工程力学A 单辉祖-第10章(弯曲内力)

规律总结：
⑴ 当结构、载荷对称时， 剪力图反对称，弯矩图对称。 ⑵ 均布载荷作用范围剪力图 为斜直线，弯矩图为二次抛物线。
⑶ 当FS = 0时，M有极大值或 极小值。
dFS (4) q dx
dM FS dx
d2M q 2 dx
例10-4图所示简支梁在C点受集中力F作用。列出此梁的剪力 方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。
注意事项： • 载荷、剪力图、弯矩图对齐；正值画上侧，负值画下侧。 • 标注段值、极值、正负号，画出阴影线。 • 按工程图要求，请用工具作图。
例10-2悬臂梁在自由端承受集中荷载F作用，建立梁的剪 力与弯矩方程，并画剪力与弯矩图。
F A x
Fs
B l
F
x
解：1．确定约束力
2．确定分段点 3. 列剪力方程和弯矩方程
指定截面法
求横截面上剪力的规律
横截面上的剪力在数值上等于截面一侧梁段上外力的代数和。
Fs

F (一侧)
e
左上右下为正
左侧梁段：向上的外力为正，向下的外力为负。 右侧梁段：向下的外力为正，向上的外力为负。
指定截面法
求横截面上弯矩的规律
横截面上的弯矩在数值上等于截面一侧梁段上外力和
外力偶对该截面形心的力矩之代数和。
FAy＝2F FBy＝3F
A
A＋
l/2
E
l/2
B
D－
2. E截面的剪力与弯矩
FSE＝－2F ME＝0
FAy
FBy
l
Me
C
ME F MD FSD D
3. A＋截面的剪力与弯矩
FSA＋＝－2F MA＋＝Fl
FAy
FSE
Me
A
MA
4. D-截面的剪力与弯矩
FSD-＝F MD-＝0
FAy
FSA
△ →0
△→0
§10-1 引言
一、弯曲的定义、力学特征与计算简图 受力特征： 垂直于杆轴线的外力，或 轴线平面内作用的力偶 变形特征： 变形前为直线的轴线， 变形后成为曲线。
计算简图 分析计算时通常以轴线代表梁
弯曲：以轴线变弯为主要特征的变形形式。 梁：以弯曲为主要变形的杆件。
§10-1 引言
二、工程实例
§10-3 剪力与弯矩
例：简支梁AB受力如图，求截面D与C(C左、C右）上的剪力和弯矩。
解：⑴ 求支座约束力，建立平衡方程
M (F ) 0 : M (F ) 0 :
B A
FAy 3a q 2a 2a M 0 FBy 3a q 2a a M 0
y C
FBy FSC右 0
FBy a MC右 0
解得：
1 FSC右 qa 3 1 2 M C右 qa 3
( FSC左
( M C左
1 qa ) 3 4 2 qa ) 3
注意：在集中载荷作用处截面的左右边的剪力不同，弯矩
相同；在集中力偶作用处截面左右边的弯矩不同，剪力相同。
F
M
C
Fs
B
FB
2. 弯矩：M
M
C
＝ 0， M F A x 0 M FA x
内力总是成对的，大小相等，方向相反，正负号如何规定？
§10-3 剪力与弯矩
二、剪力和弯矩的符号规定
+
+
+
+
剪力：使微段有沿顺时针 方向转动趋势为正 FS + FS FS -
弯矩：使微段弯曲呈凹 形为正 +
-
FS
解得：
2 qa 3 7 M D qa 2 6 FSD
§10-3 剪力与弯矩
FAy 5 qa 3 FBy 1 qa 3
⑶ 求截面C上的内力 作截面C取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程
F 0, M (F ) 0,
y C
FAy q 2a FSC左 0 FAy 2a q 2a a MC左 0
FAy
FSA
△→0
F MD
FSD
D
△→0
§10-3 剪力与弯矩 截面法计算任一指定截面剪力与弯矩
（1）计算未知支座约束力； （2）假想地将梁截开，并任选一段为研究对象；
（3）画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正；
（4）由 S Fy =0 计算 FS；
（5）由 S MC =0 计算 M，C 为截面形心。
B
D－
FAy
FBy
l
FAy＝2F
FBy＝3F
Me
E
2. E截面的剪力与弯矩 ƩFy＝0, －FSE－FAy ＝0 ƩME＝0, ME － Me +FAy· l/2 ＝0 FSE＝－2F ME ＝ 0
FAy
ME
FSE
§10-3 剪力与弯矩
例10-1：外伸梁，承受集中力F与集中力偶Me作用，计算横截 面E、A＋、D－的剪力和弯矩。
解：⑴ 求支座约束力
Fb FAy l FBy Fa l
⑵ 剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点） Fb (0 x a ) F ( x ) F AC段： S Ay l Fb M ( x ) FAy x x l Fa (a x l ) CB段： FS ( x ) FAy F FBy l Fa M ( x ) FAy x F ( x a ) FBy ( l x ) (l x ) l
⑵ 剪力方程和弯矩方程 （以A端为坐标原点）
(0 x l )
ql qx 2 x qlx qx 2 M ( x ) FAy x qx 2 2 2 FS ( x ) FAy qx
⑶ 绘制剪力图和弯矩图
ql qx 2 qlx qx 2 M ( x) 2 2 FS ( x )
拉压杆横截面上的内力——轴力 受扭轴横截面上的内力——扭矩 受弯曲梁横截面上的内力——？
§10-3 剪力与弯矩
一、弯曲时梁横截面上的内力 F 例：如右图简支梁，已知外力F， 研究任一横截面x上内力。
A
FA
x
C C
Fs M
B
FB
截面法
1. 剪力：Fs
y
A
FA
F ＝0， F
A
Fs 0
Fs F A
二、支座形式与支反力 活动铰支座：垂直于支 承平面的支反力 FR
FRy FRy
§10-2 梁的计算简图
二、支座形式与支反力 固定铰支座：支反力 FRx FRy
FRy
FRx
FRy
FRx
固定端：支反力 FRx FRy 支反力偶矩 M
M
FRy
FRx
§10-2 梁的计算简图
三、梁的类型 常见静定梁 简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁
M e Fl
F
D
3. A＋截面的剪力与弯矩 ƩFy＝0, －FSA+－FAy ＝0 ƩMA＝0, MA+ － Me ＝0 FSA＋＝－2F MA＋＝Fl
A
A＋
l/2
E
l/2
B
D－
FAy
FBy
l

Me
A
MA
4. D-截面的剪力与弯矩 ƩFy＝0, FSD－F ＝0 ƩMD＝0, － MD ＝0 FSD-＝F MD-＝0
§10-1 引言
二、工程实例
上图：水闸立柱 下图：跳板
§10-1 引言
三、对称弯曲
工程问题中，绝大多数受弯杆件的横截面都有一根对称轴， 整个杆件有一个包含所有对称轴和杆件轴线的纵向对称面。
§10-1 引言
作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线是
一条在该纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。 纵向对称面
1 FBy qa 3
解得：
5 FAy qa 3
§10-3 剪力与弯矩
5 FAy qa 3 1 FBy qa 3
⑵ 求截面D上的内力 作截面D取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程
F 0, M (F ) 0,
y D
FAy q a FSD 0 a FAy a q a M D 0 2
dFS (4) q dx
dM FS dx
d2M q 2 dx
例10-5：图所示简支梁在C点受集中力偶M作用。列出此梁的剪 力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。 解：⑴ 求支座约束力
M FAy l M FBy l
⑵ 剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点）
M AC段： l M M ( x ) FAy x x l M FS ( x ) FBy CB段： l M M ( x ) FBy x (l x ) l FS ( x ) FAy
⑶ 绘制剪力图和弯矩图
AC段： (0 x a ) Fb FS ( x ) l Fb M ( x) x l CB段： (a x l ) Fa FS ( x ) l Fa M ( x) (l x ) l
规律总结：
(1)无均布载荷作用范围剪力图 为水平线，弯矩图为斜直线。 (2)在集中力F作用处剪力图发 生突变，突变值等于集中力的大 小，方向与集中力F 同向。 (3)在集中力F作用处弯矩图变 成尖角（转折）。
剪力符号另一定义：使微 段左端向上，右端向下的 相对错动为正
弯矩符号另一定义：使横 截面顶部受压为正
§10-3 剪力与弯矩
例10-1：外伸梁，承受集中力F与集中力偶Me作用，计算横截 面E、A＋、D－的剪力和弯矩。
M e Fl