7 第一章 集合与常用逻辑用语 章末综合检测(一)

章末综合检测(一)

(时间：120分钟，满分：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“∀x∈R，x2＋3x－1≥0”的否定是()

A．∃x∈R，x2＋3x－1＜0B．∃x∈R，x2＋3x－1≥0

C．∃x∈R，x2＋3x－1≤0 D．∀x∈R，x2＋3x－1＜0

解析：选A.由全称量词命题的否定的定义可知，该全称量词命题的否定为∃x ∈R，x2＋3x－1＜0.故选A.

2．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m＝() A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选B.根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1且小于等于m的全部整数，知m＝2.

3．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于()

A．0 B．1

C．2 D．－1

解析：选C.由A＝B，得x＝0或y＝0.

当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；

当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.

4．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝()

A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}

C．{x|0＜x≤2} D．{x|－1≤x≤2}

解析：选A.借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．

5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()

A．命题﹁p是真命题

B ．命题p 是存在量词命题

C ．命题p 是全称量词命题

D ．命题p 既不是全称量词命题也不是存在量词命题

解析：选C.命题p ：实数的平方是非负数，是真命题，故﹁p 是假命题，命题p 是全称量词命题．故选C.

6．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2}

D ．{x |1≤x ≤2}

解析：选D.因为B ＝{x |x ＜1}，所以∁R B ＝{x |x ≥1}． 所以A ∩(∁R B )＝{x |1≤x ≤2}．

7．已知集合A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为( )

A ．{2}

B ．{3}

C ．{－3，2}

D ．{－2，3}

解析：选A.注意到集合A 中的元素为自然数．因此A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B ＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A ∩B ＝{2}，故选A.

8．已知条件甲：(x －m )(y －n )＜0，条件乙：x ＞m 且y ＜n ，则甲是乙的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件

D ．必要不充分条件

解析：选 D.因为甲：(x －m )(y －n )＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＜0，y －n ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＞0，

y －n ＜0.所以甲是

乙的必要不充分条件．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．下列存在量词命题中，是真命题的是()

A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0

B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除

C．∃x∈R，|x|＜0

D．有些自然数是偶数

解析：选ABD.A中，x＝－1或3时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD.

10．命题“∀1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥9 B．a≥11

C．a≥10 D．a≤10

解析：选BC.当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2)max.因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9/⇒a≥10，a≥10⇒a≥9，又a≥9/⇒a ≥11，a≥11⇒a≥9.选BC.

11．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是()

A．1 B．－1

C．0 D．2

解析：选ABC.因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．①当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．②当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，所以a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．综上，a＝0或a＝±1.

12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a

＋b，a－b，ab，a

b∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个

数域，则下列说法正确的是()

A ．数域必含有0，1两个数

B ．整数集是数域

C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域

D ．数域必为无限集

解析：选AD.数集P 有两个元素m ，n ，则一定有m －m ＝0，m

m ＝1(设m ≠0)，A 正确；因为1∈Z ，2∈Z ，1

2∉Z ，所以整数集不是数域，B 不正确；令数集M ＝Q ∪{2}，则1∈M ，2∈M ，但1＋2∉M ，所以C 不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D 正确．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．

解析：由于A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，又因为B ≠∅， 所以有⎩⎪⎨⎪

⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.

答案：2

14．已知p ：“x 2－3x －4＝0”，q ：“x ＝4”，则p 是q 的________条件． 解析：根据题意，p ：“x 2－3x －4＝0”，即x ＝4或－1，则有若q ：x ＝4成立，则有p ：“x 2－3x －4＝0”成立，反之若p ：“x 2－3x －4＝0”成立，则q ：x ＝4不一定成立，则p 是q 的必要不充分条件．

答案：必要不充分

15．(一题两空)已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}． (1)当m ＝2时，求M ∩N ＝________；

(2)当M ∩N ＝M 时，则实数m 的值为________．

解析：(1)由题意得M ＝{2}，当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，则