正弦交流电路电路的功率瞬时功率p
电路原理3章 正弦交流电路的功率
UI cos [1 cos 2t] UI sin sin2t
Q UI sin 单位:乏 (var)
Q UI sin I 2 X
感性电路： Q > 0
容性电路： Q < 0
I
U
+
U X U
UR _
R jX
+ U_ R _+U X
视在功率、无功功率、平均功率关系：
电感在一个周期内吸收的平均功率 为：
P 1
T
pdt
1
T
UI sin 2tdt 0
T0
T0
电感是储能元件，不消耗能量，但是在某一
时间段内，它从外部电路吸收功率。
电感瞬时功率的最大值，定义为电感的无功
功率QL：
电感无功功率：QL UI
I2 XL
U2
XL
单位:乏 (var)
3.7.1.3 电容元件的功率
(1) 视在功率(apparent power)
•
Ii
一端口网络电压有效值与
电流有效值的乘积
Z
S UI 单位:伏安 (VA)
+
•
U
u
-
无 源 网 络
S UI Z I 2
注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供
电设备的额定视在功率，表示其容量。
(2) 无功功率(reactive power)
并联电容器是电网中用得最多的一种无功功 率补偿设备，目前国内外电力系统中90%的无 功补偿设备是并联电容器。
可以串电容吗？
串联电容器补偿，现在主要应用于超高 压、大容量的输电线路上，例如，山西大同 至北京的500kV输电电线路全长300km,加装 了串联电容补偿后,电网线损降低，电压质 量改善，电网运行的稳定性得到加强，而且 输电能力提高30%以上。
《电工技术》课件 正弦交流电路的功率
P
1 T
0T
pdt
1 T
0TUI[cos
cos(2t
)]dt
UI
cos
P UI cos
单位为瓦（W）
u 与 i 的夹角，即阻抗角
= cos 称为功率 因数，用来衡量对电
源的利用程度。
一、一般计算公式
3.无功功率
Q UI sin 单位为乏（Var）
4.视在功率：电路中总电压与总电流有效值的乘积，表示用电设备的容量。
（3）视在功率： S UI
S
Q
φ
功率三角形
P
S UI 单位为伏安（VA）
注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有 功功率。
• 注意 （1）平均功率P、无功功率Q和视在功率S的关系
S2 P2 Q2
（2） P、Q、S 都不是正弦量，不能用相量表示。
S
Q
功率三角形
S PQ P
二、几种特例电路的功率计算
（3） R、 、X L X C
解：
（1）根据电压三角形，求得总电压
U UR2 (UL UC )2 152 (60 80)2 25V
（2）电路中只有电阻是耗能元件，因此电路有功功率就是电阻消耗的功率。
P U R I 151 15W Q QL Q C ULI (UC I ) 20Var S UI 251 25VA
（2）无功功率： Q UI sin
因为电路中只有电感元件和电容元件有无功功率，因此无功功率又可以用公式：
Q QL Q C ULI (UC I )
I2XL I2XC
U
2 L
UC2
XL XC
正弦电路的功率
《电工技术》
知识点：正弦交流电路的功率
1. 瞬时功率
=⋅+ωωϕI U p t t sin sin()m m =-+ϕωϕI U t 2
[cos cos(2)m
m （设电感性电路）
=⋅p i u
2 . 平均功率（有功功率）P
u与i 的相
位差角
总电压总电流
1 UI
pdt ϕ
cos
T
P T =
=⎰
上述公式为有功功率的一般表达式，可推广到任何复杂交流电路，其有功功率等于电阻上消耗的功率。
===2
R R
P P U I I R
功率因数
ϕ
cos
=-=-=L C L C Q I X I X I U U IU 22sin ϕ
)(Q ＝Q L +（-Q C ） 3 . 无功功率 Q
单位：V A 、kV A
4. 视在功率 S。
电源（发电机、变压器等）可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）
ϕ U U R U L -U C S=UI
---功率三角形
5 . 有功功率、无功功率与视在功率间的关系
=S U I
视在功率 =Q U I sin ϕ无功功率
=P U I cos ϕ有功功率
---功率三角形 S
Q P 功率三角形 U R
U
+ U U L C 电压三角形
阻抗
三角
形 R X L -X C ϕ
THE END。
电工基础第66课时.正弦交流电路的功率与功率因数的提高
(1) 电源设备的容量不能充分利用
因为发电设备的额定功率一定
SN UN I N 1000kV A
若用户：cos 1则电源可发出的有功功率为：P ຫໍສະໝຸດ N I Ncos 1000kW
无需提供的无功功率。
cos 0.6 则电源可发出的有功功率为： 若用户：
P U N I Ncos 600kW
或者并联电阻
3.功率因数的提高 (1) 提高功率因数的原则： 必须保证原负载的工作状态不变。即： 加至负载上的电压和负载的有功功率不变。 (2) 提高功率因数的措施:
在感性负载两端适当并电容
I
I C
cos cos I
I
I
U
+
U
R
I L 1
C
I C
1
-
正弦交流电路
若在电路中含有多个不同功率因数的负载，则 每个负载的视在功率分别以S1，S2，S3，……表示， 但总的视在功率： S≠S1+S2+S3+┄。 求总在视在功率时，应先分别求出总有功功率 ΣΡ（各有功功率之和）和总无功功率ΣQ（各无功 功率的代数和），然后根据功率三角形进行合成。 ΣQ=Q1+Q2+Q3+┄。 ΣΡ=P1+P2+P3+┄。 在应用上式时，习惯取感性无功功率为正，容 性无功功率为负。电路总视在功率为：
正弦稳态电路中的功率
瞬时功率 设i= 2 Usinωt u= 2 Isin(ωt+ψ)
画出电压、电流、瞬时功率的波形图。由图可 知瞬时功率有如下特点：
正弦交流电路
（1）、瞬时功率包含有两个分量，一个是恒定 不变的分量UIcosψ，另一个是以2ω角频率交变的 分量UIcos(2ωt+ψ)。
正弦电路的无功功率及视在功率精
平均功率为
P = UI cos±90o）= 0
表明：
正弦稳态中，储能元件电感或电容的平均功率等于 零，不消耗能量，但和电源之间存在能量的交换作用， 即在前半个周期吸收电源的功率并储存起来，后半个 周期又将其全部释放，这种能量交换的速率用另外一 种功率——无功功率来描述。
2、功率因数是正弦电路中一个非常重要的物理量。 其大小表征了电气设备功率的利用率。提高负载的功 率因数是电气工程领域一个非常重要的课题。
本讲作业
1、复习本讲内容； 2、预习下一讲内容——三相电路；
3、书面作业：习题9-2，9-5，9-6。
问题：怎样提高电路的功率因数？
方法： 用电容器与感性负载并联，这样可使电感的磁场 能量与电容的电场能量进行部分交换，从而减少了 电源与负载间能量的交换，即减少了电源提供给负 载的无功功率，也就提高了功率因数。
【例18-2】
下图（a）所示电路表示电压源向一个电感性负载供电的电 路模型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。
Y G j B 1 3 j4 (0 12 j0 16)S 3 j4 32 42
从上式可见，所并联的电容的复导纳应该为YC = jwC = + j0.16 S，才能使二端网络呈现为纯电阻， 这时电路的导纳等于纯电导，即Y = G = 0.12 S。也 就是说，在端口并联电容值为C = （0.16/w）的电 容后，可以使功率因数提高到1，即效率达到100%。
S S~ UI
功率三角形： 下图所示为RLC串联电路的功率三角形：
正弦交流电路中的功率
六、无源单口网络端口测试
1.无源单口网络端口测试的目的
目的：得到无源电路最简等效电路中的元件参 数值。
2u )
a.电容元件瞬时功率波形如图4-44所示
图4-44 电容元件瞬时功率
Cb..电pC容>的0能，量电容元WC件吸12 C收u功2 率
pC <0，电容元件送出能量
二、平均功率和功率因数
1.平均功率：瞬时功率在一个周期内的平均值用P 表示。
P 1 T
T pdt 1
0
T
T
0 [UI cos UI cos(2t 2u ]dt
（2）电感元件
2
pL
UI
cos(2t
2u
2
)
UI
sin(2t
2u )
a.电感元件瞬时功率波形如图4-43所示
图4-43电感元件瞬时功率
b.电感元件的能量
L
1 2
Li2
C.PL>0，电感元件吸收功率
PL<0，电感元件送出功率
（3）电容元件
2
PC
UI
cos(2t
2u
) 2
UI
sin(2t
（2） 减小， cos 增大，平均功率P增大。
故P与 cos 成正比。
三、无功功率
1.无功功率：表示电路能量交换规模，用Q表示。
Q UI sin
（1）Q>0，无功功率为感性无功功率。
（2）Q<0，无功功率为感性无功功率。
正弦电路的功率（ＰＤＦ）
今日作业：7-117-137.3 正弦稳态电路中的功率Power in Sinusoidal Steady State一、瞬时功率(Instantaneous Power)----W二、平均功率(Average Power or Active Power)----W 三、无功功率(Reactive Power)----Var 四、视在功率(Apparent Power)----VA 五、功率因数（Power Factor ）的提高六、复功率(Complex Power)----VA7.3 正弦稳态电路中的功率Power in Sinusoidal Steady State正弦稳态电路+_ui一、瞬时功率(Instantaneous Power)----WA)cos(2V cos 2ϕωω−==t I i t U u 设：tUI t UI t t UI t UI t t UI ui p ωϕωϕϕϕωϕωϕϕωϕωω2sin sin ]2cos 1[cos ]cos sin 2sin cos 2[cos )cos )2[cos()cos(cos 2⋅++=+⋅+⋅=+−=−⋅==ωti,u,p[cos(2)cos )cos [1cos 2]sin sin 2p UI t UI t UI tωϕϕϕωϕω=−+=++⋅ϕcos UI 不可逆部分可逆部分返回二、平均功率(Average Power or Active Power)----Wϕcos )(10UI dtt p T P T==∫cos ϕ−−功率因数正弦稳态电路+_U I计算平均功率的两种方法ϕcos )()(UI P P P R=∑=21RXtg iu 121−=−=ϕψψϕϕ）（）的求解：（返回三、无功功率(Reactive Power)----Var sin Q UI ϕ=计算无功功率的另一种方法XQ Q =∑返回正弦稳态电路+_U I 四、视在功率(Apparent Power)----VA22S P Q UI=+=PQSϕ功率三角形注：在工程上视在功率用来表示电源设备（变压器、发电机等）的容量，也可用来衡量发电机可能提供的最大平均功率（额定电压×额定电流）正弦稳态电路+_U I等于多少？问：此电路的功率因数，另一个负载的，，已知一个负载的)(.cos )(.cos 0850Kw 90070Kw 70222111>==<==ϕϕϕϕP P P 1cos ϕ1P 2cos ϕ21I 2I I+_U解例1问题的提出：日常生活中绝大部分负载为感性cos ϕI当U 、P 一定时，∴五、功率因数（Power Factor ）的提高P =P R =UI cos ϕ其消耗的有功功率为：R LR U LU IU +-+-+-1、线路损耗增加；2、终端负载工作电压降低，影响其正常工作；3、电源容量增加。
正弦交流电知识点整理
正选交流电路+三相交流电知识点整理（1）1、正选交流电与直流电的区别所谓正弦交流电路，是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
交流发电机中所产生的电动势和正弦信号发生器所输出的信号电压，都是随时间按正弦规律变化的。
它们是常用的正弦电源。
在生产上和日常生活中所用的交流电，一般都是指正弦交流电。
因此，正弦交流电路是电工学中很重要的一个部分。
直流电路：除在换路瞬间，其中的电流和电压的大小与方向(或电压的极性)是不随时间而变化的，如下图所示：正选交流电：正弦电压和电流是按照正弦规律周期性变化的，其波形如下图所示。
正弦电压和电流的方向是周期性变化的。
正弦量：正弦电压和电流等物理量。
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，而它们分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。
所以频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素。
2、周期T与频率f周期T：正弦量变化一次所需的时间。
单位：秒（s）频率f：每秒内变化的次数。
单位：赫兹（Hz）两者关系：频率是周期的倒数 f=1/T高频炉的频率是200- 300kHz；中频炉的频率是500-8000Hz；高速电动机的频率是150-2000Hz; 通常收音机中波段的频率是530-1600kHz ，短波段是2.3-23MHz；移动通信的频率是900MHz和1800MHz; 在元线通信中使用的频率可高 300 GHz。
正弦量变化的其他表达方式：角频率正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率ω来表示。
因为一周期内经历了 2π弧度(图 4.1.3) ，所以角频率为：上式表示 T，f,ω三者之间的关系，只要知道其中之一，则其余均可求出。
3、幅值与有效值正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母来表示，如 i ， U 及 e 分别表示电流、电压及电动势的瞬时值。
瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，用带下标 m 的大写字母来表示，如Im， Um 及 Em 分别表示电流、电压及电动势的幅值。
电工学第三章
3-1正弦交流电的基本概念 3-1-1 正弦交流电的三要素 正弦交流电: 大小和方向都随时间按正弦规律作周期性变化 的电量（电压、电流、电动势）。
i
设正弦交流电流：
Im
O
t
T
i I m sin t
初相角：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢 in( t 2 )
I I1 I 2
i i1 i 2
上节复习：
1、写出下列正弦量对应的相量，并作出相量图
i1 4 2 s in ( t 3 0 )
i2 1 0 2 c o s ( t 1 2 0 )
i3 1 4 .1 4 s in ( t 1 5 0 )
相量的模=正弦量的最大值
相量辐角=正弦量的初相角
U
U
u U m sin ( t )
电压的有效值相量
U
U
相量的模=正弦量的最大值
相量辐角=正弦量的初相角
例1：
u 10 sin( 314 t 60 )
写出其相量形式
U 5 2 60
U m 10 60
3-1-3 正弦交流电的参考方向
i
O
i I m sin t
ωt
i 0，实际方向与参考方向相 同
i 0，实际方向与参考方向 相反
3-2正弦交流电的相量表示法
１.正弦量的表示方法 波形图
O
u/i
ωt
瞬时值表达式
u U m sin ( t )
i I m s in
交流电路的功率
2.4 交流电路的功率2.4.1 瞬时功率如图2-30所示，若通过阻抗Z的电流为i=I m sinωt，则Z两端的电压为u=U m sin（ωt+φ），在电流、电压关联参考方向下，瞬时功率为p=ui=U m sin（ωt+φ）×I m sinωt=UI cosφ-UI cos（2ωt+φ）（2-54）图2-30 正弦交流电路在式（2-54）中，第一项为不变的部分，总是大于等于零，是耗能元件上瞬时功率；第二项为变化的部分，是储能元件上瞬时功率。
由此可见，在每一瞬间，电源提供的功率一部分被耗能元件消耗，另一部分与储能元件进行能量交换。
2.4.2 有功功率与功率因数一个周期内瞬时功率的平均值称为平均功率，也称有功功率。
式中，λ=cosφ称为电路的功率因数。
可见，正弦交流电路中的有功功率不但与电压、电流有关，还与电压和电流相位差的余弦值有关。
可见，在正弦交流电路中，电感、电容元件实际不消耗电能，而电阻总是消耗电能的。
有功功率是电路实际消耗的功率，即二端网络中，各电阻所消耗的有功功率之和。
有功功率的单位是瓦特（W）。
2.4.3 无功功率电路中的电感元件与电容元件要与电源之间进行能量交换，根据电感元件、电容元件的无功功率，考虑到与相位相反，于是Q=（U L-U C）I=（X L-X C）I2=UI sinφ（2-56）单个电感元件，Q L=U L I L sinφ=U L I L>0单个电容元件，Q C=U C I C sinφ=-U C I C<0即电感的无功功率取正值，而电容的无功功率取负值，以便区别。
在既有电感又有电容的电路中，总的无功功率为Q L与Q C的代数和，即Q=Q L-Q C无功功率的单位是乏（var）。
2.4.4 视在功率在交流电路中，电压与电流有效值的乘积，只能表示电源可能提供的最大功率，叫视在功率，用字母S表示。
即S=UI=I2|Z| （2-57）视在功率的单位是伏安（V·A），常用来表示电气设备的容量。
正弦交流电路中的R、L、C特性
P UI
1
T
UI(1 cos2 t)dt UI
T0
3-4.2 电感元件的交流电路
基本关系式： u L di dt
i uL
设 i 2 I sin t
则 u L di 2 I L cost
dt
2 I L sin(t 90 )
2 U sin(t 90 )
电感电路中电流、电压的关系
复数形式的欧姆定律
U IR U I( j X L) U I( j XC )
电阻电路
电感电路
电容电路
3.简单正弦交流电路的关系(以R-L电路为例）
* 电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、克氏
定律。
i
u
R
uR
u uR uL iR L di
L uL
dt
* 电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、克氏
T0
3. 无功功率 Q
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
p UI sin 2t
Q UI
（电容性无功取负值）
例 求电容电路中的电流
i
u
C
已知： C ＝1μF
u 70.7 2sin(314 t )
求：I 、i
6
解：X C
1
C
1 314106
3180
电流有效值 I U 70.7 22 . 2 mA X C 3180
p i u 2UI sin t cost UI sin 2t
i uL
p i u UI sin 2t
u
i
t
i
i
i
i
u uuu
p
可逆的 能量转换
过程
+
P <0
演示文稿2 董洁
设计人：董杰
一、正弦交流电路功率的基本概念 二、电阻、电感、电容电路的功率
三、功率因数的提高
一、正弦交流电路功率的基本概念
1．瞬时功率 p
设正弦交流电路的总电压 u 与总电流i的相位差(即阻抗角)为 ，则电压与电 流的瞬时值表达式为
u = Umsin( t )，i = Imsin( t) 瞬时功率为 p = ui = UmImsin( t )sin( t)
P C (tan1 tan 2 ) 2 2fU
其中 1 = arccos1，2 = arccos2，且 1 > 2，1 < 2 。
【例8-6】已知某单相电动机(感性负载)的额定参数是功率 P = 120 W，工频 电压U = 220 V，电流 I = 0.91 A。试求：把电路功率因数 提高到 0.9 时，应使用 一只多大的电容 C 与这台电动机并联？
这样就可以使电感中的磁场能量与电容器的电场能量进行交换，从而减少 电源与负载间能量的互换。在感性负载两端并联一个适当的电容后，对提高电 路的功率因数十分有效。
借助矢量图分析方法容易证明：对于额定电压为 U，额定功率为 P，工作 频率为 f 的感性负载 R-L 来说，将功率因数从 1= cos1提高到 2 = cos2，所 需并联的电容
有功功率 无功功率 视在功率
PR = UI cos = UI = I2R = QR = UI sin = 0
U2 R
S P 2 Q 2 PR
即纯电阻电路消耗功率(能量)。
( 1) 负载的功率因数低，使电源设备的容量不能充分利用。因为电源设备 (发电机、变压器等)是依照它的额定电压与额定电流设计的。
例如一台容量 S = 100 kVA 的变压器，若负载的功率因数 =１时，则此
正弦交流电路的功率
问题与讨论 功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿
成以下三种情况: 成以下三种情况
& IC
ϕ <0
& U
I&
& IC
ϕ =0
& U
& IC
ϕ
ϕ >0
I& U&
I& RL
呈电容性。 呈电容性。
I&
& IRL
呈电感性
I& RL
呈电阻性
cosϕ <1
cosϕ =1
cosϕ < 1
一般情况下很难做到完全补偿 （即： cos 功率因数补偿成感性好，还是容性好？ 功率因数补偿成感性好，还是容性好？ & & I 'C IC
P = U N I N cos ϕ = 600kW
而需提供的无功功率为: 而需提供的无功功率为
Q = U N I N sinϕ = 800kvar
∴ 提高 cosϕ 可使发电设备的容量得以充分利用
2. 增加线路和发电机绕组的功率损耗 设输电线和发电机绕组的电阻为 r : 要求: 要求 P = U I cosϕ (Ｐ、Ｕ定值 时 定值)时
* 复功率守恒 , 不等于视在功率守恒
& I
+
.
& U
_
& + U _
1
+
& U2
_
&& & & & S = U I * = (U 1 + U 2 ) I * & & & & = U 1 I * +U 2 I * = S 1 + S 2
07 正弦交流电路的相量法及功率
3.5 正弦交流电路中的电容元件
1 1 I C = jω C U C , U C = IC = −j IC ωC jω C
.
iC
C
uC
+
. _
IC
ψi ψu
IC
.
IC
1 jω C
+
. _
UC
1 IC ωC
相量图： 相量图：
UC
容抗： 容抗：
U C 滞后！
电工学 南京理工大学自动化学院
阻抗和导纳
阻抗Z 阻抗Z和电路性质的关系
R
ϕ > 0 表示 u 领先 i
－－电路呈感性 电路呈感性
ϕ < 0 表示 u 落后 i
电工学
－－电路呈容性 电路呈容性
电路呈电阻性 ϕ = 0 表示 u 、i同相 －－电路呈电阻性
南京理工大学自动化学院
阻抗和导纳
电阻元件的阻抗
电压和电流关联参考方向下： 电压和电流关联参考方向下：
UR
IR
.
IR
R
UR
+
. _
则： R = R = U R Z IR
ψi
ψu
I R与U R 共线
南京理工大学自动化学院 电工学
阻抗和导纳
电感元件的阻抗
电压和电流关联参考方向下： 电压和电流关联参考方向下：
UL
.
IL
jω L
IL
+
UL
. _
ψu
ψi
则 ： L = jω L = U L Z IL
电工学
jX L , X L = ω L 感抗
最后根据相量与正弦时间函数的对应关系，写出待求量在 最后根据相量与正弦时间函数的对应关系， 时域中的瞬时值表达式
北航电工电子学第3章正弦交流电路
u i ωt
u
u = Ldi/dt, 设 i =ImSin(ωt) ， 则 u = Ldi/dt= ωLImCosωt, = UmSin(ωt +π/2)
∴对于电感，有如下结论：
(1) u 、i 同频, 并且 u 超前于 i 90o (2) Um =ωLIm =XLIm , XL=ωL= Um/Im = U/I ——感抗(Ω)
j
A
rejφ ejα –j=1/j= ej–π/2
4。极坐标式 A = r φ 旋转因子的概念
+1
特殊旋转因子 j=ejπ/2,
一、复数与正弦量的关系
i
B
ω t1
A
B
A O φi
φi
ωt1
ωt
二、相量表示法
j 优点： 1。把的正弦量＋、－、×、÷ 变为复数的＋、－、×、÷ 2。关系简单，一一对应，直接写出 注意：相量仅表示正弦量，不等于正弦量！ φ I +1 I
φZ = tg－1 (XL –XC )/R ——阻抗角
阻抗角
φZ = tg－1 (XL –XC )/R——阻抗角 ——决定电路性质 当 XL >XC 时， φZ > 0 ， u 超前于 i ——感 性 性
当 XL<XC 时， φZ < 0 ， i 超前于 u ——容 当 XL=XC 时， φZ = 0 ， u 、i 同相
XC = 1/(2πfC) = 0.159 (Ω) I= U/ XC = 1380 (A) QC = I2XC = 304 (kVar)
四、R、L、C 的 u – i 关系小结
1. 相量表示
电阻元件 电感元件 电容元件
U=RI U = jωL I I = jωC U
电工技术5正弦交流电路的功率
3-7正弦交流电路的功率
一、瞬时功率
i + u N 0
UI cos ϕ
功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿
成以下三种情况: 成以下三种情况
ɺ IC
ϕ <0
ɺ U
Iɺ
ɺ IC
ϕ =0
ɺ U
ɺ IC
ϕ
ϕ >0
Iɺ Uɺ
Iɺ RL
呈电容性。 呈电容性。
Iɺ
Iɺ RL
呈电阻性
ɺ IRL
呈电感性
cosϕ <1
cosϕ =1
cosϕ < 1
一般情况下很难做到完全补偿 （即： cos 功率因数补偿成感性好，还是容性好？ 功率因数补偿成感性好，还是容性好？
ɺ I
XL > R、XC > R
3-8 电路中的谐振
谐振概念： 谐振概念：
含有电感和电容的电路， 含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全 补偿，使电路的功率因数等于 ， 同相， 补偿，使电路的功率因数等于1，即：u、 i 同相， 便称此电路处于谐振状态。 便称此电路处于谐振状态。 串联谐振： 串联谐振：L 与 C 串联时 并联谐振： 并联谐振：L 与 C 并联时
40W日光灯 日光灯
COSϕ = 0.5
P 40 = = 0.364 A I= U cos ϕ 220× 0.5
供电局一般要求用户的 否则受处罚。 否则受处罚。
COSϕ > 0.9 ，
交流电路-功率详解
Q UI sin
arctan
Q P
R-L-C正弦交流电路中的功率
已知电阻R=30Ω，电感L=328mH，电容C=40µ F，串联后接到 电压
u 220 2 sin(314t 300 )V 的电源上。求电路的P、Q和S。
解：电压相量
220300 V U
P cos UI
功率因数，取决于电路阻抗角。
90，为纯电容或纯电感； 0 ，为纯电阻。
R-L-C正弦交流电路中的功率
3）无功功率（即电容或电感与电源之间交换的功率）
p ui U m sin(t )I m sin t UI cos (1 cos2t ) UI sin sin 2t
PL 0
3）无功功率 为了表示能量交换的规 模大小，将电感瞬时功率的 最大值定义为电感的无功功 率，用QL表示。
QL UI I 2 X L U2 XL
QL的基本单位是乏（var）。
单一参数电路的功率-电容
电容上的电压与电流相位差 90度，相乘后，一部分时间吸收 功率，一部分时间放出功率，平 均功率为零。 1）瞬时功率
单一参数电路的功率-电感
电感上的电压与电流相位差 90度，相乘后，一部分时间吸收 功率，一部分时间放出功率，平 均功率为零。 1）瞬时功率
p pL ui U m sin(t 90) I m sin t 1 U m I m sin 2t UI sin 2t 2
单一参数电路的功率-电感
1）瞬时功率
i I m sin t
u U m sin(t ) p ui U m sin(t )I m sin t UI cos (1 cos2t ) UI sin sin 2t
第6章(3)正弦稳态电路的功率
单位：瓦 (6.5-3)
在正弦稳态情况下，平均功率不仅与电压、电流的有 效值有关，而且与电压、电流的位相差有关。 式中 λ = cos ϕ 称为功率因数(power factor) ϕ = ϕu − ϕi 称功率因数角(power-factor angle) 通常所说的功率，都是指平均功率而言。平均功 率又叫有功功率(active power)。
Q = UI sin ϕ = UI sin ϕ Z
(6.5-27)
②Reactive Power in Terms of Z or Y : 对于不含 独立源的一端口，无功功率也可以 用阻抗或导纳计算。根据式(6.5-6)和(6.5-18)， (6.5-18)，即 2 * * (6.5-28a) Q = Im(UI ) = Im( ZII ) = I Im( Z ) = I 2 X (ω )
p (t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + 2ϕu − ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ϕ cos(2ωt + 2ϕu ) + UI sin ϕ sin(2ωt + 2ϕu )
(6.5-2) 上式中第一项始终大于(或小于、或等于零)，它是 瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的 可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源和 二端网络之间来回交换。
第六章 正弦电路的稳态分析
注： i) 如果一端口只由R、L、C等无源元件组成，则功率 因数角φ＝阻抗角φZ，且|φZ|≤900，所以平均功率P≥0， 一端口吸收能量。根据能量守恒可知，P为一端口中电阻 元件所消耗的总功率（∵L、C元件不耗能）。 ii) 如果一端口除无源元件外尚有受控源(亦有功率因 数角φ＝阻抗角φZ)， |φZ|可能＞900。其平均功率P为负 值，说明该一端口对外提供能量。 iii) 如果一端口内含有独立电源，则功率因数角φ为 端口电压与端口电流的位相差。P可能为正，也可能为负 值。即一端口可能吸收能量，也可能对外提供能量。
瞬时功率的计算公式
瞬时功率的计算公式瞬时功率即指在一些时刻t时刻的功率，也就是瞬间的功率。
功率定义为单位时间内传递的能量，可以用公式P=ΔE/Δt来表示，其中P表示功率，ΔE表示单位时间内传递的能量，Δt表示时间间隔。
对于电路系统来说，电功率是电能转化为其他形式能量的速率。
电功率可以表示为电路中电流和电压的乘积，即P=VI，其中P表示电功率，V表示电压，I表示电流。
在直流电路中，电流是常量，所以瞬时功率可以简单地表示为P=IV。
因此，根据欧姆定律，可以将瞬时功率表示为P=I²R，其中R表示电阻。
在交流电路中，电流和电压是随时间变化的，因此瞬时功率的计算稍微复杂一些。
根据欧姆定律，电压和电流之间存在相位差。
假设电压和电流的表达式为V = Vm*sin(ωt + Φv)和I = Im*sin(ωt + Φi)，其中Vm和Im分别表示电压和电流的最大值，ω表示角频率，Φv和Φi表示相位差。
根据电功率公式P=VI，将电压和电流的表达式代入，可以得到瞬时功率的计算公式：P = VmIm*sin(ωt + Φv)*sin(ωt + Φi)根据三角函数的和差化简公式，可以将瞬时功率的计算公式进一步简化：P = (1/2)*VmIm*[cos(Φv - Φi) - cos(2ωt + Φv + Φi)]根据此公式，可以通过给定时间t的值来计算瞬时功率。
其中，(Φv - Φi)表示相位差的差异，cos(Φv - Φi)是功率因子，(2ωt + Φv +Φi)表示功率的频率和相位。
在交流电路中，常常用有功功率和无功功率来描述瞬时功率的特征。
有功功率表示电能在电路中真正转化为有用功的能力，而无功功率则表示电能在电路中往返传输的能力。
有功功率可以表示为P = VmIm*cos(Φv- Φi)，无功功率可以表示为Q = VmIm*sin(Φv - Φi)。
当相位差(Φv - Φi)为零时，即电压和电流的相位相同时，有功功率最大，此时电能在电路中真正转化为有用功的能力最大。
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正弦交流电路
§6-4 纯练掌握纯电感电路中电流与电压的相
位关系和数量关系。
2．熟练掌握纯电感电路中的功率关系。
3．掌握电感器在交流电路中的作用。
第六章
正弦交流电路
由电阻很小的电感线圈组成的交流电路，都 可以近似地看成是纯电感电路。
常见电感器
第六章
正弦交流电路
一、电流与电压的关系
第六章
正弦交流电路
【练一练】
把一个电阻可以忽略不计，电感量为10mH的
线圈分别接到频率为5kHz和25kHz的157V交流电 源上，求线圈中的电流大小。
第六章
正弦交流电路
【知识拓展】
利用电感对交流电的阻碍作用可以制成扼流圈。
常见的扼流圈
第六章
正弦交流电路
课堂小结
在纯电感电路中，电压总是超前电流90°。电 流与电压的有效值仍满足欧姆定律，即：
律。但由于电流与电压的相位不同，故电流与电 压的瞬时值不满足欧姆定律。
第六章
正弦交流电路
感抗是用来表示电感线圈对交流电流起阻碍作 用的一个物理量。其计算式为：
X L 2πfL L
感抗的大小，取决于线圈的电感量L和流过它 的电流的频率f。对具有某一固定电感量的线圈而言， f越高则XL越大。在相同电压作用下，线圈中的电 流就会减小。在直流电路中，因频率f＝0，故线圈
1．基本关系
i i uL eL ( L ) L t t
即线圈两端的电压大小与电流的变化率成 正比。
第六章
正弦交流电路
2．相位关系
第六章
正弦交流电路
从波形图可清楚看出电 流和电压的相位关系是：电 压总是超前电流90°。 设流过电感的正弦电流的初相为零，则电流、 电压的瞬时值表达式为：
U I XL
Um Im XL
2.在纯电感电路中，电压超前电流90°，这
是否说明先有电压后有电流？
第六章
正弦交流电路
二、电路的功率
1．瞬时功率
pL＝uLi＝ULmsin（ωt＋ ）Imsinωt 2
＝ULm Imsinωtcosωt
1 ＝ ULm Imsin2ωt 2
＝ULIsin2ωt
上式说明，纯电感电路的瞬时功率也是以
正弦交流电路
“无功”的含义是“交换”而不是“消耗”，
它是相对“有功”而言的，绝不能理解为“无用”。
实际中许多含有电感性质的负载，如电动机、
变压器等，都是根据电磁转换原理利用无功功率来
工作的。
第六章
正弦交流电路
［例6—3］
一个0.7H的电感线圈，接在u 220 2 sin(314t 30)V 的交流电源上。试求出通过线圈的电流大小，写出电流的瞬 时值表达式，画出电流、电压的相量图，求出电路的无功功 率。
i I m sin t
π uL U Lm sin(t ) 2
第六章
正弦交流电路
3．数量关系
电感对交流电起阻碍作用
第六章
正弦交流电路
理论和实验都能证明，在纯电感电路中，电
流与电压成正比，与感抗成反比，即： U I XL
这就是纯电感电路的欧姆定律。它说明，纯
电感电路中，电流与电压的有效值仍满足欧姆定
2ω按正弦规律变化的。
第六章
正弦交流电路
1 4 周期内，pL是正值，
在第一和第三个
线圈起着一个负载的
作用。
1 4 周期内，pL是负值，
在第二和第四个
线圈起着一个电源的 作用。
第六章
正弦交流电路
2．平均功率
纯电感线圈接通交流电源后，时而“吞进” 功率，时而“吐出”功率，在一个周期内的平
均功率为零，即PL＝0，这表明电感线圈不是
耗能元件，而是储能元件。
第六章
正弦交流电路
3．无功功率 平均功率不能反映线圈与电源之间能量交换 的规模，人们就用瞬时功率的最大值来反映这种
能量交换的规模，并把它叫做电路的无功功率，
用字母QL表示：
UL QL U L I I X L XL
2
2
无功功率的单位为乏尔，简称乏（var）。
第六章
X L 2πfL L
有功功率等于0。
2
UL QL U L I I X L 无功功率： XL
2
的感抗也等于零。由于一般线圈的电阻很小，故电
感线圈可视为短路。
第六章
正弦交流电路
左图所示为线性电感 线圈的感抗随频率变化的 曲线。 可见，电感器在电路 中的作用主要是：通直流， 阻交流。
第六章
正弦交流电路
1.你能看出下列式子中哪些是正确的，哪些 是错误的吗？为什么？
U i XL
u I XL
u i XL