《线性代数》课后习题答案
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第一章 行列式
习题1.1
1. 证明:(1)首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆,所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++,我们有
3
)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域,所以有理数的和、差、积仍然为有理数,所以
)
3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ,则必有22,b a 不同时为零,从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数,所以
)3(33)
(3)3()
3)(3()3)(3(3
32
2
22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=
-+-+=
++。
综上所述,我们有)3(Q 是数域。
(2)类似可证明)(p Q 是数域,这儿p 是一个素数。 (3)下面证明:若q p ,为互异素数,则)()(q Q p Q ⊄。 (反证法)如果)()(q Q p Q ⊆,则q b a p Q b a +=⇒
∈∃,,从而有
q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数,而q 是无理数,所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ,则2
qb p =,这与q p ,是互异素数矛盾。
如果0=b ,则有a p =,从而有“有理数=无理数”成立,此为矛盾。
所以假设不成立,从而有)()(q Q p Q ⊄。 同样可得)()(p Q q Q ⊄。
(4)因为有无数个互异的素数,所以由(3)可知在Q 和ℜ之间存在无穷多个不同的数域。
2. 解:(1))1(-P 是数域,证明略(与上面类似)。
(2))1(-Q 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而=-=-ℜ)1()1(C 复数域。
(3))1(-Z 不是数域,这是因为他关于除法不封闭。例如
)1(2
1
-∉Z 。 3. 证明:(1)因为K F ,都是数域,所以K Q F Q ⊆⊆,,从而K F Q ⋂⊆。故K F ⋂含
有两个以上的复数。
任给三个数K F c K F b a ⋂∈≠⋂∈0,,,则有F c b a ∈,,且K c b a ∈,,。因为K F ,是数域,所以有F c a ab b a ∈±,,且K c a ab b a ∈±,,。所以K F c
a
ab b a ⋂∈±,,。 所以K F ⋂是数域。
(2)K F ⋃一般不是数域。例如)3(),2(Q K Q F ==,我们有K F ⋃∈3,2,但是K F ⋃∉=326。
习题1.2
2. 解:项651456423123a a a a a a 的符号为 =-+)
312645()234516()1(ττ
习题1.3
1.证明:根据行列式的定义
11111111
1
=
121212
()
12(1)
n n
n
j j j j j nj j j j a a a τ-∑
1
ij a =
12
12
()
(1)n n
j j j j j j τ-∑
=0。
所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多,(-1)是由奇排列产生的,而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n 阶排列,故可以得到全体n 阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多,各占一半。
2.解(1) 19981999
2000
2001
20022003200420052006
32
C C -199819991200120021200420051
21
C C -199811200111200411
=0; (2)
1001
02
2003304004--3241C C C C -+1000
020*********
-下三角形
1268=96⨯⨯⨯;
(3)
1110
1
10110110111
2131R R R R --111000*********
1--24R 1110
01110101001
1
--32R R +111001110012001
1
- 43R R +1110
11100120
3
上三角形
1113=3⨯⨯⨯;
(4)
222222a b c
a
a
b b
c a b c
c c a b
------123
R R R ++2222a b c a b c a b c b
b c a b c c
c a b
++++++---- 提取公因子
1
1
1
()2222a b c b b c a b c c c a b
++----
21
31
(2)(2)R b R R c R --1
1
1
()0000a b c b c a c a b
++------=3()a b c ++。
(5)72222
272
22227
2222272
222
275
12i
i C C =+∑152222
157222
152722
152272152227
12,3,4,5
i R R i -=1522220500000500000500
0005