第六章-运筹学图与网络优化
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运筹学课件 第六章图与网络分析(清华大学出版社)
w(P ) = min w(P) 0
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
《图与网络优化》PPT课件
• “充分性”：设图 G 中任两个点之间恰有一条链， 那么易见 G 是连通的。如果 G 中含有圈，那么这个 圈上的两个顶点之间有两条链，这与假设相矛盾， 故 G 不含圈，于是 G 是树。
• 由这个定理，很容易推出如下结论：
• （1）从一个树中去掉任意一条边，则余下的图是不 连通的。由此可知，在点集合相同的所有图中，树 是含边数最少的连通图。
么 G 本身就是一个树，从而 G 是它自身的一个支撑
树。现假设 G 含圈，任取一个圈，从圈中任意地去
掉一条边，得到图 G 的一个支撑子图 G1 。如果 G1 不含圈，那么 G1 就是 G 的一个支撑树（因为 G1 的 顶点数与 G 相同，且连通）；如果 G1 仍然含圈，那 么从 G1 中任取一个圈，从圈中再任意去掉一条边， 得到图 G 的一个支撑子图 G2 ，如此重复，最终可以 得到 G 的一个支撑子图 Gk ，它不含圈，于是 Gk 是 G 的一个支撑树。
• 以点 v 为端点的边的个数称为 v 的次。记为 dG(v) 或 d(v) 。称次为1的点为悬挂点，悬挂点的关联边称为
悬挂边，次为零的点称为孤立点。
• 定理1：图 G=(V , E) 中，所有点的次之和是边数的
两倍，即有： dv2q vV
• 次为奇数的点称为奇点，否则称为偶点。
• 定理2：任一个图中，奇点的个数为偶数。
精选ppt
4
• 如果一个图 G 是由点及边所构成的，则称之为无向 图，简记为 G=(V , E)，其中， V , E 分别是图 G 的点 集合和边集合。一条连接点 vi ，vj V 的边记为[vi ,vj ] （或 [vj , vi]）。
• 如果一个图 D 是由点及弧所构成的，则称之为有向 图，简记为D =(V , A)，其中， V , A 分别是图 G 的点 集合和弧集合。一条方向是从 vi 指向 vj 的弧记为 (vi ,vj)。
运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
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(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
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(v1) 赵
e1
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e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
运筹学第六章图与网络分析1.
一、树的概念及性质 例：已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要 求任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市） ，并且电话线的根数最少。
v2
v3
v1
v5
v4
9
1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
3
2
4 1 5
v2
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1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
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第六章-运筹学图与网络优化
9
6 3
3
4
7
2
53
4 31
5
1
7
4
4
第3节 最短路问题
一、最短路的含义
赋权有向图D (V，A)，图中各弧(vi，v j )有权wij， vs，vt为图D中任意两点，求一条路P， 使它是从vs到vt的所有路中总权最小的路，
即w(
P
)
min
wij 。
(vi，vj )P
定义：路P的权是P中所有弧的权之和，记为w(P)
习题6-3：用Dijkstra方法求解下图从v1到v9的 最短‘路’。
v2
11
v7
3 6
2
5
5
v5
8
v1
v3
v9
2 4
4
3
7
v4
4
v6
6
v8
第3节 最短路问题
三、最短路问题的应用 ✓ 设备更新问题
第3节 最短路问题
例10：某工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定， 如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备， 要付购买费。试制定一个5年的更新计划，使总支出最 少。已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的 维修费如下表所示：
5
2
5 v6
v4
v7 8
习题6-2
2、
v2
2
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1
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5 v4 9
v6
6
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v3
第3节 最短路问题
（二）赋权无向图的最短‘路’问题的求解方 法
赋权无向图G=(V，E)，边[vi，vj]表示既可以 从vi到达vj，也可以从vj到达vi，所以边[vi， vj]可以看作是两条弧(vi，vj)和(vj，vi)，且 它们具有相同的权ωij。
运筹学第六章网络计划
工序(i,j)的总时差=(j)最迟开始时间-t(i,j) -(i)最早开始时间
工序(i,j)的自由时差=(j）最早开始时间- (i）最早完成时间
所有时间参数
例3（P136）某项课题研究工作分解的作业表如下。根据此表绘制此项科研工作的网络图，计算时间参数，并确定关键路线。
工序代号
工序
紧前工序
工序时间
（3）按照工作的新工时，重新计算网络计划的关键 路线及关键工序。
（4）再比较关键工序的直接费用率与间接费用率。
不断重复，直到使总费用上升为止。 （直接费用率>间接费用率）
注：若压缩引起出现多于一条新的关键路线时，需同时压缩各关键路线.
（因为不同时压，则工期不能缩短， 工期=关键工序上工时之和）
表示相邻工序时间分界点，称为事 项，
用 表示
（3）相邻弧：
表示工序的前后衔接关系，称为紧前 （或紧后）关系。
如
A
B
A是B的紧前工序，B是A的紧后工序。
A
（4）虚工序（虚箭线）
为表示工序前后衔接关系的需要而增加的。
6.1 网络计划图的绘制 6.2 时间参数计算与关键路线确定 6.3 网络图的调整及优化
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1.问题的一般提法：
设有一项工程，可分为若干道工序，已知各工序间 的先后关系以及各工序所需时间t。
问：
（1）工程完工期T？
（2）工程的关键工序有哪些？
若再各压缩1天
则应压缩B、C（同时压）
此时的直接费用率将是3+4=7>5
故最低成本工期为10天。
注：
（1）有时资料未给可压缩时间，但给了正常工作时间及最短工作时间。则压缩时间=正常工作时间-最短工作时间。
网络优化图及网络(运筹学)
27
(2,1) (0,S)
28
(2,1) (0,S)
(3,3)
29
(0,S) (3,3)
(2,1) (5,2)
30
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3) (7,5)
31
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3)
(7,5)
(8,4)
32
用WinQSB求解 把节点数和节点之间边的长度输入，节 点间没有边则不输入任何值 注意：无向图中i-j的边与j-i的边的长度相 同
C1 根
C2
C3
C4
叶
6
例5（石油流向管网示意图，P131）
此为一个有向图
v2
24
v5
20 8
11 10
v1
15
10
v4 8
v7
20
v3
6
v6
7
1 图的基本概念
无向图：G={V，E} V v1,v2,...,vp E e1,e2,...,eq
顶点或节点：v 边：e=eij=[vi,vj] =[vj,vi] 链：连接两个顶点的一个序列；例1中{a,b,c}，{a,b,e,d}等 圈：两个端点重合的链，例1中{a,b,c,a}，{a,b,d,a}等
v5
38
(16, v1)
v2
22
41
16 16
30
30
(0,S) v1
59
41(22, v1) v3
23
(30, v1) v4 23 17
v6
18 v5 (41, v1) 39
(16, v1) v2
16 16
30
v1
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(2,1) (0,S)
28
(2,1) (0,S)
(3,3)
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(0,S) (3,3)
(2,1) (5,2)
30
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3) (7,5)
31
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3)
(7,5)
(8,4)
32
用WinQSB求解 把节点数和节点之间边的长度输入，节 点间没有边则不输入任何值 注意：无向图中i-j的边与j-i的边的长度相 同
C1 根
C2
C3
C4
叶
6
例5（石油流向管网示意图，P131）
此为一个有向图
v2
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11 10
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v4 8
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1 图的基本概念
无向图：G={V，E} V v1,v2,...,vp E e1,e2,...,eq
顶点或节点：v 边：e=eij=[vi,vj] =[vj,vi] 链：连接两个顶点的一个序列；例1中{a,b,c}，{a,b,e,d}等 圈：两个端点重合的链，例1中{a,b,c,a}，{a,b,d,a}等
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(16, v1) v2
16 16
30
v1
59
网络优化图及网络(运筹学)
详细描述
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学06图与网络分析PPT演示文稿
v4
v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 1 1 0 0
起 v2 1 0 0 1 1
点 v3 1 0 0 0 1
v5
v4 0 1 0 0 1
v5 0 1 1 1 0
19
❖ 赋权无向图的邻接矩阵表示
▪ 两顶点之间有边相连的，写上其权数，无 边相连的记为∞，对角线上的数字为0。赋 权无向图对应的矩阵也是对称的。
1 图的基本概念
❖ 案例导引 ❖ 图论中的图 ❖ 图的矩阵描述
2
案例导引
❖ 图论是运筹学的一个重要分支，对其最早的 研究可以追溯到著名的哥尼斯堡七桥问题 (Konigsberg Bridges Problem)。18世纪，欧洲 的哥尼斯堡城有一条流经全城的普雷戈尔河， 河的两岸与河中两个小岛及两岛之间有七座 桥彼此相通(如左图)。
22
树及其性质
❖ 树在现实中随处可见，如电话线架设、比赛 程序、组织结构等。
❖ 树：连通的无圈的无向图称为树。
23
❖ 树的性质 ❖ 图G=(V,E)，p个点、q条边，下列说法是等价
的 ▪ (1)G是一个树 ▪ (2)G连通，且恰有p-1条边 ▪ (3)G无圈，且恰有p-1条边 ▪ (4)G连通，但每舍去一边就不连通 ▪ (5)G无圈，但每增加一边即得唯一一个圈 ▪ (6)G中任意两点之间恰有一条链(简单链)
30
❖在根树中，若每个顶点的出次小于或等 于M，称这棵树为M叉树。
❖若每个顶点的出次恰好等于M或者零， 则称这棵树为完全M叉树。
❖当M=2时，称为二叉树、完全二叉树。
31
❖ 如图所示的树是根树。其 中根、分枝点、叶；各点 层次都标注在树上。
❖ 这是一棵三叉树
三叉树
根
系统工程与运筹学 第6章 图与网络最优化方法
属于部分树的边称为内边，不属于部分树的边称为外边。
连通图G (V, E)中，内边权值总和最小的部分树为最小部分树（ 最小支撑树）。
最大部分树？
6.2 最小部分树问题
6.1.1图的基本概念和术语
1. 最小部分树定理 树的任意一条外边Cij比所对应的链中最长的边还长；即最小部 分树是指内边权总和最小的那棵树 2. 最小部分树算法 【例6.1】 某市区准备在五个社区间架设光纤网络，各社区的位 置如图6.2.1(a)，如何架设光纤网络可使各社区间均能通网且光纤线 路最短。
欧拉回路也称一笔圈图，欧拉链也称一笔链图，二者均为一笔画图。
6.3.2 中国邮递员问题
由中国数学家管梅谷先生在1962年提出.
抽象成图的语言就是：给定一个无向的连通图，怎样 才能使每条边至少出现一次并使边长总和最小。这类问 题叫中国邮递员问题或一笔画问题。
中国邮递员问题可以描述为：在一个有奇点的连通图 中，增加一些重复边，使得该图成为一笔圈图，并且要 求重复边的总路长最小。
A
D C
B 图6.3.1 哥尼斯堡七桥问题
【定理1】 若图G的每个顶点所关联的边数是偶数条，则图G是欧拉回路，这
样的图能一笔画出；
【定理2】 若除链的端点以外其余每个顶点所关联的边数是偶数 条（即图中奇点数为2），则图是欧拉链，若想走过该图所有的边而不 走重复路，就只能从一个奇点出发到达另一个奇点。
1736年著名数学家欧拉（Euler）发表了图论方面第一篇论文，解 决了有名的哥尼斯堡七桥难题，欧拉被公认为图论的创始人。
图论以集合元素间某种二元关系生成的拓扑图形为研究对象，任 何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图论的方法来分析。
经过200多年的发展，图论已经发展成为一个理论与应用兼有的 数学领域，在自然科学和社会科学研究中有着广泛的应用。
连通图G (V, E)中，内边权值总和最小的部分树为最小部分树（ 最小支撑树）。
最大部分树？
6.2 最小部分树问题
6.1.1图的基本概念和术语
1. 最小部分树定理 树的任意一条外边Cij比所对应的链中最长的边还长；即最小部 分树是指内边权总和最小的那棵树 2. 最小部分树算法 【例6.1】 某市区准备在五个社区间架设光纤网络，各社区的位 置如图6.2.1(a)，如何架设光纤网络可使各社区间均能通网且光纤线 路最短。
欧拉回路也称一笔圈图，欧拉链也称一笔链图，二者均为一笔画图。
6.3.2 中国邮递员问题
由中国数学家管梅谷先生在1962年提出.
抽象成图的语言就是：给定一个无向的连通图，怎样 才能使每条边至少出现一次并使边长总和最小。这类问 题叫中国邮递员问题或一笔画问题。
中国邮递员问题可以描述为：在一个有奇点的连通图 中，增加一些重复边，使得该图成为一笔圈图，并且要 求重复边的总路长最小。
A
D C
B 图6.3.1 哥尼斯堡七桥问题
【定理1】 若图G的每个顶点所关联的边数是偶数条，则图G是欧拉回路，这
样的图能一笔画出；
【定理2】 若除链的端点以外其余每个顶点所关联的边数是偶数 条（即图中奇点数为2），则图是欧拉链，若想走过该图所有的边而不 走重复路，就只能从一个奇点出发到达另一个奇点。
1736年著名数学家欧拉（Euler）发表了图论方面第一篇论文，解 决了有名的哥尼斯堡七桥难题，欧拉被公认为图论的创始人。
图论以集合元素间某种二元关系生成的拓扑图形为研究对象，任 何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图论的方法来分析。
经过200多年的发展，图论已经发展成为一个理论与应用兼有的 数学领域，在自然科学和社会科学研究中有着广泛的应用。
管理运筹学讲义第6章_网络计划(6学时)PPT课件
③
②
sfsf 18
④ 错误的画法
⑤
⑦
缺口 ⑥
OM:SM
第二节 绘制网络图
二、绘制网络图的规则
5、尽量避免箭线交叉，做到美观清晰
②
④
⑧
⑥ ⑩
①
③
⑤
⑦
⑨
④
⑧
①
②
⑤
⑦
⑩
sfsf 19
③
⑥
调整后
⑨
OM:SM
第二节 网络图的绘制
三、网络图的绘制步骤
1、先绘制网络草图
绘制网络草图的方法是顺推法，即以始结点开始，首先确定由始结点引出 的作业，然后根据作业间的逻辑关系，确定每项作业的紧后作业。
sfsf 9
OM:SM
第一节 网络图的基本概念
二、网络图相关的概念
2、基本概念
在下图中，A是D、E的紧前工序，D、E是A的紧后工序，F是A的后 续工序但不是A的紧后工序；A是D、E、F的前道工序但不是 F 的紧前 工序。注意紧前工序、紧后工序、前道工序和后续工序之间的关系。
②
2天
3天
A
E
①
B 3天
sfsf 4
OM:SM
第一节 网络图的基本概念
一、引言
2、网络计划的基本原理
网络计划的基本原理：从需要管理的任务总进度着眼，以任务 中各工作所需要的工时为时间因素，按照工作的先后顺序和相互关 系做出网络图，以反映任务全貌，实现管理过程的模型化。然后计 算时间参数，找出计划中的关键工作和关键线路，以对任务的各项 工作所需的人、财、物通过改善网络计划做出合理安排，得到最优 方案并付诸实施。
⑥
H 20
⑦
⑤ 20
图（a）箭线图
②
sfsf 18
④ 错误的画法
⑤
⑦
缺口 ⑥
OM:SM
第二节 绘制网络图
二、绘制网络图的规则
5、尽量避免箭线交叉，做到美观清晰
②
④
⑧
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③
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⑦
⑨
④
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③
⑥
调整后
⑨
OM:SM
第二节 网络图的绘制
三、网络图的绘制步骤
1、先绘制网络草图
绘制网络草图的方法是顺推法，即以始结点开始，首先确定由始结点引出 的作业，然后根据作业间的逻辑关系，确定每项作业的紧后作业。
sfsf 9
OM:SM
第一节 网络图的基本概念
二、网络图相关的概念
2、基本概念
在下图中，A是D、E的紧前工序，D、E是A的紧后工序，F是A的后 续工序但不是A的紧后工序；A是D、E、F的前道工序但不是 F 的紧前 工序。注意紧前工序、紧后工序、前道工序和后续工序之间的关系。
②
2天
3天
A
E
①
B 3天
sfsf 4
OM:SM
第一节 网络图的基本概念
一、引言
2、网络计划的基本原理
网络计划的基本原理：从需要管理的任务总进度着眼，以任务 中各工作所需要的工时为时间因素，按照工作的先后顺序和相互关 系做出网络图，以反映任务全貌，实现管理过程的模型化。然后计 算时间参数，找出计划中的关键工作和关键线路，以对任务的各项 工作所需的人、财、物通过改善网络计划做出合理安排，得到最优 方案并付诸实施。
⑥
H 20
⑦
⑤ 20
图（a）箭线图
运筹学课件-第六章图与网络分析
运筹学课件-第六章 图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
运筹学第六章图与网络分析(ppt文档)
§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, 点：表示所研究的事物对象； E=｛e1,e2,···,em｝
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重 合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之 间多于一条边，则称为多重边。
D 8 64 5 0 15
E 7 53 4 1 0 6
T 14 11 9 10 5 6 0
i
dir（1）
r
drj（1）
j
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距 离矩阵 D（3）= dij（3）
其中
dij（3）=
min
r
{
dir（2）+
drj（2）
}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 13
dir（0）
r i
drj（0）
j
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距 离矩阵 D（2）= dij（2）
其中
dij（2）=
min
r
{
dir（1）+
drj（1）}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 14
A 2 0 2 3 6 5 11
B 4 20 1 43 9 D（2）= C 4 3 1 0 5 4 10
2. 破圈法：
⑴ 任取一圈，去掉其中一条最长的边， ⑵ 重复，至图中不存在任何的圈为止。
2. 破圈法
A
S
5 × B 5× D 5 T
C
4× E
最小部分树长Lmin=14
运筹学( 图与网络优化)
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
§10.1
图的基本概念
一个图(Graph) 定义为三元有序组
(V (G ), E (G ), G )
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是图的顶 点。例如下图 中，它共有4个顶点，6条边；而e 3 与e 4 的交点不是这个图的顶点。
v1
e1
v2 e4
e2
v3
e3
e5
v4
e6
e3
v1
v4
e1 e4
v2
e2
v3 e6
e5
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
u 1
f5 u3 f6
f2 f4
u2
u4
同构
给定两个图
G (V (G), E(G), G )
H (V ( H ), E( H ), H )
称G和H是同构的，记为 G H ， 如果存在两个一一对应 ( , )
: V (G) V ( H )
: E (G) E ( H )
e7
v2
e3 v3
e6
v4
e4
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元
素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于 2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所
有顶点的度之和，又等于边数的2倍。 定理 设G是一个图，则
vV ( G )
d (v) 2
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✓ 初等链：链中没有重复的点。 ✓ 初等圈：圈中没有重复的点。 ✓ 简单链：链中没有重复的边。 ✓ 简单圈：圈中没有重复的边。
第1节 图的基本概念
图例：
v1
e4
v4
e5
v5
e1
e3
e6
v2
e2
v3
e9
e7
v6
e8
v7
问：（v1，v2， v3， v4， v5， v3， v6， v7）？
（v1， v2， v3， v6， v7）？（v1， v2， v3， v4， v1）？
二、无向图的基本概念 ✓ 端点：两个点vi，vj属于V，边[vi，vj]属于E，
称vi，vj是边的端点。 ✓ 关连边：边[vi，vj]是点vi及点vj的关连边。 ✓ 环：边的两个端点相同。 ✓ 多重边：两个点之间多于一条的边。 ✓ 简单图：不含环和多重边的无向图。 ✓ 多重图：不含环，但含有多重边的无向图。
步中，总从未被选取的边中选一条权最小的 边，并使之与已选取的边不构成圈（每一步 中，如果有两条或两条以上最小权的边，则 任选一条）。
2倍。 ✓ 任何无向图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
第1节 图的基本概念
四、有向图的基本概念 ✓ 基础图：去掉有向图中所有弧上的箭头得到
的无向图。 ✓ 始点、终点：弧(vi，vj)中，称vi为弧的始点，
vj为弧的终点。
第1节 图的基本概念
五、图的综合概念
（一）无向图
✓ 链：无向图G中一个点、边交错序列
（v1， a2， v3， a8， v5，a10， v6）？
（v1，a2， v3， a4， v4， a6， v5， a8， v3）？
第2节 树
一、树的概念 ✓ 连通图：无向图中任意两点间至少有一条链
相连。（不连通图） ✓ 连通分图：不连通图中每个连通的部分。 ✓ 树：连通且不含圈的无向图。
第2节 树
(vi1，ei1，vi2，ei2，L
,v ，e ，v iK1
iK 1
iK
)，
若满足eit [vit , vit1 ](t 1，2，L ，k 1)，
称这个点边序列为连接vi1，vik的链。
✓ 圈：无向图G中，连结vi1与vik的一条链，
当vi1与vik 是同一个点时，称此链为圈。
第1节 图的基本有边的权之和为支撑树T的权，
记为w(T )，即w(T )
wij。
[vi，v j ]T
如果支撑树T 的权w(T )是G所有支撑树的权中最小的，
则称T 为G的最小支撑树。
第2节 树
✓ 最小支撑树的求解方法 方法一：避圈法 基本做法：首先选一条最小权的边，以后每一
（v4， v1， v2， v3， v5， v7， v6， v3， v4）？
（v1， v2， v3， v5， v4， v3， v4， v1）？
第1节 图的基本概念
（二）有向图
✓ 链：有向图D中一个点、弧交错序列
(vi1，ai1，vi2，ai2，L
,viK
，a 1
iK
，v 1
iK
)，
若此序列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，
✓ 支撑树的性质：图G有支撑树的充分必要条 件是图G是连通图。
第2节 树
图例：
v1
v2
v3
v1
v2
v3
v4
v5
v4
v5
支撑子图
第2节 树
四、最小支撑树
✓ 赋权图：图G (V，E)，对G中每一条边[vi，vj ]，
相应地有一个数wij，则称图G为赋权图， wij称为边[vi，vj ]上的权，表示距离、时间、费用等。
图。 ✓ 在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则必得到
一个圈；反之再从该圈中任意去掉一条边，则必得 到一个树。
第2节 树
图例：
v1
v5
v2
v4
v3
第2节 树
三、支撑树 ✓ 支撑子图：设图G (V，E)，G (V ，E )，
V V，E E 称G是G的一个支撑子图。
✓ 支撑树：如果图G的支撑子图是一个树T， 则称树T是图G的一个支撑树。
第1节 图的基本概念
✓ 次：以点vi为端点的边的个数。 ✓ 悬挂点：次为1的点。 ✓ 悬挂边：连结悬挂点的边。 ✓ 奇点：次为奇数的点。 ✓ 偶点：次为偶数的点。 ✓ 孤立点：次为零的点。
第1节 图的基本概念
图例：
e1 e3
v1 e2
v2
v1
v3 e2
e1
v2
v4
不连通图
第1节 图的基本概念
三、无向图的基本性质 ✓ 任何无向图中，顶点次数的总和等于边数的
则称这个点弧序列是D的链。
✓ 路：有向图D中一条链
(vi1，ai1，vi2，ai2，L
,v ，a ，v iK1
iK 1
iK
)，
若满足ait =(vit，vit1 )(t 1，2，L ，k 1)，
则称这个点弧序列为从vi1到vik的一条路。
第1节 图的基本概念
✓ 回路：有向图D中，连结vi1与vik的一条链， 当vi1与vik 是同一个点时，称此路为回路。
二、树的性质
✓ 任何树中必然存在次为1的点。 （1）树中次为1的点称为树叶 （2）树中次大于1的点称为分枝点 ✓ 树的点有n个，则该树的边必有（n-1）条。 ✓ 任何具有n个点、（n-1）条边的连通图必是树。 ✓ 树中任意两点之间有且只有唯一一条链。 ✓ 从一个树中去掉任一条边，则余下的图必是不连通
v乙
v甲
v丙
v戊
v丁
第1节 图的基本概念
一、图的基本概念 ✓ 图：由一些点及一些点之间的连线组成。 ✓ 边：两点之间不带箭头的连线。 ✓ 弧：两点之间带箭头的连线。 ✓ 无向图：由点及边组成。 ✓ 有向图：由点及弧组成。
第1节 图的基本概念
图例：
v3
e1 e3
v1 e2
a2
a3
v2
v1
a1
v2
第1节 图的基本概念
第六章 图与网络优化
第六章 图与网络优化
第1节 图的基本概念 第2节 树 第3节 最短路问题 第4节 网络最大流问题
第1节 图的基本概念
例1：我国北京、上海等十个城市间的铁路交通 图如下图所示：
北京
天津
济南
青岛
郑州 武汉
徐州 南京
连云港 上海
第1节 图的基本概念
例2：有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，他们 之间的比赛情况如下图所示：
✓ 初等路：路中没有重复的点。 ✓ 初等回路：回路中没有重复的点。
第1节 图的基本概念
图例：
v3
a8
v5
a2
v1
a3
a1
a4
a6
a10
v7
a9
a11
v6
a7
v2
a5
v4
问： （v3，a3， v2， a5， v4， a6， v5， a8， v3）？
（v1， a2， v3， a4， v4，a7， v6）？
第1节 图的基本概念
图例：
v1
e4
v4
e5
v5
e1
e3
e6
v2
e2
v3
e9
e7
v6
e8
v7
问：（v1，v2， v3， v4， v5， v3， v6， v7）？
（v1， v2， v3， v6， v7）？（v1， v2， v3， v4， v1）？
二、无向图的基本概念 ✓ 端点：两个点vi，vj属于V，边[vi，vj]属于E，
称vi，vj是边的端点。 ✓ 关连边：边[vi，vj]是点vi及点vj的关连边。 ✓ 环：边的两个端点相同。 ✓ 多重边：两个点之间多于一条的边。 ✓ 简单图：不含环和多重边的无向图。 ✓ 多重图：不含环，但含有多重边的无向图。
步中，总从未被选取的边中选一条权最小的 边，并使之与已选取的边不构成圈（每一步 中，如果有两条或两条以上最小权的边，则 任选一条）。
2倍。 ✓ 任何无向图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
第1节 图的基本概念
四、有向图的基本概念 ✓ 基础图：去掉有向图中所有弧上的箭头得到
的无向图。 ✓ 始点、终点：弧(vi，vj)中，称vi为弧的始点，
vj为弧的终点。
第1节 图的基本概念
五、图的综合概念
（一）无向图
✓ 链：无向图G中一个点、边交错序列
（v1， a2， v3， a8， v5，a10， v6）？
（v1，a2， v3， a4， v4， a6， v5， a8， v3）？
第2节 树
一、树的概念 ✓ 连通图：无向图中任意两点间至少有一条链
相连。（不连通图） ✓ 连通分图：不连通图中每个连通的部分。 ✓ 树：连通且不含圈的无向图。
第2节 树
(vi1，ei1，vi2，ei2，L
,v ，e ，v iK1
iK 1
iK
)，
若满足eit [vit , vit1 ](t 1，2，L ，k 1)，
称这个点边序列为连接vi1，vik的链。
✓ 圈：无向图G中，连结vi1与vik的一条链，
当vi1与vik 是同一个点时，称此链为圈。
第1节 图的基本有边的权之和为支撑树T的权，
记为w(T )，即w(T )
wij。
[vi，v j ]T
如果支撑树T 的权w(T )是G所有支撑树的权中最小的，
则称T 为G的最小支撑树。
第2节 树
✓ 最小支撑树的求解方法 方法一：避圈法 基本做法：首先选一条最小权的边，以后每一
（v4， v1， v2， v3， v5， v7， v6， v3， v4）？
（v1， v2， v3， v5， v4， v3， v4， v1）？
第1节 图的基本概念
（二）有向图
✓ 链：有向图D中一个点、弧交错序列
(vi1，ai1，vi2，ai2，L
,viK
，a 1
iK
，v 1
iK
)，
若此序列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，
✓ 支撑树的性质：图G有支撑树的充分必要条 件是图G是连通图。
第2节 树
图例：
v1
v2
v3
v1
v2
v3
v4
v5
v4
v5
支撑子图
第2节 树
四、最小支撑树
✓ 赋权图：图G (V，E)，对G中每一条边[vi，vj ]，
相应地有一个数wij，则称图G为赋权图， wij称为边[vi，vj ]上的权，表示距离、时间、费用等。
图。 ✓ 在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则必得到
一个圈；反之再从该圈中任意去掉一条边，则必得 到一个树。
第2节 树
图例：
v1
v5
v2
v4
v3
第2节 树
三、支撑树 ✓ 支撑子图：设图G (V，E)，G (V ，E )，
V V，E E 称G是G的一个支撑子图。
✓ 支撑树：如果图G的支撑子图是一个树T， 则称树T是图G的一个支撑树。
第1节 图的基本概念
✓ 次：以点vi为端点的边的个数。 ✓ 悬挂点：次为1的点。 ✓ 悬挂边：连结悬挂点的边。 ✓ 奇点：次为奇数的点。 ✓ 偶点：次为偶数的点。 ✓ 孤立点：次为零的点。
第1节 图的基本概念
图例：
e1 e3
v1 e2
v2
v1
v3 e2
e1
v2
v4
不连通图
第1节 图的基本概念
三、无向图的基本性质 ✓ 任何无向图中，顶点次数的总和等于边数的
则称这个点弧序列是D的链。
✓ 路：有向图D中一条链
(vi1，ai1，vi2，ai2，L
,v ，a ，v iK1
iK 1
iK
)，
若满足ait =(vit，vit1 )(t 1，2，L ，k 1)，
则称这个点弧序列为从vi1到vik的一条路。
第1节 图的基本概念
✓ 回路：有向图D中，连结vi1与vik的一条链， 当vi1与vik 是同一个点时，称此路为回路。
二、树的性质
✓ 任何树中必然存在次为1的点。 （1）树中次为1的点称为树叶 （2）树中次大于1的点称为分枝点 ✓ 树的点有n个，则该树的边必有（n-1）条。 ✓ 任何具有n个点、（n-1）条边的连通图必是树。 ✓ 树中任意两点之间有且只有唯一一条链。 ✓ 从一个树中去掉任一条边，则余下的图必是不连通
v乙
v甲
v丙
v戊
v丁
第1节 图的基本概念
一、图的基本概念 ✓ 图：由一些点及一些点之间的连线组成。 ✓ 边：两点之间不带箭头的连线。 ✓ 弧：两点之间带箭头的连线。 ✓ 无向图：由点及边组成。 ✓ 有向图：由点及弧组成。
第1节 图的基本概念
图例：
v3
e1 e3
v1 e2
a2
a3
v2
v1
a1
v2
第1节 图的基本概念
第六章 图与网络优化
第六章 图与网络优化
第1节 图的基本概念 第2节 树 第3节 最短路问题 第4节 网络最大流问题
第1节 图的基本概念
例1：我国北京、上海等十个城市间的铁路交通 图如下图所示：
北京
天津
济南
青岛
郑州 武汉
徐州 南京
连云港 上海
第1节 图的基本概念
例2：有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，他们 之间的比赛情况如下图所示：
✓ 初等路：路中没有重复的点。 ✓ 初等回路：回路中没有重复的点。
第1节 图的基本概念
图例：
v3
a8
v5
a2
v1
a3
a1
a4
a6
a10
v7
a9
a11
v6
a7
v2
a5
v4
问： （v3，a3， v2， a5， v4， a6， v5， a8， v3）？
（v1， a2， v3， a4， v4，a7， v6）？