运筹学中多阶段有向图的公式
运筹学
(一）基本知识一、图1、图的概念：图是反应对象之间关系的一种工具。
图由点和线构成，一般称为点线图，点代表所研究的对象，线代表对象之间的关联性质。
注：在一般情况下，图中的点对应的位置如何，点与点之间连线的长短曲直，对于反映对象之间的关系，并不重要。
2、图的分类：（1）无向图：图中线不带表示关联方向的箭头，称这样的线为边，这种图叫无向图。
（2）有向图：图中线带有表示关联方向的箭头，称这样的线为弧，这样的图叫有向图。
3、图的表示：G={V,E}其中V={V1,V2,……，Vn}为点集E={e1,e2,……，en}为边集（1）点的次数(度数）：与点Vi关联的边数称为点Vi的次数，记为d(Vi)（2）一些特殊的点：悬挂点：次数为1的点。
孤立点：次数为0的点。
奇点：次数为奇数的点。
偶点：次数为偶数的点。
（3）一些特殊的边相邻边：与同一顶点关联的两条边。
多重边：与共同的两个相邻点关联的边。
悬挂边：与悬挂点关联的边。
环：与同一个点关联的边4、连通图：任意两点之间可用至少一条链连接起来相通的图叫连通图。
（1）所有点的次数之和为边数的二倍：因为计算个点的次数时，每条边均用了两次。
（2）奇点的个数必为偶数：所有点的次数之和为偶数，故所有奇点的次数之和也为偶数，即奇点成对出现。
5、设G1={V1，E1},G2={V2，E2}（1）子图：若V2包含于V1，E2包含于E1,则称G2是G1的子图。
（2）部分图：若V1=V2，E1包含于E2，则G2是G1的部分图，即包含原图全部顶点的子图。
（3）零图：由许多孤立点构成的图。
（4）空图：顶点个数为0的零图,。
二、树1、概念：无圈的连通图为树v2 v3 v2 v3v1 v6 v5 v4 v1 v6 v5 v42、组成：（1）树枝：树的边称为树枝。
（2）树叶：次数为1的点称为树叶，如V1，V4。
3、树的性质：任何树必有树叶树中任意两点之间有且仅有一条链连接相通，任意去掉一条树枝该树就被分割成两个互不连通的子图。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题
以下是一个关于运筹学最大流问题的例题：
假设有一个有向图，有两个特殊的节点，分别是源点（S）和
汇点（T）。
图中还有一些其他的节点，表示各个任务或工作。
节点之间有一些带有容量限制的边，表示各个任务之间的关系。
假设需要将尽可能多的任务从源点发送到汇点，但要满足以下条件：
1. 每个任务只能由一个人来执行；
2. 每个人只能执行一个任务；
3. 每个任务只能在特定的时间完成；
4. 每个人只能在特定的时间段内工作。
问题：设计一个算法来确定可以完成的最大任务数。
解法：
1. 为了建立最大流问题的模型，我们需要将图中的节点和边进行转换。
首先，将源点和汇点分别用两个特殊的节点S和T
表示。
2. 对于每个任务节点，将其分解为两个节点v_in和v_out，以
表示任务开始和任务结束的时间点。
3. 对于每个容量限制的边(a, b)，我们将其转换为两条边
(v_out_a, v_in_b)和(v_out_b, v_in_a)，容量为边(a, b)上的容量
限制。
4. 然后，将所有节点和边加入到一个图中，并运用最大流算法（如Ford-Fulkerson算法）来找到从S到T的最大流。
5. 最终的最大流就是可以完成的最大任务数。
这是一个应用最广泛的最大流问题的例题，通过建立合适的模型，可以将实际问题转化为最大流问题，并通过最大流算法来解决。
大工19春《运筹学》在线作业123参考答案
大工19春《运筹学》在线作业123参考答案大工19春《运筹学》在线作业1数学规划的研究对象为()。
A.数值最优化问题B.最短路问题C.整数规划问题D.最大流问题正确答案:A运筹学的基本特点不包括()。
A.考虑系统的整体优化B.多学科交叉与综合C.模型方法的应用D.属于行为科学正确答案:D()是解决多目标决策的定量分析的数学规划方法。
A.线性规划B.非线性规划C.目标规划D.整数规划正确答案:C线性规划问题中决策变量应为()。
A.连续变量B.离散变量C.整数变量D.随机变量正确答案:A数学规划模型的三个要素不包括()。
A.决策变量B.目标函数C.约束条件D.最优解正确答案:D数学规划的应用极为普遍,它的理论和方法已经渗透到自然科学、社会科学和工程技术中。
T.对F.错正确答案:A存储论的对象是一个由补充、存储和需求三个环节构成的现实运行系统,且以存储为中心环节,故称为存储系统。
T.对F.错正确答案:A满足目标要求的可行解称为最优解。
T.对F.错正确答案:A运筹学是运用数学方法,对需要进行管理的问题统筹规划,为决策机构进行决策时提供以数量化为基础的科学方法。
T.对F.错正确谜底:A线性规划的建模是指将用语言文字描述的应用问题转化为用线性规划模型描述的数学问题。
T.对F.错正确答案:A在国际上,通常认为“运筹学”与“管文科学”是具有相同或附近涵义。
T.对F.错正确谜底:A整数规划问题中的整数变量可以分为一般离散型整数变量和连续型整数变量。
T.对F.错正确答案:B线性规划数学模型的三要素包括目标函数、约束条件和解。
T.对F.错正确谜底:B基本解的概念适用于所有的线性规划问题。
T.对F.错正确谜底:B线性规划问题的可行解是满足约束条件的解。
T.对F.错正确谜底:A存储策略是决定多长时间补充一次货物以及每次补充多少数量的策略。
T.对F.错正确谜底:A线性规划的最优解是指使目标函数达到最优的可行解。
T.对F.错正确答案:A线性规划的求解方法包括图解法、纯真形法、椭球法、内点法等。
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
离散数学_无向图和有向图
例2 (续)
(2)
(3)
不同构 入(出)度列不同
度数列相同 但不同构 为什么?
22
完全图
n阶无向完全图Kn: 每个顶点都与其余顶点相邻的n 阶无向简单图.
简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ==n-1
n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条方向相反的 有向边的n阶有向简单图.
简单性质: 边数m=n(n-1), ==2(n-1), +=+=-=-=n-1
例 对上一页K4的所有非同构子图, 指出互为补图的 每一对子图, 并指出哪些是自补图.
27
5
无向图与有向图(续)
定义 有向图D=<V,E>, 其中 (1) V同无向图的顶点集, 元素也称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集，其
元素称为有向边，简称边. 用无向边代替D的所有有向边 所得到的无向图称作D的基图
右图是有向图，试写出它的V和E 注意：图的数学定义与图形表示,在 同构(待叙)的意义下是一一对应的
V 中的所有边为边集的G的子图称作V 的导 出子图，记作 G[V ] (5) 设E E且E , 以E 为边集, 以E 中边关联的 所有顶点为顶点集的G的子图称作E 的导出子 图, 记作 G[E ]
25
子图(续)
例 画出K4的所有非同构的生成子图
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
12
握手定理(续)
推论 在任何无向图和有向图中，奇度顶点的个数必
为偶数.
证 设G=<V,E>为任意图，令
运筹学05.6最大流
前向弧（forward arc）：与P的方向一致的弧 后向弧（backward arc）：与P的方向相反的弧
2011-3-10
7
运筹学
Operations Research
(S Th1 设f是任一可行流， , S )是任一割，则 (1)val ( f ) ≤ c( S , S ) (2)val ( f ) = c( S , S ) ⇔ ( S , S )中的前向弧均为饱和弧， 后向弧均为零弧. ▌
5
运筹学
Operations Research
零流（zero flow）：弧的流量都是0的流. 零流是可行流，且流值为0.
最大流（maximum flow）：流值最大的可行流. N 最大流问题：在网络N 中找一个最大流.
弧的分类： （1）按流量和容量的大小关系分：
f 饱和弧（saturated arc）： ( a ) = c(a )
不饱和弧（unsaturated arc）：f ( a ) < c ( a )
2011-3-10
6
运筹学
Operations Research
（2）按流量和0的大小关系分： 零弧（zero arc）： f ( a ) = 0 非零弧（nonzero arc，positive arc）：f (a ) > 0 （3）按流量和有向路的关系分： 设P是一条有向(s，t)-路，其方向为s→ t.
可行流（feasible flow）：
(1)∀a ∈ A，有0 ≤ f (a) ≤ c(a);
(2) f + ( s) = f − (t )；∀v ∈ I，有f + (v) = f − (v).
流值（flow value）：val ( f ) = f + ( s ) = f − (t )
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
华南理工大学 运筹学 第7章 图论-2(简) 工商管理学院
节点标号—对已标号未检查的节点v1，对与其相邻 、未标号的节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,4]
(7,3) v1 (7,2)
[+v1,4]
v4 (9,6)
(5,1) v2
[-, ∞]
vs
(8,4)
(4,0) (7,1) (16,5) (6,4) v5
18
(10,4)
vt
(4,0)
(10,4)
[-, ∞]
vs
(10,4)
(4,0) (10,4) v3
(16,5)
(6,4) v5
22
Ford-Fulkerson标号算法示例1
（第2轮迭代） 1-搜索过程：
节点标号—对节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,1]
(7,6) v1 (7,5)
[+v1,1]
v4 (9,9)
(5,1) v2
图G为流量网络。
2
最大流问题示例1
Petro公司的天然气管道输送网络：vs为Petro公 司的制气厂，vt为输送目的地的储气库，其它 中间节点为流量检测和控制站。各点间的弧代 表输送管道，其权值的两个数字分别表示容量 和当前的流量。问：如何利用输送管道，可以 使从制气厂运输到目的地的天然气最多？
(1) 已标号已检查；(2)已标号未检查；(3)未标号。
检查是指从一个已取得标号、未检查的节点vi 出发，搜寻与之邻接的其它未取得标号的节点 vj ，并根据vi的标号计算得到vj的标号。
7
Ford-Fulkerson标号算法
节点vj的标号为[+vi,θj]或[−vi,θj]：
图的基本概念 无向图及有向图
d (v4)=4
d (v5)=2
31
最大(出/入)度,最小(出/入)度
在无向图G中， 最大度: Δ(G) = max{ dG(v) | v∈V(G) } 最小度: δ(G) = min{ dG(v) | v∈V(G) } 在有向图D中， 最大出度: Δ+(D) = max{ dD+(v) | v∈V(D) } 最小出度: δ+(D) = min{ dD+(v) | v∈V(D) } 最大入度: Δ-(D) = max{ dD-(v) | v∈V(D) } 最小入度: δ-(D) = min{ dD-(v) | v∈V(D) } + + - 简记为Δ, δ, Δ , δ , Δ , δ
i 1
i
证明 必要性。由握手定理显然得证。 充分性。由已知条件可知，d中有偶数个奇数 度点。 奇数度点两两之间连一边，剩余度用环来实现。
5 3
3
1
例7.1： 1. (3, 3, 2, 3), (5, 2, 3, 1, 4)能成为图的度 数序列吗？为什么？ 2. 已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的 度数均小于等于2，问G中至少有多少个顶点？为 什么？ 解： 1.由于这两个序列中，奇数度顶点个数均为奇数， 由握手定理的推论可知，它们都不能成为图的度 数序列。 2.显然，图G中的其余顶点度数均为2时G图的顶点 数最少. 设G图至少有x个顶点. 由握手定理可知， 3×4+2×(x-4)=2 ×10 解得: x=8 所以G至少有8个顶点。
度数列举例
按顶点的标定顺序，度数列为 4,4,2,1,3。
度数列举例
按字母顺序， 度数列：5,3,3,3 出度列：4,0,2,1
高高等教育运筹学课程--图论(3)
3、增广链
对可行流f={fij}：
非饱和弧：fij<Cij 非零流弧：fij>0
饱和弧：fij=Cij 零流弧：fij=0
链的方向：若µ是联结vs和vt的一条链，定义链的
方向是从vs到vt。 v2
5.2
v4
10.5
3.2
11.6
v1
4.1 5.1
8.3
v3
6.3
3.3
v6
17.2
v5
前向弧：弧的方向与链的方向一致，前向弧全体记为µ+。
（1）找增广链
如vt的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt）∈µ （或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk的第一个标号，若为i（或i），则(vi,vk) ∈µ(或(vk,vi) ∈µ).再检查vi的第一个标号,依 此下去,直到vs。被找出的弧构成了增广链µ。 （2）流量调整
令调整量是 l(vt)，构造新的可行流f ’，
不难验证，
f ** ij
是一个可行流，且
V(f **) V(f *) V(f *)
这与f*是最大流的假设矛盾。 设D中不存在关于f *的增广链，证明f *是最大流。
定义V1 * ，令vs∈V1*，若vi∈V1*，且弧（vi，vj）上， fij*<Cij，则令vj∈ V1*，若vi∈V1*，且弧（vj，vi）上， fji*>0，则令vj∈ V1*。
后向弧：弧的方向与链的方向相反，后向弧全体记为µ-。
v2
10.5
v1 4.1
8.3
v3
5.2
3.2 5.1
6.3
v4
11.6
3.3
v5
v6
17.2
后向弧
与图论相关的算法
广度优先搜索
procedure bfs(i:integer); var p:arcptr;
closed,open:integer; q:array[1..maxn] of integer; begin 访问并处理顶点i; map[i].visited:=true; 顶点i进入队列q; closed:=0; open:=1; repeat
编号都不超过k的路径。 递推公式：
t(k)[i,j]= t(k-1)[i,j] or (t(k-1)[i,k] and t(k-1)[k,j])
Johnson算法
Johnson算法常用于求顶点个数较多的稀 疏图的每对点间最短路问题。
感兴趣的同学请参阅《国际信息学奥林 匹克竞赛指导——实用算法的分析与程 序设计》
inc(closed); v:=q[closed]; p:=map[v].firstarc; while p<>nil do begin
if map[p^.v].visited=false then begin 访问并处理顶点q^.v; map[q^.v].visited=true; inc(open); q[open]:=q^.v; end;
q:=q^.nextarc; end; until closed=open; end;
计算连通分支数
count:=0; for i:=1 to n do
map[i].visited:=false; for i:=1 to n do
if map[i].visited=false do begin inc(count); dfs(i); end;
运筹学(第二版)课后答案
max z 4 x1 5 x 2 x3 3 x1 2 x 2 x3 x 4 x6 18 2 x x x 4 1 2 5 st x1 x 2 x3 x7 5 x j 0, ( j 1, ,7)
４０６
附录四习题参考答案
1 0 1 σj 1 0 1 σj
X6 X1 X7 X6 X2 X7
0 1 0 0 -1 2 -1 2
1/2 1/2 1/2 -1 0 1 0 0
1 0 -1 0 1 0 -1 0
-1 0 0 1 -1 0 0 1
-3/2 1/2 -1/2 2 -2 2 -1 3
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
12 2 3 10 4 1
表 1.4-1.2 在第一阶段的最优解中人工变量不为零，则原问题无可行解。 注：在第二阶段计算时，初始表中的检验数不能引用第一阶段最优表的检 验数，必须换成原问题的检验数。 (2) 无穷多最优解，如 X1＝（4，0，0） ；X2＝（0，0，8） (3) 无界解 (4) 唯一最优解 X*＝（5/2，5/2，5/2，0） (5) 唯一最优解 X*＝（24，33） (6) 唯一最优解 X*＝（14，0，－4） 1.5 （1） X*仍为最优解，max z＝λCX； （2） 除 C 为常数向量外，一般 X*不再是该问题的最优解； （3） 最优解变为λX*，目标函数值不变。 1.6 （1） d≥0,c1＜0, c2＜0 （2） d≥0,c1≤0, c2≤0,但 c1，c2 中至少一个为零 （3） d＝0 或 d＞0，而 c1＞0 且 d/4=3/a2 （4） c1＞0,d/4＞3/a2 （5） c2＞0,a1≤0 （6） x5 为人工变量，且 c1≤0, c2≤0 1.7 解： 设 xj 表示第 j 年生产出来分配用于作战的战斗机数； yj 为第 j 年已 培训出来的驾驶员； （aj－xj）为第 j 年用于培训驾驶员的战斗机数；zj 为第 j 年用于培训驾驶员的战斗机总数。则模型为 max z = nx1+(n-1)x2+…+2xn-1+xn s.t. zj=zj-1+(aj-xj) yj=yj-1+k(aj-xj) x1+x2+…+xj≤yj xj,yj,zj≥0 (j=1,2, …,n) 1.8
运筹学图与网络分析
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
图论相关问题
图论相关问题图论中的图是指表示具体事物的集合V 和事物之间的关系集合E 所组成的偶对。
集合V ,集合E 中的元素称为图的边。
注:一般:用γ(也用n 或p 表示) 和ε(也用m 或q 表示)分别表示图G 的顶点数和边数。
注：无向图一般用G 表示，有向图一般用D 表示。
一、 最短路问题（多阶段决策问题） （1） 相关概念Df1 通路：在无向图G=(V,E)中，顶点与边的有限非空交替序列w=v 0e 1v 1e 2…ekvk 称为一条从v0到vk 的通路，记为: ,其中: ei 的端点是vi-1,vi 。
Df2 道路：边不重复的通路称为道路,记为。
Df3 路径：顶点不重复(边自然不重复)的通路称为路径,记为 。
Df4 链：若途径的边均不相同，则称为链。
Df5 圈：起点和终点重合的路径称为圈。
Df6 连通图：任意两点间均有通路的图称为连通图。
Df7 最短路：在赋权图G 中,从顶点u 到顶点v 的具有最小权的路P*(u,v),称为u 到v 的最短路。
（2） 模型形式与背景○1设备更新问题 ○2选址问题 中心问题：要求网络中最远的被服务点离服务设施的距离尽可能小。
重心问题：要求设施到所有服务对象点的距离总和最小，一般要考虑人口密度问题，要使全体服务对象来往的平均路程最短。
○3线路的布设 ○4运输安排 ○5运输网络最小费用流 ○6旅游线路中的最短路 （3） 算法实现：○1Dijkstra 算法 设G 为赋权有向图或无向图，G 边上的权均非负，G 为(p,q)图： (1)令l (v0)=0(l (vi)表示从起点v0到vi 的最短路长)，当v ≠v0，令：l (vi)=∞，S0=v0，i=0；(2)对每一个u ∈Si '，用min{l (u),l (vi)+l (vi,u)}代替l (u)，算出min{l (u)|u ∈Si '}，设vi+1是达到这个极小值的一个顶点，令Si+1=Si ∪ {vi+1}；其中Si '=V- Si 表示Si 的补集。
运筹学—第八章 图与网络分析
v5 1 v6 7 1 v7 －5 －3
e1 {v1 , v2 }
e3 {v2 , v3 }
e2 {v1 , v2 }
e4 {v3 , v4 } e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 } e9 {v6 , v6 }
v1
第二节 树 一、 树的概念和性质 例8.3 已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v6 v5 v2
v3
v4
定义9 一个连通的无圈的无向图叫做树。
作为树T的定义，下列定义是等价的： （1）T是一个树。（设其顶点数为n ，边数为 m ） （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1 。 （4）T无圈，但在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。 （5）T中任意两个顶点之间有且仅有一条链。 （6）T连通，但去掉T的任一条边，T就不连通。
( vi , v j )
一、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 T 为0，其余节点均给T标号， (vi ) (i 2 , 3,, n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
e1 v1
e2 e5
e8 v5
v2
d(v1)= 4，d(v6)= 4
e10 v6 e9
e3 e v4 4 e6 e7 v3
运筹学05.1图的基本概念
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25
运筹学
Operations Research
§5.1
over
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空图（empty graph）： 1 ≤ ν < +∞, ε = 0 平凡图（trivial graph）：ν = 1, ε = 0 无向图（graph），有向图（digraph）
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4
运筹学
Operations Research
连杆（link），环（loop），重边（multiedge）：
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运筹学
Operations Research
例5 图的各顶点的度按不增顺序排成的序列称为图的 度序列.问以下数列能否为某简单图的各顶点的度序列？ （1）3,2,2,2,1,1； （2）7，6，5，4，3，3，2； （3）10，6，3，2，2，1，1，1； （4）5，4，2，2，2，1，1；
迹（trail），路（path），圈（cycle）
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运筹学
Operations Research
例8求证：若δ (G ) = 2，则图G中必含有圈.
证：
▍
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运筹学
Operations Research
连通图（connected graph）
若顶点u, v之间有一条路相连，则称u与v是连通的. 若图G的任两顶点都是连通的，则称G是连通图.
简单图（simple graph）：不含有重边和环的图.
性质 若G是简单图，则(1)ε ≤ Cν2 ; ( 2)何时取 = ?
运筹学图与网络分析(高级课堂)
E
I
A
2 C
2
4
G
5
1S
2
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
高等课堂
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[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A
2 C
2
4
G
5
1S
2
3
3K
例 ： G1为不连通图， G2为连通图
G1
高等课堂
G2
8
5、支撑子图
图G=(V，E)和G'=(V ' ，E ')，若V =V ' 且E ' E ，
则称G' 为G的支撑子图。
例 ：G2为G1的支撑子图
v5
v5
v1
v4 v1
v4
v2
v3
v2
v3
G1
G2
高等课堂
9
例 ： G2 是G1 的子图；
v2
e1 v1
H
高等课堂
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[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A 3.5
2
C
2
4
G
5
1S
2
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
高等课堂
25
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§5.3 多阶段有向图中的最短路问题 5个部分：
{}{
}{}{}{}E D D D C C B B B A ,,,,,,,,,32121321 初态、终态、始态、末态、状态I
赋权多阶段有向图
图5.7
解： 8356676m i n ),(1=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=E C l ，31)(D C d =， 53264min ),(2=⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧++=E C l ，32)(D C d =， 85386min ),(3),(6min ),(211=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++=⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧++=E C l E C l E B l ,21)(C B d =，
类似：125785min ),(7),(5min ),(212
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++=E C l E C l E B l ,22)(C B d =， 95481m i n ),(4),(1m i n ),(213=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧++=E C l E C l E B l ,.,)(213C C B d =
99812481min ),(8),(4),(1min ),(321=⎪
⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=E B l E B l E B l E A l ，1)(B A d =，
因此：最短路 .,,,,321E D C B A 路长：9
原则：最短路中每节为最短。
§5.4 摹矩阵 表上作业法
摹矩阵的乘规则：乘法=对应元素乘积的和；将乘积摹为求和，将和摹为取小 ),,(⊗⊕S 对应),,(⨯+R ⊕叫摹和，⊗叫摹积
零元素：z ：在非负数中为最小，加什么等于什么：{}a z a z a ==⊕,min 单位元素1：e ：乘什么等于什么：z z a z a =+=⊗；a e a e a =+=⊗ 半域),,(⊗⊕S ：不可逆
极小代数：)min,,(+R 代数；+∞=z ，0=e ；{}{}R R S =∞+= ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊕⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--723213426251753312对应元素取小（摹和） ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⊗⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡574624361344348732513 {
}763,34,48min 633448=+++=⊗⊕⊗⊕⊗， 关于最长路问题：只需在最短路问题基础上作三点修改 一、)max ,,(+R 即),,(+∨R 是一个半域，也称为极大代数 {}
{}∞-= 实数R ，单位元素0，零元素∞- 二、摹乘法为：“相加取大”
三、零元素为∞-，而非∞+
也可规定路长为各边路长之积，且要求最小 可以在)min,,(⨯R 上计算就可以了。
因此多阶段有向图的最短路问题的求解过程可以采用：表上作业法
表5.1
添入参数，采用摹矩阵用算可得
表5.2
§5.5 决策数确定型动态规划 §5.5.1 Bellman 最优化原理 Bellman 最优化原理：
最优策略有以下的性质：无论其初态和初始决策如何，其今后的决策序列对以第一个决策所形成的状态所为初态的系统而言，必须构成最优策略。
§5.5.2 Bellman 递推公式
{}10,)(),(min )(1-≤≤+=+n j t f t x g x f j j （5.5）
如果终态只有一个元素v，还有
f
(
v
)
（5.6）n
（5.5）叫做Bellman递推公式，（5.6）是它的边界条件。