模块六2.探究活动 重温代数学

重温代数学

如果没有一些数学知识，那么就是对最简单的自然现象也很难理解什么，而

要对自然的奥秘做更深入的探索，就必须同时地发展数学

J.W.A.Y oung

数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分。人类的进步是与科

学思想极为一致的。数学和物理的研究是智慧进一步的一个可靠的记录。

F.Cajori

§1. 初等数学回顾

1. 主要内容。这里对初等数学作一简要回顾。孔子说：“温故而知新”。柏拉

图说：“天下本无新事”。这是告诉我们，要从旧中找出新，从新中辩出旧。只有如此我们才能学得深、理解得透。

初等数学的主要内容计有：算术，代数，几何，三角和解析几何。它们提供

了最基本的数学知识和最基本的思维模式.

这些内容清楚地表明，数学是空间形式和数量关系的学科。那么，形与数的

本质是什么？

形：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养逻辑推理能力，培养洞察力。数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养符号运算能力。

在学习数学的时候要注意数、形结合。已故著名数学家华罗庚对此非常重视。他曾写了一首词：

数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数缺形时少知觉，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事非。

切莫忘，几何代数统一体，

永远联系，切莫分离。

数与形相结合，既有助于加深理解，也有助于记忆。

在初等数学中，算术与代数以研究数量关系为主，几何与三角以研究空间形

式为主。解析几何是数与形结合的典范。几何学教给我们逻辑推理的能力，代数学教给我们数学演算的能力。在整个初等数学中代数占有更加重要的作用。

2. 中学代数的主要内容。中学代数主要完成了那些成果呢？

1）．从数值运算过渡到符号运算。算术的特点是数值运算，代数的特点是符

号运算。中学代数实现了从数值运算到符号运算的过渡，沿着抽象思维的道路走上了数学的更高级的阶段。但是，在中学代数中，符号代表的仍然是数。2）．二元、三元一次线性方程组的解。三元一次线性方程组的一般形式是

3 3 3 3

2 2 2 2

1 1 1 1

a x

b y

c z d

a x

b y

c z d

a x

b y

c z d

+ + =

+ + =

+ + =

为了求解线性方程组，我们采用逐次消去一些未知量的方法以简化方程组，这就是实施了下面的变换：

1）互换两个方程的位置；

2）把某一方程两边同乘一常数；

3）某一方程加上另一方程的常数倍。

这些变换称为初等变换。这样，在代数里第一次出现了变换的概念。一个简单而重要的事实是，线性方程组经过一系列初等变换,变成一个新的方程组，新的方2 程组与原方程组同解,即，在初等变换下，方程组的解保持不变，或者说，解是初等变换下的不变量。由此，代数方程组给两个重要的概念：变换与不变量。

由线性方程组的理论自然地引出了2、3 阶矩阵和2、3 阶行列式的概念，这

些知识为将来学习线性代数做了准备。

3．求解一元二次方程。一元二次方程的一般形式是

2

ax + bx + c = 。

设方程的根是 1 2

x , x ，我们有如下的重要结果：

求根公式。

a

b b ac

x

2

4

2

1,2

−± −

= 。

公式指出,借助系数的代数运算——四则运算与开方运算可以表示方程根。

一个自然的问题是,这种公式可以推广到任意高次方程吗?或者，任意高次方

程的根通过系数的代数运算得到吗？答案是,这种公式限于 5 次以下的方程。

韦达定理——根与系数的关系：

a

b

x1

+ x2

= − ，

a

c

x1

x2

= 。

公式指出,可以用方程的根来表达方程式的系数。

这种表示法可以推广吗？即，对任意高次方程，都有相应的公式吗？答案是，

对任意n 次方程都有相应的公式成立。这种表示具有重大意义，为进一步研究方程的可解性提供了基础。

4．指数与对数。中学代数中引入了两个新的函数：指数函数和对数函数。

指数函数：x

y = a (a > 0, a ≠1,−∞< x < ∞) 。

对数函数，y x a

= log （a > 0, a ≠1,0 < x < ∞）。

指数函数与对数函数互为反函数。

5．数学归纳法。初等代数中引入了数学归纳法，这是整个代数学中最基本

的方法之一，因为代数中的许多定理是通过归纳手段得到的。下面的例子都是用数学归纳法证明：

例1。自然数的求和公式：

2

( 1)

1 2 3

+

+ + + + =

n n

n 。

例2．自然数平方的求和公式：

( 1)(2 1)

6

1

1 2 3

2 2 2 2

+ + + + n = n n + n + 。

这些公式都是对任意n 成立的，而用数学归纳法却可以通过“有限”来解决“无限”的问题。

6. 数系的结构。中学代数提供了：

最基本的运算：四则运算；乘方与开方运算；指数与对数运算。

最基本的运算法则：结合律，分配律，交换律。

加法的法则。

1）加法结合律：a + (b + c) = (a + b) + c；3

2）加法交换律：a + b = b + a ；

3）存在数0，对一切实数a ，有0 + a = a ；

4）对一切实数a ，存在实数b ，使b + a = 0。

乘法的法则。

1）法结合律：a(bc) = (ab)c；

2）法交换律：ab = ba

a) 存在数1，对一切实数a ，有1⋅a = a；

b) 对一切非零实数a ，存在实数b ，使ab = 1。

3）加法与乘法的分配律：对容易实数a, b, c 有

a(b + c) = ab + ac。

用抽象的语言说，全体实数构成一个集合，这个集合内有加法和乘法两种运

算，这两种运算遵循上述九条法则。中学代数就是以它为基础展开的。认识到这一点对学习代数中较深入的知识是至关重要的。因为近世代数的主要内容是集合, 以及集合上的代数运算,并且在同构下进行考察.