北京邮电大学版 线性代数 课后题答案

习题 三 （A 类）

1. 设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3. 解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2. 设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α3＝(4，1，-1，1).求α.

解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)

整理得：α=1

6(3α1+2α2-5α3),即α=16 (6,12,18,24)

=(1,2,3,4)

3.（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）×

4. 判别下列向量组的线性相关性.

（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);

(2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3);

(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);

(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1). 解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.

5. 设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关. 证明：设

112123123()()0,

k k k αααααα+++++=

即

123123233()()0.

k k k k k k ααα+++++=

由

123,,ααα线性无关，有

123233

0,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪

+=⎨⎪=⎩

所以1230,

k k k ===即

112123,,αααααα+++线性无关.

6.问a 为何值时，向量组

'''

123(1,2,3),(3,1,2),(2,3,)a ααα==-=

线性相关，并将3α用12,αα线性表示.

解：

1322137(5),

3

2

A a a

=-=-当a =5时，

312111.77ααα=

+

7. 作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵. 解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关,

所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，0）

线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为10

101100100010

01⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪

⎪⎝

⎭

.

8. 设

12,,

,s

ααα的秩为r 且其中每个向量都可经

12,,,r

ααα线性表出.证明：

12,,,r

ααα为

12,,

,s

ααα的一个极大线性无关组.

【证明】若 12,,,r

ααα (1)

线性相关，且不妨设

12,,,t

ααα (t

是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是12,,,s

ααα的一个极大无关组，这与

12,,,s

ααα的

秩为r 矛盾，故12,,,r

ααα必线性无关且为

12,,,s

ααα的一个极大无关组.

9. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.

【解】把

123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.

1

1111111111

11120010010101101001000

11101100100

0k k k k k

k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A

当k =1时，

123,,ααα的秩为

13

2,,αα为其一极大无关组.

当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.

10. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1),

2α=(1,2,1),3α=(1,0,-1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.

【解】由于

1231230

111

2

0(,,);1

200111110001

12112(,,),1

1010

1

02a b b a ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==→--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B αααβββ

而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a -2=0,即a =2,又

12330112120

(,,,),12001121110002a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦c αααβ

要使3β可由123

,,ααα线性表出，需b -a +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β

=(2,2,0).

11. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组. (1) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);

(2) α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3) α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α5＝(2，1，5，6). 解：（1）把向量组作为列向量组成矩阵Α，应用初等行变换将Α化为最简形矩阵B ，则

1114110141141913951115409500000036701810000000A B ⎛

⎫-⎛⎫ ⎪

⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪=→→→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪----

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭

⎝⎭ 52 0 50 0 99

可知：R （Α）=R （B ）=2，B 的第1，2列线性无关，由于Α的列向量组与B 的对应的列向量有相同的线性组合关系，故与B 对应的Α的第1，2列线性无关，即α1,α2是该向量组的一个极大无关组.

（2）同理，

61701714010810111201201312438⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 1 -1 55 2 -9 0 4 40 - 55 7 -9 -9 0 -8 40 1 -6 0 5 -15 -10 5 -15 22 0 40 1111010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪

⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪

⎪⎝⎭

-10 0 0 0 2 -9 07 2 -9 0 0 0 0 -5 -11 -5 0 0 0450 0 0 -0 0 10 00 0 1 0110 0 0 10 0 0 240 0 10 0 0 0 0110 0 0 0B

⎛⎫

⎪

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10 0 0 0

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4个列向量线性无关,即α1,α2,α3,α4是该向量组的极大无关组. (3)同理,