二次函数与特殊四边形综合问题专题训练(有答案)

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二次函数中动点及特殊四边形综合问题解析及训练

二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练一、知识准备:n物线与直线形的结合表形式之一是，以搪物线为载体，探时是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的根本形式(1J搪物线上的点能否构成平行四边形〔2〕搪锄线上的点能否相成矩形，菱形，正方形(3)搪物线上的点能否成成梯形。

特珠四边形的性质与是解决这类问题的根底，而待定系数法，数形结合，分类时论是解决这类问题的关键二、二题精析(一)【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、如图，他枷线y = —/+公+。

与直线y = J%+2交于C,。

两点，其中点。

在丁轴上,7点。

的坐标为(3,—)。

点P是y轴右倒的抛物线上一就点，过点P作PEJ_x轴于点E,交2CD于点尸.(1)求槌物线的解析式；〔2〕假设点P的横坐标为机，当初为何值时，以O,C,P,尸为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

〔3〕假设存在点P,使/PCF = 45。

，请直接写出相应的点P的坐标【解答】〔1〕∙.∙直线y = Jx+2经过点C,.∙.C(0,2)7∙.∙搪物线y = —炉+瓜+c经过点C(0,2), D (3,-)2 = c [ 7b =一/. 7 , ，〈 2—=—32 + 3/7 + c c〔2 〔。

= 27他物线的解析式为y = -∕+]χ+2〔2〕∙.∙点P的横坐标为团且在地物线上7 19.∙. P(m, 一"Γ + —m÷2), F(m, — m + 2)∙.∙p/〃 C。

，.•.当相=CO时，以。

,C,P,b为顶点的四边形是平行四边形7 1① 当0 v〃z<3 时，PF = -m2 + —m + 2-(-m + 2) = -m2 +3m2 2.∙. -m2 + 3/7? = 2 ,解得：m l=l,m2=2即当〃2 = 1或2时，四边形0。

尸是平行四边形1 7② 当m≥3 时，PF - (―m + 2)-(-m2 + — m + 2) = m2 -3m2 27 o _ ⅛tn ZB 3 + Jl 7 3 —∖∣17 r . ."r -3m= 2 ,解得：m1= ---,m, =--—〔舍去〕2-2即当叫二三普时，四边形OCFP是平行四边形〔3〕如图，当点P在。

2023年九年级中考数学专题练习——二次函数与特殊的四边形(附答案)

中考专题练习——二次函数与特殊的四边形1．如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．2．如图，已知直线y=﹣12x+2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=﹣212x+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．（1）求该抛物线的表达式；（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠DBA=∠CAO，求点D的坐标．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，且点B的坐标为（3，0），点E的坐标为（2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点G为抛物线对称轴上的一个动点，H为x轴上一点，当以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G、H的坐标；（3）设直线AE与抛物线对称轴的交点为P，M为直线AE上的任意一点，过点M作MN∥PD 交抛物线于点N，以P、D、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求点M的坐标；若不能，请说明理由．6．如图，抛物线y═﹣1x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，30），点C的坐标为（0，5）．有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠10Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与x轴交两点A（﹣1，0），B（3，0），过点A作直线AC与抛物线交于C 点，它的坐标为（2，﹣3）．（1）求抛物线及直线AC的解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A，C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E 点，点E与点A、C围成三角形，求出△ACE面积的最大值；（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，如果不存在，请说明理由．8．如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC=16．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的解析式及其对称轴；（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S正方形DEFG．9．如图，抛物线y=nx2﹣3nx﹣4n（n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），且抛物线与y轴交于点A．（1）点B的坐标为，点C的坐标为；（2）若∠BAC=90°，求抛物线的解析式．（3）点M是（2）中抛物线上的动点，点N是其对称轴上的动点，是否存在这样的点M、N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA 匀速运动，同时动点Q从点A2/cm s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为他t(s)．（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．11．如图①，直线y＝kx+2与坐标轴交于A、B两点，OA＝4，点C是x轴正半轴上的点，且OC＝OB，过点C作AB的垂线，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）求抛物线函数关系式；（2）如图②，点P是射线BA上一动点（不与点B重合），连接OP，过点O作OP的垂线交直线CD于点Q．求证：OP＝OQ；（3）如图③，在（2）的条件下，分别过P、Q两点作x轴的垂线，分别交x轴于点E、F，交抛物线于点M、N，是否存在点P的位置，使以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交A（﹣1，0），B两点，与y 轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为点E．(1)求抛物线的解析式；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当点P运动到点E时，求△PCD的面积；(3)点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣4ax+c与直线y=kx+1（k≠0）交于y轴上一点A和第一象限内一点B，该抛物线顶点H的纵坐标为5．（1）求抛物线的解析式；，求k的值；（2）连接AH、BH，抛物线的对称轴与直线y=kx+1（k≠0）交于点K，若S△AHB=214（3）在（2）的条件下，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（如图2），连接PA．当∠PAB=45°时，ⅰ）求点P的坐标；ⅱ）已知点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，当四边形PBMN 为平行四边形时，请求出点M 的坐标．15．如图，已知抛物线21322y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴交于点E ，若AE:ED ＝1:4，求n 的值.16．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PF=3PE ，求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；AB向点B运动，点Q从点C出（2）点P从点A发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．18．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．19．抛物线2y ax bx c=++经过点A（-1,0）、B（4,0），与y轴交于点C（0,4）.(1)求抛物线的表达式；(2)点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP 的面积，求P点坐标；(3)在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q,该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）、B（﹣24，0），与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BD，点P在抛物线的对称轴上，以Q为平面内一点，四边形PBQD能否成为矩形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由；（3）在抛物线上有一点M，过点M、A的直线MA交y轴于点C，连接BC，若∠MBO=∠BCO，请直接写出点M的坐标．参考答案：1．（1）y=﹣38x2+34x+3；D（1，278）；（2）P（3，158）．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），将点C（0，3）代入可求得a的值，将a的值代入可求得抛物线的解析式，配方可得顶点D的坐标；（2）画图，先根据点B和C的坐标确定直线BC的解析式，设P（m，-38m2+34m+3），则F（m，-34m+3），表示PF的长，根据四边形DEFP为平行四边形，由DE=PF列方程可得m的值，从而得P的坐标．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将点C（0，3）代入得：﹣8a=3，解得：a=﹣38，y=﹣38x2+34x+3=﹣38（x﹣1）2+278，∴抛物线的解析式为y=﹣38x2+34x+3，且顶点D（1，278）；（2）∵B（4，0），C（0，3），∴BC的解析式为：y=﹣34x+3，∵D（1，278），当x=1时，y=﹣34+3=94，∴E（1，94），∴DE=278-94=98，设P（m，﹣38m2+34m+3），则F（m，﹣34m+3），∵四边形DEFP是平行四边形，且DE∥FP，∴DE=FP，即（﹣38m2+34m+3）﹣（﹣34m+3）=98，解得：m1=1（舍），m2=3，∴P（3，158）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，利用方程思想列等式求点的坐标，难度适中．2．（1）213222y x x =++；（2）4；（3）（﹣5，﹣18）或（3，2）．【分析】（1）根据直线解析式求出点B 、C 的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可；（2）设M （m ，-12m+2），则N （m ，-12m 2+32m+2），则MN=（-12m 2+32m+2）-（-12m+2）=-12m 2+2m ，根据MN=OC=2列方程可得M 的横坐标，根据平行四边形的面积公式可得结论；（3）分两种情况：①当D 在x 轴的下方：根据AC ∥BD ，直线解析式k 相等可设直线BD 的解析式为：y=2x+b ，把B （4，0）代入得直线BD 的解析式为：y=2x-8，联立方程可得D 的坐标；②当D 在x 轴的上方，根据对称可得M 的坐标，利用待定系数法求直线BM 的解析式，与二次函数的交点，联立方程可得D 的坐标．【解析】（1）当x=0时，y=2，∴C （0，2），当y=0时，﹣12x+2=0，x=4，∴B （4，0），把C （0，2）和B （4，0）代入抛物线y=﹣212x +bx+c 中得：22{14402c b c =-⨯++=，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴该抛物线的表达式：y=213222x x -++；（2）如图1，∵C （0，2），∴OC=2，设M （m ，﹣12m+2），则N （m ，213222m m -++）， ∴MN=（21322m m -++2）﹣（﹣12m+2）=﹣12m 2+2m ， ∵MN ∥y 轴，当四边形OMNC 是平行四边形时，MN=OC ，即﹣12m 2+2m=2，解得：m 1=m 2=2，∴S ▱OCMN =OC×2=2×2=4；（3）分两种情况：当y=0时，﹣21322x x ++2=0，解得：x 1=4，x 2=﹣1，∴A （﹣1，0），易得直线AC 的解析式为：y=2x+2，①当D 在x 轴的下方时，如图2，∵AC ∥BD ，∴设直线BD 的解析式为：y=2x+b ，把B （4，0）代入得：0=2×4+b ，b=﹣8，∴直线BD 的解析式为：y=2x ﹣8，则2x ﹣8=21322x x -++2，解得：x 1=﹣5，x 2=4（舍）， ∴D （﹣5，﹣18）；②当D 在x 轴的上方时，如图3，作抛物线的对称轴交直线BD 于M ，将BE （图2中的点D ）于N ，对称轴是：x=﹣3212()2⨯-=32， ∵∠CAO=∠ABE=∠DAB ，∴M 与N 关于x 轴对称，直线BE 的解析式：y=2x ﹣8，当x=32时，y=﹣5， ∴N （32，﹣5），M （32，5），直线BM 的解析式为：y=﹣2x+8，﹣2x+8=﹣21322x x ++2，解得：x 1=3，x 2=4（舍）， ∴D （3，2），综上所述，点D 的坐标为：（﹣5，﹣18）或（3，2）．【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要有直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，两直线平行的关系，对称性等知识，（3）题有难度，采用分类讨论的思想解决问题．3．（1）（1，4）；（2）①点M 坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）；②m 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①根据tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，tan∠BDE=BEDE=12，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题．【解析】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得到9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4）；（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，∴tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），∴BE=2，∴tan∠BDE=BEDE=12，∵∠MBA=∠BDE，∴2233m mm-++-=12，当点M在x轴上方时，2233m mm-++-=12，解得m=﹣12或3（舍弃），∴M（﹣12，74），当点M在x轴下方时，2233m mm---=12，解得m=﹣32或m=3（舍弃），∴点M（﹣32，﹣94），综上所述，满足条件的点M坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）；②如图中，∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，当﹣m2+2m+3=1﹣m时，解得m，当﹣m2+2m+3=m﹣1时，解得m∴满足条件的m．【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．4．（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【解析】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴55-，∴Q55．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.5．（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）G（1，1），H（12，0），四边形CFHG的周长最小值5（3）M的坐标为：M（0，1117-317-117+317+．【分析】(1)根据抛物线上的两点列方程组求抛物线y=﹣x2+bx+c中的系数b和c，(2)根据题目的提示可以画出简图，然后表示出以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长，在根据表示出的线段就可以求出最短的周长，对应的点G、H的坐标也可得出；（3）根据题意可以分两种情况讨论，点N在点M的上方或者下方，然后设出点M，根据题目给出的条件是否能将P、D、M、N为顶点的四边形组成平行四边形，可以根据平行四边形对边相等来入手.【解析】（1）∵y=﹣x2+bx+c经过（3，0）和（2，3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为x=1．当y=0时，﹣x2+2x+3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0）．当x=0时，y=3，∴C（0，3）∴CE=2．OC=3如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F点I关于x轴对称，在x轴上取点H，连接HF、HI、HG、GC、GE、则HF=HI．∵抛物线的对称轴为x=1，∴点C点E关于对称轴x=1对称，∴CG=EG．设直线AE的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线AE的解析式为y=x+1．当x=0时，y=1，∴F（0，1），∴OF=1，CF=2．∵点F与点I关于x轴对称，∴I（0，﹣1），∴OI=1，CI=4．在Rt△CIE中，由勾股定理，得EI==2．∵要使四边形CFHG的周长最小，而CF是定值，∴只要使CG+GH+HF最小即可．∵CG+GH+HF=EG+GH+HI，∴只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小．设EI的解析式为y=k1x+b1，由题意，得，解得：，∴直线EI的解析式为：y=2x﹣1，∵当x=1时，y=1，∴G（1，1）．∵当y=0时，x，∴H（，0），∴四边形CFHG的周长最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2；（3）∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）∴直线AE的解析式为y=x+1．∴x=1时，y=2，∴P（1，2），∴PD=2．∵四边形DPMN是平行四边形，∴PD=MN=2．∵点M在AE上，设M（x，x+1），①当点M在线段AE上时，点N点M的上方，则N（x，x+3），∵N点在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得：x=0或x=1（舍去）∴M（0，1）．②当点M在线段AE或EA的延长线上时，点N在M的下方，则N（x，x﹣1）．∵N点在抛物线上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3，解得：x=或x=，∴M （，）或（，）．∴M 的坐标为：M （0，1）或（，）或（，）．【点评】本题是一道比较综合的解析几何题，涉及到了抛物线方程的求解和在动点的情况下对四边形周长的表示进行求最小周长，第三问考察了学生对动点问题的分类讨论能力，灵活运用平行四边形对边相等这个条件入手解题.6．（1）y=﹣13x2﹣23x +5，点A 的坐标是（﹣5，0）；（2）点Q 坐标（﹣4，73）；（3）以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为（﹣2，3）或（﹣23）或（﹣2，3）．【分析】(1)把点B 、C 的坐标代入函数解析式求出b 、c 的值，进而求出点A 的坐标即可;(2) 作FG ⊥AC 于G , 设点F 坐标（m ，0），根据sin ∠AMF=FG FM =; (3)分两种情况讨论①当MN 是对角线时；②当MN 为边时；解答即可.【解析】（1）∵抛物线上的点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，5）∴将其代入y═﹣13x 2+bx+c ，得 130{5b c c -++== ，解得b=﹣23，c=5．∴抛物线的解析式为y=﹣13x2﹣23x+5．∴点A的坐标是（﹣5，0）．（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），则AF=m+5，AE=EM=m+6，2m+5），2221(6)EF EM m+++∵sin∠10∴=10 FG FGFM FM==225)21(6)mm+++10整理得到2m2+19m+44=0，∴（m+4）（2m+11）=0，∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），∴点Q坐标（﹣4，73）．（3）①当MN是对角线时，点M在y轴的右侧，设点F（m，0），∵直线AC解析式为y=x+5，∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），∵QN=PM，∴﹣13m2﹣23m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5]，解得m=﹣3+6或﹣3﹣6（舍弃），此时M （﹣，，当MN 是对角线时，点N 在点A 的左侧时，设点F （m ，0）．∴m+5﹣（﹣13m 2﹣23m+5）=[﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5]﹣（m+6），解得m=﹣3，此时M （﹣2，3）②当MN 为边时，设点Q （m ，﹣13m 2﹣23m+5）则点P （m+1，﹣13m 2﹣23m+6）， ∵NQ=PM ，∴﹣13m 2﹣23m+6=﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5，解得m=﹣3．∴点M 坐标（﹣2，3），综上所述以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为（﹣2，3）或（﹣3+23）．【点评】本题考查了二次函数的综合题、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是会用待定系数法求解二次函数的解析式，会用分类讨论及方程的思想解决问题.7．（1）直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1；（2）S △ACE =278；（3）存在4个符合条件的F 点．【分析】（1）将A 、B 坐标代入y=x 2+bx+c ，利用待定系数法可求得二次函数解析式，设直线AC 的解析式为：y=mx+n ，将A 、C 坐标代入，利用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；（2）设点P 的横坐标为x （﹣1≤x≤2），则P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3），由S △ACE =12PE•|x C ﹣x A |，而|x C ﹣x A |的值是确定的，因此只要求得PE 的最大值即可；（3）分CG 与AF 平行、CF 与AG 平行，分别画出符合题意的图形，分别进行求解即可得.【解析】（1）将A （﹣1，0），B （3，0）代入y=x 2+bx+c ，得01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴y=x 2﹣2x ﹣3，设直线AC 的解析式为：y=mx+n ，将A 、C 坐标代入得032m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，解得：11m n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1；（2）设点P 的横坐标为x （﹣1≤x≤2），则P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3），∵点P在点E的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣12）2+94，∴当x=12时，PE的最大值为94，∴S△ACE=12PE•|x C﹣x A|=12×94×3=278；（3）①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，∵C（2，﹣3），G（0，﹣3）∴CG∥X轴，此时AF=CG=2，∴F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±73），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G 点代入后可得出直线的解析式为y=﹣7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（7，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4，0）；综合四种情况可得出，存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（0），F4（4，0）．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质等，综合性较强，熟练掌握待定系数法是解题的关键.8．（1）（0，8）；（2）y=23x2﹣163x+8，其对称轴为直线x=4；（3）4【分析】（1）由S△ABC＝12×AB×OC求出OC的长度，进而确定C点坐标；（2）因为抛物线经过点A（2，0），B（6，0），故可以设二次函数的交点式，即y＝a（x﹣2）（x﹣6），再将C点坐标代入即可求得解析式,进一步得到对称轴；（3）设正方形DEFG的边长为m，再根据题中的条件列出正确的D、E坐标，再将E点坐标代入二次函数求出边长m，进一步求得正方形DEFG的面积.【解析】（1）∵A（2，0），B（6，0），∴AB＝6﹣2＝4．∵S△ABC＝16，∴12×4•OC＝16，∴OC＝8，∴点C的坐标为（0，8）；（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），将C（0，8）代入，得8＝12a，解得a＝23，∴y＝23（x﹣2）（x﹣6）＝23x2﹣163x＋8，故抛物线的解析式为y＝23x2﹣163x＋8，其对称轴为直线x＝4；（3）设正方形DEFG的边长为m，则m＞0，∵正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），∴D（4﹣12m，﹣m），E（4＋12m，﹣m）．将E（4＋12m，﹣m）代入y＝23x2﹣163x＋8，得﹣m＝23×（4＋12m）2﹣163×（4＋12m）＋8，整理得，m2＋6m﹣16＝0，解得m1＝2，m2＝﹣8（不合题意舍去），∴正方形DEFG的边长为2，∴S正方形DEFG＝22＝4．【点评】本题考查了三角形的面积、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质，注意灵活运用知识点，另外利用面积求出点C坐标、根据二次函数与正方形的性质正确表示D、E的坐标是解答此题的关键.9．（1）（﹣1，0），（4，0）；（2）y=﹣12x2+32x+2；（3）点M的坐标分别为：（﹣52，﹣398）或（112，﹣398）或（52，218）．【分析】（1）利用x轴上点的坐标特点即可得出结论；（2）判断出△AOB∽△COA，建立方程求出OA，进而得出点A坐标，最后用待定系数法即可的结论；（3）设出点M，N的坐标，分三种情况，利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论．【解析】（1）令y=0，∴nx2-3nx-4n=0，∵n＜0，∴x2-2x-4=0,∴x=-1或x=4,∴B(-1,0),C(4,0)；（2）∵∠BAC=90°，AO⊥BC，易证△AOB ～△COA ， ∴OA BO CO AO =，14OA AO=， ∴OA=2，故A （0，2），则设抛物线的解析式为：y=a(x-x1)( x-x2),把A （0，2）、B （-1，0）、C （4，0）代入上式得，-4a=2， ∴12a =-， ∴()()2113142222y x x x x =-+-=-++， ∴对称轴直线为32x =， ∴设N （32，b ），M （m ，213222m m --+），以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴①当AC 为对角线时，()11304222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴52m =. ∴M （52，218）. ②当AM 为对角线时，()11304222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴112m =. ∴M （112，-398）. ③当AN 为对角线时，()13104222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴52m =-. ∴M （52-，-398）. 即：抛物线上存在这样的点M ，点M 的坐标分别为：M （52，218）或（112，-398）或（52-，-398）. 【点评】二次函数综合题，主要考查了待定系数法，x 轴上点的坐标特点，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，求出OA 的是解本题的关键．10．（1）(843t s =- （2）存在，43s 或2s （3）()204s t t =<< 【分析】（1）连接PB ，由点B 在线段PQ 的垂直平分线上，推出BP=BQ ，由此构建方程即可解决问题；（2）分两种情形分别构建方程求解即可；（3）如图4中，连接QC ，作QE ⊥AC 于E ，作QF ⊥BC 于F ．则QE=AE ，QF EC =，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．根据S=1122QNC PCQ SS CN QF PC QE +=⋅+⋅，计算即可；【解析】（1）如图1中，连接BP ．在Rt ΔACB 中，AC BC 4==，C 90∠=︒，AB 42∴=点B 在线段PQ 的垂直平分线上，BP BQ ∴=，AQ 2t =，CP t =，BQ 422t ∴=，222PB 4t =+，()22422t 16t ∴=+，解得t 843=-843+，(t 843s ∴=-时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上．（2）①如图2中，当PQ QA =时，易知ΔAPQ 是等腰直角三角形，AQP 90∠=︒．则有PA 2AQ =，4t 2?2t ∴-=，解得4t 3=． ②如图3中，当AP PQ =时，易知ΔAPQ 是等腰直角三角形，APQ 90∠=︒．则有：AQ =，∴)4t -，解得t 2=，综上所述：4t s 3=或2s 时，ΔAPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形．（3）如图4中，连接QC ，作QE AC ⊥于E ，作QF BC ⊥于F ．则QE AE =，QF EC =，可得QE QF AE EC AC 4+=+==．()ΔQNC ΔPCQ 111S S S ?CN?QF ?PC?QE t QE QF 2t(0t 4)222=+=+=+=<<．【点评】本题考查了四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．11．(1) y ＝﹣14x 2﹣12x +2; (2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系可得A 、B 点坐标，再根据OB ＝OC 可得C 点坐标，进而根据待定系数法可得抛物线解析式；（2）根据题意易得∠BAO ＝∠ODC ，然后根据“ASA”证得△AOB ≌△COD ，进而可得OA ＝OD ，∠OAD ＝∠ODQ ，再根据∠POQ ＝∠AOD ＝90°得到∠AOP ＝∠DOQ ，因此可证△AOP≌△DOQ，即可证OP＝OQ；（3）设点P横坐标为n，则点P坐标为（n，12n+2），点M的坐标为（n，1 4﹣n2﹣12n+2），通过证△OPE≌△OQF（AAS）确定Q，N的坐标，由题意可得PM∥QN，故当PM ＝QN时，以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形，分P在M点上方以及P在M点下方两种情况进行讨论，根据PM＝QN求出点P坐标即可.【解析】解：（1）∵OA＝4∴点A（﹣4，0）∵直线y＝kx+2与坐标轴交于A、B两点，∴点B（0，2），0＝﹣4k+2∴OB＝2，k＝12∴直线解析式y＝12x+2∵OC＝OB＝2∴点C（2，0）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．∴20164042ca b ca b c⎧⎪⎨⎪⎩＝＝－＋＝＋＋，解得：a＝﹣14，b＝﹣12，c＝2∴抛物线解析式：y＝﹣14x2﹣12x+2;（2）∵CD⊥AB∴∠BAO+∠DCO＝90°又∵∠ODC+∠DCO＝90°∴∠BAO＝∠ODC且OB＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°∴△AOB≌△COD（ASA）∴OA＝OD，∠OAB＝∠ODC∴∠OAP＝∠ODQ∵∠POQ＝90°，∠AOD＝90°∴∠AOP＝∠DOQ且OA＝OD，∠OAP＝∠ODQ∴△AOP≌△DOQ（ASA）∴OP＝OQ（3）设点P横坐标为n，则点P坐标为（n，12n+2），点M的坐标为（n，14﹣n2﹣12n+2）∵QF⊥x轴，∴∠FQO+∠QOF＝90°，且∠QOF+∠POE＝90°∴∠FQO＝∠EOP又∵∠OEP＝∠QFO＝90°，OP＝OQ∴△OPE≌△OQF（AAS）∴OE＝QF，PE＝OF∴点Q的坐标为（12n+2，﹣n），点N坐标（12n+2，﹣116n2﹣34n）．由题意可得PM∥QN当PM＝QN时，以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形当点P位于点M上方时：如图：∴PM＝（12n+2）﹣（14﹣n2﹣12n+2）＝14n2+nQN＝（﹣n）﹣（﹣116n2﹣34n）＝116n2﹣14n∴116n2﹣14n＝14n2+n解得：n＝0（不合题意舍去），n＝﹣20 3∴12×（﹣203）+2＝﹣43∴点P坐标为（﹣203，﹣43）当点P位于点M下方时，如图：∴PM ＝（14﹣n 2﹣12n +2）﹣（12n +2）＝﹣14n 2﹣n QN ＝（﹣n ）﹣（﹣116n 2﹣34n ）＝116n 2﹣14n ∴﹣14n 2﹣n ＝116n 2﹣14n 解得：n ＝0（不合题意舍去），n ＝﹣125， ∴12×（﹣125）+2＝45 ∴点P 的坐标为（﹣125，45）综上所述：点P 坐标（﹣203，﹣43），（﹣125，45）【点评】本题考查了一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，弄清题意，综合运用所学知识，掌握数形结合的思想是解答的关键.12．(1) y=﹣x²+2x+3；(2)1;(3)见解析.【分析】（1）由点 A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，利用配方法可求出顶点 E 的坐标，由点 B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 D 的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出当点 P 运动到点 E 时△PCD 的面积；(3)设点 M 的坐标为（m ，0），点 N 的坐标为（1，n ），分四边形 CBMN 为平行四边形、四边形 CMNB 为平行四边形及四边形 CMBN 为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】（1）将 A （﹣1，0），C （0，3）代入 y=ax 2+2x+c ，得：203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得：13a c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为 y=﹣x 2+2x+3．（2）当 y=0 时，有﹣x 2+2x+3=0，解得：x 1=﹣1，x 2=3，∴点 B 的坐标为（3，0）．∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴点E 的坐标为（1，4）．设过B，C 两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b，得：303k bb+=⎧⎨=⎩,解得：13kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y=﹣x+3．∵点D 是直线与抛物线对称轴的交点，∴点D 的坐标为（1，2），∴DE=2，∴当点P 运动到点E 时，△PCD 的面积=12×2×1=1．（3）设点M 的坐标为（m，0），点N 的坐标为（1，n）．分三种情况考虑：①当四边形CBMN 为平行四边形时，有1﹣0=m﹣3，解得：m=4，∴此时点M 的坐标为（4，0）；②当四边形CMNB 为平行四边形时，有m﹣1=0﹣3，解得：m=﹣2，∴此时点M 的坐标为（﹣2，0）；③当四边形CMBN 为平行四边形时，有0﹣1=m﹣3，解得：m=2，∴此时点M 的坐标为（2，0）．综上所述：存在这样的点M 与点N，使以M，N，C，B 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点D，E 的坐标；（3）分四边形CBMN 为平行四边形、四边形CMNB为平行四边形及四边形CMBN 为平行四边形三种情况求出点M 的坐标．13．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M（﹣35，﹣65）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（173）或（17，3）或（2，﹣3）．【分析】（1）把A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可；（2）由题意得到直线BC与直线AM垂直，求出直线BC解析式，确定出直线AM中k的值，利用待定系数法求出直线AM解析式，联立求出M坐标即可；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．【解析】（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：9303a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：123abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线BC解析式为y=kx﹣3，把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，∴直线AM解析式为y=13x+m，把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，∴直线AM解析式为y=13x﹣1，联立得：33113y xy x=--⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：3565xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M（﹣35，﹣65）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑：设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，解得：m=1±7x=2±7当7m2﹣2m﹣7﹣2﹣7﹣3=3，即P（73）；。

二次函数中特殊四边形存在性问题(解析版)(北师大版)

专题06二次函数中特殊四边形存在性问题类型一、平行四边形存在性问题(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQ OQ的最大值；(3)把抛物线212y x bx c =-++沿射线AC 方向平移5个单位得新抛物线抛物线对称轴上一点，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出其中一个N 点坐标的过程写出来．1（3）如图2，沿射线AC方向平移∴新的物线解析式为12 y'=-【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．(1)A点坐标是______；B点坐标是(2)求抛物线的解析式和顶点坐标；(3)探究1：在抛物线上直线不存在，请说明理由；(4)探究2：在（3）的条件下，则E 点坐标为1,22x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1114222ABP S OA PE ⎛∴=⋅=⨯⨯ ⎝ 10a =-< ，∴当2x =时，ABP S △有最大值，此时402023m n +=+⎧⎨-=-⎩，21m n =⎧∴⎨=⎩，()12,1M ∴，如图，当AM 为平行四边形的对角线时，402023m n +=+⎧⎨+=--⎩，25m n =-⎧∴⎨=-⎩，()22,5M ∴--，如图，当AP 为平行四边形的对角线时，420032m n +=+⎧⎨-=-+⎩，61m n =⎧∴⎨=-⎩，()36,1M ∴-，综上所述，M 点的坐标为()2,1或()2,5--或()6,1-．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．(1)填空：抛物线的顶点坐标是（(2)已知y 轴上一点02A （，），点点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，点M 在直线满足条件的点N 的坐标；若不存在请说明理由∵PAB 是等边三角形，∴906030ABO ∠=︒-︒=︒．∵四边形OAMN 为菱形，∴2AM AO ==，∴在直角三角形AMQ 中，∵OA MN =，∴2MN =，又∵M 点坐标为()3,3，∴N 点坐标为()3,1，即N 当N 在右图2位置时，∵2MN OA ==，M 点坐标为∴N 点坐标为()3,1--，即当P 点在抛物线的左支上时，同理可求∴存在()13,1N ，(23N -(1)求该抛物线的解析式；(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第三象限内，连接四边形OAMB 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出(3)若点C 在直线AB 上，抛物线上是否存在点D 使得以在，请直接写出点D 的坐标．【答案】(1)该抛物线的解析式为223y x x =+-537设点()2,23M m m m +-，∵()1,0A -，()0,3B -，∴1,03OA B ==，则AOM BOMS S S =+△△1122M M OA y OB x =⋅+⋅，(1)求抛物线的解析式；∴点O 的对应点P 的坐标为(当点P 在点Q 下方时，PQ =221n ∴-+=，解得，1n =±∴点P 的坐标为(1,1)--或(1,1)当点P 在点Q 上方时，PQ =当BD EF =时，四边形BDEF 为平行四边形，此时点 ()0,2D -，∴设(),2F x ，则222x x =-++，解得：0x =或1x =，∴()0,2F 或()1,2F '，类型二、菱形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)直线3944y x =+与直线BC 交于点E ．点(,0)M m 是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交直线于点G ，交抛物线于点F ，交直线BC 于点H ．①若点F 在第二象限，且2227EFG OEG S S = ，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使得以点E 、F 、H 、P 为顶点的四边形是正方形？若存在，坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)211433y x x =-++设直线AD 与y 轴交点为N ．(,0)M m Q ，直线FG x ⊥轴，39,44G m m ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，211,433F m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭2113943344FG m m m ⎛⎫∴=-++-+ ⎪⎝⎭13m =-由一次函数3944y x =+，当0x =时，y =在Rt AON △中，3OA =，94ON =，22154AN OA ON ∴=+=，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标大？并求出这个面积的最大值；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线1y a x =原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M在抛物线223y x x =--+，令0x =，可得3y =，∴(0,3)C ，设BC 为y kx t =+，将(3,0)B -，(0,3)C 代入得03=-⎧⎨⎩(1)判断ABC 的形状，并说明理由．(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点，过点的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求使(3)在（2）的条件下，点N 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M 的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)ABC 是直角三角形，理由见解析(2)()224428S m m m =-++=--+()04m <<，即点(3)存在，3651,M ⎛⎫+ ⎪或3651,M ⎛⎫- ⎪或M(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动（点的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在请求出所有满足条件的点2（3）存在，∵()30A -,，()0,3C -，∴直线AC 的解析式为设(,0)P m ，则(M m m -，∴MN CQ 、是以M 、N 、C 、Q 为顶点的菱形的边；如图3-1所示，当MC 为对角线时，∵3OA OC ==，∴AOC 是等腰直角三角形，∴45ACO ∠=︒，∵QM QC =，∴45QMC QCM ∠=∠=︒，∴90MQC ∠=︒，∴MQ y ^轴，∴NC y ⊥轴，即NC x ∥轴，∴点C 与点N 关于抛物线对称轴对称，∴点N 的坐标为()2,3--，∴2CQ CN ==，∴(01)Q -，；如图3-2所示，当MC 为边时，则MN CM =，同理可得2CM m =-，232m m m -=-，23m =-或0m =（舍去）232CQ CM m ==-=-)0132(--，；3-4所示，当MC 为边时，则同理可得232m m m +=解得23m =-（舍去）或∴45MCQ ACO ==∠∠∵CQ MQ =，∴45QCM QMC ==∠∠∴90MQC ∠=︒，∴MQ y ^轴，∴NC y ⊥轴，这与题意相矛盾，∵MN y ∥轴，∴180NMC MCO ∠=︒-∠∵NQ CM ⊥，∴NSM ∠∴此种情况不存在；综上所述，(01)Q -，或(Q 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．类型三、矩形存在性问题(1)求该抛物线的函数表达式；(2)P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点E 作EF y ⊥轴于点F ，求出PD EF +的最大值及此时点(3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．且由题可知，PDE △为等腰直角三角形，由”三线合一“知，12EG PD =232EF G E m m G m F -∴=-=---2232m m PD EF m m +∴+=--+由二次函数的性质可得，当210AM ∴=，()()21[12MN =---22211AM MN AN += ，()()()(22110[12]3[1y ∴+---+-=-解得183y =，即181,3N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时设()111,H p q ，由A 、M 、()()()13222233AM AN MN =+ ，(10[∴=-解得31y =，42y =，即(3N -此时设()333,H p q ，由A 、M ()()()33321301p q ⎧-+-=-+⎨+=+⎩，解得：设(),H p q ，由A 、M 、N (1)求抛物线的表达式；设直线AD与y轴交点为N．Q，直线FG xM m(,0)⊥轴，B （4,0），C （0,4），∴直线BC 的解析式为：4y x =-+，联立直线AD 与直线BC 的方程得：34x 解得1x =，∴E （1,3）．若四边形EFHP 是正方形，则3F E y y ==，2114333x x ∴-++=，解得1132x ±=，1113,32F ⎛⎫-∴ ⎪⎝⎭，2113,32F ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 1113113122EF -+=-=，111132EP EF +∴==，1113713322P y ++∴=+=．17131,2P ⎛⎫+∴ ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得：2113131122EF +-=-=，221312EP EF -∴==，2131713322P y --∴=-=(1)求抛物线的函数表达式；(2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得ADEV的面积最大，并求出最大面积；(3)点F为抛物线对称轴上的一个动点，在平面内是否存在点矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．15（3）解：∵抛物线的对称轴为直线∴点F 横坐标为52，设(),G x y ，②当AF 为矩形的对角线时，5352x -=+，解得：112x =-，∵四边形ADFG 为矩形，∴90GAD ∠=︒，∴222AG AD DG +=，③当AG 为矩形对角线时，5532x +=-，解得：212x =，∵四边形ADGF 为矩形，∴90ADG ∠=︒，∴222DG AD AG +=，综上：存在，171,22G ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或171,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的最值求法，具有分类讨论的思想．【变式训练3】．如图，二次函数2y ax bx =+(1)求抛物线的解析式．(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PM BC ⊥于点M ，交x 轴于点交BC 于点Q ，求255PQ PN +的最大值及此时P 点坐标．(3)将抛物线24y ax bx =++沿射线CB 平移25个单位，平移后得到新抛物线y '．∵PM BC⊥∴90PMQ PHB ∠=∠=︒又∵PQM BQH∠=∠∴NPH OBC∠=∠设直线BC ：y k t=+(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上一动点．①当45PCA ∠=︒时，求点P 坐标；②如图2，当点P 运动到抛物线的顶点时，作PD AB ⊥于点D ，点M 在直线B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点M 的坐标．②设()1M m ，，当190M CB ∠=︒时，∵45BCO ∠=︒，∴1C M 与y 轴的夹角为45︒∴314m =+=，∴()11M ，4当290CM B ∠=︒时，∴M 点坐标为()1,4或()1,2-或【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合应用、矩形的性质，三角函数综合，三角形的相似，掌握相关知识根据题意分析出所有情况是解题的关键．。

专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题(原卷版)

挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题05 二次函数中特殊平行四边形存在性问题一．平行四边形的存在性1．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．2．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结P A，PB，设点P的横坐标为t，△P AB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）5．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B （﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二．矩形的存在性6．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023•秦都区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•元宝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是11；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．8．（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．三．菱形的存在性9．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P 作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．14．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN ＝S△AOC时，请直接写出DM的长．15．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数综合题训特殊四边形

二次函数综合题训练──特殊四边形（2011•化州市二模）如图在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2厘米，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上．抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B和点D（4，）（1）求抛物线的解析式；（2）如果点P由点A开始沿AB边以2厘米/秒的速度向点B移动，同时点Q由B点开始沿BC边以1厘米/秒的速度向点C移动．若P、Q中有一点到达终点，则另一点也停止运动，设P、Q两点移动的时间为t秒，S=PQ2（厘米2）写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围，当t为何值时，S最小；（3）当s取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．（4）在抛物线的对称轴上求出点M，使得M到D，A距离之差最大？写出点M的坐标．（2012•从化市一模）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）如图（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．（2011•湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．（2010•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．（2010•河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．（2013•太原）综合与探究：如图，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（2012•丹东）已知抛物线y=ax2﹣2ax+c与y轴交于C点，与x轴交于A、B 两点，点A的坐标是（﹣1，0），O是坐标原点，且|OC|=3|OA|（1）求抛物线的函数表达式；（2）直接写出直线BC的函数表达式；（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF．将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）．求：①s与t之间的函数关系式；②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由．（2011•庆阳）如图，抛物线C1：y=x2+2x﹣3的顶点为M，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，顶点为N，与x轴相交于E、F两点．（1）抛物线C2的函数关系式是；（2）点A、D、N是否在同一条直线上？说明你的理由；（3）点P是C1上的动点，点P′是C2上的动点，若以OD为一边、PP′为其对边的四边形ODP′P（或ODPP′）是平行四边形，试求所有满足条件的点P的坐标；（4）在C1上是否存在点Q，使△AFQ是以AF为斜边且有一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（2012•本溪二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．（1）求抛物线的解析式；（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；（3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（2011•衡阳）已知抛物线．（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x ﹣1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？（2011•南岸区一模）如图，△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．以点H为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）一条抛物线经过D、B、C三点，求这条抛物线的解析式；（2）猜想：线段BG与CE之间存在数量关系BG=CE吗？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（3）将△DHC进行平移、旋转、翻折（无任何限制），使它与△BDH拼成特殊四边形（面积不变）．则（1）中抛物线上是否存在点P，使它成为所拼特殊四边形异于B、H、D三点的顶点？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（2009•桂平市二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．。

专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题(解析版)

模型介绍要求证平行四边形的存在，得先了解平行四边形的性质：（1）对应边平行且相等.（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：A B D C AB DC x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：2222A CB D AC B Dx x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，可以理解为AC 的中点也是BD的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D B A B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩，2222A CB D AC B Dx x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩．当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得：（1）BC 为对角线时，531352m n +=+⎧⎨+=⎩，可得()17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得()21,4D -；（3）AB 为对角线时，153235m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得()33,0D ．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：1=D B C A +-，2=D A C B +-，3D A B C =+-．（此处特指点的横纵坐标相加减）2.两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）．（1）当AB 为对角线时，130120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式：A C B D AC BD x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．例题精讲考点一：二次函数背景下的平行四边形存在性问题【例1】．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +6与x 轴交于A （2，0），B （﹣6，0）两点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以B、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A（2，0），B（﹣6，0）代入抛物线y＝ax2+bx+6得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+6；（2）存在点P，使得以B、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵y＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+2）2+8，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，在y＝﹣x2﹣2x+6中，令x＝0得y＝6，∴C（0，6），设P（m，﹣m2﹣2m+6），Q（﹣2，t），又B（﹣6，0），①以CP，QB为对角线，则CP，QB的中点重合，∴，解得，∴P（﹣8，﹣10）；②以CQ，PB为对角线，则CQ，PB中点重合，∴，解得，∴P（4，﹣10）；③以CB，PQ为对角线，则CB，PQ中点重合，∴，解得，∴P（（﹣4，6）；综上所述，点P的坐标为（﹣4，6）或（﹣8，﹣10）或（4，﹣10）．变式训练【变1-1】．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是经过（1，0）且与y轴平行的直线，点P是抛物线上的一点，点Q是y轴上一点；（1）求抛物线的函数关系式；（2）若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；（3）若tan∠PCB＝，求点P的坐标．解：（1）当y＝0时，（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3＝0，解得x1＝，x2＝3，即A（，0）B（3，0），由A，B关于x＝1对称，得＝﹣1，解得m＝2，即A（﹣1，0），函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）由四边形ABPQ是平行四边形，得PQ∥AB，PQ＝AB＝4，当PQ＝4，即x＝4时，y＝5，即P（4，5）；当x＝﹣4时，y＝21，即P（﹣4，21），AB为对角线，A（﹣1，0），B（3，0），设P（a，a2﹣2a﹣3），Q（0，n），则，解得，P（2，﹣3）．综上所述：四边形ABPQ是平行四边形P（4，5），（﹣4，21），（2，﹣3）；（3）如图，过P作PQ⊥x轴于Q，交CB延长线于R，过P作PH⊥BC于H，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，∴x＝0，则y＝﹣3；y＝0，则0＝x2﹣4x+3，解得：x1＝﹣1，x2＝3，故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BC解析式：y＝x﹣3，∴R（m，m﹣3），PR＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2﹣3m，∵OB＝OC＝3，∴∠CBQ＝135°，∴∠HPR＝45°，∵CO＝OB，∴∠OCR＝45°，∴CR＝OQ＝m，∴PH＝RH＝PR÷＝m（m﹣3），又∵CR＝OQ＝m，∴CH＝m+m（m﹣3）＝m（m﹣1）由tan∠PCB＝＝＝，解得：m＝5，则m2﹣2m﹣3＝12，故P（5，12）．当点P在直线BC的下方时，同法可得：＝，解得m＝或0（舍弃），∴P（，﹣），综上所述，满足条件点P坐标为（5，12）或（，﹣）．考点二：二次函数背景下的菱形存在性问题【例2】．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．∵AP＝BP，∴△PBC周长的最小值是AC+BC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），∴AC＝3，BC＝．∴△PBC周长的最小值是：3+．抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∴P（1，2）；（3）存在．设P（1，t），Q（m，n）∵A（3，0），C（0，3），则AC2＝32+32＝18，AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，∵四边形ACPQ是菱形，∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图2，∴t2﹣6t+10＝18，解得：t＝3±，∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），∵四边形ACPQ是菱形，∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，当P1（1，3﹣）时，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝﹣，∴Q1（4，﹣），当P2（1，3+）时，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝，∴Q2（4，），②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图3，∴t2﹣6t+10＝t2+4，解得：t＝1，∴P3（1，1），∵四边形APCQ是菱形，∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与CQ中点重合，∴＝，＝，解得：m＝2，n＝2，∴Q3（2，2），③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图4，∴t2+4＝18，解得：t＝±，∴P4（1，），P5（1，﹣），∵四边形ACQP是菱形，∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，∴＝，＝，解得：m＝﹣2，n＝3，∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣），综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为（﹣3，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵点C的坐标为（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，则点F的坐标为（m，m2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4即y＝（m﹣）2+，此时点E的坐标为（，）；（3）点G的坐标为（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG垂直平分CD∴点E的纵坐标y＝＝1，将y＝1代入y＝x+3，得x＝﹣2．∵EG关于y轴对称，∴点G的坐标为（2，1）；②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG设点E的坐标为（n，n+3），点D的坐标为（0，3）∴DE＝＝∵DE＝DC＝4，∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．∴点E的坐标为（﹣2，﹣2+3）或（2，2+3）将点E向下平移4个单位长度可得点G，点G的坐标为（﹣2，﹣2﹣1）（如图2）或（2，2﹣1）（如图3）③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD于点E，设点E的坐标为（k，k+3），点C的坐标为（0，﹣1）．∴EC＝＝．∵EC＝CD＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0（舍去），k2＝﹣4．∴点E的坐标为（﹣4，﹣1）将点E上移4个单位长度得点G．∴点G的坐标为（﹣4，3）．综上所述，点G的坐标为（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．考点三：二次函数背景下的矩形存在性问题【例3】．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．解：（1）∵OA＝1，∴A（﹣1，0），又∵对称轴为x＝2，∴B（5，0），将A，B代入解析式得：，解得，∴，自变量x为全体实数；（2）由（1）得：C（0，），D（2，），∴CD＝，故答案为2；（3）∵B（5，0），C（0，），∴直线BC的解析式为：，设E（x，），且0＜x＜5，作EF∥y轴交BC于点F，则F（x，），∴EF＝﹣（）＝，∴，有最大值为；当x＝时，S△BCE（4）设P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC为矩形的对角线，由中点坐标公式得：，解得：，又∵∠BPC＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，即：，解得y＝4或y＝﹣，∴n＝或n＝4，∴Q（3，）或Q（3，4），若BP为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得，又∵∠BCP＝90°，BC2+CP2＝BP2，即：，解得y＝，∴Q（7，4），若BQ为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：，又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，即：，解得n＝，∴Q（﹣3，﹣），综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．变式训练【变3-1】．如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K 为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，＝×5×4＝10；∴S△ABC（2）存在，理由如下：＝10，∵四边形ABPC的面积为18，S△ABC∴△BCP的面积为8，设直线BC的解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入，得k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，过P点作PM⊥x轴，交BC于点M，设P（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t+4），＝×4×PM＝2（﹣t2+3t+4+t﹣4）＝2（﹣t2+4t）＝8，∴S△BCP∴t＝2，∴P（2，6）；（3）存在，理由如下：设Q（m，﹣m2+3m+4），当m＞0时，如图1，∵矩形是以BC为边，∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，∵CQ＝BK，∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCQ＝∠GBK＝45°，∴△CHQ≌△BGK（AAS），∴HC＝HQ＝BG＝GK，∴m＝﹣m2+3m+4﹣4，∴m＝2或m＝0（舍），∴HQ＝2，∴K（6，2）；当m＜0时，如图2，∵矩形是以BC为边，∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，∵∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠OBH＝∠OHB＝45°，∠FCO＝∠CFO＝45°，∴OF＝OC＝OB＝OH＝4，∠HQG＝∠EFK＝45°，∵KC＝BQ，CF＝HB，∴FK＝QH，∴△QHG≌△KFE（AAS），∴QG＝HG＝EF＝EK，∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），∴m＝﹣2或m＝4（舍），∴GQ＝2，∴K（﹣6，﹣2）；综上所述，K点的坐标为（﹣6，﹣2）或（6，2）．考点四：二次函数背景下的正方形存在性问题【例4】．已知O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），有点C（﹣2，6）．（1）求A，B两点的坐标．（2）若点D（1，﹣3），点E在线段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延长ED交y轴于点F，求△EFO的面积．（3）若M在直线AC上，点Q在抛物线上，是否存在点M和点N，使以Q，M，N，A 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出M点的坐标．若不存在，请说明理由．解：（1）令x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∵A（4，0），B（﹣1，0）；（2）过点B作BG⊥AC，过点E作EH⊥OA，设E（m，0），∵C（﹣2，6），D（1，﹣3），AC＝6，AD＝3，BC＝，由△ABC的面积可得，5×6＝6BG，∴BG＝，由△ADE的面积可得，3|4﹣m|＝3EH，∴EH＝|4﹣m|，∵∠ACB＝∠ADE∴＝，∴＝，∴2m2﹣41m+57＝0，∴m＝或m＝19，∵点E在线段OA上，∴E（，0），则ED的直线解析式为y＝6x﹣9，∴F（0，﹣9），∴△EFO的面积＝×OE×OF＝××9＝；（3）直线AC的解析式为y＝﹣x+4，∴∠CAO＝45°，设M（t，﹣t+4），如图1：当AC为正方形QAMN边时，M点与N点关于x轴对称，∴N（t，t﹣4），∴M、N的中点为（t，0），∴A、Q中点也为（t，0），∴Q（2t﹣4，0），∵点Q在抛物线上，∴2t﹣4＝﹣1，∴t＝，∴M（，）；如图2：当M、Q关于x轴对称时，M（0，4），此时Q（0，﹣4）在抛物线上；如图3：当Q（0，﹣4）时，M（8，﹣4）；如图4：当Q（﹣1，0）时，M（﹣1，5）；综上所述：M（，）或M（0，4）或M（8，﹣4）或M（﹣1，5）．变式训练【变4-1】．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q 的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，连接BC，CD．由题意，C（0，3），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，当∠Q′BC＝90′时，∠ABQ′＝45°，∴EB＝EQ′＝2，∴Q′（1，﹣2），当∠QCB＝90°时，此时点Q与点D重合，Q（1，4），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，4）或（1，﹣2）．（3）如图2中，设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|，当2﹣a＝﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1＝0，解得，a＝，当2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5＝0，解得，a＝，∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．1．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点，连接AC，过点P作PE∥y 轴，与AC交于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）当PC∥AB时，求点P的坐标；（3）用含x的代数式表示PE的长，并求出当PE的长取最大值时对应的点P的坐标；（4）在（3）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OA＝2OC＝8OB，∴OA＝8，OB＝1，∴A（﹣8，0），B（1，0），将A、B代入y＝ax2+bx﹣4，得，∴，∴y＝x2+x﹣4；（2）当PC∥AB时，P点的纵坐标为﹣4，∴x2+x﹣4＝﹣4，∴x＝0或x＝﹣7，∵P点在第三象限，∴P（﹣7，﹣4）；（3）设AC的直线解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣4，设P（x，x2+x﹣4），则E（x，﹣x﹣4），∴PE＝﹣x﹣4﹣（x2+x﹣4）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+4）2+8，∴当x＝﹣4时，PE有最大值8，此时P（﹣4，﹣10）；（4）存在点Q，使得以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设Q（m，n），①当AC为对角线时，AC的中点为（﹣4，﹣2），PQ的中点为（，），∴﹣4＝，﹣2＝，∴m＝﹣4，n＝6，∴Q（﹣4，6）；②当AP为对角线时，AP的中点为（﹣6，﹣5），CQ的中点为（，），∴﹣6＝，﹣5＝，∴m＝﹣12，n＝﹣6，∴Q（﹣12，﹣6）；③当AQ为对角线时，AQ的中点为（，），CP的中点为（﹣2，﹣7），∴＝﹣2，＝﹣7，∴m＝4，n＝﹣14，∴Q（4，﹣14）；综上所述：以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q点坐标为（﹣4，6）或（﹣12，﹣6）或（4，﹣14）．2．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），∴A（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝12+32＝10，AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，①当AC＝AN时，AC2＝AN2，∴10＝2t2﹣4t+10，解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（2，1）；②当AC＝CN时，AC2＝CN2，∴10＝2t2，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（，3﹣）；③当AN＝CN时，AN2＝CN2，∴2t2﹣4t+10＝2t2，解得t＝，∴点N的坐标为（，）；综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）；（3）设E（1，a），F（m，n，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，解得：a＝，或a＝，∴E（1，）或（1，），∵B（3，0），C（0，3），∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，∴m＝2，n＝或n＝，∴点F的坐标为（2，）或（2，）；②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，解得：a＝4或a＝﹣2，∴E（1，4）或（1，﹣2），∵B（3，0），C（0，3），∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4，0），B（4，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数解析式；（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．解：（1）由题意把点A（﹣4，0），B（4，0），代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线C的函数解析式为：y＝﹣x2+8；（2）如图1，由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣8），设抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2m）2﹣8，由，消去y得到：，∵抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，∴，解得：，∴满足条件的m的取值范围为：4＜m＜4；（3）结论：四边形PMP'N能成为正方形．理由：情形1，如图2，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（4，4），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP'N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，∵∠PEF＝∠FHM＝90°，∴∠PFE+∠FPE＝90°，∠PFE+∠MFH＝90°，在△PFE和△FMH中，∴，∴△PFE≌△FMH（AAS），∴PE＝FH＝4，EF＝HM＝4﹣m，∴M（m+4，m﹣4），∵点M在y＝﹣x2+8上，∴m﹣4＝﹣（m+4）2+8，解得或（舍），∴m＝﹣6+2时，四边形PMP'N是正方形．情形2，如图，四边形PMP′是正方形，同法可得M（m﹣4，4﹣m），把M（m﹣4，4﹣m）代入y＝﹣x2+8中，4﹣m＝﹣（m﹣4）2+8，解得m＝12或m＝0（舍去），∴m＝12时，四边形PMP′N是正方形．综上，四边形PMP′N能成为正方形，m＝﹣6+2或12．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线AD下方抛物线上一动点，连接FA，FD，求△FAD面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点F的对应点，点P为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点Q，使得以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得，∴，∴y＝x2﹣3x﹣4，（2）当x＝0时，y＝﹣4，∴点C（0，﹣4），∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x＝，∴D（3，﹣4），∵A（﹣1，0），∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，设F（m，m2﹣3m﹣4），作FH∥y轴交直线AD于H，∴H（m，﹣m﹣1），∴FH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+2m+3，＝S△AFH+S△DFH＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，∴S△AFD最大为8，当m＝﹣＝1时，S△AFD（3）∵直线AD与x轴正方向夹角为45°，∴沿AD方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵F（1，﹣6），∴E（5，﹣10），抛物线y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，当DE为平行四边形的边时：若D平移到对称轴上F点，则Q的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴Q（，﹣），若E平移到对称轴上F点，则Q的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，∴Q（，﹣），若DE为平行四边形的对角线时，若E平移到对称轴上F点，则Q平移到D点，∴Q的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴Q（，﹣），∴Q（）或Q（）或Q（）．6．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+mx+4经过点A，且与x轴的另一个交点为点B．连接BC，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠BCO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点P为第一象限内的抛物线上一点，若以点C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4，则点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得：m＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…①，令y＝0，则x＝﹣1或4，故点B（﹣1，0）；（2）①当点E在CD上方时，tan∠BCO＝＝，则直线CE的表达式为：y＝x+4…②，联立①②并解得：x＝0或（舍去0），则点E（，）；②当点E在CD下方时，同理可得：点E′（，）；故点E的坐标为E（，）或（，）；（3）①如图2，当CM为菱形的一条边时，过点P作PQ∥x轴，∵OA＝OC＝4，∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，设点P（x，﹣x2+3x+4），则PM＝PQ＝x，C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，则PM＝PN，即：x＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4），解得：x＝0或4﹣（舍去0），故菱形边长为x＝4﹣2；②如图3，当CM为菱形的对角线时，同理可得：菱形边长为2；故：菱形边长为4﹣2或2．7．如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．解：（1）将点A（1，﹣4）代入直线y＝2x+n得，2+n＝﹣4，∴n＝﹣6，∴直线y＝2x﹣6，当y＝0时，代入直线得：0＝2x﹣6，解得：x＝3，∴点B坐标（3，0），设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点B代入抛物线得，0＝4a﹣4，解得：a＝1，∴抛物线表达式y＝（x﹣1）2﹣4；（2）当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：①如图，当AB为边时，设点M（0，m），已知点A（1，﹣4），点B（3，0）∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，解得m＝﹣，即点M的坐标（0，﹣），延长BN交y轴于点M′，作AG⊥y轴于G，BH⊥GA交GA的延长线于点H．由△BOM′∽△BHA，可得＝，∴＝，∴OM′＝，∴M′（0，），②如图，当AB为对角线时，取线段AB的中点P，作辅助圆⊙P，与y轴交于点M1，M2，作PG⊥y轴于点G，点P坐标（，），即（2，﹣2），由①可得线段AB＝＝2，∴⊙P半径，在Rt△PM1G中，PM1＝，PG＝2，M1G＝＝1，根据垂径定理可得，M2G＝1，∴点M1坐标（0，﹣1），点M2坐标（0，﹣3）；综上所述，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，点M坐标为：（0，﹣）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）；（3）存在点Q的横坐标为﹣2或，使∠BAQ＝45°．理由如下：假设存在满足条件的点Q，如图，当四边形ADBC为正方形，且点Q1，Q2分别在直线AD和直线AC上时，∠BAQ＝45°，设过线段AB中点P，且与线段AB垂直的直线：y＝﹣+b，将点P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，解得b＝﹣1，∴直线为y＝﹣，设点C点坐标（n，﹣n﹣1），在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝2，sin45°＝，解得BD＝，∴BD＝＝，解得n1＝0，n2＝4，∴点C坐标（0，﹣1），点D坐标（4，﹣3），设直线AD表达式为：y＝qx+p，将点A（1，﹣4），点D（4，﹣3）代入得，，解得，∴直线AD的表达式为y＝﹣，同理可得直线AC的表达式为y＝﹣3x﹣1，联立直线AD与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4可得，﹣＝（x﹣1）2﹣4，解得x1＝1，x2＝，同理联立直线AC与抛物线可解得x3＝1，x4＝﹣2，∴点Q的横坐标为﹣2或．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、（结位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．果保留根号）解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y＝x+3，设与AB平行的直线解析式为y＝x+m，联立，消掉y得，x2+3x+m﹣3＝0，当△＝32﹣4×1×（m﹣3）＝0，即m＝时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x＝﹣，y＝﹣+＝，∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；②抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，在正方形APMN中，AP＝PM，∠APM＝90°，∴∠APF+∠FPM＝90°，∠QPM+∠FPM＝90°，∴∠APF＝∠QPM，∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS），∴PF＝PQ，设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ＝﹣1﹣n，即PF＝﹣1﹣n，∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3＝﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4＝0，解得n1＝（舍去），n2＝，﹣1﹣n＝﹣1﹣＝，所以，点P的坐标为（，）；（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，∵∠PAF+∠FPA＝90°，∠PAF+∠QAN＝90°，∴∠FPA＝∠QAN，又∵∠PFA＝∠AQN＝90°，PA＝AN，∴△APF≌△NAQ，∴PF＝AQ，设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），则有﹣x2﹣2x+3＝﹣1﹣（﹣3）＝2，解得x＝﹣1（不合题意，舍去）或x＝﹣﹣1，此时点P坐标为（﹣﹣1，2）．综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，点E为抛物线在直线AD下方的一个动点，连接AE、DE，问：△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值和点E的坐标．若不存在，请说明理由．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上一动点，若以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标（至少写两个）．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把点C（0，6）代入，∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣8x+6；（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴顶点M的坐标为（2，﹣2）∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，∴点N（2，2），设直线AN的解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，联立y＝2x2﹣8x+6得：，解得：，，∴点D（4，6），设△ADE的面积为S，点E（e，2e2﹣8e+6），过点E作EF⊥x轴交直线AD于点F，则点F坐标为（e，2e﹣2），∴EF＝（2e﹣2）﹣（2e2﹣8e+6）＝﹣2e2+10e﹣8，∴S＝•EF•|D x﹣A x|＝×3×（﹣2e2+10e﹣8）＝﹣3（e2﹣5e﹣4）＝，所以，当时，△ADE的面积，此时点E坐标为；（3）由（2）知，A（1，0），D（4，6），设Q（2，m），P（x，2x2﹣8x+6），①以AD为对角线时，∵以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴，解得：，∴P（3，0）；②以AP为对角线时，∵以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴，解得：，∴P（5，16）；③以AQ为对角线时，∵以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴，解得：，∴P（﹣1，16）；综上所述，当点P的坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．10．如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c 图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣），∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，∴，解得，∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）存在，理由如下：由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），∵C与B关于直线x＝1对称，∴C（2，﹣），①当BC、PQ为对角线时，如图：。

2020年中考数学压轴专题练习二次函数与四边形综合(含答案)

2020中考数学压轴专题二次函数与四边形综合（含答案）1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3交y 轴于点C ，直线L 为抛物线的对称轴，抛物线的顶点P 位于第三象限，点P 到x 轴的距离为103，到y 轴的距离为1，点C 关于直线L 的对称点为点A ，连接AC 交直线l 于点B ，直线y ＝34x ＋m 与抛物线在第一象限内交于点D ，与y 轴交于点F ，连接BD 交y 轴于点E . (1)求抛物线的表达式；(2)若DE ∶BE ＝4∶1，求直线y ＝34x ＋m 的表达式；(3)在(2)的条件下，Q 为抛物线上位于直线y ＝34x ＋m 下方的图象上的一点，过点Q 作QK ⊥x 轴，交y ＝34x ＋m 于点K ，当线段QK 取得最大值时，求点Q 的横坐标；(4)在(2)的条件下，若N 为平面直角坐标系内的点，在直线y ＝34x ＋m 上是否存在点M ，使得四边形OFMN 是以OF 为一边的菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3交y 轴于点C ， ∴C (0，－3)，则 OC ＝3；∵P 到x 轴的距离为103，P 到y轴的距离是1，且在第三象限，∴P (－1，－103)；∵点C 关于直线l 的对称点为点A ， ∴A (－2，－3)；将点A (－2，－3)，P (－1，－103)代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3中，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝4a －2b －3－103＝a －b －3，解得⎩⎨⎧a ＝13b ＝23，∴抛物线的表达式为y ＝13x 2＋23x －3；（2）如解图①，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，则∠DGE ＝∠BCE ＝90°，第1题解图①∵∠DEG ＝∠BEC ， ∴△DEG ∽△BEC ，∴DG ∶BC ＝DE ∶BE ＝4∶1；已知BC ＝1，则DG ＝4， ∴点D 的横坐标为4，将x ＝4代入y ＝13x 2＋23x －3中，得y ＝5，则 D (4，5)，∵直线y ＝34x ＋m 过点D (4，5)，∴5＝34×4＋m ，则 m ＝2，∴所求直线的表达式为y ＝34x ＋2；（3）如解图②，设Q (x ，13x 2＋23x －3)，则K (x ，34x ＋2)，第1题解图②则QK ＝34x ＋2－(13x 2＋23x －3)＝－13x 2＋112x ＋5，∵－13＜0，∴当x ＝－1122×（－13）＝18时，QK 取得最大值，即点Q 的横坐标为18；(4)存在，点M 的坐标为(85，165)、(－85，45)、(－4825，1425)．【解法提示】由(2)的直线解析式知：F (0，2)，则OF ＝2；设点M (x ，34x ＋2)，则：OM 2＝2516x 2＋3x ＋4，FM 2＝2516x 2；当OF 为菱形的边时，有：①FM ＝OF ＝2，则：2516x 2＝4，解得x 1＝85，x 2＝－85，代入y ＝34x ＋2中，得：y 1＝165，y 2＝45，即点M 的坐标为(85，165)或(－85，45)；②OF ＝OM ＝2，则：2516x 2＋3x ＋4＝4，解得x 1＝0(舍)，x 2＝－4825，代入y ＝34x ＋2中，得y ＝1425；即点M 的坐标为(－4825，1425)；综上，存在符合条件的点M ，其坐标为(85，165)、(－85，45)、(－4825，1425)． 2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋32x ＋4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若已知点B 的坐标为(8，0)． (1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)猜想△ABC 是什么样的三角形，并说明理由；(3)是否存在以BC 为边，且一个顶点P 在抛物线的对称轴上的矩形？若存在，求出符合条件的点P 坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋32x ＋4的图象经过点B (8，0)，∴a ×82＋32×8＋4＝0，解得a ＝－14，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4，又∵y ＝－14x 2＋32x ＋4＝－14(x －3)2＋254，∴对称轴方程为直线x ＝3； (2)△ABC 为直角三角形．理由：在y ＝－14x 2＋32x ＋4中，令x ＝0，得y ＝4，∴C (0，4)；令y ＝0，即－14x 2＋32x ＋4＝0，整理得x 2－6x －16＝0，解得x ＝8或x ＝－2， ∴A (－2，0)，B (8，0)．∴AB 2＝(8＋2)2＝100，AC 2＝22＋42＝20，BC 2＝82＋42＝80， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.∴△ABC 为直角三角形；(3)存在，设直线AC 为y ＝mx ＋n ，把A (－2，0)，C (0，4)分别代入解析式，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋n ＝0n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝4， ∴直线AC 的解析式为y ＝2x ＋4.①如解图，延长AC 与对称轴x ＝3交于点P ，过点P 作PQ ∥BC ，过点B 作BQ ∥AC ，PQ 与BQ 交于点Q ，则四边形BCPQ 为平行四边形，此时点P 的坐标为(3，10)， ∵∠PCB ＝180°－∠BCA ＝90°， ∴四边形BCPQ 为矩形，∴当点P 坐标为(3，10)时，四边形BCPQ 为矩形；第2题解图②如解图，再延长QB 与对称轴x ＝3相交于点P ′，过点P ′作P ′Q ′∥BC ，P ′Q ′与CA 的延长线相交于点Q ′，则四边形BCQ ′P ′为矩形，设直线BP′的解析式为y＝Kx＋B，∵BP′∥AC，∴K＝M＝2，∴直线BP′的解析式为y＝2x＋B，把B(8，0)的坐标代入y＝2x＋B，得：0＝16＋B，则B＝－16，∴直线BP′的解析式为y＝2x－16，∴点P′的坐标为(3，－10)，即当点P′坐标为(3，－10)时，四边形BCQ′P′为矩形；综上，存在以BC为边，且一个顶点P在抛物线的对称轴上的矩形，点P的坐标为(3，10)或(3，－10)．3.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，交y轴于点C.(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c沿着x轴方向向左平移4个单位，此时C点对应的点为点C′，判定四边形AC′CB的形状；(3)若点Q是y轴上的动点，在抛物线上是否存在点P使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)两点代入y＝x2＋bx＋c中得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3，即y ＝(x －1)2－4， ∴顶点D 的坐标为(1，－4)； (2)由抛物线的解析式可知C (0，－3)，∵抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位，如解图①，第3题解图①∴C (0，－3)向左平移4个单位，得C ′(－4，－3)，则CC ′＝0－(－4)＝4， ∵AB ＝3－(－1)＝4， ∴AB ＝CC ′，根据平移的性质得CC ′∥AB ， ∴四边形AC ′CB 为平行四边形；(3)存在，点P 的坐标为(－4，21)、(4，5)、(2，－3)．理由如下：如解图②，第3题解图②①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ＝AB＝4即可，又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为－4或4，当x＝－4时，y＝21；当x＝4时，y＝5；∴此时点P1的坐标为(－4，21)，P2的坐标为(4，5)；②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，设线段AB的中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P3作x轴的垂线交于点H，可证得△P3HB≌△Q3OA，∴AO＝BH，∴GO＝GH，∵线段AB的中点G的横坐标为1，∴此时点P3的横坐标为2，当x＝2时，y＝－3，∴点P3(2，－3)．综上所述，符合条件的点为P1(－4，21)，P2(4，5)，P3(2，－3)．4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，OC＝3OA，D与C关于抛物线对称轴对称．(1)求二次函数的解析式；(2)设Q为x轴上任意一点，P是抛物线上的点，且在抛物线对称轴的左侧，满足∠QBP ＝45°，是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△BDC相似？若存在，求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点E是该抛物线的顶点，点M是y轴上一点，N是坐标平面内一点，如果以点A、E、M、N为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点N的坐标．解：(1)∵点C的坐标为(0，3)，OC＝3OA，∴OA＝1，∴A(－1，0)，设二次函数的解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，将C(0，3)代入得3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)，即y＝－x2＋2x＋3；(2)∵C(0，3)、B(3，0)、A(－1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性得D(2，3)，由两点间的距离公式可知CD＝2，BC＝32，DB＝10.∵∠QBP＝45°，∴直线PB与x轴的夹角为45°，∴直线PB的解析式的一次项系数为1或－1.①当直线PB 的解析式的一次项系数为－1时，如解图①所示，设直线PB 的解析式为y ＝－x ＋B ，将点B (3，0)代入得B ＝3， ∴直线PB 的解析式为y ＝－x ＋3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝0(舍去)．∴点P 的坐标为(0，3)，此时点P 与点C 重合，设QB ＝x ，∵以P 、Q 、B 为顶点的三角形与△BDC 相似，∠DCB ＝∠CBQ ＝45°， ∴△BDC ∽△QPB 或△BDC ∽△PQB ，∴CD CB ＝PB Q 1B 或CD CB ＝Q 2B PB ，即232＝32x 或232＝x 32，解得x ＝9或x ＝2， ∴Q 1(－6，0)，Q 2(1，0)；第4题解图②当直线PB 的解析式的一次项系数为1时，如解图②所示，设直线PB 的解析式为y ＝x ＋D ，将点B (3，0)代入得D ＝－3，∴直线PB 的解析式为y ＝x －3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2y 1＝－5，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝0(舍去)．∴点P 的坐标为(－2，－5)，此时PB ＝52＋52＝52，设BQ ＝x ，同理可得232＝52x 或232＝x 52，解得x ＝15或x ＝103.∴Q 3(－12，0)或Q 4(－13，0)．综上所述，当点P 的坐标为(0，3)时，点Q 的坐标为(－6，0)或(1，0)，当点P 的坐标为(－2，－5)时，点Q 的坐标为(－12，0)或(－13，0)；(3)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4. ∴E (1，4)．①AE 为矩形的对角线时，如解图③所示，设H 为AE 的中点， ∵A (－1，0)，E (1，4)， ∴H (0，2)．由两点间的距离公式可知 HE ＝（1－0）2＋（4－2）2＝5，由矩形的性质知HN 1＝HN 2＝HE ＝5， ∴N 1(0，2＋5)，N 2(0，2－5);第4题解图②当AE 为矩形的一边时，如解图④，过N 3作N 3G ⊥y 轴，垂足为点G ，过N 4作N 4F ⊥y 轴，垂足为点F .∵在△AHO 中，AO ＝1，OH ＝2， ∴tan ∠AHO ＝12，∴tan ∠EHM 4＝M 4E EH ＝12，∴M 4E ＝12EH ＝52，HM 4＝52EH ＝52，OM 4＝HM 4＋OH ＝92，∴M 4N 3＝2M 4E ＝5，易证∠M 4N 3G ＝∠AHO ， ∴M 4G ＝55M 4N 3＝1，GN 3＝255M 4N 3＝2. ∵OG ＝OM 4－M 4G ＝92－1＝72，∴N 3的坐标为(2，72)，由矩形的性质可知点N 3与N 4关于点H 对称， ∴N 4(－2，12)，综上所述，点N 的坐标为(0，2＋5)或(0，2－5)或(2，72)或(－2，12)．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1，0)，C (3，0)，D (3，4)，以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ，动点P 从点A 出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N.(1)求点A的坐标和抛物线的解析式；(2)当T为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？(3)点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？解：(1)∵四边形ABCD是矩形，B(1，0)，C(3，0)，D(3，4)，∴A(1，4)．∵点A为抛物线顶点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，∵抛物线过点C(3，0)，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3;(2)如解图①，连接AM，CM，第5题解图①∵A (1，4)，C (3，0)，∴直线AC 的解析式为y ＝－2x ＋6， ∵点P (1＋t2，4)，∴将x ＝1＋t2代入y ＝－2x ＋6中，可求得点N 的纵坐标为4－t ，∴把x ＝1＋t 2代入抛物线的解析式中，可求得点M 的纵坐标为4－t 24，∴MN ＝(4－t 24)－(4－t )＝t －t 24，∴S △ACM ＝S △AMN ＋S △CMN ＝12MN ·t 2＋12MN ·(2－t 2)＝12×2(t －t 24)＝－14(t －2)2＋1，由题可知0≤t ≤4，∴当t ＝2时，△ACM 的面积最大，最大值为1；(3)当H 在AC 上方时，如解图②，过点N 作NG ⊥AB 于点G ， ∵A (1，4)，C (3，0)，Q (3，t )，N (1＋t2，4－t )，AB ＝4，∴AG ＝4－(4－t )＝t ，BG ＝4－t ，AC ＝25，由四边形CQHN 是菱形，可知CQ ＝CN ＝t ，此时，AN ＝AC －CN ＝25－t ， ∵NG ∥BC ，∴AG BG ＝AN NC ，即t4－t＝25－t t ，解得t ＝20－85；第5题解图当点H 在AC 下方时，如解图③，过点N 作NG ⊥DC 于点G ，由四边形CQNH 是菱形，可知CH ＝HN ＝CQ ＝t ， ∴HE ＝4－t －t ＝4－2t ，CE ＝2－t2，在RT △CHE 中，由勾股定理得CE 2＋HE 2＝CH 2， ∴(2－t2)2＋(4－2t )2＝t 2，解得t ＝2013或t ＝4(舍去)，综上所述，当t ＝20－85或t ＝2013时，以C ，Q ，N ，H 为顶点的四边形为菱形． 6. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线BC 下方的抛物线上有一点D ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ∥x 轴交直线BC 于点F ，求△DEF 周长的最大值；(3)已知点M 是抛物线的顶点，点N 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，若点P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P ，M ，N ，Q 为顶点且以PM 为边的正方形？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．第6题图解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)两点坐标代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3中得，⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝09a ＋3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)∵C (0，－3)，B (3，0)， ∴直线BC 的解析式为y ＝x －3.如解图①，过点D 作DG ∥y 轴，交直线BC 于点G .第6题解图①易证△DEF ≌△DEG ， ∴FD ＝GD .设D (n ，n 2－2n －3)(0<n <3)，G (n ，n －3)，则GD ＝n －3－(n 2－2n －3)＝－n 2＋3n ＝－(n －32)2＋94，∴当n ＝32时，GD 的最大值为94，故FD 的最大值为94，∵直线BC 的解析式的一次项系数为1， ∴∠ABC ＝45°， ∵DF ∥x 轴，∴∠EFD ＝∠ABC ＝45°，在Rt △DEF 中，DE ＝EF ＝22DF ， ∴△DEF 周长的最大值为FD ＋2×22FD ＝9＋924；(3)存在，点P 的横坐标为2或3＋52.【解法提示】∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴M (1，－4)，分两种情况讨论： ①当四边形PMNQ 是正方形时，如解图②，过点M 作MJ ⊥y 轴于点J ，过点P 作P I ⊥JM 交JM 的延长线于点I ，易证△M I P ≌△CJM ，∴点N 与点C 重合，点P 是点N 关于抛物线的对称轴x ＝1对称的点，其横坐标为2；第6题解图②如解图③，过点P 作H I ∥y 轴，过点M 作M I ⊥H I 于点I ，过点N 作NH ⊥H I 于点H ，同理△P I M ≌△NHP ， ∴P I ＝NH ，I M ＝HP ，设点P 的横坐标为m ，则NH ＝P I ＝m ， ∵点P 在抛物线上，∴点P 的纵坐标为m 2－2m －3， ∴P I ＝m 2－2m －3－(－4)，即m ＝m 2－2m －3－(－4)，解得m 1＝3＋52，m 2＝3－52，∵点P 在抛物线对称轴x ＝1的右侧， ∴m ＝3＋52，综上所述，点P 的横坐标为2或3＋52.7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且OA ＝4，OC ＝3.若抛物线经过O ，A 两点，且顶点在BC 边上，点D ，E 的坐标分别为(3，0)，(0，1)，对称轴交BE 于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)猜想△EDB 的形状并加以证明；(3)点M 在对称轴右侧的抛物线上，点N 在x 轴上．请问是否存在以点A ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)在矩形OABC 中，OA ＝4，OC ＝3， ∴A (4，0)，C (0，3)，∵抛物线经过O 、A 两点，且顶点在BC 上， ∴抛物线的顶点坐标为(2，3)，∴可设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，把A 点坐标代入可得0＝a (4－2)2＋3，解得a ＝－34，∴抛物线的解析式为y ＝－34(x －2)2＋3，即y ＝－34x 2＋3x ；(2)△EDB 为等腰直角三角形．证明：由题可知B (4，3)，D (3，0)，E (0，1)，∴DE 2＝32＋12＝10，BD 2＝(4－3)2＋32＝10，BE 2＝42＋(3－1)2＝20， ∴DE 2＋BD 2＝BE 2，且DE ＝BD ， ∴△EDB 为等腰直角三角形；(3)存在．满足条件的点M 的坐标为(6＋233，2)或(6＋2153，－2)．【解法提示】设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B 、E 两点的坐标代入可得3=41k b b +⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BE 的解析式为y ＝12x ＋1，当x ＝2时，y ＝2， ∴F (2，2)，①当AF 为平行四边形的一边时，M 到x 轴的距离与F 到x 轴的距离相等，即M 到x 轴的距离为2，∴点M 的纵坐标为2或－2，在y ＝－34x 2＋3x 中，令y ＝2可得2＝－34x 2＋3x ，解得x ＝6±233，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴x >2，∴x ＝6＋233，∴点M 的坐标为(6＋233，2)，在y ＝－34x 2＋3x 中，令y ＝－2可得－2＝－34x 2＋3x ，解得x ＝6±2153，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴x >2， ∴x ＝6＋2153，∴点M 的坐标为(6＋2153，－2)；②当AF 为平行四边形的对角线时， ∵A (4，0)，F (2，2)，∴线段AF 的中点为(3，1)，即平行四边形的对称中心为(3，1)，设M (t ，－34t 2＋3t )，则－34t 2＋3t ＝2，解得t ＝6±233，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴t >2， ∴t ＝6＋233，∴点M 的坐标为(6＋233，2)；综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为(6＋233，2)或(6＋2153，－2)．8. 如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋c 的图象经过C 、D 两点，且C (0，1)，D (2，2)． (1)求抛物线的解析式；(2)已知E 是抛物线上的点，且△CDE 为等腰三角形(D 为顶角顶点除外)，求E 点的坐标；(3)如图②，已知y 轴上一点A (0，2)，点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B .若△P AB 是等边三角形，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)把C (0，1)，D (2，2)分别代入y ＝ax 2＋c 中，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝14a ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14c ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝14x 2＋1；(2)设E 点的坐标为(e ，14e 2＋1)，则EC 2＝e 2＋116e 4，ED 2＝(e －2)2＋(14e 2＋1－2)2＝116e 4＋12e 2－4e ＋5，CD 2＝4＋1＝5，当EC ＝ED 时，有e 2＋116e 4＝116e 4＋12e 2－4e ＋5，解得r ＝－4±26，∴E 点坐标为(－4＋26，232－226)或(－4－26，232＋226)；当CD ＝CE 时，有e 2＋116e 4＝5，解得e ＝－2或e ＝2(与D 的横坐标相同，舍去)， ∴E 点坐标为(－2，2)，综上所述，E 点的坐标为(－4＋26，232－226)或(－4－26，232＋226)或(－2，2)；(3)存在N 1(3，1)，N 2(－3，－1)，N 3(－3，1)，N 4(3，－1)，使四边形OAMN 为菱形．【解法提示】∵△P AB 是等边三角形， ∴∠ABO ＝90°－60°＝30°. ∴AB ＝2OA ＝4. ∴PB ＝4.把y ＝4代人y ＝14x 2＋1，得x ＝±2 3.∴P 1(23，4)，P 2(－23，4)， ∵点A 的坐标为(0，2)，∴当P 点在A 点右边时，点P 的坐标为(23，4)，设线段AP 所在直线的解析式为y ＝Kx ＋B ，⎩⎨⎧b ＝223k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33b ＝2， ∴线段AP 所在直线的解析式为y ＝33x ＋2，设存在点N 使得四边形OAMN 是菱形， ∵点M 在直线AP 上， ∴设点M 的坐标为(M ，33M ＋2)，如解图①，过点M 作MQ ⊥y 轴于点Q ，则MQ ＝|M |，AQ ＝OQ －OA ＝33M ＋2－2＝33M ，第8题解图①∵四边形OAMN 为菱形，∴AM ＝AO ＝2，∴在RT △AMQ 中，AQ 2＋MQ 2＝AM 2，即m 2＋(33m )2＝22，解得m ＝±3，代入直线AP 的解析式求得y ＝3或1，当P 点在第一象限时，分为两种情况：当N 在如解图②的位置时，第8题解图②∵OA ＝MN ， ∴MN ＝2，又∵M 点坐标为(3，3)， ∴N 点坐标为(3，1)，即 N 1坐标为(3，1)；当N 在如解图③的位置时，第8题解图③∵MN ＝OA ＝2，M 点坐标为(－3，1)，∴N 点坐标为(－3，－1)，即N 2坐标为(－3，－1)，当P 点在第三象限时，分为两种情况：第一种是当点M 在线段P A 上时，则N 点坐标为(－3，1)，第二种是当M 点在P A 的延长线上时，则N 点坐标为(3，－1)，∴存在N 1(3，1)，N 2(－3，－1)，N 3(－3，1)，N 4(3，－1)，使四边形OAMN 为菱形．9. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与x 轴交于A (－1，0)、B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D . (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)在抛物线上是否存在点P ，使△CDP 的面积为92？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点E 是x 轴上一点，在抛物线上是否存在点P ，使以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A (－1，0)，B (4，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；当x ＝0时，y ＝2，则C (0，2)，又∵CD ∥x 轴，∴点D 的纵坐标为2.当y ＝2时，－12x 2＋32x ＋2＝2，解得x 1＝3，x 2＝0(舍去)，即点D 的坐标为(3，2)； (2)由(1)可知C (0，2)，D (3，2)， ∴CD ＝3，设点P 到CD 的距离为h ， ∴S △CDP ＝12CD ·h ，∴12×3h ＝92，解得h ＝3，设P 点纵坐标为y ，则h ＝|y －2|＝3，解得y ＝5或y ＝－1，∵y ＝－12x 2＋32x ＋2＝－12(x －32)2＋258，∴函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的最大值为258，∴y ＝5舍去，当y ＝－1时，则有－12x 2＋32x ＋2＝－1，解得x ＝3±332，此时P 点坐标为(3＋332，－1)或(3－332，－1)，综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为(3＋332，－1)或(3－332，－1)；(3)存在，点P 的坐标为(0，2)或(3－412，－2)或(3＋412，－2)．【解法提示】A ，E 两点都在x 轴上，AE 有两种可能： ①当AE 为一边时，AE ∥PD ； ∴P 1(0，2)；②当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线的距离相等，可知P 点、D 点到直线AE (即x 轴)的距离相等， ∴P 点的纵坐标为－2，代入抛物线的解析式得：－12x 2＋32x ＋2＝－2，解得x 1＝3＋412，x 2＝3－412，∴P 点的坐标为(3－412，－2)或(3＋412，－2)，综上所述存在满足条件的P 点，其坐标为(0，2)或(3－412，－2)或(3＋412，－2)．10. 如图，抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a ＞0)与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A在点B 左侧，且B (1，0)，OC ＝3BO . (1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵B (1，0)，∴OB ＝1.∵OC ＝3BO ，∴OC ＝3，即C (0，－3)． ∵y ＝ax 2＋3ax ＋c 过B (1，0)、C (0，－3)两点， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝34x 2＋94x －3；（2）如解图①，连接BC ，过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N ，第10题解图①在y ＝34x 2＋94x －3中，令y ＝0，得34x 2＋94x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1， ∴A (－4，0)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵直线AC 过A (－4，0)、C (0，－3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34b ＝－3， ∴直线AC 的解析式为y ＝－34x －3，∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝S △ABC ＋S △ADM ＋S △DCM ＝12AB ·OC ＋12DM ·(AN ＋ON ) ＝152＋2DM ，设D (x ，34x 2＋94x －3)(－4<x <0)，则M (x ，－34x －3)，∴DM ＝－34x －3－(34x 2＋94x －3)＝－34(x ＋2)2＋3，当x ＝－2时，DM 有最大值3，此时四边形ABCD 面积的最大值为272；（3）如解图②，分两种情况讨论：第1题解图②①当平行四边形在AC 的左边时，过点C 作CP ∥x 轴交抛物线于点P ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，此时四边形ACPE 为平行四边形，∵C (0，－3)，∴设P (x ，－3)，∴34x 2＋94x －3＝－3，解得x 1＝0，x 2＝－3， ∴P 1(－3，－3)；②当平行四边形在AC 的右边时，平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形， ∵C (0，－3)，∴设P (x ，3)，∴34x 2＋94x －3＝3，化简得：x 2＋3x －8＝0，解得x 1＝－3＋412，x 2＝－3－412，此时存在点P 2(－3＋412，3)和P 3(－3－412，3)．综上所述，存在3个符合要求的点，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2(－3＋412，3)，P 3(－3－412，3)．。

压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题(四大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型）题型一：二次函数与平行四边形存在性问题例1．（2023•泽州县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C 两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数与矩形存在性问题例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．题型三: 二次函数与菱形存在性问题例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B （4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当√5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和√5PD+PE的最大值；（3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．题型四: 二次函数与正方形存在性问题例4．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）．（1）求c的值；（2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形ABCD．①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值；②当点C在抛物线上时，求m的值；③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围．一．解答题（共20小题）1．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．2．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式及点C的坐标．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥CD，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．3．（2023•武清区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由；（3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．4．（2023春•承德县月考）已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m（0＜m＜8），当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？5．（2023春•梅江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，其中OA＝1，OC＝3．（1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得P A+PC最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．（3）在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．6．（2022秋•云州区期末）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过x轴上的点A（6，0）和y轴上的点B，且对称轴为直线x=7 2．（1）求二次函数的解析式．（2）点E位于抛物线第四象限内的图象上，以OE，AE为边作平行四边形OEAF，当平行四边形OEAF 为菱形时，求点F的坐标与菱形OEAF的面积．（3）连接AB，在直线AB上是否存在一点P，使得△AOP与△AOB相似，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春•开福区校级月考）【定义】对于函数图象上的任意一点P（x，y），我们把x+y称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼值”．根据定义回答问题：（1）①点P（9，10）的“雅和”为；（直接写出答案）②一次函数y＝3x+2（﹣1≤x≤3）的“礼值”为；（直接写出答案）（2）二次函数y＝x2﹣bx+c（bc≠0）（3≤x≤5）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“雅和”相等，若此二次函数的“礼值”为1﹣b，求b，c的值；（3）如图所示，二次函数y＝x2﹣px+q的图象顶点在“雅和”为0的一次函数的图象上，四边形OABC 是矩形，点B的坐标为（5，﹣3），点O为坐标原点，点C在x轴上，当二次函数y＝x2﹣px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023春•无锡月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象分别与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点B作BC的垂线交对称轴于点M，以BM、BC为邻边作矩形BMNC．（1）求A、B的坐标；（2）当点N恰好落在函数图象上时，求二次函数的表达式；（3）作点N关于MC的对称点N'，则点N'能否落在函数图象的对称轴上，若能，请求出二次函数的表达式；若不能，请说明理由．9．（2022秋•开福区校级期末）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝1，则BC＝；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC，为直径，AP＝2，PC＝8，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣2，0），C（1，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为6√3，若二次函数y＝ax2+bx+c （a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．10．（2022秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣2，3）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若O（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣2，2），B（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有3个公共点时，直接写出n的取值范围．11．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=3 4．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−b a，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”．12．（2023春•南关区月考）已知抛物线y=−12x2+bx+c（b、c是常数）的顶点B坐标为（﹣1，2），抛物线的对称轴为直线l，点A为抛物线与x轴的右交点，作直线AB．点P是抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．（1）b＝，c＝．（2）当点Q在线段AB上（点Q不与A、B重合）时，求PQ的长度d与m的函数关系式，并直接写出d的最大值．（3）当抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标．13．（2023春•南关区校级月考）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点A （﹣1，0）和点B （3，0）．点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为m ．（1）求b 、c 的值；（2）当△P AB 的面积为8时，求m 的值；（3）当点P 在点A 的右侧时，抛物线在点P 与点A 之间的部分（包含端点）记为图象G ，设G 的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，求h 与m 之间的函数关系式；（4）点Q 的横坐标为1﹣3m ，纵坐标为m +1，以PQ 为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．14．（2023•九台区校级一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2ax ﹣a （a 为常数）．（1）若点（2，﹣1）在抛物线上． ①求抛物线的表达式；②当x 为何值时y 随x 的增大而减小？（2）若x ≤2a ，当抛物线的最低点到x 轴的距离恰好是1时，求a 的值；（3）已知A （﹣1，1）、B(−1，2a −12)，连结AB ．当抛物线与线段AB 有交点时，该交点为P （点P 不与A 、B 重合），将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，以PM 、P A 为邻边构造矩形PMQA ．当抛物线在矩形PMQA 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为32时，直接写出a 的值．15．（2023•靖江市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+32，以PQ、QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时．直接写出m的取值范围．16．（2022秋•临朐县期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C 在x轴的负半轴，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝2，且过点O，A．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）若在线段OA上方的抛物线上有一点P，求△P AO面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）若把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．17．（2023•道外区一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A （﹣4，0），点C（0，6），与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第一象限抛物线上一点，连接AD，BD，设点D的横坐标为t，△ABD的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，连接P A交y轴于点E，点F在线段BC上，点G在直线AD上，若tan∠BAD=12，四边形BEFG为菱形，求点P的坐标．18．（2023春•九龙坡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴于点C，连接BC，D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点G，求PE+PG的最大值，以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y=12x2+bx+c沿射线CB方向平移，平移后的图象经过点H（2，﹣1），点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．19．（2023•安徽一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y =−14x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0），点D 的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）若点F 为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD 面积的最大值；（3）如图2，将抛物线C 1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C 2，M 为抛物线C 2上一动点，N 为平面内一动点，问是否存在这样的点M 、N ，使得四边形DMCN 为菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023•九台区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点（﹣2，﹣1），点（1，2）．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （m ≠0）．以点A 为中心，构造正方形POMN ，PQ ＝2|m |，且PQ ⊥x 轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴右侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接BC ．当BC ＝6时，求点B 的坐标；（3）若m ＜0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m 的值．。

2022-2023学年人教版九年级数学专题《二次函数综合特殊四边形问题》含答案解析

专题二次函数优选提升题二：二次函数综合题型五：特殊四边形问题一、解答题1．（2021·湖南·衡阳市第九中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中．抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0-，点C 的坐标为()0,2-，已知点(),0E m 是线段AB 上的动点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作PE x ⊥轴交抛物线于点P ．交BC 于点F ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若:1:2EF PF =，请求出m 的值；(3)是否存在这样的m ，使得BEP △与ABC V 相似？若存在，求出此时m 的值，若不存在，请说明理由；(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时，点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M 的坐标．2．（2022·河南·郑州市创新实验学校九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y x bx c c =-++>的顶点为D ，与y 轴的交点为C ．过点C 的直线CA 与抛物线交于另一点A （点A 在对称轴左侧），点B 在AC 的延长线上，连接OA ，OB ，DA 和DB ．(1)如图1，当AC ∥x 轴时，①已知点A 的坐标是（﹣4，2），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD 是平行四边形，求证：24b c =．(2)如图2，若b ＝﹣2，35BC AC =，是否存在这样的点A ，使四边形AOBD 是平行四边形？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．由题意可得：EF =OC =c ，∴24b DF =，在平行四边形OADB 中，∴BAO ABD ∠=∠，又∵90OCA DFB ∠=∠=︒，23555()()22222c -+=--⨯--3．（2022·黑龙江黑河·九年级期末）如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A (2，0)，B (-6，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得V QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在坐标平面内是否存在一点P ，使得Q 、B 、A 、P 围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2412y x x =--+(2)存在，Q (-2，8)(3)存在，(6，8)或(-2，-8)或(-10，8)【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点坐标与系数的关系即可求得；（2）根据轴对称的性质先找出C 的对称点C ′，然后连接AC ′即可找到Q 点，最后根据A 、C ′的坐标求得直线AC ′的解析式，即可求得Q 的坐标；（3）分三种情况：如图，①当以AQ 为四边形对角线线时，则有平行四边形ABQP 1；②当以AB 为四边形对角线线时，则有平行四边形AQBP 2；③当以BQ 为四边形对角线线时，则有平行四边形ABP 3Q ；根据平行四边形的性质，利用平移坐标变换规律求出P 坐标即可．（1）解：∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A （2，0），B （-6，0）两点，∴0420366b c b c=-++⎧⎨=--+⎩，解得：412b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：2412y x x =--+；（2）解：存在(如图1) Q (-2，8)，连接BC 交抛物线对称轴于点Q ，此时△QAC 的周长最小.∵抛物线交y 轴于C 点，∴c =12，即C （0，12），又B （-6，0），设：直线BC 的解析式为y =kx +b ，则1206b k b =⎧⎨=+⎩，解得：212k b =⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =2x +12，又抛物线2412y x x =--+的对称轴为直线x =-2，当x =-2时代入y =2x +12，解得y =8，所以Q (-2，8)；（3）解：存在，分三种情况：如图，①当以AQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABQP1，∴QP1∥AB，QP1=AB，∵B(-6,0)，Q(-2,8),∴将AB沿x轴向右平移4个单位，沿y轴向上平移8个单位，得到QP1，又∵A(2,0)，∴P1(6,8)；②当以AB为四边形对角线线时，则有平行四边形AQBP2，∴AP2∥BQ，AP2=BQ，，∵A(2,0)，Q(-2,8),∴将BQ沿x轴向右平移4个单位，沿y轴向下平移8个单位，得到AP2，又∵B(-6,0)，，∴P2(-2,-8)；③当以BQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABP3Q，∴QP3∥AB，QP3=AB，，∵A(2,0)，Q(-2,8),∴将AB沿x轴向左平移4个单位，沿y轴向上平移8个单位，得到QP3，又∵B(-6,0)，，∴P3(-10,8)；综上，存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，P点坐标为(6，8)或(-2,-8)或(-10，8) ．【点睛】该题考查的内容主要涉及到利用待定系数法确定函数解析式、利用轴对称性质求最小值、平行四边形的判定和性质，平移坐标变换规律，题目属二次函数综合题，要注意分类讨论思想的应用．4．（2022·湖北随州·九年级期末）如图，抛物线y= -1x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），2与y轴交于点C，其对称轴与抛物线交于点D，与x轴交于点E．(1)求点A，B，D的坐标；(2)点G为抛物线对称轴上的一个动点，从点D出发，沿直线DE以每秒2个单位长度的速度运动，过点G 作x轴的平行线，交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．设点G的运动时间为t s．①当t为何值时，以点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形；②连接BM，在点C运动的过程中，是否存在点M，使得∠MBD=∠EDB，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q为坐标平面内一点，以线段MN为对角线作菱形MENQ，当菱形MENQ为正方形时，请直接写出t的值．∵MBD EDB∠=∠，∴8==-，PD PB m5．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）如图1，抛物线(2)(5)(0)y a x x a =+-<交x 轴于A 、B 两点（A 左B 右），交y 轴于C ，且52OA OC =．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，P为第一象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设点P的横坐标为m，△PCD的面积为S，求S与m的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC交PA于点E，过点O作OF//PA，交BC于点F，若PE＝PF，求点P的坐标．∵tan OD PH PAH OA AH∠==，∴1(2tan 2m OD PAH m -+∠==-∴5OD m =-，∴5(5)CD m m =--=，∴45BGH OBC ∠=∠=︒，∴5GH BH OD m ===-，∴四边形OHGD 为矩形，∴DG AB ∥，∴90PGD PHO ∠=∠=︒，∴45PGF BGH ∠=∠=︒，∴45NGF PGF ∠=∠=︒解得：4m =或1m =-（舍），∴(4,3)P ．【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、全等三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用方程的思想思考问题．6．（2022·湖北湖北·九年级期末）如图，已知抛物线21:41C y x x =-++与y 轴相交于点C ，顶点为D ．(1)求直线CD 的解析式：(2)点P 为直线CD 左上方抛物线上的一动点，过点P 作y 轴的平行线交直线CD 于点Q ，当线段PQ 取得最大值时，在抛物线的对称轴上找一点G ，使PCG V 的周长最小，求点G 的坐标；(3)将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ，2C 与1C 相交于点E ，点F 为抛物线1C 对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H ，使以点C ，E ，F ，H 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)21y x =+(2)点G 的坐标为(2,3)(3)存在，点H 的坐标为（﹣1，3）．【分析】（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标，用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）设P （m ，﹣m 2+4m +1），则Q （m ，2m +1），依据图象用m 的代数式表示出线段PQ 的长，利用配方法可求得线段PQ 取得最大值时的点P 在坐标，利用将军饮马模型找出点C 的对称点C ′，连接C ′P 交抛物线对称轴于点G ，则G 点为所求的点；利用待定系数法求出直线C ′P 的解析式，令x ＝2，则点G 坐标可求；（3）利用平移后的抛物线解析式与与原抛物线联立求得点E 坐标，依题意画出符合题意的图形，利用菱形的性质求得直线FH 的解析式，进而求得点F 的坐标，过点C 作CM ⊥FD 于点M ，过点H 作FN ⊥CM 交MC的延长线于点N，过点E作EG⊥DF于点G，利用求得三角形的性质求得相应线段的长度，则点H坐标可求．（1）解：∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，∴D（2，5）．令x＝0，则y＝1，∴C（0，1）．设直线CD的解析式为y＝kx+n，∴251k nn+=⎧⎨=⎩解得21kn=⎧⎨=⎩．∴直线CD的解析式为y＝2x+1．（2）解：设P（m，﹣m2+4m+1），则Q（m，2m+1），∵点P为直线CD左上方抛物线上的一动点，∴PQ＝（﹣m2+4m+1）﹣（2m+1）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1．∵﹣1＜0，∴当m＝1时，PQ取得最大值，此时P（1，4）．设点C关于抛物线的对称轴对称的点为C′，则C′（4，1），如图1，连接C′P交抛物线对称轴于点G，则G点为所求的点．设直线C′P的解析式为y＝ax+b，∴441 a ba b+=⎧⎨+=⎩，∴在平面直角坐标系中存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，H的坐标为（﹣1，3）．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．。

2021年中考二轮复习二次函数与特殊平行四边形存在性问题探讨(含答案)

二次函数与特殊平行四边形存在性问题探讨【方法综述】知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。

它们的判定方法如下：矩形判的定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形菱形判定方法有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边相等的四边形是矩形正方形的判定方法平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性解答时常用的技巧：（1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。

如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得a+m=c+e，n+b=d+f则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。

（2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。

（3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。

【类型1】二次函数与矩形存在型问题【例1】.如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE＝75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【类型2】二次函数与矩形存在型问题【例2】如图，抛物线y＝ax2+bx+52过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E 为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC 向右平移74个单位得到直线l ，直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，连接PQ ，点R 为直线BC 上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T ，使得四边形PQTR 为菱形，若存在，请直接写出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型3】二次函数与正方形存在型问题【例3】在平面直角坐标系中，抛物线y =−13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y =34x +94与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E ．若M （m ，0）是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ．①当点F 在直线AD 上方的抛物线上，且S △EFG =59S △OEG 时，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】．如图，已知直线y x c =-+交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -，与直线y x c =-+交于B 、C 两点，点P 为抛物线上的动点，过点P 作PE x ⊥轴，交直线BC 于点F ，垂足为E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于抛物线对称轴右侧时，点Q 为抛物线对称轴左侧一个动点，过点Q 作QD x ⊥轴，垂足为点D ．若四边形DEPQ 为正方形时求点P 的坐标；（3）若PQF △是以点P 为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点P 的横坐标．【巩固练习】1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点的坐标为（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与y 轴交于点C （0，3），点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C （如图1所示），那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请此时点P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABCP 的面积最大，并求出其最大值．2.如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y ＝x 2+2x 的顶点为A ，与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧）．（1）请求出A 、B 、C 三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D ，与y 轴交于点E ，F 为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．【答案与解析】【类型1】二次函数与矩形存在型问题【例1】.如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE＝75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，﹣3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，则：C（6，0）；（2）符合条件的有M和M′，如下图所示，当∠MBE＝75°时，∵OA＝OB，∴∠MBO＝30°，此时符合条件的M只有如图所示的一个点，MB直线的k为﹣，所在的直线方程为：y＝﹣x﹣3…②，联立方程①、②可求得：x＝4﹣4，即：点M的横坐标4﹣4；当∠M′BE＝75°时，∠OBM′＝120°，直线M′B的k值为﹣，其方程为y＝﹣x﹣3，将M′B所在的方程与抛物线表达式联立，解得：x＝，故：即：点M的横坐标4﹣4或．（3）存在．①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n＝m2﹣m﹣3…③，P′C所在直线的k1＝，P′B所在的直线k2＝，则：k1•k2＝﹣1…④，③、④联立得：＝0，解得：m＝0或6，这两个点分别和点B、C重合，与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．②当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，联立①⑤解得点P（﹣4，5），则Q（2，8），情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，此时，P″在抛物线上，其坐标为：（﹣10，32），Q″坐标为（﹣16，29）．故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．【变式训练】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），∴0＝﹣k+b，即k＝b，∴直线l：y＝kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4；（2）由（1）知，点D的横坐标为4，∴﹣3﹣＝﹣1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值＝﹣a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a＝，解得a＝﹣；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣∴P（1，﹣）；②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD＝90°，∴AP2+PD2＝AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．【类型2】二次函数与矩形存在型问题【例2】如图，抛物线y＝ax2+bx+52过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E 为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，B两点代入可求解析式．（2）分类讨论，以AB为边的菱形和以AB为对角线的菱形，抓住菱形边长为4和E的横坐标为3，可解F点坐标，即可求点F到二次函数图象的垂直距离．（3）构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距离为AN，根据勾股定理求AN．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+52过点A（1，0），B（5，0），∴0＝a+b+5 20＝25a+5b+5 2∴a=12，b＝﹣3∴解析式y=12x2﹣3x+52（2）当y＝0，则0=12x2﹣3x+52∴x1＝5，x2＝1∴A（1，0），B（5，0）∴对称轴直线x ＝3，顶点坐标（3，﹣2），AB ＝4∵抛物线与y 轴相交于点C ．∴C （0，52）如图1①如AB 为菱形的边，则EF ∥AB ，EF ＝AB ＝4，且E 的横坐标为3∴F 的横坐标为7或﹣1∵AE ＝AB ＝4，AM ＝2，EM ⊥AB∴EM ＝2√3∴F （7，2√3），或（﹣1，2√3）∴当x ＝7，y =12×49﹣7×3+52=6∴点F 到二次函数图象的垂直距离6﹣2√3②如AB 为对角线，如图2∵AEBF 是菱形，AF ＝BF ＝4∴AB ⊥EF ，EM ＝MF ＝2√3∴F （3，﹣2√3）∴点F到二次函数图象的垂直距离﹣2+2√3（3）当F（3，﹣2√3）时，点F到二次函数图象的垂直距离最小如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置，连接AN，作PN⊥AB于P∵等边三角形BQD∴QD＝QB＝BD，∵将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN∴当AQ，QD，DN共线时AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值为AN的长．∵AF＝BF＝4＝AB，∴∠ABF＝60°∴∠NBP＝60°且BN＝4，∴BP＝2，PN＝2√3∴AP＝6在Rt△ANP中，AN=√36+12=4√3∴AQ+BQ+FQ的和最短值为4√3．【变式训练】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC 向右平移74个单位得到直线l ，直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，连接PQ ，点R 为直线BC 上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T ，使得四边形PQTR 为菱形，若存在，请直接写出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A （﹣1，0）、B （4，0）代入抛物线公式即可求得a ，b ．（2）过P 点做平行于直线BC 的直线K ，当K 与抛物线恰有一个交点时，△PBC 面积最大，求得此时的P 点坐标．再过P 做垂直于直线BC 的直线k ，求得k 与直线BC 的交点，求得交点后发现，此时恰巧交点时C ，|BC |即为△PBC 的高，再利用三角形面积公式即可求解．（3）考查菱形的性质．菱形是一个极具对称性的图形，在进行求解时，对角线互相垂直平分．因此，两个相对点的坐标中点也是另外两个相对点的坐标中点．同时，利用菱形的四条边长相等进行求解．【解析】（1）将A （﹣1，0）、B （4，0）代入抛物线公式，如下：{0=a −b +40=16a +4b +4，求得{a =−1b =3．抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+3x +4．（2）设P 到直线BC 的距离为d ，P 点坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）（0＜x ＜4），∵y ＝﹣x 2+3x +4交y 轴于点C ，令x ＝0，∴y ＝4，∴C （0，4），由B （4，0），C （0，4）两点求得直线BC 的解析式为：y +x ﹣4＝0．做直线BC 的平行线K ：y ＝﹣x +m ，因为K 与BC 平行，我们将K 平移，根据题意，点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，∴随着K 平行移动，以BC 为底的△PBC 的高d 在逐渐增大，当K 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4恰有一个交点时，此时以BC 为底的△PBC 的高d 最大，即此时△PBC 面积最大． ∵此时K ：y ＝﹣x +m 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4相交，且仅有一个交点，∴﹣x +m ＝﹣x 2+3x +4，m ＝8．∴直线K ：y ＝﹣x +8．此时求K 和抛物线的交点为：﹣x +8＝﹣x 2+3x +4，解得x ＝2，将x ＝2代入直线K ：y ＝﹣x +8，解得y ＝6．因此P （2，6）．现在我们来求P 到直线BC 的距离，即△PBC 的高d ：过P 作垂直于BC 的直线k ：y ＝x +m ．∵P 在直线k 上，∴6＝2+m ，∴m ＝4，直线k ＝x +4．直线K 与直线k 的交点为：{y =−x +4y =x +4，解得交点坐标（0，4），即交点为C 点．因此的△PBC 的高d 即为B 点和C 点两点之间的距离，∴d ＝|BC |=√(2−0)2+(6−4)2=2√2．在△PBC 中，∵|BC |＝4√2，△PBC 的面积的最大值S △PBC =12|BC |•d =12×4√2×2√2=8．（3）存在．直线BC 向右平移74个单位得到直线l ， ∴l ：y ＝﹣（x −74）+4＝﹣x +234．{y =−x +234y =−x 2+3x +4，解得{x 1=72x 2=12．二次函数y ＝﹣x 2+3x +4对称轴为x =32，∵直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，∴x =72，代入y ＝﹣x +234=94．∴Q （72，94）．设T （a ，b ）．∵R 为直线BC 上的一动点，∴设R （x ，﹣x +4）．在菱形中PQTR 中，|PR |＝|QP |，（2﹣x ）2+（[6﹣（﹣x +4）]2＝（2−72）2+（6−94）2解得x ＝±√2668，当x =√2668时，点R 的坐标（√2668，4−√2668），此时T 点坐标为：T （√2668+32，14−√2668）．当x =−√2668时，R （−√2668，4+√2668），此时T （−√2668+32，14+√2668）综上所述：T 存在两点，分别为：（√2668+32，14−√2668）或（−√2668+32，14+√2668）．【类型3】二次函数与正方形存在型问题【例3】在平面直角坐标系中，抛物线y =−13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y =34x +94与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E ．若M （m ，0）是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ．①当点F 在直线AD 上方的抛物线上，且S △EFG =59S △OEG 时，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线解析式中a =−13和交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）①如图1，先利用待定系数法求直线BC 的解析式，联立方程可得交点E 的坐标，根据M （m ，0），且MH ⊥x 轴，表示点G （m ，34m +94），F （m ，−13m 2+13m +4），由S △EFG =59S △OEG ，列方程可得结论；②存在，根据正方形的性质得：FH ＝EF ，∠EFH ＝∠FHP ＝∠HPE ＝90°，同理根据M （m ，0），得H （m ，﹣m +4），F （m ，−13m 2+13m +4），分两种情况：F 在EP 的左侧，在EP 的右侧，根据EF ＝FH ，列方程可得结论．【解析】（1）∵抛物线y =−13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点， ∴y =−13（x +3）（x ﹣4）=−13x 2+13x +4；（2）①如图1，∵B （4，0），C （0，4），∴设BC 的解析式为：y ＝kx +n ，则{4k +n =0n =4，解得{k =−1n =4， ∴BC 的解析式为：y ＝﹣x +4，∴﹣x +4=34x +94，解得：x ＝1，∴E （1，3），∵M （m ，0），且MH ⊥x 轴，∴G （m ，34m +94），F （m ，−13m 2+13m +4）， ∵S △EFG =59S △OEG ，∴12FG ×(x E −x F )=59×12ON （x E ﹣x G ）， [（−13m 2+13m +4）﹣（34m +94）]（1﹣m ）=59×94(1−m)，解得：m 1=34，m 2＝﹣2；②存在，由①知：E （1，3），∵四边形EFHP 是正方形，∴FH ＝EF ，∠EFH ＝∠FHP ＝∠HPE ＝90°， ∵M （m ，0），且MH ⊥x 轴，∴H （m ，﹣m +4），F （m ，−13m 2+13m +4），分两种情况：i ）当﹣3≤m ＜1时，如图2，点F 在EP 的左侧，∴FH ＝（﹣m +4）﹣（−13m 2+13m +4）=13m 2−43m ， ∵EF ＝FH ，∴13m 2−43m =1−m ，解得：m 1=1+√132（舍），m 2=1−√132，∴H （1−√132，7+√132），∴P （1，7+√132），ii ）当1＜m ＜4时，点F 在PE 的右边，如图3，同理得−13m 2+43m =m ﹣1，解得：m 1=1+√132，m 2=1−√132（舍），同理得P （1，7−√132）；综上，点P 的坐标为：(1，7+√132)或(1，7−√132)．【变式训练】．如图，已知直线y x c =-+交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -，与直线y x c =-+交于B 、C 两点，点P 为抛物线上的动点，过点P 作PE x ⊥轴，交直线BC 于点F ，垂足为E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于抛物线对称轴右侧时，点Q 为抛物线对称轴左侧一个动点，过点Q 作QD x ⊥轴，垂足为点D ．若四边形DEPQ 为正方形时求点P 的坐标；（3）若PQF △是以点P 为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点P 的横坐标．【解析】（1）抛物线23y ax bx =++经过点C ，则点C 坐标为(0，3)，代入y x c =-+可得3c =，则直线BC 的解析式为3y x =-+.直线BC 经过点B ，则点B 坐标为(3，0)将点(1,0)A -、(3,0)B 代入抛物线23y ax bx =++解得1a =-，2b =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++.（2）抛物线的对称轴为12b x a=-=. ∴四边形DEPQ 为正方形，∴PQ PE =，//PQ x 轴.∴点Q 与点P 关于直线1x =对称.设点2(,23)P t t t -++，则2(1)PQ t =-，223PE t t =-++.∴22(1)23t t t -=-++，解得：t =t =t 2=2t =去）当t =)12P ，当t 2=()2P 22-，∴四边形DEPQ 为正方形时点P 的坐标为)2和()22-（3）点P 的横坐标为2或－1 ∴PQF △是以点P 为顶角顶点的等腰直角三角形∴∴QPF=∴PEB=90°∴//PQ x 轴∴点Q 与点P 关于直线1x =对称.设点()2,23P t t t -++，则2(1)PQ t =-，3(),F t t -+∴()2223(3)3PF t t t t t =-++--+=-+. ∴PQ PF =，∴22(1)||3t t t -=-+∣，解得：2t =或t 1=-或t =t =综上所述，点P 的横坐标为2或－1 【巩固练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点的坐标为（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与y 轴交于点C （0，3），点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C （如图1所示），那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请此时点P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABCP 的面积最大，并求出其最大值．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）存在．P ，32）；（3）P 点的坐标为（﹣32，154），四边形ABPC 的面积的最大值为758．【方法引导】（1）利用待定系数法直接将B 、C 两点直接代入y ＝x 2+bx+c 求解b ，c 的值即可得抛物线解析式；（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P 点的纵坐标为﹣32，令y ＝﹣32即可得x 2﹣2x ﹣3＝﹣32，解该方程即可确定P 点坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P 作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP 的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．【解析】（1）∵C点坐标为（0，3），∴y＝﹣x2+bx+3，把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，解得，b＝﹣2，∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．如图1，设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E，∴OE＝CE＝32，令﹣x2﹣2x+3＝32，解得，x1，x2＝22-+（不合题意，舍去）．∴P，32）．（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，设P （x ，﹣x 2﹣2x+3），设直线AC 的解析式为：y ＝kx+t ，则303k t t -+=⎧⎨=⎩，解得：13k t =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝x+3，则Q 点的坐标为（x ，x+3），当0＝﹣x 2﹣2x+3，解得：x 1＝1，x 2＝﹣3，∴AO ＝3，OB ＝1，则AB ＝4，S 四边形ABCP ＝S △ABC +S △APQ +S △CPQ ＝12AB•OC+12QP•OF+12QP•AF ＝12×4×3+12[（﹣x 2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3 ＝﹣32（x+32）2+758．当x ＝﹣32时，四边形ABCP 的面积最大，此时P 点的坐标为（﹣32，154），四边形ABPC 的面积的最大值为758．【思路引导】此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．2.如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】（1）当y=0时，13x −43=0，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得{16a −12+c =0−−32a =32，解得{a =1c =−4，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点，∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ，∴PC PF =PB PE ．∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴Q x+P x2=F x+E x2，Q y+P y2=F y+E y2，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴Q x+P x2=F x+E x2，Q y+P y2=F y+E y2，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．3．如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．解：（1）∵抛物线y＝x2+2x与x轴交于B、C两点，∴0＝x2+2x，∴x1＝0，x2＝﹣2，∴点B（﹣2，0），点C（0，0），∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴点A（﹣1，﹣1）；（2）设平移后抛物线的表达式为：y＝（x+1﹣m）2﹣1+n（m＞1），∴点D（m﹣1，﹣1+n），∵y＝（x+1﹣m）2﹣1+n＝x2+2×（1﹣m）x+m2﹣2m+n，∴点E（0，m2﹣2m+n），Ⅰ、如图1，当点D在点A的下方时，过点A作AM⊥y轴于N，过点D作DM⊥AM于M，∴∠ANE＝∠AMD＝90°，∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，∴AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠EAN+∠DAM＝90°，∵∠AEN+∠EAN＝90°，∴∠AEN＝∠DAM，∴△AEN≌△DAM（AAS），∴AN＝DM，EN＝AM，∴1＝﹣1﹣（﹣1+n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m+n﹣（﹣1），∴n＝﹣1，m＝3，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2；Ⅱ、如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，同理可证△EDN≌△DAM，∴DN＝AM，EN＝DM，∴m﹣1＝﹣1+n+1，m2﹣2m+n﹣（﹣1+n）＝m﹣1+1，∴m＝，n＝，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣）2﹣，Ⅲ、当∠AED＝90°时，同理可求：y＝（x﹣1）2﹣1；综上所述：平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣1）2﹣1．。

专题7 二次函数图象抛物线中特殊四边形存在性问题(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册提优

专题7 二次函数图象抛物线中特殊四边形存在性问题（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一二次函数与平行四边形典例1（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A 的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．针对训练1．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若0＜m＜32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；类型二二次函数与矩形典例2（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；（3）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．1．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．类型三二次函数与菱形典例3（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移√5个单位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．1．（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．2．（2023•锦州）如图，抛物线y=−√3x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和B，交y轴于点C（0，3√3），顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7√3，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．3．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1）是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．类型四二次函数与正方形典例4（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；针对训练1．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy 内，抛物线y ＝﹣ax 2+5ax +2（a ＞0）交y 轴于点C ，过点C 作x 轴的平行线交该抛物线于点D ．（1）求点C ，D 的坐标；（2）当a =13时，如图1，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 为直线AD 上方抛物线上一点，将直线PD 沿直线AD 翻折，交x 轴于点M （4，0），求点P 的坐标；（3）坐标平面内有两点E （1a ，a +1），F （5，a +1），以线段EF 为边向上作正方形EFGH ． ①若a ＝1，求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为52时，求a 的值．2．（2023•长沙）我们约定：若关于x 的二次函数y 1＝a 1x 2+b 1x +c 1与y 2＝a 2x 2+b 2x +c 2同时满足√a 2−c 1+（b 2+b 1）2+|c 2﹣a 1|＝0，（b 1﹣b 2）2023≠0，则称函数y 1与函数y 2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：（1）若关于x 的二次函数y 1＝2x 2+kx +3与y 2＝mx 2+x +n 互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；（2）对于任意非零实数r ，s ，点P （r ，t ）与点Q （s ，t ）（r ≠s ）始终在关于x 的函数y 1＝x 2+2rx +s 的图象上运动，函数y 2与y 1互为“美美与共”函数．①求函数y 2的图象的对称轴；②函数y 2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数y 1＝ax 2+bx +c 与它的“美美与共”函数y 2的图象顶点分别为点A ，点B ，函数y 1的图象与x 轴交于不同两点C ，D ，函数y 2的图象与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD ＝EF 时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．第二部分专题提优训练1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．（1）求抛物线的表达式．（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．3．（2023•自贡）如图，抛物线y=−43x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；4．（2023•南充）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM•EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．5．（2023•辽宁）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．6．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．7．（2023•广安）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2023•达州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．①a＝1；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D 的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．。

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精选 . 二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练一、知识准备：抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式（1）抛物线上的点能否构成平行四边形（2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。

二、例题精析

㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】

例一、（2013河南）如图，抛物线2

yxbxc

与直线122yx交于,CD两点，其

中点C在y轴上，点D的坐标为7(3,)2。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,,OCPF为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

【解答】（1）∵直线122yx经过点C,∴(0,2)C

∵抛物线2yxbxc

经过点(0,2)C，D

7(3,)

2精选 . ∴2

27273322cbbcc







∴抛物线的解析式为2722yxx

（2）∵点P的横坐标为m且在抛物线上 ∴271(,2),(,2)22PmmmFmm

∵PF∥CO，∴当PFCO时，以,,,OCPF为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m时，22712(2)322PFmmmmm ∴232mm，解得：121,2mm

即当1m或2时，四边形OCPF是平行四边形 ② 当3m时，2217(2)(2)322PFmmmmm

232mm，解得：12317317,22mm（舍去）

即当1

3172m时，四边形OCFP是平行四边形

练习1：（2013•盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），

与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；精选 . 考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；解答：解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，

∴，解得a=﹣1，b=2， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．

（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：，解得k=﹣1，b=3， ∴y=﹣x+3．

设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），

∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x． ∵四边形ODEF是平行四边形， ∴EF=OD=2，

∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2， ∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．

点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点．第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的解析精选 . 式．精选

. 练习2：已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边

形为平行四边形，求D点的坐标； (3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

A A B B O O x x

y y

图① 图② 精选

. 练习3:（本题满分12分）如图，抛物线32bxaxy与y轴交于点C，与x轴交于A、B

两点，31tanOCA，6ABCS．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；精选 . （3）设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）．

答案：24、解：（1）∵ 32

bxaxy

∴C (0,3) ………………………………………………1分又∵tan∠OCA=3

∴A（1，0）……………………………………………1分又∵S△ABC=6 ∴632

AB

∴AB=4 …………………………………………………1分 ∴B（3，0）…………………………………………1分（2）把A（1，0）、B（3，0）代入32

bxaxy得：

339030baba

…………………………………………1分

∴1a，2b ∴322

xxy……………………………………2分

∵4)1(2

xy

∴顶点坐标（1，4）………………………………1分（3）①AC为平行四边形的一边时 E1析(1，0) ………………………………………1分

E2（27，0）………………………………1分

C A B O

x 精选

. E3（27，0）………………………………1分 ②AC为平行四边形的对角线时 E4（3，0）…………………………………………1分练习4:（2011南宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B

（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．. 专题：压轴题；存在型．分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到

当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；精选 . （3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当精选

. P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，

分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得

解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，

当t=﹣=32时，二次函数的最大值，即PM最长值为=94，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下： ∵PM∥OB， ∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形， ①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有94，所以不可能有PM=3． ②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是； ③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．

㈡【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】