随机误差概率密度正态分布
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律 (2)
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表，频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。
实验器材及规格：秒表0.01s实验原理：1常用时间测量仪器的简要原理：机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置来连续调节。
电子节拍器：由石英晶体震荡器，计数器，译码器，电源，分档控制及显示部分组成。
按一定频率发出有规律的声音和闪光。
电子秒表：机心由CMOS集成电路组成，石英晶体震荡器做时标，一般用6位液晶数字显示。
连续累积时间59min,59.99s,分辨频率为0.01s。
V AFN多用数字测试仪：由PMOS集成元件和100kHs石英晶体震荡器构成。
可测量记数，震动，累计，速度，加速度，碰撞，频率，转速，角速，脉宽等。
时标由DC10集成电路和100kHs石英晶体震荡器构成。
2在不考虑系统误差的前提下，用时间测量仪器，测量同一时间N次，统计时间分布规律，并且分析误差。
当N趋于无穷时，各测量值出现的概率密度可用正态分布的概率密度函数表示：221()/21()niiX Xf x eσ=⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑=平均值计算公式：1/niiX X n==∑标准差计算公式：Xσ=（1）统计直方图方法在一组等精度测量的N个结果中，找出最大最小值，再有此得到极差max minR X X=-。
将极差分为K 个部分。
每个区间长度x ∆MAX MINX X R x K K-∆==将落在每个区间的次数称为频数，i n N 称为频率。
最后以X 为横轴i nN为纵轴做图。
（2）密度分布曲线利用直方图中得到的概率密度值，以概率密度值为纵坐标，x 为横坐标可的密度分布曲线，数据处理:最小值min 2.84X s=最大值max 3.64X s=平均值 3.23X s=标准差0.15sσ=A 类不确定度0.01s Ua σ==因为人反应时间约为0.2s,秒表仪器误差约为0.01s,所以取 B 类不确定度 0.20Ub s =误差合成0.25s ∆== P ≥0.95 测量结果为(3.230.25)T s =± 置信概率 0.95P ≥图表统计如下:取区间数K=17，区间长0.05s 。
随机误差的正态分布曲线
2
＝ y y
24
18.2.5 测量误差的合成
• 误差的合成就是已知被测量与各个参数的函数关系以及各 个参数测量值的分项误差，求被测量的总误差。 • 对于已定系统误差，则误差的大小、符号和函数关系均为 已知，可直接由前面的系统误差传递公式或随机误差传递 公式进行合成。
25
18.2.6 测量误差的分配
31
测量不确定度的来源
• 测量过程中有许多引起不确定度的来源 • 测量不确定度常见的10项可能来源：
– – – – – – – – – – 1)被测量的定义不完整； 2)被测量的定义复现不理想； 3)抽样的认识不足，或对环境条件的测量和控制 不完善； 5)模拟式仪器的读数偏差； 6)测量仪器分辨力和鉴别阈值不够； 7)计量标准器和标准物质不准确； 8)用于数据计算的常量和其他参量不准确 9)测量方法、测量系统和测量程序中的近似和假设； 10)在表面上看来相同的条件下，被测量在重复观测中的变化
• 精度：反映测量结果与真值接近程度的量 • 精度与误差相对应，误差越小，精度越高，反之 亦然 • 分类
– 准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度（测量 结果偏离真值的程度） – 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度（测量 结果的分散程度） – 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的 影响程度（常用测量不确定度或极限误差表示）
28
29
30
18.3 测量不确定度
• 测量不确定度是指对测量结果不确定性的评价，是表征被 测量的真值在某个量值范围的一个估计，测量结果中所包 含的测量不确定度用以表示被测量值的分散性。 • 所有的不确定度分量均用标准差表征，它们或者由随机误 差引起，或者由系统误差引起，都对测量结果的分散性产 生相应的影响 。
正态分布的概率密度与分布函数
方差的定义与计算
方差的定义
方差是用来衡量随机变量取值分散程度的数学概念，它是每个取值与期望的差的平方的 期望。对于离散随机变量，方差计算公式为 $Var(X) = sum (x_i - mu)^2 p(x_i)$，其 中 $mu$ 是期望；对于连续随机变量，方差计算公式为 $Var(X) = int (x - mu)^2 f(x)
对称性
正态分布的曲线关于均值μ对称， 即如果一个数据值在均值μ的左侧， 那么在均值μ的右侧将有一个相同 距离的数据值与之对称。
渐进性
当数据量足够大时，无论数据的 来源和分布情况如何，只要符合 中心极限定理的条件，数据都可 以近似地表示为正态分布。
正态分布在生活中的应用
01
02
03
金融领域
许多金融指标和随机变量 都服从正态分布，如股票 价格波动、收益率等。
自然科学领域
许多自然现象和随机误差 都可以用正态分布来描述， 如测量误差、实验误差等。
社会学领域
人类的许多特征和行为也 可以用正态分布来描述， 如智力、身高、考试成绩 等。
02
正态分布的概率密度函数
概率密度函数的定义
概率密度函数
描述随机变量取值概率分布的函数，其值表示在某个区间内取值的概率。
正态分布的概率密度函数
dx$。
方差的计算
在实际应用中，通常使用样本方差来估计总体方差。样本方差的计算公式为 $s^2 = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} (x_i - bar{x})^2$，其中 $N$ 是样本大小，$x_i$ 是每个样
本值，$bar{x}$ 是样本均值。
随机误差的正态分布
1.3
0.3
0.1179
1.4
0.4
0.1554
1.5
0.5
0.1915
1.6
0.6
0.2258
1.7
0.7
0.2580
1.8
0.8
0.2881
1.9
0.9
0.3159
1.96
1.0
0.3413
2.0
1
u u2
e 2 du
2 0
面积
u
0.3643
2.1
0.3849
2.2
0.4032
2.3
0.4192
频率分布图
规律
1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结 果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。
随机误差分布符合正态分布因此
△x
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
图2.2 误差频率分布图
（1）高斯误差定律 正态分布的分布密度函数为：
f (x)
1
( x )2
e 2 2 ( x )（2-1）
2
式中 、 为参数，可记为 x～N（ , 2 ）。其分布函数为：
x
F(x)
1
(x)2
e 2 2 dx
随机误差分布符合正态分布因此
在第1章中给出了一个实际测量结果的例子，以误差作为横坐标，以频率数 f 作为纵坐标，将所得数据画成频率分布的直方图，如图2.1 所示。
f i 18% 16%
14%
12%
10%
8%6%4%2%0%-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0
0.01
一般的正态分布可以通过适当变换化为标准正态分布。
若x～ N（,2） ， 令Z=x， 则Z～ N（ 0， 1） 符 合 标 准 正 态 分 布 ， 如 下 式 ：
F(x)(x)(Z) Z
1
Z2
e2dZ
2
（2-4）
（ 2-4）其值见附表1。分布图见图2.3-1 19世纪德国的科学家高斯研究大量的测量数据时发现，随机误差分布符合正态分布。因此，在误差理论中将正态分布又称为高斯分布，图 2.3中的曲线称为高斯曲线，其分布密度函数及概率分布函数分别表示为：
准 误 差 为 σ， 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 可 表 示 x 为～ N （ a， ( )2） ， 按 正 态 分 布 概 率 积 分
2
（2-2）
F（x）的图形关于中心轴对称，由此可以得出：
（2-3）
§1—2随机误差的正态分布
b.
-
0
+
x
X -
2.正态分布曲线的讨论
特点:
y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准偏差
（1）y极大值在 x = μ 处；
于x = μ 对称；
x 轴为渐近线.
（2）拐点在 x = μ ± σ 处.
表示为N(, 2)
（1）测定值的正态分布
(u )du 1
同理，由标准正态分布曲线方程还 可求得在无限多次测量中，某一范围内测 量值或随机误差出现的机会（概率）的最 终趋势是多少. 2 u 即 u2 1
P
u1
2
e 2 du
标准正态分布曲线 N (0,1)
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
-3 -2 - -3 -2 -
对称性: 曲线以x =这条直线为对称轴.
表明测量数据具有明显的向 总体平均值集中的趋势；
决定正态分布曲线的中心位置。
测量值出现正,负误差的机会相等. 单峰性:
1 y 2π
x =时,y值最大,表现为一个峰形.
σ决定正态分布曲线的形状；
σ越小，数据越集中，测定值落在
附近的概率越大。
当 σ ，µ 确定，正态分布曲线的位置和形状也确定，
P=95.5% ½ a
=0.47%
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
u
α=4.5%
P 置信度
a 显著性水平
P+ a = 1
-3
-2
-1
0
68.3% 95.5% 99.7%
0
2 3 + +2 +3
第二章随机误差
特征量为：
2
2
2
六、t分布
316
设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布
N（0，1），Y服从自由度为的χ2分布，则随机变 X t 量 Y / 的概率密度
f x
(
1
2
（2－32） （2－33）
)
( )
2
(1
x
2
15
设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服从
标准正态分布N（0，1），则随机变量 2 2 的概率密度为 2 X 12 X 2 X
x 1 1 2 2 x e f x 2 2 ( ) 2 0
x0 x0
第一节 随机误差概述
二、随机误差产生的原因
随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不 能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素 中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有 的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化， 而这些微小变化又给测量带来误差。
例
题
举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允 许范围为（20±2）℃。为此，测量在恒温室内进行， 恒温室温度控制能力达到（20±0.5）℃，满足测量要 求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化 中，围绕平均温度20℃有微小的波动，温度时高时低， 变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长 度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响 又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法 确定，因此造成随机误差。
误差的分布；正确求解极限误差。
重点和难点
3- 3
随机 误差 产生 的原 因
测量值和随机误差的概率分布
（2-8）
• 视为概率在微小区间 xi , xi x 上的增量
2 由概率密度定义推论 （1）点上的概率为零
f (x) dx f (x) 0 0
某点的概率密度大，则测量值在该点附近的概率大
（2）无穷小区间上的概率
dp f (x)dx
（2-9）
（3）区间（a，b）上的概率
b
P(a,b) a f (x)dx
•令 •即
f (r)
1
r2
e 2 2
2
f (x)dx f (r)dr
（2-15）
• f（r）为随机误差的正态分布密度函数，r为随机 误差
2-2-2 正态分布
• 因为
1
lim n n
1
ri
lim
n
n
(xi )
lim 1 n n
xi
0
（2-16）
• 即随机误差的总体平均值为0
• 所以正态分布曲线的位置是确定的，在曲线最高
Si
ni nx
x
ni n
（2）所有矩形面积之和等于频率的总和1
S
Si
ni nx
x
ni n
1
2 形状与分布规律
（1）频数曲线在横轴上跨越的范围就是测量值分布 的范围
这个范围并不小，说明测量值是分散的
（2）频数曲线两边低，中间高，
说明较大或较小的值，即偏离较远的值，出现的频 率小；
中间值，即趋近于样本平均值(60.78)的值，出现的 频率大，说明测量值又是集中的
• 前两条是一般统计检验的理论根据和出发点。 • 第三条说明增加测定次数可以减小直至消除随机
误差。
§2-3 标准正态分布（u分布）
误差函数 正态分布
误差函数正态分布一、引言在机器学习和统计学中，误差函数（error function）是用来衡量模型的预测值与真实值之间的差异的一种指标。
误差函数的选择对模型的训练和优化至关重要。
正态分布（normal distribution）又被称为高斯分布（Gaussian distribution），是一种常见的概率分布模型。
本文将深入探讨误差函数与正态分布的关系，以及它们之间的应用。
二、误差函数概述误差函数是用来度量预测值与真实值之间差异的函数。
在机器学习中，我们希望通过最小化误差函数来找到一个最佳的模型参数集合。
常见的误差函数包括均方误差（Mean Squared Error，简称MSE）、交叉熵（Cross Entropy）等。
2.1 均方误差均方误差是误差函数中最常用的一种，它衡量了模型预测值与真实值之间的平均差异的平方值。
均方误差的计算公式如下所示：MSE=1n∑(y i−y î)2ni=1其中，y i为真实值，y î为模型的预测值，n为样本数量。
均方误差广泛应用于回归问题的模型评估和参数优化。
2.2 交叉熵交叉熵常用于分类问题的模型评估和优化。
它衡量了模型预测值与真实类别之间的差异。
交叉熵的计算公式如下所示：CE=−∑y ini=1log(y î)其中，y i表示真实类别的概率分布，y î表示模型预测的类别概率分布，n表示类别数量。
交叉熵越小，模型的预测结果与真实结果越接近。
三、正态分布概述正态分布是一种连续型概率分布，它的概率密度函数呈钟形曲线。
正态分布的特点是其均值和方差完全决定了整个分布的形状。
正态分布的概率密度函数公式如下所示：f(x|μ,σ2)=1√2πσ2−(x−μ)22σ2其中，μ表示均值，σ2表示方差。
正态分布在统计学和概率论中广泛应用，因为许多自然现象都服从正态分布。
3.1 正态分布的特性正态分布有若干重要的特性，包括：1.对称性：正态分布的概率密度函数在均值处具有对称性，呈钟形曲线。
1002随机误差
14 3.08
0.07
2
0.0133
频率密度 fi / x
11 8 8 7 5 3 1
x 3.01
fivi 0
n=150 fi 0.9999
10
2、统计直方图 根据表1-1的数据可按下列步骤作出统计直方图。
以xi为横坐标，以fi 或 fi /x为纵坐标建立坐标系。
2 i
vi2
n
2 x
2
x
vi
vi2
n
2 x
i1
i1
i1
i1
n
n
i
vi
n x
i 1
i 1
n
n
n
i vi i
i1 i1 i1
x
n
n
n
n
2
i
n
i2
n
2 i j
2 x
i 1
n
i1 n2
1
2
单峰性
A、对称性 f ( ) 0 f ( ) f ( )
B、抵偿性 C、单峰性 D、有界性
n
随着测量次数的增加， lim
i
i 1
0
n n
δ=0时, fmax ( ) f (0) f ( ) f (0)
随机误差δ出现在一个有限的区间
内，即[-kσ,+kσ]的可能性较大。
1879.64
li
vi
-0.01
0
+0.04
+0.05
-0.05
-0.04
+0.04
随机误差的正态分布曲线
误差的表示方法
• 绝对误差：测量值与真实值间的差值
xL
• 相对误差：绝对误差与真实值（或测量值）之比 定义：＝ 100% 实际：＝ 100% L x • 引用误差：绝对误差与仪表满量程之比
= 100% xm
9
仪表精度等级的确定
• 依据引用误差，如0.5级表代表其引用误差最大为 0.5% • 我国的仪表等级分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、 2.5和5.0共七个等级。 • 选用仪表时，一般使其最好能工作在不小于满刻 度值2/3的区域。
• 由于2.0%＞1.5%，因此，该电流表已不合格，但 可做精度为2.5级表使用。
11
18.2 测量误差的处理 18.2.1随机误差的统计处理
• 1、随机误差的正态分布曲线
– 单峰性：绝对值小的随机误差出现的概率ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于绝对值大的随机误差出现
的概率。
– 有界性：随机误差的绝对值是有限的。 – 对称性：随着测量次数的增加，绝对值相等、符号相反的随机误差的出
• 若总的误差已确定，要确定各环节的误差大小以保证总的 误差不超过允许值，这一过程称为误差的分配 • 误差分配有助于在进行测量工作前，根据给定的允许测量 总误差来选择测量方案，合理进行误差分配，确定各环节 误差，以保证测量精度。误差分配应考虑测量过程中所有 误差组成项的分配问题。 • 误差的分配一般地说有无穷多个方案，因此往往在某些假 设条件下进行分配。
– 理论真值是在理想情况下表征一个物理量真实状态或属性的值， 它通常客观存在但不能实际测量得到，或者是根据一定的理论所 定义的数值（如三角形三内角之和为180度）。 – 约定真值是为了达到某种目的按照约定的办法所确定的值（如光 速为30万公里每秒），或以高精度等级仪器的测量值约定为低精 度等级仪器测量值的真值。
正态分布原理
正态分布原理正态分布，又称高斯分布，是概率论和统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它具有许多重要的性质，被广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
正态分布的形状是对称的钟形曲线，其均值、方差和标准差是其分布特征的重要参数。
在实际应用中，正态分布常常被用来描述各种随机变量的分布规律，因此了解正态分布的原理和特点对于数据分析和统计推断具有重要意义。
正态分布的原理可以从多个角度来解释。
首先，从数学角度来看，正态分布是由数学家高斯在研究误差理论时提出的。
它的概率密度函数可以表示为一个关于均值和标准差的函数，其曲线在均值处达到最大值，两侧逐渐下降，呈现出典型的钟形。
这种对称的形状使得正态分布在描述随机变量时具有很好的性质，例如可以方便地计算概率、求解置信区间等。
其次，从统计学角度来看，正态分布在中心极限定理中扮演着重要的角色。
中心极限定理指出，大量独立随机变量的均值的分布趋近于正态分布。
这意味着在很多情况下，当我们对一组随机变量进行统计分析时，可以假设其总体分布近似为正态分布，从而简化了问题的复杂性。
此外，从实际应用的角度来看，正态分布在自然界和社会现象中的广泛存在也为其原理提供了实际基础。
例如，身高、体重、考试成绩等许多现象都呈现出正态分布的特征。
这种普遍性使得正态分布成为了一种重要的模型，可以帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。
总的来说，正态分布的原理涉及数学、统计学和实际应用等多个方面，其重要性不言而喻。
了解正态分布的原理有助于我们更好地理解概率统计的基本概念，提高数据分析和统计推断的能力，为科学研究和实际应用提供有力支持。
因此，对于学习者来说，深入理解正态分布的原理是非常重要的。
在实际应用中，我们可以通过计算机软件进行正态分布的模拟和分析，从而更好地理解其原理和特点。
同时，也可以通过实际数据的分析来验证正态分布在现实中的应用情况，进一步加深对正态分布原理的理解和掌握。
总之，正态分布作为概率论和统计学中的重要概率分布之一，其原理和特点具有重要的理论和应用价值。
随机误差的正态分布
2 有效数4时舍; 尾数≥6时入
尾数＝5时, 若后面数为0, 舍5成双;若5后面还有 不是0的任何数皆入
例 下列值修约为四位有效数字 0.324 74 0.324 75 0.324 76 0.324 85 0.324 851
0.324 7 0.324 8 0.324 8 0.324 8 0.324 9
它是由某些无法控制和避免的偶然因素造成 的。如：测定时环境温度、湿度、气压的微小波 动，仪器性能的微小变化，或个人一时的辨别的 差异而使读数不一致等。 如：天平和滴定管最后一位读数的不确定性。
它的特点：大小和方向都不固定，也无法测量 或校正。
10
除这两种误差外，往往可能由于工作上粗枝大 叶不遵守操作规程等而造成的“过失误差”。 过失
对数关系
若 R=mlgA, 则
ER
0.434m
EA A
分析结果的相对误差是测量值的相对误差 的指数倍。
28
（二）偶然误差 1、加减法 若 R=A+B-C, 则 SR2=SA2+SB2+SC2 若 R=aA+bB-cC+…, 则 SR2=a2SA2+b2SB2+c2SC2+…
分析结果的标准偏差的平方是各测量步骤标 准偏差的平方总和。
64若以样本平均值来估计总体平均值可能存在的区间可按下式进行估算对于少量测量数据必须根据t分布进行统计处理按t的定义可得出65它表示在一定置信度下以平均值为中心包括总体平均值的范围即平均值的置信区间
§3.1 分析化学中的误差
一、基本概念
1．真值 某一物理量本身具有的客观存在的真实数值，即 为该量的真值。一般说来，真值是未知的，但下 列情况的真值可以认为是知道的： a.理论真值 如某化合物的理论组成
误差的基本性质-随机误差
在正态分布条件下，满足最大似然原理：
该测量事件发生的概率最大
二、残余误差 由算术平均值原理可知，算术平均值是真 值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计 算得到的误差称为残余误差。 在规定测量条件下，同一被测量的测量列 x1，x2，…，xn有算术平均值： 1 n x xi n i 1 则称：
50
40
30
20
10
0 0.114 0.116 0.118
0.12
0.122 0.124 0.126 0.128
对于测量状态不完好的光电类测量仪 器，特别是对传动机械部件磨损较严重 而规律尚未掌握的仪器，其测量随机误 差可能就呈现其他分布的特征。
激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源
氦氖激光源辐 射激光束的频 率不够稳定造 成激光波长的 漂移 放置测量主机和被 测试样的隔震台不 能很好消除外界的 低频震动 操作人员的装夹 调整不当引起被 采集的测量干涉 图像质量低、条 纹疏密不当 离散化采样误差、 各次装夹定位不 一致 CCD光电探测器 采集信号及其电 信号处理电路造 成干涉图像信号 的随机噪声
六、t 分布
设随机变量 X与 Y相互独立， X服从标准正态分布 N （0，1），Y服从自由度为υ的χ2分布，则随机变量
t X Y /
(
服从自由度为的t 学生氏 分布
其概率密度函数为：
1
2 f x )
( )
2
(1
x2
)
1
2
其特征量分别为: E[ ] 0;
如果这组数据是来自于某测量总体的一个 样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标 准差的一个估计，称其为样本标准差，又称为 实验标准差。
随机误差的正态分布PPT课件
3、根据随机误差的标准正态分布，可求得随机误差出现在某一区间
的概率，根据u的定义，也可求出x出现在某一区间的概率。
第25页/共54页
例4-2、测定某试样中SiO2质量分数得s = 0.05%。 若测定的精密度保持不变，当P= 0.95时，欲使置信 区间的置信限 ，问至少应对试样平行测定多少次？
解： x tP, f
第4页/共54页
5.平均值的标准偏差 n个容量相同的样本的平均值的偏差
x n
sx s n
(n )
6.极差：R＝xmax－xmin
第5页/共54页
三、准确度与精密度
准确度与精密度的关系
例：甲、乙、丙、丁 四个分析工作者对同一铁标样
（WFe=37.40%)中的铁含量进行测量，得结果如图示，比较
68.3 95.0 95.5 99.0 99.7
例题4-3：
某土壤样品，总体平均值为2.64%，测得 = 0.10,% 求结果落 在（1）2.640.2% 概率是多少？
（1）解：
u x 0.2% 2.0
0.10%
查表：u=2 时，概率为：2 0.4773 = 0.955 = 95.5%
测 定 次 数 较 少 时 ， 测x定 值 或 随 机 误 差 也 不
呈正态分布，这就给少量测定数据的统计
处理带来了困难。此时若用s代替σ从而对μ
作出估计必然会引起偏离，而且测定次数
越少，偏离就越大。
t
x
s
n
x ta，f
s n
第24页/共54页
（三）区间概率的概念
25.0
0.40
20.0
0.30
• 定量分析：准确获取试样中物质的含量
分析方法 仪器和试剂 工作环境 分析者等
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ƒ(0)
置信概率
1/2α
P= φ(z)=1-α
1/2α
置信区间 ±(L) 图1—5 置信区间与置信概率
δ
Z
0
φ(Z)
0.00000 0.07966 0.15852
Z
0.9 1.0 1.1
φ(Z)
0.63188 0.68269 0.72867
Z
1.9 1.96 2.0
φ(Z)
0.94257 0.95000 0.95450
拐点坐标：
1 f (0) f max ( ) σ 2 1 f g ( ) f ( ) 2e
概率：
P{,}
f ( )d 1
一、算是平均值与数学期望值 1. 算是平均值:
x
x
i 1
n
i
n
2. 随机变量的数学期望定义为随机变量的一阶 原点距，记为：
h
1
2
ƒ(δ)
ƒ(δ) σ<σ´<σ´´ h>h´>h´´ ƒ(δ)dδ
拐点
ƒ´(δ)
ƒ´´(δ)
1/(σ√2πe)
1/(σ√2π)
- σ´´- σ´
-σ
σ
σ´
σ´´
δ
随机误差正态分布曲线图
3、σ（曲线的拐点）的大小说明了测量值的 离散性, 故等精度测量是一种σ值相同的测 量。 4、正态分布曲线的关键点 峰点坐标： 0( xi x0 )
( x x0 ) 2 1 Dx ( x x0 ) f ( x)dx exp[ ( x x0 ) 2 ]dxlim
1 n 1 n 2 2 ( xi x0 ) lim i n i 1 n i 1 n
正态分布重要特征之一： 全体测量值的数学期望就是测量值的真值。 在未知x0的情况下，对于有限测量列，可以利用算术 平均值x代替真值x0，用测量偏差或残余误差（简称 残差）vi=xi-x 代替测量误差 δi= xi-x0
二、方差与标准误差 方差定义为随机变量的二阶中心距，它表 征了随机变量相对于其中心位置（数学期望） 的离散程度。 对于全体测量值来说，母体的方差Dx表征 了测量值相对于其真值X0的离散程度。
二、概率密度的正态分布 1、随机误差必然服从正态分布，其概率密度 可由高斯方程描述。它们的概率密度分布曲 线又称之为正态分布曲线。 2、标准误差σ越小,精密度指数h越大,正态分 布曲线越陡, 小误差的概率密度越大，测量 值越集中,测量精密度越高。
1 2 f ( ) ex p ( ) 2 2 2 h f ( ) ex p ( h 2 2 )
Z
2.7 2.8 2.9
φ(Z)
0.99307 0.99489 0.99627
0.1 0.2
0.3
0.4
0.23585
0.31084
1.2
1.3
0.76986
0.80640
2.1
2.2
0.96427
0.97219
3.0
3.5
0.99730
0.99535
0.5
0.6 0.6745 0.7 0.8
0.38293
1
3 8 18 28 34 29 17 9
频率 （n i )
0.007
0.020 0.058 0.120 0.187 0.227 0.193 0.113 0.060
概率密度 （ni/（nΔ δi））
0.7
2.0 5.8 12.0 18.7 22.7 19.3 11.3 6.0
10
11
5.30
5.31
标准误差σ是方差Dx的均方根值，这也是 标准误差σ又称均方根误差的原因。
置信区间： 就是随机变量的范围±(-L—L)表示 又：±L=±Z σ Z为置信系数， Z = L/ σ 置信限：L= Z σ 置信概率φ(Z)：随机变量在置信区间内 取值的概率. 置信度：结合置信区间与置信概率 置信水平α (Z) ：随机变量在置信区间外 取值的概率
Mx
xf ( x)dx
它表示了随机变量的中心位置。
ƒ(x)
ƒmax(δ)
1/σ√2πe
0
图1—2
X 0- σ X 0
X0+σ
X
测量值的概率密度分布曲线
数学期望实际上就是全体测量值依概率的平均 数。对于正态分布，上式积分后可得：
2 x 1 x x0 Mx exp dx x0 2 2 2
0.45149 0.50000 0.51607 0.57629
1.4
1.5 1.6 1.7 1.8
0.83849
0.86639 0.89040 0.91087 0.92814
2.3
2.4 2.5 2.58 2.6
0.97855
0.98361 0.98758 0.99012 0.99068
4.0
4.5 5.0 ∞
f(δ)
分布 F ( ) 函数
f(δ)dδ
f ( )d
F(δ)
Ⅱ
与分布函数互 为微积分关系
Ⅰ
δ dδ
随机误差的概率密度分布曲线图
一、随机误差的特点
测试条件： 研究对象在无系统误差且无 粗差的独立的等精度实验结果. 特点： ⑴对称性：绝对值相等的正、负误差概率密度分 布曲线对称于纵轴。 ⑵抵偿性：相同条件下,当测量次数n趋于∞时, 全体误差的代数和为0。 ⑶单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差 的概率密度大,在δ=0处概率最大. ⑷有界性：绝对值很大的误差几乎不出现。
+0.04
+0.05
2
1
0.013
0.007
1.3
0.7
ni为在 i i 2
范围内出现的次数
ni/n
i xi x0
0.15 0.10 0.05 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04
δ
随机误差的频率直方图
ni 1 dn 概率密度： f ( ) lim n n d n
0.99937
0.99993 0.99999 1.00000
例：随机误差实验结果
分区号
1
2 3 4 5 6 7 8 9
测量值 ( x i)
5.21
5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29
误差量 ( δ i)
-0.05
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 +0.01 +0.02 +0.03
出现次 数 （n i )