四年级奥数详解答案 第20讲 余数问题

四年级奥数详解答案第20讲

第二十讲余数问题

一、知识概要

余数是个有趣的问题，在平时解数学题时，常常碰到有关余数的问题。在解答这类问题时，关键是找出律，把要求的问题余数的变化相对应，以求得问题的解决。有关余数的关系式、性质有：

1、被除数=除数×商＋余数

2、被除数－余数=除数×商

3、余数一定小于除数

二、典型题目精讲

1、2000年的“元旦”是星期六，这年的6月1日是星期_______。

解：①以“元旦”（1月1日）到“六一”，共有31＋29＋31＋30＋31＋1=153（天）；

②∵“星期”是以7天为一个周期，依次循环的，∴153÷7=21（周）……6（天）。

③∵（如表所示）余数为6的是星期四，∴这年的6月1日星期四。

时期1，8

…

2，9

…

3，10

…

4，11

…

5，12，

…

6，13

…

7，14

…

余数 1 2 3 4 5 6 0

星期六日一二三四五

2、把16把椅子放在圆桌的周围，依次编上1，2，3，

……15，16的号码，（如图），小明以1号椅子开始

出发，顺时针方向前进328个，再逆时针方向前进

485个，又顺时针方向前进328个，再逆时针方向前

进485个，又顺时针方向前进136.这时小明应该坐在

______号椅子上。

解：∵顺时针方向共前进了328×2＋136=792（个）；

逆时针方向共前进了485×2=970（个）；

“顺”、“逆”相抵（970－792）实际上是逆时针方向前进了178个(970－792=178个)，

而“个数”又是以16个为周期（一圈）循环的，

∴178÷16=11（圈）……2（个），逆时针胶时2个是15号，故这时小时应该坐在15 号椅子上。

3、把连续奇数1、3、5、7、……，按下图所示的方法排列。问数1995在______射线上，

是这条射线的第_______个数。

解：①由下表可知，连续奇数以“a、b、c、

d、d、c、b、a”八个数为一组，成周

期循环，即多“17、19、……31”开

始重复出现“a、b、……a”；而“17、

19、…31”是奇数列的第9项、第10

项…第16项，这个项数刚好是本项的

（奇数＋1）÷2所得,所以（1995＋1）

÷2=998（项），998÷8=124（周期）

……6（个），余数为6的是第14项奇数27，在射线C上，

故1995也在射线C上。

奇数 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 …

射线 a b c d d c b a a b c d d c b a …

余数 1 2 3 4 5 6 7 0 …

②在一个循环里，每条射线上有2个奇数，所以124个循环中共有124×2=248（个）

奇数。在余下的6个数这个循环里，又有余数为3和6这两个奇数，所以，1995

是射线C上的第248＋2=250个数。

三、历届赛题选讲

1、（1993年全国小学数学竞赛）

某年的二月份有五个星期四，这年六月一日是星期_______。

解：∵7×4=28（天），∴二月份有五个星期四必须是29天（闰月），且2月1日就是星期四。而从2月1日至6月1日共经过了（29＋31＋30＋31＋1）=122天，122÷7=17 （周）……3日，3日（号）是星期二，故六月一日也是星期二。

2、（1998年第八届“祖冲之杯”数学邀请赛）

姓赵、钱、孙、李、周、吴、王的七位同学站成一排，按下列方式报数：

赵钱孙李周吴王

1 2 3 4 5 6 7

13 12 11 10 9 8

14 15 16 17 18 19

25 24 23 22 21 20

26 27 ……

……

报“1998”的是姓_________的同学。

解：由题意可知，他们的“报数”与“赵、钱、……王”的对应关系是：“报数”以12个数为一个周期，依次在“赵、钱、……王”之间循环。所以，1998÷12=166（周期）…6，余数是6的，即报数6的是姓吴，于是，报“1998”的是姓吴的同学。

3、（1996年山西省第二届小学生数学竞赛）

有红、白、黑三色卡片共182张。按照先5张红色，再3张白色，再4张黑色的次序排列下去，最后一张是______色；第150张是_______色。

解：由题意可知，三色卡片的排列规律是：以12张为一组成周期循环，所以，182÷12=15 （周期）……2（张）；150÷12=12（周期）……6（张），即最后一张（第182张）与第2张同色是红色；第150张与第6张同色，是白色。

四、练习巩固与拓展

1、把○□△这三种图形如下规则排列：○○○△□□○○○△□□……，问第100个图形

是什么？前100个图形中△共有________个。

2、下列所示，第一组是（1，A，我），第二组是（3，B，们），第三组是（4，C，爱），……

问第94组是________。如果（3，C，学）代表1950年，那么2000年对应的是什么组？

数字 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 ……

字母 A B C A B C A B C A B ……

汉字我们爱数学我们爱数学我……

3、8×8×8×……×8的积的个位数是__________。

4、35位同学，他们身上带的钱从13元到47元，钱数都不相等，但都是整元数。每个同

学都把自己身上带的钱全部用于买两种课外书：3元一本和5元一本，每人都尽量地多买5元一本的。问他们所买的3元一本的课外书的总数是__________本。

5、一列数4、2、8、5、7、4、2、8、5、7、4、2……问第1993个数是______，这1993

个数的和是_________。

6、2000年的“元旦”是星期六，这年的“五一”节是星期______。

7、8把椅子排成一个正方形，依次编号（如下图），张华坐在3号椅子上，他顺时针前进了245个座位后又倒退了一个座位，这时他应该坐在第几号椅子上？

8、如图所示，原先甲、乙、丙、丁四人分别坐在1，2，3，4号位子上，后来不停地调换

位子。第一次上、下两排交换，第二次再左右两排交换，第三次再上、下两排交换，