二次函数专题提优》。特殊四边形存在性问题

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中考数学总复习《二次函数中的特殊四边形存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的特殊四边形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知抛物线223y x x =+-的图像与坐标轴分别交于、、A B C 三点，连接AC ，点M 是AC 的中点，抛物线的对称轴交x 轴于点F ，作直线FM ．(1)直接写出下列各点的坐标：F ______，M ______；(2)若点P 为直线FM 下方抛物线上动点，过点P 作PQ y ∥轴，交直线FM 于点Q ，当PQM 为直角三角形时，求点P 的坐标；(3)若点N 是x 轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E ，使以点F M N E 、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E 的坐标：若不存在，请说明理由．2．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线223y x x =--+的顶点为D 点，且与x 轴交于B ，A 两点（B 在A 的左侧），与y 轴交于点C ．点E 为抛物线对称轴上的一个动点：(1)当点E 在x 轴上方且CE BD ∥时，求sin DEC ∠的值；(2)若点Р在抛物线上，是否存在以点B ，E ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形﹖请求出点Р的坐标；(3)若抛物线对称轴上有点E ，使得55AE DE +取得最小值，连接AE 并延长交第二象限抛物线为点M ，请直接写出AM 的长度．4．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于()1,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接AC ，CD ，DB ，试求四边形ABDC 面积的最大值；(3)如图2，点(),1D m m -是第一象限内抛物线上的一点，连接AD ，BD ，点E 是线段AB 上的任意一点（不与点A ，B 重合），过点E 分别作EM AD ∥交BD 于点M ，EN BD ∥交AD 于点N ．①判断四边形EMDN 的形状，并证明你的结论；①四边形EMDN 是否能成为正方形？若能，请直接写出点E 的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，AOC 绕原点O 逆时针旋转90︒得到DOB ，其中1OA =，OC=3．(1)若二次函数经过A 、B 、C 三点，求该二次函数的解析式；(2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴l 上是否存在一点P ，使得PA PC +最小？若P 点存在，求出P 点坐标；若P 点不存在，请说明理由．(3)在（1）条件下，若E 为x 轴上一个动点，F 为抛物线上的一个动点，使得B 、C 、E 、F 构成平行四边形时，求E 点坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x bx c =++与直线AB 交于点()0,3A -和()4,0B ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线，交AB 于点E ，过点P 作AB 的垂线，垂足为点F ，求PEF 周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PEF 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点Q 为点P 的对应点，点N 为原抛物线对称轴上一点．在平移后抛物线上确定一点M ，使得以点B ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线BC 下方抛物上一动点，连接PB ，PC ，求PBC 面积的最大值以及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PBC 的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q ，M 为y 轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+-≠与x 轴交于()4,0A ，()2,0B -两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，y 轴上有一点()0,3D -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AD 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，PH 交直线AD 于点E ，作PF BC 交直线AD 于点F ，求11510PF PH +的最大值，及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，将点P 向右平移152个单位长度，再向上平移398个单位长度得到点P '；将抛物线沿着射线BC 方向平移5个单位长度得到一条新抛物线，点M 为新抛物线与y 轴的交点，N 为新抛物线上一点，Q 为新抛物线对称轴上一点，请写出所有使得以点P '，M ，Q ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点Q 的坐标，并写出求解点Q 的坐标的其中一种情况的过程．9．如图，抛物线212y x bx c =-++的图象经过点C ，交x 轴于点()1,0A -、()4,0B （A 点在B 点左侧），顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点Q ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点F ，过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点E ，求矩形PQEF 的周长最大值；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M ，使45BMC ∠=︒？若存在，请直接写出点M 的纵坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线232y ax x c =++与x 轴交于点A 、(4,0)B （A 点在B 点左侧），与y 轴交于点(0,6)C ，点P 是抛物线上一个动点，连接,,PB PC BC(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2所示，当点P 在直线BC 上方运动时，连接AC ，求四边形ABPC 面积的最大值，并写出此时P 点坐标．(3)若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，P 的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M ，使得以点,,,B M N P 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点．(1)求抛物线的解析式． (2)连接AC ，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得ACP △的周长最小？若存在，求出点P 的坐标和ACP △的周长的最小值，若不存在，请说明理由．(3)点M 为抛物线上一动点，点N 为x 轴上一动点，当以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M 的横坐标．12．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求三角形ACP 面积的最大值；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()10A -，，()30B ，和()01C -，三点．(1)求该抛物线的表达式与顶点坐标；(2)点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P 的坐标．14．如图，抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标是19,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，与x 轴交于点A 、点()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在抛物线上，是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于点A 和B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点P 在直线AC 下方的抛物线上运动．(1)求点B 的坐标和直线AC 的解析式；(2)如图1，过点P 作PD y ∥轴交直线AC 于点D ，过点P 作PE AC ⊥，垂足为E ，当PDE △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在x 轴上运动，以点B ，C ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，借助图2探究，请直接写出符合条件的点M 的坐标．参考答案： 1．(1)(1,0)F - 13(,)22M - (2)点P 的坐标为：1P （210322---，） 21555(,)22P ---- (3)存在，13(,)22E 或3(1,)2E --2．(1)223y x x =-++(2)2m =(3)存在，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--3．(1)55(2)存在 ()2,3P - ()4,5P -- ()2,5P -(3)754AM =4．(1)213222y x x =-++ (2)四边形ABDC 面积的最大值为9(3)①矩形①能，7,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．(1)2=23y x x --(2)存在(3)(72,0)-或(72,0)--或(1,0)6．(1)239344y x x =-- (2)365 92,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)13693,216M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 727,216M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 333,216M ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)2=23y x x --(2)315(,)24P - (3)17(,)24N -或533(,)24N 或57(,)24N --8．(1)2142y x x =-- (2)11510PF PH +最大值为758，此时点P 的坐标为335,28⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)点Q 的坐标为()2,39或()2,29或()2,10-9．(1)213222y x x =-++ (2)9(3)3132+或3912--10．(1)233642y x x =-++ (2)2t =时，ABPC S 四边形有最大值，最大值为24，点P 的坐标为(2,6)(3)存在，点M 的坐标为(0,0)或()14,0-或(14,0)或(8,0)11．(1)223y x x =-++(2)(1,2)P 1032+(3)2或17+或17-12．(1)(0,5)(2)1258(3)存在，点M 的坐标为：()3,8-或()3,16-或(7,16)--13．(1)212133y x x =--，顶点坐标为413⎛⎫- ⎪⎝⎭， (2)()21-，或543⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()47-，14．(1)22y x x =-++(2)存在，点Q 的坐标为：35,24Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或37,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭15．(1)点B 的坐标为()20，，直线AC 的解析式为4y x =-- (2)()24--，(3)()24--，或()1174--，或()1174-+，；。

二次函数背景下的特殊四边形存在性判定(解析版)

备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定【方法综述】知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。

它们的判定方法如下：平行四边形的判定方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；矩形判的定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形菱形判定方法有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边相等的四边形是矩形正方形的判定方法平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性解答时常用的技巧：（1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。

如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得a+m=c+e，n+b=d+f则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。

（2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。

（3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。

【典例示范】类型一平行四边形的存在性探究例1：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q的坐标．【答案】（1）y＝12x2＋x－4；（2）当m＝－2时，S有最大值，S最大＝4；（3）满足题意的Q点的坐标有三个，分别是（－2＋2－，（－2－2＋，（－4，4）.【思路引导】（1）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用抛物线的解析式表示出点M 的纵坐标，从而得到点M 到x 轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P 、Q 的坐标，然后求出PQ 的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x 的一元二次方程即可得解．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a （x+4）（x -2），把B （0，-4）代入得，-4=a×（0+4）（0-2），解得a=12， ∴抛物线的解析式为：y=12（x+4）（x -2），即y=12x 2+x -4；（2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设M 点的坐标为（m ，n ），则AD=m+4，MD=-n ，n=12m 2+m -4， ∴S=S △AMD +S 梯形DMBO -S △ABO =111(4)()(4)()44222m n n m +-+-+--⨯⨯= -2n -2m -8=-2×（12m 2+m -4）-2m -8=-m 2-4m =-（m+2）2+4（-4＜m ＜0）；∴S 最大值=4．（3）设P （x ，12x 2+x -4）． ①如图1，当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x -（12x 2+x -4）|=4，解得x=0，-4，-x=0不合题意，舍去．由此可得Q （-4，4）或（-2--2-；②如图2，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）．故满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），（-，2-，（-2-．【方法总结】本题是二次函数综合题，交点式求解析式，二次函数与三角形面积最值问题的公共底的辅助线的做法要注意，二次函数中存在平行四边形的方法，要分别对已知边的分别为平行四边形的边或是对角线进行分类讨论.针对训练1．如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A （﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC 的函数解析式；（2）若点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式；（3）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E 的坐标．【答案】（1）（2）S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）（3）（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）【解析】（1）∵A （﹣4，0）在二次函数y=ax 2﹣x+2（a≠0）的图象上， ∴0=16a+6+2，解得a=﹣， ∴抛物线的函数解析式为y=﹣x 2﹣x+2； ∴点C 的坐标为（0，2），设直线AC 的解析式为y=kx+b ，则， 232(0)2y ax x a =-+≠122y x =+32--32-3212123204{2k b b=-+=解得，∴直线AC 的函数解析式为：；（2）∵点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，∴D （m ，﹣m 2﹣m+2），过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，则DH=﹣m 2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m ，∵四边形OCDA 的面积=△ADH 的面积+四边形OCDH 的面积，∴S=（m+4）×（﹣m 2﹣m+2）+（﹣m 2﹣m+2+2）×（﹣m ），化简，得S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）；（3）①若AC 为平行四边形的一边，则C 、E 到AF 的距离相等，∴|y E |=|y C |=2，∴y E =±2．当y E =2时，解方程﹣x 2﹣x+2=2得，x 1=0，x 2=﹣3，∴点E 的坐标为（﹣3，2）；当y E =﹣2时，解方程﹣x 2﹣x+2=﹣2得，x 1=，x 2=，∴点E 的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若AC 为平行四边形的一条对角线，则CE ∥AF ，∴y E =y C =2，∴点E 的坐标为（﹣3，2）．综上所述，满足条件的点E 的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．1{22k b ==122y x =+123212321212321212321232123232-32-+32-32-32--32-+2．（云南省弥勒市2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线y =x 2−2x −3与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2.（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的F 点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）A(−1,0)，B(3,0)，y =−x −1。

二次函数背景下特殊四边形的存在性问题8.20定稿.doc

∴N（5﹣ ，），
③以BD为边，过M作MH⊥x轴于H， ∴在RT△BHM中MH2+BH2=BM2
即
1 (n 2)2 (n 4)2 12 2
∴
n1

4

25 5
n2
42 5 4
（不合题意舍去）
∴N（5+ ，）
菱形的存在性问题
• 题目背景：此类题目考查的是二次函数的综合应用，主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理（解直角三角形）以及菱形的性质。
①若以PQ为菱形对角线，此时BQ=t，菱形的边长=t
因为BQ=CQ=t
t5 2
点Q为BC的中点，
Q( 3， 2) 2
∵ D2与点Q的横坐标相差t个单位 D2 (1， 2)
②若以CQ为菱形对角线，
此时BQ t菱形的边长 t CE 1 CQ 1 (5 t)
2
2
在R T △CE P中 c os
X
A
2
XC
,
YA
2
YC
)
又∵点E为BD的中点
∴E点的坐标为
(XB
2
XD
, YB
YD 2
)
∴ XA XC XB XD,,YA YC YB YD
即：平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等
类型一：三点一动的平行四边形
(3)在抛物线 y x2 2x a(a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？
(∴综公∴1)P上由式m3=，(已得42满,，知-：足1∴条)-条.件1P+2件可0(的=4得3点+,抛mP物，53为线)P1∴；的(-表m4=,达-74)式，、yP∴=2(P41(,-54,7))、；

《二次函数专题提优》：特殊四边形存在性问题

《二次函数专题提优》：特殊四边形存在性问题（一）、平行四边形存在性原理：1、实验与探究：（1）、在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A B D，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是(52)，，，；（2）、在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A B D，，的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a b c d e f，，，，，的代数式表示）；归纳与发现:（3）、通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a bB c dC m nD e f，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e，，，之间的等量关系为；纵坐标b d n f，，，之间的等量关系为（不必证明）；运用与推广：（4）、在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c=---和三个点15192222G c c S c c⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c，（其中0c>）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G S H P，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标．图1图2图3图4（二）、平行四边形的存在性问题：2、在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线cbxaxy ++=2的对称轴是x=1,并且经过(−2,−5)和(5,−12)两点。

(1)、求此抛物线的解析式；(2)、设此抛物线与x轴交于A. B 两点(点A 在点B的左侧),与y轴交于C 点,D是线段BC上一点(不与点B. C重合)，若以B. O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标；(3)、点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A. B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标3、如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3,0），点B（1,0），交y轴于点E（0，-3），点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线y=-x+m过点C，交y轴于点D. （1）、求抛物线的函数表达式；（2）、点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）、在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.A xB CDHEFGKO xylA B CDHEFGKOyl备用图图①4、如图,抛物线c bx ax y ++=2与直线y=21x −3交于A. B 两点,其中点A 在y 轴上,点B 坐标为(−4,−5)，点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D. (1)、求抛物线的解析式；(2)、以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。

二次函数中考压轴题四边形的存在性问题解析

二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选【例1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．【答案】解：（1）当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3。

∵点A 在点B 的左侧，∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。

当x=0时，y=3。

∴C 点的坐标为（0，3）。

设直线AC 的解析式为y=k 1x+b 1（k 1≠0），则111b =3k +b =0⎧⎨-⎩，解得11k =3b =3⎧⎨⎩。

∴直线AC 的解析式为y=3x+3。

∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4）。

（2）抛物线上有三个这样的点Q 。

如图，①当点Q 在Q 1位置时，Q 1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q 1的坐标为（2，3）；②当点Q 在点Q 2位置时，点Q 2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q 2坐标为（1+7，﹣3）；③当点Q 在Q 3位置时，点Q 3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q 3的坐标为（1﹣7，﹣3）。

综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+7，﹣3），Q 3（1﹣7，﹣3）。

（3）点B 作BB′⊥AC 于点F ，使B′F=BF ，则B′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求。

过点B′作B′E ⊥x 轴于点E 。

专题：以二次函数为背景的特殊四边形的存在性问题

专题：以二次函数为背景的特殊四边形的存在性问题本文讨论以二次函数为背景的特殊四边形的存在性问题，其中特殊四边形包括平行四边形、矩形、菱形和正方形。

首先介绍平行四边形的性质和判定。

平行四边形的定义是两组对边分别平行的四边形。

其性质包括两组对边分别相等、两组对角分别相等、对角线互相平分等。

判定平行四边形的方法有四种，分别是两组对边分别、两组对角分别、一组对边和对角线互相平分。

接下来介绍矩形的性质和判定。

矩形是有一个角是直角的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质，包括四个角都是直角、对角线相等、是轴对称图形和中心对称图形等。

判定矩形的方法有四种，分别是有一个角是直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形、有三个角是直角的四边形和对角线相等且互相平分的四边形。

然后介绍菱形的性质和判定。

菱形是有一组邻边相等的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质，包括四边相等、对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角、是轴对称图形和中心对称图形等。

判定菱形的方法有三种，分别是一组邻边相等的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形和四边相等的四边形。

最后介绍正方形的性质和判定。

正方形是一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质。

判定正方形的方法有五种，分别是有一个角是直角的菱形、一组邻边相等的矩形、对角线互相垂直的矩形、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形和对角线相等的菱形。

本文主要涉及的题型包括三定点一动点、两定点两动点和一定点三动点，其中方法包括两圆一中垂。

如图，抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+x+2$与$x$轴正半轴交于点A，与$y$轴交于点C，过点C作$x$轴的平行线交抛物线于点B，点D在线段OA上，且$BD=BA$，点P的坐标是（1，3），点Q从点D出发，沿D→B→C→O方向运动，点Q在线段DB上以每秒2个单位的速度运动，当点Q在线段BC，CO上时，则以每秒1个单位的速度运动，到点O停止。

二次函数背景下特殊四边形的存在性问题探究

二次函数背景下特殊四边形的存在性问题探究黄㊀芳(广西南宁市第十四中学ꎬ广西南宁５３００２８)摘㊀要:二次函数与四边形都是初中数学的核心内容ꎬ二次函数背景下特殊四边形的存在性问题是中考的重点考查内容ꎬ常出现在压轴题中.这类问题难度较大ꎬ即使部分优秀学生对此类问题有所掌握ꎬ但在解题中也容易出现漏解ꎬ特别是用几何方法时存在作图准确性不够的缺陷.笔者另辟蹊径ꎬ在教学实践中将几何问题代数化ꎬ合理分类ꎬ有序组合ꎬ利用方程等模型ꎬ归纳出解决问题的基本思路和一般方法ꎬ取得了较好的效果.关键词:二次函数ꎻ特殊四边形ꎻ存在性问题ꎻ探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０８－００１６－０３收稿日期:２０２３－１２－１５作者简介:黄芳(１９８５ )ꎬ女ꎬ湖南省衡阳人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀在初中阶段ꎬ平行四边形㊁矩形㊁菱形㊁正方形等都是特殊的四边形ꎬ其与二次函数相结合的中考试题屡见不鲜ꎬ这类问题具有一定的选拔功能ꎬ对学生而言具有一定的难度.１知识引入问题１㊀已知线段ＡＢ平行于ｙ轴ꎬＡ(－２ꎬ２)ꎬＢ(－２ꎬ－１)ꎬ线段ＡＢ的长度是多少?问题２㊀如图１ꎬ将线段ＡＢ平移到线段Ａ１Ｂ１的位置ꎬ则点Ａ１的坐标是.学生运用平面直角坐标系中点的平移规律进行解答ꎬ有多种解法.下面展示其中一种解法.如图２ꎬ连接ＡＡ１ꎬＢＢ１ꎬ分别过点Ａ作ｘ轴的垂线ꎬ过点Ａ１作ｙ轴的垂线相交于点Ｅꎬ过点Ｂ作ｙ轴的垂线ꎬ过点Ｂ１作ｘ轴的垂线相交于点Ｆ.易得әＡＡ１ＥɸәＢ１ＢＦ.设Ａ１的坐标是(ｘꎬｙ)ꎬ则Ａ１Ｅ＝ＢＦꎬｘ－(－２)＝３－(－３)ꎬ求得ｘ＝４ꎬ同理可得ｙ＝４.所以点Ａ１的坐标为(４ꎬ４).设计意图:学生回顾平移的有关性质ꎬ可得ＡＢʊＡ１Ｂ１ꎬＡＡ１ʊＢＢ１ꎬ且ＡＢ＝Ａ１Ｂ１ꎬＡＡ１＝ＢＢ１ꎬ四边形ＡＢＢ１Ａ１是平行四边形ꎬ为后面的问题作铺垫[１].图１㊀线段平移示意图图２㊀线段平移的解法示意图２规律探究问题３㊀如果有一个任意的平行四边形ＡＢＣＤꎬ顶点坐标分别Ａ(ｘＡꎬｙＡ)ꎬＢ(ｘＢꎬｙＢ)ꎬＣ(ｘＣꎬｙＣ)ꎬＤ(ｘＤꎬｙＤ)ꎬ这四个顶点的横纵坐标之间分别有什么样的数量关系?解析㊀过点Ａ㊁Ｄ分别作ｘ㊁ｙ轴的垂线交于点Ｅꎬ过点Ｂ㊁Ｃ分别作ｘ㊁ｙ轴的垂线交于点Ｆꎬ易得６１әＡＥＤɸәＣＦＢꎬ所以ＤＥ＝ＢＦꎬＡＥ＝ＣＦꎬ即ｘＤ－ｘＡ＝ｘＣ－ｘＢꎬｙＤ－ｙＡ＝ｙＣ－ｙＢ.{同理可得әＡＭＢɸәＤＮＣꎬ所以ＡＭ＝ＤＮꎬＢＭ＝ＣＮꎬ即ｘＡ－ｘＢ＝ｘＤ－ｘＣꎬｙＡ－ｙＢ＝ｙＤ－ｙＣ{.追问１㊀反过来ꎬ如果有一个四边形ＡＢＣＤꎬ它的四个顶点的坐标满足上面的数量关系ꎬ这个四边形ＡＢＣＤ是平行四边形吗?解析㊀由ｘＤ－ｘＡ＝ｘＣ－ｘＢꎬｙＤ－ｙＡ＝ｙＣ－ｙＢꎬ{得ＤＥ＝ＢＦꎬＡＥ＝ＣＦ.由ｘＡ－ｘＢ＝ｘＤ－ｘＣꎬｙＡ－ｙＢ＝ｙＤ－ｙＣ{ꎬ得ＡＭ＝ＤＮꎬＢＭ＝ＣＮ.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证.追问２㊀通过证明发现它们是一个等价于的关系.大家再仔细观察ꎬ上述两个方程组有什么共同特征?解析㊀本质上是相同的ꎬ即ｘＡ＋ｘＣ＝ｘＢ＋ｘＤꎬｙＡ＋ｙＣ＝ｙＢ＋ｙＤ.{追问３㊀同学们能用文字语言总结此结论吗?性质:平面直角坐标系中ꎬ平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等ꎬ纵坐标之和也相等.判定:平面直角坐标系中ꎬ两组相对顶点的横坐标之和相等ꎬ纵坐标之和也相等的四边形是平行四边形ꎬ不妨称之为对点法 .设计意图:从平移线段开始引导学生观察平行四边形坐标间的关系ꎬ借助问题２的探究方法和思路ꎬ开展问题３的探究ꎬ归纳出一般结论ꎬ渗透化归ꎬ从特殊到一般等思想方法ꎬ得到的方程组简洁㊁对称性好ꎬ为结论的灵活应用创造了良好条件[２].３结论应用３.１类型１: 三定一动型例１㊀如图３ꎬ已知抛物线ｙ＝ｘ２－ｘ－２与ｘ轴的交点为Ａ㊁Ｂꎬ与ｙ轴的交点为Ｃꎬ点Ｐ是平面内一点ꎬ判断有几个位置能使以点Ｐ㊁Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ为顶点的四边形是平行四边形ꎬ请写出相应的坐标.解析㊀根据题意求出Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬＣ(０ꎬ－２)ꎬ设点Ｐ的坐标为(ｘꎬｙ)ꎬ分三种情况讨论.当点Ｐ与点Ａ相对ꎬ点Ｂ与点Ｃ相对时ꎬ得ｘ＋(－１)＝２＋０ꎬｙ＋０＝０＋(－２)ꎬ{解得ｘ＝３ꎬｙ＝－２.{当点Ｐ与点Ｂ相对ꎬ点Ａ与点Ｃ相对时ꎬ得ｘ＋２＝(－１)＋０ꎬｙ＋０＝０＋(－２)ꎬ{解得ｘ＝－３ꎬｙ＝－２.{当点Ｐ与点Ｃ相对ꎬ点Ａ与点Ｂ相对时ꎬ得ｘ＋０＝(－１)＋２ꎬｙ＋(－２)＝０＋０ꎬ{解得ｘ＝１ꎬｙ＝２.{所以满足条件的点Ｐ有三个ꎬ分别为(３ꎬ－２)ꎬ(－３ꎬ－２)ꎬ(１ꎬ２).图３㊀点的分布示意图思路小结:第一步ꎬ求出定点ꎬ根据条件用含字母的式子表示动点的坐标ꎬ即设点ꎻ第二步ꎬ根据对应顶点分类ꎬ利用对点法列方程组求解ꎬ即求点ꎻ第三步ꎬ画出几何图形ꎬ检验结果的正确性ꎬ即验点.设计意图:通过应用对点法 ꎬ学生体验到从代数角度解决几何问题的优点ꎬ思路清晰ꎬ分类明确ꎬ不用借助图形ꎬ直接利用顶点间的关系列出方程组求出结果.第三步验点ꎬ让学生感受几何图形的直观ꎬ整个过程生动体现了华罗庚先生所说的数缺形时少直观ꎬ形少数时难入微. ３.２类型２: 两定两动型例２㊀(２０２２年攀枝花中考试题改编)如图４ꎬ二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ的图象与ｘ轴交于Ｏ㊁Ａ两点ꎬ且二次函数的最小值为－１ꎬ点Ｍ(１ꎬｍ)是其对称轴上一点ꎬｙ轴上一点Ｂ(０ꎬ１).在二次函数图象上是否存在点Ｎꎬ使以Ａ㊁Ｂ㊁Ｍ㊁Ｎ为顶点的四边形是平行四边形?若存在ꎬ直接写出所有符合条件的点Ｎ的坐标ꎬ若不存在ꎬ请说明理由.解析㊀根据条件易得Ａ(２ꎬ０)ꎬＢ(０ꎬ１)ꎬ设Ｍ(１ꎬｍ)ꎬＮ(ｎꎬｎ２－２ｎ).分三种情况讨论.当点Ｎ与点Ａ相对ꎬ点Ｂ与点Ｍ相对时ꎬ得ｎ＋２＝０＋１ꎬｎ＝－１ꎬｎ２－２ｎ＝３所以Ｎ(－１ꎬ３)ꎻ当点Ｎ与点Ｂ７１相对ꎬ点Ａ与点Ｍ相对时ꎬ得ｎ＋０＝１＋２ꎬｎ＝３ꎬｎ２－２ｎ＝３ꎬ所以Ｎ(３ꎬ３)ꎻ(３)当点Ｎ与点Ｍ相对ꎬ点Ａ与点Ｂ相对时ꎬ得ｎ＋１＝０＋２ꎬｎ＝１ꎬｎ２－２ｎ＝－１ꎬ所以Ｎ(１ꎬ－１).综上所述ꎬ满足条件的点Ｎ有三个ꎬ分别为(－１ꎬ３)ꎬ(３ꎬ３)ꎬ(１ꎬ－１).设计意图:进一步熟练对点法的应用ꎬ不用画出图形ꎬ直接根据例１的思路小结分类求解ꎬ并且此题求点Ｎ的坐标ꎬ只要求出ｎ的值即可.根据条件不需要列出方程组ꎬ只需利用对点法中相对顶点的横坐标之和相等列出第一个方程就能得出结果.图４㊀例２题图３.３类型３: 四动型练习平面直角坐标中ꎬｙ＝０.５ｘ２＋ｘ－４与ｙ轴相交于点Ｂ(０ꎬ－４)ꎬ点Ｐ是抛物线上的动点ꎬ点Ｑ是直线ｙ＝－ｘ上的动点ꎬ判断有几个位置能使以点Ｐ㊁Ｑ㊁Ｂ㊁Ｏ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ写出相应的点Ｑ的坐标.设计意图:在应用结论环节ꎬ设计了三定一动和两定两动型问题ꎬ常规方法对学生而言是有一定困难的.利用对点法ꎬ直接设点列方程组求解点的坐标更加直接ꎬ通过两个例题总结了设点㊁求点的解题思路ꎬ最后拓展到四个动点的情况仍可用这样的方法解决.４拓展延伸例３㊀(２０２２年随州中考试题改编)如图５ꎬ在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ抛物线ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３与ｘ轴分别交于点Ａ(－３ꎬ０)和点Ｂ(１ꎬ０)ꎬ与ｙ轴交于点Ｃꎬ对称轴为直线ｘ＝－１ꎬ且ＯＡ＝ＯＣꎬＰ为抛物线上一动点.设Ｍ为抛物线对称轴上一动点ꎬ当ＰꎬＭ运动时ꎬ在坐标轴上是否存在点Ｎꎬ使四边形ＰＭＣＮ为矩形?若存在ꎬ直接写出点Ｐ及其对应点Ｎ的坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由.图５㊀例３题图解法从略ꎬ请读者自行探究.设计意图:矩形的存在性问题有一定的难度ꎬ此题在对点法求平行四边形存在性的基础上再根据对角线相等的平行四边形是矩形的性质ꎬ利用勾股定理列方程ꎬ解出方程组即可.５教学思考５.１建构知识ꎬ理清脉络二次函数背景下特殊四边形的存在性问题具有一定的挑战性ꎬ为了突破这一难点ꎬ我们归纳出对点法的解题策略.平行四边形的存在性问题中由一动两动到四动三个问题层层推进ꎬ让学生体会到方法的一致性和思维的连贯性.从平行四边形到矩形的例题设计注重层次性㊁阶梯性ꎬ始终有意识地挖掘学生的最近发展区ꎬ让难度螺旋式递进ꎬ遵循高立意ꎬ低起点ꎬ深研究的设计原则ꎬ让不同学习水平的学生都能从中获得进步和发展.５.２思想立意ꎬ提升思维在中考复习中ꎬ数学思想方法的渗透也是教学的重任ꎬ本专题中运用了转化ꎬ化归㊁从特殊到一般㊁分类讨论㊁数形结合等思想对问题展开研究.比如ꎬ借助问题２的探究方法和思路开展问题３的探究ꎬ归纳出一般结论㊁渗透化归㊁从特殊到一般㊁数学建模等数学思想.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(２０２２年版)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０２２.[２]杨少辉.二次函数中构造平行四边形的解题策略[Ｊ].新课程(中)ꎬ２０１９(０２):９４.[责任编辑:李㊀璟]８１。

专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9上人教版)

专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法类型一、平行四边形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点(3)如图2，设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为边形CDPM 是平行四边形？若存在，直接写出点【答案】(1)22y x=-(2)①23922S t t =-+；②点P 到直线BC 的距离的最大值为(3)存在，()1,6M 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①在图1中，过点P 作PF y ∥轴，交BC 于点P 的坐标为()2,23t t t -++，则点F 的坐标为(t 2139222S PF OB t t =⋅=-+；②根据二次函数的性质得出当32t =时，S 取最大值，最大值为面积法求得点P 到直线BC 的距离，进而得出P （3）如图2，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点设直线BC 的解析式为将()3,0B 、()0,3C 代入30,3m n n +=⎧⎨=⎩，解得：∴直线BC 的解析式为∵点P 的坐标为(,t t -∴点F 的坐标为(,t -∴(223PF t t =-++-∴1322S PF OB =⋅=-②12S PF OB =⋅=-∵302-<，∴当32t =时，S 取最大值，最大值为抛物线2y x bx =-++∴抛物线的对称轴为直线 1D C x x -=，∴1P M x x -=，∴2P x =，()2,3P ∴，在223y x x =-++中，当()0,3C ∴，∴3C D y y -=，∴3M P y y -=，∴6M y =，∴点M 的坐标为()1,6；当2P x ¹时，不存在，理由如下，若四边形CDPM 是平行四边形，则点C 的横坐标为0，点∴点P 的横坐标12t =⨯又 2P x ¹，(1)求点C 的坐标；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点此时点P 的坐标；(3)抛物线顶点为M ，在平面内是否存在点若存在请求出N 点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()4,5C (2)315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点N 的坐标为：()154N -，，【详解】（1）解：在2=23y x x --中，令解得：11x =-，23x =，()()1,0,3,0A B ∴-，直线y x m =+经过点()1,0A -，∴01m =-+，解得：1m =，∴直线AC 的解析式为1y x =+，联立方程组，得2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得：1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩()4,5C ∴；（2）如图1，设点2(,23)P n n n --，则点∴2212334()PE n n n n n =+---=-++ 10-<，∴当32n =时，PE 取得最大值254，此时，（3） 2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线顶点为()14M -，，如图2，点,,,A B M N 为顶点的四边形是平行四边形时，设①BM 为对角线时，AN 的中点与BM ∴(1)3122m +-+=，04022n +-+=，解得：∴()154N -，，②AM 为对角线时，BN 的中点与AM ∴31122m +-+=，04022n +-+=，解得：(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使得PA PC +值最小，求最小值；(3)点M 为x 轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N ，使以边形为平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)215222y x x =--(2)552(3)54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）把()1,0A -，()5,0B 两点代入求出a 、b 的值即可；（2）因为点A 关于对称轴对称的点B 的坐标为()5,0，连接BC 点坐标即可；（3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论．拋物线的解析式为212y x =-∴其对称轴为直线2b x a =-=-当0x =时，52y =-，50,2C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()5,0B ，∴设BC 的解析式为(y kx b =+5052k b b +=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，解得：12k =，52b =-，∴BC 的解析式为1522y x =-，当2x =时，1532222y =⨯-=-，①当点N 在x 轴下方时，抛物线的对称轴为2x =，0,C ⎛- ⎝154,2N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，②当点N 在x 轴上方时，如图，过点在2AN D △和2M CO △中，22N AD AN N DA ∠⎧⎪⎨⎪∠⎩252N D OC ∴==，即2N 点的纵坐标为21552222x x ∴--=，解得：2x =+25214,2N ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，35214,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述符合条件的N 的坐标有⎛ ⎝【点睛】本题考查的是二次函数综合题，式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（意进行分类讨论．(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E 在x 轴上运动，点F 在抛物线上运动，当以点B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E 的坐标．【答案】(1)213222y x x =-++(2)存在，3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)541,02⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或541,02⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(7,0)或(1,0)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分两种情况：以C 为顶点，即CP CD =；以D 为顶点，即CD =等腰三角形的定义建立方程即可完成；（3）分三种情况：当BC 是对角线时；当BE 是对角线时；当BF 是对角线时；分别设点与F 的坐标，利用中点坐标公式即可求解．【详解】（1）解：∵点B 的坐标是(40)，，点C 的坐标是(02)，，∴16602a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴所求抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）解：存在(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)232333y x x =-++(2)()2,33E 2039⎫⎪⎭或532,339⎛⎫⎪⎝⎭）根据待定系数法求解即可；∵232333y x x =-++()23143x =--+，∴()1,43D ．令232333y x x =-++中0y =，则解得=1x -或3x =，抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点∵四边形EFGH 是菱形，EFG ∠∴EF FG GH EG ===，∵60EFG ∠=︒，∴EFG 是等边三角形．∴60FEG EF FG ∠=︒=，，∵()2,33E ，()0,33C ，(1,4D ∴2CE CD ==，()24333-+同理可证： EFG 是等边三角形，∵CF FE =，=GE FE ，∴DG ∴CDG CEG ∆∆≌．∴DCG ∠=∴直线CG 的表达式为：33y =与抛物线表达式联立得33y y ⎧=⎪⎨⎪=-(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是直线AC 上方拋物线上一动点，连接BC ，AD ADM △的面积为1S ，BCM 的面积为2S ，当121S S -=时，求点(3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴交直线上是否存在点E ，使以P ，Q ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)223y x x =-++(2)271,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或271,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．(3)符合条件的点E 有三个，坐标为：()0,1E ，(10,132E -【分析】（1）把点()30A ，和()10B -，代入解析式求解即可；（2）由121S S -=得121S S =+从而121ABM ABM S S S S +=++ 程求解即可；（3）分类当CQ 为对角线和菱形边时，利用直线AC 与x 轴成标的方程，进而求出点的坐标．【详解】（1）把点()3,0A 和()1,0B -代入得：93330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）设(),D x y ，对于抛物线223y x x =-++，令0x =，则()0,3C ∴．121S S -= ，121S S ∴=+．∵()30A ，，()0,3C ，∴3OA OB ==，45OCA ∴∠=︒，此时四边形CEQP 是正方形．PQ EQ ∴=．设()2,23P m m m -++，则23PQ m m =-+，23m m m ∴-+=，解得m =此时32OE OC m =-=-=②当CQ 为菱形的边时，如图设()2,23P m m m -++，则∴HQ m =，2PQ m =-+作QH OC ⊥于点H ，45OCA ∠︒= ，∴22CQ HQ m ==．∴23CE PQ m m ==-+=解得：132m =-，23m =()323213OE =+-=+()10,132E ∴-，(20,1E +综上所述，符合条件的点【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点（点A 在点B 左侧），与(1)求ABC 的面积；（3）解：∵抛物线212y x x =--∴()211942212y x x x =--+=-2＋＋∵将抛物线2142y x x =--+沿着水平方向向右平移∴新抛物线为：()112y x =--2＋∴原抛物线与新抛物线的交点，∴()()1111992222x x -=--22＋＋＋，∴解得：0x =，【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与特殊图形，二次函数的平移规律，掌握二次函数与特殊图形的位置关系是解题的关键．类型三、矩形存在性问题(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出【答案】(1)2142y x x =--(2)335,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；254(3)()4,8M -、()8,4N -【分析】（1）把点()4,0A 和点B a 、b 的值；（2）先用待定系数法求出直线2211,422D t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，然后求出最大值时t 的值，即可求出点P （3）假设抛物线上是存在点M ，一条边的四边形为矩形，过点O 点A 且与OH 平行的直线解析式，经计算验证可得过点立方程可求得M 的坐标，通过平移即可求得点【详解】（1）解：把点()4,0A 和点∵()4,0A ，()0,4C -，∴OAC 为等腰直角三角形，∴点H 为AC 的中点，即(H 则OH 所在的直线方程为y =∵四边形AMNC 为矩形，∴过A 与直线AC 相垂直的直线函数解析式中的∴设AM 所在的直线解析式为∵点A 在直线AM 上，(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)将抛物线L 向右平移1个单位，得到新抛物线对称轴l 上是否存在点D ，使得以点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()1,0A -，()3,0B (2)存在，点D 的坐标为()2,1或【分析】（1）分别令0y =和x （2）先求得平移后的抛物线L 角线时，根据矩形的性质求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则解得11x =-，23x =，当AD 为对角线时，连接AC ，过点 ()1,0A -，()0,1C -，∴1OA OC ==，∴45OCA ∠=︒∴45OCG ∠=︒∴1OG OC ==，∴()1,0G ．设CG 所在直线解析式为y kx =+将()0,1C -，()1,0G 代入得，⎧⎨⎩解得11k b =⎧⎨=-⎩，∴CG 所在直线解析式为1y x =-当2x =时，1211y x =-=-=．∴()2,1D ．当AD 为边时，同理过点A 作AC 易得AH 所在直线解析式为y =当AC 为对角线时，DE 也为对角线，∴此种情况不存在．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设PBC 的面积为S ，求S 坐标；(3)已知M 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N ，使以B 的四边形是矩形？若存在，直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22+3y x x =-+(2)S 最大值为278，315(,)24P (3)存在，点1(2,(317))2N +或1(2,(317))2-或(2,1)-或(4,1)．【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，设抛物线(1)(y a x x =+解；（2）如图，过点P 作PD AC ⊥，垂足为点D ，交BC 于点E ，设(,P m 的解析式3y x =-+，于是23PE m m =-+，从而13(22S PE OC m ==- 时，S 最大值为278，进而求得315(,)24P ；设2(,23)P m m m -++设直线BC 的解析式为y kx =033k hh =+⎧⎨=⎩，解得13k h =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+则点(,3)E m m -+，2PE m =-∴2113(22S PE OC m ==´-+ ∴当32m =时，S 最大值为2782915233344m m -++=-++=∴315(,)24P ；（3）存在．设(1,)M p ，如图，223BC =222(13)(0)CM p p =-+-=如图，当BM 为对角线时，∠222BM CM BC =+，即26p p -+01330n p q +=+⎧⎨+=+⎩解得21n q =-⎧⎨=⎩∴点(2,1)N -如图，当CM 为对角线时，MBC ∠222BM BC CM +=，即26p p -+(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P 满足PAB PBA ∠=∠，求点P 的坐标；(3)设M 是抛物线的对称轴上一点，N 是坐标平面内一点，正方形的面积．【答案】(1)32x =-(2)()51,51P --+(3)正方形AMPN 的面积为172或372【分析】（1）由4y x =+可知()4,0A -，()0,4B ，进而求得抛物线解析式为即可得抛物线的对称轴方程；（2）由题意可知PAB PBA ∠=∠，可知PA PB =，进而值OP 其与AB 交于点Q ，可得()2,2Q -，可求得OP 的解析式为则90PDM ACM ∠=∠=︒∴DPM PMD PMD ∠+∠=∠∴(AAS PDM MCA △≌△∴PD MC =，MD AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422MD AC ==-=，则90PEM ACM ∠=∠=︒∴EPM PME PME ∠+∠=∠∴(AAS PEM MCA △≌△∴PE MC =，ME AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422ME AC ==-=，则P y CE MC ME ==+=即：32P x m =-，P y m =-(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线(2)在点P 的运动过程中，求使四边形(3)点N 为平面内任意一点，在（2N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点【答案】(1)()1,0A -，()3,0B ，C (2)32m =-(3)()1221,2Q +，2252,2Q ⎛+ ⎝【分析】（1）分别令0y =，0x =，可求出点∵()3,0B ，()0,3C ，∴3OB OC ==，∴BOC 是等腰直角三角形，∴点()221,2Q +，∴()22132322EQ =+--=-∴PE EQ =，此时点()221,2Q +使得以P ，E 如图，过点E 作EQ PM ⊥于点Q ，过点由（2）得：45BED ∠=︒，∵PM BC ∥，∴45BED DPQ ∠=∠=︒，∴PEQ ，PSQ 是等腰直角三角形，∴此时点Q 使得以P ，E ，Q ，N 为顶点的四边形是正方形；∴132222PS SE PE -===，∴点5232,12S ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，对于321y x =-++，当5212y =-时，222x =+，(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH 点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点标．【答案】(1)抛物线的解析式为2142y x x =-++；(2)4EH =；(3)点N 的坐标为()44，或7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的解析式为4y x =-+，设2142x E x x ⎛ ⎝-++，对称性质求得21422H x x x ⎛⎫- ⎪+⎝-+⎭，，推出2122GH EF x -=-+矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；（3）先求得直线AC 的解析式为24y x =+，分别过点M 、E 作90OPE MQO ∠=∠=︒，90OEP ∠=︒∴OEP MOQ ≌△△，∴PE OQ =，PO MQ =，设2142m E m m ⎛⎫ ⎪⎝-++⎭，，∴PE OQ m ==-，12P m O M Q ==-∵点M 在直线AC 上，∴244212m m m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，解得m =当4m =时，()04M ，，()40E ，，即点M 与点C 重合，点E 与点B 重合时，四边形当1m =-时，512M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，512E ⎛- ⎝，点O 向左平移52个单位，再向下平移则点E 向左平移52个单位，再向下平移∴551122N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，即7322N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．课后训练(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 、Q 为直线BC 下方抛物线上的两点，点Q 的横坐标比点过点P 作PM y ∥轴交BC 于点M ，过点Q 作QN y ∥轴交BC 于点N ，求值及此时点Q 的坐标；(3)如图3，将抛物线()230y ax bx a =+-≠先向右平移1个单位长度，再向下平移长度得到新的抛物线y '，在y '的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E D 、E 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为2=23y x x --(2)当1a =时，max ()4PM QN +=，()2,3Q -(3)()1,2E --或()5,2-或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）设()2,23P a a a --，则()21,4Q a a +-，进而得到(),3M a a -，(N 出222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+，最后根据二次函数的性质即可解答；（3）分以BC 为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．【详解】（1）解：把()1,0A -和()3,0B 代入()230y ax bx a =+-≠，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1a =，2b =-∴222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+∴当1a =时，max ()4PM QN +=∴()2,3Q -．（3）解：由题意可得：()()()222=1213152x y x x x x --'---=---=-，∴y '的对称轴为2x =∵抛物线()230y ax bx a =+-≠与y 轴交于点C ．∴()0,3C -,∵()3,0B ,∴3OC OB ==,45BCO CBO ∠=∠=︒；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的下方，过D 作DF y ⊥轴，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FD =，∴2CF FD ==,325OF =+=,即点()2,5D -，∴点C 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D ，则点B 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到()5,3E -；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的上方，y '的对称轴为2x =与x 轴交于F ，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FO =，∴321BF =-=，∵45CBO ∠=︒，即45DBO ∠=︒，∴321BF FD ==-=,即点()2,1D ，∴点B 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D ，则点C 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点()1,2E --；如图：当BC 为矩形对角线时，设∴BC 的中点F 的坐标为32⎛ ⎝∴2322322m d n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得：m d =⎧⎨+⎩又∵DE BC =,∴()()22222133d n -+-=+联立173d n d n ⎧-=±⎪⎨+=⎪⎩，解得：∴点E 的坐标为3171,2⎛-- ⎝综上，存在()1,2E --或(5,的四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上的动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线y x =上的动点，当点P 在第四象限时，求四边形PBDC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)已知点E 为x 轴上一动点，点Q 为平面内任意一点，是否存在以点P ，C ，E ，Q 为顶点的四边形是以PC 为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2=23y x x --(2)278，315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3333,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭；3333,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；(3,3)-；(3,2)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设()2,23P m m m --，则(,3)H m m -，23PH m m =-+，则2139()228BPC S t ∆=--+，当32t =时，BPC △的面积最大值为从而求出此时四边形PBDC 面积的最大值，P 点坐标；（3）设()2,23P m m m --，(,0)E n ，分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可．【详解】（1）解：将(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-中，得309330a b a b --=⎧⎨+--⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．∴该抛物线的函数表达式为2=23y x x --．（2）解：作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设直线BC 的表达式为：y kx =+得303k n n +=⎧⎨=-⎩，解得13k n =⎧⎨=-⎩，3y x ∴=-．设()2,23P m m m --，则(,H m m ∵BPC CPH BPHS S S =+△△△∴1122BPC S PH OG PH BG =⋅+⋅△∴(21322BPC S PH OB m =⨯=-+△∴28323272BPC S m ⎛⎫=-+ ⎪⎝-⎭△，∴当32m =时，BPC △面积的最大值为BC 与直线y x =平行，1122DBC OBC S S OB OC ∴==⋅=△△∴四边形PBDC 面积的最大值为当32m =时，2332322y ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=315,24P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭（3）解：设()2,23P m m m --，I.如图，当点E 在原点时，即点∵四边形PECQ 为正方形，∴点3(3,)Q -，II.如解图3-2，当四边形PECQ 作PI x ⊥轴，垂足为I ，作QH ⊥又∵90CEO OCE ∠+∠=︒，∴OCE PEO ∠=∠，∴(ASA)OCE PEI ≅ △∴3CO IE ==，22EO IP m ==-同理可得：3QH CO IE ===，∴3OE OI IE m =+=+，HO IO=∴2323m m m +=--，解得：m ∴3332HO IO +==，∴点)33(3,32Q +-，同理可得：PI OE CH ==，IE QH =∴3OE IE IO m =-=+，∴2233m m m =---，解得：m =∴3332HO IO -+==，∴点3,(Q -IV.如解图3-4，当四边形PECQ 为正方形时，同理可得：PI OE CH ==，EI HQ =∴2323m m m -=--，解得：m =∴2HO IO ==，∴点(3,2)Q ，综上所述：点Q 坐标为3333,2⎛+- ⎝【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、数解析式、正方形性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．3．如图，抛物线212y x bx c =++与物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点综上所述，341,22N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或341,22N ⎛- ⎝【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，平行四边形的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．4．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax =(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x m =与x 轴交于点求出抛物线上点M 的坐标；(3)若点P 为抛物线y ax =位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点，在（构成平行四边形？若能构成，求出【答案】(1)223y x x =-++(2)315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)1(2-，15)4或3(2-，7)4或【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；（2）由“直线x m =与x 轴交于点的坐标，进而可得出AN 再利用二次函数的性质，即可求出（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为点的坐标特征，可求出点点P 的坐标为(1,)m ，点Q 线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于得出n 值，再将其代入点【详解】（1）解：将(1,0)-09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：∴抛物线的表达式为y =-（2）直线x m =与x 轴交于点∴点M 的坐标为2(,m m -。

二次函数与几何综合专题特殊四边形存在性问题

（8）在对称轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．
（9）在y轴上有一点M，在坐标平面内有一点N，若以A、C、M、N为顶点的四边形是正方形，求点N的坐标．
【答案】（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）N点坐标为：（－4，－3）或（－2，3）或（2，－3）；（3）P点坐标为：，；（4）N点坐标为：（－1，－4）或（3，12）或（－5，12）；（5）P点坐标为：（－2，－3）；或（，3）或（，3）；（6）N点坐标为：（－2，－3）或（2，5）或（－4，5）；（7）点M坐标为（2，－1）或（－4，－1）或或；（8）以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为（－1，－2）；（9）点N坐标为（－3，－3）或（3，0）
（5）在x轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
（6）在对称轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
（7）在对称轴上有一点N，在平面内存在点M，若以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形，求点M的坐标．
∴ ，
∵点C坐标为（0，－3），以O、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴ ，
即：，
解得：，，
当时，此时P点坐标为：，．
（4）解：设点Q的坐标为，P点坐标为，
∵点A坐标为（－3，0），点B坐标为（1，0），
以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
I、当AB、PQ为对角线时，
（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标．
（2）在坐标平面内有一点N，若以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

专题：二次函数背景下的特殊四边形存在性问题(学生版)

专题：二次函数背景下的特殊四边形存在性问题一、知识储备二、方法归纳1.平行四边形的存在性问题：①从边的关系出发，对边平行且相等可转化为：可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．②从对角线关系出发，对角线互相平分转化为：可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．图1图2图1可表示为⎩⎨⎧-=--=-C D B A C D B A y y y y x x x x ，图2可表示为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+2222D B C A DB C A y y y y x x x x 。

二者均可可以化为统一，以AC 、BD 为对角线时，可得：⎩⎨⎧+=++=+D B C ADB C A y y y y x x x x .2. 菱形的存在性问题：转化为平行四边形+等腰三角形（两点间的距离公式、两圆一线作等腰）；3. 矩形的存在性问题：转化为平行四边形+直角三角形（勾股定理、Rt 斜中、隐形圆、构造K 型相似）；4. 正方形的存在性问题：转化为平行四边形+等腰直角三角形（构造K 型全等）。

解题策略：一般情况下构成四边形的四个点中，有两个点是定点两个点是动点，我们常设一个动点（非二次函数上），利用图形位置与数量关系，表示出另一个动点（二次函数上），再将表示的点代入点的函数解析式求解即可。

三、典例分析例1：如图，已知直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标分别为．（1）求抛物线的解析式；（2）有一动点从C 点出发，个单位的速度向点运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，连接、，设点运动的时间为秒． ①求出点的坐标（用表示）；②当四边形为平行四边形时，求出的值；（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点，，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于(1,0)A -，(,0)B m 两点，与y 轴相交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为D ．（1）求B 、D 两点的坐标；（2）若P 是直线BC 下方抛物线上任意一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与BC 交于点M ，设F 为y 轴一动点，当线段PM 长度最大时，求12PH HF CF ++的最小值；（3）在第（2）问中，当12PH HF CF ++取得最小值时，将OHF ∆绕点O 顺时针旋转60︒后得到△OH F ''，过点F '作OF '的垂线与x 轴交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使得点D 、Q 、R 、S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．24y ax bx =++x A B y C A (2,0)-B (8,0)D B Dx E x F CE OD D (04)t t <<D t DOCE t P Q P Q P Q B C Q四、课后练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中(3,4)A --，(0,1)B -．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB ∆面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象相交于、两点，与轴的负半轴交于点，交轴于点，，点坐标为．（1）求该二次函数的函数表达式；（2）为线段上一动点，将以所在直线为轴翻折，点的对称点为点，若有一个顶点在轴上，求点的坐标；（3）设点在抛物线的对称轴上，点在直线上，问是否存在这样的点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点、的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线与抛物线相交于另一点，点为抛物线的顶点．（1）求直线的解析式及点的坐标；（2）如图2，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，过点作平行于轴的直线交直线于点，当周长最大时，在轴上找一点，在上找一点，使得值最小，请求出此时点的坐标及的最小值；（3）在第（2）问的条件下，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．20)y ax bx a =++≠(0)y ax a a =-≠A B x C AB y D :1:2BD AD =B (1,0)M CB ACM ∆AM C N AMN ∆y N E F AB E F A C E F EF 2y x =-x A B A B yC :AE y ED BCE AE P P PF BC ⊥F P y BCG PFG ∆yM AE N 12PM MN NE ++N 12PM MN NE ++R S N E R SS。

二次函数存在性问题(菱形、平行四边形、矩形)

今天讲解二次函数背景下的四边形存在性问题．这里的四边形存在性问题，一般是以几种特殊的四边形为主，常考察的有平行四边形、菱形、矩形、正方形．当然，三角形的存在性问题和四边形的存在性问题是一样，如等腰三角形实际上和菱形是一致的，直角三角形和矩形是一样的，等腰直角三角形和正方形是一致的．本文我们将重点讲解这类问题的求解逻辑以及注意事项，同时给大家理出一个比较通用的解题模板．1如图，抛物线y = ax 2 + bx + 3 交x 轴于点A (−1, 0) 和点B (3, 0) ，与 y 轴交于点C ，连接BC ，交对称轴于点D ．(1) 求抛物线的解析式；(2)点 P 是直线BC 上方的抛物线上点，连接PC ，PD ．求 △PCD 的面积的最大值以及此时点P 的坐标；(3)将抛物线y = ax 2 + bx + 3 向右平移 1 个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E ，点F 是新抛物线的对称轴上的一点，点 G 是坐标平面内一点．当以D 、E 、F 、 G 四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F 的坐标，并写出求解其中一个点F 的坐标的过程．前两小问就不详说了，直接上结论，抛物线解析式为y = −x 2 + 2x + 3 ；点 P | , | ．( 3 15 )\2 4 )第 3 小问为菱形存在性问题，以D 、E 、F 、 G 四点为顶点的四边形是菱形．四个点中， D ， E 是定点，F 是平移后新抛物线对称轴上的动点，由于点F 的横坐标是确定的，只有纵坐标在变化，我们可以称其为“G 如果只需要点F 的坐标，那么没有必要求解平移后抛物线的解析式．根据平移的性质，将原抛物线向右平移 1 个单位长度，那么原抛物线的对称轴也向右平移 1 个单位长度，因此新抛物线的对称轴为x = 2 ，几 F (2, m ) ．但由于此时E 为量抛物线的交点，因此还是要把平移后的抛物线解析式求出来，根据“左加右减”，平移后的抛物线解析式为y = − (x −1)2+ 2(x −1) + 3 = −x 2 + 4x ，联立两抛物(|y = −x 2 + 2x + 3 ( 3 15 ) 线〈|ly = −x 2 + 4x ，解得E |\2 , 4 )| ．菱形的探究相对是比较简单的，对于这类探究性问题，一般都是先从确定的信息入手．菱形是以D 、E 、F 、 G 为顶点，其中DE 为定线段，那么存在的可能有DE 是一条边，也可能是一条对对角线．前面提到，等腰三角形和菱形的分析是一致的，这里我们结合等腰三角形的存在性问题一起分析．由于 G 是“自由点”，可以随机应变，因此讨论以D 、E 、F 为顶点的三角形是等腰三角形．同样，由于定线段DE 可能是等腰三角形的一条腰，也可能是底边．当DE 为一条腰时，第一种情形是点D 为顶点，即DE = DF ，也即半动点F 到D 的距离和E 到D 的距离相等，因此点F 在以点D 为圆心， DE 为半径的圆上，作出该圆，如图 1 所示，可知此时圆与新抛物线的对称轴有两个交点F 1 ，F 2 ，结合图象可以判断，此时两个点应该都是满足的．那么再加上对应的“自由点” G ，就是以DE 为边菱形了．当DE 为一条腰时，另一种情形是点E 为顶点，即ED = EF ，也即半动点F 到E 的距离和D 到E 的距离相等，因此点F 在以点E 为圆心， ED 为半径的圆上，作出该圆，如图 2 所示，可知此时圆与新抛物线的对称轴同样有两个交点F 1 ，F 2 ，结合图象，此时的F 3 存在和DE 共线的风险，因此后续需要检验一下．根据坐标可以知道，x E =，通常像这类圆心可能为两个点中点的，一般都要留个心眼，检验一下．此时再加上对应的“自由点” G ，也是以DE 为边菱形．当DE 为底边时，则F 为顶点，即FD = FE ，即 F 到线段DE 的两端点的距离相等，可知此时F 在线段DE 的垂直平分线上，作出线段DE 的垂直平分线，如图 3 所示，可知此时有一个交点F 5 ．加上对应的“自由点” G ，此时便是以DE 为对角线的菱形．对于等腰三角形和菱形的存在性问题，如上图情形，我们称其为“两圆一线”法．由于这类题一般不需要书写完整过程，因此在解题过程中，把准备工作做好，即对应的点坐标，解析式等先求出来，动点坐标假设好，再把定线段DE ，半定线段DF 、EF 长度表示出来．根据上述分析，结合“两圆一线”分别使得三条线段两两相等建立方程，即DE = DF ，DE = EF ，DF = EF ，求解出动点坐标即可．(实际解题过程中，一般使用线段平方的形式．此外，只需关注下方解析中公式计算部分即可，文字叙述部分可忽略)此题还是比较友善的，只需求出F 坐标．如果需要求解点G 的坐标，则还要加一个步骤．这里以DEG 1F 1 为例，若要求 G 1 坐标，一般有两种比较常用的思路．一是利用菱形的对边平行且相等，即F 1G 1 可以看成是DE 平移得来的，那么点D → F 1 的平移变化也即点E → G 1 的平移变化．二是利用菱形的对角线相互平分，因此EF 1 的中点也即DG 1 的中点，利用中点坐标求解出 G 1 坐标．这两种处理在平行四边形存在性问题中也是有力手段．(|y = −x 2 + 2x + 3 ( 3 15 ) 149 ( 149 )由题， y = −x 2 + 2x + 3 向右平移 1 个单位得到新抛物线y = − (x −1)2+ 2(x −1) + 3 = −x 2 + 4x ，联立〈|ly = −x 2 + 4x ，解得 E |\2 , 4 )| ，新抛物线的对称轴为x = 2 ，设 F (2, m ) ，由于 D (1, 2) ，则DE 2 =，EF 2 = + m −2= m 2 − m +，DF 2 = 1+ (m − 2)2= m 2 − 4m + 5 ，①当DE 、DF 为一组邻边时，则 DE 2 = DF 2 ，即 = m 2 − 4m + 5 ，37 ( ) ( )②当ED 、EF 为一组邻边时，则 ED 2 = EF 2 ，即 = m 2 − m + ，16 8 16 11 ( 11)③当EF 为对角线时，则FD = FE ，即 m 2 − m + = m 2 − 4m + 5 ， 2 16解得m = ，此时 F 的坐标为|2, | ；( ) ( ) ( 149 )( 11) 当F |2, |时， y F + y D = 2y E ，x D + x F = 2x E ，即 E 为D 、F 中点，不合题意，舍去； 15 229 \ 2 )综上， F 点的坐标为||\2, 2 + 4 )|| 或||\2, 2 − 4 )|| 或(2, 2) 或|\2, 56 )| ． 56 \ 56 )解得m = 2 或m = ，此时F 的坐标为(2, 2) 或|2, | ，2 \ 2 )解得m = 2 土 4 ，此时 F 的坐标为||\2, 2 + 4 )|| 或||\2, 2 − 4 )|| ；53 15 2291 ．已知二次函数y = ax2 + bx − 2(a 丰 0)与x 轴交于A ( −, 0) ，B (4, 0) ，与 y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 连接AC ，BC ，点 P 是直线BC 下方抛物线上一点，过 P 作PD ∥AC 交直线BC 于点D ，PE ∥x 轴交直线BC 于点， E ，求△PDE 面积的最大值及此时点， P 的坐标；(3) 在(2)的条件下，将原抛物线沿x 轴向左平移3个单位得到新抛物线，点 M 是新抛物线对称轴上一点，点 N 是平面直角坐标系内一点，当以点M 、 N 、P 、B 为顶点的四边形为菱形时，请直接写出所有符合条件的N 点的坐标；并任选其中一个N 点，写出求解过程．立〈y= − 2 x 2 + 4x − 2 ，解得D 7 , 11 ．1-1如图 1，抛物线y = ax 2 + bx + 4 交x 轴于A (−2, 0) ，B (4, 0) 两点，与y 轴交于点C ，连接 AC ， BC ．(1) 求抛物线的解析式；(2) P 是拋物线上位于直线BC 上方的一个动点，过点P 作PQ ∥y 轴交BC 于点Q ，过点P 作PE ⊥ BC 于点E ，过点 E 作EF ⊥ y 轴于点F ，求出2PQ + EF 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图 2，将抛物线y = ax 2 + bx + 4 沿着射线CB 的方向平移，使得新抛物线y ，过点(3,1) ，点D 为原抛物线y 与新抛物线y ，的交点，若点 G 为原抛物线的对称轴上一动点，点H 为新抛物线y ，上一动点，直接写出所有使得以 A ，D ， G ，H 为顶点的四边形为平行四边形的点H 的坐标，并把求其中一个点H 的坐标的过程写出来．抛物线解析式为y = − x 2 + x + 4 ；点 P | , | ．相当于是沿着射线BC 方向平移，故舍去，因此可得平移后抛物线的解析式为y = − x 2 + 4x − ．联2 2 ( 1 13 y = − x 2 + x +4 \2 8 )这类平行四边的探究也并不难，同样先从确定的信息入手．平行四边形是以A ，D ，G ，H 为顶点，其中AD 是定线段， G 是半动点，H 在新的抛物线上．和菱形的讨论一样，我们要考虑AD 是一条边的情形，也要考虑AD 是对角线的情形．当 AD 是一条边时，实际上此时也右两种情形，一是是平行四边形为ADHG ，也即AH ，DG 为对角线；另一种则是平行四边形为ADGH ，也即 AG ，DH 为对角线．当然，不管是那种情形，由于 AD 是一条边，根据平行四边形对边平行且相等的性质， GH 这条边可以看作是将AD 平移后得到1 (8 28 )2 \3 9 )第 3 小问中，抛物线沿着射线CB 方向平移，由于后续的点在新抛物线上，因此还是要求出平移后抛物线的解析式．这类沿着射线平移的，一般采用正交分解的形式平移，由点 C (0, 4) ，B (4, 0) 可知，沿着射线 CB 平移，即向右平移t 个单位，则向下也平移t 个单位，因此假设平移后新抛物线的解析式为y = − (x − t )2+ (x − t ) + 4 − t ，因为平移后经过点(3,1) ，代入可解得t = − 1 或t = 3 ，当 t = − 1 ， 1 13的，由于半动点 G 在原抛物线对称轴x = 1 上，那么点 G 有可能是点 A 平移后得到的，此时点H 就是点D 平移后得到的，如图 1 所示；同理，当点 G 是点D 平移后得到的，那么此时点H 就是点A 平移后得到的，如图 2 所示．设点 G (1, m )，根据平移的性质，结合点坐标的变化规律，当 A → G 时，即(−2, 0) —(1, m ) ，则有D|2 , 8 )| —H | 2 , 8 + m )| ，由于点H 在新抛物线上，且横坐标已知了，代入新抛物线即可 11 1 (13 213 13 13 (13 13 此外，除了用平移性质得到H 点的坐标外，此时 AH 是一条对角线，也利用对角线相互平分，则 A 、 H 的中点和 D 、 G 的中点是同一个，利用中点坐标则有 x A + x H = x D + x G ，故 13 13 13 (13 13 x H = x D + x G − x A = 2 ，将x = 2 代入新抛物线解析式，可求得H 点纵坐标y = − 8 ，故H | 2 , − 8 )|．当 AG 是一条对角线时，则有x A + x G = x D + x H ，故 x H = x A + x G − x D = − ，代入新抛物线解析 277 ( 9 277式，可求得此时H 的纵坐标为 − ，故H |− , − | ．8 2 8 ) 当 AD 是一条对角线时，则有x A + x D = x H + x G ，故 x H = x A + x D − x G = ，代入新抛物线解析式， 37 ( 1 37 可求得此时H 的纵坐标为 − ，故 H | , − | ．8 2 8 )同样地，在解题过程中，把准备工作做好，即对应的点坐标，解析式等先求出来，动点坐标假设好，将点坐标表示列出来(通常都是横坐标)，选定一个定点，如这里我们选定 x A ，将其与剩下三点横坐标x D 、x G 、x H 两两组合，建立中点坐标关系式，即x A + x D = x H + x G ，x A + x G = x D + x H 以及x A + x H = x D + x G ，求解出点H 横坐标，再代入解析式中求出点H 纵坐标即可．求得纵坐标 8 + m = − 2 | 2 )| + 4 2 − 2 = − 8 ，此时H | 2 , − 8 )| ． ( 7 11 (13 1113 (13 13)由题，设平移后的抛物线解析式为y = − (x − t )2+ (x − t ) + 4− t ，因为平移后经过点(3,1)，代入可解得t = − 1 (舍) 或t = 3 ，2 2联立〈y = − 2 x 2 + 4x − 2 ，解得 D 7 , 11 ， y = − x 2 + x + 4 \2 8 )则x A =−2 ，x D = ，x G = 1，设 H 点横坐标为x H ，①当AH 为一条对角线时，x A + x H = x D + x G ，则 x H = ，代入可求得此时H | , − | ； 9 ( 9 277 )1 (1 37 )综上， H 的坐标为| , − |或|− , − |或| , − | ．( 1 13 ③当AD 为一条对角线时，x A + x D = x H + x G ，则x H = ，代入可求得此时H | , − | ；(13 13) ( 9 277 ) (1 37 )2 \2 8 )\ 2 8 ) \ 2 8 ) \2 8 )②当AG 为一条对角线时，x A + x G = x D + x H ，则x H = − ，代入可求得此时H |− , − | ；2 \ 2 8 ) 2 \ 2 8 )故平移后抛物线的解析式为y = − x 2 + 4x − ，1 131．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2 + bx+ 3(a 0) 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，且点A的坐标为( 3, 0) ，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，OB= 3OA．(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一点，求四边形PBEC面积的最大值及此时点P的坐标；(3) 如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点C，平移后点A的对应点为点A，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y的对称轴上一点，在新抛物线y上存在一点M，使以点M，Q，A，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．2．如图，抛物线y= x2 + bx+ c与x轴相交于点A(−1, 0) 和点B，交y轴于点C，tan 三ACO= ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1 ，P点为一象限内抛物线上的一个动点，点D是BC中点，连接PD，BD，PB．求△BDP面积的最大值以及此时P点坐标；，M为新抛物线对称轴上(3) 如图2，将抛物线向左平移 1 个单位长度，得到新的抛物线y1一点，N为直线AC上一动点，在(2) 的条件下，是否存在点M，使得以点P、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．| 4 21如图，已知抛物线y = ax 2 + bx − 4 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(−2, 0) ，直线BC 的解析式为y = x − 4 ．(1) 求抛物线的解析式；(2)如图 1，过点 A 作 AD ∥BC 交抛物线于点D (异于点 A )， P 是直线BC 下方抛物线上一点，过点P 作PQ ∥y 轴，交AD 于点Q ，过点 Q 作QR ⊥ BC 于点R ，连接PR ．求△PQR 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3) 如图 2，点 C 关于x 轴的对称点为点C ，将抛物线沿射线 C A 的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y ，新抛物线y 与原抛物线交于点M ，原抛物线的对称轴上有一动点 N ，平面直角坐标系内是否存在一点K ，使得以 D ，M ，N ，K 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线解析式为y = x 2 − x − 4 ；S △PQR 的最大值为 9，点P (4, −6) ．第 3 小问中，抛物线沿着射线C A 方向平移，由于点M 为两抛物线交点，因此需求出平移后抛物线的解析式．根据A (−2, 0) ，C (0, 4) ，可知Rt △AOC 中AO : OC : AC = 1: 2 : ，因此将抛物线沿着射线C A 方向平移2个单位长度，则相当于向下平移 4 个单位长度，向左平移 2 个单位长度，因此平移后的抛物线为y = 1 (x + 2)2− 3 (x + 2) − 4 − 4 = 1 x 2 − 1 x −10 ，联立〈y = x 2 − x −10，解4 2 4 2y = x 2 − x − 4( 1得M (6, −4) ．又 BC : y = 1 x − 4 ，可知 AD : y = 1 x + 1，联立〈 y = 2 x + 1，解得D (10, 6) ．2 2 |y = 1 x 2 − 3x − 4因为以D ，M ，N ，K 为顶点的四边形是矩形，此时定线段是DM ，半动点为N ，自由点为K ．和前面讨论菱形、平行四边形时的流程基本大同小异，定线段DM 可能是矩形的边，也可能是矩形的对角线，因此要分两种情形讨论．矩形的存在性问题和直角三角形的存在性问题是一致的，如本题中，探究以D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形．同样地，先以直角三角形为例，那么D ，M ，1 3 4 2在实际解题中设 K (x , y ) 即可)，利用中点关系〈 M K D N ，则〈 K，整理得N 均有可能为直角顶点．当M 为直角顶点时，过M 作DM 垂线与对称轴交点即为点N 所在位置，如图 1 所示．对于N 点坐标的求解，一方面，由于MN ⊥ DM ，则 k MN . k DM = − 1，结合点M 坐标，由此可求得直线MN 解析式，将其与对称轴方程联立即可求得点N 坐标．另一方面，可以构造如图所示的K 型相似，即构DH MH1 腰直角三角形，或者四边形中的正方形，那么可以构造此类的K 型全等求解．在此直角三角形的基础上，加上自由点K ，就变成矩形问题了．对于矩形问题，同样可以求出点N 坐标后，利用平移关系或者对角线的中点关系，求相应的点K 的坐标．当然，如果是探究矩形的存在性问题，也可以直接利用中点关系求得点K 的坐标．由点N (3, n )，设K (x K , y K ) (熟练后，(x + x = x + x (6 + x = 10 + 3 l y M + y K = y D + y N l−4 + y K = 6 + n 〈，再由对角线相等，即MK = DN ，代入即有1+ (y + 4)2= 49 + (16 − y )2，解得 y =，( 36 )同样适用．当D 为直角顶点时，三角形如图2 所示．同样，加上自由点K ，就变成矩形问题了．这里我们5 2 2 ( 44 )l y M + y N = y D + y K |y K = − \ 5 )对于直角三角形或矩形问题，如上图情形，我们可以称其为“两线一圆”．若只求点N 坐标，一般利用斜率关系，求出解析式后进一步求解．如果是矩形问题要求自由点的坐标，可以用对角线平分且相等，建立方程求解．当然，先求点N ，利用点N 作为台阶进一步求解也是没问题的，大家选用自己顺手的方法即可．造 △MN 1G ∽△DMH ，利用 = ，可求出长度，进而得到点 N 坐标．更特殊地，如果是等以垂线方式求解．由于k DM = 2 ，则 k DN = − 5 ，故此时DN : y = − 5 x + 10 ，令x = 3 ，可解得N |\3, 5 )| ，由中点可知，〈(x M + x N = x D + x K ，可解得〈(|x K = − 16 ，此时 K −1,− 6 ．l 5当N 为直角顶点时，则有NM ⊥ ND ，因此点N 在以DM 为直径的圆上．此种情形若只是求点N 坐标，策略比较多，一方面，可以利用斜率，由k ND . k NM= − 1求出点N 坐标；另一方面，可以利用线段长度求解，设DM 中点为为R ，则此时圆心为R ，因此NR = RD = DM ，由此也可求得点N 坐标，此外，还可以利用勾股定理ND 2 + NM 2 = DM 2 ．当加入自由点K ，变成矩形问题后，除了先求出点N 坐标，利用平移或中点求解点K 坐标外，也可以利用前面的对角线平分且相等来求解．故此时K |7, | ．此法借助的是矩形的对角线平分且相等的性质，该处理对于DM 是对角线的情形 \ 5 ) GM N G式和长度关系式子，即〈 M K D N 且MK 2 = DN 2 ，〈 M N D K 且MN 2 = DK 2 以及(x M + x D = x N + x K 4 2 4 2|l 4 2(x M + x K = x D + x N (6 + x = 10 + 3 (x = 7由MK 2 = DN 2 ，代入即有1+ (y + 4)2= 49 + (16 − y )2，解得 y = 36，故此时K 7,36；由MN 2 = DK 2 ，代入即有9 + (y +14)2 = 121+ (y − 6)2，解得 y = − 6 ，故此时K −1,− 6 ；(x M + x D = x N + x K (6 + 10 = 3 + x (x = 13 同样地，在解题过程中，把准备工作做好，即对应的点坐标安排到位，动点坐标假设好，选定一个定点，如这里我们选定M ，将其与剩下三点横坐标D 、 N 、K 两两组合，建立中点坐标关系 (x + x = x + x (x + x = x + xl y M + y K = y D + y N l y M + y N = y D + y K〈且MD 2 = NK 2，利用方程组求解出对应的点K 的坐标． l y M + y D = y N + y K附：坐标平面内点A (x 1 , y 1 ) ，B (x 2 , y 2 ) ，其中x 1 丰 x 2 ，则过A 、B 两点的直线的斜率k =由题，将抛物线沿着射线 C ,A 方向平移2个单位长度，即将其向下平移 4 个单位长度，向左平移 2 个单位长度，因此平移后的抛物线为y =1(x + 2)2 − 3 (x + 2) − 4 − 4 = 1 x 2 − 1 x −10 ，联立〈y = x 2− x −10，解得M (6, −4) ，y = x 2 − x − 4( 1又 BC : y = 1 x − 4 ，可知 AD : y = 1 x + 1，联立〈 y = 2 x + 1，解得D (10, 6) ，2 2 |y = 1 x 2 − 3x − 4由M (6, −4) ，D (10, 6) ，设 N (3, n ) ，K (x , y ) ，①当MK 为一条对角线时，〈，即〈，整理得〈， l y M + y K = y D + y N l −4 + y = 6 + n l n = y −105 \ 5 )②当MN 为一条对角线时，〈(x M + x N = x D + x K，即〈(6 + 3 = 10 + x，整理得〈(x = − 1l y M + y N = y D + y K l −4 + n = 6 + y l n = 10 + y5 \ 5 )③当MD 为一条对角线时，〈，即〈，整理得〈l y M + y D = y N + y K l−4 + 6 = n + y l n = 2 − y由MD 2 = NK 2 ，代入即有116 = 100 + (2 − 2y )2，解得y =− 1 或y = 3 ，故此时K (13, −1) 或(13,3) ； ( 36 ) ( 6 )综上，点K 的坐标为|7, |或|−1,− |或(13, −1) 或(13,3) ．\ 5 ) \ 5 ) y 1 − y 2． x 1 − x 21．如图1，二次函数y= ax2 + bx+ c(a丰0)与x轴交于点A(−2, 0) 、点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0,3) ，tan 三CBO= ．(1) 求二次函数解析式；(2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x轴于点E，求PD+ BE的最大值及此时点P的坐标；(3) 在(2) 的条件下，当PD+ BE取最大值时，连接PC，将△PCD绕原点O顺时针旋转90。

中考数学压轴17专题——二次函数与特殊四边形存在性问题

中考数学压轴17专题——二次函数与特殊四边形存在性问题
专题01 线段周长面积最大值
专题02 将军饮马求最小值1-对称
专题03 将军饮马求最小值2-平移
专题04 胡不归求最小值
专题05 阿氏圆求最小值
专题06 费马点求最小值
专题07 线段之差最值问题
专题08 存在性-等腰三角形
专题09 存在性-直角三角形
专题10 存在性-等边三角形
专题11 存在性-等腰直角三角形
专题12 存在性-相似三角形
专题13 存在性-面积等量问题
专题14 存在性-平行四边形
专题15 存在性-矩形
专题16 存在性-菱形
专题17 存在性-正方形。

二次函数中考精品压轴题(四边形的存在性问题)解析精选

∵点A 在点B 的左侧，∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。

当x=0时，y=3。

∴C 点的坐标为（0，3）。

设直线AC 的解析式为y=k 1x+b 1（k 1≠0），则111b =3k +b =0⎧⎨-⎩，解得11k =3b =3⎧⎨⎩。

∴直线AC 的解析式为y=3x+3。

∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4）。

（2）抛物线上有三个这样的点Q 。

综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+7，﹣3），Q 3（1﹣7，﹣3）。

（3）点B 作BB′⊥AC 于点F ，使B′F=BF ，则B′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求。

过点B′作B′E ⊥x 轴于点E 。

专题7 二次函数图象抛物线中特殊四边形存在性问题(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册提优

专题7 二次函数图象抛物线中特殊四边形存在性问题（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一二次函数与平行四边形典例1（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A 的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．针对训练1．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若0＜m＜32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；类型二二次函数与矩形典例2（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；（3）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．1．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．类型三二次函数与菱形典例3（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移√5个单位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．1．（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．2．（2023•锦州）如图，抛物线y=−√3x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和B，交y轴于点C（0，3√3），顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7√3，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．3．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1）是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．类型四二次函数与正方形典例4（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；针对训练1．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy 内，抛物线y ＝﹣ax 2+5ax +2（a ＞0）交y 轴于点C ，过点C 作x 轴的平行线交该抛物线于点D ．（1）求点C ，D 的坐标；（2）当a =13时，如图1，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 为直线AD 上方抛物线上一点，将直线PD 沿直线AD 翻折，交x 轴于点M （4，0），求点P 的坐标；（3）坐标平面内有两点E （1a ，a +1），F （5，a +1），以线段EF 为边向上作正方形EFGH ． ①若a ＝1，求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为52时，求a 的值．2．（2023•长沙）我们约定：若关于x 的二次函数y 1＝a 1x 2+b 1x +c 1与y 2＝a 2x 2+b 2x +c 2同时满足√a 2−c 1+（b 2+b 1）2+|c 2﹣a 1|＝0，（b 1﹣b 2）2023≠0，则称函数y 1与函数y 2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：（1）若关于x 的二次函数y 1＝2x 2+kx +3与y 2＝mx 2+x +n 互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；（2）对于任意非零实数r ，s ，点P （r ，t ）与点Q （s ，t ）（r ≠s ）始终在关于x 的函数y 1＝x 2+2rx +s 的图象上运动，函数y 2与y 1互为“美美与共”函数．①求函数y 2的图象的对称轴；②函数y 2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数y 1＝ax 2+bx +c 与它的“美美与共”函数y 2的图象顶点分别为点A ，点B ，函数y 1的图象与x 轴交于不同两点C ，D ，函数y 2的图象与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD ＝EF 时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．第二部分专题提优训练1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．（1）求抛物线的表达式．（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．3．（2023•自贡）如图，抛物线y=−43x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；4．（2023•南充）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM•EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．5．（2023•辽宁）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．6．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．7．（2023•广安）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2023•达州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．①a＝1；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D 的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．。

中考数学二次函数复习类型五特殊四边形存在性问题课件

类型五特殊四边形存在性问题
(3)存在．
①当点 P 在 x 轴上方时，要使以 A、C、P、N 为顶点的四边形为平行四
边形，如解图，过点 C 作 CP1∥x 轴，交对称轴于点 P1，对称轴与 x 轴交
于点 D，
∵点 P1 在对称轴直线 x＝－3 上，点 C 的坐标为(0，5)，
∴点 P1(－3，5)，
由勾股定理得 OG2＝OD2＋DG2＝9＋g2，AG2＝AD2＋GD2＝4＋g2，
∵GK∥AO，
①当 OG＝AO＝5，且 GK＝AO 时，四边形 OGKA 是菱形，
此时有 9＋g2＝25，
解得 g1＝4，g2＝－4， ∴点 G 的坐标为(－3，4)或(－3，－4)，
则相对应的点 K 的坐标为(－8，4)或(－8，－4)；
解得 g1＝6，g2＝－1，此时点 G 的坐标为(－3，6)或(－3，－1)；
例题图⑦
综上所述，存在满足题意的点 G，点 G 的坐标为(－3，8)或(－3，－2)或
(－3，6)或(－3，－1)；
类型五特殊四边形存在性问题 (8)设 P 是抛物线上一点，Q 是 x 轴上一点，R 为坐标平面内一点，若以 A、 P、Q、R 为顶点的四边形是正方形，求出点 Q 的坐标．
∴x1＝0，x2＝－6， ∴CP1＝AN1＝6， ∴ON1＝6＋5＝11，此时 N1(－11，0)．若点 P 在 x 轴下方，不存在；
例题解图
类型五特殊四边形存在性问题
②当 AC 为平行四边形的对角线时，如解图，
满足 AN2＝P2C＝6，
∴ON2＝6－5＝1，
此时 N2(1，0)．
例题解图
综上所述，存在满足题意的点 N，点 N 的坐标为(－11，0)或(1，0)；

3专题三、二次函数特殊四边形的存在性问题分析学生版本

专题三：抛物线上的特殊平行四边形存在性问题探究【知识要点】导例：如图1，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.图1（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形.【方法分析】解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏．注意结合矩形和菱形的特殊性质，往往涉及到等腰，全等，勾股或相似三角形等知识的运用.导例答案：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴NC∥AB.∴∠DNE=∠AME.∵E为AD的中点，∴DE=AE.又∵∠NED=∠MEA，∴△NDE≌△MAE.∴ND=AM. ∵ND∥AM，∴四边形AMDN为平行四边形.（2）①当四边形AMDN为矩形时，则DM⊥AB. ∵∠DAB=60°，∴△DAB为正三角形.∴点M为AB的中点. ∴AM=1；②当四边形AMDN为菱形时，则AM=AD=2．【例题精讲】类型一：菱形的存在性问题例1 如图2所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型二：矩形的存在性问题例2 如图3，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C. （1）求抛物线解析式：（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH，CH，当|AH−CH|值最大时，求点H坐标：（3）若点M是∠BAC平分线上的一点，点N是平面内一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N坐标图3【立马试试】1．如果一条抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y=−x2+bx(b＞0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=−x2+b′x(b′＞0的“抛物线三角形”，)是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O，C，D三点的抛物线的解析式；若不存在，说明理由．2，如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点，对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．（1）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”是正方形，求b的值；（2）如图，四边形OABC是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60°．①“抛物菱形OABC”的面积为．②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边与“抛物菱形OABC”的边AB，BC交于E，F，△OEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数解析式（其中k，b用含a的式子表示）；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．4.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A，与直线y=-x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（-1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．【课堂总结】1.2.3.4.【真题再现】【课后练习】5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=-x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+1FO的最小值；2FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′（3）在（2）中，PH+HF+12H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．。

二次函数中特殊四边形的存在性问题

网课：二次函数中特殊四边形的存在性问题学习目标：1、通过二次函数中的特殊四边形存在性问题的探究、学习，获取解决这类问题的基本方法；经历解决二次函数中的特殊四边形存在性问题的探索过程，培养学生的理解能力，抽象能力，能正确认识问题的本质，提高知识迁移能力，积累解决问题的经验，感受数学知识对解决问题的价值；2、通过函数中的特殊四边形存在性问题的解决，渗透“转化”、“分类”、“方程”、“数形结合”等数学思想，并在问题解决中体验成功的快乐，感受数学的魅力.学习重点：利用“特殊四边形的性质”，或者“点在函数上”来建立等量关系，解决“点是否存在的问题”.学习难点：从复杂的函数背景中提炼问题的本质，利用“特殊四边形的性质”，或者“点在函数上”来建立等量关系，解决“点是否存在的问题”.背景问题：如图，抛物线中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OC=3，点D是直线AC与抛物线的交点。

问题一：在平面内是否存在一点B，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出B点的坐标；若不存在，请说明理由。

归纳：_________________________________________________问题二：若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由;（备图1）（备图2）归纳：_____________________________________________________________________________问题三：若点E（2,3）在抛物线上，点F、P在直线AC上，当EF所在直线与x轴垂直时，平面内是否存在一点Q，使得以点E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由;（备图1）（备图2）归纳：______________________________________________________________________________问题四：点是直线AC上一点，若点N是平面内一点，M是抛物线对称轴上的一点，是否存在一点M使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．归纳：_______________________________________________________________________课后练习：如图1，抛物线y＝﹣﹣x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）如图1，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值；（2）如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以点A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N的坐标．。

2023年中考数学专题复习课件：二次函数特殊四边形存在性问题

例题图
②若∠CAG＝90°，则AC2＋AG2＝CG2，即50＋4 ＋g2＝g2－10g＋34，解得g＝－2，此时点G的坐标为(－3，－2)；③若∠CGA＝90°，则CG2＋AG2 ＝AC2，即g2－10g＋34＋4＋g2＝50，解得g1＝6， g2＝－1，此时点G的坐标为(－3，6)或(－3，－1). 综上所述，存在满足条件的点G，点G的坐标为
9 33
P4(－ 4
，－ 9 8 33 ).
第1题解图
③当点P在第四象限时，∠POB＞90°，而
∠ACB＜90°，∴点P不在第四象限．综上所
述，点P的坐标为(－2，1)或(－
，
)或32 (
3 4
， 9 33)或 9 33
4
8
9 33 4
9 33 8
(－
，－
)；
第1题解图
(3)抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m＋4，点 D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.① 求DE的最大值；
＝
5，
2
∴点I的坐标为(－ 5 ，5 )，设直线OI的解析式为y＝tx(t≠0)，
22
I
将点I的坐标代入，可得t＝－1，∴直线OI的解析式为y＝－x，
联立
y
x2 6x 5
，
y x
例题图
7 29 7 29
解得
x1
2
， x2
2，
y1
7
2
29
y2
7
2
29
综上所述，存在满足题意的点Q，
∟
N ST
例题图
②如图，过点N作NG⊥x轴，交x轴于点G，
当NS是平行四边形的对角线时，则NE∥x轴，

二次函数的压轴(特殊四边形存在问题)

特殊四边形的存在、探究问题【典例精讲】一：平行四边形1、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）2与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．例1.已知抛物线b-=2+axaxy+⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.练习1.已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ，，，；(2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.第（2）题备用图2、如图，一次函数221+-=x y 分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，抛物线y=﹣x 2+bx+c 过A 、B 两点。

（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标。

3．如图，抛物线y=x 2﹣2x+c 的顶点A 在直线l ：y=x ﹣5上．（1）求抛物线顶点A 的坐标；（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状；（3）在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例1．已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a=++>与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B 点左侧。

专题二次函数与特殊四边形存在性问题(学生版)

专题30二次函数与特殊四边形存在性问题题型一二次函数与平行四边形存在性问题考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：A B D C AB DC x x x x y y y y ⎧⎨⎩-=--=-，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：2222A C B D A C B D x x x x y y y y ⎪++⎧⎪⎪⎨+==⎪⎩+，可以理解为AC 的中点也是BD的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D B A B D C A C D B x x x x x x x x y y y y y y y y ⎧⎧⎨⎨⎩⎩-=-+=+⇒-=-+=+2222A C B D A C D B A C D B A C BD x x x x x x x x y y y y y y y y ⎧⎪⎧⎪⎩++=+=++=+++=⇒⎨⎨⎪⎪⎩当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．1．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，AC =，3OB OC OA ==．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBAC 的面积最大，求出点P 的坐标；（3）在（2）的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ，使点P 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．将抛物线2(0)y ax a =≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P 是抛物线H 上的一个动点．（1）求抛物线H 的表达式；（2）如图，点Q 是抛物线H 的对称轴l 上的一个动点，在抛物线H 上，是否存在点P ，使得以点A ，P ，C ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于(3,0)A -与(1,0)B ，与直线(0)y kx k =≠交于点(2,3)C --．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E 是抛物线上(x 轴下方）的一个动点，过点E 作x 轴的平行线与直线OC 交于点F ，试判断在点E 运动过程中，以点O ，B ，E ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E 的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，抛物线2y ax x c =++与x 轴交于点(6,0)A ，(2,0)C -，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点为D ，对称轴交AB 于点E ，交x 轴于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 是直线CD 上一点，N 是抛物线上一点，试判断是否存在这样的点N ，使得以点B ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，直线314y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，C ，经过点C 的抛物线214y x bx c =++与直线314y x =+的另一个交点为点D ，点D 的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M 为抛物线上的动点，N 为x 轴上一点，当四边形CDMN 为平行四边形时，求点M 的坐标；题型二二次函数与菱形存在性问题7．在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于(0,3)C -点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，连接PO ，PC ，并把POC ∆沿CO 翻折，得到四边形POP C '，那么是否存在点P ，使四边形POP C '为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，一次函数3y x =-图象与坐标轴交于点A 、B ，二次函数23y x bx c =++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线228y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）点M 在y 轴上，点N 在直线AC 上，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点M ，使得以C 、M 、N 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于(3,0)A ，(1,0)B -两点，交y 轴于点C ，动点P 在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b 、c 的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ．①当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；②是否存在m ，使得以点O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)3y a x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点8(0,3C -，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的右侧．（1）求a 的值及点A ，B 的坐标；（2）当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．题型三矩形存在性问题13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线211(0)222m m y x x m -=-+⋅+>与x 轴交于(1,0)A -，(,0)B m 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）若2OC OA =，求抛物线对应的函数表达式；（2）设直线12y x b =+与抛物线交于B ，G 两点，问是否存在点E （在抛物线上），点F （在抛物线的对称轴上），使得以B ，G ，E ，F 为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E ，F 的坐标；若不存在，说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为直线2x =，点D 为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q 的坐标．15．如图，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴，y 轴分别交于点(1,0)A -，(3,0)B ，点C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，设E 为线段BC 中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180︒得到点N ，当以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A 和(1,0)C ，交y 轴于点(0,3)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）；（2）设P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线24y ax bx =+-交x 轴于(1,0)A -、(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为第四象限内抛物线上一点，连接PB ，过点C 作//CQ BP 交x 轴于点Q ，连接PQ ，求PBQ ∆面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线24y ax bx =+-向右平移经过点1(2，0)时，得到新抛物线2111y a x b x c =++，点E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F ，使得以A 、P 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四正方形存在性问题19．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为(0,4)D ，AB =，设点(,0)F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180︒，得到新的抛物线C '．（1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C '与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围；（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C '上的对应点P '，设M 是C 上的动点，N 是C '上的动点，试探究四边形PMP N '能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．20．如图，在正方形OABC中，4OC=，点D为边AB的中点，分别以OC、OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，DE CD⊥，交y轴与点E，连接CE．（1）求经过O、C、D三点的抛物线的表达式；（2）平移()l中的抛物线，使抛物线的顶点P始终在直线CD上，平移后的抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点M在y轴，点N在平面直角坐标系中，当以P、Q、M、N四点为顶点的四边形是正方形时，求此时M点坐标．21．如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(3,0)B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE PC =时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF x ⊥轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．22．在平面直角坐标系中，抛物线213y x bx c =-++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线3944y x =+与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E ．若(,0)M m 是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ．在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线顶点(1,4)P ，与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于点A ，B ．（1）求抛物线的解析式．（2）若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过点M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，E ．是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．24．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线22y ax x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，在（2）的条件下，直线CD 与AB 相交于点M ，点H 在抛物线上，过H 作//HK y 轴，交直线CD 于点K ．P 是平面内一点，当以点M ，H ，K ，P 为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P 的坐标．。