数学建模---非线性规划模型
数学建模各类方法归纳总结
数学建模各类方法归纳总结数学建模是一门应用数学领域的重要学科，它旨在通过数学模型对现实世界中的问题进行分析和解决。
随着科技的不断发展和应用需求的增加，数学建模的方法也日趋多样化和丰富化。
本文将对数学建模的各类方法进行归纳总结，以期帮助读者更好地了解和应用数学建模。
一、经典方法1. 贝叶斯统计模型贝叶斯统计模型是一种基于概率和统计的建模方法。
它通过利用先验知识和已知数据来确定未知数据的后验概率分布，从而进行推理和预测。
贝叶斯统计模型在金融、医药、环境等领域具有广泛应用。
2. 数理统计模型数理统计模型是基于概率统计理论和方法的建模方法。
它通过收集和分析样本数据，构建统计模型，并通过参数估计和假设检验等方法对数据进行推断和预测。
数理统计模型在市场预测、风险评估等领域有着重要的应用。
3. 线性规划模型线性规划模型是一种优化建模方法，它通过线性目标函数和线性约束条件来描述和解决问题。
线性规划模型在供应链管理、运输优化等领域被广泛应用，能够有效地提高资源利用效率和降低成本。
4. 非线性规划模型非线性规划模型是一种对目标函数或约束条件存在非线性关系的问题进行建模和求解的方法。
非线性规划模型在经济学、物理学等领域有着广泛的应用，它能够刻画更为复杂的现实问题。
二、进阶方法1. 神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元系统进行信息处理的模型。
它通过构建多层神经元之间的连接关系，利用反向传播算法进行训练和学习，实现对复杂数据的建模和预测。
神经网络模型在图像识别、自然语言处理等领域取得了显著的成果。
2. 遗传算法模型遗传算法模型是一种模拟自然界生物进化过程的优化方法。
它通过模拟遗传、交叉和突变等过程，逐步搜索和优化问题的最优解。
遗传算法模型在组合优化、机器学习等领域具有广泛的应用。
3. 蒙特卡洛模拟模型蒙特卡洛模拟模型是一种基于随机模拟和概率统计的建模方法。
它通过生成大量的随机样本，通过对样本进行抽样和分析，模拟系统的运行和行为，从而对问题进行求解和评估。
非线性规划和多目标规划模型数学建模
进一步考虑到角度的周期性，不碰撞的约束条件可写成：
ij i'jij 2ij
第5讲 非线性规划和多目标模型
最终，原非线性规划问题转化为
6
min i
iji'j 1 2 ( i ij) i2 6 1 , i ij,1i, 2,j,i,j , 61 ,2 , ,6
,
vsinyi0i'
,if
i'
3
2
,tani'
yi0 xi0
or 3
2
i'
2, tani'
yi0 Dxi0
（2）计算任意飞机在t时刻两者的距离：
d ij(i i,j j,t)2 (x i0 v tc o s (i i) x 0 j v tc o s (j j))2 (y i0 v ts in (i i) y 0 j v ts in (j j))2
s . t .
6
m in i i 1
d i j(i i,j j,t ) 8i j
i
6
目标函数也可以定义为
minmax 1i6
i
第5讲 非线性规划和多目标模型
我们来简单看一下其复杂程度
（1）区域内飞行时间：假设飞行角度为θi ’= θi + Δ θi
vDcosxi0i'
,if
0 i'
2
,
最优解 迭代法是主要求解方法: 通常从一个初始解出发，在可
行域中沿着使得目标函数降低的方向前进到下一个解。 一般求解方法：罚函数法，拉格朗日乘子法，近似规划
法等,或者采用智能算法，如：遗传算法，模拟退火算 法，蚁群算法等。
数学建模-非线性规划
-32-第三章 非线性规划§1 非线性规划1.1 非线性规划的实例与定义如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。
而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。
例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。
已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i L =个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。
试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为 ⎩⎨⎧=个项目决定不投资第，个项目决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1L =，则投资总额为∑=ni ii xa 1，投资总收益为∑=ni ii xb 1。
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件 ∑=≤<ni ii A xa 1另外，由于),,1(n i x i L =只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i L ==−最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。
因此，其数学模型为：∑∑===ni ii ni ii xa xb Q 11maxs.t. ∑=≤<ni ii A xa 1.,,1,0)1(n i x x i i L ==−上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。
可概括为一般形式)(min x fq j x h j ,,1,0)(s.t.L =≤ (NP) p i x g i ,,1,0)(L ==-33-其中T n x x x ][1L =称为模型（NP）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i L =和),,1(q j h j L =称为约束函数。
数模建模 全部内容讲解 线性非线性
模型假设：
1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触 、椅子四条腿一样长， 处可视为一个点， 四脚的连线呈正方形。 处可视为一个点 ， 四脚的连线呈正方形 。 2、地面高度是连续变化的，沿任何方向 、地面高度是连续变化的， 都不会出现间断（ 都不会出现间断 （ 没有象台阶那样的情 即地面可视为数学上的连续曲面。 况 ） ， 即地面可视为数学上的连续曲面 。 3、对于椅脚的间距和椅腿的长度而言， 、 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言， 地面是相对平坦的， 地面是相对平坦的 ， 使椅子在任何位置 至少有三只脚同时着地。 至少有三只脚同时着地。
引 言
本章主要讨论建立数学模型的意义、 本章主要讨论建立数学模型的意义、 方法和步骤， 方法和步骤，给读者以建立数学模型 初步的了解。 初步的了解。
一、从现实对象到数学模型
原型和模型 原型（ 原型 （ Prototype） 指人们在现实世界里关 ） 研究或者从事生产、管理的实际对象。 心、研究或者从事生产、管理的实际对象。 模型（ 模型（Model）指为了某个特定目的将原型 ） 的某一部分信息简缩、 的某一部分信息简缩、提练而构造的原型替 代物。 代物。 注意：为了某种目的构造模型， 注意：为了某种目的构造模型，模型不是原 型原封不动的复制品， 型原封不动的复制品，原型有各个方面和各 种层次的特征， 种层次的特征，而模型只要求反映与某种目 的有关的那些方面和层次。 的有关的那些方面和层次。
数学国际会议， 年起， 数学国际会议，1983年起，会议录由 年起 Harwood出版 出版 竞赛
国外数学建模情况
2、科研 、
会议 1977数学和计算机建模国际会议 数学和计算机建模国际会议 期刊
《Mathematical and computer Modeling》年刊 》 《Applied Mathematical Modeling》 》 SIAM Review、SIAM News 、 《J. of Mathematical Modeling for Teacher》 》
数学建模 非线性规划
T
X
,
M
T
(
X
k
,
M
k
)
；
3、若存在 i 1 i m ，使 gi X k ，则取Mk>M(Mk1 M, 10)
令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 X * X k .
m
计算时也可将收敛性判别准则 gi X k 改为 M min0, gi X 2 0 .
返回(3）．
9
内点法的特点：
1．初始点必须为严格内点 2．不适于具有等式约束的数学模型 3．迭代过程中各个点均为可行设计方案 4．一般收敛较慢 5．初始罚因子要选择得当 6．罚因子为递减，递减率c有0<c<1 外点法的特点：
1．初始点可以任选，但应使各函数有定义 2．对等式约束和不等式约束均可适用 3．仅最优解为可行设计方案 4．一般收敛较快 5．初始罚因子要选择得当 6．罚因子为递增，递增率c’有c’>1
小点的向量关于向量与由这一点指向极即等值面上一点处的切函数梯度即为曲面法方处的法向量为该等值面在点21共轭方向法对于极小化问题法为共轭方向法是正定矩阵称下述算其中共轭方向取定一组确定点依次按照下式由任取初始点满足直到某个至多经过求解上述极小化问题可知利用共轭方向法由定理共轭梯度法如何选取一组共轭方向
2
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( En )称为可行解（或可行
点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
D X | gi X 0,hj X 0,X En
问题(1)可简记为 min f X ． X D
定义2 对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
数学建模第四部分-非线性规划
约束条件
产量、库存 与需求平衡 条件不变
能 力 限 制
x1 30 x2 40 x3 45 x4 20
x1 15w1 30 x2 15w2 40 5w1
x3 15w3 45 5w2 5w1
x4 15w4 20 5w1 5w2 5w3
非负限制
x3 y2 y3 35
x4 y3 25
x1 , x2 , x3 , x4 , y1 , y2 , y3 0
第四部分 非线性规划
模型求解
LINDO求解
最优解： x1~ x4：15，40，25，20； y1~ y3： 0，15，5 .
周次 1 2 3 4 需求 15 25 35 25 产量 15 40 25 20 库存 0 15 5 0 能力 30 40 45 20 成本 5.0 5.1 5.4 5.5
库存1000吨 B x22
x21
x11 x12
Hale Waihona Puke 第四部分 非线性规划约束 条件
汽油含原油A 的比例限制
A B
x11 0.5 x11 x21 x11 x21
x12 0.6 2 x12 3x22 x12 x22
x21 x22
x11 x12
甲(A50%) 乙(A60%)
0
500
1000
1500
z1 y1 , z2 y1 y2 , z3 y2 y3 , z4 y3 z1 z2 z3 z4 1, zk 0 (k 1,2,3,4) IP模型，LINDO求 解，得到的结果与 y1 y2 y3 1, y1 , y2 , y3 0 或 1
4周生产计划的总费用为528 (千元)
非线性规划数学建模
投资组合X=(x1,x2,…,xn)的风险为:
Q(X )
1 T
T
[Rk ( X )
k 1
R( X )]2
1 T
T
[
k 1
8 j 1
x j rjk
1 TT k 1源自8 j 1x j rjk ]2
1 T 8
2
T
k 1
xj
j 1
rjk rj
组合投资
引例
双目标: 最大化利润,最小化风险
2.函数fmincon的具体用法
约束非线性规划情形 调用格式: [x,fval]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@con) 标准模型:
Min f(X) s.t. G1(X) ≤0, G2(X)=0 (非线性约束)
AX ≤b, Aeq.X=beq, (线性约束) lb ≤X ≤ub
G=(x(1)-1)^2 - x(2); 问题的分析:设投资的期限是一年，不妨设投资总数为1个单位，用于第i项投资的资金比例为xi , X=(x1,x2,…,xn)称为投资组合向量.
(9x919–71; )f投2va-l x=资21.≤0总额为ai万元，收益总额为ci万元。
每个投资项目的收益率可以看成一个随机变量,其均值可以用样本均值(历史均值)来近似. A=[ones(1,6),zeros(1,6);zeros(1,6),ones(1,6)]; b=[20;20];
半无限极小化
linprog
线性规划
quadprog
二次规划
MATLAB软件求解
1.函数fminunc、 fminsearch的具体用法
无约束非线性规划情形 标准形式 : Min F(X) MATLAB求解步骤 ① 首先建立一个函数M文件，如fun.m ② 调用格式： ③ [X, fval] = fminunc(‘fun’, X0, options) 或 [X, fval] = fminsearch(‘fun’, X0, options)
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某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆 一般来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少， 并对此进行了估算，见表1。为了尽快收回资金并 获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告投入一定 的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因 子来表示。根据经验，广告费与销售增长因子关系见 表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销 战略预期的利润最大？
其次用MATLAB求解优化模型，因MATLAB中仅 能求极小值，为此将优化模型转化为
min( P) z (c dz ez 2 )(a bx)( x 2) s.t x 0, z 0
且x=5.9113，z=33113，函数P达到最大值16670。
第三节 多目标规划模型 在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇 到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的 最优问题 一、引例 例2.9 投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿 元的资金可用于投资，并有m个项目可供选择。如果 对第 i 个项目投资的话，需用资金 a i亿元，并可获得 收益ci亿元，试确定最佳投资方案。 解 所谓最佳投资方案系指：投资最少；收益最大。 若令目标函数为求：投资最少：收益最大.
干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一 个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为pi，并且 当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算 （不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款 利率是r0，且既无交易费又无风险（r0=5%）。 （1）已知n=4时的相关数据如下：
Si S1 S2 S3 S4 ri（%） 28 21 23 25 qi（%） 2.5 1.5 5.5 2.6 pi（%）
二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为
min f1 x , f 2 x ,
, f p x
T
gi x 0, i 1, 2,....., m s.t. h j x 0, j 1, 2,....., l
我们称它为多目标规划问题的数学模型。 当时所有目标函数都求最大值，只须注意，求一个函 数的最大值可以转化为求这个函数的负函数的最小值， 便知这时的数学模型可以转化为
第三节 非线性规划模型
在数学规划问题中，当目标函数或约束 函数中至少有一个是非线性函数时称这类问 题为非线性规划。 一、非线性规划的一般（标准）形式 n f , g i 1, , m , h j 1, , l R i j 设 均为 上 的实值函数
min NLP s.t. f x gi x 0, i 1, h j x 0, j 1, ,m ,l
P 收入 支出 销售收入 成本 广告费 sx 2 s z kxy 2ky z ky ( x 2) z ( c dz ez )(a bx)( x 2) z
2
我们期望利润P达到最大，即
2 P (c dz ez )(a bx)( x 2) z max x. z s.t x 0, z 0
min f1 x , f 2 x , , f p x
xR
T
投资的收益和风险
这是1998年全国大学生数学建模竞赛的A题，
问题如下：市场上有n种资产（股票、债券、…） Si（i=1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为 M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。 公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估 算出在这一时期内购买Si有平均收益率为ri，并预 测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散 总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若
由于目标函数不是线性函数，因此这一问题的数学 模型为有约束条件的非线性规划模型。在日常生活 中非线性规划问题要比线性规划问题普遍。 模型求解 首先利用Mathematica计算（1）（2）中的参数a， b，c，d，e，并画出散点图和拟合曲线。
图-3
图-4
即：
a 50422 .2, b 5133 .33 c 1.01875 , d 4.09226 105 , e 4.25595 1010
表1
售价（元） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 41000 38000 34000 32000 29000 28000 25000 22000 20000
表2
预期销售量（桶）
广告费（元） 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
销售增长因子 1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80
符号说明及问题的分析
图1
图2
从图1和图2易见，售价x与预期销售量y近似于 一条直线，广告费 z 与销售增长因子k近似于一条 二次曲线。为此可令： y=a+bx k=c+dz+ez2 系数a，b，c，d，e是特定参数。 模型的建立 投入广告费后，实际销售量s等于预期销售量y乘 以销售增长因子k，即s=ky。所获得的利润。
若令
目标函数为求； m 投资最少： min f1 ai xi
i 1
1，对Ai投资 xi i 1, 2, 0，对Ai不投资
,m
收益最大：
约束函数为：
min f 2 ci xi
i 1
m
a x B,
i 1 i i
m
i 1, 2,...., m
试给该公司设计一种投资组合方案即用给定的资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净 收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 （2）试就一般情况对以上问题进行讨论，利用 以下数据进行计算。