二次根式培优专题(一)

二次根式培优专题 （一）

一、基础知识回顾

1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1

）2a =（a ≥0）； （2）

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

0,0)a b =≥≥0,0)a b =>≥ （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

二、精典考题

类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）

1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）

A ． 2、二次根式4

122--x x 有意义时的x 的取值范围是 。 3、已知： 122+--++=x x y ，则2001)(y x += 。

类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）

4、代数式243x --的最大值是 。

5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简1a -= 。

6、把34-的根号外的因式移到根号内得 ；625-的平方根是 。

（图1）

a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；

7、化简：= ；=-+-+-222)72()57(2)73( 。 类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）

8、把31

3，32，2721，752

1按由大到小的顺序排列为： 类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化）

9、若32+=a ，32-=b ，则a 与b 的关系是（ ）

A ．互为相反数；

B ．互为倒数；

C ．互为负倒数；

D ．以上均不对。

10、已知：22,33x y =

= 求12（1x +1y ）的值。（想一想：有几种解法？）

11、计算：

100991431321211++++++++

随堂练习

1、若一个正三角形的路标的面积为32，则它的边长为 。

2、若ABC ∆的三边a,b,c 满足3410258122222-=+-+--+c c b a b a ，判断三角形的形状。

3、在如图2所示的4×4的方格内画△ABC ，使它的顶点都在格点上，且三条边AB 、BC 和AC 的长

分别为2，

4、已知：,a b 为实数，且满足a =63a b -的值。

5、计算：)()(

1111a a a a a a a a -+-+-÷+

6、已知：

m =求2121m m m m m

-+---的值。

[思考题]已知：41224|11|-++-=--++b a c b a ,求a,b,c 的值。

三、同步练习

一、选择题

1．下列说法正确的是（ ）

A ．若a a -=2，则a<0

B ．0,2>=a a a 则若

C ．4

284b a b a = D ．5的平方根是5

2 ）

A ．23

B ．32

C ．22

D ．0

3．化简||0)x y x y -<<的结果是（ ）

A ．x y 2-

B ．y

C ．y x -2

D ．y -

4．若b

a 是二次根式，则a ，

b 应满足的条件是（ ） A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．

0≥b a 5．（2005〃湖北武汉）已知a

A ．ab a --

B ．ab a -

C ．ab a

D ．ab a -

6．把m

m 1-

根号外的因式移到根号内，得（ ） A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 7．下列各式中，一定能成立的是（ ）

A ．22)5.2()5.2(=-

B ．22)(a a =

C ．1-x 122=+-x x

D ．3392+⋅-=

-x x x 8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）

A ．022=-y x

B ．033=+y x

C ．022=-y x

D ．0=+y x

9．当3-=x 时，二次根7522++x x m 式的值为5，则m 等于（ ）

A ．2

B ．

22 C ．55 D ．5

10．已知10=，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4

二、填空题

11．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是

12．（2005〃江西）已知a<2，=-2)2(a

13．当x = 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为

14．计算：=⨯÷182712 ；=÷-)32274483(

15．若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3cm

16．若433+-+-=x x y ，则=+y x

17．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3

18=

m 的取值范围是

19．若11

x x y y ⎛=== ⎝⎭ 则 20．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=

三、化简

21．

21418122-+- 22.3)154276485(÷+- 23.x x x x 3)1246(÷-

24.21)2()

12(18---+++ 26．已知：132-=x ，求12

+-x x 的值。