二次根式培优专题(一)
二次根式综合性大题训练(培优)
二次根式综合性大题训练（培优）1．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2√2=(1+√2)2，善于思考的康康进行了以下探索：设a+b√2=(m+n√2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2（有理数和无理数分别对应相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b√2化为平方式的方法．请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=(c+d√3)2，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若7−4√3=(e−f√3)2，且e、f均为正整数，试化简：7−4√3；（3）化简：√7+√21−√80．2．观察下列各式：①√1+13=2√13，②√2+14=3√14；③√3+15=4√15，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．3．观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）4．小明在解决问题：已知a=2+√3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a−2=−√3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√121+√119．（2）若a=√2−1．求：①求3a2﹣6a+1的值．②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝；2a2−5a+1a+2=．5．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如√m±2√n的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（√a）2+（√b）2＝m，√a•√b=√n，那么便有√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b），例如：化简√7+4√3．解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（√4）2+（√3）2＝7，√4•√3=√12，∴√7+4√3=√7+2√12=√(√4)2+(√3)2=2+√3．由上述例题的方法化简：（1）√13−2√42；（2）√7−√40；（3）√2−√3．6．细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：OA 22=(√1)2+1=2，S 1=√12（S 1是Rt △OA 1A 2的面积）；OA 32=(√2)2+1=3，S 2=√22（S 2是Rt △OA 2A 3的面积）； OA 42=(√3)2+1=4，S 3=√32（S 3是Rt △OA 3A 4的面积）；…（1）请用含有n （n 为正整数）的式子填空：OA n 2= ，S n ＝ ； （2）求1S 1+S 2+1S 2+S 3+1S 3+S 4+⋯+1S 99+S 100的值；（3）在线段OA 1、OA 2、OA 3、…、OA 2022中，长度为正整数的线段共有 条．7．已知a ，b 均为正整数．我们把满足{x =2a +3b y =3a +2b 的点P （x ，y ）称为幸福点．（1）下列四个点中为幸福点的是 ； P 1（5，5）；P 2（6，6）；P 3（7，7）；P 4（8，8） （2）若点P （20，t ）是一个幸福点，求t 的值；（3）已知点P （√m +1，√m −1）是一个幸福点，则存在正整数a ，b 满足{√m +1=2a +3b √m −1=3a +2b ，试问是否存在实数k 的值使得点P 和点Q （12a +k ，12b ﹣k ）到x 轴的距离相等，且到y 轴的距离也相等？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．8．阅读下列材料，并解答问题：①√2+√4=√4−√22=2−√22；②√4+√6=√6−√42=√6−22；③√6+√8=√8−√62=2√2−√62；④√8+√10=√10−√82=√10−2√22；……（1）直接写出第⑤个等式；（2）用含n（n为正整数）的等式表示你探索的规律；（3）利用你探索的规律，求√2+√4+√4+√6+√6+√8+⋯+√198+√200的值．9．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2．设a+b√2=(m+n√2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b√2的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+√5=（+√5）2；（3）化简√16−6√7−√11+4√710．数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=1 2（a+b+c）．这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．11．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如√5、√23、√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√5=√5√5×√5=35√5；（Ⅰ）√2 3=√2×33×3=√63（Ⅱ）√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1．（Ⅲ）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1．（Ⅳ）（1）请用不同的方法化简√5+√3．①参照（Ⅲ）式得√5+√3=．②参照（Ⅳ）式得√5+√3=．（2）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．12．观察下列等式：①√2−1=√2+1；②√3−√2=√3+√2；③√4−√3=√4+√3；…，（1）请用字母表示你所发现的律：即√n+1+√n=．（n为正整数）（2）化简计算：1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√2016+√2017．13．观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112；√1+122+132=1+12−13=116；√1+132+142=1+13−14=1112，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：√1+172+182=＝；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；③应用：计算√8281+1100．14．阅读下列解题过程：√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①√7+√6=；②√n+√n−1=；（2）应用：求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值；（3）拓广：√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=．15．观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：OA1＝1OA2=√12+12=√2；S1=12×1×1=12OA3=√2+12=√3；S2=12×√2×1=√22OA4=√3+12=√4；S3=12×√3×1=√32（1）推算出OA5＝；（2）若一个三角形的面积是3，则它是第几个三角形？（3）用含n（n是正整数）的等式表达上述面积变化规律，即S n＝；（4）求出s12+s22+s32+⋯⋯+s1002的值．。
二次根式培优提高训练
《二次根式》培优一、知识讲解1．根式中的相关概念⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。
⑵ nn 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。
⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。
⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。
⑸设a 、b 、c 、d 、m 是有理数，且m 不是完全平方数 ，则当且仅当a c =、b d =时，时，a c +=+2. 二次根式的性质 （1）()20a a =≥. （200 0 0a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩当时，当时，当时. 3.二次根式的运算法则：对于二次更是的加减，先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可. （1）(a b =+ （2)0,0a b =≥≥（3）)0,0a b =≥> （4）)0ma =≥（5）若0a b >>>4. 分母有理化（1）把分母中的根号化去叫做分母有理化.（2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式.互为有理数因式。
分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0.二、习题讲解基础巩固1.化简：（1） （2（3（4）（5（6） 解：（1）（2. （3）（4. （5）232-（6）. 2. 设y =，求使y 有意义的x 的取值范围.解：由题知2102010x x x -≥⎧⎪-≥⎨⎪->⎩，解得1221x x x ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，所以x 的取值范围为122x ≤≤.3.（1）已知最简二次根式ba = ，b = . （2）已知0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 .解：（1）由题知：2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩.（2）因为0≥，2160m -≥0=所以221016040n m m m -+=⎧⎪-=⎨⎪->⎩，解得49m n =-⎧⎨=-⎩.所以15===.所以2mn n +-的倒数的算术平方根为15.4. （1）若m=试确定m 的值.（2）已知x 、y为实数，13y x =-，求56x y +.解：（1）因为19901990x y x y -+≥⎧⎨--≥⎩，即199199x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，所以199x y+=①.所以0=.又因为0≥0≥，所以3520 230 x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩②③.由①，②，③可得：2001m =.5.在、1999是同类二次根式的共有多少个？解：由题知：==19个. 6.计算：（1）((1617解：（1）原式((16=⎡⎤⎣⎦()(16=1211-（2）(5+解：原式(()=5555256+--（3）22-解：原式22=⎤⎤-⎦⎦=⎤⎤⎦⎦===（4）计算：(1111x x ++++解：原式((1111x x ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()()()()222311111x x x x x x ⎡⎤=-+-=-++=-⎢⎥⎣⎦（5）(解：原式{}{}⎤⎤⎡⎡=⎦⎦⎣⎣()()523235⎡⎤⎡⎤=--+-⎣⎦⎣⎦=24=.7.化简：=..A. BCD解：()()⎣⎦=⎡⎡-+⎣⎣=-=212+==12=+8.计算：. 解：原式()()4172x x --=())())417247x x x x --=---)12=-3=-.9.设x =，y =，n 为自然数，如果22219721993x xy y ++=成立，求n的值.解：由题知：()2222197221931993x xy y x y xy ++=++=x y +=+22+==42n =+.1xy ==.当x y +==-1xy =时，()224219311993n ++⨯=，即()242900n +=. 因为n 为自然数，所以4230n +=，解得7n =.10. 若正整数a 、m 、n=a 、m 、n 的值依次是 . 解：因为0≥，即m n ≥.由题知：22=，即2a m n -=+-.所以2a m n =+=.故有8mn=.因为a 、m 、n 为正整数，所以8m =，1n =，3a =. 11.（1）)))201220112010121412010--+= .解：原式)))20102112142010⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦)2010151242010⎡⎤=+--+⎣⎦2010=.（2）化简：解：原式==3=3=3==3===.二、拓展提高1.已知x=，y=，求22y xx y+的值.解：由题知：原式()()()()()()()2 22332223x y xy xyx y x xy yy xxyxy xy⎡⎤++-+-++⎣⎦===x y+=22+=10=，1xy==. 当10x y+=，1xy=时，原式()22101031⨯-=970=.2.（1））. 5A-1B. 5C. 1D（2）代数式.解:（1）=)21=2=，==3=-所以231=+-=，故答案选D.（2）222=+82818=+=因为0≥==3.若1x =，则54322171816x x x x x +--+-的值为 .解：因为1x =，所以()221x -=，化简的22160xx --=.原式543322216216216x x x x x x x x =+---+++-()()222161x x x x =+--+()201x x =⨯-+0=4. 已知非零实数a 、b 满足等式542b a a b ab b a ++=+. 解：由542b a a b ab b a++=+可得：22542b a a b ++=+，即()()22120b a -+-=，解得2a =，1b =.所以原式1===.5.22006= 解：令2006x =，由题知： 原式2x =2x =2x =2x =221x x x =+--1200612005x =-=-=.6. 已知2=的值为 .解：令m =n =22210m n m n -=⎧⎨-=⎩. 所以()()()22210x y x y x y x y -=+-=+=5m n =+=.7.化简：.解：原式===2=51-=-5=.8.计算：⋅⋅⋅+.解：原式=+⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅4512025=-1145=-4445=.9.⋅⋅⋅+解：原式=37132612=++⋅⋅⋅1111111112233420102011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112010122320102011=+++⋅⋅+⨯⨯⨯111112010122320102011=+-+-+⋅⋅+-1201012011=+-201020102011=。
2023年上学期人教版八年级下册《二次根式》培优资料
2023年上学期人教版八年级下册二次根式培优资料一、单选题1．当a 为实数时，下列各式10a +、a 、2a 、21a -、21a +、()21a -是二次根式的有多少个（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．已知52a =-，25b =-，则a 与b 的大小关系是（ ） A ．a b <B ．a b >C ．a b =D ．无法确定3．下列各式的计算正确的是（ ） A ．44229339---===--- B ．2142293= C ．3234= D ．323113311311311÷=÷= 4．已知a ，b ，c 分别是ABC 的三边，则22()()a b c a b c ---+-的值为（ ） A ．2bB ．2- bC ．a ＋2cD ．22c a -5．已知0ab >，化简二次根式2ba a -的正确结果为（ ） A ．bB ．b -C ．b -D ．b --6．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a ba b+-的值为（ ） A ．2 B ．±2C ．2D ．2±7．已知15(1)x x x +=>，则1x x+的值为（ ） A ．5B ．3C ．5D ．78．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则2||()a c b c a ++--的化简结果是（ ）A ．2b c -B ．2b a -C ．2a b --D ．2c b -9．如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12 cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A ．2(843)cm - B ．2(423)cm -C ．2(1683)cm -D ．2(8312)cm -10．已知120212020x =-，则65432220202202122021x x x x x x --+-+-的值为（ ）A ．0B ．1C ．2020D ．2021二、填空题 1123x-x 的取值范围是___________． 1223_____________．（不与原数相等） 13．如图实数a ，b ，c ()2323b a c c b c --+=_______．14．已知x 322-y 322+4x yy x +-= _____．15．已知a ，b ，c 2()a b c --－|b －a ＋c |的结果是_____． 162(1)2x x --化简的结果为23x -，则x 的取值范围是___________．17．满足等式2022202220222022x y xy x y xy 的正整数对(),x y 的个数有_____个． 三、解答题18．阅读下列材料，并回答问题： 91116<3114<<，113113． (1)40(2)5a ，小数部分为b ，求()()a b a b +-的值．19．计算： 353； (2)559525 (3)2322+(4)62|21||36+-； (5)1(26)18332748(23)(23)3+； (7)()20120229253π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．11241124823 148312242(10)4246543223⨯；20．计算： (1)332(49)a ba b ab b a a； (y x y xy xy x y x y +-21．阅读材料：像()()65651+-=，a a a ⨯=（0a ≥），这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．解答下列问题：(1)7的有理化因式是___________；72+的有理化因式是___________； (2)观察下面的变形规律，请你猜想：12121=-+，13232=-+，14343=-+，……，11n n=++___________．(3)利用上面的方法，请化简：111121324310099++++=++++___________．22．小明家装修，电视背景墙长BC 为27m ，宽AB 为8m ，中间要镶一个长为23m ，宽为2m 的大理石图案（图中阴影部分）．(1)长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元2/m ，大理石的造价为200元2/m ，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）23．（1）先化简；再求值：2(23)(2)(2)2x y x y x y y ⎡⎤--+-÷⎣⎦，其中，16x =，15y =． （2）先化简，再求值：21(1)x x x x -⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭，其中21x =-+．24．材料：2(0a b a ±>，0b >，0)a b ±>化简呢？如能找到两个数m ，(0,0)n m n >>，使得22(()m n a +=，即m n a +=m n b m n b ⋅=，那么222()()()a b m n m n m n ±=+±=2a b m n ±=，双重二次根式得以化简．322± 因为312=+且212=⨯，22322(1)(2)212322|12∴±+±±，2a b ±且能找到m ，(0,0)n m n >>使得m n a +=，且m n b ⋅=，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)526±12235±； (2)962± (3)35-23±25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如(232212+，善于思考的小明进行了以下探索：若设(22222222a m m n mn ++=++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有222a m n =+，2b mn =．这样小明就找到了一种把类似2a b + (1)若(277a m +=+，当a 、b 、m 、n 均为整数时，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：=a ______，b =______；(2)若(233a m +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值； (3)化简下列格式： 526+7210-4102541025-+++。
专题01 二次根式的混合运算(专项培优训练)(教师版)
专题01 二次根式的混合运算（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.53一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．（2分）（2023•原平市模拟）计算的结果为 7 ．解：＝＝＝7，故答案为：7．2．（2分）（2023春•嘉定区期末）计算：＝ ．解：原式＝2﹣+3＝．故答案为：．3．（2分）（2023春•莱州市期中）计算：×＝ 3﹣2 ．解：原式＝[（3+2）（3﹣2）]2012•（3﹣2）＝（9﹣8）2012•（3﹣2）＝3﹣2．故答案为：3﹣2．4．（2分）（2023春•西塞山区期中）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 a+1 ．解：由实数a在数轴上的位置可得0＜a＜1，所以＝a+1．故答案为：a+1．5．（2分）（2022•市南区三模）（温州）计算：+﹣（2+）0＝ 3 解：+﹣（2+）0＝2+2+﹣1＝3+1．6．（2分）（2022春•钦北区校级期中）已知，，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝8，则a的值等于 ﹣9 ．解：由m＝1+，得（m﹣1）2＝2，即m2﹣2m＝1，故7m2﹣14m＝7，同理，得3n2﹣6n＝3，代入已知等式，得（7+a）（3﹣7）＝8，解得a＝﹣9．7．（2分）（2023•封丘县校级开学）计算：＝ ．解：原式＝3﹣＝3﹣＝2．故答案为：2．8．（2分）（2023春•威县校级期末）嘉淇想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整．（1）具体运算，发现规律．式子1：；式子2：；式子3：；式子4： ＝4（写＝＝＝4也可） ；（2）观察、归纳，得出猜想．若n为正整数，则式子n为： ＝n ．解：（1）根据规律可得，＝4．故答案为：＝4（写＝＝＝4也可）；（2）运算规律为：＝n．故答案为：＝n．9．（2分）（2023春•邗江区期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则；．则＝ 2023﹣ ．解：＝2023×（+++•••+）＝2023×（+++•••+）＝2023×（1﹣+﹣+﹣+﹣）＝2023×（1﹣）＝2023﹣．故答案为：2023﹣．10．（2分）（2023春•铁岭县期中）计算：（+1）2022（﹣1）2023＝ ﹣1 ．解：原式＝[（+1）（﹣1）]2022×（﹣1）＝（2﹣1）2022×（﹣1）＝﹣1．故答案为：﹣1．11．（2分）（2023春•高邮市期末）若，则bc的值为 ﹣3 ．解：∵a﹣6＝（b+c）2＝b2+2bc+2c2＝b2+2c2+2bc，∴2bc＝﹣6，∴bc＝﹣3．故答案为：﹣3．12．（2分）（2023春•东丽区期末）计算：（+2）（﹣2）＝ 3 ．解：原式＝（）2﹣22＝7﹣4＝3，故答案为：3．二．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）13．（2分）（2023春•通河县期末）下列计算中，结果错误的是（ ）A．B．C．D．解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；B、5﹣2＝3，故B不符合题意；C、÷＝，故C不符合题意；D、（﹣）2＝2，故D不符合题意；故选：A．14．（2分）（2022秋•昌图县期末）下列运算中，正确的是（ ）A．＝B．＝4C．2＝2D．＝解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；B、＝＝2，错误，故B不符合题意；C、2﹣＝，错误，故C不符合题意；D、，故C符合题意．故选：D．15．（2分）（2022秋•安化县期末）下列各式不成立的是（ ）A．B．＝C．D．解：A、﹣＝3﹣＝，A选项成立，不符合题意；B、＝÷，B选项成立，不符合题意；C、＝＝，C选项不成立，符合题意；D、＝＝﹣，D选项成立，不符合题意；故选：C．16．（2分）（2022秋•绥中县校级期末）下列运算正确的是（ ）①，②＝3，③，④＝2，⑤＝﹣3，⑥＝3．A．1个B．2个C．3个D．4个解：①不是同类二次根式，不能加减，故①运算错误；②＝＝3，故②运算正确；③＝，故③运算正确；④÷＝＝＝2，故④运算正确；⑤＝|﹣3|＝3，故⑤运算错误；⑥＝3，故⑥运算错误．故选：C．17．（2分）（2022秋•方城县期中）下列计算正确的是（ ）A．2+3＝5B．2×3＝6C．＝﹣6D．÷（+）＝+解：A．2和3不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；B．2×3＝（2×3）＝6，故本选项符合题意；C．＝6，故本选项不符合题意；D．÷（+）＝＝＝＝，故本选项不符合题意；故选：B．18．（2分）（2022秋•长安区期中）下列计算正确的是（ ）A．2+3＝5B．2×3＝6C．5﹣2＝3D．÷（+）＝+解：A．2和3不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；B．2＝（2×3）＝6，故本选项符合题意；C．5和﹣2不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；D．÷（+）＝＝，故本选项不符合题意；故选：B．三．简答题（共6小题，满分24分）19．（4分）（2023•江北区开学）计算下列各式：（1）；（2）．解：（1）原式＝3++3﹣＝3+；（2）原式＝3﹣4+4+2﹣+＝7﹣2﹣+．20．（4分）（2022秋•宝山区期末）计算：．解：原式＝（4）2﹣72++＝48﹣49++＝﹣1++．21．（4分）（2023春•永顺县期末）计算：（1）；（2）．解：（1）原式＝4﹣2+＝4﹣2+＝4﹣2+4＝2+4；（2）原式＝2+5﹣＝6．22．（4分）（2023春•龙华区校级月考）（1）计算：．（2）解不等式组：．解：（1），＝，＝3+1﹣2，＝2；（2）解不等式2+x＜6﹣3x，得x＜1，解不等式，得x≤4，∴不等式组的解集为：x＜1．23．（4分）（2023•和平区校级开学）计算：（1）；（2）．解：（1）＝（3﹣2）×＝×＝3；（2）＝3+﹣5＝﹣．24．（4分）（2023春•新宾县期末）计算：（1）；（2）．解：（1）原式＝﹣1+3﹣1+＝﹣1+3﹣1+2＝3；（2）原式＝3﹣（2﹣）+3﹣1＝3﹣2++3﹣1＝4．四．解答题（共6小题，满分40分）25．（6分）（2023春•雄县期中）嘉琪同学计算：，部分解题步骤如下．解：．（1）在以上解题步骤中用到了 BD （从下面选项中选出两个）．A．等式的基本性质B．二次根式的化简C．二次根式的乘法法则D．通分（2）算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便的方法解答此题．解：（1）观察可知把变为用到了二次根式的化简，然后把变为用到了通分，故答案为：BD；（2）＝＝＝．26．（6分）（2023春•禹州市期中）阅读下列材料，然后解决问题．在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们可以将其进一步化简：，＝，如上这种化简的步骤叫做“分母有理化”．（1）化简＝ ，＝ ，＝ ﹣ ．（2）化简：．解：（1）＝＝，＝＝，＝＝＝﹣，故答案为：；；﹣；（2）＝+++＝+++＝（﹣1+﹣+﹣+﹣）＝．27．（6分）（2023春•铁西区期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝；＝＝＝．像这样，把代数中分母化为有理数过程叫做分母有理化．化简：（1）（2）（n为正整数）；（3）求的值．解：（1）＝＝﹣．（2）＝＝﹣；（3）＝+++...+＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣＝﹣1．＝2﹣1．28．（6分）（2023春•绥棱县期末）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，这种方法叫分母有理化．，①，②，③参照③式方法化简：．解：＝＝＝＝．29．（8分）（2023春•清江浦区期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如，和、与、与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1）计算：①＝ ，②＝ ；（2）计算：．解：（1）①，故答案为：；②，故答案为：；（2）＝＝＝2+﹣﹣1＝1．30．（8分）（2022春•开州区期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|，那么如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a即m+n＝a，且使＝即m•n＝b，那么＝|±|，双重二次根式得以化简；例如化简：；∵3＝1+2且2＝1×2，∴3+2＝（）2+（）2+2×∴＝1+由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n ＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）填空：＝ ﹣ ；＝ + ；（2）化简：①②（3）计算：+．解：（1）填空：＝﹣；＝+；（2）①＝＝+；②＝＝﹣；（3）+＝+＝+＝+＝．故答案为﹣；+。
专题01 二次根式重难点题型专训(原卷版)
【题型目录】题型一【经典例题一知识点（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是【变式训练】【变式【经典例题二【解题技巧】掌握二次根式的加减乘除运算法则，是求二次根式的值的关键；【例2【变式训练】【变式【例3【变式训练】【变式【解题技巧】把二次根式中套叠着二次根式的情形叫做复合二次根式。
1、公式法2、配方法解出【变式训练】【变式【经典例题五如果一个二次根式符合下列两个条件：因数是整数，因式是整式。
那么，这个根式叫做最简二次根式。
【变式训练】【经典例题六几个次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。
【变式训练】【变式值为（【经典例题七【变式训练】【变式【经典例题八【变式训练】【变式正数解，方法为：如图，将四个长为A．－1B【变式3】（2021春·四川凉山2+---，x x x1(5),4(4)V的最长边的长度是(1)当2x=时，ABC【培优检测】1．（2022A ．3154B ．3152C ．352D ．3548．（2022·全国·八年级专题练习）设a 为3535+--的小数部分，b 为633633+--的小数部分，则21b a -的值为（ ）A ．621+-B ．621-+C ．621--D ．621++9．（2022春·浙江杭州·九年级专题练习）关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则3a =.③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③10．（2022春·湖北省直辖县级单位·八年级校联考阶段练习）化简二次根式 22a a a +-的结果是（ ）A ．2a --B ．－2a --C ．2a -D ．－2a -11．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y --=_____________.12．（2022秋·山西临汾·九年级统考期中）已知223y x x =-+--，则()()20222023x y x y +-的值为_____．13．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）已知120222021=-x ，则65432220212202222022x x x x x x --+-+-的值为___________．14．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）温故知新：若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值_____________．阅读理解：任意正整数a ，b ，∵()20a b-³，∴20a ab b -+³，∴2a b ab +³，只有当=a b 时，等号成立；结论：在2a b ab +³（a 、b 均为正实数）中，只有当=a b 时，+a b 有最小值2ab ．若1m >，11m m +-有最小值为________．15．（2022秋·八年级课时练习）已知n 是正整数，182n -是整数，则满足条件的所有n 的值为__________．16．（2022秋·八年级单元测试）若20212022a a a -+-=，则22021a -的值为______．17．（2021春·安徽六安·九年级统考期中）阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整．11(21)2121(21)(21)´-==-++-；11(32)3232(32)(32)´-==-++-；……11(10099)1009910099(10099)(10099)´-==-++-由此，我们可以解决下面这个问题：111123100S =+++×××+，求出S 的整数部分．解：1112222111231002233100100S =+++×××+=+++×××+++++222211122399100<+++×××+++++12(213210099)19=+-+-+-=L 1112222111231002233100100S =+++×××+=+++×××+++++……∴S 的整数部分是________．18．（2022·全国·八年级假期作业）形如726+的根式叫做复合二次根式，对726+可进行如下化简：726+＝22(6)261(61)++=+＝6+1，利用上述方法化简：102214231-+-+＝_____．19．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料已知下面一列等式：111122´=-；11112323´=-；11113434´=-；11114545´=-¼¼(1)请用含n 的等式表示你发现的规律___________________；(2)证明一下你写的等式成立；(3)利用等式计算：1111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)x x x x x x x x ++++++++++；(4)计算：1111122332310++++++++L ．20．（2022秋·四川宜宾·九年级校考阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如2322(12)+=+，善于思考的小明进行了以下探索：设22(2)a b m n +=+（其中a ，b ，m ，n 均为正整数），则有222222a b m n mn +=++．222a m n \=+，2b mn =．这样小明就找到了一种把部分2a b +的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a ，b ，m ．n 均为正整数时，若23(3)a b m n +=+，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得=a ，b = ；(2)利用所探索的结论，找一组正整数；a ，b ，m ，n 填空： + 3(= + 23)；(3)若243(3)a m n +=+，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．21．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）将n 个0或2排列在一起组成一个数组，记为()12,,,n A t t t =L ，其中1t ，2t ，…，n t 取0或2，称A 是一个n 元完美数组（2n ³且n 为整数）．例如：()0,2，()2,2都是2元完美数组，()2,0,0,0，()2,0,0,2都是4元完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于()x y x y x y =+--*，新运算2：对于任意两个n 元完美数组()12,,,n M x x x =L 和()12,,,n N y y y =L ，()11221***2n n M N x y x y x y Å=+++L ．例如：对于3元完美数组()2,2,2M =和()0,0,2N =，有1(0022)22M N Å=´++=．(1)①在()3,2，()2,0，()2,2,0中是2元完美数组的有______；②设()2,0,2A =，()2,0,0B =，则A B Å=______；(2)已知完美数组()2,2,2,0M =，求出所有4元完美数组N ，使得22M N Å=；(3)现有m 个不同的2022元完美数组，m 是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C ，D 满足0C D Å=，则m 的最大可能值是______．22．（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知556777=，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是677的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x 的最大整数．在数轴上就是取出实数x 对应的点左边最接近的整数点（包括x 本身），简称取整，记为[]x ．这里[]x x a =-，[]x a x +=，其中[]x 是一个整数，01a £<，a 称为实数x 的小数部分，记作{}x Z ，所以有[]{}x x x Z =+．例如，[14.3]15-=-，2.45{}0.45Z =．关于取整运算有部分性质如下：①1[]x x x -<… ②若n 为整数，则[][]x n x n +=+请根据以上材料，解决问题：(1)[10]=___________；若[]m p =-，{}n Z p -=，则2m mn +=___________；(2)记111121322320222021M =++++++++L ，求[]M ；(3)解方程：3467[]93x x +-=．23．（2022秋·甘肃天水·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如231+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：231=+2(31)(31)(31)-=+-22(31)(3)1-=-2(31)2-=31-以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求22a b +．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则2222224610()a b a b ab x y +=+-=-=+=．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．(1)计算：1+31+1+53+1+75+1 (20192017)++；(2)m 是正整数， a =11m m m m +-++，b =11m mm m+++-且222182322019a ab b ++=．求 m ．(3)已知2215+261x x --=，求2215++26x x -的值．24．（2021秋·湖南长沙·八年级校考阶段练习）阅读下列三份材料：材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”如11x x -+，21x x -这样的分式就是假分式；再如31x +，221x x +这样的分式就是真分式；类似的，假分式也可以化为带分式．如：()12121111x x x x x +--==-+++；材料2：在学了乘法公式“()2222a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：解：()2222245422521x x x x x ++=++-+=++，∵()220x +³，∴()2211x ++³．当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1．25311544x x =--++∴245x x ++的最小值是1．材料3：由()20a b -³得，222a b ab +³；如果两个正数a ，b ，即0a >，0b >，则有下面的不等式：2a b ab +³，当且仅当a =b 时取到等号．例如：已知0x >，求式子4x x+的最小值．解：令a =x ，4b x =，则由2a b ab +³，得4424x x x x+³×=，当且仅当4x x =时，即x =2时，式子有最小值，最小值为4．请你根据上述材料，解答下列各题：(1)已知0x >，填空：①把假分式12x x -+化为带分式的形式是________；②式子2815x x ++的最小值为________；③式子364+x x的最小值为________；(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(3)已知0x >，分别求出分式223374x x x x -+-+和2234124x x x x -+-+的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）．。
初二数学《二次根式》竞赛培优精选题(含解析)
二次根式竞赛培优题（含解析）一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．39940002．计算：=（）A．B．C．D．3．的结果是（）A．B．C．D．4．的值是（）A．B．C．1D．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共24小题）6.已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为．7．化简=．8．化简．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为．10．方程的解是x=11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=．12．计算：=（其中a＞0）13．的值为．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=．15．若n为整数，且是自然数，则n=．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：．20．计算﹣20062的结果是．21．设=．22．若，，则x6+y6的值是．23．当时，的值为．24．已知，，则k=．25．当1≤x≤2时，经化简等于．26．计算=．27．已知x=，那么+1的值是．28．化简：，得到．29．=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．二次根式竞赛培优题（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．3994000【分析】设1998=a，把被开方数变形后，利用多项式的乘法法则计算后，加上a2再减去a2，前三项结合提取a2，剩下的三项利用完全平方公式化简，接着三项合并后提取2a，整体再利用完全平方公式化简，从而得到被开方数为一个数的完全平方，利用化简公式=|a|及a大于0即可得到最后结果．【解答】解：设1998=a，则1997×1998×1999×2000+1=（a﹣1）a（a+1）（a+2）+1=a4+2a3+a2﹣a2﹣a2﹣2a+1=a2（a+1）2﹣2a（a+1）+1=[a（a+1）﹣1]2，所以==1998×1999﹣1=3994001．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，考查了换元的思想，本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点，同时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征，以及注意二次根式的化简公式=|a|的运用．2．计算：=（）A．B．C．D．【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为，将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得出结论．【解答】解：∵=（）=（）=（）=（﹣）∴分别取n=1，2，3， (40)原式=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键．3．的结果是（）A．B．C．D．【分析】把每个加数分母有理化，然后通分计算即可．【解答】解：=（）=．故选：D．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．4．的值是（）A．B．C．1D．【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现，，，据此作答．【解答】解：由题意可知第k项是∴原式=（++=1﹣=1﹣=．故选：B．【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6【分析】找到1000＜5×x2＜2000中符合x的整数值即可得出答案．【解答】解：由题意得：与=20，是同类二次根的被开方数一定为5，由此及题意可：1000＜5×x2＜2000，x可取15、16、17、18、19，共5个．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的知识，有一定难度，关键是根据同类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足．二．填空题（共24小题）6．已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为3998000．【分析】由等式可知=x1，=x2，…解得x1=x2=x3=…=x1999=2，由此代入求得数值即可．【解答】解：∵，∴=x1，=x2，…∴x1=x2=x3=…=x1999=2，∴x1+2x2+3x3+…+1999x1999=2×（1+2+3+ (1999)=2×（1999+1）×1999÷2=3998000．故答案为：3998000．【点评】此题考查二次根式的化简求值，解答此题的关键是找出对应关系，求出x1、x2、x3、…、x1999的值．7．化简=2011．【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质得到=，然后根据同样的方法由内到外依次化简即可得到答案．【解答】解：∵=，∴原式=======2011．故答案为2011．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了平方差公式．8．化简后2．【分析】由于===﹣1，其他根式也可以进行同样的化简，然后合并同类二次根式即可求解．【解答】解：=﹣1+﹣++++++=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为10．【分析】利用不等式≤，结合S1+S2+S3+…+S n ＞10，解不等式即可．【解答】解：∵S i表示第i个三角形的面积，由不等式≤n，得≤n=n，而S1+S2+S3+…+S n=，S1+S2+S3+…+S n＞10，∴n＞10，即n2（n+1）＞800，n为正整数，n的最小值为9．但n=9时，代入S1+S2+S3+…+S n＜10，不符合题意，故n=10．【点评】本题考查了二次根式的运用．利用均值不等式和不等式的传递性解题．10．方程的解是x=2011【分析】将各分式中的分母有理化，再通分，注意观察抵消规律．【解答】解：原方程化为：+++…+=，通分得=，解得x=2011．故答案为：2011．【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用．关键是将各分式的分母有理化，寻找抵消规律．11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=﹣．【分析】首先将M式中各个分式进行分母有理化，再求出N式的值，代入代数式求值即可解答．【解答】解：将M分母有理化可得M=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1．N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994=（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+┉+（1993﹣1994）=﹣1×997=﹣997，∴==﹣．故答案为﹣．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．12．计算：=4（其中a＞0）【分析】仔细观察会发现有以下规律：第1项加上第8项等于1，第2项加上第7项等于1，依此类推最后求得的结果4．【解答】解：第一项与最后一项相加得：+，=+，=，=1，同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1；所以原式=1+1+1+1=4．故应填：4．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，同时也考查了学生的逻辑思维能力，是一道不错的规律型问题．13．的值为1998999.5．【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系，可用换元法解题，设k=2000，将所求算式转化为关于k的算式，将被开方数配成完全平方式，开平方，再将k的值代入即可．【解答】解：设k=2000，原式=====，当k=2000时，原式=1998999.5．故本题答案为：1998999.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，当算式数字较大，并且数字之间有联系时，用换元法解题，可使运算简便．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k=8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．15．若n为整数，且是自然数，则n=﹣14或﹣7或﹣2或5．【分析】设=p，再把等式两边同时乘以4，利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式，列出关于p、n的方程组，求出n 的值即可．【解答】解：∵设=p（P为非负整数），则n2+9n+30=p2，∴4n2+36n+120=4p2，∴（2n+9）2+39=4p2，∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）=39，∴或或或，解得或或或，∴n=﹣14或﹣7或﹣2或5．故答案为：﹣14或﹣7或﹣2或5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为2012.5．【分析】根据新定理得f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1；f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1，由此得到f（）+f（）=1（n≥2的整数），所以原式=+．【解答】解：f（）=，∵f（）==，f（）=，则f（）+f（）=1，f（）==，f（）==，则f（）+f（）=1，∴f（）+f（）=1，∴=+=2012.5．故答案为2012.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了阅读理解能力．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．【分析】根号里面的式子大于等于0，从而可得≥0，﹣≥0，从而能得出u和v的值，继而可得出答案．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而=0，2u﹣v=0，u=v，又v=，∴u=，∴u2﹣uv+v2=．故答案为．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或．【分析】由是正整数可得，a是含﹣2的代数式；再由是整数，可得化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，据此确定a的值．【解答】解：∵是正整数，∴a是含﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，∴a=或．故答案为：或．【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：答案不唯一；如（288，8，8），（48，24，8）．【分析】由于三个复合二次根式的和为1，则它们的被开方数为完全平方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（）2（x，y为正整数，x＞y），然后通过正整数的含义，得到x，y为两个相邻正整数，即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后是﹣1，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，第三个复合二次根式化简后必为，最后求的a，b，c的值．【解答】解：因为几个复合二次根式的和为1，则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数．设==x+y﹣2，（x，y为正整数，x＞y），所以有=x+y，﹣=﹣2．∴a+1=（x+y）2，a=4xy，∴（x﹣y）2=1，即x﹣y=1．则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后为﹣1，而要消掉，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，要消掉，则第三个复合二次根式化简后必为．最后正好为﹣=1．所以=（﹣1）2=3﹣=3﹣，则a=8，同理得b=24，c=48．故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48．故答案为8，24，48．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．20．计算﹣20062的结果是2005．【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再开平方，然后再来求值．【解答】解：∵2005×2006×2007×2008+1=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1=（20052+3×2005+1）2∴=20052+3×2005+1；∴﹣20062=20052+3×2005+1﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）+3×2005+1=2005；故答案为：2005．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出20052﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）的值．21．设=．【分析】把已知条件的左边相乘得，这样出现了所求代数式，设=z，代入变形所得的等式，逐步变形，消去x、y，即可求得z．【解答】解：据条件式令=z，则（1）式化为：z+xy+=9，即有9﹣z=xy+，平方得，81﹣18z+z2=x2y2+（x2+1）（y2+4）+2xy（2），又由z2==x2（y2+4）+y2（x2+1）+2xy，代入（2）得，81﹣18z=4，所以．即=，故答案为：．【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，多次利用已知条件求解．22．若，，则x6+y6的值是40．【分析】根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．【解答】解：由题意得：x2+y2=2++2﹣=4，x2﹣y2=2+﹣（2﹣）=2，x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=8，又（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6+x2y4+y2x4，∴可得：x6+y6=32﹣x2y2（x2+y2）=32+2×4=40．故答案为：40．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，有一定难度，关键是熟练运用平方差及完全平方公式．23．当时，的值为．【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果计算即可．【解答】解：原式=﹣，∵，∴=2005，∴x＜，∴原式=﹣+x，=x，当时，原式=．故答案为．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a（a≥0）的应用．24．已知，，则k=﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式=﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知=+2﹣4=﹣2，∴4+=+2，依此类推得：=+2，∴k=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．25．当1≤x≤2时，经化简等于2．【分析】先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】解：∵1≤x≤2，∴=+=+1+1﹣=2．故答案为：2．【点评】考查了二次根式的性质，解题的关键是将根号内的式子配成完全平方式．26．计算=2010．【分析】因为=，=，=，…，可发现=1+=1+1﹣，=1+=1+﹣…，依此类推再把1+1﹣，1+﹣…相加可得问题答案．【解答】解：原式=++++…+，=1+1﹣+1+﹣+1+﹣+1+﹣…+1+﹣，=2010+（1﹣+﹣+﹣…+﹣），=2010+（1﹣），=2010．【点评】本题考查了二次根式的化简，在化简中注意有关数列的规律．27．已知x=，那么+1的值是2．【分析】先根据分母有理化得到x=﹣1，所以x+1=，然后将代数式化为含有（x+1）2的形式，把x+1的值代入求出代数式的值．【解答】解：∵x==﹣1，∴x+1=．原式=（3x3+10x2+5x+4）=[（3x3+6x2+3x）+3x2+（x2+2x+1）+3]=[3x（x+1）2+3x2+（x+1）2+3]=[3x•2+3x2+2+3]=[（3x2+6x+3）+2]=[3（x+1）2+2]=（3×2+2）=2．故答案是：2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，先根据分母有理化把x的值化简，得到x+1=，再把代数式化成含有x+1的形式，然后代入代数式可以求出代数式的值．28．化简：，得到1．【分析】将被开方数的分子、分母提公因式，约分，再开平方，约分即可．【解答】解：原式=（）1004=（）1004（）1004=1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，关键是将被开方数的分子、分母提公因式，约分．29．=﹣3．【分析】因为=，代入并通分计算即可．【解答】解：原式===﹣1﹣1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查二次根式的混合运算，关键是求=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）设n=1999，从而可将根号里面的数化为完全平方的形式，继而可得出答案．（2）分别将各二次根式配方可得出答案．（3）将分子及分母分别化简，然后运用提公因式的知识将分子及分母简化，继而得出答案．（4）设=a，=b，=c，从而可将原式化简，继而可得出答案．【解答】解：（1）设n=1999，则原式===n2+3n+1，故原式=20002+1999；（2）原式=+++++++=﹣1+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣，=﹣1，=3﹣1，=2；（3）原式=，=，=+，=﹣；（4）设=a，=b，=c，则原式=++，=，=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，难度较大，注意换元法及完全平方知识的运用．。
人教版八年级数学下二次根式专题培优
二次根式（一）基础训练题1.下列各式中：）A.1个B.2个C. 3个D.4个2.下列式子中一定是二次根式的是（）A. B. C. D.3.在实数0，，－1中，最小的数是（）A.－1B.C.0D.4.（2014 x的取值范围是（）A.x＞0B.x≤1C.x＞1D.x≥15.（2014 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x＞0B.x＞3C.x≥3D.x≤36.在下列二次根式中，x的取值范围为x≥2的是（）D.12 x-7.(2014 绵阳)有意义，则x的取值范围是（）A.x＜13B.x≤13C.x＞13D.x≥138.（2013 x的取值范围是.9.a= .10.当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1（2；（3（4中档题训练11. (20l4 ·巴中)要使式子11--m m 有意义,则 m 的取值范围是( ） A. m>-1 B. m≥一1 C.m>-1且m≠1 D.m ≧-1且m≠1 12.如果 a 是任意实数,下列式子一定成立的是( ） A.a B.21aC.2aD.2a - 13.一个正方形的面积为 7,估计其边长的范围为( )A.大于1小于2B.大于2小于3C.大于3小于4D.大于4小于5 14.如果 m=7-1,那么 m 的取值范围是( )A.0<:m<1B. 1<m<2C. 2<m<3D. 3<m<4 15.如果代数式xxy 21-+有意义,那么点 A(x ,y )的位置可能在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 16.若x x -+-75有意义,则 .r 的取值范围是 . . 17. (20l3 ·攀枝花)已知实数 x ,y ,m, 满足032=++++m y x x ,且 y 为负数,求 m 的取值范围.18. 已知 a ,b 为一等腰三角形的两边之长,且满足等式423632-=-+-b a a ,求此等腰三角形的周长.综合题训练19.已知 543++=x y ,当 x 取何值时,.y 有最小值?并求出最小值.2.二次根式(二)基础题训练1.4的算术平方根是( ).a .2 B.-2 C.±2 D.16 2.二次根式2)3(-的值是( ).A. -3B.3或一3C.9D.3 3.16的算术平方根是( ).A.士4B.4C.士2D.24.︒)2(的值为( ).A.2B.1C.22D.-1 5.二次根式2)2(±的值是( ).A. -2B.2或一2C.4D.2 6.若2a =a ,则 a 的取值范围是( ).A. ,a >0B. a ≠0C.a <0D.a ≧0 7.下列各式中不正确的是( ). A.2)2(-=2 B. 2)2(-=--2 C.-2)2(-=-2 D.±2)2(-=±28.点 A(-2,2-1)在平面直角坐标系中的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限 C.第四象限 9. (20l4 ·黔南州)实数 a 在数轴上的位置如图,化简a a +-2)1(=10.计算:(1)2)7(; (2)2)7(- (3)2)7((-(4) 2)7((±-; (5)4)2((2-- (6)2)23((-(7)2)3(π- (8))1(122≥+-x x x (9)1224++a a中档题训练11.如果2)12(-a = 1-2a ,则( ).A.a <21 B.a ≤21 C.a >21 D. a ≧2112.当 a ≤21时,化简124412-++-a a a ( )A.2-4aB.2C.4aD. 013. ( 20l4 ·泉州)已知 m,n 为两个连续的整数,且 m<11 <n,则 m 十n= . . 14.若0421=++++-b a b a ,则2015b)-(a = .15.已知n 12是整数,则满足条件的正整数 n 最小为 .16.已知 a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,化简b a c a c b a +--+++222)()(=17.在实数范围内分解因式(1)32-x ; (2)2222++x x .综合题训练18.已知三角形的两边长分别为2和4,第三边长为x ,化简:93414422+--+-x x x x3．二次根式的乘除（一）基础题训练1．使等式b a ab •=成立的条件是（ ）．A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ≥0，b ≥0D ．ab ≥0 2．(2014·上海)计算32•的结果是（ ）．A ．5B ．6C ．32D ．23 3．下列各式成立的是（ ）．A ．585254=⨯B ．5202435=⨯C ．572334=⨯D ． 6202435=⨯ 4．化简二次根式()622⨯-的结果是（ ）． A ．62 B ．62- C ．6 D ．12 5．化简545⨯的结果是（ ）． A ．52B ．2C ．2D ．526．下列各式计算正确的是（ ）．A ．525±=B ．12733=-C ．9218=⨯D ．62324=⨯7．在下列各数中，与3的积为有理数的是（ ） A ．2 B ．13+ C ．3- D ．68．（2014·河北）计算：218+＝ ． 9．化简：1832⨯＝ ；()()2715-⨯-＝ ．10．计算下列各式：（1）82⨯； （2）123⨯； （3）2162⨯； （4）12149⨯； （5）y 4； （6）3216c ab ；（7）10253⨯； （8）15106⨯⨯； （9）54332⨯⨯．中档题训练11．若等式()()3333-•+=-+x x x x 成立，则x 的取值范围是 ．12．计算()()322323-⨯+的结果是（ ）． A ．－1 B ．1 C ．23- D ．23+13．将aa1根号外的部分移到根号内，正确的是（ ）． A ． a B ．a - C ．a - D ．a --14．设矩形的长和宽分别为a ，b ，根据下列条件求面积S ． （1）12=a ，8=b ； （2）243=a ，4821=b ．15．比较下列各组中两个数的大小．（1）72和24； （2）32-和23-．16．计算： （1）3122y x xy •； （2）nm m n m223233•．17．先化简，再求值：121132--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x x，其中23=x ．综合题训练18．已知101=+a a ，求aa 1-的值．4．二次根式的乘除（二）基础题训练1．下列二次根式中：2，21，12，2-x ，12+x ，最简二次根式的个数为（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．（2014·威海）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）． A ．9 B ．7 C ．20 D ．313．下列根式中属于最简二次根式的是（ ）． A ．a 4 B ．4aC ．4aD ．4a4．（2014·徐州）下列运算中错误的是（ ）．A ．2222=⨯B ．632=⨯C ．228=÷D ．()332=-5．下列计算错误的是（ ）． A ．6319632== B ．xxx x x ==21 C ．a ab aab ab 339332== D ．x x xx x6396322==6．327的相反数是 ； 5的倒数是 ．7．计算：=⨯÷3333 ； =÷xx 1． 8．计算：（1）818÷； （2）8121÷； （3）32241÷； （4）648； （5）2723-； （6）xyy x 322；（7）x y xy ÷； （8）1003； （9）2775；（10）65027÷⨯； （11）531322311⨯÷； （12）43215021122⨯÷．中档题训练9．使等式725725--=--x x x x成立的条件是（ ）．A ．527≤<x B ．527≤≤x C ．27>x D ．5≤x 10．若2381=⨯a ，则a 的值为（ ）． A ．12 B ．32 C ．163D ．4311．化简：（1）x y xy 32÷； （2）227818÷÷； （3）22b a ab a b ⨯÷．12．（2014·苏州）先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛--+÷--13112x x x x ，其中23-=x ．13．某建筑施工图纸上有一直角三角形的面积为1410cm 2，一条直角边长为74cm ，求另一直角边的长．综合题训练14．已知a ＋b ＝－3，ab ＝2，求代数式baa b +的值．专题 二次根式的性质一、二次根式有意义的条件1．要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）．A ．321≤≤x B ．3≤x 且21≠x C ．321<<x D ．321≤<x 2．（2013·广西）下列四个式子中，x 的取值范围是2≥x 的是（ ）．A ．22--x x B ．21-x C ．2-x D ．x -2 3．化简：=-+-11x x ．4．当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）13-x ； （2）12+x ； （3）21+x ； （4）xx 3+； （5）x x -+1； （6）122-+-x x ．二、利用a 的双重非负性解题5．当a 取何值时，式子112++a 的值最小？并求出这个最小值．6．已知32552--+-=x x y ，求2xy 的值．三、2a 的化简7．若()12212-=-a a ，则a 的取值范围是（ ）． A ． 21<a B ．21≤a C ．21>a D ．21≥a 8．化简下列各式：（1）16 （2）()23-； （3）221⎪⎭⎫⎝⎛-- ； （4）23-；（5）2x ； （6）()23-π； （7）()221--； （8）1224++x x ．专题 二次根式的乘除运算一、二次根式乘除运算1．计算：（1）33× 3 （2）0.5×24（3）45×3223 （4）－12xy ×(－4y )（5）－4318÷28×1354 （6）－2xy ÷(－32x x 2y ×3x )2．先化简：2x •x y •(y x ÷1y )，其中实数x 、y 满足y ＝x －3＋6－2x ＋2．3．先化简，再求值：a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2÷(1a －1b )，其中a ＝2＋1，b ＝2－1．二、二次根式乘除公式的逆运用4．已知1－a a 2＝1－a a ，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．a ＜0C ．0＜a ≤1D ．a ＞0 5．将(a －1)11－a根号外的部分移到根号内，正确的是（ ） A ．－1 B ．1－a C ．－1－a D ．－a －15． 二次根式的加减（一）基础题训练1．（2014·孝感）下列二次根式中，不能与2合并的是（ ）A ．21B ．8C ．12D ．18 2．下列各组根式中，两式可以合并的是（ ）A ．2和12B ．2和0.5C ．4ab 和ab 2D ．a －1和a －1 3．计算12＋3的结果为（ ）A ．2 3B ．3 3C ．15D ．3 2 4．下列四个二次根式：①y x 2；②22xy ；③2xy；④23xy，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④ 5．下列各式计算正确的是（ ）A ．2－22＝－2B ．28a ＝4a (a ＞0)C ．6÷3＝3D ．(－4)×(－9)＝－4×－9 6．（2014·聊城）下列各式计算正确的是（ ）A ．23×33＝63B ．2＋3＝5C ．55―22＝33D ．2÷3＝36 7．（2014·云南）计算：8－2的结果是___________．7．矩形的长和宽分别为125和20，则其周长为__________．9．若最简二次根式x ＋1与2x 能合并为一个二次根式，则x ＝___________． 10．计算：（1）12＋27 （2）18＋72－32（3）4x －9x （4）27－12＋43（5）212－613＋348 （6）8－32＋29中档题训练11．计算212－613＋8的结果是（ ）A ．32－23B ．5－2C ．5－ 3D ．2 2 12．一个等腰三角形的两边长分别为23，32，则这个三角形的周长为（ ） A ．32＋4 3 B ．62＋2 3C ．62＋4 3D ．32＋43或62＋2 313．已知a ，b 分别是6－13的整数部分和小数部分，那么2a －b 的值是（ ）A ．3－13B ．4－13C ．13D ．2＋13 14．若最简二次根式5a 2＋1与57a 2－1能进行合并，则结果是__________．15．（2014·凉山州）已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 12＋x 22＝____________． 16．计算下列各式： （1）5－6－20＋23＋95 （2）12－0.5－213－18＋18（3）27a －a 3a ＋3a 3＋12a 75a 3 （4）23x 9x ＋6x yx ＋yx y －x21x17．已知x ＝1＋2，求代数式x 2＋2x ＋1x 2－1－xx －1的值．综合训练18．已知2525x ＋9x 9－2x 2•1x 3＝18，求x 的值．6．二次根式的加减（二）基础题训练1．下列运算错误的是（）A．2＋3＝ 5 B．2 •3＝6C．6÷2＝ 3 D．(－2)2＝22．估计24×12＋3的运算结果应在（）A．2 3 B．3 3 C．15 D．63．12 (75＋313－48)结果是（）A．12 B．4 3 C．23＋6 D．6 4．若x＝m－n,y＝m＋n，则xy的值是（）A．2m B．2n C．m＋n D．m－n 5．下列式子运算正确的是（）A．3－2＝1B．8＝42C．13＝3D．12＋3＋12－3＝46．(2013·哈尔滨)计算：27－32＝_____________．7．若矩形的长为（12＋3）cm，宽为3cm，则此矩形的面积为__________．8．若(548＋12－627)÷a＝4，则a的值是_________．9．计算：（1）3×6－2×6（2）2(2＋3)－3(2－27）（3）(12＋58) 3 （4）(3＋1)(3－2)（5）(23＋32)(23－32) （6）(a＋b)(a－b)（7）(3＋5)2（8）(25－2)2中档题训练10．（2014·安徽）设n为正整数，且n＜65＜n＋1，则n的值为（）A．5 B．6C．7 D．811．若(3＋2)2＝a ＋b 6，且a 、b 为整数，则a ＋b 的值为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．712．已知x ＋1x＝a ，则x ＋1x 的值为（ ）A ．a 2－2B ．a 2C ．a 2－4D ．不确定 13．（2014·青岛）计算：5540 ＝_________．14．二次根式5－(16－3m )2有最大值，则m ＝___________． 15．计算：（1）2 3 (12―375＋13108) （2）(2＋1)÷2×(2―1)―(12―1)0（3）(3―22)2014(3＋22)2015 （4）(1＋2＋3)(1＋2―3)16．（2014·襄阳）已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．17．先化简，再求值：239x ＋6x 4－2x1x ，代入一个合适的x 的值求值．综合题训练17．已知a ＝2－12＋1，b ＝2＋12－1，求b a ＋ab 的值．专题 与根式相关的规律问题1．观察下列各数：2、 …，则第8个数是 ．2 …，请你将发现的规律用含n （n ≥1，且为整数）的等式表示出来： ．3．观察下列各式：，＝…，请你根据以上式子中的规律写出第6个式子为： ．4．…，根据以上式子中的规律计算：＋＋＋…＋＝ ．5． 555555＝5555， (2)333344n n 个…＋…＝ ．6． 10199＝100，9991000，…，9999999999999199999n n n ⨯⨯个个个………＝ ．7．23，27＋＝4，45，…，根据以上 式子中的规律写出第10个式子为： ．8．观察下列式子：①＝1＋112⨯ ，②＝1＋123⨯，③＝1＋134⨯，…，根据上面三个等式提供的信息，请写出第n 个式子： ．9按下面规律排列，若规定（m，n）表示第m排从左至右的第n个数，则表示（10，9）的数是；表示（6，5）和（8，7）的数的积为第一排第二排第三排第四排… …专题根式及其运算一、使二次根式有意义的条件1．下列函数中自变量的取值范围是x≥2的是（）．A．y2B．y＝22x－C．yD．y＝x－22．若x为任意实数，下列函数一定有意义的是（）．A．yB．y＝211x－C．yD．y＝21x3．在函数yx的取值范围是（）．A．x≤13B．x≥13C．x＜13D．y＝x－2二、二次根式的化简、计算4．下列各式计算正确的是（）．ABCD－35．下列各式计算正确的是（）．A±2BC5=10D6．设a＞0，b＞0，则下列运算错误的是（）．Aa b BC．2＝a D=7计算：（1）＋（2）)21－112⎛⎫⎪⎝⎭－＋(01（3； （48．先化简，再求值．（12x ＝4；（2，其中x ＝6．9．一个三角形的三边长分别为，54 （1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．。
华东师大版九年级上册第21章二次根式培优专题(综合版)
华师版九上第21章《二次根式》培优专题1：二次根式考点1：二次根数的意义的条件 例1、要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围是（ ） A 、0≠a B 、2- a 且0≠a C 、2- a 或0≠aD 、2-≥a 且0≠a【同步练习】1、式子112-+x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、21-≥x 且1≠x B 、1≠x C 、21-≥x D 、21- x 且1≠x2、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为（ ）A 、321≤≤x B 、321≤x C 、321x ≤ D 、321x 3、函数312-+-=x x y 有意义，则x 的取值范围是 ； 4、若二次根式22232++-x x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 。
例2、已知a 满足a a a =-+-20192018，则22018-a 的值是（ ）A 、2018B 、2019C 、2020D 、2021【同步练习】1、已知实数a 满足a a a =-+-20092008，那么22008-a 值是（ ） A 、2009 B 、2008 C 、2007D 、20062、已知x 是实数，且()()0132=---x x x ，则12++x x 的值为（ ） A 、13B 、7C 、3D 、13或7或33、若实数a 满足方程aa a a 111-+-=，则=][a （ ），其中][a 表示不超过a 的最大整数。
A 、0B 、1C 、2D 、34、已知a 是非负数，且关于x 的方程2311212+-=-+-x x axx x 仅有一个实数根，求实数a 的取值范围。
考点2：二次根式的性质与化简题型1：利用()00≥≥a a 双重非负性化简例3、已知：2188+-+-=x x y ，求22-+-++xyy x x yy x 的值。
【同步练习】1、已知x ，y 满足关系式122--+-=x x y ，则yx 的值为（ ） A 、﹣1 B 、1 C 、﹣2D 、22、若x 、y 都是实数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的算术平方根为（ ） A 、2B 、2±C 、2D 、不能确定3、若a ，b 都是实数，且833+-+-=a a b ，则1+ab 的平方根为（ ） A 、5± B 、5-C 、5D 、1±4、已知a ，b ，c 为实数且()521332-++---+-=b a a c ，求代数式ab c -2的值。
第1讲：二次根式的运算培优竞赛题
第一讲 二次根式及化简一、典例解析例1（1）下列二次根式a 45、30、213、240b 、54、中最简二次根式是 。
（2）已知y=42-x +24x -,+3，则x y = .(3)(华师一中招生）把（a-b)a b -1根号外的因式移到根号内结果为（ ）A .b a -B .a b -C . －a b - D. －b a -变式训练：1.（2010广东湛江）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A .21B .4C .12+a D. －y x 22.（2010.湖北荆门）计算1-x +x -1= 。
3.代数式a a 1-化简为（ ）A .a -B . －a -C .a D. －a例2.若x ＋y ＋z ＋3＝2﹙x ＋1+y ＋1-z ﹚,求﹙x ＋y ＋z ﹚y-x 的值。
变式训练：4.（2010.荆门）若a,b 为实数，且满足︳a －2︳＋2b -=0,则b －a 的值为（ ）A .2B . 0C .－2 D. 以上都不对5.已知△ABC 的三边a,b,c 满足a 2＋b ＋︳1-c －2︳＝10a ＋24-b －22,则△ABC 为（）A .等腰三角形B . 等边三角形C .直角三角形 D. .等腰直角三角形例3.已知n -17是整数，求自然数n 的值。
变式训练:6.(2010.湖北孝感）使n 12是整数的最小整数n= 。
7.（2010.自贡）已知n 是一个正整数，n 135是 整数，则n 的最小值是（ ）A . 3B . 5C . 15 D. 25例4.（2010.全国初中数学联赛）若实数a,b,c 满足2a ＋3︳b ︳=6，4a －9︳b ︳=6c, C 可能取的最大值为﹙ ﹚A . 0B . 1C . 2 D. 3变式训练:8.（武汉竞赛）已知实数a 满足|2006-a|＋2007-a =a,那么a －20062的值是（ ）A . 2005B . 2006C .2007 D. 20089.((华师一中招生）已知实数满足c b a ++＋)6)(2008(2-+b a +|10-2b ＝2|，则代数式 ab ＋bc 的值为 。
初中数学二次根式的应用培优练习题1(附答案详解)
初中数学二次根式的应用培优练习题1（附答案详解） 1．已知m 、n 是正整数，若2m +5n是整数，则满足条件的有序数对（m ，n ）为（ ） A ．（2，5）B ．（8，20）C ．（2，5），（8，20）D ．以上都不是2．已知a 为实数，则代数式227122a a -+的最小值为( ) A ．0B ．3C ．33D ．93．设S=2222222211111111111112233499100++++++++++++L ，则不大于S 的最大整数[S]等于( ) A ．98B ．99C ．100D ．1014．公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式2a r +≈a ＋2ar得到2的近似值．他的算法是先将2看成21+1，由近似公式得到2≈1＋121⨯＝32；再将2看成231+-24（）（） ，由近似公式得到2≈32＋1-4322⨯ ＝1712；…依此算法，所得2的近似值会越来越精确．当2取得近似值577408时，近似公式中的a 是________，r 是________．5．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=22]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 6()2223x x --= _______7．设42 a,小数部分为 b.则1a b- = __________________________. 8．已知实数,x y 满足(22200820082008x x y y --=，则2232332007x y x y -+--的值为______.9．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行32 5 62第行根据数阵排列的规律，第5行从左向右数第3个数是，第n （n3≥且n是整数）行从左向右数第n2-个数是（用含n的代数式表示）．10．先阅读下列解答过程，然后再解答a、b，使得a+b＝m，ab＝n，2+）2＝ma＞b＞0）例如：仿照上述方法化简下列各式（1（2．11．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数a=，)111=11互为有理化因式．（1）1的有理化因式是；（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：3==，24====+进行分母有理化．（3）利用所需知识判断：若a =2b =则a b ，的关系是 ．（4）直接写结果：)1+= ．12．已知1,2y =. 13．阅读材料，请回答下列问题材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：S …①（其中a ，b ，c 为三角形的三边长，S 为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S ②（其中p ＝2a b c++） 材料二：对于平方差公式：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ） 公式逆用可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2， 例：a 2﹣（b +c ）2＝（a +b +c ）（a ﹣b ﹣c ）（1）若已知三角形的三边长分别为3、4、5，请试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试． 14．观察下列各式：①=②=③= （1）第④个式子为____________________; （2）第n-1个式子为____________________; （3）证明你所得的结论.15．观察下面的式子：S 1=1+221112+，S 2=1+221123+，S 3=1+221134+…S n =1+2211(1)n n ++（1= ，= ；猜想= （用n 的代数式表示）；（2）计算：n 的代数式表示）． 16．附加题17．求不等式组(11{53(1)x x x <+>+的整数解．18．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：2222()a ab b a b ±+=±，那么a b =±，那么如何将双重二次根式(0,0,0)a b a >>±>化简呢？如能找到两个数,m n (0,0)m n >>，使得22a +=即m n a +==即m n b ⋅=，那么222a ±=+±==，双重二次根式得以化简；；312=+Q 且212=⨯，223∴+=++1=,(0,0)m n m n >>使得m n a +=，且m n b ⋅=，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1=_________________=__________________；（2）化简：（319．先观察下列等式，再回答问题：=1+1=2；1 2=212；=3+13=313；…（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．20．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：3==；3==；1===以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1）=；=；=；（2L；（3）已知x=y=，求y xx y+的值.21．（1）发现．12=；3=；=……写出④；⑤；（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；（3）证明这个猜想．22．若3x y z+++=，求()y zx y z-++的值.23．阅读下列材料：材料1：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号．如：322-=222(1)(2)212(12)|12|21+-⨯⨯=-=-=-；材料2： 配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法。
二次根式提高培优(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次根式典型习题训练一、概念（一）二次根式1x、x>0）1x y+（x≥0，y•≥0）．（二）最简二次根式1y>0）化为最简二次根式结果是（）．A（y>0）By>0）C（y>0）D2．（x≥0）3．_________．4. 已知〉xy0，化简二次根式_________．（三）同类二次根式1是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2、是同类二次根式的有______3．若最简根式3a是同类二次根式，求a、b的值．【最新整理，下载后即可编辑】4.n是同类二次根式，求m、n的值．（四）“分母有理化”与“有理化因式”1.+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．-的有理化因式是_______．2.把下列各式的分母有理化（1；（2；（3（4．二、二次根式有意义的条件：1．（1）当x在实数范围内有意义？（2）当x是多少时，+11x+在实数范围内有意义？（3）当x2在实数范围内有意义？（4）当__________2.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数3．已知，求xy的值．4．5.若11m +有意义，则m 的取值范围是 。
6．要是下列式子有意义求字母的取值范围（1(2) (3)三、二次根式的非负数性1=0，求a 2004+b 2004的值．2，求x y 的3.2440y y -+=，求xy 的值。
四、⎪⎩⎪⎨⎧==a a a 2 的应用 1． a ≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A B C D ．2．先化简再求值：当a=9时，求a ≥0x解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．3．若│1995-a│，求a-19952的值．4. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│5．化简）．B C．D．A6．把（a-1a-1）移入根号内得（）．AB C．D．五、求值问题:求x2-xy+y2的值1.当x=2．已知a=3+23.已知4．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x 的值．52.236-（）的值．（结果精确到0.01）6．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．7．当（结果用最简二次根式表示）8. 已知2310-+=x x六、大小的比较的大小。
完整版二次根式培优练习题
第1页（共4页）二次根式培优练习题一•选择题（共14小题）1 •使代数式有意义的自变量x 的取值范围是（）x-4A . x > 3 B. x >3 且 X M 4 C. x > 3 且 X M 4 D . x >32•若.■ .... .=3-a ,则a 与3的大小关系是（ ）A . a v 3 B. a W 3C . a >3D . a 》33.如果等式（x+1） °=1和寸⑶€=2- 3x 同时成立，那么需要的条件是（）A . X M - 1 B. x v 二且 X M - 1 C. x W 二或 X M 1D . x <3 3 4.若ab v 0，则代数式 仁呪可化简为（ ）A . a . • B. a* C .- a. 1 ‘ D .- a 1 ‘5.已知xy v 0,则—•化简后为（）A .丁 B .6 .如果实数a 、b 满足需％3=-曲麻，那么点（a , b ） A .第一象限B .第二象限C.第二象限或坐标轴上7.化简二次根式；一，结果正确的是（ ）A . ■8.若 a+ 「=0 成立，贝U a 的取值范围是（ ）A . a >0 B . a >0 C. a w 0 D . a v 09.如果ab >0，a+b v 0,那么下面各式：①命书，②濡=1,③*‘丸十濡=-b ，其 中正确的是（）A .①② B •②③C .①③D .①②③10.下列各式中正确的是（ ）A .寸（_¥）2二但 的=± 3 C .（-占）2=4 D . 迈-五=2 11.在二次根式 '中与小是同类二次根式的有（）X M - 1-一 丁 C .D .在（ ）D .第四象限或坐标轴上 B. - :. C. 、D .■'A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 若.，「「是一个实数，则满足这个条件的a的值有（）A . 0个B. 1个C. 3个D.无数个13 .当a v0 时，化简一，一的结果是（）A . —■. B . 一•、 C.亍 .D .—.14 .下列计算正确的是（）A . : 二7(3)7(3)(1) 观察上面的解题过程，请直接写出式子 (2) 观察上面的解题过程，请直接写出式子利用上面所提供的解法，请求血十1十忑+忑+五“用十忑换+••+ —I — 7100 W99 的值.B•也丿以二如'b C + 5生田"5=13D4/252 -24Mt25+24） （25-24）-V49-7二•填空题（共13小题）15.二次根式讥十与.二-：••的和是一个二次根式，贝U 正整数 a 的最小值为 _________ ;其和 为^16 •已知 a 、b 满足7（2-a ） 2=&+3?且｛二巧+1 =a - b+1,则 ab 的值为 ______ . 17.已知 | a-2007|+ . .- __________ i ：-=a ,则 a - 20072 的值是 .18. ________________________________________________________________________ 如果・」泊勺值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数 a= _____________ . 19•已知 mn=5, m ：+n J= ________ . 20.已知 av0,那么 | .： - 2a| 可化简为 _____ .21 .计算：：_的结果为 _________________ .V322 .若最简二次根式2血尹1与-莎药是同类二次根式，则x ______________ .23 .若厂-f.，则 x= ________ ;若 x 2= （- 3） 2，则 x= _____ ；若（x - 1） 2=16，x= ______ . 24 .化简a的最后结果为 _______ .25 .观察分析，探求出规律，然后填空： 二，2, ■■，2. ■：， I ， _____ ，…， _______ （第 n 个数）.26 .把根号外的因式移到根号内：• I - J =-“*：'[-；p 27 .若a 是.丨的小数部分，则a （a+6） = ______ . 三.解答题（共7小题） 28 .阅读下列解题过程:鮎爲=〔暑誥黑巳=勝爲 ?砸卫卫-2低十界_ （晶+妬〕（讥i ）2-（亦）2请回答下列问题:29•—个三角形的三边长分别为 厝、知莎、*桧(1) 求它的周长(要求结果化简)；(2) 请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.30.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简:31 •先阅读下列的解答过程，然后作答: 形如.厂丄■，的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样(.J 2+ ( b) 2=m，，那么便有Vb) + Vb (a> b)例如：化简占+4翻解：首先把.I I :;化为J • ： . I ：，这里m=7，n=12;由于4+3=7, 4X 3=12,即（.）2+ （■；）2=7, ? = ■:,••• .II：-2+.:'；由上述例题的方法化简：(1) 1 ；• 一「；(2) .. H；(3 )『'-.；.32. 已知x=2-二，求代数式(7+4. ；) x2+ (2+ :；) x+ -；的值.33. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：| a| -:-：：.请你猜想:(3) 请你将猜想到的规律用含有自然数n (n》1)的代数式表达出来第4页（共4页）参考答案一•选择题（共14小题）1. C;2. B;3. D;4. C;5. B;6. C;7. D;8. C;9. B; 10. A; 11. B; 12. B; 13. A;14. D;二.填空题（共13小题）15. 6；^^E；16.±j-; 17. 2008; 18. 1; 19.土述;20.- 3a; 21.丄；22. 0; 23.±5;± 3; 5 或-3; 24.- 2^23; 25. 2^5;炼；26. 27. 2;三.解答题（共7小题）28. 一二_二-1 ; 29.; 30. ; 31. ; 32.; 33. ; 34.77第3页(共4页)。
二次根式拓展专题培优(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=，求x+y 的值4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。
练习： 1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是2、若4342-=-+-b a a ，则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014，则22014-a =二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是 2、把ab b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为练习： 1、化简（1）aa1- （2）22x x x--2、已知a,b,c 为∆ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x1，则2)1-1=x+x=(-三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：121312+1431⨯+，⨯=⨯⨯+5463333+⨯+，猜测⨯⨯⨯=12++，1542312⨯3⨯⨯2=+12+⨯2015120142016⨯⨯⨯+2017练习：1、设n,k为正整数，，，，已知,则2、小明做数学题时,发现,,,,按上述规律,第n个等式是3、设S=++…+，求不超过S的最大整数四、分母有理化例题：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．1分母有理化解决问题：①的有理化因式是，12得②计算：③计算：．④已知,,则⑤已知:,,,试比较a、b、c的大小.21++++3220032004232、已知则3、已知实数x,y满足,则的值为五、二次根式的计算综合题（2）（3）（4）638638-++（5）24066312305941--+++六、二次根式的求值例题：1、先化简,再求值,其中,.2 3、若,,求xy.4、设a=，求a 5+2a 4-17a 3-a 2+18a-17的值．5、正数m,n 满足,求的值.x x2、若,,则3、当时,多项式的值为4、正实数a,b满足,且满足,求的值5、如果,求的值.。
培优专题：二次根式
1一一<m<3③已知，2二次根式培优一、知识的拓广延伸1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如va(a>0)的式子叫做二次根式，其中a>°人方>0。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是a>0，由此我们判断下列式子有意义的条件：厂_丿1/——x——1(1)7x——1+VI——x+；⑵；2vx2k、人jcc/八-x/2x+#L、*(x——2.5)0(3)x/1——x——3x——2;(4);(5)3——x+x+1Jx——22、<a2的化简教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：恋药二a(a>°)，在此我们可将其拓展为:石凯屮°>°)[-a(a<0)(1)、根据二次根式的这个性质进行化简：①数轴上表示数a的点在原点的左边，化简2a*広L1.'I"1++a2—2②化简求值：a'：a；其中a二5，化简2m-J4m2+m+1-J m2一6m+9④町'(3——x)2=；⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，则/a+b+c —W ——b ——c )2二 ⑥计算:\：(4—"I7)2+\‘,(\：'17-5)2=(2)、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。
①若m-f l -2m+m 2二1，求m 的取值范围。
② 若J (2-x )2+J (6-2x )2二4-x ,则x 的取值范围是 ③ 若a f'2b -14+的-b ,求:a 2-2ab +b 2的值；④已知J2x -5+J 5-2x -3,求2xy 的值。
二.二次根式\a 的双重非负性质：①被开方数a 是非负数，即a >0②二次根式、万是非负数，即.a >0例1.要使朽=x +1有意义，则X 应满足().U2x -1A.1W x W3B.x W3且x 工丄C.1V x V3D.1V x W32222例2(1)化简Jx —1+Jl -x =.(2)若、匸17匸1=(x +y )2，则x —y 的值为()(A)－1.(B)1.(C)2.(D)3.例3(1)若8、b 为实数，且满足|a —2|+J -b 2=0，I]b —a 的值为()A.2B.0C.—2D ■以上都不是(2)已知x ,y 是实数，且(x +y -1)2与$2x —y +4互为相反数，求实数y x 的倒数。
【中考冲刺】初三数学培优专题 01 二次根式的化简与求值(含答案)(难)
二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】 当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】 （1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】 设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4. 若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A. x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1. 已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2. 已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3. 已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4. a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A . 1B . 2C . 3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把(1)a - ）A .B C. D . （武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x 2－4x －2 001＝0． 例2 (1)原式＝()aba b a b++()1ba b b a b⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦·a b b -＝2ab (2)原式＝()()()()257357257357+-++++＝26－5．(3)原式＝()()()()633326332+-+++＝316332+++＝62-；（4）原式＝()()()5332233323325231-+-+-++＝332-．例3 x ＋y ＝26，xy ＝1，于是x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝22，x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＝426，x 6＋y 6＝(x 3＋y 3)2－2x 3y 3＝10582．∵0＜65-＜1，从而0＜()665-＜1，故10 581＜()665+＜10582． 例4 x ＋21x +＝211y y ++＝21y +－y …①；同理，y ＋21y +＝211x x ++＝21x +－x …②．由①＋②得2x ＝－2y ，x ＋y ＝0． 例5 (1)构造如图所示图形，PA ＝24x +，PB ＝()2129x -+．作A 关于l 的对称点A '，连A 'B 交l 于P ，则A 'B ＝22125+＝13为所求代数式的最小值． (2)设y ＝()2245x -+＋()2223x -+，设A (x ，0)，B (4，5)，C (2，3)．作C 关于x 轴对称点C 1，连结BC 1交x 轴于A 点．A 即为所求，过B 作BD ⊥CC 1于D 点，∴AC ＋AB ＝C 1B ＝2228+＝217． 例 6 m ＝()2212111a a -+-•+＋()2212111a a ---•+＝()211a -+＋()211a --．∵1≤a ≤2，∴0≤1a -≤1，∴－1≤1a -－1≤0，∴m ＝2．设S ＝m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S ＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S ＝211－2－94＋47＝1 999．A 级 1．1 2．52- 3．0 提示：令1997＝a ，1999＝b ，2001＝c ． 4． (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5．B 6．C 7．B 8．A 9．(1)()2x y + (2)原式＝32625++-＝()()22325+-＝325++．(3)116- (4)532--(5)32+ 10．48提示：由已知得x 2 ＋5x ＝2，原式＝(x 2＋ 5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)． 11．由题设知x ＞0，(27913x x ++＋27513x x -+)(27913x x ++－27513x x -+)＝14x ．∴27913x x ++－27513x x -+＝2，∴227913x x ++＝7x ＋2，∴21x 2－8x－48＝0．其正根为x ＝127． 12．n ＝2 提示：xy ＝1，x ＋y ＝4n ＋2． B 级 1． 64 2．1 提示：仿例4，由条件得x ＝y ，∴(x －22008x -)2＝2 008，∴x 2－2008－x 22008x -＝0，∴22008x -(22008x -－x )＝0，解得x 2＝2 008．∴原式＝x 2－2 007＝1． 3．9554．1 提示：∵(32－1)a ＝2－1，即1a＝32－1． 5．B 提示：由条件得a ＋b 3＝3＋3，∴a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4． 6．B 提示：a －b ＝6－1－2＞322+－1－2＝0．同理c －a ＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件a －1＜0． 10．(1)1 998 999. 5 提示：设k ＝2 000，原式＝212k k --． (2)910 提示：考虑一般情形()111n n n n +++＝1n －11n + (3)原式＝()()8215253532+-++-＝()()253253532+-++-＝53+．(4)2－53- 11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD ，BCMN ．设MP ＝x ，则CP ＝21x +，AP ＝()211x +-，AC ＝5，AM ＝2，∴AC ≤PC ＋PA ＜AM ＋MC ，，则5≤21x +＋()211x +-＜1＋2 12．设y ＝2841x x -+－2413x x -+＝()2245x -+－()2223x -+，设A (4，5)，B (2，3)，C (x ，0)，易求AB 的解析式为y ＝x ＋1，易证当C 在直线AB 上时，y 有最大值，即当y ＝0，x ＝－1，∴C (－1，0)，∴y ＝22． 13．33a bb c ++＝()()()()3333a bb cb c b c +-+-＝()222333ab bc bac b c -+--为有理数，则b 2 －ac ＝0．又a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋b 2)＝()2c b a ++－2b （a ＋b ＋c ）＝（a ＋b＋c ）（a －b ＋c ），∴原式＝a －b ＋c 为整数．。
((完整版))《二次根式》培优试题及答案,推荐文档
10．方程 2 （x－1）＝x＋1 的解是____________．【提示】把方程整理成 ax＝b 的形式后，a、b 分
别是多少？ 2 1， 2 1．【答案】x＝3＋2 2 ．
【解】原式＝
÷
a b
ab( a b)( a b)
a b a 2 a ab b ab b2 a 2 b2
＝
÷
a b
ab( a b)( a b)
＝
ab
·
ab( a
b)( a
b)
＝－
a
b．
a b
ab(a b)
【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题 7 分，共 14 分）
x x2 a2 ( x2 a2 x)
x x2 a2 ( x2 a2 x) x x2 a2 ( x2 a2 x)
1
1
＝ ．当 x＝1－ 2 时，原式＝
＝－1－ 2 ．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个
x
1 2
“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝
x
－ 2x x2 a2 ＋
1 1 1 a2 ab 1
＝－ ＋
＝
．
b2 ab a2b2
a2b2
b ab
a
b
ab
26．（ a ＋
）÷（
＋
－
）（a≠b）．
a b
ab b ab a ab
【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．
a ab b ab a a ( a b) b b( a b) (a b)(a b)
八年级下期数学培优思维训练(二次根式)
８.化简 .
9.设 ,求 的值．
（四）思维训练:
1.若式子 化简的结果为 ，则 的取值范围为（)
A. ﻩB. C． D.
2.若 ，则 的取值范围是()
Ａ. ﻩﻩﻩB. ﻩﻩＣ. D． 或
3.将二次根式 的根号外面的因式移到根号内是＿__________.
4.把 根号外面的因式移到根号内为______＿＿_＿_＿_.
八年级下期数学培优思维训练
一、二次根式
（一)知识梳理：
（二)方法归纳：
（三)范例精讲:
1．(1）已知 ，求 的值.
（2)若 ,求 的值.
2．(1）化简 .
（2)计算 .
(3）化简 .
3.已知 ,求证： .
4.化简：(1） ﻩﻩ(2) ﻩﻩ(3)
５．(1）若 ,化简 .
(2)化简 .
6.设 ， ，求 的值.
15．已知 ， 为实数，且 .求 的值.
1６.已知 ， ,求 的值.
17.已知 ，求 的值.
１8.已知 ,求 的值.
１9.化简: .
2０.若 ，.
５.实数 的算术平方根等于_____＿___＿＿.
6.已知 ,求 的值．
7．已知 的整数部分为 ,小数部分为 ,求 的值.
8．化简 .
９.先化简，再求值： ，其中 .
1０.先化简，再求值 ，其中 .
11.已知 ，求代数式 的值.
1２.已知 ，求 的值.
１3．已知 ，求 的值.
14.已知 , ，求 的值．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次根式培优专题 （一）
一、基础知识回顾
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（1
）2a =（a ≥0）； （2）
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
0,0)a b =≥≥0,0)a b =>≥ （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
二、精典考题
类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）
1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A ． 2、二次根式4
122--x x 有意义时的x 的取值范围是 。
3、已知： 122+--++=x x y ，则2001)(y x += 。
类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）
4、代数式243x --的最大值是 。
5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简1a -= 。
6、把34-的根号外的因式移到根号内得 ；625-的平方根是 。
（图1）
a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；
7、化简：= ；=-+-+-222)72()57(2)73( 。
类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）
8、把31
3，32，2721，752
1按由大到小的顺序排列为： 类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化）
9、若32+=a ，32-=b ，则a 与b 的关系是（ ）
A ．互为相反数；
B ．互为倒数；
C ．互为负倒数；
D ．以上均不对。
10、已知：22,33x y =
= 求12（1x +1y ）的值。
（想一想：有几种解法？）
11、计算：
100991431321211++++++++
随堂练习
1、若一个正三角形的路标的面积为32，则它的边长为 。
2、若ABC ∆的三边a,b,c 满足3410258122222-=+-+--+c c b a b a ，判断三角形的形状。
3、在如图2所示的4×4的方格内画△ABC ，使它的顶点都在格点上，且三条边AB 、BC 和AC 的长
分别为2，
4、已知：,a b 为实数，且满足a =63a b -的值。
5、计算：)()(
1111a a a a a a a a -+-+-÷+
6、已知：
m =求2121m m m m m
-+---的值。
[思考题]已知：41224|11|-++-=--++b a c b a ,求a,b,c 的值。
三、同步练习
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．若a a -=2，则a<0
B ．0,2>=a a a 则若
C ．4
284b a b a = D ．5的平方根是5
2 ）
A ．23
B ．32
C ．22
D ．0
3．化简||0)x y x y -<<的结果是（ ）
A ．x y 2-
B ．y
C ．y x -2
D ．y -
4．若b
a 是二次根式，则a ，
b 应满足的条件是（ ） A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．
0≥b a 5．（2005〃湖北武汉）已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）
A ．ab a --
B ．ab a -
C ．ab a
D ．ab a -
6．把m
m 1-
根号外的因式移到根号内，得（ ） A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 7．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A ．22)5.2()5.2(=-
B ．22)(a a =
C ．1-x 122=+-x x
D ．3392+⋅-=
-x x x 8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）
A ．022=-y x
B ．033=+y x
C ．022=-y x
D ．0=+y x
9．当3-=x 时，二次根7522++x x m 式的值为5，则m 等于（ ）
A ．2
B ．
22 C ．55 D ．5
10．已知10=，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4
二、填空题
11．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是
12．（2005〃江西）已知a<2，=-2)2(a
13．当x = 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为
14．计算：=⨯÷182712 ；=÷-)32274483(
15．若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3cm
16．若433+-+-=x x y ，则=+y x
17．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3
18=
m 的取值范围是
19．若11
x x y y ⎛=== ⎝⎭ 则 20．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=
三、化简
21．
21418122-+- 22.3)154276485(÷+- 23.x x x x 3)1246(÷-
24.21)2()
12(18---+++ 26．已知：132-=x ，求12
+-x x 的值。
27．已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++
-+-=x
y y x x y y x x x y
28．站在水平高度为h 米的地方看到可见的水平距离为d 米，它们近似地符号公式为5
8h d =。
某一登山者从海
拔n 米处登上海拔2n 米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？（本题6分）
29．（本题10分）阅读下面问题：12)
12)(12()
12(1211
-=-+-⨯=+； ;23)23)(23(232
31
-=-+-=+25)25)(25(25251
-=-+-=+
（n 为正整数）的值。
30．计算：
4947474917557153351331++++++++ 的值．
31_____________． （拓展）计算222222222004
1200311413113121121111++++++++++++
课余思考：
1.x 的取值范围是 。
2.是同类二次根式的式子 。
3.a 的值为 。
4.与=+n m 。
5.当1<x 时，=+-122
x x ，当51<≤x 时， =-+-5)1(2x x
6.2
440y y -+=，则xy 的值 。
二 解答
7.已知：11a a +=221a a
+的值。
8.知10<a 且a 是自然数
（1）若022≤-+++a x a ax x ，试求a 的值
（2）是否存在满足条件的自然数a ，使得114
2
-++a a 是整数，若存在，求出a ，若不存在，说明理由。