1.3 第1课时正方形的性质

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数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正方形的基本概念、性质和判定方法，以及它在日常生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对正方形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级上册第一章第三节的正方形的性质和判定。教学内容主要包括以下方面：
1.正方形的定义：通过前一节矩形和菱形的性质，引导学生探究正方形的定义，即四条边相等且四个角都是直角的矩形。
2.正方形的性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角相等，且均为直角；
2.教学难点
-正方形性质的推导：学生需要理解并推导出正方形的各种性质，如对角线相等、垂直、平分等，这需要较强的逻辑推理能力。
-正方形判定的灵活应用：学生需要能够根据不同情况灵活应用判定方法，这对于部分学生来说可能存在难度。
-解决实际问题中的正方形应用：将正方形的性质和计算方法应用于实际问题，如求解正方形边长或面积，需要学生具备一定的数学建模能力。
（3）对角线互相垂直、平分且相等；

1.3正方形的性质与判定第1课时教案

-正方形的判定方法：如何判定一个四边形是正方形，包括边长相等且角为直角、对角线互相垂直平分且相等两种方法。
举例：通过对比矩形和正方形的性质，强调正方形的特殊性，如正方形的对角线相等，而矩形的对角线不一定相等。
2.教学难点
-理解正方形对角线性质的应用：学生往往难以理解正方形对角线互相垂直平分且相等这一性质的应用，如证明正方形对角线相等时，需要运用到垂直平分线的性质。
（2）正方形的判定：四边相等且四个角为直角的四边形是正方形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
本节课旨在让学生掌握正方形的性质与判定方法，并能运用所学知识解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.理解与运用：通过学习正方形的定义和性质，使学生能够理解正方形的特点，并运用这些性质解决实际问题，培养几何直观和空间想象能力。
最后，在总结回顾环节，学生对本节课的知识点有了较好的掌握，但仍有个别学生存在疑问。为了确保每位学生都能跟上教学进度，我决定在课后对这部分学生进行个别辅导，帮助他们解决困惑。
2.思维与发展：在教学过程中，引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现正方形的性质与判定方法，提高逻辑推理和抽象思维能力。
3.合作与交流：鼓励学生在小组合作中分享观点、讨论问题，培养团队协作能力和交流表达能力，增强几何图形的审美观念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形的定义及其性质：正方形作为特殊的矩形，其定义和性质是本节课的核心内容。重点包括四边相等、四角为直角、对边平行且相等、对角线互相垂直平分且相等等性质。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正方形的基本概念。正方形是一种四边相等且四个角均为直角的四边形。它在建筑、设计等领域具有广泛的应用。

正方形的性质与判定教师版

1.3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质知识点梳理：1．有一组邻边__相等__，并且有一个角是__直角__的平行四边形叫做正方形．2．正方形的四个角都是__直角__，四条边__相等__，对角线__相等__且__互相垂直平分__．知识点解析：知识点一：正方形的定义1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是( D) A．平行四边形B．矩形C．菱形 D．正方形2．如图，∠ACB＝90°CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那四边形DECF是__正方形．知识点二：正方形的性质3．正方形的对称轴的条数为( D)A．1 B．2 C．3 D．44．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( B)A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( C) A．45° B．55° C．60° D．75°6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝( B)A. 2 B．2 2 C．2 D．17．(2014·苏州)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，则正方形ABCD的周长是__4__．8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则图中共有__8__个等腰直角三角形．9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__22.5°__．10．(易错题)如图，已知正方形纸片ABCD，点M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ＝__30°__．11．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.．(1)求证：BF＝DF；(2)连接CF，请直接写出BE∶CF＝2解：(1)∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°，∵BE＝AB－AE，DG＝AD－AG，∴BE＝DG，∴△BEF≌△DGF，∴BF＝DF12．(2014·安徽)如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若直线l满足：①点D到直线l的距离为3；②A，C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为( B) A．1 B．2 C．3 D．413．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为__8__cm2.14．(2014·资阳)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．15．(2014·鄂州)在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.解：证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD ＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，即∠BCH＝∠DCE，∴△BCH≌△DCE，∴BH＝DE(2)由(1)得，∠CBH＝∠CDE，∴∠DMB＝∠BCD＝90°，∴BH⊥DE16．(教材例4改编)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)四边形ADCE为__矩形__；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．解：(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，.理由：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形，∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形17．将正方形(图①)作如下操作：第1次：分别连接各边中点(如图②)，得到5个正方形；第2次：将图②左上角正方形按上述方法再分割(如图③)，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是( B)A．502 B．503 C．504 D．50518．如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E，F移动过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．解：(1)∠EAF的大小不变，理由如下：在正方形ABCD中，∵AH⊥EF，∴∠AHF＝∠D＝90°.∵AF＝AF，AH＝AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)．∴∠HAF＝∠DAF.同理∠HAE＝∠BAE.∵∠HAF＋∠DAF＋∠HAE＋∠BAE＝90°，∴∠EAF＝∠HAF＋∠HAE＝45°.∴∠EAF的大小不会发生变化(2)△ECF的周长不会发生变化，理由如下：由(1)知：Rt△AHF≌Rt△ADF，Rt△AHE≌Rt△ABE，∴FH ＝FD，EH＝EB.∴EF＝EH＋FH＝EB＋FD.∴CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EB＋FD＝BC＋CD.∴△ECF的周长总等于正方形ABCD边长的2倍，不会发生变化第2课时正方形的判定知识点梳理：1．对角线__相等__的菱形是正方形．2．对角线__垂直__的矩形是正方形．3．有一个角是__直角__的菱形是正方形．知识点解析：知识点：正方形的判定1．下列说法不正确的是( C)A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．一组邻边相等的矩形是正方形2．对角线相等且互相垂直平分的四边形是( D)A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形3．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( C) A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC4．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( D)A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF第4题图第5题图第8题图5．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( A)A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形6．如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它一定是__正方形__．7．(易错题)当四边形的两条对角线满足条件__垂直且相等__时，顺次连接它的各边中点可以得到一个正方形．8．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为__45°__．9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是BC边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且BF＝CE，求证：四边形AFDE是正方形．解：证明：∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD＝∠CED＝90°，又点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵BF＝CE，∴△BFD≌△CED(HL)．∴DF＝DE，∵∠A＝∠AFD＝∠AED＝90°，∴四边形AFDE为矩形，∵DF＝DE，∴矩形AFDE是正方形巩固练习:10．(2014·株州)已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( B)A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，EF，要使四边形DECF是正方形，只需增加一个条件为__AC＝BC__．12．小明想检查一个四边形的框架是不是正方形，但手头仅有一把卷尺．你能帮他设计一个检查方案吗？说说你的做法和理由．解：方法：测量四边形的框架的四边长及四边形的框架的对角线长；理由：若四边形的框架满足四边长相等，则是菱形，若再满足对角线相等，则是正方形，否则不是13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是正方形．解：证明：由四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，可知OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴四边形ABCD为矩形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．解：(1)证明：∵AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC，即DE垂直平分线段AC，∴∠FAC ＝∠ACB.在Rt△ACB中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE.又∠AEG ＝∠CEF，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，又∵AB＝AC，∴AF ⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形15．(2014·随州)已知：如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)填空：当AB∶AD＝__1∶2__时，四边形MENF是正方形，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，又∵点M为AD的中点，∴AM ＝DM ，在△ABM 和△DCM 中，⎩⎨⎧AM ＝DM ，∠A ＝∠D ，AB ＝DC ，∴△ABM ≌△DCM (SAS )(2)当AB ∶AD ＝1∶2时，四边形MENF 是正方形，理由是：∵AB ∶AD ＝1∶2，AM ＝DM ，AB ＝CD ，∴AB ＝AM ＝DM ＝DC ，∵∠A ＝∠D ＝90°，∴∠ABM ＝∠AMB ＝∠DMC ＝∠DCM ＝45°，∴∠MBC ＝∠MCB ＝45°，∴BM ＝CM ，∠BMC ＝90°，∵点N ，E ，F 分别是BC ，BM ，CM 的中点，∴BE ＝CF ＝ME ＝MF ，NF ∥BM ，NE ∥CM ，∴四边形MENF 是平行四边形，∵ME ＝MF ，∠BMC ＝90°，∴四边形MENF 是正方形，即当AB ∶AD ＝1∶2时，四边形MENF 是正方形。

北师大版数学九年级上册1.3正方形的性质与判定(第一课时)教学设计

在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，教师应注重启发式教学，引导学生主动探究、积极思考，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的几何图形认知基础和逻辑思维能力。在本章节学习正方形的性质与判定前，学生已经掌握了矩形、菱形的基本性质和判定方法，这为学习正方形打下了良好的基础。然而，正方形作为一种特殊的矩形和菱形，其性质和判定方法具有一定的特殊性，学生在理解上可能存在一定难度。此外，学生在解决实际问题时，可能会遇到将理论知识与实际情境相结合的挑战。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
1.充分调动学生的已有知识经验，引导他们发现正方形与矩形、菱形的联系与区别，降低学习难度。
2.注重培养学生的空间想象力，通过实际操作、观察和思考，提高学生对正方形性质的理解。
3.针对学生个体差异，给予个性化指导，使每位学生都能在原有基础上得到提高。
4.创设丰富的教学情境，激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极思考、主动探究，提高解决问题的能力。
注意事项：
1.作业量适中，难度由浅入深，以培养学生的自信心和挑战意识。
2.鼓励学生独立完成作业，培养其自主学习能力。
3.注重作业反馈，及时发现并纠正学生的错误，提高学生的学习效果。
4.针对不同学生的个体差异，适当调整作业难度和类型，使每位学生都能在作业中收获成长。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：正方形的定义、性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
2.难点：正方形性质的理解与运用，特别是正方形与矩形、菱形性质的异同；正方形判定方法的灵活运用。
（二）教学设想

1.3正方形的性质与判定(1)

A
O
D
B
C
例2、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠E， ∠AFC的
度数. A D F B 练习：1、如图，正方形ABCD中，BE=BD，求∠E A E
C D
B
C
E
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
性质分类图形
平行四边形
对边平行且相等对角相等对角线互相平分
）
×
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（
（6）正方形一定是矩形．（√ ）（7）正方形一定是菱形．（√ ）（8）菱形一定是正方形．（）（9）矩形一定是正方形．（） (10) 正方形、矩形、菱形都是平行四边形．（√ ）
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（矩形）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（矩形）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（矩形）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（正方形）
1.一个菱形的两条对角线的长分别为 4cm和8cm，求它的边长。 2.如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？ 3.一个菱形的周长是200cm，一条对角线长 60cm,求： 1）另一条对角线的长度； 2）菱形的面积.
根据图形所具有的性质,在下表中相应的空格里打“ √ ”
图形性质对边平行且相等四边相等四个角都是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直每条对角线平分一组对角平行四边形矩形菱形正方形
√
√

1.3正方形性质与判定

1.3正方形的性质与判定学习目标1．理解正方形的概念和对称性，探索并证明正方形的性质和判定定理．2．通过探索和证明定理的活动，掌握一些基本的数学思想，如转化、类比、分类等思想．重点难点重点探索并证明正方形的性质定理和判定定理．难点学会并积累一些分析问题的思路和解题的方法．课堂导入我们已经知道形平行四边形是特殊的四边形，那特殊的平行四边形是什么图形呢？对了，是矩形和菱形．那你知道特殊的矩形与菱形是什么图形呢？就是这节课我们要学习的正方形·正方形是特殊的矩形和菱形，也是特殊的平行四边形和四边形，它还有没有其他的性质呢？它的判定定理又都是哪些呢?这节课。

我们将揭示一下答案．预习导学。

基础梳理1．正方形的四条边——，四个角——．2．正方形既是——，又是——，它既有——的性质，又有——的性质．3．有一个角是直角的——是正方形．4．有一组邻边相等的——是正方形．答案1．都相等都是直角2．菱形矩形菱形矩形3．菱形4．矩形预习思考1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A.四个角相等B．对角线互相垂直平分C．对角互补D．对角线相等2．正方形具有而菱形不一定具有的性质 ( )A四条边相等B对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．对角线相等3．下列命题正确的是 ( )A四个角都相等的四边形是正方形B四条边都相等的四边形是正方形C．对角线相等的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直的矩形是正方形答案1．8 2．D 3．D探究点1正方形的性质知识讲解—正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．典例剖析【例l】如图，正方形ABCD中，对角线的交点为0，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．解析要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DF0，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=D0，再由同角或等角的余角相等可以得到么∠EA0=∠FD0，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．【类题突破1】如图(1)，在正方形ABCD的BC、CD边上取E 、F 两点，使么∠EAF=45°，AG ⊥EF 于G ．求证：AG=AB(1) (2)答案把△AFD 绕A 点旋转90°至△AHB(或延长EB 至 H 使BH=DF)．如图(2)．∵∠EAF=45°．∴∠l+∠2=45°． ∵∠2=∠3，∴∠1+∠3=45°．又由旋转所得AH=AF ，AE=AE ． ∴△A EF ≌△AEH(SAS)，∴AG=AB ．探究点2正方形的判定你会设计吗?今有一片正方形土地，要在其上修筑两条垂直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．知识讲解正方形的判定(1)根据正方形的定义；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形； (3)有一个角是直角的菱形是正方形；(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．典例剖析【例2】已知：如图，四边形ABCD 是正方形，分别过点A ，C 两点作l l ∥l 2，作BM ⊥l 1。

1.3正方形的性质与判定

E
F
3. 四边形 EFGH 的形状有什 A 么特征？
H D G
C
第三环节猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？原四边形可以是：
平行四边形
矩形

菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
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选择△FAD≌△FAB证明，过程如下：
∵正方形ABCD, ∴AD=AB,∠DAF=∠BAF, 又∵AF=AF ∴△FAD≌△FAB.
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课堂小结
1：正方形的性质：包括边、角、对角线以及对称性. 2：将平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系. 3：建立起适合自己的知识结构并内化为自己数学品质的一部分.
山东星火国际传媒集团
合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议：（1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形
的性质.
矩形边性质菱形边角对角线性质
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
正方形的中点四边形是正方形
第三环节猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
第三环节猜想结论，分组验证
归纳：特殊四边形的中点四边形：

《1.3 正方形的性质与判定(一)》课件

D C
例2、如图，正方形ABCD中，
正方形的面积为64平方厘米，则正方形对角线AC= 8√2 cm 。
∵在正方形ABCD中， 1 2 AC×BD=64， AC=BD
A
O D
B
∴AC×AC=128
AC=8√2cm
C
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形正方形
矩形
菱形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
性
边图形语言
A D A ∟
角
∟D A
质对角线
D O ∟
对称性
B
对边平行，四条边都
C B
C
B
C
文字语言
符号语言
相等
四个角都是直角
∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠A=∠B=∠C =∠D=90°
j
F
解： ∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角。
1 1 ACB BCD 900 450 2 2
B
C
∵CE=AC ∴∠E=∠CAE E ∵∠ACB是⊿ACE的一个外角 ∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E 1 1 E ACB 450 22.50 2 2 ∵∠AFC是⊿CEF的一个外角 ∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5° ∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°

1.3.1正方形的性质与判定

延伸：已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
△CMD≌△ADF
试一试
因为对角线AC所在的直
线是正方形ABCD的对
E
称轴，而点E在对称轴 A
B
上，点B为点D关于AC
的对称点，
所以 BE=DE
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
请你当设计师
通过这节课的学习，你有什么收获？
P22习题1.7第2，3题
边: 对边平行四边相等
角：四个角都是直角
对角线：相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角。
图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.
判断题:
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
×
× ×
等腰直角三角形（ √ ）
（2）正方形一定是矩形．（√ ）（3）正方形一定是菱形．（√ ）
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
试一试
1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为 7.5 cm。
A
D
EG
B FC
A
D
2.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相

1.3第1课时正方形的性质-北师大版九年级数学上册习题课件

(2)如图 2，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM.理由：在图 2 中，延长 EM 交 DA
2．正方的形是延轴对长称图线形，于它的对H称.轴∵有(四边) 形 ABCD 是正方形，四边形 EFGC 是正方形，∴∠ADE＝∠
10．【易错题】已知正方形ABCD中，点E为直线BC上一点，若AE＝2BE，则∠DAE＝__________度．
1．正方形具有而矩形不具有的性质是( )
11．如图，正方形OABC的边OA和OC都在坐标轴上，将正方形OABC绕点O旋转到OA′B′C′，这时点A′的坐标为(2,3)，则点B′的坐标为__________.
∴∠FAE＋∠AED＝90°，注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
知识点1 正方形的定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
第一章特殊平行四边形
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数学·九年级（上）·配北师
知识点2 正方形的性质 (1)定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等． (2) 定理 2 ：正方形的对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． (3)对称性：正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴．
90°，∴∠DAF＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝ AE2＋AF2＝ 2AE＝5 2.
第一章特殊平行四边形
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1.3.正方形的性质与判定(1)

1.3正方形的性质与判定(1)正方形的性质一、学习目标1．在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算．2．进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系二、新课引入对称性边角对角线平行四边形菱形矩形菱形: 的平行四边形是菱形矩形: 的平行四边形是矩形3.有没有一种四边形既是菱形又是矩形呢?三、探究新知(一）正方形的定义探究一:矩形怎样变化后就成了正方形呢?结论: 的矩形叫做正方形.几何语言:探究二:菱形怎样变化后就成了正方形呢?结论: 的菱形叫做正方形.几何语言:探究小结什么样的平行四边形是正方形?正方形定义:的平行四边形叫做正方形.几何语言:（二）正方形的性质探究:正方形有什么性质?由正方形的定义可以得知,正方形既是有相等的矩形,又是有的菱形. 所以,正方形具有的性质,同时又具有的性质.正方形的性质对称性正方形既是______图形，又是______图形，正方形有______对称轴．边四条边几何语言：角四个角都是________．几何语言：对角线两条对角线互相_____且_______，并且每一条对角线平分________．几何语言：面积：即时练习：1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O（1）图中是等腰三角形有（2）若OA=2，求BD、AB的长3.如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。

找出图中的全等三角形，选择其中一对进行证明。

四、例题讲解例如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．五、课堂小结1.正方形的定义的平行四边形叫做正方形．2.正方形的性质：边：________都相等且________．角：四个角都是________．对角线：两条对角线互相________且________，并且每一条对角线平分________．对称性:正方形既是________图形，又是________图形，正方形有________对称轴．面积:正方形的面积等于等于3.平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系六、检测反馈评价1.正方形面积为36，则对角线的长为。

1.3.1正方形的性质与判定(正方形的性质)

1.3.1正方形的性质与判定
正方形的性质初三数学组备课时间：2014.9.10
学习目标（1分钟）
1．理解正方形的有关概念及与平行四边形的联系。 2．掌握正方形的性质定理，并会用性质定理进行计算或证明。
自学指导1：（3分钟）
1、定义：有一组邻边相等平行四边形叫正方形。 2、正方形的性质： ⑴正方形的四条边相等。 ⑵正方形的四个角都是直角。；并且 ⑶正方形的对角线相等且互相垂直平分每条对角线平分一组对角。且有一个内角是直角的
自学指导2（6分钟）
自学课本P21例1，然后完成下面的练习把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG,边FG与BC交于点H,请判断HG与HB之间的关系。 C 解：HG=HB,理由如下： D
连接AH ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD ∠B=∠D=900 ∵正方形AEFG是正方形ABCD旋转得到 A G H B F
自学课本P20的内容，回答下列问题：
(4)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
自学检测1（2分钟）
1、正方形具有而菱形不具有的性质是（ C ） A、对角线互相垂直分 C、对角线相等角 B、对角线互相平 D、对角线平分一组对
2、下列结论：⑴正方形具有平行四边形的一切性质；⑵正方形具有矩形的一切性质；⑶正 C 方形具有菱形的一切性质；⑷正方形共有四条对称轴；其中正确的结论有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.0个
∴ AG=AB ∠B=∠G=900
又∵ AH=AH ∴ Rt△AGH ≌Rt△ABH(HL) ∴ HG=HB
注意：用HL证明直角三角形全等时，必须写Rt！
E
自学检测（6分钟）

1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册

答图
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
答图
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ；（1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方向旋转90°，得到△ ABF '，则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
答图
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答图
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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第1课时正方形的性质第1课时正方形的性质教案北师大版九年级上册数学第1课时正方形的性质第1课

1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质教学目标1、熟练掌握正方形的定义及边、角、对角线的性质。

2、知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

3、应用正方形的性质进行相关计算、证明。

一、课前准备：温故：1、矩形的性质是什么？2、菱形的性质是什么？二、初步探究1、同学们观察下列一组图片、你发现了那些几何图形：2、动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察，回答下列问题.问：它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？有什么数量关系？3、图中有哪些相等的线段？③图中有哪些相等的角？（组内交流、互相指出来）4、正方形性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形具的性质，同时又具有的性质．总结：正方形的性质：正方形边的性质：正方形角的性质：正方形对角线的性质：结论：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形.所以它具有这些图形的所有性质.正方形是轴对称图形，有四条对称轴.四条边相等、四个角是直角、对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.三、对应练习1）正方形的边长为4cm，则周长为（），面积为（），对角线长为（）；2））正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC=4 cm,则正方形的边长为（），周长为（），面积为（）3）在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，OA= ,AC= 。

4）1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A、四个角相等B、对角线互相垂直平分C、对角互补D、对角线相等.5）、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等B对角线互相垂直平分C对角线平分一组对角D对角线相等.6）、正方形对角线长6，则它的面积为_________ ,周长为________．7）、顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（）A．1/2 B．1/3 C．1/4 D．1/ 5四：范例讲解：1、（课本P21例1）学生自己阅读课本内容、注意证明过程的书写2、如图，分别以△ABC的边AB,AC为一边向外画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE,BG.求证：BG=CE五：小结六：课时作业。

1.3：节正方形的性质与判定(教案)

最后，通过这次教学，我意识到教学反思的重要性。在今后的工作中，我会继续关注学生的学习情况，及时调整教学方法，提高教学质量。同时，我也将不断学习，充实自己的专业知识，以更好地指导学生。
-在讲解正方形判定方法时，教师应通过多个实例，让学生对比分析不同四边形的特点，从而明确判定条件。例如，通过比较正方形、矩形和菱形，让学生理解为什么只有正方形具备对角线互相垂直、平分且相等的性质。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“1.3：正方形的性质与判定”。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过哪些物体的形状是正方形？”（举例说明，如桌面、瓷砖等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正方形的性质与判定的奥秘。
1.3：节正方形的性质与判定（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第五章《四边形》的1.3节：“正方形的性质与判定”。教学内容主要包括以下两部分：
1.正方形的性质：通过观察和推理，引导学生发现正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行且相等，对角线互相垂直、平分且相等的特点。
2.正方形的判定：探讨如何根据图形的已知信息判断一个四边形是否为正方形。包括以下几种情况：（1）四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形；（2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（3）一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。
4.培养学生的团队协作意识：在小组讨论和分享环节，鼓励学生积极参与，学会倾听他人意见，提高团队协作能力。
5.激发学生的几何探究兴趣：通过设置有趣的几何问题，引导学生主动探究正方形的性质和判定方法，培养学生对几何学科的兴趣。
三、教学难点与重点