四点共圆基本判断方法
证明四点共圆的方法
证明四点共圆的方法四点共圆是指四个点可以在同一个圆上。
要证明四点共圆，可以利用静态几何学的基本定理和性质，下面将介绍三种常用的方法。
方法一：利用圆的定义和性质对于任意圆，其上的所有点到圆心的距离都是相等的。
因此，我们可以通过计算四个点到圆心的距离来判断它们是否共圆。
设四个点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，圆心为O(x0,y0)。
若四个点共圆，则AO=BO=CO=DO。
利用距离公式得到：AO²=(x1-x0)²+(y1-y0)²BO²=(x2-x0)²+(y2-y0)²CO²=(x3-x0)²+(y3-y0)²DO²=(x4-x0)²+(y4-y0)²若AO=BO=CO=DO，那么AO²=BO²=CO²=DO²，即(x1-x0)²+(y1-y0)²=(x2-x0)²+(y2-y0)²=(x3-x0)²+(y3-y0)²=(x4-x0)²+(y4-y0)²。
通过比较以上等式，我们可以判断四个点是否共圆。
方法二：利用圆的定理和性质若四个点共圆，则它们可以共同对应一个圆。
根据圆的定理和性质，我们可以利用以下定理进行推导和证明：1.三角形的外接圆：如果一个三角形的三个顶点都位于一些圆上，那么这个圆叫做这个三角形的外接圆。
2.交角的异弦：如果两条弦分别交于一个圆的两点，那么它们所夹的两个交角相等。
3.切割定理：规定公式pA×pB=pC×pD，其中p是代表点到圆心的距离，A、B、C、D分别是点到圆心的两条弦所分割的两部分。
根据以上定理和性质，我们可以进行推导和证明四点共圆。
方法三：利用方程推导和证明利用坐标系中的几何图形的方程进行计算和推导是另一种证明四点共圆的常用方法。
四点共圆基本性质及证明
四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
定理1判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB DC+BCAD=AC BD。
例题：证明对于任意正整数n 都存在n 个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。
我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n 都存在n 个点使得所有点间两两距离为整数，且这n 个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。
n=1，n=2很轻松。
当n=3 时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5 的三角形。
我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。
假设对于n 大于等于 3 成立，我们来证明n+1。
假设直径为r （整数）。
找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a<b<c）。
把原来的圆扩大到原来的 c 倍，并把一个边长为ra<rb<rc 的三角形放进去，使得rc 边和放大后的直径重合。
这个三角形在圆上面对应了第n+1 个点，记为P。
于是根据Ptolomy 定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。
（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy 定理里的其它数都是整数。
四点共圆的证明方法
四点共圆的证明方法
要证明四个点共圆，我们可以使用以下方法：
通过三角形的外接圆证明：首先选择任意三个点，构成一个三角形。
如果这个三角形的三个顶点在同一个圆上，那么我们可以得出结论：第四个点也在这个圆上。
为了验证这一点，我们可以计算这个三角形的外接圆心，并检查第四个点是否也位于该圆上。
利用圆的性质证明：如果我们已经知道了另外三个点在同一个圆上，那么我们可以利用圆的性质来证明第四个点也在该圆上。
例如，可以证明四个点共圆的方法之一是通过证明这四个点构成的两个弦相交于同一点，或者证明这四个点构成的两个弧的度数和等于360度。
利用向量的性质证明：我们可以将四个点表示为向量的形式，并利用向量的性质进行证明。
如果我们能够证明这四个点所对应的向量满足某种关系，比如共线、平行或垂直等，那么我们就可以得出结论：这四个点共圆。
利用解析几何的方法证明：假设这四个点的坐标分别为A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y ₃)，D(x₄, y₄)。
我们可以利用解析几何的方法，通过计算这四个点所构成的三角形的外接圆方程，来判断这四个点是否共圆。
如果这四个点满足外接圆方程，那么它们就在同一个圆上。
无论采用哪种方法，我们需要根据具体问题的条件和要求选择合适的证明方法。
1。
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明要证明四个点共圆，可以使用以下七种判定方法。
方法1：使用相交弧的性质假设四个点A、B、C、D共圆。
我们可以通过观察四个点连线所形成的相交弧的性质来进行判定。
即如果从A到B的弧和从C到D的弧的起点和终点重合，或者从B到C的弧和从D到A的弧的起点和终点重合，或者从C到D的弧和从A到B的弧的起点和终点重合，则可以证明四个点共圆。
方法2：使用余弦定理假设四个点A、B、C、D共圆，并且以A为圆心，AB为半径做圆，那么可以使用余弦定理证明。
首先，假设O为C到D的中点，我们可以根据余弦定理得出：AC² = AO² + OC² - 2 * AO * OC * cos∠AOC，同样地，我们可以得出：BD² = BO² + OD² - 2 * BO * OD * cos∠BOD。
由于共圆的性质，我们可以得到∠AOC = ∠BOD，因此AC² = BD²，从而可以证明四个点共圆。
方法3：使用向量运算假设四个点A、B、C、D共圆，我们可以使用向量运算进行证明。
首先，我们可以构建向量AB和向量AC，然后计算它们的叉乘，得到一个向量N。
同样地，我们可以构建向量AD和向量AC，并计算它们的叉乘，得到另一个向量M。
如果向量N和向量M垂直（即内积等于0），那么可以证明四个点共圆。
方法4：使用角平分线的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且AC和BD相交于点P。
那么根据角平分线的性质，我们可以得知∠APC=∠BPD。
同样地，由于共圆的性质，我们可以得到∠APC=∠BPC，因此∠BPD=∠BPC。
这意味着点P在角BPD的角平分线上，所以我们可以得出AD与BC也相交于点P，从而可以证明四个点共圆。
方法5：使用Miquel点的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且以AC为直径作圆，那么D一定在这个圆上。
同样地，以BD为直径作圆，C也一定在这个圆上。
四点共圆的判定方法
四点共圆的判定方法四点共圆是指四个点在同一圆周上，这种情况在几何学中经常会遇到。
那么如何判断四个点是否共圆呢？本文将介绍四种方法，包括解析几何法、向量法、余弦定理法和三角形面积法。
以下是详细的方法：一、解析几何法1. 假设已知四个点的坐标分别为A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3,y3）和D（x4, y4）。
2. 计算出AB、AC和AD三条线段的长度，分别记作a、b和c。
3. 根据勾股定理可以求出三角形ABC、ABD和ACD的面积S1、S2和S3。
4. 如果S1+S2+S3等于ABC三角形的面积，则说明四个点共圆。
二、向量法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 分别计算出向量AB、AC和AD的叉积，得到三个向量的模长，分别记作a、b和c。
3. 计算出向量AB与AC之间的夹角α，向量AB与AD之间的夹角β，以及向量AC与AD之间的夹角γ。
4. 如果α+β+γ等于180度，则说明四个点共圆。
三、余弦定理法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 计算出AB、AC、AD、BC、BD和CD三对线段之间的夹角，分别记作α、β和γ。
3. 根据余弦定理可以求出三个角的余弦值cosα、cosβ和cosγ。
4. 如果cosα+cosβ+cosγ等于0，则说明四个点共圆。
四、三角形面积法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 构造三角形ABC和ABD，分别计算出它们的面积S1和S2。
3. 构造三角形ACD和BCD，分别计算出它们的面积S3和S4。
4. 如果S1+S2等于S3+S4，则说明四个点共圆。
总结：以上就是判断四点共圆的四种方法，其中解析几何法比较简单易懂，适用于初学者；向量法需要一些向量知识，但计算较为简便；余弦定理法需要一些三角函数知识，但也比较容易掌握；三角形面积法则需要计算多个三角形的面积，稍微有些繁琐。
根据实际情况选择合适的方法进行判断即可。
证明四点共圆的几种方法
证明四点共圆的几种方法
有几种方法可以证明四点共圆，以下列举几种常见的方法：
1. 通过圆心角相等证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明四个圆心角相等来证明四点共圆。
具体方法是计算出∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB的度数，如果它们相等，则可以判断四个点共圆。
2. 通过等腰三角形证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两个对角线相等的等腰三角形来证明四点共圆。
具体方法是计算出AB、BC、CD、DA的长度，如果其中任意两个对角线相等，则可以判断四个点共圆。
3. 通过垂直角相等证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两条弦的垂直角相等来证明四点共圆。
具体方法是计算出∠ABD和∠ACD的度数，如果它们相等，则可以判断四个点共圆。
4. 通过正交性证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两个弦的垂直平分线相交于圆心来证明四点共圆。
具体方法是计算出弦AB和弦CD的垂直平分线的斜率，如果它们的斜率相乘为-1，则可以判断四个点共圆。
这些方法只是证明四点共圆的几种常见方法，实际上还有很多其他方法可以用来证明四点共圆。
具体使用哪种方法，取决于具体问题的情况和个人的偏好。
初三：第14课 四点共圆
第14课 四点共圆一、基本结论与方法：判断四点共圆的方法有：1.到定点等距离的几个点在同一个圆上；2.同斜边的直角三角形的各顶点共圆；3.同底同侧张角相等的三角形的各顶点共圆；4、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；5、如果四边形的一个外角等于它的内对角，则它的四个顶点共圆；6、四边形的对角线相交于点P ，且PA•PC=PB•PD,那么四个顶点共圆；7、四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线交于点P ，若PA•PB=PC•PD, 那么四个顶点共圆.托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和，等于对角线之积。
即：如图，四边形ABCD 内接于圆，求证：BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.DB二、例题与习题例1、如图，ABCD 是等腰梯形，求证：BD 2=AB•CD+BC 2.CD 例2、△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:4,:求证：BC AC AB 111=+A D例3、在边长为1的正七边形中，对角线AD=a,BG=b,求证：22)()(ab b a b a =-+.C 例4、两圆相交于A 、B,P 是BA 延长线上一点，PCD 、PEF 分别是两圆的割线，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
F例5、由圆外定直线上任意点，引圆的两条切线，求证：两切点的连线必经过某定点。
CA例6、点P 是正三角形外接圆的劣弧AB 上一点，连接PC 交AB 于D ，求证：(1)PA+PB=PC;(2)111PA PBPD +=.例7、P为△ABC内一点，D、E、F分别在三角形的边上，已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。
例8、设凸四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为E,证明：点E关于AB、BC、CD、DA 的对称点也共圆。
A例9、两个圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同一直线上的四个点，证明：这四个点共圆。
例10、梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰围直径作圆，点K位于两圆之外，证明：由K向两圆所作的切线长度相等。
四点共圆的6种判定
四点共圆的6种判定
在几何学中，我们了解到四点共圆（Four points on the same circle）是指满足给定四点能够围成一个圆形的结论。
目前存在许多不同的方法来判定一个给定的四点是否能围成一个圆形，其中最常用的有六种：
一、角平分线法：即把给定的四点连成两条边，然后计算这两条边的中点，如果这四个中点能够完成一个圆，则这四个点可以围成一个圆形。
二、垂线法：即绘制外切圆的圆心到直线ABC的三点的垂线，如果三点的垂线相交点在圆内，则四个点可以围成一个圆形。
三、外切圆法：即计算四边形的外接圆，如果外接圆的半径在最近的两段间符合要求，则四个点可以围成一个圆形。
四、三等分线法：即绘制每条边的三等分线，如果相交点都在边上，则四个点可以围成一个圆形。
五、两角平分线法：即把每条边的两个对角给定，并计算它们的中点，如果四个点能够完成一个圆，则四个点可以围成一个圆形。
六、垂直角平分线法：即计算每条边的垂直角平分线，如果相交点都在边上，则四点可以围成一个圆形。
四点共圆判定的方法由此可见，有多种途径可用于确定四点是否能够围成一个圆形，而且每种方法都有其特定优势，手动计算会比较复杂，只要用上数学公式和计算机几何处理程序，就可以完成自动判定。
中考复习四点共圆
四点共圆四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。
ADCC6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
四点共圆的六种判定方法
2 过点B作BG AC于点G,得到GBC=45 解RtABG、RtBCG，求得AC的值
判断方法二
练习3：如图，在四边形ABCD中，ABC ADC=90， CAD=26，则ABD的度数为__6_4_°__
常见的四点共圆模型
亦墨数学 小派老师
若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若一个凸四边形的一组对角互补，则这个边形的四个顶点共圆。
共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆 相交弦定理的逆定理： 若AB、CD两条线段相交于点P，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆 割线定理的逆定理： 若AB、CD两条线段延长后相交于点P，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆 托勒密定理的推广： 若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆
判断方法三
共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆
如图，ACD与 BCD，A B， 则A、B、C、D四点在一个圆上。
判断方法三
练习5：如图，若正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是DC边上的一点，DAE=30， 过点D作DF AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ______
分析：由题可知AFD AOD=90，故A、O、F、D四点共圆。 由四点共圆可得AFO=45，构造直角三角形求出OF的长度。
判断方法三
练习5：如图，若正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是DC边上的一点，DAE=30， 过点D作DF AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ______
4点共圆的判定
4点共圆的判定介绍在平面几何中，共圆是指多个点位于同一个圆上的情况。
当给定4个点时，我们需要判断它们是否共圆。
本文将介绍判定4点共圆的方法和原理，以及具体的计算步骤和示例。
1. 方法一：使用圆的方程1.1 圆的方程圆的方程可以表示为：(x−a)2+(y−b)2=r2其中，(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
1.2 判断四点共圆的步骤1.假设给定的四个点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
2.分别计算AB、AC、AD的中垂线的方程，得到它们的斜率和截距。
3.确定中垂线的方程后，求解得到中垂线的交点，即为圆心的坐标。
4.计算四个点到圆心的距离，如果它们的距离都相等，即满足共圆的条件。
2. 方法二：使用向量叉乘2.1 向量叉乘的性质在二维空间中，向量的叉乘可以用来判断三个点是否共线。
如果三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)共线，那么向量AB和向量AC的叉乘为0。
2.2 判断四点共圆的步骤1.假设给定的四个点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
2.分别计算向量AB和向量AC的叉乘，以及向量AB和向量AD的叉乘。
3.如果两个叉乘的结果都为0，则四个点共圆。
3. 示例假设有四个点A(0, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，D(1, 1)。
我们将使用上述两种方法来判断它们是否共圆。
3.1 使用圆的方程1.计算AB的中垂线的方程为：y = -0.5x + 0.52.计算AC的中垂线的方程为：y = 0.5x + 0.53.解方程得到两个中垂线的交点为(0.5, 0.5)，即圆心的坐标。
4.计算四个点到圆心的距离，可以得到：AB = AC = AD = BD = 0.5。
因此，四个点共圆。
3.2 使用向量叉乘1.计算向量AB和向量AC的叉乘：(1-0)(1-0) - (0-0)(0-1) = 12.计算向量AB和向量AD的叉乘：(1-0)(1-0) - (0-0)(1-1) = 13.由于两个叉乘的结果都为1，因此四个点共圆。
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明方法一：共分四种情况设有四个点A，B，C，D，如果它们共圆，可分为以下四种情况进行判定。
第一种情况：四个点都在同一直线上。
当四个点都在同一直线上时，它们不可能共圆。
因为共圆的四个点是不能共线的，如果共线则无法满足圆的特性，即任意三点在同一直线上。
第二种情况：任意两条边都相交于圆心。
当四个点满足任意两条边都相交于圆心时，可以判定它们共圆。
因为在一个圆上，任意两条边都是过圆心的直径，所以四个点形成的四条边都是过圆心的直径，满足共圆的条件。
第三种情况：任意三点共线，剩下一点在这条直线外。
当四个点满足任意三点共线，剩下一点在这条直线外时，可以判定它们共圆。
因为圆上的任意三点都不能共线，所以剩下的一个点就是圆心，四个点共圆。
第四种情况：任意三点共线，剩下一点在这条直线上。
当四个点满足任意三点共线，剩下一点在这条直线上时，可以判定它们共圆。
因为根据圆的性质，任意三点在同一直线上时，中间的那个点就是圆心，四个点共圆。
方法二：利用圆的性质验证如果四个点共圆，可以通过验证它们是否满足以下条件来证明。
条件一：四个点在同一平面上。
三维空间中的四个点如果共在同一平面上，则可能共圆。
条件二：四个点两两之间的距离相等。
在共圆的情况下，四个点两两之间的距离必须相等。
条件三：任取三点组成的三角形的外接圆，必须包含第四个点。
构建三角形时，任取三点组成的外接圆上的任意一点，如果包含第四个点，则满足共圆的条件。
条件四：通过四边形的对角线的交点，若可以确定一个圆心，则四个点共圆。
可以通过构建四边形的对角线，找到交点，如果能确定一个圆心，即其中一条边的中垂线与另一边的中垂线相交于一点，且该点距离四个顶点相等，则可以判定四个点共圆。
方法三：利用向量运算判断设四个点的坐标为A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），D（x4,y4）。
则可以通过向量运算判断四个点是否共圆。
条件一：任取三个点A、B、C，判断它们是否共线。
4点共圆的判定条件
4点共圆的判定条件
我们要找出4点共圆的判定条件。
首先，我们需要了解什么是4点共圆。
4点共圆是指在一个平面内，有四个点，它们都在同一个圆上。
为了判断这四个点是否共圆，我们可以使用以下定理：
定理：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形的四个顶点共圆。
这个定理告诉我们，如果一个四边形的对角线互相平分，那么它的四个顶点都在同一个圆上。
因此，我们可以使用这个定理来判断4点是否共圆。
计算结果为： [{a: -c, b: -d}, {a: c, b: d}]
所以，4点共圆的判定条件是：一个四边形的对角线互相平分。
四点共圆判定
四点共圆判定根据圆内四边形的一些定理，它个逆定理也可判定四点共圆。
圆的内接四边形的两对角和是180度，反之，如果四边形的两对角和是180，那么四点共圆。
在圆里，同弦角相等。
设A、B、C、D四点在圆上，明显，AB弦所对的角∠AC B=∠ADB。
反之，如果∠ACB=∠ADB，那四点共圆。
四点共圆判定判定1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆。
推论：证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．即连成的四边形三边中垂线有交点，可肯定这四点共圆。
判定21：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。
2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
判定3把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆。
（割线定理的逆定理）判定4四边形ABCD中，若有AB*CD+AD*BC=AC*BD，即两对边乘积之和等于对角线乘积，则ABCD四点共圆。
该方法可以由托勒密定理逆定理得到。
托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD，总有AB*CD+AD*BC ≥AC*BD,等号成立的条件是ABCD四点共圆。
判定5西姆松定理逆定理：若一点在一三角形三边上的射影共线，则该点在三角形外接圆上。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。
（2）圆内接四边形的对角互补。
（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
四点共圆的四种证明方法
四点共圆的四种证明方法
证明四点共圆是数学中最富有挑战性的证明。
现将四点共圆的四种证明方法做一介绍，以供参考。
首先，证明四点共圆的最直接、简单的方法就是直接应用牛顿公式。
牛顿公式定义了一个圆周上任意两点之间的平方和，可以快速证明四点在同一圆上，特别是在多边形圆周构成和四边形构成这两种情况下。
其次，可以利用射影原理证明四点共圆。
这一原理把一个大圆的一小部分映射到另一个圆表面上，证明四点共圆的关键思想是：如果四点共圆，那么只要给定两个点，就可以将剩下的点映射到圆上；否则，这两个点的另外两个相邻点就不能映射在同一个圆上。
第三种方法，可以用三点法证明更多的四边形是由四个共圆外心组成的。
在这种方法中，一般使用三点法，将一个提供的外心与另外三个圆心连线，如果三点在同一个圆内，那么四个点就必然共圆。
最后，可以使用贝塞尔三角形证明四个点是否共圆，贝塞尔三角形由两个圆心控制，根据三角形面积可以判断这三点是否在同一圆上，从而证明四点共圆。
总之，四点共圆的四种证明方法有利于我们对数学的深入研究，提升了我们的数学能力。
因此，我们要认真学习这类方法，一定可以将一个不可能变成可能。
证明四点共圆的基本方法
证明四点共圆的基本方法1、利用圆的定义根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这个圆是以定点为圆心，以定点到这几个点中任一点的距离为半径。
2、利用三角形的关系 (1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆； (2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。
已知C 、D 在线段AB 的同侧，且∠ACB=∠ADB 。
求证：A ，B ，C ，D 四点共圆。
证明：如图7-39，过A ，B ，C 三点作⊙O 。
(1)如果D 点在⊙O 内部，则延长BD 交⊙O 于D '，连A D '。
∵∠D '=∠C ，且∠ADB ＞∠D '。
∴∠ADB ＜∠C ，这与∠ADB=∠ACB 矛盾。
因此D 点不可能在⊙O 的内部。
(2)如图7-40，如果D 点在⊙O 的外部，连AD ，BD 。
则必有一条线段与⊙O 相交，设BD 与⊙O 交于D '，连A D '。
∵∠A D 'B=∠ACB ，且∠D ＜∠A D 'B 。
∴∠D ＜∠ACB ，这与∠ADB=∠ACB 矛盾。
因此，D 点不可能在⊙O 的外部。
综上所述，D 点必在⊙O 上。
3、利用四边形的关系 (1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆(图7-41)；(2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆(7-42) 4、利用线段的乘积式的关系(1)线段AB ，CD 相交于P ，且PA ·PB=PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆。
证明：如图7-43，连AD ，BC ，AC 。
在△APD 和△BPC 中，∵PA ·PB=PC ·PD ，∴PBPDPC PA =。
又∠APD=∠BPC ，∴△APD ∽△BPC 。
∴∠B=∠D ，又B ，D 在线段AC 同侧。
因此，A ，C ，B ，D 四点共圆。
(2)两线段AB ，CD 的延长线相交于P ，且PA ·PB=PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆(图7-44)。
四点共圆的判定条件
四点共圆：首先这四个点是在同一平面上,你在平面上只要能找到一个圆,使这个圆通过这四个点,就可以称为这四点共圆.专业点就是：同一平面上的四个点,如果存在一个圆通过这四个点,那么就称四点共圆.你试想,圆上任意两点相连得到线段构成弦,弦的垂直平分线必定通过圆心.于是就可以得到四点共圆的一个判定定理：A,B,C,D四点在同一平面上,如果AB,BC,CD这三条线段的垂直平分线交于一点,那么这四点共圆,得到交点就是圆心.证明：设交点为O,则O在AB,BC,CD这三条线段的垂直平分线上,根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离想等就有：OA=OB=OC=OD,于是以O为心,OA为半径的圆必定通过A,B,C,D.得到了圆,这四点共圆.之所以要研究四点共圆,是因为3点必定共圆,你可以用上面的思路证明的,只是还要用到"三角形三条边的垂直平分线交于一点",这里求得的圆心就是“外心”.。
四点共圆基本性质及证明
四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
1定理判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB⨯DC+BC⨯AD=AC⨯BD。
例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。
我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。
n=1，n=2很轻松。
当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。
我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。
假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。
假设直径为r（整数）。
找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a<b<c）。
把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra<rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。
这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。
于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。
（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。
四点共圆的判定与性质
四点共圆的判定与性质之巴公井开创作一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆.2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°）,则这个四边形的四个点共圆.3、若一个四边形的外角即是它的内对角,则这个四边形的四个点共圆.4、若两个点在一条线段的同旁,而且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆.5、同斜边的直角三角形的极点共圆.6、若AB、CD两线段相交于P点,且PA×PB=PC×PD,则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理).7、若AB、CD两线段延长后相交于P.且PA×PB=PC×PD,则A、B、C、D四点共圆(割线定理).8、若四边形两组对边乘积的和即是对角线的乘积,则四边形的四个极点共圆(托勒密定理的逆定理.（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆.若可以判断出OA=OB=OC=OD,则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上.2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°）,则这个四边形的四个点共圆.若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°,则点A、B、C、D四点共圆.3、若一个四边形的外角即是它的内对角,则这个四边形的四个点共圆.若∠B=∠CDE,则A、B、C、D四点共圆证法同上.4、若两个点在一条线段的同旁,而且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆.若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD,则A、B、C、D四点共圆.5、同斜边的直角三角形的极点共圆.如图2,若∠A=∠C=90°,则A、B、C、D四点共圆.6、若AB、CD两线段相交于P点,且PA×PB=PC×PD,则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理).7、若AB、CD两线段延长后相交于P.且PA×PB=PC×PD,则A、B、C、D四点共圆(割线定理).8、若四边形两组对边乘积的和即是对角线的乘积,则四边形的四个极点共圆(托勒密定理的逆定理）.已知四边形ABCD,若AB×CD+BD×AC=AD×BC,则A、B、C、D四点共圆.（三）例题123二、四点共圆的性质1、共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等.2、圆内接四边形的对角互补.3、圆内接四边形的外角即是内对角.。
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F
C
• 4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条 线段的两端连线所夹的角相等，那么这两 个点和这条线段的两个端点共圆
• 若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、 C、D四点共圆
• 用反证法。 已知：同侧△ABC和△CBD，共有底边CB， 〈A=〈D， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：假设四点不在同一圆上， 作△ABC外接圆，则D点不在圆上，因二角共 用AB弧，则〈A≠<D， 与实际不符 所以只有D点在△ABC外接圆上， 故A、B、C、D四点共圆。...
• 5.同斜边的直角三角形的顶点共圆 • 如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A、B、 C、D四点共圆. • .（2）如图2，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共 圆. • 分析指导：可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到 某一定点的距离相等.取斜边的中点O.，再连接A.C,利用斜边 中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD。
• 分析: 欲证 C、D、E、F 四点共圆，可证以 该四点构成的四 边形中，一组对角互补或外 角等于内对角即可。由此，连接 EF 构成四 B 边形 EFCD 后，证明∠BFE = ∠D 即可。 证明: 连接 EF， ∵ 四边形 ABFE 是圆内接 四边形， ∴ ∠A + ∠BFE = 180°。 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A + ∠D = 180°。 ∴ ∠BFE = ∠D。 ∴ C、D、E、 F 四点共圆
1.若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆
• 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F， G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F， G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上
• 分析指导：利用 直角三角形斜边 的中点等于斜边 的一半，再利用 菱形的四边相等 即可证出。
• 四点共圆的证明 • 五个基本判断方法集结 • 1. 若四个点到一个定点的距离相等，则这 四个点共圆。 • 2. 若一个四边形的一组对角互补（和为 180°），则这个四边形的四个点共圆。 • 3. 若一个四边形的外角等于它的内对角， 则这个四边形的四个点共圆。 • 4. 若两个点在一条线段的同旁，并且和这 条线段的两端连线所夹的角相等，那么这 两个点和这条线的两个端点共圆。 • 5同斜边的直角三角形的顶点共圆。
A D
A C D
B
C
B
• 3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则 这个四边形的四个点共圆
• 若∠B=∠CDE，则A、B、 C、D四点共ABCD 是平行 四边形，过 点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分 别交于 E、F 点。求证: C、D、E、 F 四点 共圆。
A E D
2.若一个四边形的一组对角互补（和 为180°），则这个四边形的四个点 共圆
• 若 ∠A+∠C =180°或 ∠B+∠D =180°， 则点A、 B、C、D 四点共圆
• 已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B， C，D四点共圆
• 证明：用反证法 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆 外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结 DC’，根据圆内接四边形的性质得 ∠A+∠DC’B=180°， ∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类 似地可证C不可能在圆内。 ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。