计算机视觉中的多视图几何第一章

等距变换
x ' cos ' y sin 1 0
'
sin cos 0
t x x t y y 1 1
当 =1时，该变换是保向的且是欧氏变换（欧氏变换是等距 变换的一种，只有平移和旋转），当 =-1时，该变换是逆向 的（包含了反射）。 不变量：长度，角度，面积 群和定向：如果左上角的2X2矩阵的行列式为1，它是保向 的。保向的等距变换形成一个群，但逆向的不是。这种区别 对于下面的相似和仿射变换同样如此。
二次曲线
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 齐次化得： ax12+bx1x2+cx22+dx1x3+ex2x3+fx32=0 xTCx=0
b / 2 d / 2 a C b/2 c e/2 d /2 e/2 f
5点定义一条二次曲线
对偶二次曲线
过（非退化：矩阵C是可逆矩阵）二次曲线C上点x 的切线l由l=Cx确定； 因为xTCx=0；l=Cx；所以(C-1l)TC(C-1l)=lTC-1l=0； 退化二次曲线：C=lmT+mlT 由l和m两线组成,矩阵C 是秩为2的对称矩阵，它的零矢量为x=lXm,它是l和 m的交点; 退化的线二次曲线包含两个点（秩2），或一个重点 （秩1）。
点与直线
1.点x在直线l上的充要条件是xTl=0； 2.两直线l和l’的交点是点x=lXl’； 3.过两点x和x’的直线是l=xXx’； 4.理想点：(x1,x2,0)T 无穷远线l=(0,0,1)T 5.IP2中的一个点对应IR3中的一条过原点的直 线,IP2中的直线对应IR3中的过原点的平面； IP2中的两点确定一直线对应IR3中的两过原点 的直线确定一个平面，IP2中的两直线交于一 点对应IR3中的两过原点的平面交于一条直线。 6.对偶原理：互换原定理中点和线的作用。
二次曲线分类
1.二次曲线的射影标准形式： 因为C是对称矩阵，所以有实特征值并可分解为乘 积C=UTDU,其中U是正交矩阵，而D是对角矩阵。以 射影变换U作用于二次曲线C，则C变成另一条二次 曲线C’=U-TCU-1=U-TUTDUU-1=D这表明任何二次曲 线都摄影等价于一个由对角矩阵表示的二次曲线。 令 D diag 1d1 2 d2 3d3 其中 i 1 或0且 di 0 T 则D可以写为 D diag s1 s2 s3 diag 1 2 3 diag s1 s2 s3 si2 di 用变换 diag s1 s2 s3 再进行一次变换， 其中 二次曲线D变为具有矩阵 diag 1 2 3 的二次曲线
'
a12 0
a22
t x x t y y 1 1
A t x x 0 1
平面仿射变换有六自由度。A是非奇异矩阵。 A可以看作是旋转和非均匀缩放的复合。
A R( ) R( ) DR( ) A=UDVT=(UVT)(VDVT) R( ) R( ) DR( ) 不变量：平行线，平行线段长度比，面积比（任何形 状的面积都被缩放了detA倍，即detD倍）。
1 0 H HA 0 1 l l 1 2 0 0 l3
仿射矫正
消影线l的确定： 1. 由平行线的影像的交点来计算。 2.给定一条直线上已知长度比的两个线段，该直线 上的无穷远点便可以确定(利用交比）。 1）a，b，c坐标分别是0，a，a+b。 2）a’，b’，c’坐标分别是0，a’，a’+b’。 3）计算1D射影变换H2X2 4）在变换H2X2下无穷远的像可以求出。 3.消影点可以用几何作图的方法得到。
逆变换是相同性质的变换，且矩阵结构相同，所以 I 0 K 0 sR t / v H H P H AHS T v 0 1 0 1 V 这里的矩阵的参数与上面的不同
度量矫正1
1.假定一幅图像已经仿射矫正（V=0）： 假设图像中的直线l’和m’与世界平面上的一对 垂直线l和m对应，则 '
二次曲线的其他性质
1.点x和二次曲线C定义一条直线l=Cx。l称为x关于C 的极线，而点x称为l关于C的极点。 2.点x关于二次曲线C的极线l=Cx与C交于两点，C的 过这两点的两条切线相交于x。 3.如果点x在C上，则它的极线就是二次曲线过x点的 切线。 4.如果点y在极线l=Cx上，则yTl=yTCx=0。满足 yTCx=0的任何两点x，y称为关于二次曲线C共轭。 5.如果x在y的极线上，那么y也在x的极线上。
t v
A sRK tV T / v
det K 1且是
上三角矩阵 这里用到矩阵的QR分解：非奇异矩阵A可以分解为 一个正交矩阵Q与一个非奇异上三角矩阵R相乘。 不变量的数目：与函数无关的不变量数等于或大于 配置的自由度数减去变换的自由度数。
1D射影几何
x’=H2X2x 3个自由度，由3组对应点来确定。 交比：
R t x x 0 1
相似变换
相似变换是一个等距变换与一个均匀缩放的复合。当欧氏变 换（即没有反射）与均匀缩放复合时，相似变换的矩阵表示 为：
x' s cos ' y s sin 1 0
'
s sin s cos 0
度量矫正2
这里我们从平面的原有透视图像入手，假定 直线l和m是世界平面上两正交直线的像，则 lTC*m=0
l1m1
(l1m2 l2 m1 ) / 2 l2 m2 (l1m3 l3m1 ) / 2 (l2 m3 la,b,c,d,e,f)T是C*的二次曲线矩阵的6维矢 量形式。5个这样的约束联合起来，形成一个 5X6矩阵，使得c和C*作为其零矢量求得。
t x x t y y 1 1
sR t x x 0 1
不变量：夹角，平行线，两长度的比率，面积的比率 度量结构：确定到只差一个相似变换的结构。
仿射变换
仿射变换是一个非奇异线性变换与一个平移变换的 复合。 '
x a11 ' y a21 1 0
l C m l
'T *' ' ' 1
l
' 2
KK l 0
' 3
T
它是关于2X2矩阵S=KKT的线性约束，矩阵S 是齐次对称矩阵，有2个自由度,公式化简为
m1 0 ' m2 0 0 ' m3
l
' 1
l S m
' 2
' 1
m
' T 2
C* i 1 i 0 i 1 i 0 0 1 0 0 0 0 0 0
对偶二次曲线C*在射影变换H下不变的充要条件是H 是相似变换。
射影平面上的夹角
cos l T C *m (l T C *l )(mT C *m)
射影变换
射影映射是IP2到它自身的一种满足下列条件的可逆 映射h：三点x1,x2,x3共线当且仅当h(x1),h(x2),h(x3) 也共线。 映射h：IP2→IP2是射影映射的充要条件是：存在一 个3X3非奇异矩阵H，使得IP2的任何一个用矢量x表 示的点都满足h(x)=Hx。 点：x’=Hx；H为3X3非奇异矩阵 直线：l’=H-Tl； 二次曲线：C’=H-TCH-1； 对偶二次曲线：C*’=HC*HT；
Cross( x1 , x2 , x3 , x4 )
xi1 xi x j det xi 2 x j1 x j2
x1 x2 x3 x4 x1 x3 x2 x4
( x11 x22 x12 x21 )( x31 x42 x32 x41 ) Cross( x1 , x2 , x3 , x4 ) ( x11 x32 x12 x31 )( x21 x42 x22 x41 )
虚圆点及其对偶
在相似变换下，无穷远直线上有两个不动点。他们 是虚圆点。I=(1,i,0)T,J=(1,-i,0)T 在射影变换H下，虚圆点为不动点的充要条件是H是 相似变换。 与虚圆点对偶的二次曲线C*=IJT+JIT。 C*是由这两个虚圆点构成的退化的线二次曲线。在 欧氏坐标系下 1 1 1 0 0
0 0 0
射影变换的分解
sR t / v K H HS H AH P 0 1 0
H 1 H P1 H A1 H S 1
0 I 1 V T
0 sRK tV T / v t T v V v
此夹角在射影变换下不变。 一旦二次曲线C*在射影平面上被辨认，那么 欧氏角便可以用上式测量。 如果 l T C*m 0 ，则直线l和m正交。 长度比：一旦C*被辨认，长度比可以测量。 可以通过测量角度获长 a / b sin A / sin B 度比。
由图像恢复度量性质
C*’=(HPHAHS)C*(HPHAHS)T =(HPHA)(HSC*HST)(HATHPT)=(HPHA)C*(HATHPT)
共点线
共点线是直线上共线点的对偶。任何四条共 点线都有一个确定的交比。
从图像恢复仿射和度量性质
无穷远线：(0,0,1)T 在射影变换H下，无穷远直线l为不动直线的充要条 件是H是仿射变换。（在仿射变换下，l不是点点不 动的） 如果无穷远直线的像是l=(l1,l2,l3)T，假定l3不为0，那 么把l映射回无穷远处的一个合适的射影变换是
KK T T V KK T KK T V T T V KK V
射影成分V和仿射成分K可以直接由C*的像确定。 在射影平面上，一旦C*被辨认，那么射影失真可以 矫正到相差一个相似变换。 1 0 0 相差一个相似变换的 利用SVD， C *' U 0 1 0 U T 矫正射影变换为H=U-1。