初中数学竞赛精品标准教程及练习36：三点共线练习题

初中数学竞赛精品标准教程及练习（36）

要证明A ，B ，C 三点在同一直线上，常用方法有：

证明三点共线常用的定理有：

过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 两圆相切，切点在连心线上

轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上

例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上 已知：平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，O 是AC 和BD 的交点 求证：M ，O ，N 三点在同一直线上

证明一：连结MO ，NO

∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线 ∴MO ∥AB ，NO ∥AB

根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上

证明二：连结MO 并延长交BC 于N ，

∵MO 是△DAB 的中位线

∴MO ∥AB 在△CAB 中 ∵AO ＝OC ，ON ，∥AB

∴BN ，＝N ，C ，即N ，是BC 的中点

∵N 也是BC 的中点， ∴点N ，和点N 重合 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上

,

例5.已知：⊙O

1和⊙O

2

相交于A，B两点，过点B的直线EF分别交⊙O

1

和⊙O

2

于E，F。

已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M，N，P分别是AD，BC，AC的中点求证：M，N，P 已知：△ABC中，BE，CF是中线，延长BE到G，使EG＝BE，延长CF到H，使FH＝CF，已知：正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，DE⊥AN于E，

求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上

已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分线相交于O，

已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分别是∠B，∠C的邻补角，从点A作∠B，∠C，∠ABM，已知：点P在等边△ABC外，PA=PB+PC，以PA为一边作等边△APQ使点Q和点C在PA

已知：△ABC中，AB=AC，直线AP∥BC，点D和点C是关于直线AP的对称点

连结MP，NP证明都与AB平行

连结AG，AH证明都与BC平行

连结DM证明DM⊥AN 5. 证明MP平行于底边

根据中位线性质，垂足连线平行于底边

连结CQ，证明∠AQC＝60

证明∠DAP＋∠PAC＋∠CAB＝180