二次函数与特殊四边形综合问题专题训练(有答案)

二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练

一、知识准备：

抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式

（1）抛物线上的点能否构成平行四边形

（2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形

特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。

二、例题精析

㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】

例一、（2013河南）如图，抛物线2

y x bx c

=-++与直线

1

2

2

y x

=+交于,C D两点，其

中点C在y轴上，点D的坐标为

7

(3,)

2

。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作

PE x

⊥轴于点E，交CD于点F.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,,

O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

【解答】（1）∵直线

1

2

2

y x

=+经过点C,∴(0,2)

C

∵抛物线2

y x bx c

=-++经过点(0,2)

C，D

7 (3,)

2

∴22727

332

2c b b c c =⎧⎧

=⎪

⎪∴⎨⎨=-++⎪⎪=⎩⎩ ∴抛物线的解析式为2

7

22

y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上

∴2

71

(,2),(,2)22

P m m m F m m -+

++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形

① 当03m <<时，2

271

2(2)322

PF m m m m m =-+

+-+=-+ ∴2

32m m -+=，解得：121,2m m ==

即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2

217

(2)(2)32

2

PF m m m m m =+--+

+=- 232m m -=

，解得：123322

m m +=

=（舍去）

即当132

m +=

时，四边形OCFP 是平行四边形 练习1：（2013•盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0），

与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式；

（2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标；

考点：二次函数综合题．

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；

解答：

解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，

∴，

解得a=﹣1，b=2，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．

（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：

，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3．

设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），

∴EF=y E﹣y F=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∵四边形ODEF是平行四边形，

∴EF=OD=2，

∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，

解得x=1或x=2，

∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．

点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点．第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的解析

式．

练习2：已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边

形为平行四边形，求D点的坐标；

(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB

相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

A A

B B

O O

x x y y

图①

练习3:（本题满分12分）如图，抛物线

3

2++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B

两点，

31

tan =

∠OCA ，6=∆ABC S ．

（1）求点B 的坐标；

（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，请写出点E 的坐标（不必书写计算过程）．

答案：24、解：（1）∵ 32

++=bx ax y

∴C (0,3) ………………………………………………1分 又∵tan∠OCA=

3

1 ∴A（1，0）……………………………………………1分 又∵S △ABC =6 ∴

632

1

=⨯⨯AB ∴AB=4 …………………………………………………1分 ∴B（3-，0）…………………………………………1分 （2）把A （1，0）、B （3-，0）代入32

++=bx ax y 得：

⎩⎨

⎧+-=++=3

3903

0b a b a …………………………………………1分

∴1-=a ，2-=b

∴322

+--=x x y ……………………………………2分

∵4)1(2

++-=x y

∴顶点坐标（1-，4）………………………………1分

（3）①AC 为平行四边形的一边时

E 1析(1-，0) ………………………………………1分 E 2（-

-27，0）………………………………1分