二次函数2抛物线
二次函数与抛物线
二次函数与抛物线二次函数与抛物线是高中数学中一个重要的概念。
在数学中，二次函数是一种形式为 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，并且a ≠ 0。
而抛物线则是二次函数图像的一种特殊形式，具有对称轴。
本文将就二次函数和抛物线的定义、性质以及应用进行探讨。
一、二次函数的定义和性质二次函数是一种函数形式简单但却非常重要的数学模型。
二次函数的定义如上所述，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
我们来看一下二次函数的一些性质。
1. 对称性：二次函数的图像关于直线 x = -b/2a 对称。
这条对称轴也被称为二次函数的轴线。
轴线将二次函数图像分为两部分，左右对称。
2. 函数值：对于给定的 x 值，代入二次函数的公式 f(x) 中可以得到相应的 y 值。
二次函数的函数值随 x 值的变化而变化。
3. 零点和顶点：二次函数与 x 轴相交的点称为零点，即使得 f(x) = 0 的点。
而二次函数的顶点则是图像的最高或最低点。
顶点的 x 坐标可通过公式 x = -b/2a 计算得到。
二、抛物线的定义和性质抛物线是二次函数图像的一种特殊形式，也是二次函数的一种特殊情况。
抛物线的定义可简单描述为一条对称轴，两侧开口且形状如同一个“U”。
1. 开口方向：抛物线开口的方向由二次函数中的系数 a 决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标即为二次函数的顶点坐标，其 x 坐标可通过公式 x = -b/2a 计算得到，y 坐标则为顶点在二次函数中的函数值。
3. 对称性：抛物线是关于轴线 x = -b/2a 对称的。
轴线将抛物线图像分为两部分，左右对称。
三、二次函数与抛物线的应用二次函数和抛物线在现实生活中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 物理学中的自由落体：当一个物体自由落体时，其下落的高度和时间之间的关系可以用二次函数来描述。
二次函数的应用(2)——抛物线型问题
∴水面宽度将增加 2 6 4米.
8．如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，OM 为 12 米．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)若在隧道 C，D 处装两个路灯，且路灯的高度为 4 米，求 C， D 之间的距离．
解：（1）由题意，得 M 12,0，P6,6
设抛物线的解析式为 y a x 62 6
设抛物线的解析式为 y a x 2 x 2
∵过点C(0,2)
∴2=a0 20 2
，a 1
2Байду номын сангаас
∴抛物线的解析式为y 1 x 2 x 2 ,即 y 1 x2 2
2
2
（2）由题意，得 1= 1 x2 2
2
解得 x1 6，x2 6
(1)求这条抛物线的函数关系式； (2)水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落在池 外？
（1）顶点 A1, 4
设抛物线的函数关系式为 y a x 12 4
∵过(0,3) ∴ 3=a 0 12 4 ∴ a 1
∴抛物线的函数关系式为 y x 12 4
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第二章 二次函数
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
一、知识储备
1．求抛物线 y＝x2－8x 与 x 轴的交点坐标． 解：令 y 0 ，得 0=x2 8x 解得 x1 0，x2 8
∴该抛物线与x轴的交点坐标为0，0，8，0
2．抛物线的顶点为(6,3)且过点(0,0)，求它的解析式．
(2)当 x＝9 y＝－112(9－6)2＋3＝2.25＜2.5 ∴射中球门
5．(例 2)如图，铅球在 A 点被推出，出手时球离地面 1 米， 铅球飞行轨迹是抛物线，当铅球飞行的水平距离为 4 米时达到最高 点 B，最高点离地面 3 米．
二次函数与抛物线的性质
二次函数与抛物线的性质二次函数和抛物线是数学中非常重要的概念，它们在代数学和多个其他领域中都发挥着重要作用。
本文将探讨二次函数和抛物线的性质，包括定义、图像、方程、顶点、对称轴、焦点、直线的切线以及解析几何应用等内容。
一、二次函数的定义二次函数是一个以x的二次方为最高次数的代数函数，其一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a不等于零。
二次函数的图像是一条抛物线。
二、抛物线的定义抛物线是一个平面曲线，其形状类似于抛物体的横截面，因此得名。
抛物线可以通过平移和缩放二次函数的图像得到，具有对称性。
三、二次函数和抛物线的图像二次函数的图像是一条平滑的曲线，而抛物线则是曲线的一种特殊形式。
它们都具有对称性，即关于y轴或x轴对称。
四、二次函数和抛物线的方程二次函数的一般方程为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数。
抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数。
五、二次函数和抛物线的顶点二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，可以通过解析几何的方法求解。
抛物线的顶点是曲线的转折点，也就是对称轴与抛物线的交点。
六、二次函数和抛物线的对称轴二次函数的对称轴是图像的对称轴，也就是通过顶点并垂直于x轴的一条直线。
抛物线的对称轴是图像的对称轴，也就是通过顶点的垂直于x轴的一条直线。
七、二次函数和抛物线的焦点焦点是一条抛物线上到定点距离与到定直线距离之比为常数的点。
对于二次函数和抛物线来说，焦点的坐标可以通过求解方程得到。
八、二次函数和抛物线的切线二次函数和抛物线的切线是曲线在某点的切线，它与曲线仅有一个交点。
切线的斜率可以通过求导得到。
九、解析几何应用二次函数和抛物线在解析几何中有广泛的应用。
例如，通过研究二次函数和抛物线的方程、顶点、对称轴以及切线等性质，可以帮助解决与曲线相关的几何问题。
综上所述，二次函数和抛物线是数学中重要的概念，其性质包括定义、图像、方程、顶点、对称轴、焦点、切线等。
二次函数 2
二次函数知识回顾1、二次函数的三种形式（1）一般式：y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 均为常数）；（2）顶点式：y=a(x －h)2＋k [a ≠0，对称轴为x=h,（h ，k ）为顶点坐标]；（3）交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) [a ≠0；(x 1，0)和(x 2，0)为抛物线与x 轴的两个交点]。
注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。
2、二次函数的性质：（1）、二次函数的图象：总平行于y=ax 2的一条抛物线。
（2）、开口方向：a>0， 抛物线开口向上，并向上无限延伸。
a<0， 抛物线开口向下，并向下无限延伸； 开口大小由a 决定，a 大开口小，a 小开口大。
（3）、对称轴：x=ab 2- （4）、顶点坐标：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22。
（5）、抛物线与坐标轴的交点坐标：可总结为公式，也可按照与y 轴有交点x=0，与x 轴有交点y=0 ,然后 解方程即可。
（6）、增减性：以对称轴为界限，左右两部分增减性不相同，增减性可看右方箭头。
3、最值（1）a>0时，当4ab 4ac y 22-=-=最小时，a b x （2）a<0时，当4ab -4ac y 22=-=最大时，a b x 特别地当c=0时，抛物线过原点，反之也成立。
4．抛物线与x 轴的位置关系（1）Δ=b 2-4ac<0，抛物线与x 轴无交点。
（2）Δ=b 2-4ac=0，抛物线与x 轴只有一个交点，交点坐标为（ab 2-，0） （3）Δ=b 2-4ac>0,抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标为（a ac b b 242-±-，0） 5、抛物线与x 轴两交点之间的距离若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个 根，故a c x x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221216、抛物线与一次函数或反比例函数相交一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y b kx y 2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点；②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点。
二次函数知识点总结
一、 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数二、 图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
三、 性质1，对称轴是直线a b x 2-=，顶点是），（ab ac a b 4422--.2，a 、b 、c 系数与图像抛物线的关系① 当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； 当当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.② b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.记忆方法：左同右异③ c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.四、解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.（已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ）（2）顶点式：()k h x a y +-=2.（已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ）a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++= （一般式配方法可得顶点。
）（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. （4）对称点式：已知图像上两对称点（1x ，y ），（2x ，y ） 那么解析式为()()21x x x x a y --=+y要熟练运用，明白什么情况下用什么样的解析式。
九年级数学二次函数的图象和性质
练习三 知识应用
例1.说出下列抛物线的开口方向、 说出下列抛物线的开口方向、 说出下列抛物线的开口方向
顶点坐标： 对称轴及 顶点坐标： (2)y=4(x（1）y=-3(x-1)2 (2)y=4(x-3)2 (3)y=2(x+3)2 y=-3(x解(1)∵a=-3<0 ∴开口向下 (1)∵a=对称轴: 对称轴: 顶点: 顶点: 直线 x= 1 (1， (1，0)
是k 是k
y=ax2+k
a＜0
向下
（0 , k） 最大值 ）
回顾： 回顾：抛物线 y = x +1 是由抛物线 y = x 2 轴怎样移动得到的？ 沿y轴怎样移动得到的？抛物线 y = x −1 呢？ 2 y = x +1 y 2 y=x 7 2 y = x −1 6
2
5 4 3 2 1 -4 -3
2.二次函数y=ax2、y=ax2+k的性质有哪 二次函数y=ax 二次函数 请填写下表： 些？请填写下表：
函数
开口方向
对称 顶 点 y的 轴 坐 标 最值
Y轴 轴 Y轴 轴 Y轴 轴 Y轴 轴 （0 ，0） 是0 ）
是0 最小值
a＞0
向上 向下
y=ax2
a＜0 a＞0
向上
（0 , 0） 最大值 ） （0 , k） 最小值 ）
o
-1 -2 -3 -4 -5
1
2
3
4
5x
探究2:抛物线 y=探究2:抛物线 y=-(x+1)2 是由抛物线 y=-x2 2: y=轴怎样移动得到的？ y=-(x- 呢 沿x轴怎样移动得到的？抛物线 y=-(x-1)2？
y
1 -4 -3 -2 -1
o
《二次函数抛物线的性质》知识点整理
《二次函数抛物线的性质》知识点整理1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x 轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a 要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a 要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ=b^2;-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f=4ac-b?/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c7.特殊值的形式①当x=１时y=a+b+c②当x=-1时y=a-b+c③当x=2时y=4a+2b+c④当x=-2时y=4a-2b+c8.定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a^2+k[顶点式]此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=/4a；③y=a[交点式（双根式）]（a≠0）对称轴X=/2当a>0且X≧/2时，y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一1．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
2．关于，，的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 4．在抛物线上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ） A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥0 5．对于抛物线与下列命题中错误的是（ ） A ．两条抛物线关于轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称 C ．两条抛物线各自关于轴对称 D ．两条抛物线没有公共点 6．抛物线y=－b ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
7．抛物线y=－－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
8．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（1，3）C ．（1，3）D ．（1，3）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ） A ．y=3－2 B ．y=3＋22y ax =213y x =2y x =23y x =2y x =2y x =-2y x =-2y x =2y x =-x y 2x 21(2)2x +22(1)3y x =+-------2(1)x -2(1)x +C ．y=3－2D ．y=－3－210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）A ．y=a ＋3B ．y=a －3C ．y=a ＋3D ．y=a －3 11．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）12．对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（ ） A ．抛物线的形状相同 B ．抛物线的顶点相同 C ．抛物线对称轴相同 D ．抛物线的开口方向相反13．函数y=a ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）14．化为y=为a 的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
二次函数与抛物线知识点
二次函数与抛物线知识点二次函数与抛物线是高中数学学科中的一个重要知识点。
在学习这个知识点之前，我们首先需要了解什么是二次函数和抛物线。
一、二次函数二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a≠0。
二次函数的图像是一条平滑的曲线，通常呈现出对称的形状。
在二次函数中，x的平方项是关键，它使得函数的图像不再是一条直线，而是弯曲的曲线。
二次函数的图像可以分为以下几种情况：1. 当a>0时，函数的图像开口向上，称为上凹的抛物线。
2. 当a<0时，函数的图像开口向下，称为下凹的抛物线。
二、抛物线抛物线是一种特殊的曲线，具有对称性。
它的图像可以是上开口或下开口的形状。
在二次函数中，抛物线是二次函数图像的特例，即a≠0的二次函数。
抛物线的图像可以分为以下几种情况：1. 上开口的抛物线，即顶点向上的抛物线。
2. 下开口的抛物线，即顶点向下的抛物线。
3. 横向的抛物线，通常称为平行于坐标轴的抛物线。
三、二次函数与抛物线的性质1. 二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的坐标可以用一些特定的公式进行计算。
2. 如果二次函数的a值为正数，则函数的图像开口向上，顶点为最低点；如果二次函数的a值为负数，则函数的图像开口向下，顶点为最高点。
3. 抛物线在y轴上有一个焦点，可以通过计算得到。
此外，焦点对于描述抛物线的几何性质很重要，也是解决与抛物线相关问题的关键。
4. 对于二次函数和抛物线来说，对称轴是很重要的概念，它是抛物线图像的对称轴，可以通过计算得到。
总结：二次函数与抛物线是数学中的重要概念，它们在数学中有着广泛的应用和意义。
通过学习二次函数和抛物线，我们可以更好地理解和解决与它们相关的各种数学问题。
因此，掌握二次函数与抛物线的知识点对于我们的学业和数学素养的提升至关重要。
二次函数与抛物线
二次函数与抛物线二次函数与抛物线在数学中是两个非常重要的概念。
它们都属于二次曲线的一种，具有许多相似的性质和特点。
本文将从定义、图像、性质和应用等方面来介绍二次函数与抛物线。
一、二次函数的定义与图像二次函数是指一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。
二次函数的图像是一条平滑的曲线，形状可以是开口向上或开口向下。
开口向上的二次函数在顶点处取得最小值，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值。
二、抛物线的定义与图像抛物线是指平面上一类特殊的曲线，具有横轴对称性。
它的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a不等于零。
抛物线的图像可以是开口向上或开口向下，具体形状取决于a的正负。
开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值。
三、二次函数与抛物线的性质1. 顶点：对于二次函数和抛物线而言，顶点是最重要的点之一。
它代表了函数的最值所在位置。
顶点的横坐标可以通过x = -b/2a来求得，纵坐标可以将横坐标代入函数表达式中求得。
2. 对称轴：二次函数和抛物线都具有关于对称轴对称的性质。
对称轴是垂直于横轴并通过顶点的一条直线，方程为x = -b/2a。
3. 开口方向：二次函数和抛物线的开口方向由二次项系数a的正负来决定。
当a大于零时，开口向上；当a小于零时，开口向下。
4. 零点：对于一般的二次函数和抛物线来说，求解零点对应于函数的解或者交点的横坐标值。
可以通过将函数表达式置零然后求解得到。
5. 判别式：二次函数和抛物线的判别式D是指b^2-4ac的值，它可以用来判断函数的图像和性质。
当D大于零时，函数有两个不同的实根，图像与横轴有两个交点；当D等于零时，函数有一个重根，图像与横轴有一个交点；当D小于零时，函数无实根，图像与横轴无交点。
四、二次函数与抛物线的应用1. 物理学：二次函数和抛物线可以描述物体的运动轨迹、抛物线的飞行轨迹等。
二次函数知识点
二次函数知识点- 1 - 二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对- 2 - 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线 a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③011.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).- 3 - （2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组c bx ax y nkx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121 第二部分典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0 第２,３题图第4题图- 4 - ３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（Ｄ） D2482,484EF x EF x yx x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ． 6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x －，其中所有正确的结论是①③④ （只需填写序号）． 7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102. （1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y 将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b+++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；- 5 - 第9题（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a故所求的解析式为:322--=x x y .（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时，输入值x 的取值范围是1-x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），- 6 - 由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，a x 342-=．∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a 34-，0）．∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a ．∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°．由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ．解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=．∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°．由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=a a a ．解得 94=a ．当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+a a a ．解得 94=a ．不合题意．综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.- 7 - （1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且△MNC 的面积等于27，试求m 的值. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 .（2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) .∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 .∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴a = .这时M 、N 到y又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴2×12×（2－m∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2．∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．- 8 - （2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）．设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小．∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小．∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0），∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．- 9 - ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－消去0y ，得03x 23x 020＝＋+．∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小．解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ．∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）．∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线 a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3．∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．- 10 - （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛-4921，．（2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ．∴ 323-=t h ，其中221<1432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<⎫⎝⎛-45232，P ．设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ． 222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：251=m ，12-=m （舍去）．∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛47251，P ．- 11 - ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1．∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．- 12 -（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ．因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上，所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209，所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE ．因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号．或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根．∴ ac x x =⋅21．- 13 - 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝．所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－．∵ 34=AB ，∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝，∴ ax 321-＝，a x 322+＝．∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+．∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点．（1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(．又∠COD ＝∠CBO ．∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点．∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ．- 14 - 连结OE ．∴ 3==OE EC ．∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）．（2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）．∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ．∴ x x y 8329322-=为所求．（3）∵ 33tan =∠BAO ，∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°．由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ．∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即PA ⊥AB ．即直线PA 是⊙E 的切线．。
2抛物线(二次函数)中的直角三角形
抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为直角三角形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。
（2）AB 为直角边时，分两类讨论：①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）：②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
典型例题：例1、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS∠BCO＝10。
（1）求抛物线的解析式；(2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；(3)过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ ?（2009年成都）例2、如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==．（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；（III ）直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值．例3、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （－1，0），如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B 。
抛物线的方程都是二次函数
我们要判断“抛物线的方程都是二次函数”这个陈述是否正确。
首先，我们需要理解什么是抛物线和二次函数。
抛物线是一种二次曲线，它的方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 是常数，且a ≠ 0。
二次函数则是指形式为 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a, b, c 是常数，且a ≠ 0。
现在，我们要判断所有的抛物线方程是否都是二次函数。
根据定义，所有的抛物线方程都可以表示为 y = ax^2 + bx + c 的形式，其中 a, b, c 是常数，且a ≠ 0。
因此，所有的抛物线方程都是二次函数。
所以，“抛物线的方程都是二次函数”这个陈述是正确的。
二次函数抛物线开口大小与a的关系
一、概述二次函数是高中数学中重要的内容之一，而其中的抛物线开口大小与参数a之间的关系也是一个常见的研究课题。
通过对二次函数的数学表达形式以及图像特点的分析，可以清晰地展现抛物线的开口大小和参数a之间的关系。
本文将对此进行深入探讨。
二、二次函数的一般形式和抛物线的开口方向二次函数一般形式为：y = ax^2 + bx + c其中a、b、c为常数，且a不等于0。
这里我们主要关注参数a对抛物线的开口大小所造成的影响。
首先我们需要了解二次函数图像的一般形态。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
这是由于a的正负决定了二次函数中x^2的正负，进而影响了整个函数的凹凸性质。
三、参数a与抛物线开口大小的关系1. 当a大于0时当a大于0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的抛物线开口朝上。
这是因为a大于0时，二次项正，即把x^2项看作一个整体，整体是正的。
这样的话，整个二次函数图像就是开口朝上的。
实际表现为抛物线在y轴上方向上开口。
如图1所示。
2. 当a小于0时当a小于0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的抛物线开口朝下。
这是因为a小于0时，二次项负，即把x^2项看作一个整体，整体是负的。
这样的话，整个二次函数图像就是开口朝下的。
实际表现为抛物线在y轴下方向上开口。
如图2所示。
四、参数a绝对值的大小与抛物线的开口大小的关系1. 当|a|大于1时当|a|大于1时，二次函数y = ax^2 + bx + c的高低曲线会变得更为陡峭。
当|a|越大时，抛物线的开口越小，抛物线越尖锐。
如图3所示。
2. 当0小于|a|小于1时当0小于|a|小于1时，二次函数y = ax^2 + bx + c的高低曲线会变得更为平缓。
当|a|越小时，抛物线的开口越大，抛物线越平缓。
如图4所示。
五、结论通过以上分析可得出结论：参数a对二次函数抛物线的开口大小有着直接的影响。
当a的绝对值越大时，抛物线的开口越小；而当a的绝对值越小时，抛物线的开口越大。
抛物线二级结论大全及证明过程
抛物线二级结论大全及证明过程抛物线二次函数的结论与其定义是密切相关的。
可以用如下方式表示：y = ax² + bx + c。
这里，a, b和c分别表示抛物线二级方程中常量项的值。
二级抛物线结论大全包括：1、抛物线的颠倒是具有相同的性质的，这意味着它的定义相同。
因此，当a>0时，抛物线的极值点将在抛物线的两端，当a<0时，抛物线的极小值点将在抛物线的两端。
2、抛物线两端拐点的坐标可以通过抛物线方程中常量项的值来求出：x=-b/2a y=ax²+bx+c。
3、抛物线的最大值或最小值（根据a的符号而定）可以通过计算出来：y=ax²+bx+c。
4、抛物线的斜率在拐点处为零，在拐点附近都是正斜率，表达式为：m=-b/2a。
5、抛物线的离心率（eccentricity）可以通过a的绝对值计算得到：e²=1-(b²/4ac)。
6、抛物线的偏心率可以通过它的离心率求出：e=|a|/c。
证明过程：1、由于抛物线的定义是y = ax² + bx + c，因此当a>0时，抛物线的极值点将在抛物线的两端，而当a<0时，抛物线的极小值点将在抛物线的两端。
可以这样证明：抛物线定义式中，如果a>0，那么此抛物线函数图像上升，即图像呈正偏态，抛物线的极值点将在两端；如果a<0，则反之，此抛物线函数图像下降，即图像呈负偏态，抛物线的极小值点将在两端。
2、抛物线两端拐点的坐标可以通过抛物线方程中常量项的值来求出，即：x=-b/2a y=ax²+bx+c。
可以这样证明：由抛物线方程可知，抛物线在x = -b/2a处可以得到拐点，将x代入抛物线方程即可得到拐点的坐标。
3、抛物线的最大值或最小值（根据a的符号而定）可以通过计算出来：y=ax²+bx+c。
可以这样证明：由抛物线方程可知，当a>0时，抛物线的最大值位于抛物线的两端，此时可以求出抛物线的最大值；当a<0时，抛物线的最小值位于抛物线的两端，此时可以求出抛物线的最小值。
二次函数与抛物线的性质
二次函数与抛物线的性质二次函数和抛物线是高中数学中经常遇到的概念，它们在几何和应用问题中有着重要的应用。
本文将探讨二次函数和抛物线的性质，包括定义、图像特征、性态以及与实际问题的关联。
一、二次函数的定义与图像特征二次函数是指函数关系式中含有二次项的函数，通常表示为f(x) =ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像在平面直角坐标系中通常呈现为一条平滑的曲线，这个曲线就是抛物线。
抛物线可以开口朝上或朝下，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
此外，抛物线在顶点处具有最值，当a>0时，顶点为最小值；当a<0时，顶点为最大值。
二、二次函数与抛物线的性态1. 单调性二次函数的单调性与二次项系数a的正负直接相关。
当a>0时，二次函数递增；当a<0时，二次函数递减。
这是因为二次函数的图像呈现出一种弯曲的形状，开口朝上时，越往右侧越大；开口朝下时，越往右侧越小。
2. 零点二次函数的零点是指函数取值为零的x的取值，也就是方程f(x)=0的解。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c来说，它的零点可以通过解二次方程ax² + bx + c = 0来求得。
当二次方程有实数解时，即存在零点；当二次方程没有实数解时，零点不存在。
3. 对称轴抛物线的对称轴是指将抛物线分成两部分的一条直线。
对称轴与二次项系数a有关，其方程为x = -b / (2a)。
这条直线与抛物线图像呈现镜像关系，具有对称性质。
三、二次函数与抛物线的应用1. 物体运动模型抛物线的运动轨迹常用来描述物体的运动，如跳伞运动员的下落轨迹、抛射体的飞行轨迹等等。
通过建立适当的二次函数模型，可以预测和分析物体的运动特征，为相关问题提供解决方案。
2. 最优解问题由于抛物线具有最值的特点，因此在实际问题中，可以利用二次函数的性质来求解最优解问题。
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二次函数（2）抛物线
学习目标：
1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养观察、思考、归纳的思维重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象
难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。
学习准备:
1、二次函数的定义要点
2、二次函数的一般表达式
3、圆的半径是R，它的面积为S，你能否写出S与R之间的函数关系式
4．已知一个矩形场地的周长是60，一边长为l，请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式．
5、一次函数的图象是你还记作图的步骤吗？
教学过程：
一、范例
例1、画二次函数y=x2的图象。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
①自变量x的取值范围是什么？
②要画这个图，你认为x取整数还是取其它数较好？
③看x2，它是一个数的平方形式，它的结论与x的值有
什么关系？
x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …
y ……
中描点。
①在画坐标系时x轴的正、负半轴和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长？
②怎样画就可以了呢？
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?
它有对称轴，且对称轴和图象有交点。
开口方向：
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
三、做一做，分组讨论。
交流
1．在同一直角坐标系中，画出y=-x2的图象，观察并比较这个图象与函数y=x2，你发现有什么共同点？又有什么区别?
2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?
3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?
四、归纳、概括
函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2及y＝2x2、
y=-2x 2的图象的共同特点，可猜想：
函数y=ax 2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。
观察y ＝x 2、y ＝2x 2的图象，填空；
当a>0时，抛物线y=ax 2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
观察下图，回答以下问题；
(1)X A 、X B 大小关系如何?是否都小于0？
(2)y A 、y B 大小关系如何?
(3)X C 、X D 大小关系如何?是否都大于0?
(4)y C 、y D 大小关系如何?
(X A <X B ，且X A <0，X B <0；y A >y B ；X C <X D ，且X C >0，
X D >0，y C <y D )
函数y ＝ax 2性质：
当X<0时，函数值y 随着x 的增大而______，当X>O 时，函数值y 随X 的增大而______；当X ＝______时，函数值y=ax 2 (a>0)取得最小值，最小值y=______ 观察函数y ＝-x 2、y=-2x 2的图象，试作出类似的概括：
当a<O 时，抛物线y ＝ax 2有些什么特点?它反映了当a<O 时，函数y=ax 2具有哪些性质?讨论、交流。
当a<O 时，抛物线y=ax 2开口 ，在对称轴的左边，曲线 ；在对称轴的右边，曲线 ，顶点在物线上位置最 的点。
课堂小结：（理解并记忆）
1．如何画出函数y=ax 2的图象? 2．函数y ＝ax 2具有哪些性质?
五、课堂练习：
1.函数y =ax 2
(a ≠0)的图象与a 的符号有关的是
A.顶点坐标
B.开口方向
C.开口大小
D.对称轴 2．在同一直角坐标中分别作出抛物线y=4x 2与y ＝- 4
1 x 2的图像，并说明开口方向，对称轴与顶点坐标．
3.函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为
A.±2
B.－2
C.2
D.3
4.在图4中，函数y =－ax 2与y =ax +b 的图象可能是
x y x y x
y x y O O O O 5．已知二次函数y=m ·x m2+m。
当m 取何值时，它的图象开口向上． 6．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.
(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;
(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？。