出了评定测量不确定度的基本方法，任何领域的测量不确定度评定都应按GUM给出的方法进行，但在某些情况下也可采用本领域内约定的简化或近似方法来评定测量不确定度。
用GUM方法评定得到的不确定度称为约定真不确定度，用简化或近似方法评定得到的不确定度称为近似不确定度，因此它与约定真不确定度之差就是所得到测量不确定度的误差。
一般不用测量不确定度来表示测量仪器的特性，因为没有对测量仪器的不确定度下过定义，只有用测量仪器得到的测量结果才有不确定度。
而测量仪器的特性可以用仪器的示值误差或最大允许误差等术语描述。
目前使用的测量仪器或计量标准的不确定度实际上指的是测量过程中由测量仪器引入的不确定度分量。
表2.2列出了测量结果和测量仪器误差、准确度和不确定度的比较。
表1.2 测量结果和测量仪器的误差、准确度和不确定度的比较1.2. 测量不确定度的评定步骤当被测量确定后，测量结果的不确定度仅仅和测量方法有关，因此在进行不确定度评定前必须首先确定被测量和测量方法，此处的测量方法包括测量原理、测量仪器、测量条件、测量程序以及数据处理程序等。
测量结果的不确定度的评定模式是一致的，评定步骤如图1.1：图1.1 测量不确定度评定步骤图1.3 测量不确定度的评定中的关键问题1.3.1 数学模型的建立 （1）测量模型化建立数学模型也称为测量模型化，目的是要建立满足测量不确定度评定所要求的数学模型，即被测量Y 和所有影响量X i 间的具体函数关系，其一般形式可写为),,,(21n X X X f Y =，式中Y 称为被测量或输出量，X 1，X 2，…，X n 则称为影响量或输入量。
若被测量的估计值为y ，输入量X i 的估计值为x i ，则有),,,(21n x x x f y 。
数学模型应包括全部对测量结果的不确定度有显著影响的影响量，包括修正值以及修正因子。
它既能用来计算测量结果，又能用来全面地评定测量的不确定度。
由于在很多情况下，用来计算测量结果的公式是一个近似式，因此一般不能把数学模型简单地理解为就是计算测量结果的公式，也不要理解为就是测量的基本原理公式。
原则上，所有对测量结果有影响的输入量都应该在计算公式中出现，但实际情况却不然。
有些随机效应引入的输入量虽然对测量结果有影响，但因信息量的缺乏，在具体测量时无法定量地计算出它们对测量结果影响的大小和方向，这相当于对应的修正值的数学期望为零，但这些修正值的不确定度仍必须考虑，这一类输入量将不可能出现在测量结果的计算公式中。
也有些输入量由于对测量结果的影响很小而被忽略，故在测量结果的计算公式中也不出现，但它们对测量结果不确定度的影响却可能是要考虑的，如果仅从计算公式出发来进行不确定度评定，则上述这些不确定度分量就可能被遗漏。
在不确定度评定中，建立一个合适的数学模型是测量不确定度评定合理与否的关键所在，建立数学模型应和寻找各影响不确定度的来源同步反复进行，一个完善的数学模型应该能满足下述条件：①数学模型应包括对测量不确定度有显著影响的全部输入量，即不遗漏任何对测量结果有显著影响的不确定度分量；②不重复计算任何一项对测量结果的不确定度有显著影响的不确定度分量；③当选取的输入量不同时，有时数学模型可以写成不同的形式，各输入量之间的相关性也可能不同，此时应选择合适的输入量，以避免处理较麻烦的相关性。
一般先根据测量原理设法从理论上导出初步的数学模型，然后再将初步模型中未能包括的并且对测量不确定度有显著影响的输入量一一补充，是数学模型逐步完善。
如果所给出的测量结果是经过修正后的结果，则应考虑由于修正值的不可靠所引入的不确定度分量，即修正值的不确定度。
数学模型并不是一成不变的，对于同样的被测量和同样的测量方法，但所要求的测量准确度不同时，需要考虑的不确定度分量数量可能不一样，此时数学模型也可能会有差别，有时选择不同的输入量，也可能得到不同形式的数学模型。
（2）由透明箱模型和黑箱模型导出的数学模型不确定度评定中所考虑的不确定度分量要与数学模型中的输入量相一致，根据对各输入量所掌握的信息量的不同，数学模型可以采用两种方法得到：透明箱模型和黑箱模型。
对于透明箱模型，数学模型是由理论公式推导出解析表达式，此时，每一个输入量对被测量的影响方式一清二楚，并且其影响的大小可以根据数学表达式定量地进行计算。
透明箱是一种比较理想的情况，而在更多的情况下，有许多输入量对测量结果的影响是无法详细了解输入量是如何影响测量结果的，采用透明箱的方式写入数学模型是十分困难的，此时可以增加修正项，即采用黑箱模型的方式将其补充到数学模型中，其一般式为n n y y y x x x f y δδδ++++= 2121),,,(。
在某些情况下，可能完全无法导出其透明箱模型，此时数学模型成为完全的黑箱模型，即n y y y x y δδδ++++= 21。
因为测量结果=真值+系统误差+随机误差，所以真值=测量结果+系统误差修正值+随机误差修正值。
数学模型的通式：被测量等于测量结果的计算公式加上系统误差所引入的修正值（即数学期望不等于零的修正值），再加上由于随机误差所引入的修正值（即数学期望等于零的修正值，对应于数学模型中的黑箱模型）。