第十三章 第2课时 线段的垂直平分线的性质(1)
线段垂直平分线的性质课件
当一条线段被一条垂直平分线所截，那么与这条垂直平分线相交的两个角会被这条垂直平分线所平分。这一性质 在解决与角平分和角度相关的问题时非常有用。例如，在几何问题中，我们经常需要找到一个角的角平分线，这 时就可以利用这一性质来解决问题。
03
线段垂直平分线的应用
在几何图形中的应用
确定等腰三角形的顶角
5. 由全等三角形的性质，得 到EN=NM。
6. 由于ME⊥AB且EN=NM， 根据中垂线的性质，得到 ME⊥MN。
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2. 由于MN是垂直平分线，根据性质一，得到AN=BN。
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3. 在直角三角形ACN和BCN中，由于CN是公共边， AN=BN，根据HL全等条件，得到△ACN≌△BCN。
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4. 由全等三角形的性质，得到AC=BC。
证明性质三
• 总结词：过线段垂直平分线上一点与线段两端点 连线的直线与线段垂直平分线垂直
。
垂直性质
垂直平分线是垂直于线 段所在直线的直线。
轴对称性质
垂直平分线是轴对称图 形，关于垂直平分线对 称的两点连线与垂直平
分线垂直。
02
线段垂直平分线的性质
性质一
总结词
线段垂直平分线上的任意一点到线要的性质。如果一个点位于 线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离必 定相等。这一性质在几何学中有着广泛的应用，例如在解决 与中点、距离和对称性相关的问题时。
确定圆的位置和大小
利用线段垂直平分线性质，可以确定 等腰三角形顶角的度数，从而确定三 角形的形状。
利用线段垂直平分线与圆的交点，可 以确定圆心的位置和半径的大小，从 而确定圆的位置和大小。
13.1.2线段的垂直平分线的性质(第1课时) 说课稿 2022-2023学年人教版数学八年级上册
13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第1课时）说课稿选题及教材分析本课是人教版数学八年级上册的第13章几何图形的认识，第1节线段的垂直平分线的性质，第2课时。
本节课主要介绍线段的垂直平分线的性质，即垂直平分线的定义和性质。
本节课的主要内容包括：垂直平分线的定义和性质；垂直平分线的判定方法；垂直平分线的特点和应用；垂直平分线的应用于解决实际问题。
通过本节课的学习，学生能够初步认识垂直平分线的概念和性质，能够判断是否为垂直平分线，并能够应用垂直平分线解决几何问题。
教学目标1.知识与能力：–掌握垂直平分线的定义和性质；–掌握垂直平分线的判定方法；–掌握垂直平分线的特点和应用；–能够应用垂直平分线解决几何问题。
2.过程与方法：–通过引导学生观察实例，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；–组织学生合作探究，激发学生的学习兴趣。
3.情感、态度与价值观：–培养学生对几何图形的兴趣，并提高对几何的艺术欣赏能力；–培养学生观察、思考和合作的能力，培养学生的创新意识和实践能力。
教学重点1.垂直平分线的定义和性质；2.垂直平分线的判定方法；3.垂直平分线的特点和应用。
教学难点1.垂直平分线的判定方法。
教学过程导入（5分钟）引导学生回顾上节课学习的内容，复习线段的定义和性质。
通过问题导入，激发学生的思考兴趣。
问题：如何判断一个线段的中垂线和一条直线相垂直？概念讲解（10分钟）通过示意图，向学生解释垂直平分线的定义。
引导学生观察图形，总结垂直平分线的性质，并与其他类型的平分线进行对比。
探究活动（15分钟）1.将学生分成小组，每个小组给出一个线段，让小组成员观察线段上的点是否能构成垂直平分线。
2.每个小组选择一个代表，将自己的观察结果进行讲解和展示。
3.引导学生总结判定垂直平分线的方法。
辅助讲解（10分钟）对学生总结出的判定方法进行讲解，解答学生提出的疑惑。
拓展应用（15分钟）通过一些实际问题的引导，让学生运用垂直平分线的性质解决几何问题。
人教版八年级数学上册13.1.2线段的垂直平分线的性质(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第一课时）教学设计一、教材分析1、主要内容：线段垂直平分线性质定理、判定定理的证明、用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线.2、地位作用：线段垂直平分线性质定理、判定定理在七年级时是用折纸的方法来说明的，没有给出严谨的证明，本节课利用所学的定理、公理证明线段垂直平分线性质定理、判定定理，使学生从感性认识上升到理性认识.线段垂直平分线性质定理、判定定理为证明线段、角相等提供了理论依据.3、教学目标：1、经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．2、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．目标分析：教育家蒂斯多费曾经说过，如果使学生简单的接受和被动的工作，任何方法都是坏的，如果能激发学生的主动性，任何方法都是好的。
所以本节课关注学习者的自主学习和发展，将学生生活中的材料引入课堂，让学生对学习材料进行数学化处理，启发学生利用已有知识作图、设计甚至推理，通过观察、归纳、应用等数学探究活动，掌握简单轴对称图形的作法，充分体验轴对称图案的形成过程和它在生活中的广泛应用。
此外，让学生深刻体会到动手实践、自主探索与合作交流是学习的重要方式。
4、教学重、难点教学重点：1.证明线段垂直平分线性质定理、判定定理.2.利用尺规作图作已知线段的垂直平分线.教学难点：线段垂直平分线性质定理的逆命题.突破难点的方法：本节课教学模式主要采用“先学后教，小组合作”的教学模式.出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人.二、教学准备：多媒体，三角板，圆规，直尺，导学案三、教学过程条线段的垂直平分线上。
即：当PA=PB 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上吗？归纳： 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
第2课时 线段的垂直平分线的性质(1) 公开课一等奖课件
在△ABD与△ACD中
图1
∴△ABD≌△ACD ∴∠ABD=∠ACD
3、在锐角△ABC内一点P满足
图2
PA=PB=PC，则点P是△ABC（D ）
A、三条角平分线的交点
B、三条中线的交点
C、三条高的交点
D、三边垂直平分线的交点
图3
【点拨精讲】（3分钟）
提高文明水平。
安静是什么
• 安静是形象。
•文明程度比较高的国家，所有公共场所都是比较安 静的，对来自其他国的游客的喧哗吵闹感到非常惊 诧。如果是黄皮肤、黑头发的游客，就一定认为是 中国人，其潜台词就是：中国游客太闹，文明古国
来的人，文明程度并不高。这就是形象。
安静是什么
• 保持安静是一种习惯。
•习惯是养成的，除了必要的约束，还需要较长的时 间。行为养成习惯，习惯形成品质，品质决定人生。 自觉保持公共场所的安静，就是良好的行为，就能形
点拨精讲：由线段垂直平分线的性质得AD=BD进而求解。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
探究2 如图，△ABC中DE⊥AB，AD平分∠BCA，DE⊥AB于E，
求证：直线AD是CE的垂直平分线。 证明：∵AD平分∠BCA，DE⊥AB， DE⊥AB ∴DE=CD ∴点D在CE的垂直平分线上， 在RT△AED与RT△ACD中 ∵AD=AD，DE=DC ∴RT△AED≌RT△ACD ∴AE=AC ∴点A在CE的垂直平分线上 直线AD是CE的垂直平分线。
点拨精讲：证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分，方法
2即线段垂直平分线的判定方法。
【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟
第13章 第2课时 线段的垂直平分线的性质(1)
数学 7．如图，在△ABC 中，DE 垂直平分 AC，若△BCD 的周长 是 12，BC＝4，则 AB 的长 8 .
返回
数学 8．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 E， 交 AC 于点 D，连接 CE，若∠A＝30°，∠ACB＝65°，则∠BCE ＝ 35° .
返回
数学
巩固训练
4．如图，AB＝5 cm，AC＝50 mm，则点 A 在线段 BC 的 垂直平分线 上．
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数学 5．如图，MN 是线段 AB 的垂直平分线，下列说法正确的有
①②③ (填序号)． ①AB⊥MN；②AD＝DB；③MN⊥AB; ④MD＝DN；⑤AB 是 MN 的垂直平分线.
返回
数学 6．如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE＝3 cm， △ABD 的周长为 13 cm，则△ABC 的周长是 19 cm.
返回
数学
2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则( A ) A．AB 垂直平分 CD B．CD 垂直平分 AB C．AB 与 CD 互相垂直平分 D．CD 平分∠ACB
返回
数学 3.如图，AB＝AC，DB＝DC，E 是 AD 延长线上的一点，BE 是否与 CE 相等？试说明理由．
返回
数学
解：连接 BC，∵AB＝AC，∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线 上． 同理，点 D 也在线段 BC 的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线，∴AD 是线段 BC 的垂直平分线． ∵E 是 AD 延长线上的一点，∴BE＝CE.
返回
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【例 1】如图，在△ABC 中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，则△BDC 的周长是( C ) A．8 B．9 C．10 D．11
《线段的垂直平分线的性质》课件
③作：作出对应点所连线段的垂直平分线.
新知探究 跟踪训练
如图，直线AE是线段BC的垂直平分线，垂足为E，D
为AE上一点，求证：∠ABD=∠ACD. 证明：∵AE是线段BC的垂直平分线，
A
D为AE上一点，∴AB=AC，BD=DC.
在△ABD和△ACD中，
D
AB=AC，
BD=CD， AD=AD，
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线. 因此，只要能找到一对对应点，作出连接它 们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个 图形的对称轴.
例2 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作
出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线
段AB的垂直平分线，就可以得到点A和 A
P B
证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.
∵l⊥AB， ∴∠POA=∠POB=90°.
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
P
PA=PB，
PO=PO， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.
A
OB
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°,
l
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
新知探究 知识点2 线段的垂直平分线的判定
AD为BC的垂直平分线
∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.
2.如图，在△ABC中，AB=5 cm，BC的垂直平分线分
别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8 cm，求线
段AC的长.
解：∵DE为线段BC的垂直平分线，
A
∴CD=BD.
D
∴△ACD的周长为AC+AD+CD
线段的垂直平分线的性质第1课时(课件)人教版八年级数学上册(完整版)
AC B
讲授新知
讲授新知
【验证结论】
已知：如图所示，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
证明：因为 l⊥AB，
P
所以 ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
所以 △PCA ≌△PCB（SAS）．
A
C
B
所以 PA =PB．
故此: NA=NB
范例应用
例1AB， 垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( C ) A．5cm B．10cmC．15cmD．
AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 16 cm.
当堂训练
5.如图所示，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为
C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.
证明： 因为OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
所以DE=CE.
O
B D
E
因为点E是∠AOB的平分线上一点， 所以∠DOE＝∠COE，
2.到三角形三个顶点的距离相等的点是（ B ）
A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点
C.三边高线的交点
D.没有这样的点
3.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一
点，且PA=5，则线段PB的长为 5 .
线段的垂直平分线的性质和判定(最新)人教版(广东)八年级数学(上)PPT-公开课
【名师示范课】第13章第2课时 线段的垂直平分线的性质和判定-2020 秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件-公 开课课 件（推 荐）
C组 8．如图，△ABC 的外角∠DAC 的平分线交 BC 边的垂直平分线于点 P， PD⊥AB 于点 D. (1)过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，求证：BD＝CE； (2)若 AB＝6 cm，AC＝10 cm，求 AD 的长．
知识点 2 线段垂直平分线的判定 【例 3】 如图，直线 PO 与 AB 交于点 O，且 PA＝PB，则下列结论 中正确的是( D ) A．PO⊥AB B．PO 是线段 AB 的垂直平分线 C．AO＝BO D．点 P 在线段 AB 的垂直平分线上
【变式 3】 下列说法错误的是( D ) A．E，D 是线段 AB 的垂直平分线上的两点，则 AD＝BD，AE＝BE B．若 AD＝BD，AE＝BE，则直线 DE 是线段 AB 的垂直平分线 C．若 PA＝PB，则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 D．若 PA＝PB，则过点 P 的直线是线段 AB 的垂直平分线
上.
上．
02 课堂精讲精练
知识点 1 线段垂直平分线的性质
【例 1】 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，ED 是 AC 的垂直平分线，
∠DEC＝55°.
(1)图中相等的线段有 AE＝CE，AD＝CD
；
(2)∠C＝ 35°
．
【变式 1】 如图，∠ACB＝90°，DE 是 AC 的垂直平分线，∠A＝28°， AD＝6，则 CD＝ 6 ，∠ADE＝ 62° .
【名师示范课】第13章第2课时 线段的垂直平分线的性质和判定-2020 秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件-公 开课课 件（推 荐）
人教版数学八年级上册第十三章13.1.2线段的垂直平分线的性质
第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段垂直平分线的性质和判定学习目标：1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．重点：线段的垂直平分线的性质和判定方法难点：运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题自主学习一、知识链接线段是轴对称图形吗？通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB与O.（1）点A的对称点是_______（2）量出AO与BO的长度，它们有什么关系？（3）AB与直线l在位置上有什么关系？经过线段________并且______于这条线段的________,叫做这条线段的垂直平分线.二、新知预习已知直线l垂直平分线段AB，交AB与O.点C是l上任意一点,连接AC,BC.（1）量出AC,BC的长度，它们有什么关系？（2）另在l上任找一点D，量出AD,DB的长度，它们有什么关系？（3）由（1），（2），你得到什么结论？要点归纳：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________.三、自学自测如图所示，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD 上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3四、我的疑惑___________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：线段垂直平分线的性质 证一证：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足为C ，AC =CB ，点P 在MN 上．求证：PA =PB ．典例精析 例1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为( ) A ．5cm B ．10cm C ．15cm D ．17.5cm方法总结:利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．例2： 已知:如图,在ΔABC 中,边AB ，BC 的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 实际应用：某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.例3：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延课堂探究B ACM N M ' N ' PBAC长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.方法总结:证明线段相等的方法一般有：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等.针对训练1.如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）第1题图第2题图2.如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，则△BCD的周长为_________.3.如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB，交AB于D，求证：BE+DE=AC．探究点2：线段垂直平分线的判定1.做一做:用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去.图①图②（1）如图①要使CO垂直于AB，需要添加什么条件？为什么？点C在_____________上.（2）如图②，拉动C，到达D的位置，若AD=DB，那么点D在__________上.（3）由（1），（2），你得到什么猜想？要点归纳：DA BOOBAC与线段两个端点距离________的点在这条线段的______________上.2.证一证：已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．典例精析例4：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.针对训练1.三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是__________________________________________.3.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．二、课堂小结PA B线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.证明线段相1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ ACB2.在锐角三角形ABC 内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P 是△ABC ( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点3.已知线段AB ，在平面上找到三个点D 、E 、F ，使DA ＝DB ，EA ＝EB,FA ＝FB ，这样的点的组合共有_________种.4.下列说法：①若点P 、E 是线段AB 的垂直平分线上两点，则EA ＝EB ，PA ＝PB ； ②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA ＝PB ，则点P 必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA ＝EB ，则经过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的有_________（填序号）.5.如图，△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于E,连接BE ，AB+BC=16cm,则△BCE 的周长是_________cm.6.如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的位置关系．拓展提升7.如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O. (1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．当堂检测ABDC第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第2课时线段垂直平分线的有关作图学习目标：1.能用尺规作已知线段的垂直平分线．2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．重点：用尺规作已知线段的垂直平分线．难点：运用尺规作图的方法解决简单的作图问题温故知新1.按如下要求，用尺规作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．2.轴对称图形的性质是_______________________________________.3.线段垂直平分线的性质是_______________________________________.二、要点探究探究点1：线段垂直平分线的画法问题1：如何验证两个图形是轴对称的？不折叠图形，你能准确地作出图形的对称轴吗？图①图②问题2:如何作出线段的垂直平分线?[提示:由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质,只要作出到线段两端点距离相等的两点即可.]已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.作法:思考1:在上述作法中,为什么要以“大于AB的长”为半径作弧?思考2:根据上面作法中的步骤,请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.归纳总结：可以运用线段垂直平分线的尺规作图，确定线段的中点.典例精析例1：如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.例2：如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．方法总结:到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线段的垂直平分线上.课堂探究探究点2：作轴对称图形的对称轴问题：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？方法总结:对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.典例精析如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.方法总结:成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，交点必定在对称轴上.针对训练1.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？2.如图,小河边有两个村庄,要在河岸边建一自来水厂向A村与B村供水,若要使厂部到A,B 的距离相等,则应选在哪里?二、课堂小结ABCA′B′C′线段垂直平分线的有关作图用尺规作图作线段垂直平分线作轴对称图形的对称轴作对称轴的重要方法l1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线第1题图第2题图2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（）A．甲、乙都正确B．甲、乙都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？5.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.当堂检测A BC DCAB。
2022年人教版八年级数学上册第十三章轴对称教案 线段的垂直平分线的性质(第1课时)
第十三章轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解线段垂直平分线的性质和判定．2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用；3.能够利用尺规过直线外一点作该直线的垂线.【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.【情感、态度与价值观】在数学活动中体会获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习的自信心.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用.【教学难点】线段的垂直平分线判定定理的证明.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺等。
学生:三角尺、直尺、剪刀。
六、教学过程（一）导入新课甲乙两位同学在玩一个游戏，甲在点A处，乙在点B处，把宝物放在什么地方对两人是公平的，除线段AB的中点外还有别的地方吗?（出示课件2-3）（二）探索新知1.创设情境，探究线段垂直平分线的性质定理教师问1:在某路段的同侧，有两个工厂A，B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？本问题学生独立思考，但不要求学生能解答问题.观察下边的图形教师问2:如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3……到A与点B的距离，你有什么发现？先让学生量一下并猜想P1A与P1B的数量关系，再量一下并猜想P2A与P2B 及P3A与P3B的数量关系后回答:P1A=P1A，P2A=P2B，P3A=P3B.教师问3:猜想线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有何数量关系？学生回答:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.教师问4:我们如何证明猜想是否正确呢？师生共同讨论如下:（出示课件6）已知:如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上.求证:PA＝PB.师生共同解答如下:（出示课件7）证明:∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又AC =CB，PC =PC，∴△PCA ≌△PCB（SAS）．∴PA =PB．证明完成后，老师用多媒体展示线段垂直平分线的性质应用时的符号语言(即解题时的书写步骤)，并强调学生注意.教师总结如下:（出示课件8）语言表示:线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．几何语言:∵CA =CB，l⊥AB，∴PA =PB．2.探究线段垂直平分线的判定定理教师问5:把线段垂直平分线的性质1反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？学生讨论后回答:点P在线段AB的垂直平分线上.教师问6:如何证明我们的猜想是否正确呢？师生共同讨论后总结如下:（出示课件11）已知线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证:P点在线段AB的垂直平分线上.师生共同解答如下:（出示课件12）证明:过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，∵PA =PB，PC =PC，∴Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴AC =BC．又PC⊥AB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．总结点拨:（出示课件13）用数学符号表示为:∵PA =PB，∴点P 在AB 的垂直平分线上．文字语言:到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．教师问7:你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？学生讨论后回答:到线段AB 两端点的距离相等的点有无数个.教师问8:这些点能组成什么几何图形？学生回答:这些点组成一条直线.总结点拨:（出示课件14）在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A，B 的距离相等的所有点的集合．例1:如图，已知:在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证:AO⊥BC.（出示课件15）师生共同解答如下:证明:∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上.又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC.3.探究线段垂直平分线的作法教师问9:已知直线上一点P，如何过点P作直线的垂线呢？师生共同探究后解答如下:如图，以点P为圆心，合适长为半径，画弧与直线交于两点，分别以这两点为圆心，同样长度为半径，画弧，交于点C，过点C，P做直线即可.教师问10:如果这一点不在直线上，在直线外如何作图呢？师生共同探究后解答如下:（出示课件18）作法:（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.（3）分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.（三）课堂练习（出示课件22-27）1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为( )A．5 cm B．10 cmC．15 cm D．17.5 cm2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定3．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为________cm.4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段__________ 的垂直平分线上．5.如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？6.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证:OE垂直平分CD.7.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．参考答案:1.C2.C3.7.84.AC 解析:∵BC=BD+AD，又∵BC=BD+DC，∴AD=DC.∴点D在线段AC的垂直平分线上.5.答:△ABC 三边垂直平分线的交点上.6.证明:∵E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于D，EC⊥OA于C，∴ED＝EC在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE，∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL）∴OD＝OC.∴O，E都在CD的垂直平分线上.∴OE垂直平分CD.7.解:∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.∵AC＋AD＋DC＝14 cm，∴AC＋AD＋BD＝14 cm. 即AC＋AB＝14 cm.设AB＝x cm，AC＝y cm.根据题意，得142.，+=⎧⎨-=⎩x yx y解得86.，=⎧⎨=⎩xy∴AB长为8 cm，AC长为6 cm.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.性质1:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.用符号语言表示为:∵PC垂直平分AB(CA＝CB，PC⊥AB)，∴PA＝PB.2.性质2:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 用符号语言表示为:∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.3.利用尺规过直线外一点作已知直线的垂直平分线（五）课前预习预习下节课（13.1.2）教材62页到63页的相关内容。
13.1.2 线段的垂直平分线的性质(第一课时)
《13.1.2 线段的垂直平分线的性质》陕西省延安市实验中学朱华【教材依据】本节课程选自九年义务教育人教版数学八年级上册第十三章《轴对称》第一节第二课时《13.1.2线段的垂直平分线的性质》。
主要内容是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理、经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
一、设计思路1.指导思想线段的垂直平分线的性质是在学习了“轴对称的性质”，明确了线段垂直平分线的概念之后，通过学生自己动手测量、猜想，然后利用轴对称图形的对折得到了这个性质，并应用三角形全等的方法作了证明。
对于线段的垂直平分线的性质定理的逆定理，则让学生自己给出证明，这就经历了观察、探究、猜想、证明的完整过程，感受了证明的必要性。
这部分内容是后续学习的基础, 它是在认识了轴对称性的础上进行的，是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。
从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
认知状况来说，学生在此之前已经学习了轴对称图形，对线段的垂直平分线已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于其性质的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应具体生动，深入浅出的为学生讲解清楚。
2.教学目标（1）知识与技能目标：了解线段的垂直平分线的性质，会利用线段的垂直平分线的性质进行简单的推理、判断、计算。
能利用尺规，过直线外一点作已知直线的垂线。
（2）过程与方法目标：自己动手探究发现线段的垂直平分线的性质，培养学生的观察力、实验推理能力。
（3）情感态度与价值观目标：要求学生在操作过程中，体验几何发现的乐趣，在实际操作动手中感受几何应用美，并加深师生交流，培养学生的探究能力，增强他们的合作意识，提高他们的学习兴趣。
第2课时 线段的垂直平分线的性质(一)ppt课件
5. 在联欢晚会上，有A，B，C三名同窗站在一个三角形的 三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放 一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，那么凳子
应放的最适当的位置在△ABCＤ的( )
A． 三边中线的交点 B． 三条角平分线的交点 C． 三边上高的交点 D． 三边中垂线的交点
8． 如图13-1-25，有A，B，C三个居民小区，其位置成三 角形，现决议在三个小区之间建筑一个休闲广场，使广场到 三个小区的间隔相等，那么广场应建在 _三__边__垂_直__平__分__线__的_交__点__处____．
分层练习·B组
9. 知：如图13-1-26，直线AB与直线BC相交于点B，点D是 直线BC上一点. 求作一点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D 两点的间隔相等.
解：如答图13-1-4. 作法如下. ①作BD的垂直平分线MN； ②经点D作DE∥AB，交MN于点E. ∴点E即为所求.
10. 如图13-1-27，AO，OB是相互垂直的墙壁，墙角O处是 一鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正向洞口逃窜， 假设猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快 能截住老鼠的位置C.
①AO＝BO；②PO⊥AB； ③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
典型例题
新知2：线段的垂直平分线的画法以及运用 【例3】某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个文娱工程， 现要在公园内建一个售票中心，使得三个文娱工程所处位置 到售票中心的间隔相等，请在图13-1-19中确定售票中心的 位置．
的度数是( )
线段的垂直平分线的性质(第2课时)
A
B ⑵作直还线可CD以. 折叠、
CD即为用所刻求度的尺直等线.
D
你还有其他的方法作一条线段的垂直平分线吗?
三、解决问题
例2 如图，△ABC和△AˊBˊCˊ是两个成轴对称 的图形，请作出它的对称轴．
三、解决问题
上述提到的都是两个成轴对称的图形， 如果是一个轴对称图形，你怎样作出它的 对称轴?如图所示的正五角星有几条对称轴?
• 线段垂直平分线的性质是解决线段相等问题的一种重要 方法；线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关 系（垂直平分）．
四、应用新知，解决问题
2. 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是 AB上的一点，如果EC=7 cm，那么 ED=_____cm，如果∠ECD＝60°，那么 ∠EDC＝___.
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第2课时
线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的 点与这条线段两个端点的距离相等．分线上的点
与这条线段两个端点的距离相等）
线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点 距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
A
P
B
C
一、提出问题 1．如果我们感觉两个平面图形是成轴对称 的，你准备用什么方法去验证?
2．两个成轴对称的图形，不经过折叠， 你用什么方法作出它的对称轴?
二、学习新知
例1 如图，已知线段AB，用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线.
C
⑴分别以点A、B为圆心，以大
于 1 AB的长为半径作弧，两弧
2
相交于C折、叠D、两用点刻度；尺等
四、应用新知，解决问题
1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的
线段的垂直平分线的性质课件ppt
在平移变换中，垂直平分线上的 点到线段两个端点的距离相等， 且等于平移的距离。
旋转变换中应用
旋转不变性
垂直平分线在旋转变换下保持不变， 即旋转后的图形仍然保持垂直平分线 的性质。
旋转等角性
以垂直平分线上一点为旋转中心，旋 转任意角度后，所得图形与原图形关 于该点对称。
对称变换中应用
对称中心
思路拓展与延伸
拓展1
探究线段垂直平分线与三角形的关系。例如，已知三角形ABC 中，D是AB的中点，DE垂直于AC于点E，求证：DE是AB的垂 直平分线。
拓展2
将线段垂直平分线的性质应用于实际问题中。例如，在建筑 设计或工程测量中，如何利用线段的垂直平分线性质来确定 某点的位置或某线段的长度。
易错点提示与防范策略
THANKS
感谢观看
线段的垂直平分线是对称中心，即关于垂直平分线的对称点连线的中点就是垂 直平分线与线段的交点。
对称轴
线段的垂直平分线也是对称轴，即关于垂直平分线对称的两个图形是全等的。
05
典型例题解析与思路拓展
典型例题解析
例题1
已知线段AB和点C，D分别是AB，BC的中点，求证：CD是AB的垂直平分线。
解析
根据中点的定义，可知AC=CB，BD=DA。因为CD是AB的中线，所以CD垂直于AB。 又因为AC=CB，所以角ACD=角BCD，从而角ADC=角BDC。根据角平分线的性质， 可知CD平分角ADB，所以CD是AB的垂直平分线。
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端的距离相等。
性质2
线段的垂直平分线是其对 称轴，即线段关于垂直平 分线对称。
判定方法
判定定理
一条直线是某线段的垂直 平分线当且仅当该直线过 线段的中点且与该线段垂 直。
部编版初中数学八年级上册《探究线段的垂直平分线的性质》优质课公开课课件、教案
部编版初中数学八年级上册《探究线段的垂直平分线的性质》优质课公开课课件、教案13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第一课时）一、教学内容分析《线段的垂直平分线的性质》选自人教版《义务教育教科书•八年级上册》（2013版）第十三章《轴对称》13.1.2线段的垂直平分线的性质。
在此之前，学生学习了全等三角形，对轴对称图形的性质有所认识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。
二、学生学情分析学生在此之前已经学习了轴对称图形，对线段的垂直平分线已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但处于该阶段的学生语言表达能力较差,特别是几何语言的描述不规范，本节课几何语言理解表达问题较难，因此，教学中要加强推理证明步骤的规范化。
三、教学目标1.知识与技能（1）识记并理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
（2）掌握垂线的尺规作图方法并理解作法的依据及合理性。
2.过程与方法使学生经历证明理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的过程，熟悉证明的步骤。
3.情感态度与价值观通过对定理的探究，培养学生自主学习勇于思考和探究的品质，让学生充分体会到探究的乐趣。
四、教学重难点重点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用。
难点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用，线段的垂直平分线的画法。
五、教学过程设计1.温故知新，导入新课回顾线段的垂直平分线定义概念，探究线段的垂直平分线的性质。
提问：什么是垂直平分线？垂直平分线具有哪些性质？[设计意图]：帮助学生回顾上节课所学的线段的垂直平分线的定义，同时为本节课学习线段的垂直平分线的性质作铺垫。
得出定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
导入新课：如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系。