《线性代数》课后习题答案

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第一章 行列式

习题1.1

1. 证明:(1)首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆,所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++,我们有

3

)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域,所以有理数的和、差、积仍然为有理数,所以

)

3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ,则必有22,b a 不同时为零,从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数,所以

)3(33)

(3)3()

3)(3()3)(3(3

32

2

22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=

-+-+=

++。

综上所述,我们有)3(Q 是数域。

(2)类似可证明)(p Q 是数域,这儿p 是一个素数。 (3)下面证明:若q p ,为互异素数,则)()(q Q p Q ⊄。 (反证法)如果)()(q Q p Q ⊆,则q b a p Q b a +=⇒

∈∃,,从而有

q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数,而q 是无理数,所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ,则2

qb p =,这与q p ,是互异素数矛盾。

如果0=b ,则有a p =,从而有“有理数=无理数”成立,此为矛盾。

所以假设不成立,从而有)()(q Q p Q ⊄。 同样可得)()(p Q q Q ⊄。

(4)因为有无数个互异的素数,所以由(3)可知在Q 和ℜ之间存在无穷多个不同的数域。

2. 解:(1))1(-P 是数域,证明略(与上面类似)。

(2))1(-Q 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而=-=-ℜ)1()1(C 复数域。

(3))1(-Z 不是数域,这是因为他关于除法不封闭。例如

)1(2

1

-∉Z 。 3. 证明:(1)因为K F ,都是数域,所以K Q F Q ⊆⊆,,从而K F Q ⋂⊆。故K F ⋂含

有两个以上的复数。

任给三个数K F c K F b a ⋂∈≠⋂∈0,,,则有F c b a ∈,,且K c b a ∈,,。因为K F ,是数域,所以有F c a ab b a ∈±,,且K c a ab b a ∈±,,。所以K F c

a

ab b a ⋂∈±,,。 所以K F ⋂是数域。

(2)K F ⋃一般不是数域。例如)3(),2(Q K Q F ==,我们有K F ⋃∈3,2,但是K F ⋃∉=326。

习题1.2

2. 解:项651456423123a a a a a a 的符号为 =-+)

312645()234516()1(ττ

习题1.3

1.证明:根据行列式的定义

11111111

1

=

121212

()

12(1)

n n

n

j j j j j nj j j j a a a τ-∑

1

ij a =

12

12

()

(1)n n

j j j j j j τ-∑

=0。

所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多,(-1)是由奇排列产生的,而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n 阶排列,故可以得到全体n 阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多,各占一半。

2.解(1) 19981999

2000

2001

20022003200420052006

32

C C -199819991200120021200420051

21

C C -199811200111200411

=0; (2)

1001

02

2003304004--3241C C C C -+1000

020*********

-下三角形

1268=96⨯⨯⨯;

(3)

1110

1

10110110111

2131R R R R --111000*********

1--24R 1110

01110101001

1

--32R R +111001110012001

1

- 43R R +1110

11100120

3

上三角形

1113=3⨯⨯⨯;

(4)

222222a b c

a

a

b b

c a b c

c c a b

------123

R R R ++2222a b c a b c a b c b

b c a b c c

c a b

++++++---- 提取公因子

1

1

1

()2222a b c b b c a b c c c a b

++----

21

31

(2)(2)R b R R c R --1

1

1

()0000a b c b c a c a b

++------=3()a b c ++。

(5)72222

272

22227

2222272

222

275

12i

i C C =+∑152222

157222

152722

152272152227

12,3,4,5

i R R i -=1522220500000500000500

0005

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