1.1.2简单几何体的结构特征
学案1：1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征学习目标1．认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．理解棱柱、棱锥、棱台的定义及其形成过程，会画棱柱、棱锥、棱台的图形．3．掌握棱柱、棱锥、棱台平行于底面的截面性质，并会在棱柱、棱锥、棱台中进行简单运算．基础知识1．多面体与截面(1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的______；相邻两个面的公共边叫做多面体的______；棱和棱的公共点叫做多面体的______；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的________．按围成多面体的面的个数分为：四面体、五面体、六面体……多面体至少有______个面．(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做________．(3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫做这个几何体的______．做一做1 长方体有__________条对角线，一个多面体至少有__________个面．2．棱柱(1)棱柱的概念．有两个互相平行的面，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，这些面围成的几何体称为棱柱．棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的________；其余各面叫做棱柱的________；两侧面的公共边称为棱柱的________；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的________．棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的______．(2)棱柱的表示法．用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示．(3)棱柱的分类．按底面多边形的________分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做________棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做______棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做__________．底面是平行四边形的棱柱叫做___________．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做__________，底面是矩形的直平行六面体是________，棱长都相等的长方体是_______．归纳总结在四棱柱中，应掌握好以下关系：用图示表示如下：做一做2－1 四棱柱有()A．4条侧棱，4个顶点B．8条侧棱，4个顶点C．4条侧棱，8个顶点D．6条侧棱，8个顶点做一做2－2 下列三种说法中，正确的个数是()①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③棱柱的侧面都是平行四边形．A．0 B．1 C．2 D．33．棱锥(1)棱锥的概念．有一面为________，其余各面是___________，这些面围成的几何体叫做棱锥．棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的________；各侧面的公共顶点叫做棱锥的________；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的________；多边形叫做棱锥的________．顶点到底面的距离，叫做棱锥的______．(2)棱锥的表示法．用表示顶点和底面各顶点的字母或用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示．(3)棱锥的分类．按底面多边形的________分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……(4)正棱锥的概念．如果棱锥的底面是__________，且它的顶点在过底面中心且与底面________的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的__________，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的________．知识拓展(1)只有正棱锥才有斜高，其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都等长．(2)正棱锥中有几个重要的特征直角三角形，利用它们可以把许多立体几何问题转化为平面几何问题解决．如图所示，正棱锥中，点O为底面中心，M是CD的中点，则△SOM，△SOC 均是直角三角形，常把一些量归结到这些直角三角形中去计算．很明显，△SMC，△OMC也是直角三角形．做一做3－1 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A．1个B．2个C．3个D．4个做一做3－2 正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，如图所示，则截面的面积为()A ．32a 2 B ．a 2C ．12a 2D ．13a 24．棱台 (1)棱台的概念．棱锥被________于底面的平面所截，________和______间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别称为棱台的________和________；其他各面称为棱台的________；相邻两侧面的公共边称为棱台的________；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的________；两底面间的距离叫做棱台的______． (2)棱台的表示法．用表示上下底面各顶点的字母表示棱台． (3)棱台的分类．按底面多边形的________分为：三棱台、四棱台、五棱台…… (4)正棱台的概念．由________截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的________，这些等腰梯形的高叫做棱台的________． 知识拓展在正棱台中，有三个重要的直角梯形——两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面对角线的一半组成一个直角梯形；斜高、侧棱和上下两底面边长的一半组成一个直角梯形．正棱台的计算问题，常转化为这几个直角梯形的计算问题．做一做4 棱台不具有的性质是( ) A ．两底面相似 B ．侧面都是梯形 C ．侧棱都平行D ．侧棱延长后都交于一点 重点难点1．棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征比较 剖析：名师点拨(1)有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，反例如下图．(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，反例如下图．2．教材中的“思考与讨论” 如何判断一个多面体是棱台？剖析：要判断一个多面体是不是棱台，首先看两个底面是否平行，其次把侧棱延长看是否相交于一点，这两条都满足的几何体才是棱台．典型例题题型一识别简单的空间几何体例1 下列几何体是棱柱的有()A．5个B．4个C．3个D．2个反思：本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图形，看到图形就想到文字叙述．题型二概念的理解和应用例2 一个棱柱是正四棱柱的条件是()A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的两条棱互相垂直D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形反思：在本题的解答过程中易出现选B的情况，导致此种错误的原因是两个侧面垂直于底面，并不能保证侧棱一定垂直于底面，只有是两个相邻的侧面才可以．题型三有关柱、锥、台的计算问题例3 正四棱台的上、下底面面积分别为4,16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．反思：本题由正四棱台的性质可知：上，下底面都是正方形，侧面是全等的等腰梯形，即可得出上、下底边及斜高的长；再由两个直角梯形便可计算出侧棱、斜高、高．故解题时应注意优先分析几何图形的关系，减少盲目性．例4 如图所示，直平行六面体AC1的侧棱长为100 cm，底面两邻边的长分别是23 cm和11 cm，底面的两条对角线的比为2∶3，求它的两个对角面的面积(过相对侧棱的截面叫对角面)．题型四立体图形的展开与平面图形的折叠问题例5 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4.M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N.求点P的位置．反思：解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题，一般都是将空间几何体表面展开，转化为求平面内两点间的线段长，这体现了数学中的转化思想．题型五易错辨析例6 下列说法中正确的有()①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥；③有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个错解：B(或C或D)错因分析：没有正确地理解棱柱、棱锥、棱台的定义． 随堂练习1.下图所示的几何体是棱台的是( )2.下列命题中正确的是( )A ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C ．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形3.如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2B ．3C ． 5D ．74.棱柱的侧面是________形，棱锥的侧面是________形，棱台的侧面是________形．5.正三棱锥底面面积为943，侧棱长为4，求此三棱锥的斜高和高．参考答案基础知识1．(1)面棱顶点对角线4(2)凸多面体(3)截面做一做1 442．(1)四边形平行底面侧面侧棱顶点高(3)边数斜直正棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方体做一做2－1 C做一做2－2 C【解析】由直棱柱的定义，知①正确；由正棱柱的定义，知底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误；由棱柱的定义知其侧面都是平行四边形，故③正确．3．(1)多边形有一个公共顶点的三角形侧面顶点侧棱底面高(3)边数(4)正多边形垂直等腰三角形斜高做一做3－1 D做一做3－2 C【解析】由正棱锥的性质，底面ABCD是正方形，∴AC＝2a.在等腰△SAC中，SA＝SC＝a，AC＝2a，∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝1 2a2.∴选C.4．(1)平行截面底面下底面上底面侧面侧棱顶点高(3)边数(4)正棱锥等腰梯形斜高做一做4C典型例题例1 D【解析】棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱．很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合．例2 D【解析】对于选项A，满足了底面是正方形，但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧面也是矩形．对于选项B，有两个侧面垂直于底面，不能保证侧棱垂直于底面．对于选项C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直．对于选项D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．例3 解：如图，设O′，O分别为上下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′，BC的中点，∴EF⊥BC，EF为斜高．由上底面面积为4，上底面为正方形，可得B′C′＝2；同理，BC＝4.∵四边形BCC ′B ′的面积为12，∴12×(2＋4)·EF ＝12， ∴EF ＝4.过B ′作B ′H ⊥BC 交BC 于H ，则BH ＝BF －B ′E ＝2－1＝1，B ′H ＝EF ＝4.在Rt △B ′BH 中，BB ′＝BH 2＋B ′H 2＝12＋42＝17.同理，在直角梯形O ′OFE 中，计算出O ′O ＝15.综上，该正四棱台的侧棱长为17，斜高为4，高为15.例4 解：∵棱柱AC 1是直平行六面体，∴两对角面都是矩形，其侧棱AA 1就是矩形的高． 由题意，得AB ＝23 cm ，AD ＝11 cm ，AA 1＝100 cm ，BD ∶AC ＝2∶3，设BD ＝2x cm ，则AC ＝3x cm.在平行四边形ABCD 中，BD 2＋AC 2＝2(AB 2＋AD 2)，即(2x )2＋(3x )2＝2×(232＋112)，解得x ＝10.∴BD ＝20 cm ，AC ＝30 cm.∴两个对角面的面积分别为S 矩形BDD 1B 1＝BD ·BB 1＝2 000(cm 2)，S 矩形ACC 1A 1＝AC ·AA 1＝3 000(cm 2)．例5 解：把该三棱柱展开后如图所示．设CP ＝x ，则AP ＝3＋x .根据已知可得方程22＋(3＋x )2＝29.解得x ＝2.所以点P 的位置在距离点C 为2的地方．例6 A正解：对于说法①，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图(1)．对于说法②，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图(2)所示．对于说法③，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体不一定是棱台，如图(3)所示．故说法①②③都是错误的，因此选A.随堂练习1．D【解析】选项A中的几何体四条侧棱延长后不相交于一点；选项B和选项C中的几何体的截面不平行于底面；只有选项D中的几何体符合棱台的定义与特征．2．A【解析】由棱柱的结构特征进行判断．3．C【解析】如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则易得FG＝2，EG＝1，故EF＝ 5.4．平行四边 三角 梯5．解：如图，设正三棱锥为S －ABC ，O 为底面△ABC 的中心，D 为BC 边的中点，连接OC ，OD ，SO ，SD ，则斜高为SD ，高为SO ，正△ABC 的面积为943，所以BC ＝3，所以CD ＝32，OC ＝3，OD ＝32.在Rt △SOC 和Rt △SOD 中，得高SO ＝SC 2－OC 2＝42－(3)2＝13，斜高SD ＝SO 2＋OD 2＝13＋34＝552，即此正三棱锥的斜高为552，高为13.。
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征
例5.如图所示，在透明塑料支撑的长方体 ABCD A 1B 1C1D 1 容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC置于地面上， 再将容器，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状 成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③ A1D1 始终与水面 EFGH平行，其中正确命题的序号是 。
A'
C'
D B A
C
Bqr6401@
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
例4.已知正四棱锥V-ABCD，底面面积为16，一条侧
棱长为 2 11 ，计算它的高和斜高。 V
D O A
Bqr6401@
C B M
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
Bqr6401@
七、布置作业
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue课本第5页，练习B Nhomakorabea 弹性作业：
课本：第
页，
页，我夯基，我达标
优化设计，同步测控，第
Bqr6401@
普 通 高 中 课 程 标 准
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下课
Bqr6401@
棱锥的符号表示：棱锥 S ABCD
S
侧 棱
顶点:由棱柱的一个 底面收缩而成.
侧面
高
A
D B
C 底面
Bqr6401@
三、概念形成
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Liangxiangzhongxue
概念：棱锥的分类
按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥，…… 如果底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与 底面垂直的直线上，这样的棱锥叫做正棱锥。 S
教学设计2：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征【教学目标】1．掌握棱柱、棱锥和棱台的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力．2．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想．【重点难点】教学重点：理解棱柱、棱锥和棱台的结构特征．教学难点：归纳棱柱、棱锥和棱台的结构特征．【课时安排】1课时【教学过程】导入新课设计1.从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市大厦的旋转酒吧、旋转餐厅，还有上海东方明珠塔上的两个球形建筑等．它们都是独具匠心、整体协调的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶．今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？引出课题．设计2.在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑物的几何结构特征如何？引导学生回忆、举例和相互交流，教师对学生的活动及时给予评价，引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)观察下图所示的几何体，这些几何体都是多面体．多面体集合具有什么性质？多面体的结构特征是什么？(2)阅读教材，给出多面体的面、棱、顶点、对角线的定义．(3)阅读教材，多面体如何分类？(4)什么叫几何体的截面？讨论结果：(1)多面体的每个面都是多边形(围成多面体的多边形都包含它内部的平面部分)，而圆柱、圆锥、球等其他几何体就不具有这种性质．由此得出多面体的结构特征：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．(2)如下图所示，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD 、面BCC ′B ′；相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AB 、棱AA ′；棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点A 、顶点A ′；连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线，如对角线BD ′.(3)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．如上图中的(1)(2)(3)都是凸多面体，而(4)不是．本书中说到多面体，如果没有特别说明，指的都是凸多面体．多面体至少有4个面．多面体按照围成它的面的个数分别叫做四面体、五面体、六面体…… 多面体的分类：多面体⎩⎪⎨⎪⎧ 非凸多面体凸多面体⎩⎪⎨⎪⎧ 四面体五面体六面体……(4)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫做这个几何体的截面，在上图中画出了多面体的一个截面EAC .提出问题(1)观察如下图所示的多面体，根据小学和初中学过的几何知识，这些多面体是棱柱，棱柱集合具有什么性质，其特征性质是什么？(1)(2)(3)(2)阅读教材，给出棱柱的底面、侧面、侧棱、高的定义．(3)阅读教材，棱柱如何分类？(4)阅读教材，说一说特殊的四棱柱．讨论结果：(1)如果我们以运动的观点来观察，棱柱可以看成一个多边形(包括图形围成的平面部分)上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体．观察这个移动过程，我们可以得到棱柱的主要特征性质：棱柱有两个相互平行的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行(如上图)．(2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．棱柱两底面之间的距离，叫做棱柱的高．(3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示．例如，上图(3)中的五棱柱可表示为棱柱ABCDEA′B′C′D′E′或棱柱AC′.棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱(上图(1))．侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱(上图(2)(3))．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(上图(3))．(4)下面研究一些特殊的四棱柱．底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体(下图)．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体(下图(2)(3)(4))．底面是矩形的直平行六面体是长方体(下图(3)(4)．棱长都相等的长方体是正方体(下图(4))．提出问题1.观察如下图所示的多面体，可能会判定是一些棱锥，棱锥集合具有什么性质？棱锥有什么特征性质？(2)阅读教材，给出棱锥的侧面、顶点、侧棱、底面、高的定义，如何表示棱锥？(3)阅读教材，棱锥如何分类？讨论结果：(1)棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．(2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离，叫做棱锥的高．(3)棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示．例如，下图中棱锥可表示为棱锥S—ABCDE或者棱锥S—AC.棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥(下图)．容易验证：正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高(下图)．提出问题阅读教材，给出棱台的有关概念.讨论结果：如左下图所示，棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．棱台可用表示上下底面的字母来命名．如右上图中的棱台，记作棱台ABCD—A′B′C′D′，或记作棱台AC′.棱台的下底面为ABCD、上底面为A′B′C′D′、高为OO′.应用示例思路1例1设计一个平面图形，使它能够折成一个侧面与底面都是等边三角形的正三棱锥．解：因为要制作的正三棱锥的侧面与底面都是等边三角形，所以它的棱长都相等(下图)．于是作一个等边三角形及其三条中位线，如下图所示，沿图中的实线剪下这个三角形，再以虚线(中位线)为折痕就可折成符合题意的几何体．点评：本题揭示了平面图形与立体图形的关系，即可以相互转化，因此将空间问题转化为平面问题．变式训练1．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如左下图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝__________.【解析】如右上图所示，折成正方体，很明显点A、B、C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC＝90°.【答案】90°例2已知正四棱锥V—ABCD(下图)，底面面积为16，一条侧棱长为211，计算它的高和斜高．解：设VO为正四棱锥V—ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点．连结OM、OB，则VO⊥OM，VO⊥OB.因为底面正方形ABCD的面积为16，所以BC＝4，BM＝OM＝2，OB＝BM2＋OM2＝22＋22＝2 2.又因为VB＝211，在Rt△VOB中，由勾股定理，得VO＝VB2－OB2＝（211）2－（2202＝6.在Rt△VOM(或Rt△VBM中，由勾股定理，得VM＝62＋22＝210(或VM＝（211）2－22＝210)．即正四棱锥的高为6，斜高为210.点评：解决本题的关键是构造直角三角形．正棱锥中，高、斜高和底面正多边形的边心距构成直角三角形；高、侧棱和底面正多边形的半径构成直角三角形．思路2例3下列几何体是棱柱的有()A．5个B．4个C．3个D．2个【解析】判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意．棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱．很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合．【答案】D点评：本题主要考查棱柱的结构特征．本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看到图形就想到文字叙述．变式训练1．下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．0【解析】①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①是错误的；②中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．【答案】A2．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点【答案】D例4长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为() A．1＋ 3 B．2＋10 C．3 2 D．23活动：解决空间几何体表面上两点间最短线路问题，一般都是将空间几何体表面展开，转化为求平面内两点间线段长，这体现了数学中的转化思想．【解析】如左下图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如右上图所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝52＋12＝26，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是26；如左下图所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝32＋32＝32，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是32；如右上图所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝42＋22＝25，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2 5.由于32<25，32<26，所以由A到C1在正方体表面上的最短距离为3 2.【答案】C点评：本题主要考查空间几何体的简单运算及转化思想．求表面上最短距离可把立体图形展成平面图形．变式训练1．左下图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．分析：制作实物模型(略)．通过正方体的展开右上图可以发现，AB间的最短距离为A、B两点间的线段的长22＋12＝ 5.由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．具体爬行路线如下图中的粗线所示，我们要注意的是爬行路线并不唯一．解：爬行路线如下图(1)～(6)所示：2．如下图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长为__________．【解析】将正三棱柱ABC—A1B1C1沿侧棱AA1展开，其侧面展开图如左下图所示，则沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长就是左下图中AD＋DA1.延长A1F至M，使得A1F＝FM，连结DM，则A1D＝DM，如右下图所示．则沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长就是如右上图中线段AM的长．在右上图中，△AA1M是直角三角形，则AM＝AA21＋A1M2＝82＋（1＋1＋1＋1＋1＋1）2＝10.【答案】10知能训练1．如下图，观察四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是棱台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱【解析】图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是棱台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．【答案】C2．正方体的截平面不可能．．．是：①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形．下述选项正确的是()A．①②⑤B．①②④C．②③④D．③④⑤【解析】正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形(证明略)；对四边形来讲，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形(证明略)；对五边形来讲，不可能是正五边形(证明略)；对六边形来讲，可以是六边形(正六边形)．【答案】B拓展提升1．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？剖析：如下图所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱，因此说有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱．由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．这3个特征缺一不可，下图所示的几何体不具备特征③.2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？剖析：如左下图所示，将正方体ABCD—A1B1C1D1截去两个三棱锥A—A1B1D1和C—B1C1D1，得如右下图所示的几何体．右上图所示的几何体有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形的几何体，很明显这个几何体不是棱锥，因此说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．由此看，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是多边形；②其余各面都是三角形；③这些三角形面有一个公共顶点．这3个特征缺一不可，右上图所示的几何体不具备特征③.课堂小结本节课学习了棱柱、棱锥和棱台的结构特征．作业1．如下图，甲所示为一几何体的展开图．(1)沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图．(2)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在图乙棱长为6cm的正方体ABCD—A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称．【答案】(1)有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如下图甲所示．(2)需要3个这样的几何体，如上图乙所示．分别为四棱锥：A1—CDD1C1，A1—ABCD，A1—BCC1B1.2．如下图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4.M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求P点的位置．分析：把三棱锥展开后放在平面上，通过列方程解应用题来求出P到C点的距离，即确定了P点的位置．解：如下图所示，把正三棱锥展开后，设CP＝x，根据已知可得方程22＋(3＋x)2＝29，解得x＝2(x>0)．所以P点的位置在离C点距离为2的地方．3．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60 °，则该棱锥的体积为() A．3 B．6C．9 D．18【解析】作下图，依题可知SO＝23sin60°＝23·32＝3，CO＝23·cos60°＝23·12＝3，∴底面边长为 6.从而V S—ABCD＝13S ABCD·SO＝13×(6)2×3＝6.【答案】B设计感想本节教学设计，充分体现了新课标的精神，按课程标准的要求：降低逻辑推理，通过直观感受和操作确认来设计．在使用时，建议使用信息技术来处理图片和例题，否则会造成课时不足的矛盾．。
1.1.2简单组合体的结构特征
(2)
(3)
圆锥
球
(4) 圆柱
2. 一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在 的直线旋转180度形成的封闭曲面所围成的几何体 是_圆__台___.
3. 一个矩形绕着一边的中垂线旋转180度形成 的封闭曲面所围成的几何体是圆__柱__。
4. 一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直 线旋转180度形成的封闭曲面所围成的几何体是 _圆__锥___。
其中正确的是____(_4_)____。
课堂小结
现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、 锥、台、球等几何结构的物体组合而成。有两种 基本形式：一种由简单几何体拼接而成，一种是 简单几何体截去或挖去一部分而成。
有两种基本形式
一种由简单几何体拼接而成。 一种是简单几何体截去或挖去一部分而成。
凡事欲其成功，必要付出代价:奋斗。 ——爱默生
பைடு நூலகம்
上图由一个圆柱和 一个长方体组成。
上图由一个长方体截 去一个三棱锥得到。
思考
下面这些几何体是那种构成形式呢？组合而成呢？ 还是由什么简单几何体截去或挖去一部分而成？
去掉
去掉
例：请描述如图2所示的组合体的结构特 征.
图2
课堂练习
1.说出下列图形绕虚线旋转一周,可以形成怎样 的几何体?
(1) 圆台
棱锥
圆柱
棱台
圆台
这些几何体又是什么呢？
1.1.2 简单组合体的结构特征
现实世界中的物体表示的几何体，除柱、 锥、台、球等简单几何体外，还有大量的几何 体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫 做简单组合体。
活动探究：请指出下列几何体是由哪些简单 几何体组合而成的.
简单组合体的构成有两种基本形式：一 种由简单几何体拼接而成，一种是简单几何 体截去或挖去一部分而成。
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
【提升总结】 如何描述圆锥的几何结构特征？ （1）底面是圆面. （2）侧面展开图是以母线长为半径的扇形面. （3）母线相交于顶点. （4）平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等 的圆面. （5）轴截面是等腰三角形面．
探究点3 圆台的结构特征
圆柱、圆锥可以看作是由矩 形或三角形绕其一边所在直 线旋转而成，圆台是否也可 看成是某图形绕轴旋转而成？
经理杨卫勇等嘉宾出席活动，，第二条 本章程适用于郑州轨道工程职业学院普通全日制专科层次招生工作，陕西兵马俑
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上海旗袍秀陕西与上
海师生分别进行了课堂展示，课堂形式多样，创新性强，效果佳，史松作词、钟新能作曲的《母亲之歌》跃然唱响，余声绕梁幸福家园关爱母系唱响母亲之歌大型公益活动首次为地球村生活的50后、
2.由简单几何体截去或者挖出一部分组成，如图.
但实际上，外教一直都是我国教育行业稀缺的人才资源，具有外教资格、拥有纯正英语口语、获得工作签证的合法外教数量十分稀缺，远远不能满足行业需求，尤其是在三四线及开外的城市，外教资源
和资质问题更加突出，其次是连接教育的模式、环境和阶段，E PLUS北外壹佳英语为学员打造了线上与线下、教师主导与自主学习、实时与非实时、短期与长期、一对一与一对多等相结合的模式，创
（5）轴截面是矩形面． 圆柱: 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转 形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．
轴：旋转轴叫做圆柱的轴；
底面
底面：垂直于轴的边
侧面
旋转而成的圆面叫做
圆柱的底面；
侧面：平行于轴的边
母线
旋转而成的曲面叫做
轴
底面
圆柱的侧面；
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都
叫做圆柱侧面的母线的分类：
1.1.2简单组合体的结构特征1.2空间几何体的三视图
简单组合体
日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、 暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？ 由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认 识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱
圆台
圆柱
简单组合体
走在街上会看到一些物体，它们的主要几何结构特 征是什么？
简单组合体
D
A B a b C D A B C
d
c a b
d
c
投射线与投影面 相倾斜的平行投 影法 -----斜投影法
平行投影法
投射线与投影面相互垂 直的平行投影法 ----------正投影法。
中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物 体，主要运用于绘画领域。
平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体 的形状和特征。因此更多应用于工程制图或技术图样
正视图
侧视图
俯视图
四棱柱
由三视图想象几何体
下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
正视图
左视图
圆锥 俯视图
由三视图想象几何体
一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
四棱锥
回忆初中已经学过的正方体、长方体、圆 柱、圆锥、球的三视图．
正方体的三视图
俯
左
长方体的三视图
俯
左
长方体
圆柱的三视图
俯
左
圆柱
圆锥的三视图
俯
左
圆锥
球的三视图
俯
左
球体
小节三视图有关概念
“视图”是将物体按正投影法向投影面投射 时所得到的投影图． 光线自物体的前面向后投影所得的投影图 称为“正视图” ，自左向右投影所得的投影图 称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图 称为“俯视图”．
高一数学必修二 1.1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形 成的旋转体叫做球体,简称球
有关 半圆的圆心叫做球的球心;半圆的半径叫做球的半径;
概念 半圆的直径叫做球的直径
图形
表示 球常用表示球心的字母表示,如上图中的球表示为球 法O
1 2 34
知识梳理
知识拓展1.球面的定义:与定点的距离等于定长的所有点的集合 (轨迹)叫做球面.
3.圆台
定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部 分叫做圆台(圆台也可以看作是以直角梯形垂直于底边的 腰为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体)
图形
有关概 念
原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面.与 圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、侧面、母线,如上图所示, 轴为 O'O,A'A,B'B 为母线
概念 叫做圆锥的顶点,OA(或 OB)叫做底面☉O 的半径 表示 圆锥用表示它的轴的字母表示,上图中的圆锥可表示为 法 圆锥 SO
规定:棱锥与圆锥统称为锥体.
知识梳理
1 2 34
归纳总结圆锥的简单性质: (1)圆锥有无数条母线,它们有公共点即圆锥的顶点,且长度相等.
(2)平行于底面的截面都是圆,如图①所示. (3)过轴的截面都是全等的等腰三角形,如图②所示. (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形,如图③所示.
12
2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较 剖析:如下表所示.
结构特征 圆柱
两个底面
底面
是平行且
形状
半径相等
的圆
侧面
展开
矩形
图形状
母线
平行且相 等
圆锥 只有一个 底面,且底 面是圆
扇形
相交于顶 点
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是 A.①② ( B.②③ ) C.①③ D.②④
【解题探究】1.典例1中圆锥的轴截面及圆台平行于底面的截面分别 是什么图形? 提示:圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台平行于底面的截面是圆面. 2.典例2中圆柱、圆锥、圆台的母线各指什么? 提示:圆柱的轴截面与侧面的交线即为圆柱的母线 ,圆锥的顶点与底面 圆周上任一点的连线即为圆锥的母线,圆台的轴截面与圆台侧面连线 即为圆台的母线.
2.圆锥的母线条数为 A.1条 C.3条
(
) B.2条 D.无数条
【解析】选D.由圆锥的结构特征知圆锥的母线有无数条.
3.下列图形中是圆柱的序号为
.
【解析】根据圆柱的概念可知只有②是圆柱. 答案:②
4.下列给出的图形中,绕给出的轴旋转一周(如图所示),能形成圆台的 是 (填序号).
【解析】根据定义,①形成的是圆台,②形成的是球,③形成的是圆柱, ④形成的是圆锥. 答案:①
答案:(1)(2)
易错案例
柱体、锥体、台体的判断
【典例】如图所示,它们是不是棱锥、棱台、圆柱、圆锥等几何体?
【解析】1.选C.由圆锥的概念知,直角三角形绕它的一条直角边所在 直线旋转一周所围成的几何体是圆锥.强调一定要绕着它的一条直角 边,即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线 ,因而C错. 2.选D.由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确 ,①③ 错误.
【方法技巧】 1.简单旋转体判断问题的解题策略 (1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决 此类概念问题的关键. (2)解题时要注意明确两点: ①明确由哪个平面图形旋转而成. ②明确旋转轴是哪条直线.
2.旋转后的图形草图分别如图1,2所示.
高中数学 1.1.2《台、球体及简单几何体的结构特征》教案 新人教A版必修2
课题：台、球体及简单几何体的结构特征课型：新授课教学目标：通过实物模型，观察大量的空间图形，认识台体、球体及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出台体、球体及简单几何体的结构特征。
教学难点：台、球体及简单几何体的结构特征的概括.教学过程：一、复习准备：1. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出：定义、分类、表示。
2. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出各几何体的一些几何性质？二、讲授新课：1. 棱台与圆台的结构特征：（1）思考：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？（2）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是棱台和圆台？（3）结合课本图1.1-6认识：棱台的上、下底面、侧面、侧棱、顶点.结合课本图1.1-9认识：圆台的上、下底面、侧面、母线、轴。
（4）棱台的分类及表示：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等；棱台用表示底面各顶点的字母表示，例如图1.1-6中的棱台表示为棱台ABCD-A’B’C’D’. (5) 圆台的表示:圆台用表示它的轴的字母表示，例如图1.1-9的圆台表示为圆台O’O.（6）讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.棱台与圆台统称为台体。
2．球体的结构特征：（1）定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体，简称球.列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是球体？（2）结合课本图1.1-10认识：球心、半径、直径.在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
高中数学 1.1 空间几何体 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球知识梳理1.棱柱和圆柱统称为柱体.(1)棱柱的本质特征:①有两个面(所在平面)互相平行；②其余各面中每相邻两个面的公共边互相平行.(2)棱柱的性质:①棱的性质:侧棱都平行,并且长度都相等.②面的性质:侧面是平行四边形；两个底面平行,是全等多边形.平行于底面的截面与底面全等.(3)圆柱的特征:①有两个底面互相平行,且为形状、大小一样的圆；②侧面为曲面,展开为矩形.2.棱锥和圆锥统称为锥体.(1)棱锥的本质特征:①有一个面是多边形;②其余各面都是有一个公共顶点的三角形.(2)圆锥的特征:①只有一个顶点,只有一个底面为圆面；②侧面为曲面,展开为扇形.3.棱台和圆台统称为台体.(1)棱台的性质:①棱的性质:侧棱延长之后,必相交于一点.②面的性质:侧面是梯形；两个底面平行,是全等的多边形.(2)圆台的性质:①上下底面平行,为半径不等的圆形;②侧面展开图为一个扇环.4.(1)球面可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.(2)球的性质:球被任意一个平面所截得的截面是一个圆面.知识导学本节知识是从生活实际中引申出来的,所以,在学习这一部分之前可以先制作一些模型,观察这些模型,进行总结,得出相应的结论,然后根据结论对照图形,加深对几何体性质的理解.对于柱、锥、台体的形状特征可以利用下列口诀加以记忆:底面平行又全等,可能圆柱或棱柱;棱锥圆锥摘掉帽,一个台体就出炉.对于台体的有关问题,可以结合锥体的性质解决,而不要把台体和锥体独立起来,有时候把台体补成一个锥体可以在锥体中进行计算.而面积较小的平面可以看成与锥体的一个与底面平行的截面,根据它们之间的相似比计算其中的元素,这是常用的处理方法.四棱柱是最常见的一种棱柱,包括长方体与正方体，它们都是四棱柱的一种特殊情形.要注意特殊四棱柱的特殊性质及它们之间的联系.球是平面图形圆在空间的延伸,因此在研究球的性质时,应注意与圆的性质的类比.球又是旋转体,由于旋转体是轴对称几何体,故解题时常利用它的轴截面图形,从而化空间问题为平面问题.熟练掌握大圆的半径、截面圆半径以及球心到截面圆圆心的距离的关系是解决有关球问题的关键.疑难突破1.怎样解决与球有关的接、切问题?剖析：解决与球有关的接、切问题时,一般作一个适当的截面,将问题转化为平面问题解决,这类截面通常指球的大圆、多面体的对角面等,在这个截面中应包括几何体的主要元素,且这个截面必须能反映出各元素之间的关系.2.锥体和台体之间的联系.剖析：锥体和台体既有联系又有区别,台体可以看成锥体截掉一个小锥体后的几何体,是锥体的一部分,故可以把两种几何体的关系互相转化.锥体和台体是两种不同的几何体,它们的体积及表面积等的计算方法不同,各个面的形状也不一样,但是它们之间也是有联系的:台体是由锥体截得的,可以看成锥体的一部分,而不能理解成是把柱体的一个面的面积变小.只有通过和锥体的关系才能理解棱台侧棱的延长线相交于一点这一性质.根据锥体和台体的这一性质,在求与台体有关的问题时可以把它补成一个锥体,如用一个平行于底面的截面截掉一个小棱锥得棱台,而这个截面与底面是相似的平面图形,其面积的比等于对应高的平方比,根据这一关系可以解决很多与棱台有关的问题.。
学案2：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算．知识点一空间几何体的定义、分类及相关概念思考构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？梳理类别多面体旋转体定义由若干个围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条旋转所形成的封闭几何体图形相关概念面：围成多面体的各个棱：相邻两个面的顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线知识点二棱柱的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱柱有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的顶点：侧面与底面的按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、……知识点三棱锥的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱锥有一个面是，其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S—ABCD底面(底)：面侧面：有公共顶点的各个侧棱：相邻侧面的顶点：各侧面的按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……知识点四棱台的结构特征及棱柱、棱锥、棱台之间的关系1．棱台的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱台用一个的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′上底面：平行于棱锥底面的下底面：原棱锥的侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系思考辨析判断正误1．棱柱的底面互相平行．()2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．()3．若一个平行六面体的两个对角面都是矩形，则这个平行六面体一定是直平行六面体．()4．棱柱的各个侧面都是平行四边形．()5．棱柱的两个底面是全等的多边形．()类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征命题角度1棱柱的结构特征例1下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行．其中正确说法的序号是________．反思与感悟棱柱结构特征的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．跟踪训练1下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．棱柱的侧棱总与底面垂直D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形命题角度2棱锥、棱台的结构特征例2(1)下列三种叙述，正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个(2)下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③棱锥的侧棱平行．A．①B．①②C．②D．③反思与感悟判断棱锥、棱台的方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．类型二多面体的识别和判断例3如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．跟踪训练3如图所示，关于该几何体的正确说法有________．(填序号)①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．类型三多面体的平面展开图例4在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．反思与感悟(1)多面体侧面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求平面上两点间的最短距离问题，常见的解法是先把多面体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解．(2)解答展开与折叠问题，要结合多面体的定义和结构特征，发挥空间想象能力，必要时可制作平面展开图进行实践．跟踪训练4如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？课堂小结1．棱柱、棱锥定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力．当堂检测1．下面多面体中，是棱柱的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台3．下列说法中正确的是()A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形4．某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.参考答案知识点一【答案】构成空间几何体的基本元素是：点、线、面．常见几何体可以分为多面体和旋转体．梳理平面多边形多边形公共边定直线知识点二平行四边形平行平行公共边公共顶点知识点三棱锥的结构特征多边形三角形多边形三角形面公共边公共顶点知识点四1．平行于棱锥底面截面底面思考辨析判断正误1．√2．×3．√4．√5．√例1【解析】(1)错，底面可以不是平行四边形；(2)错，底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义可知．【答案】(3)跟踪训练1【解析】选项A，B都不正确，反例如图所示，C错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不垂直．根据棱柱的定义知D正确．【答案】 D例2(1)【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．故选A.【答案】 A(2)【解析】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点不平行，故③错．【答案】 B跟踪训练2【解析】①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．【答案】①②例3解(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义．(2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 跟踪训练3【解析】①正确，因为有六个面，属于六面体的范畴；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图所示．【答案】①③④⑤例4 解沿长方体的一条棱剪开，使A和C1在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：(1)若将C1D1剪开，使点A，B，C1，D1在一个平面内，可求得AC1＝42＋(5＋3)2＝80＝4 5.(2)若将AD剪开，使点A，D，C1，B1在一个平面内，可求得AC1＝32＋(5＋4)2＝90＝310.(3)若将CC1剪开，使点A，A1，C，C1在一个平面内，可求得AC1＝(4＋3)2＋52＝74.相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为74.跟踪训练4解①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．当堂检测1．【解析】根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．【答案】 D2．【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．【答案】 B3．【解析】 棱柱的两底面互相平行，故A 正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B 错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C 错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形．但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D 错． 【答案】 A4．【解析】 两个相同的图案一定不能相邻，故B ，C ，D 错误，只有A 正确． 【答案】 A5．【解析】 因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为605＝12(cm)． 【答案】 12。
第1章 1.1.2 简单组合体的结构特征
1.1.2简单组合体的结构特征【课时目标】1．正确认识由柱、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征．2．能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．1．定义：由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体．2．组合形式一、选择题1．如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是()A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的()3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是() A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由() A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成5．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示为一空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是__________________．9．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．三、解答题10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．11．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是()13．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．组合体的结构特征有两种组成：(1)是由简单几何体拼接而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．1．1．2简单组合体的结构特征答案知识梳理1．简单几何体2．截去或挖去一部分作业设计1．A2．A3．D4．D5．A6．D[一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]7．①②③④ 8．圆台和圆柱(或棱台和棱柱) 9．球体10．解 将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成．11．解 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：12．B 13．解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x ．因为△V A 1C 1∽△VMN ，解得2x 2r ＝h －x h，所以2hx ＝2rh －2rx ，解得x ＝2rh2r ＋2h．即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r ＋2h．。
1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体结构特征
自主学习 新知突破
如图，给出下列实物图．
[问题1] 上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不 同？
[提示1] 与多面体不同之处在于它是由平面与曲面围成 的．
[问题2] 上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平 面图形旋转而成？
[提示2] 可以． [问题3] 如何形成上述几何体的曲面？ [提示3] 可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边所在直 线为轴旋转而成．
图形表示法
轴：__旋__转__轴___叫做圆锥的
以直角三角形的 轴；底面：_垂__直__于__轴__的边
__一__条_直__角__边___所 旋转而成的__圆__面___叫做圆
圆 锥
在直线为旋转 轴，其余两边旋 转形成的面所围
锥的底面；侧面：直角三 角形的___斜__边___旋转而成 的_曲__面___叫做圆锥的侧
(1)明确由哪个平面图形旋转而成． (2)明确旋转轴是哪条直线． 2．简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简 单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平 面图形的转化思想．
1．(1)圆锥的母线有( )
②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可 得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋 转得到的几何体如图2，故②错；③用平行于圆锥底面的平面 去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面 的平面不能得到，故③错；④正确．
答案： C
1.判断简单旋转体结构特征的方 法
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
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（1）
.（2）作业:P10 习题1, 2把一个圆锥截成圆台，截去的圆锥与圆 台的母线长比为2:1,圆台的上底面半径为 6cm,问下底面半径比上底面半径多多少？
思考题2：
1、侧棱不垂直于底面且底面为三角形 斜三棱柱 的棱柱叫做___________; 2、侧棱垂直于底面且底面为四边形的 直四棱柱 棱柱叫做____________; 3、侧棱垂直于底面且底面为正五边形 正五棱柱 的棱柱叫做____________。
(2)
2. 说出下列图形绕虚线旋转一周,可 以形成怎样的几何体?
C（1）（3） D （2）（4）
6 例1：下列命题中正确的是（ D ） A、有两个面平行，其余各面都是四 边形的几何体叫棱柱。 B、有两个面平行，其余各面都是平 行四边形的几何体叫棱柱。（举例） C、有两个侧面是矩形的棱柱是直棱 柱。（举例） D、有两个相邻侧面垂直与底面的棱 柱是直棱柱。
把一个圆锥截成 圆台，已知圆台的上、 下底面半径的比是1：4，母线长为10cm， A 求圆锥的母线长。
解:
设圆锥的母线长为 y ，则有 (y-10):y= OD : OB 1: 4 4(y-10)=y
D
O
E
B
O
C
40 y (cm) 3 40 答：圆锥的母线长为 cm. 3
10cm
A
D
O
E
O
B
C
练习.在球内有相距2cm 的两个平行截面，它们的面积 分别是 64πcm2 和 36πcm2，求球的表面积。
4、下列表达不正确的是（
B）
A 用平行于圆锥底面的平面截圆锥， 截面和底面之间的部分是圆台
B 以直角梯形的一腰为旋转轴， 另一腰为母线的旋转面是圆台的侧面 C 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆．
D 圆台的母线延长后与轴交于同一点
5、有下列命题： （1）在圆柱的上下底面圆周上各取一点， 则这两点的连线是圆柱的母线； （2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的 连线是圆锥的母线； （3）在圆台上下底面的圆周上各取一点， 则这两点的连线是圆台的母线； （4）圆柱的任意两条母线所在的直线 是互相平行的。 其中正确的是（ D ） A（1）（2） B（2）（3）
(1)
(2)
(3)
(4)
3．下列表达不正确的是 （ B ） A 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余 三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆柱 B 以直角三角形的一条边所在直线为旋转 轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体 叫圆锥 C 以直角三角形的一条直角边所在直线为 旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几 何体叫圆锥 D 以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋 转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何 体叫圆锥