第六章-运筹学图与网络优化

步中，总从未被选取的边中选一条权最小的 边，并使之与已选取的边不构成圈（每一步 中，如果有两条或两条以上最小权的边，则 任选一条）。
（v1， a2， v3， a8， v5，a10， v6）？
（v1，a2， v3， a4， v4， a6， v5， a8， v3）？
第2节 树
一、树的概念 ✓ 连通图：无向图中任意两点间至少有一条链
相连。（不连通图） ✓ 连通分图：不连通图中每个连通的部分。 ✓ 树：连通且不含圈的无向图。
第2节 树
二、无向图的基本概念 ✓ 端点：两个点vi，vj属于V，边[vi，vj]属于E，
称vi，vj是边的端点。 ✓ 关连边：边[vi，vj]是点vi及点vj的关连边。 ✓ 环：边的两个端点相同。 ✓ 多重边：两个点之间多于一条的边。 ✓ 简单图：不含环和多重边的无向图。 ✓ 多重图：不含环，但含有多重边的无向图。
（v4， v1， v2， v3， v5， v7， v6， v3， v4）？
（v1， v2， v3， v5， v4， v3， v4， v1）？
第1节 图的基本概念
（二）有向图
✓ 链：有向图D中一个点、弧交错序列
(vi1，ai1，vi2，ai2，L
,viK
，a 1
iK
，v 1
iK
)，
若此序列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，
第六章 图与网络优化
第六章 图与网络优化
第1节 图的基本概念 第2节 树 第3节 最短路问题 第4节 网络最大流问题
第1节 图的基本概念
例1：我国北京、上海等十个城市间的铁路交通 图如下图所示：
北京
天津
济南
青岛
郑州 武汉
徐州 南京
连云港 上海
第1节 图的基本概念
例2：有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，他们 之间的比赛情况如下图所示：
二、树的性质
✓ 任何树中必然存在次为1的点。 （1）树中次为1的点称为树叶 （2）树中次大于1的点称为分枝点 ✓ 树的点有n个，则该树的边必有（n-1）条。 ✓ 任何具有n个点、（n-1）条边的连通图必是树。 ✓ 树中任意两点之间有且只有唯一一条链。 ✓ 从一个树中去掉任一条边，则余下的图必是不连通
v乙
v甲
v丙
v戊
v丁
第1节 图的基本概念
一、图的基本概念 ✓ 图：由一些点及一些点之间的连线组成。 ✓ 边：两点之间不带箭头的连线。 ✓ 弧：两点之间带箭头的连线。 ✓ 无向图：由点及边组成。 ✓ 有向图：由点及弧组成。
第1节 图的基本概念
图例：
v3
e1 e3
v1 e2
a2
a3
v2
v1
a1
v2
第1节 图的基本概念
✓ 支撑树的性质：图G有支撑树的充分必要条 件是图G是连通图。
第2节 树
图例：
v1
v2
v3
v1
v2
v3
v4
v5
v4
v5
支撑子图
第2节 树
四、最小支撑树
✓ 赋权图：图G (V，E)，对G中每一条边[vi，vj ]，
相应地有一个数wij，则称图G为赋权图， wij称为边[vi，vj ]上的权，表示距离、时间、费用等。
✓ 初等链：链中没有重复的点。 ✓ 初等圈：圈中没有重复的点。 ✓ 简单链：链中没有重复的边。 ✓ 简单圈：圈中没有重复的边。
第1节 图的基本概念
图例：
v1
e4
v4
e5
v5
e1
e3
e6
v2
e2
v3
e9
e7
v6
e8
v7
问：（v1，v2， v3， v4， v5， v3， v6， v7）？
（v1， v2， v3， v6， v7）？（v1， v2， v3， v4， v1）？
✓ 初等路：路中没有重复的点。 ✓ 初等回路：回路中没有重复的点。
第1节 图的基本概念
图例：
v3
a8
v5
a2
v1
a3
a1
a4
a6
a10
v7
a9
a11
v6
a7
v2
a5
Hale Waihona Puke Baidu
v4
问： （v3，a3， v2， a5， v4， a6， v5， a8， v3）？
（v1， a2， v3， a4， v4，a7， v6）？
(vi1，ei1，vi2，ei2，L
,v ，e ，v iK1
iK 1
iK
)，
若满足eit [vit , vit1 ](t 1，2，L ，k 1)，
称这个点边序列为连接vi1，vik的链。
✓ 圈：无向图G中，连结vi1与vik的一条链，
当vi1与vik 是同一个点时，称此链为圈。
第1节 图的基本概念
第1节 图的基本概念
✓ 次：以点vi为端点的边的个数。 ✓ 悬挂点：次为1的点。 ✓ 悬挂边：连结悬挂点的边。 ✓ 奇点：次为奇数的点。 ✓ 偶点：次为偶数的点。 ✓ 孤立点：次为零的点。
第1节 图的基本概念
图例：
e1 e3
v1 e2
v2
v1
v3 e2
e1
v2
v4
不连通图
第1节 图的基本概念
三、无向图的基本性质 ✓ 任何无向图中，顶点次数的总和等于边数的
✓ 最小支撑树：设T是G的一个支撑树， 称T中所有边的权之和为支撑树T的权，
记为w(T )，即w(T )
wij。
[vi，v j ]T
如果支撑树T 的权w(T )是G所有支撑树的权中最小的，
则称T 为G的最小支撑树。
第2节 树
✓ 最小支撑树的求解方法 方法一：避圈法 基本做法：首先选一条最小权的边，以后每一
2倍。 ✓ 任何无向图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
第1节 图的基本概念
四、有向图的基本概念 ✓ 基础图：去掉有向图中所有弧上的箭头得到
的无向图。 ✓ 始点、终点：弧(vi，vj)中，称vi为弧的始点，
vj为弧的终点。
第1节 图的基本概念
五、图的综合概念
（一）无向图
✓ 链：无向图G中一个点、边交错序列
图。 ✓ 在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则必得到
一个圈；反之再从该圈中任意去掉一条边，则必得 到一个树。
第2节 树
图例：
v1
v5
v2
v4
v3
第2节 树
三、支撑树 ✓ 支撑子图：设图G (V，E)，G (V ，E )，
V V，E E 称G是G的一个支撑子图。
✓ 支撑树：如果图G的支撑子图是一个树T， 则称树T是图G的一个支撑树。
则称这个点弧序列是D的链。
✓ 路：有向图D中一条链
(vi1，ai1，vi2，ai2，L
,v ，a ，v iK1
iK 1
iK
)，
若满足ait =(vit，vit1 )(t 1，2，L ，k 1)，
则称这个点弧序列为从vi1到vik的一条路。
第1节 图的基本概念
✓ 回路：有向图D中，连结vi1与vik的一条链， 当vi1与vik 是同一个点时，称此路为回路。