随机误差概率密度正态分布
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0.45149 0.50000 0.51607 0.57629
1.4
1.5 1.6 1.7 1.8
0.83849
0.86639 0.89040 0.91087 0.92814
2.3
2.4 2.5 2.58 2.6
0.97855
0.98361 0.98758 0.99012 0.99068
4.0
4.5 5.0 ∞
二、概率密度的正态分布 1、随机误差必然服从正态分布，其概率密度 可由高斯方程描述。它们的概率密度分布曲 线又称之为正态分布曲线。 2、标准误差σ越小,精密度指数h越大,正态分 布曲线越陡, 小误差的概率密度越大，测量 值越集中,测量精密度越高。
1 2 f ( ) ex p ( ) 2 2 2 h f ( ) ex p ( h 2 2 )
f(δ)
分布 F ( ) 函数
f(δ)dδ
f ( )d
F(δ)
Ⅱ
与分布函数互 为微积分关系
Ⅰ
δ dδ
随机误差的概率密度分布曲线图
一、随机误差的特点
测试条件： 研究对象在无系统误差且无 粗差的独立的等精度实验结果. 特点： ⑴对称性：绝对值相等的正、负误差概率密度分 布曲线对称于纵轴。 ⑵抵偿性：相同条件下,当测量次数n趋于∞时, 全体误差的代数和为0。 ⑶单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差 的概率密度大,在δ=0处概率最大. ⑷有界性：绝对值很大的误差几乎不出现。
Mx
xf ( x)dx
它表示了随机变量的中心位置。
ƒ(x)
ƒmax(δ)
1/σ√2πe
0
图1—2
X 0- σ X 0
X0+σ
X
测量值的概率密度分布曲线
数学期望实际上就是全体测量值依概率的平均 数。对于正态分布，上式积分后可得：
2 x 1 x x0 Mx exp dx x0 2 2 2
正态分布重要特征之一： 全体测量值的数学期望就是测量值的真值。 在未知x0的情况下，对于有限测量列，可以利用算术 平均值x代替真值x0，用测量偏差或残余误差（简称 残差）vi=xi-x 代替测量误差 δi= xi-x0
二、方差与标准误差 方差定义为随机变量的二阶中心距，它表 征了随机变量相对于其中心位置（数学期望） 的离散程度。 对于全体测量值来说，母体的方差Dx表征 了测量值相对于其真值X0的离散程度。
Z
2.7 2.8 2.9
φ(Z)
0.99307 0.99489 0.99627
0.1 0.2
0.3
0.4
0.23585
0.31084
1.2
1.3
0.76986
0.80640
2.1
2.2
0.96427
0.97219
3.0
3.5
0.99730
0.99535
0.5
0.6 0.6745 0.7 0.8
0.38293
h
1
2
ƒ(δ)
ƒ(δ) σ<σ´<σ´´ h>h´>h´´ ƒ(δ)dδ
拐点
ƒ´(δ)
ƒ´´(δ)
1/(σ√2πe)
1/(σ√2π)
- σ´´- σ´
-σ
σ
σ´
σ´´
δ
随机误差正态分布曲线图
3、σ（曲线的拐点）的大小说明了测量值的 离散性, 故等精度测量是一种σ值相同的测 量。 4、正态分布曲线的关键点 峰点坐标： 0( xi x0 )
1
3 8 18 28 34 29 17 9
频率 （n i )
0.007
0.020 0.058 0.120 0.187 0.227 0.193 0.113 0.060
概率密度 （ni/（nΔ δi））
0.7
2.0 5.8 12.0 18.7 22.7 19.3 11.3 6.0
10
11
5.30
5.31
拐点坐标：
1 f (0) f max ( ) σ 2 1 f g ( ) f ( ) 2e
概率：
P{,}
f ( )d 1
一、算是平均值与数学期望值 1. 算是平均值:
x
x
i 1
n
i
n
2. 随机变量的数学期望定义为随机变量的一阶 原点距，记为：
( x x0 ) 2 1 Dx ( x x0 ) f ( x)dx exp[ ( x x0 ) 2 ]dx 2 2 2
2 n
Dx
lim
1 n 1 n 2 2 ( xi x0 ) lim i n i 1 n i 1 n
ƒ(0)
置信概率
1/2α
P= φ(z)=1-α
1/2α
置信区间 ±(L) 图1—5 置信区间与置信概率
δ
Z
0
φ(Z)
0.00000 0.07966 0.15852
Z
0.9 1.0 1.1
φ(Z)
0.63188 0.68269 0.72867
Z
1.9 1.96 2.0
φ(wk.baidu.com)
0.94257 0.95000 0.95450
0.99937
0.99993 0.99999 1.00000
+0.04
+0.05
2
1
0.013
0.007
1.3
0.7
ni为在 i i 2
范围内出现的次数
ni/n
i xi x0
0.15 0.10 0.05 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04
δ
随机误差的频率直方图
ni 1 dn 概率密度： f ( ) lim n n d n
例：随机误差实验结果
分区号
1
2 3 4 5 6 7 8 9
测量值 ( x i)
5.21
5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29
误差量 ( δ i)
-0.05
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 +0.01 +0.02 +0.03
出现次 数 （n i )
标准误差σ是方差Dx的均方根值，这也是 标准误差σ又称均方根误差的原因。
置信区间： 就是随机变量的范围±(-L—L)表示 又：±L=±Z σ Z为置信系数， Z = L/ σ 置信限：L= Z σ 置信概率φ(Z)：随机变量在置信区间内 取值的概率. 置信度：结合置信区间与置信概率 置信水平α (Z) ：随机变量在置信区间外 取值的概率
1.4
1.5 1.6 1.7 1.8
0.83849
0.86639 0.89040 0.91087 0.92814
2.3
2.4 2.5 2.58 2.6
0.97855
0.98361 0.98758 0.99012 0.99068
4.0
4.5 5.0 ∞
二、概率密度的正态分布 1、随机误差必然服从正态分布，其概率密度 可由高斯方程描述。它们的概率密度分布曲 线又称之为正态分布曲线。 2、标准误差σ越小,精密度指数h越大,正态分 布曲线越陡, 小误差的概率密度越大，测量 值越集中,测量精密度越高。
1 2 f ( ) ex p ( ) 2 2 2 h f ( ) ex p ( h 2 2 )
f(δ)
分布 F ( ) 函数
f(δ)dδ
f ( )d
F(δ)
Ⅱ
与分布函数互 为微积分关系
Ⅰ
δ dδ
随机误差的概率密度分布曲线图
一、随机误差的特点
测试条件： 研究对象在无系统误差且无 粗差的独立的等精度实验结果. 特点： ⑴对称性：绝对值相等的正、负误差概率密度分 布曲线对称于纵轴。 ⑵抵偿性：相同条件下,当测量次数n趋于∞时, 全体误差的代数和为0。 ⑶单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差 的概率密度大,在δ=0处概率最大. ⑷有界性：绝对值很大的误差几乎不出现。
Mx
xf ( x)dx
它表示了随机变量的中心位置。
ƒ(x)
ƒmax(δ)
1/σ√2πe
0
图1—2
X 0- σ X 0
X0+σ
X
测量值的概率密度分布曲线
数学期望实际上就是全体测量值依概率的平均 数。对于正态分布，上式积分后可得：
2 x 1 x x0 Mx exp dx x0 2 2 2
正态分布重要特征之一： 全体测量值的数学期望就是测量值的真值。 在未知x0的情况下，对于有限测量列，可以利用算术 平均值x代替真值x0，用测量偏差或残余误差（简称 残差）vi=xi-x 代替测量误差 δi= xi-x0
二、方差与标准误差 方差定义为随机变量的二阶中心距，它表 征了随机变量相对于其中心位置（数学期望） 的离散程度。 对于全体测量值来说，母体的方差Dx表征 了测量值相对于其真值X0的离散程度。
Z
2.7 2.8 2.9
φ(Z)
0.99307 0.99489 0.99627
0.1 0.2
0.3
0.4
0.23585
0.31084
1.2
1.3
0.76986
0.80640
2.1
2.2
0.96427
0.97219
3.0
3.5
0.99730
0.99535
0.5
0.6 0.6745 0.7 0.8
0.38293
h
1
2
ƒ(δ)
ƒ(δ) σ<σ´<σ´´ h>h´>h´´ ƒ(δ)dδ
拐点
ƒ´(δ)
ƒ´´(δ)
1/(σ√2πe)
1/(σ√2π)
- σ´´- σ´
-σ
σ
σ´
σ´´
δ
随机误差正态分布曲线图
3、σ（曲线的拐点）的大小说明了测量值的 离散性, 故等精度测量是一种σ值相同的测 量。 4、正态分布曲线的关键点 峰点坐标： 0( xi x0 )
1
3 8 18 28 34 29 17 9
频率 （n i )
0.007
0.020 0.058 0.120 0.187 0.227 0.193 0.113 0.060
概率密度 （ni/（nΔ δi））
0.7
2.0 5.8 12.0 18.7 22.7 19.3 11.3 6.0
10
11
5.30
5.31
拐点坐标：
1 f (0) f max ( ) σ 2 1 f g ( ) f ( ) 2e
概率：
P{,}
f ( )d 1
一、算是平均值与数学期望值 1. 算是平均值:
x
x
i 1
n
i
n
2. 随机变量的数学期望定义为随机变量的一阶 原点距，记为：
( x x0 ) 2 1 Dx ( x x0 ) f ( x)dx exp[ ( x x0 ) 2 ]dx 2 2 2
2 n
Dx
lim
1 n 1 n 2 2 ( xi x0 ) lim i n i 1 n i 1 n
ƒ(0)
置信概率
1/2α
P= φ(z)=1-α
1/2α
置信区间 ±(L) 图1—5 置信区间与置信概率
δ
Z
0
φ(Z)
0.00000 0.07966 0.15852
Z
0.9 1.0 1.1
φ(Z)
0.63188 0.68269 0.72867
Z
1.9 1.96 2.0
φ(wk.baidu.com)
0.94257 0.95000 0.95450
0.99937
0.99993 0.99999 1.00000
+0.04
+0.05
2
1
0.013
0.007
1.3
0.7
ni为在 i i 2
范围内出现的次数
ni/n
i xi x0
0.15 0.10 0.05 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04
δ
随机误差的频率直方图
ni 1 dn 概率密度： f ( ) lim n n d n
例：随机误差实验结果
分区号
1
2 3 4 5 6 7 8 9
测量值 ( x i)
5.21
5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29
误差量 ( δ i)
-0.05
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 +0.01 +0.02 +0.03
出现次 数 （n i )
标准误差σ是方差Dx的均方根值，这也是 标准误差σ又称均方根误差的原因。
置信区间： 就是随机变量的范围±(-L—L)表示 又：±L=±Z σ Z为置信系数， Z = L/ σ 置信限：L= Z σ 置信概率φ(Z)：随机变量在置信区间内 取值的概率. 置信度：结合置信区间与置信概率 置信水平α (Z) ：随机变量在置信区间外 取值的概率