第六章 物流运筹学——图与网络分析

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运筹学——.图与网络分析-最短路

运筹学——.图与网络分析-最短路

可选择的最短路为
(v5 , v6 ), (v5 , v7 ).
min{ k24, k34, k56, k57} min{9,10,13,14} 9
① 给(v2 , v4 )
划成粗
线②。给v4 标号(9)。
③ 划第5个弧。
v2 (4) 5 v4(9) 9 v6 (13)
4 4
v1 (0)
1
75
v2 (4)
5
v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8

64
1

v3(6)
7 v5 6
v7

3)接着往下考察,有三条路可走:(v1, v3 ), (v2, v4 ), (v2 , v5 ).
可选择的最短路为
min{ k13, k24, k25} min{l13, l12 d24,l12 d25} min{ 6,4 5,4 4} 6
第6章 图与网络分析
本章内容重点
图的基本概念与基本定理 树和最小支撑树 最短路问题 网络最大流


图论是应用非常广泛的运筹学分 支,它已经广泛地应用于物理学控制论,信 息论,工程技术,交通运输,经济管理,电 子计算机等各项领域。对于科学研究,市场 和社会生活中的许多问题,可以同图论的理 论和方法来加以解决。例如,各种通信线路 的架设,输油管道的铺设,铁路或者公路交 通网络的合理布局等问题,都可以应用图论 的方法,简便、快捷地加以解决。
若已知设备在各年的购买费,及不同机器役龄时的残值与 维修费,如表2所示.
项目 购买费 机器役龄 维修费 残值
第1年 11 0-1 5 4

运筹学(第6章 图与网络分析)

运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈

定义: 图中的点用v表示,边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示,记作:e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后,可用图来表示相遇情况,如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H

例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系,那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了,这是我们引入一个带箭头的联线,称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj],称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点,反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联,称点vi和vj相邻;若边ei和
e5
e7

运筹学:第6章 图与网络分析

运筹学:第6章  图与网络分析
给图中的点和边赋以具体的含义和权值,我们称 这样的图为网络图(赋权图)
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6
图中的点用 v 表示,边用 e 表示,对每条边可用
它所联结的点表示,如图,则有:
e1 = [v1 , v1], e2 = [v1 , v2]或e2= [v2 , v1]
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用点和点之间的线所构成的图,反映实际生产和 生活中的某些特定对象之间的特定关系。
第一种解法:
1. 在点集中任选一点,不妨取 S,令 V={S} 2. 找到和 S 相邻的边中,权值最小的 [S , A] 。
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3.V={S , A} 4. 重复第2,3步,找到下一个点。
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第二种做法求解过程:
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破圈法求解步骤:
1. 从图 N 中任取一回路,去掉这个回路中边 权最大的边,得到原图的一个子图 N1。
Dijkstra 算法假设:
1.设 dij 表示图中两相邻点 i 与 j 的距离,若 i 与 j 不相邻,令 dij =∞,显然 dii =0。 2. 设 Lsi 表示从 s 点到 i 点的最短距离。
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求从起始点 s 到终止点 t 的最短路径。 Dijkstra 算法步骤:
1.对起始点 s ,因 Lss =0 ,将 0 标注在 s 旁的小 方框内,表示 s 点已标号;
终点重合的链称为圈,起点和终点重合的路称为回
路,若在一个图中,每一对顶点之间至少存在一条
链,称这样的图为连通图,否则称该图为不连通的。
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12
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运筹学 第6章 图论与网络分析

运筹学 第6章 图论与网络分析

(4) 重复第3步,一直到t点得到标号为止。 例3 求从v1到v7的最短路
v2
5 2 7 6
v5
3 1 2 6
v1
2 7
v4
v7
解:
5
v3
v2
0 2 7 7
4
v6
v5
6 1 2 6 3
(1)
v1
2
v4
v7
v3
4
v6
(2)
L1 p min d12 , d13 min 5, 2 2 L13
• 若两个点之间的边多于一条,称为具有多重边;
• 对无环、无多重边的图称为简单图。 次、奇点、偶点、孤立点、悬挂点 • 与某一个点vi 相关联的边的数目称为次(也称度),记d(vi);

次为奇数的点称为奇点;次为偶数的点称为偶点;
次为0的点称为孤立点;次为1的点称为悬挂点。
多重边 v1 e'13 v3 e13
( vi , v j )
3-1 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法 算法的思想:如果P是从vs到vt的最短路,vi是P上的一个 点,那么,从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。 设dij为图中两相邻点i与j的距离,若不相邻,dij=0;Lsi为点 s到i的最短距离, 求s点到t点最短距离。 算法的步骤:
v4
v7
v3
2
4
v6 6
(5) L1 p min L12 d 25 , L12 d 24 , L13 d 34 , L16 d 64 , L16 d 65 , L16 d 67 min 5 7, 5 2, 2 7, 6 2,6 1,6 6 7 L14 L15

运筹学第六章图与网络分析1.

运筹学第六章图与网络分析1.
一、树的概念及性质 例:已知有五个城市,要在它们之间架设电话线,要 求任何两个城市都可以互相通话(允许通过其它城市) ,并且电话线的根数最少。
v2
v3
v1
v5
v4
9
1.树的定义 :连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶,次大于1的点称为分枝点,树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧,如果(vi, vj)不是弧,则添 22 加弧(vi, vj),令wij=+∞
迭代过程:
①初始条件: t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ,如果 v1 与 vj间 无边,其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边:悬挂点的关联边
定理1:图G=(V,E)中,所有点的次之和是边数 的两倍,即
Σd(v)=2q vV
定理2:任一图中,奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E),一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik),如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1),则称为一条联结vi1和vik的链,记为(vi1,vi2,…,vik), 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2.最小支撑树(最小树)
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3.求最小支撑树的方法
(1)避圈法 在图中选一条权数最小的边,在以后的每步中,总从未被选 取的边中选一条权数最小的边,并使之与已选取的边不构成圈( 权数相同时,任选一条),直到选够n-1条边为止。
3
2
4 1 5

第六章图与网络分析

第六章图与网络分析

e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图,偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree): 无圈的连通的图,记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G : (V,E),记为 G=(V,E)
G 的点集合: V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合: E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ,记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图,简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ,则称 eij 从 v i 连向 v j ,点 v i 称为 eij 的尾,v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继, v j 称为 v i 的后继。 基本图:去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵:一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ,
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则

运筹学6(图与网络分析)

运筹学6(图与网络分析)

定义7:子图、生成子图(支撑子图)
图G1={V1、E1}和图G2={V2,E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1=V2,E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图(部分图)。
图8-2(a)是图 6-1的一个子图,图8-2 (b)是图 8-1的支撑子图,注意支撑子图 也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0,v1,…,vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同,这样的链称初等链(或路)。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路(或圈),如果边不 v4
v5
重复称为简单回路,如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8-1中, μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链,μ1中因顶 点v3重复出现,不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中,顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中,次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图: 如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图: 如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图,当且仅当G中每个顶点的出 次等于入次。
② 15
9 10

运筹学-6(图与网络分析)PPT课件

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4
3
验证:第一圈内总长:3+4+5+4+7=23 第一圈逆时针内配送路长:3+4+5=12>11.5,则不是最优方案 第二圈内配送路长:4+2+3+4=13 第二圈逆时针内配送路长:2<6.5,则是最优方案。 第二圈顺时针内配送路长:3<6.5,则是最优方案。
修正第一圈内方案,取逆时针方向最小值1,然后逆时针方向配送路线减去 1,顺时针方向配送及未走路线加上1,则得到第一圈内配送路长:5<总长 一半,则是最优方案。如图所示:
相关 成本
A 4C
E
A 5C
E F
A 6C
F I
D D, F F, I
D D I H, G
D D H, G H, J
348 291, 228 294, 258
348 291 258 288, 360
348 291 288, 360 390, 384
第n个 最近
节点
最小 成本
最新 连接
A到各 N节点 最短 路径
6.2.2 网络图的绘制原则
只能有一个始点事项和一个终点事项 不允许出现编号相同的箭线 不允许出现循环线路 作业要始于结点终于结点
网 络 规 则(2)
1、避免循环、不留缺口
2、一一对应:一道工序用两个事项表示
F 228 CF A→C→F
I
258 EI A→B→E
→I
H 288 FH A→C→F →H
步 已解点 候选点 骤
相关 成本
A C 7F I H
F 8I
H D
D D G J G, J
G J J G
348 291 360 384 336, 414 360 384 414 396
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最短路径问题的一般提法如下: G = (V , E ) 为赋权图, 设 图中各边 ( v i , v j ) 有权 lij ,若 lij = ∞ 则表示 vi , v j 没有边相连, ,求一条道路 µ , v s , v t 为图中任意两点(或指定的两点) 使它是从 v s 到 vt 的所有道路中总权最小的道路。即求满足
标号,对 v j 的 T 标号进行如下的更改:
T (v j ) = min[T (v j ), p (vi ) + lij ]
(3)比较所有具有 T 标号的点,把最小者改为 P 标号,即:
P (v j ) = min[T (v j )]
当存在两个以上最小者时,可同时改变为 P 标号。若全部均为 P 标号则停 止。否则用 v j 代替 vi ,转回(2) 。
X ∪Y = V, X ∩Y = φ
,使得 E 中每一条边的两个端点必有一个
端点属于 X ,另一个端点属于 Y ,则称 G 为二部图(偶图) , 记作: G = ( X , Y , E ) 。
以点 v 为端点的边数叫做顶点 v 的次(度) ,记作:
deg(v) (d (v)) 。
图与网络的概念
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中,次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G = (V , E ) 和图 H = (V ′, E ′) ,若 V ′ ⊂ V且E ′ ⊂ E ,则 子图,记作: H ⊂ G ;特别的,当 V ′ = V 时, 称 H 是 G 的子图 子图 称 H 为 G 的生成子图 生成子图。 生成子图
【例6-8】中国邮路问题 一个邮递员,负责某一地区的信件投递。 他每天要从邮局出发,走遍该地区所有街 道再返回邮局,问应如何安排送信的路线 可以使所走的总路程最短?用图论的语言 描述:给定一个连通图,每边有非负权, 要求一条回路过每边至少一次,且满足总 权最小。
第二节 最短路径问题
• Dijkstra算法 • Floyd算法
设有向图 G = (V , E ) , G 的每一条边 (vi , v j ) 上的非负数 cij 称为边的容量,在 V 中指定了一点称为发点(记为 vs ) ,指定 了另一点称为收点(记为 vt ) ,其余的点为中间点,这样的网 络 G 称为容量网络,记作: G = (V , E , C ) 。
对任意 G 中的边 vi , v j 有流量 f ij ,称集合 f = f ij 为 G 的一个流。 称满足下列条件的流为可行流。 (1)容量限制条件:对 G 中每条边 vi , v j ,有 0 ≤ f ij ≤ cij 。 (2)平衡条件:对中间点 vi ,有 资的流入量与流出量相等) 。 对收、发点 ut , us ,有
一个有向图 G 是指一个有序二元组 (V (G ), E (G )) ,其中 有序对的集合; V (G ) 是一个非空集合, E (G ) 是 V (G ) 中元素的有序对 有序对 简写为 G = (V , E ) 。 V (G ) 称为图 G 的顶点集, (G ) 称为 G 的边集, E
当边 ek
算法基本步骤为: (1)输入边权矩阵 D (0) = D ; (2)计算 D 其中 lij
(k )
(k )
( = (lijk ) )n×n , (k = 1, 2,3, 4,L, n),
( ( ( = min[lijk −1) , likk −1) + lkjk −1) ] ; (n) ( ( = (lijn ) ) n×n 中元素 lijn ) 就是 vi 到 v j 的最短路长。
+ −
则称 µ 为从 vS 到 vt 的(关于 f 的)可增广链。 可行流 f 是最大流的充要条件是不存在从 vS 到 vt 的(关于 f 的)可增 广链。
求最大流问题的标号法
• 将所有的点都标上号的过程(即寻找可 增广链的过程) • 调整过程(将能够调整的流量进行调整 的过程)
【例 6-12】某企业从配送中心 vs 向接货点 vt 送货,运输线路如图 6-14 所示,路 旁第一个数字是线路的最大通行能力,第二个数字是一个容许通行的流量。 现在 要求制定一个运输方案使从 vs 运到 vt 的货物数量最多。
【例6-6】公路连接问题 某一地区有若干个主要城市,现准备 修建高速公路把这些城市连接起来,使得 从其中任何一个城市都可以经高速公路直 接或间接到达另一个城市。假定已经知道 了任意两个城市之间修建高速公路的成本, 那么应如何决定在哪些城市间修建高速公 路,使得总成本最小?
【例6-7】指派问题 一家公司经理准备安排n名员工去完成 n项任务,每人一项。由于各员工的特点不 同,不同的员工去完成同一项任务时所获 得的回报是不同的。如何分配工作方案可 以使总回报最大?
第一节 图与网络的概念和模型
• 图与网络的概念 • 树 • 图与网络分析实例
图与网络的概念
一个无向图 G 是指一个有序二元组 (V (G ), E (G )) ,其中
V (G ) 是一个非空集合, E (G ) 是 V (G ) 中元素的无序对 无序对的集合; 无序对 V (G ) 称为图 G 的顶点集, (G ) 称为 G 的边集, E 简写为 G = (V , E ) 。
第六章
图与网络分析
图与网络的概念和模型 最短路径问题 最大流问题 最小费用流问题 运输路径优化应用
知识目标
• • • • • 掌握图与网络的概念和模型; 掌握求最小路径两种算法的计算过程; 掌握最大流算法; 掌握最小费用最大流方法; 了解图与网络分析在运输路径中的应用。
技能目标
• 能够结合实际情况建立图与网络模型; • 能够应用本章算法求最优运输路径。
(3) D
Floyd算法 算法
【例 6-11】 (物流中心选址问题)考虑在某城市建立物流配送网络。若各需求点 之间物流费用如图 6-13 所示,试对该网点布局选择最佳配送中心。
v2 1 2 v1 3 4 v4 6 7 v3 5 2
8
5
图 6-13 各需点及其物流费用
第三节 最大流问题
最大流问题是涉及怎样使得配送网络中物流量最大的问题
bij f ij < cij wij = +∞ f ij = cij −bij f ij > 0 w ji = +∞ f ij = 0
注:长度为 +∞ 的边可以从 W ( f ) 中略去。
寻求最小费用流算法的基本步骤: (1)取零流为初始可行流,即 f 0 = {0},置 k = 1 。 ( 2 ) 若 有 f ( k −1) , 构 造 赋 权 有 向 图 W ( f ( k −1) ) , 在
连通且不含圈的无向图称为树,树中次为 1 的点称为树叶 树 树叶,次 树叶 大于 1 的点称为支点 支点。 支点 图 T = (V , E ), V = n , E = m 等价的。 (1)T 是一个树。 (2)T 无圈,且 m =n-1。 (3)T 连通,且 m =n-1。 (4)T 无圈,但每加一新边即唯一一个圈。 (5)T 中任意两点,有唯一链相连 (6)T 连通,但每舍去一边就不连通。 ,则下列关于树的说法是
vt , µ 上的边,凡与 µ 同向称为前向边,凡与 µ 反向称为后向边,其集合分
别用 µ + 和 µ − 表示, f = { f ij } 是一个可行流,如果满足
0 ≤ f ij < cij cij ≥ f ij > 0
(v , v ) ∈ µ (v , v ) ∈ µ
i j i j
图与网络的矩阵表示
网络(赋权图)G = (V , E ) ,边 (vi , v j ) 有权 wij ,构造矩阵
A = (aij )n × n 其中:当 (vi , v j ) ∈ E 时 aij = wij ,否则为 0 ,
则称矩阵 A 为网络 G 的边权矩阵。 图 G = (V , E ) 中, V = n ,构造一个矩阵 A = ( a ij )n × n , 其中当 (vi , v j ) ∈ E 时 a ij = 1 ,否则为 0;称 A 图 G 的邻接 矩阵。
v2
(4,3)
v4
(3,3) (1,1) (1,1) (3,0)
(5,3)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6- 14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G = (V , E , C ) ,每一条边 (vi , v j ) ∈ E 上,除了已 给容量 cij 外,还给了一个单位流量的费用 bij ≥ 0 ,记此时的容 量网络为 G = (V , E , C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ,使流的 总运输费用 b( f ) =
【例 6-9】 (最短路问题)某物流公司要将一批产品从城市 v1 运到城市 v3 ,其中 经过的城市及城市间的距离见图 6-11,试求从 v1 到 v3 的最短路径。
v2 4 v1 5 v7 1 3 v5
2 7 v6 6 4 1 3
v3 2 v4 1 v8
图 6-11
城市及距离
Floyd算法 算法
L( µ ) =
( vi , v j )∈
∑ µl
ij
最小的 µ 。
Dijkstra算法 算法
算法的基本步骤: (1)给 vs 以 P 标号, P(vs ) = 0 ,其余各点均给 T 标号, T (vi ) = +∞ 。 (2)若 vi 点为刚得到 P 标号的点,考虑这样的点 v j: i , v j ) ∈ E ,且 v j 为 T (v
图与网络的概念
在无向图 G = (V , E ) 中, 若图 G 中某些点与某些边的交替序列可以排成 如下
(vi 0 , ei1 , vi1 , ei 2 L , vik −1 , eik , vik )
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