物理时变电磁场
第七章 时变电磁场
在电导率较低的介质中 Jd Jc
在良导体中
Jd Jc
麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此前述安 培环路定律变为
l H dlS(JJd)dS
现在学习的是第8页，共66页
即 l HdlS(JD t)dS
HJD t
上两式称为全电流定律。它表明时变磁场是由传导电
流、运流电流以及位移电流共同产生的。
位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以 产生时变磁场。
例 已知内截面为a b 的矩形金属波导中的时变电
磁场的各分量为
y
b a
z
EyEy0sin a πxcost (kzz) HxHx0sin a πxcost (kzz) HzHz0coa πsxsi nt(kzz)
x
其坐标如图所示。试求波导中的位移电流分布和波导内
壁上的电荷及电流分布。波导内部为真空。
③ 电通密度的法向分量边界条件与介质特性有关。
在一般情况下，由高斯定律求得 D2nD1n S
或写成矢量形式 en(D 2D S
式中, S 为边界表面上自由电荷的面密度。
现在学习的是第18页，共66页
两种理想介质的边界上不可能存在表面自由电
荷，因此
D1nD2n
对于各向同性的线性介质，得
1E1n2E2n
2E 2 tE 2 J t1
2H2H J
t2
在三维空间中需要求解 6 个坐标分量。
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2A2AJ
t2
2Φ2Φ t2
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。
在直角坐标系中，实际上等于求解 1 个标量方程。
现在学习的是第31页，共66页
5. 位函数方程的求解 根据静态场结果，采用类比方法推出其解。
时变电磁场中,数学表达
时变电磁场中,数学表达今天我们要讨论的是时变电磁场的数学表达。
我们将会首先了解时变电磁场的基本概念，然后了解如何使用数学来描述时变电磁场，以及用数学解决时变电磁场的动力学问题。
最后，我们将进一步探讨时变电磁场的实际应用。
时变电磁场是指物体周围与时间有关的电磁场。
它可以被描述为由电场强度E和磁场强度B所组成，电场强度和磁场强度可以根据特定空间点以及时间上的变化来表达。
在物理学中，时变电磁场和时空有着密切的关系。
一般来说，时变电磁场可以定义为由电场强度E和磁场强度B所组成的矢量场，其中电场强度E和磁场强度B根据某一特定空间点和时间上的变化表达出来。
那么，如何使用数学来描述时变电磁场呢？最常用的方法是使用微分方程。
更具体地说，根据电磁学的基本原理，可以导出一个非常重要的时变电磁场的微分方程组，即Maxwell方程，用于描述时变电磁场的动态变化。
这组方程表达出时变电磁场的物理变化，因此可以得到时变电磁场的数学表达。
Maxwell方程是用于描述时变电磁场动态变化的一组通用的微分方程，通过解决Maxwell方程组，我们可以得到时变电磁场的具体表达。
Maxwell方程的特征在于它描述的是电磁场的动态变化而不是静态特征。
因此，只有解决Maxwell方程组，我们才能够正确描述时变电磁场。
另外，Maxwell方程还可以用于求解时变电磁场动力学问题。
这是因为Maxwell方程组描述的是时变电磁场的动态特性，这些特性受时空结构的影响而变化。
通过解决Maxwell方程组，可以计算出某一特定时间点上电场强度和磁场强度的分布情况，从而研究时变电磁场在不同时间点上的变化特性。
最后，我们来看看时变电磁场的实际应用。
时变电磁场的应用主要涉及到电磁力学，电磁辐射，电磁波和时变电磁场的传播等领域。
例如，时变电磁场可以用于电路的仿真和设计，特别是在高频信号处理领域，时变电磁场可用于设计和仿真各种高频电路系统。
另外，时变电磁场还可以用于电磁波传播计算，例如通信领域，电磁辐射领域等。
电磁场第五章 时变电磁场
H2
同理得
en
(E1
E2
)
0
或
E1t E2t
5.4.2 两种常见的情况 1. 两种理想介质分界面
上的边界条件
在两种理想介质分界 面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS ＝0，故
en
媒质 1 媒质 2
Er、Hr 的切向分量连续
en
媒质 1 媒质 2
Dr、Br的法向分量连续
en
dt
BgdS
S
即
Ñ 若空间同时存在由电荷产生的电场
rr r 。E由 于Ein Ec
，故有
C
rr Ec gdl
0
Er c,则总电场
应Er为
与Erin 之E和rc ，
rr d r r
ÑC Egdl
dt
S BgdS
这就是推广的法拉第电磁感应定律。
2. 引起回路中磁通变化的几种情况：
(1) 回路不变，磁场随时间变化
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
H
J
D
E
t B
t
B 0
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
5.3.2 媒质的本构关系
在时变的情况下不适用
解决办法： 对安培环路定理进行修正
由
D
J
(
D)
将
H
J
修正为：
H
t J
D
t
时变电场会激发磁场
(J
D )
5.1 电磁感应定律 5.2 全电流定律
Φ=∫
S
r r r r B ⋅ d S = B ⋅ en S
α =ω t
r r = ( e y B0 sin ω t ) ⋅ ( en hw ) = B0 hw sin ω t ⋅ cos α = B0 hw sB hw(cos dt
0
2
ω t − sin 2 ω t )
r r ∂D Jd = 位移电流密度： 位移电流密度： ∂t
位移电流密度等于电位移矢量的时间变化率
单位 A/m2
}
r dq r ∫ Jd ⋅d S = d t S
5.2.3 全电流定律
r r 将传导电流与位移电流的总和称为全电流： 将传导电流与位移电流的总和称为全电流： J c + J d
r r r r r ∂D r ⋅d S 安培环路定律扩展为： 安培环路定律扩展为： ∫ H ⋅ d l = ∫ J c ⋅ d S + ∫ ∂t l S S
ε
dΦ d r r ε =− = − ∫ B⋅d S dt dt S
楞次定律
直观理解：感应电动势的符号总是与磁通变化率的正负相反 直观理解：感应电动势的符号总是与磁通变化率的正负相反 物理含义：闭合回路中，感应电动势产生的感应电流方向， 物理含义：闭合回路中，感应电动势产生的感应电流方向，总是使得它 所激发的磁场阻碍引起感应电动势的磁通量的变化。 所激发的磁场阻碍引起感应电动势的磁通量的变化。 阻碍引起感应电动势的磁通量的变化 感应电动势的分类： 感应电动势的分类： 感生电动势 动生电动势
时变电磁场
电磁感应定律 全电流定律 电磁场基本方程，分界面衔接条件 电磁场基本方程， 坡印廷定理和坡印廷矢量 正弦电磁场 动态位及其积分解 准静态场
第 5 章
工程电磁场导论时变电磁场
边界元法
01
边界元法是一种将偏微分方程的求解域离散化为边界离散点的 方法，通过在边界上应用离散化的方程来求解问题。
02
在时变电磁场中，边界元法可以用来求解电磁波散射和辐射等
问题。
边界元法的优点在于精度高，适用于处理复杂的几何形状和边
介电常数
描述电场中物质电容特性的物理量，单位 为法拉/米（F/m）。介电常数的大小与物 质的极化程度有关。
VS
磁导率
如前所述，描述材料对磁场响应能力的物 理量。在时变电磁场中，磁导率是复数， 其实部表示物质的磁性，虚部表示物质的 损耗。
铁电材料与铁磁材料
铁电材料
具有自发极化且在一定温度范围内铁电体从 顺电相转变为铁电相的材料。其特点是具有 较高的介电常数和较弱的磁导率。
包括四个基本方程，其中三个描述了电场和磁场的变化，一个描述了电荷 与电流的关系。
适用于所有频率和波长的电磁波，包括无线电波、可见光、X射线等。
波动方程
是描述波动现象的基 本方程，包括声波、 光波、电磁波等。
波动方程是偏微分方 程，需要求解以获得 电场和磁场的分布和 变化。
在时变电磁场中，波 动方程描述了电场和 磁场在空间中的传播 和变化。
铁磁材料
具有显著磁性的材料，其特点是具有较高的 磁导率和较弱的介电常数。在时变电磁场中， 铁磁材料的磁导率可能表现出强烈的非线性。
06
时变电磁场中的数值计算 方法
有限元法
01
有限元法是一种将连续的求解 域离散化为有限个小的、相互 连接但不重叠的单元，然后对 每个单元进行求解的方法。
02
在时变电磁场中，有限元法可 以用来求解复杂的电磁问题， 如电磁波传播、电磁散射和辐 射等。
《物理场论》时变电磁场
第2节 完备的 Maxwell方程组
说明：Maxwell方程组中7个方程是独立的 ， 本构方程中9个方程是独立的，共16个方程，16 个未知数，因此理论上可以求解。
Maxwell方程组的积分形式
B
l E dl S t dS
B
l H dl S (J t ) dS
电磁感应定律应用举例 涡流与电磁炉原理！
有一半径为a、高度为h的圆盘，电导率为。
把圆盘放在磁感应强度为B的磁场中, 其方向垂直
盘面。设磁场随时间变化，且dB/dt=k，k为一常
量。求盘内的感应电流。
r dr
h
a
h
B
r dr
已知
R,
h,
, B , dB
dt
k
求： I
r dr
h
解： 如图取一半径为 r ,宽度 为dr ,高度为h 的圆环。
A
2
A
(
A
)
J
t 2
t
引入附加条件—洛伦兹规范
：
A
0
t
可得 A 形式的波动方程：
2 2
t 2
2
A
电磁场与电磁波 第五章时变电磁场
D H J t 位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动 形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。
l
H dl (J Jd ) dS
S
D J dS dS S S t
年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而
黯然失色”。
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
14
评价
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
D (J )0 t
全电流连续 位移电流
D Jd 陕西科技大学编写 t
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
7
流进曲面S1的传导电流 S1 S2 等于流出S2的位移电流 ② 位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；
J dS Jd dS
令 l2 0
H 2t H1t J s
磁场： ( H - H ) J 即 en 1 2 S
B1n B2n 电场：H 2t H1t J s
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
时变电磁场
y, y,
z, z,
t) t)
Exm E ym
(x, (x,
y, y,
z) z)
cos[t cos[t
x (x, y (x,
y, y,
z)] z)]
Ez
(x,
y,
z,
t)
Ezm
(x,
y,
z)
cos[t
z
(
x,
y,
z)]
式中：Exm , Eym , Ezm 为电场在x,y,z方向分量的幅度
x， y，z 为电场x,y,z分量的初始相位
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
第四章 时变电磁场
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 时变电场和磁场能量在空间中不断相互转换，并以电磁波动的 形式从一个地方传递到另外一个地方
本章主要内容： ➢ 时变电场和磁场满足的方程——波动方程 ➢ 时变电磁场的辅助函数——标量电位和矢量磁位 ➢ 时变电磁场的能量守恒定律 ➢ 正弦规律变化的时变场——时谐电磁场
对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件
A
t
洛伦兹规范条件
思考：库仑规范条件和洛伦兹规范条件有何联系？
15:54
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
4.2.2 达朗贝尔方程
E (
H H
J
1
E
t A
A) 2
t
t
1 A J E
t
(
A)
Σ
J EdV
V
15:54
E, H
V
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于 体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。
5.5时变电磁场的能量与能流5.7 波动方程
S dS
s
s (er
I2 2 2b3
) erdS
I2 2 2b3
2bl
I 2l b2
I2R
由上式可知，从导线表面流入的电磁能量转化为导体内部的热损 耗。坡印廷定理得以验证。
5.7 波动方程
考虑均匀无耗媒质的无源区域 0, J 0, 0 麦氏方程组限定形式为
w
(r,t)
we
(r,t)
wm
(r,t)
1 2
D(r , t )
E(r,t)
1 2
B(r, t )
H (r, t)
可见，时变场的能量密度是空间及时间的函数，空间各点能量密
度的改变引起电磁场能量的流动，即电磁能量在空间传输形成电磁能
流。
2. 坡印廷定理
设如下图所示的区域 V 中，媒质是线性且各向同性的，则此区域
因此，坡印廷定理从场的观点，描述了时变电磁场中能量的守恒 和转换关系。
3. 坡印廷矢量（能流密度矢量）
为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入坡印廷矢量 S ，定义 为：
S EH
（W/m2）
S的方向：由式可知，S 与 E 及 H 垂直，又知 E H ，因此，S，E 及 H 三者在空间是相互垂直的，且由 E 和 H 与 S 构成右旋关系，如 图示。
H J E
t
E H
t
两边取旋度 E H
t
H 0
E
将矢量恒等式 E E 2E
得 E 2E H
t
第07章 时变电磁场(1)
在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；
在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。
例 1 已知 海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，
位移电流振幅与传导电流振幅的比值。
解：设电场随时间作正弦变化，表示为
E ex Em cos t
则位移电流密度为
D Jd ex 0 r Em sin t t
其振幅值为 传导电流的振幅值为
J dm 0 r Em 4.5 103 Em
J cm Em 4 Em
J dm 1.125 10 3 J cm
故
例 2 自由空间的磁场强度为
H ex H m cos(t kz ) A/m
式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。
解：E 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦 方程组可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与 E 相应的其它场矢量。
B E (ex t Ex e y e y z
对时间 t 积分，得
ey ez ) ex Ex x y z E0 cos(t kz ) ey kE0 sin(t kz ) z
H y k 2 Em ex ex sin(t kz ) z z Hz
由
D H t
D Dx ex ex Em sin(t kz ) t t
k
2 2
习题7-4
爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦
而由 H J
J 0 t J ( H ) 0
第4章 时变电磁场1
2、坡印亭矢量
− ∫
S
v v v 表流入闭合面S的电磁功率， ( E × H )dS 表流入闭合面S的电磁功率，因此
v v 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。 与通过单位面积的功率相关的矢量 E × H 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。
v 定义：坡印廷矢量（ 表示）－ 定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）－能流密度矢量
v v 讨论:1 :1、 为与时间相关的函数(瞬时形式), ),则 讨论:1、若 E , H 为与时间相关的函数(瞬时形式),则 v v v S (t ) = E (t ) × H (t )
称为坡印廷矢量的瞬时形式。 称为坡印廷矢量的瞬时形式。 瞬时形式
v v 对某些时变场， 2、对某些时变场， , H 呈周期性变化。则将瞬 E 呈周期性变化。
v v v d v v ⇒ − ( E × H )dS = (We + Wm ) + ∫ E JdV ∫S V dt
坡印廷定理积分形式 说明： 说明：
− ∫
S
坡印廷定理物理意义： 坡印廷定理物理意义： 物理意义 流入体积V 流入体积V内的电磁功率 等于体积V 等于体积V内电磁能量的 增加率与体积V 增加率与体积V内损耗的 电磁功率之和。 电磁功率之和。
坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
第4章 时变电磁场
13
1、坡印亭定理
在时变场中， 在时变场中，电、磁能量 相互依存， 相互依存，总能量密度为
1r r 1r r w = we + wm = D ⋅ E + B ⋅ H 2 2 W = ∫V 1 r r r r w dV = ∫V （D ⋅ E + B ⋅ H） V d 2
时变电磁场电流连续性方程
时变电磁场电流连续性方程
普朗克矢量方程是定义正时变电磁场与电流连续性的一个基本的物理模型。
普朗克矢量方程有三个基本部分：电流守恒定律（即电流连续性方程），物理论元（如交流系统的变压器）和储能元（如电感和电容）。
电流守恒定律是用来描述电流的变化，而物理论元和储能元用来描述网络拓扑的变化。
电流守恒定律可以用来描述电路中电流连续性的变化，电路中电流总和始终可以用此方程进行描述。
当所有的开关都处于关闭状态时，电流守恒定律将会推导出0矢量方程，该矢量方程包括零矢量。
在计算机模拟中，电流守恒定律被称为“零网络定律”，因为在关闭开关状态下，没有变化的电流意味着就像网络一样，处于形成的静态状态。
电流守恒定律的另一个关键应用是建模正时变电磁场系统，特别是呈非正弦特性的正时变参量比较系统的研究。
为此，首先必须获得正时变电磁场系统的电流连续性方程，以确定电流变量的变化情况。
普朗克矢量方程可以用来描述电路中电流变化，包括利用物理论元和储能元，从而实现必要的控制效果。
最后，不仅可以用普朗克矢量方程来描述电流的变化，同时也可以用来描述电流对于某些参数的敏感性，用以解决补偿控制中一些复杂的问题。
因此，普朗克矢量方程不仅可以作为正时变电磁场与电流连续性的一个基本的物理模型，更可以在机电系统与诸多应用领域得到实际运用，特别是在参变量比较系统研究方面，极受益于它的存在与应用。
时变电磁场中,数学表达
时变电磁场中,数学表达电磁场是物理学中最基本且最重要的概念之一。
它描述了电荷与电荷之间产生的相互作用。
时变电磁场，也称为偏微分方程中的非静态电磁场，它在不同的空间点上具有一定的时间变化。
在探究该电磁场的特性时，必须采用数学表达方式来研究。
因此，本文将讨论电磁场的数学表达，以了解变时电磁场的基本特性。
电磁场的数学表达可以分为三大部分：电场、磁场和电场的辐射。
电场是通过电荷产生的场，它可以用Maxwell方程描述，即：×E=B/t，其中E为电场，B为磁场。
Maxwell方程用来描述电磁场中电场的基本特性。
磁场由电流产生，它可以用Maxwell方程描述，即：×B=μJ+E/t，其中B为磁场，μ为真空介电常数，J为电流密度。
Maxwell方程用来描述电磁场中磁场的基本特性。
电磁场的辐射由物体发射出去，它可以用Maxwell方程描述，即：×E=μH，其中E为电场，μ为真空介电常数，H为磁场强度。
Maxwell 方程用来描述电磁场中电场的辐射特性。
时变电磁场是指具有时变性的电磁场，它可以用Maxwell方程描述，即：E/t=×H，其中E为电场，H为磁场强度。
Maxwell方程用来描述时变电磁场的基本特性。
时变电磁场是物理学中一个重要的话题，它的特性可以通过Maxwell方程来数学表达。
Maxwell方程用来描述电磁场中电场、磁场和电场辐射的特性，以及时变电磁场的基本特性。
根据Maxwell方程推导出来的公式可以应用到实际工程中，使用者可以利用它来计算电磁场的变化情况，进而制定出更有效的设计方案。
以上就是时变电磁场的数学表达。
电磁场的概念是物理学的基础，Maxwell方程的应用更是关键，它们能够描述电磁场中电场、磁场和电场辐射的特性，以及时变电磁场的基本特性。
Maxwell方程的应用使得电磁场的研究得以深入，为电磁场的运用提供了足够的理论指导。
04第四章-时变电磁场和时谐电磁场(1)
电磁场与电磁波_ 电磁场的边界条件
2.7.1 边界条件的一般形式
一、H 的切向分量的边界条件
取一小矩形回路，两个边 l 分别
位取于H分沿界此面闭两合侧回，路的h 线积0 分，，
由
CH
单位
电场强度
E
V/m
电的
电通量密度
D
C/m^2
（电位移矢量）
磁通量密度
B
T
磁的 （磁感应强度）
磁场强度
H
A/m
回顾以上矢量场量的引入
E是讨论自由空间中静电学时引入的唯一矢量，其物理意义 是单位试验电荷上的电作用力
F qE
D是研究电介质中的电场时引入的辅助量
D E 0E P
B是讨论自由空间中静磁学时引入的唯一矢量，其物理意义 是单位长度电流上的磁作用力
D →高斯定律。电场的一个源是静止电荷；电场有通量源
电动力学的基本方程：麦克斯韦方程 +
f
qv
B
+
f
m
dv
dt
电磁场的基本方程： 麦克斯韦方程 第16页
电磁场与电磁波 时变电磁场
2.6.3 媒质的本构关系(电磁场的辅助方程)
本构关系(组成关系、流量关系、特性方程)
SB dS 0
S D dS q
麦克斯韦方程组： 宏观电磁现象所电遵子循科学的与工基程本学院规律，周是俊 电磁场的基本方程。
电磁场与电磁波_ 2.6 麦克斯韦方程组
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式(点函数形式)
微分形式(麦克斯韦方程的不限定形式)：
所 不 因从 HE有符此18的，)6J。4宏 麦年Bt理观 克提Dt论→电 斯出变上→磁 韦到化也变场方目磁化没问程场前电有产题组为场找生被,止产到并电生认，场任且磁为麦；从何场是克位未真；2移斯J出正0、磁世韦J现值流d纪方是过得是磁之程电错挑场前可场误剔的最以的的(涡成或涡用流东流功与来源西源的实求。物验解 理 B学方0 程→,磁被通称连为续“性上。自帝然的界符不号存”在。磁荷；磁场无通量源
第四篇时变电磁场
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
26
4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
27
4.5.1 时谐电磁场的复数表示
时谐电磁场的概念
如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化， 则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一 定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。
A
0
t
除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
A 0
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
位函数的微分方程
D E
H
B
8
H
J
D
B
J
E
t
B A
E
A
t
t
A
J
(
A
)
t t
A ( A) 2 A
2 A
2A t 2
J
(
A
t
)
A
0
t
2
A
2 t
H
(
E )
t
(
H)
2H
2H t 2
2H
2H t 2
0
若为导电媒质，结果如何？
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
4
4.2 电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
5
引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
第四章 时变电磁场
∂ϕ µε = −∇ ⋅ A = 0, ϕ = C ∂t
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
µ
∂A E = −∇ϕ − = −exωAm cos(ωt − kz ) ∂t
23
坡印廷矢量的瞬时值为：
S (t ) = E (t ) × H (t ) k = [−exωAm cos(ωt − kz )] × − e y Am cos(ωt − kz ) µ ωk 2 = ez Am cos(ωt − kz )
20
单位W/m2 单位
波的传播方向
21
22
例题 已知时变电磁场中矢量位
A = ex Am sin(ωt − kz ) ， 其中
Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 是常数， 是常数 求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 解：
∂Ax B = ∇ × A = ey = −e y kAm cos(ωt − kz ) ∂t k H = −e y Am cos(ωt − kz )
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∂ (∇ × A) ∇× E = − ∂t ∂A ∇× E + = 0 ∂t ∇ × (∇M ) = 0
{
8
注意： 注意： 这里的矢量位及标量位均是时间 空间函数 时间、 函数。 这里的矢量位及标量位均是时间、空间函数。当它 们与时间无关时，矢量位、 们与时间无关时，矢量位、标量位和场量之间的关系与 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位 矢量磁位， 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位，标量位 又称为标量电位 标量电位。 又称为标量电位。
ab =| a | | b | e a | a | j (α − β ) = e b |b|
第五章 时变电磁场
解：1、 I J dS 2 10r 1.5 r 2 sin d d
S
00
40 r0.5
3.9738A
r 1mm
2、因为
J
1 r2
d dr
r 2 10r 1.5
dS
H dS
S
上式右边应用散度定理可以写为
S H dS V H dV 0
左边为
D
S
J
c
t
dS
Ic
Id
I
0
证毕
例5-3 坐标原点附近区域内传导电流为 J er 10r 1.5( A / m2 ) 试求：1、通过半径 r = 1mm的球面的电流值；
B
E
l
dl
S
t
dS
B
S
dS
0
D
S
dS
q
微分形式 H J D
t E B
t B 0
D
可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋 有散场。
四、麦克斯韦方程组的辅助方程—本构关系 》一般媒质本构关系 》各向同性线性媒质本构关系
D B
0E 0 ( H
P M
)
J
E
D E
时变电磁场
时变电磁场1 什么是时变电磁场：场源（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）随时间变化的电磁场。
由于时变的电场和磁场相互转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。
2 时变电磁场的特点：1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。
2）电场和磁场共存，不可分割。
3）电力线和磁力线相互环绕。
3 本教科书自第五章以后内容全是关于电磁波的，第五章主要是基础，引入波动方程去掉电场与磁场的耦合，引入复矢量，简化时间变量的分析。
第六章以平面波为例，首先研究无限大区域内的电磁波的传播特点，引入用于描述电磁波特性的参量。
然后介绍半无限大区域内的电磁波的传播特点－电磁波的反射和折射。
第七章首先介绍一个坐标方向无限、其余坐标方向有限的区域内的电磁波传播特性—导行电磁波特性，然后介绍了有限区域内的电磁波谐振特性。
第八章介绍了电磁波的产生－天线。
4 本章内容线索：1）理论方面：基本场方程，位函数（引入矢量位），边界条件，波动方程。
2）基本方法：复矢量§5.1时变电磁场方程及边界条件1 1)因为t∂∂不为零，电场和磁场相互耦合，不能分开研究。
其基本方程就是Maxwell 方程。
微分形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-=⋅∇=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇t J B D t BE t DJ H ρρ0 积分形式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-=⋅=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰sV ss Vc s c sdV t s d J s d B dV s d D sd t B l d E s d t D J l d H ρρ)(2）物质（本构）方程： 在线性、各向同性媒质中HB E D με== 其它媒质有：非线性，各向异性，双各向异性，负相对电导率、负相对磁导率媒质等人工媒质。
这些媒质在微波、光学、隐身、伪装方面有很多应用。
3）上面的电流J 包括传导电流E J c σ=和运移电流v J vρ= 2 边界条件：§5.2 时变电磁场的唯一性定理1 如果1）一个区域内0=t 时，每一点的电场强度和磁场强度的初始值已知，2）区域边界面上电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量已知，则该区域内每一点0>t 时Maxwell 方程组有唯一的确定解。
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电磁 感H 应 J定律D：麦克H斯 韦dl 第 二(方J 程，D )表 d明S 电全荷电和流定变律化
的磁场都能产生t 电场l 。 S t
磁通连E续性 原B理：表E明 d磁l 场是无B源场dS, 磁电力磁线感总应是定律闭
合曲线。 t
l
S t
高磁斯场定以 B律涡旋：0的表形明式电产荷生以SB电发 场d散S)的。方0式产生磁电通场连续(变性化原的理
应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。
电磁感应定律： e d
dt 负号表示感应电流产
生的磁场总是阻碍原磁场 的变化。
图4.1.1 感生电动势的参考方向
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第四章
根据磁通变化的原因， e 分为三类：
时变电磁场
1.回路不变，磁场随时间变化
e d
dt
S
B t
dS
又称为感生电动势，这是变压器工作的原理，亦称
4.1.3 全电流定律（Ampere’s Law）
时变电磁场
问题的提出
l H dl i
经过S1面
l H dl S1 J dS i
图4.1.6 交变电路用 安培环路定律
思考
经过S2面
l H dl S2 J dS 0
为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？
原因所在？
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时变电磁场
麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种
电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称
之为感应电场 。
在静止媒质中 e l Ei dl
l Ei dl
(
s
Ei
)
dS
B dS t
Ei
B t
图4.1.4 变化的磁场产 生感应电场
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化
的磁场
B 是产生 t
l
(ν
B)
dl
S
B t
dS
实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路中
e 就有感应电动势。 与构成回路的材料性质无关（甚
至可以是假想回路），当回路是导体时，有感应电流 产生。
思考 电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？
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第四章
4.1.2 感应电场（Inducted Electric Field）
流 id；传导电流 ic与 id 的关系是什么?
解： 忽略边缘效应和感应电场
电场 E u , D E u(t)
d
d
位移电流密度
Jd
D t
d
(du ) dt
位移电流
图4.1.8 传导电流与 位移电流
id
S
J
dS
S (du )
d dt
C
du dt
ic
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第四章
时变电磁场
1、一圆柱形电容器，内，外导体间的介质为空气，其
Ei 的涡旋源，故又称涡旋电场。 返回 上页 下
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第四章
时变电磁场
若空间同时存在库仑电场,
即 E EC Ei , 则有
E B t
表明不仅电荷产生电场，变 化的磁场也能产生电场。
思考
图4.1.5 变化的磁场 产生感应电场
根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生
磁场呢？
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第四章
第四章
4.0 序
时变电磁场
Introduction
在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标 的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产 生磁场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。
英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变 场的电磁基本特性用统一的麦克斯韦方程组高度概 括。麦克斯韦方程组是研究宏观电磁场现象的理论 基础。
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第四章
时变电磁场
D
lH dl S (J t ) dS
=
图4.1.7 交变电路用安培 环路定律
J dS i
S1
DdS dS q i
S2 t
S2 t t
变化的电场产生位移电流（Displacement Current），电流仍然是连续的。
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第四章
全电流定律
为变压器电势。
图4.1.2 感生电动势
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第四章
2.磁场不变，回路切割磁力线
时变电磁场
e d
dt
l (ν B) dl
称为动生电动势，这是发
电机工作原理，亦称为发 电机电势。
图4.1.3 动生电动势
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第四章
3.磁场随时间变化，回路切割磁力线
时变电磁场
e d
dt
掌握动态位与场量的关系以及波动方程，理解 电磁场的滞后效应及波动性；
掌握电磁波的产生和传播特性。
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第四章
时变电磁场
4.1 电磁感应定律和全电流定律
Faraday’s Law and Ampere’s Circuital Law
4.1.1 电磁感应定律（Faraday’s Law）
当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感
第四章
恒定场
电流连续性原理
J 0
矢量恒等式
( H ) 0
所以 H J
Stokes’ theorem
l H dl S J dS
时变电磁场
时变场
因为 J D
t
t
所以 (J D ) 0 t
矢量恒等式
( H) 0
所以 H J D
t
l
H
dlS(JD ) dS t内外导体的半径分别为： R1 5cm, R2 10c，m 在此电容
器上加电压：
u求t空 气2 sin 2t
中任意点的位移电流密度。
第四章
时变电磁场
4.2 电磁场基本方程组·分界面上的衔接条件
Maxwill Eguations and Boundary Conditions
4.2.1 电磁场基本方程组 (Maxwell Equations) 全电流定律：麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化 的综电上场所都述能,产电生磁磁场场基。本方程组
H dl l
S
(J
D ) t
dS
ic
id
时变电磁场
积分形式
H J D t
微分形式
其中， D
t
Jd
——位移电流密度
不仅传导电流产生磁场，变化的电场也能产生 磁场。麦克斯韦预言电磁波的存在。
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第四章
时变电磁场
例 4.1.1 已知平板电容器的面积 S , 相距 d , 介
质的介电常数 ， 极板间电压 u( t )。试求位移电
D
s D dS q
高斯定律
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第四章
时变场的知识结构框图：
高斯定律 磁通连续性原理
时变电磁场
电磁感应定律
Maxwell方程组
全电流定律
坡印廷定理与坡印廷矢量
正弦电磁场
动态位A ,
分界面上衔接条件
达朗贝尔方程
电磁辐射、传输线及波导
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第四章
本章要求
时变电磁场
深刻理解电磁场基本方程组的物理意义，其中 包括位移电流的概念；