政治经济学-运筹学-网络最优化问题
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运筹学 网络最优化问题
D 6 4 3 4 0 7 7 4
E 1 3 3 7 0 5 11
F 6 11 7 8 7 5 0 6
T 3 1 4 1 1 6 0
A
(1 )
再构造由两个中间点的矩阵:
a ij
(2)
m in{ a ij , a i 2 a 2 j },
11.阶和度:图G的顶点个数称为它的阶数， 与某顶点关联边的数称为该顶点的度(也称 为次)(degree）,如图a的阶为5，其中 d(v1)=3.d(v4)=4(环包括入次与出次) 12.孤立点:度为“0”的点,如图a中v5;
13.悬挂点:度为“1”的点,如图a中v3; 14.悬挂边:与悬挂点相连的边,如图a中 e3. 15.奇点:度为奇数的点,如图a中v1和v3 16.偶点:度为偶数的点;
1 0
2 1 0
3 2 1 0
4 3 2 0
6 5 4 3 6 0
A
(4)
0
6 5 4 ( 5) ( 6) A A 3 6 0
a 16 6 表示从 v 1到 v 6的最短有向路的长度为 a 35 2 表示从 v 3到 v 5的最短有向路的长度为 a 42 表示从 v 4 到 v 2 没有有向路。
5
F
在所有弧的权都非负的
[例]单线程最短路问题.求v1到各点的最短路.
情况下，目前公认最好的 求最短路的方法是 Dijkstra标号法。用实例 介绍如下：
6 v2 7 3 0 v1
2
8 v6
3 7
11 v8
4 v9 15
3 2
v3 3 2
8
6 5 10 3 v7 14 4
经管类书籍运筹学-网络最优化问题
网络最优化问题?法国国家铁路网每年运载约5000万乘客?通过网络最优化问题来适应乘客的喜好并且调整日运行量来满足需求?每年增加收入1500万美元降低成本的同时提高了服务质量?获得了1997年度弗兰茨
Operations Research
Chapter 6. Network Optimization Problems
Chapter 7.网络最优化问题
17
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
At least one of the nodes is a supply node. (至少有一个节点是供应点) At least one of the other nodes is a demand node. (至少有一个节点是需 求点) All the remaining nodes are transshipment nodes. (所有剩下的节 点都是转运点)
Chapter 7.网络最优化问题
18
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
Flow through an arc is only allowed in the direction indicated by the arrowhead, where the maximum amount of flow is given by the capacity of that arc. (If flow can occur in both directions, this would be represented by a pair of arcs pointing in opposite directions.) (通过弧的流只允许沿着箭头的方向流动， 通过弧的最大流量取决于该弧的容量[如果 流是双向的话，则需要用一对箭头指向相 反的弧来表示])
Operations Research
Chapter 6. Network Optimization Problems
Chapter 7.网络最优化问题
17
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
At least one of the nodes is a supply node. (至少有一个节点是供应点) At least one of the other nodes is a demand node. (至少有一个节点是需 求点) All the remaining nodes are transshipment nodes. (所有剩下的节 点都是转运点)
Chapter 7.网络最优化问题
18
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
Flow through an arc is only allowed in the direction indicated by the arrowhead, where the maximum amount of flow is given by the capacity of that arc. (If flow can occur in both directions, this would be represented by a pair of arcs pointing in opposite directions.) (通过弧的流只允许沿着箭头的方向流动， 通过弧的最大流量取决于该弧的容量[如果 流是双向的话，则需要用一对箭头指向相 反的弧来表示])
运筹学网络最优化问题
第5章 网络 最优化问题
▪ 许多研究的对象往往可以用一个图表示，研究 的目的归结为图的极值问题。
▪ 运筹学中研Байду номын сангаас的图具有下列特征：
(1) 用点表示研究对象，用连线（不带箭头的边 或带箭头的弧）表示对象之间某种关系；
(2) 强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比 例大小与形状；
(3) 每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图。 实际中权可以代表两点之间的距离、费用、利 润、时间、容量等不同的含义；
5.3 最大流问题
第5章 网络 最优化问题
50
vs
70
40
v1
60
v4 40
v2 50
v5
v3
30
天津财经大学 珠江学院
80 vt
70
5.3 最大流问题
第5章 网络 最优化问题
例 5.2 最 大 流 问 题 的 线 性
规划数学模型：
（1）决策变量
Max F=fvsv1 fvsv2 fvsv3
送货物到目的地vt（收点），其网络 图如图5－4（下一张幻灯片）所示。 图中每条弧（节点i->节点j）旁边的 权cij表示这段运输线路的最大通过能 力（容量）。要求制定一个运输方案 ， 使 得 从 vs 到 vt 的 运 货 量 达 到 最 大 ， 这个问题就是寻求网络系统的最大流 问题。
天津财经大学 珠江学院
（3）转运问题：有出发地(供应点-供应量)和目的地 (需求点-需求量)，有转运点，但没有弧的容量限 制(或有容量限制)，目标是总流量费用最小（或 总利润最大）。
天津财经大学 珠江学院
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
最小费用流问题有五种重要的特殊类型(续)：
第六章-运筹学图与网络优化
9
6 3
3
4
7
2
53
4 31
5
1
7
4
4
第3节 最短路问题
一、最短路的含义
赋权有向图D (V，A)，图中各弧(vi，v j )有权wij， vs，vt为图D中任意两点，求一条路P， 使它是从vs到vt的所有路中总权最小的路，
即w(
P
)
min
wij 。
(vi，vj )P
定义：路P的权是P中所有弧的权之和，记为w(P)
习题6-3：用Dijkstra方法求解下图从v1到v9的 最短‘路’。
v2
11
v7
3 6
2
5
5
v5
8
v1
v3
v9
2 4
4
3
7
v4
4
v6
6
v8
第3节 最短路问题
三、最短路问题的应用 ✓ 设备更新问题
第3节 最短路问题
例10：某工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定， 如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备， 要付购买费。试制定一个5年的更新计划，使总支出最 少。已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的 维修费如下表所示：
5
2
5 v6
v4
v7 8
习题6-2
2、
v2
2
v5
5
1
5
1
8
v1
7
5 v4 9
v6
6
v7
2
1
12
v3
第3节 最短路问题
（二）赋权无向图的最短‘路’问题的求解方 法
赋权无向图G=(V，E)，边[vi，vj]表示既可以 从vi到达vj，也可以从vj到达vi，所以边[vi， vj]可以看作是两条弧(vi，vj)和(vj，vi)，且 它们具有相同的权ωij。
运筹与决策PPT：网络优化问题
▪ SUMIF（向量1，v，向量2）
若向量1的第i个分量＝v，则 SUMIF = SUMIF +向量2的第i个分量值
该函数可用于计算流出或流入节点v的流量
5.2 最大流问题
最大流问题，是要在网络中找出一个可 行流方案，使得通过网络的流量最大。
案例2： BMZ公司的配送中心问题
▪ BMZ是欧洲的一家豪华汽车制造商，其对美国的出口 至关重要;
5.1 最小费用流问题
最小费用流问题，也即网络配送问题， 解决如何以最小成本在一个配送网络中运输 货物。
案例1： Distribution Unlimited公司问题
▪ 该公司有两个工厂，生产一种产品，运往两个仓库;
– 工厂 1 生产 80 单位 – 工厂 2 生产 70 单位 – 仓库 1 需要 60 单位 – 仓库 2 需要 90 单位
C
To Rotterdam Bordeaux
Lisbon New York New York New Orleans New Orleans Los Angeles Los Angeles
▪工厂 1 与仓库 1 之间、工厂 2 与仓库 2 之间分别有铁 路相连；
▪ 也可通过卡车先将产品运至配送中心（DC），再从 配送中心运至仓库（每车至多装50单位）
问题：如何运输才能使费用最小？
配送网络图
80 units produced
F1
$700/unit
W1
60 units needed
$300/unit
Bordeaux
[40 units max.]
[50 units max.]
LI Lisbon [30 units max.]
BMZ问题的网络模型
若向量1的第i个分量＝v，则 SUMIF = SUMIF +向量2的第i个分量值
该函数可用于计算流出或流入节点v的流量
5.2 最大流问题
最大流问题，是要在网络中找出一个可 行流方案，使得通过网络的流量最大。
案例2： BMZ公司的配送中心问题
▪ BMZ是欧洲的一家豪华汽车制造商，其对美国的出口 至关重要;
5.1 最小费用流问题
最小费用流问题，也即网络配送问题， 解决如何以最小成本在一个配送网络中运输 货物。
案例1： Distribution Unlimited公司问题
▪ 该公司有两个工厂，生产一种产品，运往两个仓库;
– 工厂 1 生产 80 单位 – 工厂 2 生产 70 单位 – 仓库 1 需要 60 单位 – 仓库 2 需要 90 单位
C
To Rotterdam Bordeaux
Lisbon New York New York New Orleans New Orleans Los Angeles Los Angeles
▪工厂 1 与仓库 1 之间、工厂 2 与仓库 2 之间分别有铁 路相连；
▪ 也可通过卡车先将产品运至配送中心（DC），再从 配送中心运至仓库（每车至多装50单位）
问题：如何运输才能使费用最小？
配送网络图
80 units produced
F1
$700/unit
W1
60 units needed
$300/unit
Bordeaux
[40 units max.]
[50 units max.]
LI Lisbon [30 units max.]
BMZ问题的网络模型
网络优化图及网络(运筹学)
27
(2,1) (0,S)
28
(2,1) (0,S)
(3,3)
29
(0,S) (3,3)
(2,1) (5,2)
30
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3) (7,5)
31
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3)
(7,5)
(8,4)
32
用WinQSB求解 把节点数和节点之间边的长度输入，节 点间没有边则不输入任何值 注意：无向图中i-j的边与j-i的边的长度相 同
C1 根
C2
C3
C4
叶
6
例5（石油流向管网示意图，P131）
此为一个有向图
v2
24
v5
20 8
11 10
v1
15
10
v4 8
v7
20
v3
6
v6
7
1 图的基本概念
无向图：G={V，E} V v1,v2,...,vp E e1,e2,...,eq
顶点或节点：v 边：e=eij=[vi,vj] =[vj,vi] 链：连接两个顶点的一个序列；例1中{a,b,c}，{a,b,e,d}等 圈：两个端点重合的链，例1中{a,b,c,a}，{a,b,d,a}等
v5
38
(16, v1)
v2
22
41
16 16
30
30
(0,S) v1
59
41(22, v1) v3
23
(30, v1) v4 23 17
v6
18 v5 (41, v1) 39
(16, v1) v2
16 16
30
v1
59
(2,1) (0,S)
28
(2,1) (0,S)
(3,3)
29
(0,S) (3,3)
(2,1) (5,2)
30
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3) (7,5)
31
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3)
(7,5)
(8,4)
32
用WinQSB求解 把节点数和节点之间边的长度输入，节 点间没有边则不输入任何值 注意：无向图中i-j的边与j-i的边的长度相 同
C1 根
C2
C3
C4
叶
6
例5（石油流向管网示意图，P131）
此为一个有向图
v2
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v5
20 8
11 10
v1
15
10
v4 8
v7
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v3
6
v6
7
1 图的基本概念
无向图：G={V，E} V v1,v2,...,vp E e1,e2,...,eq
顶点或节点：v 边：e=eij=[vi,vj] =[vj,vi] 链：连接两个顶点的一个序列；例1中{a,b,c}，{a,b,e,d}等 圈：两个端点重合的链，例1中{a,b,c,a}，{a,b,d,a}等
v5
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(16, v1)
v2
22
41
16 16
30
30
(0,S) v1
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41(22, v1) v3
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(30, v1) v4 23 17
v6
18 v5 (41, v1) 39
(16, v1) v2
16 16
30
v1
59
网络优化图及网络(运筹学)
详细描述
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
运筹学第十章图与网络优化
1 ai j 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
16
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
v1
4
v2
7 3 2 v3 5
图的矩阵表示
3
v6 3 4
6
2 v5 v4
权矩阵为：
v1 0 v 2 4 v 3 0 A v 4 6 v 5 4 v 6 3 v1 4 0 6 4 3 0 2 7 0 0 2 0 5 0 3 7 5 0 2 0 0 0 2 0 3 0 3 0 3 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
17
三、基本定理
• 定理1 图G=(V,E)中，所有点的次之和 是边数的两倍，即
d (v ) 2q
vV
• 定理2 任一图中奇点的个数为偶数。
18
第二节
一、定义
树
树的定义：一个无圈的连通图。 例1 在五个城市之间架设电话线，要求任两个城市之间都可 以相互通话（允许通过其他城市），并且电话线的根数最少。 用v1,v2,v3,v4,v5代表五个城市,如 果在某两个城市之间架设电话 线,则在相应的两点之间联一条 边,这样一个电话线网就可以用 一个图来表示。显然,这个图必 须是连通的,而且是不含圈的连 通图。如右图所示。 v1 v5
10
v1
e4
e3 e2 v3
v4
e5
v5
•链
•中间点 •初等链
e1
v2
e6
e7 e8
e9
•圈 •初等圈
v6
v7
•简单圈
在上图中,(v1,v2,v3,v4,v5,v3,v6,v7)是一条链, 但不是初等链
在该链中,v2,v3,v4,v5,v3,v6是中间点
16
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
v1
4
v2
7 3 2 v3 5
图的矩阵表示
3
v6 3 4
6
2 v5 v4
权矩阵为：
v1 0 v 2 4 v 3 0 A v 4 6 v 5 4 v 6 3 v1 4 0 6 4 3 0 2 7 0 0 2 0 5 0 3 7 5 0 2 0 0 0 2 0 3 0 3 0 3 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
17
三、基本定理
• 定理1 图G=(V,E)中，所有点的次之和 是边数的两倍，即
d (v ) 2q
vV
• 定理2 任一图中奇点的个数为偶数。
18
第二节
一、定义
树
树的定义：一个无圈的连通图。 例1 在五个城市之间架设电话线，要求任两个城市之间都可 以相互通话（允许通过其他城市），并且电话线的根数最少。 用v1,v2,v3,v4,v5代表五个城市,如 果在某两个城市之间架设电话 线,则在相应的两点之间联一条 边,这样一个电话线网就可以用 一个图来表示。显然,这个图必 须是连通的,而且是不含圈的连 通图。如右图所示。 v1 v5
10
v1
e4
e3 e2 v3
v4
e5
v5
•链
•中间点 •初等链
e1
v2
e6
e7 e8
e9
•圈 •初等圈
v6
v7
•简单圈
在上图中,(v1,v2,v3,v4,v5,v3,v6,v7)是一条链, 但不是初等链
在该链中,v2,v3,v4,v5,v3,v6是中间点
运筹学图论与网络优化
例：Hamilton图
游戏：用正十二面体上20个顶点表示20个城市， 要求参加游戏者沿着各边行走，走遍每一个城市且 仅走一次，最后回到出发城市。
公元1859年，哈密尔顿 (Hamilton)在给朋友格拉 伍斯（Grares）的信中提 出了这个游戏。
问题：如何判断一个图是 否具有这样的性质。如果 有，这样的行走路线如何 确定。
第十章 图论与网络优化
1 图的基本概念 2 最小树问题 3 最短路问题 4 网络最大流问题 5 最小费用最大流问题
一些问题
A
例：七桥问题
C
D
B
图问论题中：著 一名 个问 散题 步者. 能17否36走年过，七图座论桥的，创且始每人座Eu桥le只r巧走 妙地将过此一问次题，化最为后图回的到不出重发复点一。笔画问题，并证明
点：研究对象（陆地、路口、国家、球队）； 点间连线：对象之间的特定关系（陆地间有桥、路
口之间道路、两国边界、两球队比赛及 结果)。 对称关系：桥、道路、边界；
用不带箭头的连线表示，称为边。
非对称关系：甲队胜乙队，用带箭头的连线表示， 称为弧。
图：点及边（或弧）组成。
对所要研究的问题确定具体对象及这些对象间的 性质关系，并用图的形式表示出来，这就是对所 研究原问题建立的模型。图是反映对象之间关系 的一种工具。
例：中国邮路问题
一个邮递员送信，要走完他所负责的全部街道 分送信件，最后返回邮局。邮递员都会本能地以尽 可能少的行程完成送信任务。如何走路线最短。
点：路口； 边：两路口之间道路，第i条道路长ei。
1962年，由我国数学家管梅谷提出，国际上称为中 国邮递员问题。
问题：求一个圈，过每边至少一次，并使圈的长度 最 短。
运筹学(第四版)：第10章 图与网络优化
1⏹第10章图与网络优化⏹第11章网络计划2六、图与网络分析图论运筹学的重要分支 主要应用领域☐物理学、化学、控制论、信息论、科学管理、电子计算机等图论理论和方法应用实例☐在组织生产中，为完成某项生产任务，各工序之间怎样衔接，才能使生产任务完成得既快又好。
☐一个邮递员送信，要走完他负责投递的全部街道，完成任务后回到邮局，应该按照怎样的路线走，所走的路程最短。
☐各种通信网络的合理架设，交通网络的合理分布等问题，应用图论的方法求解都很简便。
3六、图与网络分析图论的起源与发展欧拉在1736年发表了图论方面的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。
七桥问题：☐哥尼斯堡城中有一条河叫普雷格尔河，该河中有两个岛，河上有七座桥。
当时那里的居民热衷于这样的问题：一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点。
图10-1(a)欧拉将此问题归结为如图10-1(b)所示图形的一笔画问题。
即能否从某一点开始，不重复地一笔画出这个图形，最后回到出发点。
欧拉证明了这是不可能的，因为图10-1(b)中的每个点都只与奇数条线相关联，不可能将这个图不重复地一笔画成。
图10-14⏹第1节图的基本概念⏹第2节树⏹第3节最短路问题⏹第4节网络最大流问题⏹第5节最小费用最大流问题⏹第6节中国邮递员问题5第1节图的基本概念人们为反映一些对象之间关系时，常会用示意图。
例1 下图是我国北京、上海等十个城市间的铁路交通图，反映了这十个城市间的铁路分布情况。
这里用点代表城市，用点和点之间的连线代表这两个城市之间的铁路线。
其他示意图的例子☐电话线分布图、煤气管道图、航空线图等。
铁路交通图6第1节图的基本概念例2 有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，它们之间比赛的情况用图表示出来。
已知甲队和其他各队都比赛过一次，乙队和甲、丙队比赛过，丙队和甲、乙、丁队比赛过，丁队和甲、丙、戊队比赛过，戊队和甲、丁队比赛过。
为了反映这个情况，可以用点分别代表这五个队，某两个队之间比赛过，就在这两个队所相应的点之间联一条线，这条线不过其他的点，如图10-3所示。
运筹学第十章 图论与网络优化
边导出子图
设F是图G的非空边子集，以F为边集，以F中边的 端点全体为顶点集所构成的子图称为由F导出的G 的子图，简称G的边导出子图。记为G[F]。
记 G-F 表示以 E(G)\F 为边集的G的支撑子图，它 是从G中删除F 中的边所得到的子图。
如F={ e }，则记 G e G {e}
v1 e1
路：x c w h y e u a v
圈(回路)
如果径 W 的起点和终点相 同且有正长度，则称它是 一个闭径；
如果一条闭链的顶点互不 相同，则称它是一个圈 （或回路）。
u
e
f
y
g
d
h
a v b
称一个圈是偶圈（奇圈）， 如果它的圈长是偶数（奇
x
cw
数）。
圈：u a v b w h y e u
定理：一个图是二分图当且仅当图中不存在奇圈.
D
B
图问论题中：著 一名 个问 散题步者. 1能73否6走年过，七图座论桥的，创且始每人座Eu桥le只r巧走 妙地将过此一问次题，化最为后图回的到不出重发复点一。笔画问题，并证明
了该问题不存在肯定回答，发表了第一篇论文.
例：四色猜想
能否用四种颜色给地图染色，使相邻的国家有不 同的颜色。
点：国家； 边：两个国家有公共边界。
边与顶点之间保持的相互关系。 我们常常把一个图的图形当作这个抽象图自身. 并称图形的点为顶点,图形的线为边. 图论中大多数概念是根据图的表示形式提出的， 例如：顶点、边、多重边、环、路、圈、树等。
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是 图的顶点。例如
v1
e2 e3
e1
v2
e4 e5
v3
e6
v4 v1
《运筹学》ch09网络优化模型
➢ 一个输油管道网。节点1表示管 道的起点，节点6表示管道的终点， 节点2到5表示中转站，旁边的数 字表示该段管道能通过的最大输 送量。应怎样安排输油线路，使 从节点1到节点6的总输送量最大？
➢ 一张城市分布图。现在要在各 城市之间架设电话线，应如何架 设，使各城市之间既能通话，又 使总的架设路线最短？
这里我们仅通过Excel电子表格求解，在表格中，我们并不是把每一对连接的点都 输入进去，比如，我们输入了从V7到V10，很明显不需要再输入从V7到V8，从V8到 V10这两对点对，因为他们加起来的距离明显要比前者长。
最优路线为：1－５－４－６－７－10，最短距离是25
目录
图与网络 树 最短路问题
中间节点的平衡值为0，起点为1，终点为-1。各个点的净流量等于平衡值 最短路平衡流
P(6)=8
P(5)=6
P(3)=3
P(1)=0
城市出租车公司在纽约市为出租车司机已经确定了10个搭乘 车站。为了减少运行时间，提高服务质量以及最大化利用公 司的车队，管理方希望出租车司机尽可能地选择最短路线。 使用下面公路与街道的网络图，请说明司机从车站1到车站10 应选择什么样的路线。运行时间如图所示。
3
1
4
1
4
连无顶有弧道通向点连链环向次路子图通图图图
2
3
2
3
由组中少则图连的 示 间 向 都连子个有任果个顶列链每是起称道弧边称点果点环顶数次由环次可通图分何每弧点弧有任称。有通顶顶了可一下点为路成是的时a。向点称:组为顶与以子称图连一恰，为一一意此图点两能个面，一由点一，的以的为分 图 为 。个有则一个序b图接成无个两图运组弧一则点个如一条称是一集图a为，原弧一称个不列a边顶链点为动成顶的个这道果对链此同个的点向点集若每图与个这链连弧和称相间连，点的终弧个路的点链有，链一图与前公一。干一的，通为图弧图和为连至通表之方点的链。中序条的如为个一共序个一如图b ，
➢ 一张城市分布图。现在要在各 城市之间架设电话线，应如何架 设，使各城市之间既能通话，又 使总的架设路线最短？
这里我们仅通过Excel电子表格求解，在表格中，我们并不是把每一对连接的点都 输入进去，比如，我们输入了从V7到V10，很明显不需要再输入从V7到V8，从V8到 V10这两对点对，因为他们加起来的距离明显要比前者长。
最优路线为：1－５－４－６－７－10，最短距离是25
目录
图与网络 树 最短路问题
中间节点的平衡值为0，起点为1，终点为-1。各个点的净流量等于平衡值 最短路平衡流
P(6)=8
P(5)=6
P(3)=3
P(1)=0
城市出租车公司在纽约市为出租车司机已经确定了10个搭乘 车站。为了减少运行时间，提高服务质量以及最大化利用公 司的车队，管理方希望出租车司机尽可能地选择最短路线。 使用下面公路与街道的网络图，请说明司机从车站1到车站10 应选择什么样的路线。运行时间如图所示。
3
1
4
1
4
连无顶有弧道通向点连链环向次路子图通图图图
2
3
2
3
由组中少则图连的 示 间 向 都连子个有任果个顶列链每是起称道弧边称点果点环顶数次由环次可通图分何每弧点弧有任称。有通顶顶了可一下点为路成是的时a。向点称:组为顶与以子称图连一恰，为一一意此图点两能个面，一由点一，的以的为分 图 为 。个有则一个序b图接成无个两图运组弧一则点个如一条称是一集图a为，原弧一称个不列a边顶链点为动成顶的个这道果对链此同个的点向点集若每图与个这链连弧和称相间连，点的终弧个路的点链有，链一图与前公一。干一的，通为图弧图和为连至通表之方点的链。中序条的如为个一共序个一如图b ，
运筹学( 图与网络优化)
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
§10.1
图的基本概念
一个图(Graph) 定义为三元有序组
(V (G ), E (G ), G )
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是图的顶 点。例如下图 中，它共有4个顶点，6条边；而e 3 与e 4 的交点不是这个图的顶点。
v1
e1
v2 e4
e2
v3
e3
e5
v4
e6
e3
v1
v4
e1 e4
v2
e2
v3 e6
e5
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
u 1
f5 u3 f6
f2 f4
u2
u4
同构
给定两个图
G (V (G), E(G), G )
H (V ( H ), E( H ), H )
称G和H是同构的，记为 G H ， 如果存在两个一一对应 ( , )
: V (G) V ( H )
: E (G) E ( H )
e7
v2
e3 v3
e6
v4
e4
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元
素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于 2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所
有顶点的度之和，又等于边数的2倍。 定理 设G是一个图，则
vV ( G )
d (v) 2
011运筹学-网络优化
1736年, 瑞士数学家 年 瑞士数学家E.Euler发表了一篇题为“依据几何位置的解题方法” 发表了一篇题为“ 发表了一篇题为 依据几何位置的解题方法” 的论文, 有效的解决了哥尼斯堡七桥难题. 他在文中指出, 的论文, 有效的解决了哥尼斯堡七桥难题. 他在文中指出, 从一点出发不 重复地走遍七桥, 最后又回到原出发点是不可能的! 重复地走遍七桥 最后又回到原出发点是不可能的 A A D C D C B B
图与网络的基本概念
用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方便的。 用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方便的。 （1）邻接矩阵：对图G=(V,E)，|V|=n, 构造一个矩阵 邻接矩阵：对图 ， , A=(aij)nn, 其中 aij= k， vi和vj之间有 条边连接 之间有k条边连接 v5 v1 0， 其它 ， v4 v1 0 1 A = 1 0 0 v2 0 0 1 1 0 v3 0 0 0 0 1 v4 1 0 1 0 0 v5 2 v1 0 v2 0 v3 1 v4 0v
图与网络的基本概念
图定义为一个有序二元组G=(V,E), 其中 图(Graph)——图定义为一个有序二元组 ) 图定义为一个有序二元组 （1）V是有限非空集合，V 中的元素vi 叫做G的顶点, V称 ） 是有限非空集合， 中的元素 叫做 的顶点, 称 是有限非空集合 为G的点集，记为 的点集，记为V={v1, v2, …, vn}, （2）E是V中元素的无序对(vi, vj)构成的一个集合，其元素 ） 是 中元素的无序对( 构成的一个集合， 中元素的无序对 称为G的 记为e=(vi , vj)， E称为 的边集。 称为G的边集。 称为 的边，记为 ， 称为 vi, vj称为边e=(vi , vj)的端点。 称为边 的端点 的边数m(G)=|E|, 图G的点数 的点数n(G)=|V|. 图G的边数 的边数 的点数 如果一边的两个端点相同, 则称此边e 如果一边的两个端点相同,e=(vi,vi),则称此边 为环. 则称此边
图与网络的基本概念
用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方便的。 用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方便的。 （1）邻接矩阵：对图G=(V,E)，|V|=n, 构造一个矩阵 邻接矩阵：对图 ， , A=(aij)nn, 其中 aij= k， vi和vj之间有 条边连接 之间有k条边连接 v5 v1 0， 其它 ， v4 v1 0 1 A = 1 0 0 v2 0 0 1 1 0 v3 0 0 0 0 1 v4 1 0 1 0 0 v5 2 v1 0 v2 0 v3 1 v4 0v
图与网络的基本概念
图定义为一个有序二元组G=(V,E), 其中 图(Graph)——图定义为一个有序二元组 ) 图定义为一个有序二元组 （1）V是有限非空集合，V 中的元素vi 叫做G的顶点, V称 ） 是有限非空集合， 中的元素 叫做 的顶点, 称 是有限非空集合 为G的点集，记为 的点集，记为V={v1, v2, …, vn}, （2）E是V中元素的无序对(vi, vj)构成的一个集合，其元素 ） 是 中元素的无序对( 构成的一个集合， 中元素的无序对 称为G的 记为e=(vi , vj)， E称为 的边集。 称为G的边集。 称为 的边，记为 ， 称为 vi, vj称为边e=(vi , vj)的端点。 称为边 的端点 的边数m(G)=|E|, 图G的点数 的点数n(G)=|V|. 图G的边数 的边数 的点数 如果一边的两个端点相同, 则称此边e 如果一边的两个端点相同,e=(vi,vi),则称此边 为环. 则称此边
运筹学第8章 图与网络优化R52
v4 a5 v3 a6 a4 D=(V, A) a3 a2 v2 v1 v4 e5 v3 e6 e4 G(D) e3 e2 v2 v1
基础图
25
有向图、弧、路、初等路
设有向图的弧为a=(u ,v),则起点为u,终点为v； 路： 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路； 连通图： 若不考虑方向是无向连通图; 强连通图：任两点有路;
26
v3 a2 v1 a1 v2 a3 a4
a8
v5 a10
v7 a9 v6
•路 • 初等路 • 回路
a6
a5 v4
a11
a7
( v 1 , a 2 , v 3 , a 4 , v 4 , a 7 , v 6 )是 从 v 1 到 v 6 的 路 ， 也 是 一 条 初 等 路 。 在 上 图 中 ， ( v 3 , a 3 , v 2 , a 5 , v 4 , a 6 , v 5 , a 8 , v 3 )是 一 个 回 路 。
v3 v1 v2
v5
v7
v6
v4
15
端点,关联边,相邻
若边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj是
边e的端点，称边e为点vi或vj的关联 边。若点vi，vj与同一条边关联，称 点vi和vj相邻；若边ei和ej具有公共 的端点，称边ei和ej相邻。 e2 v2 e6 v4
e1 v1 e4 e3
e5 e7
vV2 vV
vV1
2m为偶数，且偶点的次之和 d (v ) 也为偶数，所以 d (v ) 必为偶 vV2 数，即奇数点的个数必为偶数。
19
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 交错序列, 如: （v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
基础图
25
有向图、弧、路、初等路
设有向图的弧为a=(u ,v),则起点为u,终点为v； 路： 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路； 连通图： 若不考虑方向是无向连通图; 强连通图：任两点有路;
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v3 a2 v1 a1 v2 a3 a4
a8
v5 a10
v7 a9 v6
•路 • 初等路 • 回路
a6
a5 v4
a11
a7
( v 1 , a 2 , v 3 , a 4 , v 4 , a 7 , v 6 )是 从 v 1 到 v 6 的 路 ， 也 是 一 条 初 等 路 。 在 上 图 中 ， ( v 3 , a 3 , v 2 , a 5 , v 4 , a 6 , v 5 , a 8 , v 3 )是 一 个 回 路 。
v3 v1 v2
v5
v7
v6
v4
15
端点,关联边,相邻
若边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj是
边e的端点，称边e为点vi或vj的关联 边。若点vi，vj与同一条边关联，称 点vi和vj相邻；若边ei和ej具有公共 的端点，称边ei和ej相邻。 e2 v2 e6 v4
e1 v1 e4 e3
e5 e7
vV2 vV
vV1
2m为偶数，且偶点的次之和 d (v ) 也为偶数，所以 d (v ) 必为偶 vV2 数，即奇数点的个数必为偶数。
19
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 交错序列, 如: （v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
网络最优化的运输问题和分配问题
网络最优化中的运输分配问题---基于LINGO算法项目单位：13统计二班摘要网络在各种实际背景问题中以各种各样的形式存在，交通、电子和通信网络遍布日常生活的各个方面，所产生的网络优化也广泛用于解决不同领域中的各种问题，如生产、分配、项目计划、厂址选择、资源管理和财务策划等，实际上，网络规划为描述系统各组成部分之间的关系提供了非常有效的直观和概念上的帮助，广泛用于科学、社会和经济活动的每个领域中。
网络优化问题在处理管理问题时特别有用，由于许多网络优化问题实质上是线性规划问题的特殊类型。
运输问题是网络优化中典型的应用。
运输问题是社会经济生活中经常出现的优化问题，是特殊的线性规划问题，它是早期的线性网络最优化的一个例子。
运输问题不仅代表了物资合理调运、车辆合理调度等问题，有些其他类型的问题经过适当变换后也可以归结为运输问题，如指派问题、最短路问题、最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题。
所以，我们小组一起研究分析了一些实际的应用如何以最优的的方式进行问题的解决。
基于LINGO算法，我们进行了区域划分方面的最优处理。
关键词：网络优化；统计计算；运筹学；运输优化问题；LONGO软件；区域划分最优化。
目录一、运输问题 (4)1、问题描述 (4)2、数据准备 (4)3、模型设计 (5)4、补充说明 (5)5、决策分析 (7)6、分析结果 (10)二、分配问题 (10)1、问题分析 (10)2、数据准备 (11)3、决策分析 (12)4、分析结果 (15)三、总结 (15)四、附录 (16)1、参考文献 (16)2、人员分配 (16)第一节运输问题一、问题描述例：区域划分问题例：某城区开办了三所中学，现需为每一所学校重新划定在这个城区内的服务区域，在初步的计划中，这个城区被分成了拥有大致相同数量人口的九个区城学区管理者认为划分入学区域界限的适当目标是W学生到手砭的平均路程最短，在这个初步的计划之中，他们要确定为实现这一目标每一小区域内有多少学生手安排到每一所学校中。
运筹学第7章图与网络优化
15
• Kruskal 算法基于下述定理 定理 4.1 指定图中任一点vi，如果 vj 是距 vi 最近的 相邻节点，则关联边 eij 必在某个最小支撑树中。
推论 4.1 将网路中的节点划分为两个不相交的集合 V1和V2，V2=VV1，则V1和V2间权值最小的边必 定在某个最小支撑树中。 • 最小支撑树不一定唯一 • 定理 4.1 推论4.1是一个构造性定理，它指示了找 最小支撑树的有效算法
29
7.3 最短路问题p185
4.5.1.2 狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959)
• 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路
令 dij 表示 vi 到 vj 的直接距离(两点之间有边)，若两点之间 没有边，则令 dij = ；令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终 点
20
1967年大名鼎鼎的贝尔电话公司，遇上 了一家精明的用户航空公司，这家用户要 求在第四个点的位置上架上电话线。这样 使得电话公司不仅要拉新线，增加服务网 点，而且要减少收费。这件事的连锁反应 迫使电话公司改变了坚持长达10年按照最 少发生树长度收费的原则，并且不得不对 最短网络问题进行研究。
21
12
7.2.2 支撑树 • 树 T 是连通图 G 的支撑树(spanning tree)，若 T 是 G的支撑图且是树图 • 树枝总长最小的支撑树称为最小支 撑树。
13
连通图 G
支撑树
A B C D A B C D A B C D A B C D
最小支撑树？
14
7.2.3 最小支撑树
• 有n 个乡村，各村间道路的长度是已知的，如何 敷设光缆线路使 n 个乡村连通且总长度最短 • 显然，这要求在已知边长的网路图中找最小支撑 树 最小支撑树的算法： • Kruskal 算法：将图中所有边按权值从小到大排 列，依次选所剩最小的边加入边集 T，只要不和 前面加入的边构成回路，直到 T 中有 n1 条边， 则 T 是最小支撑树
• Kruskal 算法基于下述定理 定理 4.1 指定图中任一点vi，如果 vj 是距 vi 最近的 相邻节点，则关联边 eij 必在某个最小支撑树中。
推论 4.1 将网路中的节点划分为两个不相交的集合 V1和V2，V2=VV1，则V1和V2间权值最小的边必 定在某个最小支撑树中。 • 最小支撑树不一定唯一 • 定理 4.1 推论4.1是一个构造性定理，它指示了找 最小支撑树的有效算法
29
7.3 最短路问题p185
4.5.1.2 狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959)
• 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路
令 dij 表示 vi 到 vj 的直接距离(两点之间有边)，若两点之间 没有边，则令 dij = ；令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终 点
20
1967年大名鼎鼎的贝尔电话公司，遇上 了一家精明的用户航空公司，这家用户要 求在第四个点的位置上架上电话线。这样 使得电话公司不仅要拉新线，增加服务网 点，而且要减少收费。这件事的连锁反应 迫使电话公司改变了坚持长达10年按照最 少发生树长度收费的原则，并且不得不对 最短网络问题进行研究。
21
12
7.2.2 支撑树 • 树 T 是连通图 G 的支撑树(spanning tree)，若 T 是 G的支撑图且是树图 • 树枝总长最小的支撑树称为最小支 撑树。
13
连通图 G
支撑树
A B C D A B C D A B C D A B C D
最小支撑树？
14
7.2.3 最小支撑树
• 有n 个乡村，各村间道路的长度是已知的，如何 敷设光缆线路使 n 个乡村连通且总长度最短 • 显然，这要求在已知边长的网路图中找最小支撑 树 最小支撑树的算法： • Kruskal 算法：将图中所有边按权值从小到大排 列，依次选所剩最小的边加入边集 T，只要不和 前面加入的边构成回路，直到 T 中有 n1 条边， 则 T 是最小支撑树
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（50，200）
（50，400） W2
70
90
5.2 最小费用流问题
最小费用流问题的三个基本概念：
第5章 网络 最优化问题
1、最小费用流问题的构成（网络表示）
（ 1 ）节点：包括供应点、需求点和转 运点；
（2）弧：可行的运输线路（节点i->节 点 j ），经常有最大流量（容量）的限 制。
5.2 最小费用流问题
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
例5.1最小费用流问题的数学模型为： （1）决策变量：设fij为通过弧(节点i->节点j)的流 量。 （2）目标函数 本问题的目标是总运输成本最小
Min z = 700 f F1W 1 300 f F1DC 200 f DC W 1 400 f F 2DC 900 f F 2W 2 400 f DC W 2
5.2 最小费用流问题
（3）约束条件(节点
第5章 网络 最优化问题
净流量、弧的容量 限制、非负） Min z = 700 f F 1W 1 300 f F 1 DC 200 f DC W 1
① 供应点 F1: 供应点 F2: ② 转运点 DC: ③ 需求点 W1: s.t. 需求点 W2: ④ 弧的容量限制： ⑤ 非负：
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
（ 4 ）点 vi 表示自来水厂及用户， vi 与 vj 之间的边 表示两点间可以铺设管道，权为 vi 与 vj 间铺设 管道的距离或费用，极值问题是如何铺设管 道，将自来水送到其他 5个用户并且使总的费 用最小。这属于最小支撑树问题。 (5) 售货员从某个点vi出发走过其他所有点后回 到原点vi，如何安排路线使总路程最短。这属 于货郎担问题或旅行售货员问题。 （6）邮递员从邮局vi出发要经过每一条边将邮件 送到用户手中，最后回到邮局vi，如何安排路 线使总路程最短。这属于中国邮递员问题。
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
最小费用流问题的数学模型为： （ 1 ）决策变量：设 fij 为通过弧（节点 i-> 节点 j ）的 流量。 （2）目标是通过网络供应的总成本最小。 （3）约束条件
① ② ③ ④ ⑤ 所有供应点：净流量（总流出－总流入）为正； 所有转运点：净流量为零； 所有需求点：净流量为负； 所有弧的流量fij受到弧的容量限制； 所有弧的流量fij非负。
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
网络在各种实际背景问题中以各种各样的形式 存在。交通、电子和通讯网络遍及我们日常生 活的各个方面，网络规划也广泛用于解决不同 领域中的各种问题，如生产、分配、项目计划 、厂址选择、资源管理和财务策划等等。 网络规划为描述系统各组成部分之间的关系提 供了非常有效的直观和概念上的帮助，广泛应 用于科学、社会和经济活动的各个领域中。 近些年来，运筹学（管理科学）中一个振奋人 心的发展是它的网络最优化问题的方法论和应 用方面都取得了不同寻常的飞速发展。
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
许多研究的对象往往可以用一个图表示，研究的 目的归结为图的极值问题。 运筹学中研究的图具有下列特征： (1) 用点表示研究对象，用连线（不带箭头的边 或带箭头的弧）表示对象之间某种关系； (2) 强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比 例大小与形状； (3) 每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图。 实际中权可以代表两点之间的距离、费用、利润 、时间、容量等不同的含义； (4) 建立一个网络模型，求最大值或最小值。
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
3、最小费用流问题的解的特征 （1）具有可行解的特征：在以上的假设下，当 且仅当供应点所提供的流量总和等于需求点 所需要的流量总和时（即平衡条件），最小 费用流问题有可行解； （2）具有整数解的特征：只要其所有的供应、 需求和弧的容量都是整数值，那么任何最小 费用流问题的可行解就一定有所有流量都是 整数的最优解（与运输问题和指派问题的解 一样）。因此，没有必要加上所有决策变量 都是整数的约束条件。
第5章 网络 最优化问题
几个例子
第5章 网络 最优化问题
例1 是北京、上海等 十个城市间的铁路交 通图。与此类似的还 有电话线分布图、煤 气管道图、航空路线 图等。 北京 天津
济南 徐州
青岛
郑州
连云港
武汉
南京
上海
例2旅行商问题/货郎（担）问题 (TSP-Traveling Salesman Problem)
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
例 5.1 某公司有两个工厂生产产品，这些产品需要运 送到两个仓库中。其配送网络图如图 5-2 所示。目 标是确定一个运输方案（即每条路线运送多少单位 的产品），使通过配送网络的总运输成本最小。
（无限制，700） 80 F1 W1 60
（50，300） DC （50，400） F2 （无限制，900）
5.1 网络最优化问题基本概念
8 7 5 8 2 v2 3 v4 6 v6 1
第5章 网络 最优化问题
v1
v3
v5
5
4
对于该网络图，可以提出许多极值问题
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
（ 1 ）将某个点 vi 的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得运送总成本最小。这属 于最小费用流问题。 （ 2 ）将某个点 vi 的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得总流量最大。这属于最 大流问题。 （ 3 ）从某个点 vi 出发到达另一个点 vj ， 怎样安排路线使得总距离最短或总费 用最小。这属于最短路问题。
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
最小费用流问题有五种重要的特殊类型： （ 1 ）运输问题：有出发地 ( 供应点 - 供应量 ) 和目的 地 ( 需求点 - 需求量 ) ，没有转运点和弧的容量限 制，目标是总运输成本最小（或总利润最大）。 （2）指派类型：出发地(供应点-供应量为1)是人， 目的地(需求点-需求量为1)是任务，没有转运点 和弧的容量限制，目标是总指派成本最小（或总 利润最大）。 （ 3 ）转运问题：有出发地 ( 供应点 - 供应量 ) 和目的 地 ( 需求点 - 需求量 ) ，有转运点，但没有弧的容 量限制(或有容量限制)，目标是总流量费用最小 （或总利润最大）。
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
例5.1的电子表格模型：列出了网络中的弧和各弧所对应的容量 、单位成本。决策变量为通过弧的流量。目标是计算流量的总 成本。每个节点的净流量为约束条件。供应点的净流量为正， 需求点的净流量为负，而转运点的净流量为0。 这里用了一个窍门：用两个 SUMIF函数的差来计算每个节点的 净流量，这样快捷且不容易犯错。
第5章 网络 最优化问题
一名推销员准备前往若干城市推销产品. 如 何为他(她)设计一条最短的旅行路线(从 驻地出发，经过每个城市恰好一次，最 后返回驻地)？这一问题的研究历史十分 悠久，通常称之为旅行商问题.
例3 稳定婚配
第5章 网络 最优化问题
假设有n个男人和n个女人, 每人都希望从n个异性中选 择一位自己的配偶. 假设每人都对n个异性根据自己的 偏好进行了排序, 以此作为选择配偶的基础. 当给定一 种婚配方案(即给每人指定一个配偶)后, 如果存在一个 男人和一个女人不是互为配偶, 但该男人喜欢该女人 胜过其配偶, 且该女人喜欢该男人也胜过其配偶, 则该 婚配方案称为不稳定的. 安排稳定的婚配方案的问题 称为稳定婚配问题。
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
大规模的最小费用流问题的求解一般采 用“网络单纯法（ The Network Simplex Method ）”。现在，许多公司都使用网 络单纯法来解决他们的最小费用流问题 。有些问题是非常庞大的，有着数万个 节点和弧。有时，弧的数量甚至可能会 多得多，达到几百万条。 但Excel 学生版（非专业版）的“规划求 解”中没有网络单纯法，但其他的线性 规划的商业软件包通常都有这种方法。
图论的起源和发展
1736年，欧拉的哥尼斯堡七桥问题
第5章 网络 最优化问题
ADCຫໍສະໝຸດ B图论的起源和发展• 1847年，基尔霍夫 ，电网络，树”；
• 1852年，《四色猜想》； • 1857年，凯莱 ， 同分异构，“树”； 哈密顿回路 ； • 1859年，哈密顿，
第5章 网络 最优化问题
• 1956年，杜邦公司，CPM，关键路线法； • 1958年，美国海军部， PERT，计划评审技术； • 1962年，管梅谷， 《中国邮路问题》； • 1964年，华罗庚，《统筹方法平话》。
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
网络最优化问题类型主要包括：
（1）最小费用流问题； （2）最大流问题； （3）最短路问题； （4）最小支撑树问题； （5）货郎担问题和中国邮路问题，等等
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
最小费用流问题的模型在网络最优化中 扮演着重要的角色，因为它的适用性很 广，并且求解方法容易。通常最小费用 流问题用于最优化货物从供应点到需求 点的网络。目标是在通过网络配送货物 时，以最小的成本满足需求，一种典型 的应用就是使得配送网络的运营最优。 最小费用流问题的特殊类型包括运输问 题和指派问题，以及在下面将要提到的 两种重要类型：最大流问题和最短路问 题。
第5章 网络 最优化问题
网络最优化问题基本概念 最小费用流问题 最大流问题 最短路问题 最小支撑树问题 货郎担问题和中国邮路问题
本章主要内容框架图
第5章 网络 最优化问题
点 连线（边或弧） 基本概念 权（赋权图） 网络图 最小费用流问题 最大流问题 网络最优化问题 主要类型 最短路问题 最小支撑树问题 货郎担问题和中国邮路问题 节点（供应点、转运点、需求点） 净流量 建模和求解 数学模型 电子表格模型