用实例给新手讲解RSA加密算法
RSA加密算法(C语言实现)
RSA加密算法（C语言实现）RSA（Rivest-Shamir-Adleman）算法是一种非对称加密算法，它是目前应用最广泛的加密算法之一、RSA算法基于两个大素数之间的乘积很难分解的特性，并使用公钥和私钥进行加密和解密。
在C语言中实现RSA算法需要进行以下步骤：1.生成大素数p和q：选择两个大素数p和q，它们需要满足p≠q。
这样选取p和q是为了使得计算n=p*q变得困难，保护私钥。
2.计算n：计算n=p*q，n即为公钥和私钥的参数之一3.计算欧拉函数φ(n)：计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
4.选择e：选择一个与φ(n)互质且小于φ(n)的整数e作为加密指数，e即为公钥的参数。
5. 计算d：计算d = e^(-1) mod φ(n)，d即为私钥的参数。
可以使用扩展欧几里得算法来计算d。
6. 加密：将明文M转换为整数m，加密后的密文C = m^e mod n。
7. 解密：解密密文C得到明文M = C^d mod n。
以下是C语言实现RSA加密算法的代码示例：```c#include <stdio.h>int gcd(int a, int b)if(b == 0)}return gcd(b, a % b);int extendedGcd(int a, int b, int *x, int *y) if(a == 0)*x=0;*y=1;return b;}int x1, y1;int gcd = extendedGcd(b % a, a, &x1, &y1);*x=y1-(b/a)*x1;*y=x1;return gcd;int modInverse(int a, int m)int x, y;int gcd = extendedGcd(a, m, &x, &y);if(gcd != 1)printf("Inverse doesn't exist\n");}return (x % m + m) % m;int powerMod(int x, unsigned int y, int m) if (y == 0)return 1;}int p = powerMod(x, y/2, m) % m;p=(p*p)%m;return (y%2 == 0) ? p : (x*p) % m;int maiint p, q, n, phiN, e, d;//选择两个大素数p和qp=31;q=17;//计算n和φ(n)n=p*q;phiN = (p - 1) * (q - 1);//选择加密指数ee=7;//计算解密指数dd = modInverse(e, phiN);int plaintext = 88;int ciphertext = powerMod(plaintext, e, n);int decryptedtext = powerMod(ciphertext, d, n);printf("Plaintext: %d\n", plaintext);printf("Ciphertext: %d\n", ciphertext);printf("Decryptedtext: %d\n", decryptedtext);return 0;```在上面的代码中，我们使用了几个辅助函数来实现扩展欧几里得算法、计算模反元素和快速幂算法。
rsa加密算法详解及例题
RSA加密算法详解及例题
RSA加密算法是一种非对称加密算法，其安全性基于对极大整数做因数分解的困难性。
以下是RSA加密算法的详解及例题：
1. 密钥生成：
* 随机选择两个质数P和Q，越大越安全。
* 计算它们的乘积N=P*Q。
* 计算欧拉函数φ(N)=(P-1)*(Q-1)。
* 随机选择一个整数E，条件是1<E<φ(N)，且E与φ(N)互质。
* 计算E对于φ(N)的模反元素D，使得EDmodφ(N)=1，即D=E-1modφ(N)。
* 公钥为(E, N)，私钥为(D, N)。
2. 加解密过程：
* 加密：明文M进行加密后得到密文C，计算公式为C=MemodN。
* 解密：将密文C进行解密后得到明文M，计算公式为M=CdmodN。
例题：在RSA加密体制中，已知素数P=7，Q=11，公钥E=13，试计算私钥D并给出对明文M=5的加密，求其密文。
解：首先，根据上述算法进行密钥生成。
根据素数P和Q得到N=77。
计算φ(N)=60。
因为E小于φ(N)且与φ(N)互质，选择E=13作为公钥。
根据公式计算D模反元素得到D=7。
现在有公钥(E, N)=(13, 77)和私钥(D, N)=(7, 77)。
接下来，用公钥加密明文M=5得到密文C=5^13mod77=15。
所以，密文为15。
此例题仅展示了RSA加密算法的基本原理和步骤，实际应用中需要考虑更多安全因素和操作细节。
rsa算法例题
rsa算法例题RSA算法是一种常见的加密算法，是目前公认的最安全的加密算法。
它的安全性完全依赖于现代计算机的性能，使得在实际环境中破解RSA密钥的可能性很低，只能采用暴力破解的方法，而暴力破解的速度会随着内容越来越大而变得越来越慢。
RSA算法的实现过程如下：（1）首先，由用户向RSA算法颁发机构提出申请，向其申请公钥和私钥。
（2）RSA机构收到请求后，生成公钥和私钥，并将其发送给用户。
（3）用户获得公钥和私钥后，将信息通过私钥加密，让其他人无法解读。
（4）加密后的信息发送给接收方，接收方通过提供的公钥解密，从而获得明文信息。
RSA算法的原理是基于大整数的分解，即素数分解。
用于加密解密的两个整数关键参数e和n是有一对素数p和q组成的，而e(公钥)p-1）*（q-1）（私钥）互素。
举个例子，比如p、q分别为17和11，那么（p-1）*（q-1）的值为（17-1）*（11-1）=144，我们可以找到一个质数e，使得e和144互素，且e满足e<144，比如，我们可以设置e=7，满足e和144互素的约束条件，即gcd（7，144）=1；此时，用户得到的公钥为（7，187），钥（23，187）；n=187，p=17，q=11，e=7。
如果要加密一段信息，可以使用上面生成的公钥，即(7，187)，以下是操作步骤：（1）将明文转化为数字，比如“ABCD”转化为2747；（2）使用公钥（7，187）将2747加密：C=2747^7 mod 187，结果C=139，即加密后的密文；（3）将加密后的密文139发送给接收方；（4）接收方使用私钥（23，187）将密文解密：P=139^23 mod 187，结果P=2747，即原数字；（5）将数字2747转化为明文，即为“ABCD”，解密完成。
上面是一个RSA算法的例子，我们可以看出来，RSA是一种基于大数分解的加解密算法，私钥和公钥都是由素数组成，当计算过程中满足私钥和公钥之间的约束条件时，就可以实现安全的加密解密，而现在的计算机为实现这一目的提供了极大的便利。
RSA加密算法举例
RSA加密算法举例假设Alice想要将一条消息发送给Bob，但是她不希望消息被其他人读取。
为了实现这个目的，Alice决定使用RSA加密算法。
1.生成密钥对：Alice首先生成一对密钥：一个公钥和一个私钥。
公钥用于加密消息，私钥用于解密消息。
生成密钥对的过程如下：-随机选择两个不同的质数p和q，比如p=61，q=53；-计算n=p*q，对于本例，n=61*53=3233；-计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)，对于本例，φ(3233)=60*52=3120；-选择一个整数e，1<e<φ(n)，且e与φ(n)互质。
一般选择一个较小的素数，比如e=17；- 计算e模φ(n)的乘法逆元d，即d * e ≡ 1 (mod φ(n))。
d可以使用扩展欧几里得算法计算得到，对于本例，d = 2753；-最终得到的密钥对为公钥：(e,n)和私钥：(d,n)。
2.加密消息：Alice使用Bob的公钥对消息进行加密，确保只有Bob的私钥才能解密。
假设Alice要发送的消息为m = 1234，加密过程如下：- Bob将m转换为整数M，比如M = 1234；- 使用公钥(e, n)进行加密，计算密文C = M^e mod n。
对于本例，C = 1234^17 mod 3233 = 8553.解密消息：Bob收到密文C后，使用自己的私钥(d, n)进行解密，得到原始消息。
解密过程如下：- 使用私钥(d, n)进行解密，计算明文M' = C^d mod n。
对于本例，M' = 855^2753 mod 3233 = 1234；-将M'转换为字符串，得到原始消息m。
通过上述步骤，Alice成功地使用RSA加密算法将消息m发送给了Bob，并且只有Bob才能解密并获得原始消息。
RSA加密算法的安全性基于两个数的因数分解的困难性。
在上面的例子中，为了破解Alice发送给Bob的消息，攻击者需要根据密钥对中的公钥n来分解出两个大质数p和q，这是一项非常困难的数学问题，目前没有有效的算法可以在合理的时间内解决。
密码学实验-RSA加密算法
密码学平时实验报告一、课题内容和要求1.实验环境实验主机操作系统为Windows 72.实验内容1.给定p，q，e，编写RSA的加解密算法2.调研各个语言的加密算法包二、课题需求分析RSA算法的具体描述如下：（1）任意选取两个不同的大素数p和q计算乘积n = p×q，φ(n) = (p-1)×(q-1)。
（2）任意选取一个大整数e，满足，整数e用做加密钥（注意：e的选取是很容易的，例如，所有大于p和q的素数都可用）；（3）确定的解密钥d，满足d*e ≡ 1mod φ(n)，d为e的乘法逆元（4）公开整数n和e，秘密保存d ；（5）将明文m（m<n是一个整数）加密成密文c，加密算法为C = M^e (mod n)（6）将密文c解密为明文m，解密算法为M = C^d (mod n)然而只根据n和e（注意：不是p和q）要计算出d是不可能的。
因此，任何人都可对明文进行加密，但只有授权用户（知道d）才可对密文解密。
具体的，求逆元采用扩展欧几里德算法和费马小定理+快速幂取模算法结合。
（后者要求模逆元的模为素数，这里φ(n) = (p-1)×(q-1)不适用，但我还是加上了）。
判断是否为质数采用了埃氏筛算法。
1.所谓扩展欧几里德算法，就在求gcd（a,b）的同时，顺带着求出x，y使贝祖等式ax+by= gcd（a,b）成立。
在求模逆元a*x=1 modb时，将原式化为ax+by=1= gcd（a,b）。
运用扩展欧几里德算法即可求出a的模b逆元x。
2.所谓费马小定理/欧拉定理求逆元，就是费马小定理：若p为素数，则有ap−1≡1(modp)ap−1≡1(modp)ap−2∗a≡1(modp)ap−2∗a≡1(modp)ap−2ap−2就是a在mod p意义下的逆元啦。
欧拉定理：若a、p互素，则有aφ(p)≡1(modp)aφ(p)≡1(modp)(费马小定理的一般形式)aφ(p)∗a≡1(modp)aφ(p)∗a≡1(modp)aφ(p)−1aφ(p)−1就是a在mod p意义下的逆元啦。
简单的rsa加密解密计算
简单的rsa加密解密计算
RSA加密算法是一种非对称加密算法，它使用一对密钥（公钥
和私钥）来加密和解密数据。
下面我将简单介绍RSA加密和解密的
计算过程。
1. 生成密钥对，首先，选择两个不同的大质数p和q，并计算
它们的乘积n=pq。
然后选择一个整数e，使得e与(p-1)(q-1)互质，并计算出e的模反元素d。
公钥是(n, e)，私钥是(n, d)。
2. 加密，假设要加密的消息为M，首先将消息M转换为整数m，满足0≤m<n。
然后使用公钥(n, e)进行加密，加密后的密文C等于
m的e次方再对n取模，即C≡m^e (mod n)。
3. 解密，接收到密文C后，使用私钥(n, d)进行解密，解密后
的明文M等于C的d次方再对n取模，即M≡C^d (mod n)。
下面我举一个简单的例子来说明RSA加密和解密的计算过程：
假设我们选择两个质数p=11和q=3，计算n=pq=33，然后选择
e=3，并计算d=7。
这样我们得到公钥(n, e)=(33, 3)和私钥(n,
d)=(33, 7)。
现在假设要加密的消息为M=5，将其转换为整数m=5。
使用公钥进行加密，计算C≡5^3 (mod 33)，得到C=5。
接收到密文C=5后，使用私钥进行解密，计算M≡5^7 (mod 33)，得到M=5。
因此，我们成功地将消息M=5加密为密文C=5，然后再解密回到原始消息M=5。
这就是RSA加密和解密的简单计算过程。
RSA算法实例分析
RSA算法实例分析RSA算法，全称为“Rivest-Shamir-Adleman算法”，是一种非对称加密算法，广泛应用于信息安全领域。
本文将对RSA算法进行详细的实例分析，以帮助读者更好地理解和应用该算法。
1. 概述RSA算法是一种基于大素数分解的加密算法，其核心原理是利用两个大素数相乘很容易得到结果，而将结果分解回素数却异常困难。
RSA算法包括秘钥的生成和加密解密两个过程。
2. 秘钥生成过程（1）选择两个大素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
（2）计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
（3）选择一个小于φ(n)且与φ(n)互质的整数e，作为公钥的指数。
（4）计算私钥的指数d，满足e*d ≡ 1 (mod φ(n))。
（5）将公钥 (n, e) 和私钥 (n, d) 分发给通信双方。
3. 加密过程（1）将明文转化为整数M，确保M小于n。
（2）计算密文C = M^e (mod n)。
4. 解密过程（1）接收到密文C。
（2）计算明文M = C^d (mod n)。
5. 安全性分析RSA算法的安全性基于大素数分解的难度。
由于大素数的因数分解是一个困难问题，RSA算法能在当前计算能力下提供非常可靠的安全性保障。
6. 实例分析以一个简单的实例来演示RSA算法的加密和解密过程。
（1）选择两个大素数p=11和q=7，计算n=p*q=77。
（2）计算φ(n)=(p-1)*(q-1)=60。
（3）选择e=13作为公钥的指数。
（4）计算满足e*d ≡ 1 (mod 60)的d=37，作为私钥的指数。
（5）公钥为 (77, 13)，私钥为 (77, 37)。
（6）假设要加密的明文为M=9。
（7）计算密文C = 9^13 (mod 77)，得到C = 65。
（8）接收到密文C=65。
（9）计算明文M = 65^37 (mod 77)，得到M = 9。
通过以上实例可以看出，RSA算法能够成功地实现对明文的加密和解密。
RSA算法举例说明
RSA算法举例说明首先，选择两个不同的大素数p和q，例如p=17和q=11、接下来计算n=p*q，即n=187、n将作为公钥中的一个参数，并且它的安全性的基础。
现在我们需要选择一个与(p-1)(q-1)互质的整数e。
这里选择e=7作为加密密钥。
e将作为公钥中的另一个参数。
下一步，我们需要计算与e关于模(p-1)(q-1)的乘法逆元d。
乘法逆元表示使得(e*d)%((p-1)*(q-1))=1成立的整数d。
使用扩展欧几里得算法可以快速计算d的值。
在这个例子中，d的值是23现在我们已经得到了RSA算法的公钥和私钥。
公钥是(n,e)，私钥是(n,d)。
现在我们可以使用这对密钥进行加密和解密操作。
假设我们有一条消息m需要加密并发送给Bob，这条消息的值为5、首先我们使用公式c = (m^e) % n进行加密，c表示加密后的值。
在这个例子中，加密后的值为c = (5^7) % 187 = 5接下来，Bob收到了加密后的消息c=5，他可以使用私钥进行解密操作。
解密的公式为m = (c^d) % n。
在这个例子中，解密后的消息为m = (5^23) % 187 = 5可以看到，由于RSA算法的特性，只有知道私钥才能够解密加密消息。
这保证了消息的安全性和机密性。
同时，由于计算(n,e)的乘积n是非常困难的，所以也很难通过已知的公钥推导出私钥。
这保证了RSA算法的安全性。
此外，RSA算法还可以用于数字签名。
数字签名是为了验证消息的完整性和真实性而产生的。
使用私钥对消息进行签名，然后使用公钥进行验证。
这个过程可以确保消息在传输过程中没有被篡改。
数字签名在保障网络通信和数据安全方面起到了重要作用。
综上所述，RSA算法是一种非对称加密算法，通过选择两个大素数并运用一些数学原理，实现了加密和解密操作。
其安全性基于素数因子的乘积难以因式分解。
RSA算法不仅可以用于数据加密解密，还可以用于数字签名等领域。
RSA公钥密码算法的加密和解密
RSA的安全性
对RSA的攻击方法主要有以下三种： 1. 强力攻击（穷举法）：尝试所有可能的私有密 钥 2. 数学分析攻击：有多种数学攻击方法，其本质 等价于试图分解两个素数的乘积 3. 计时攻击：记录计算机解密消息所用的时间。
谢谢!
a a
m
(
bi 0
2i )
a
bi 0
( 2i )
a modn ( a
m bi 0
( 2i )
) modn ( [a
bi 0
( 2i )
modn]) modn
密钥产生
确定两个素数p和q 选择e或d计算另外一个
素数选取
为了避免攻击者用穷举法求出p和q，应该从足够 大的集合中选取p和q。即p和q必须是大素数。 没有产生任意的大素数的有效技术，通常的作法 是随机选取一个需要的数量级的奇数并检验这个 数是否是素数。若不是则挑选下一个随机数直至 检测到素数为止。
公钥：(e, n) =(7, 33) 密钥：(d, n) =(3, 33) 加密算法: 密文c＝m7mod33 解密算法: 明文m＝c3mod33 对m=8加密 密文 c＝87mod33= 2097152 mod33=2 对c=2解密 明文m＝23mod33=8
RSA算法中的计算问题
1. RSA的加密与解密过程 RSA的加密、解密过程都为求一个整数的整数次 幂，再取模。如果按其含义直接计算，则中间结 果非常大，有可能超出计算机所允许的整数取值 范围。 而用模运算的性质： (a×b) mod n=[(a mod n)×(b mod n)] mod n 就可减小中间结果
假设m为要传送的报文。
(1)选取两个大素数 p, q (2) 计算n=pq, (n)=(p-1)(q-1) (3) 随机选取e: 1<e<(n)，与(n)互素 (4) 使用扩展欧几里德算法计算 即ed = 1 mod (n) （5）以（e，n）为公钥,（d，n）为密钥
rsa乘法同态加密例题
rsa乘法同态加密例题
**一、RSA加密算法简介**
RSA是一种广泛使用的公钥加密技术，它以其安全性和简单性而受到广泛认可。
在RSA加密算法中，我们使用两个大素数p和q的乘积，通过公钥e的指数运算来实现加密和解密。
RSA乘法同态加密是一种特殊类型的加密，它允许我们在密文的基础上进行乘法运算，然后对密文进行解密，得到原始的数据。
这种加密方式在很多场景下都非常有用，比如在电子支付系统中。
**三、例题演示**
假设我们有两个数字m和n，它们的乘积为mn，我们需要使用RSA加密算法对这些数字进行加密。
首先，我们需要选择两个大素数p 和q，以及一个公钥e，满足性质10-2。
然后，我们将数字m和n分别转换为二进制形式，并使用RSA算法进行加密。
得到的结果就是密文c1和c2。
接下来，我们需要进行乘法运算，即对密文进行乘法同态加密。
我们假设结果为密文c。
为了进行乘法运算，我们需要将每个密文分别乘以相应的数字n，得到的结果就是新的密文m1和m2。
最后，我们使用私钥进行解密，得到原始的数据m和n。
这个过程就是RSA乘法同态加密的一个完整示例。
**四、总结**
RSA加密算法是一种非常实用的公钥加密技术，而RSA乘法同态加密则是一种非常有用的加密方式，尤其在电子支付等场景下。
通过例题的演示，我们可以更好地理解RSA乘法同态加密的原理和应用。
总的来说，RSA加密算法和RSA乘法同态加密都是信息安全领域的重要技术，需要我们不断地学习和掌握。
rsa例题
rsa例题RSA算法是一种非对称加密算法，其安全性大大超过了对称加密算法，因此在网络安全领域中被广泛应用。
RSA 算法以两个大质数为基础，具体实现时包括了公钥和私钥的生成、加密和解密等步骤。
本文将介绍RSA算法的基本原理，及其具体实现过程，同时给出一些实际的RSA算法例题，以帮助读者更全面地了解RSA算法。
一、RSA算法的基本原理RSA算法的基本原理非常简单，通过选取两个大质数p 和q，计算出n=p*q，则n为公钥中的一个参数。
接着再选一个介于1和(p-1)，(q-1)之间的整数e，使e与(p-1)*(q-1)互质，则e为公钥中的另一个参数。
随后，我们得出了公钥P = {e, n}。
通过公钥P可以对明文M进行加密。
具体来说，对于任意明文M，计算出密文C=pow(M,e) mod n。
其中，pow(M,e)表示将M的e次方乘起来，mod n表示将其对n取模。
此时，得出的C即为密文。
在得到密文C之后，可以通过私钥S解密，从而得到明文M。
私钥S是另一个关键参数，由p、q、e计算而来。
私钥S中包含了两个参数d和n，其中d为满足ed mod (p-1)(q-1) = 1的整数。
私钥S可表示为{d,n}。
对于密文C，可以通过计算C的d次方再取模n，得到明文M。
具体来说，明文M的值等于pow(C,d) mod n，其中，pow(C,d)表示C的d次方，mod n表示将其对n取模。
二、RSA算法的具体实现过程生成公钥和私钥1.选择两个大质数p, q。
2.求出n=p*q。
3.计算出(p-1)*(q-1)。
4.选取一个介于1和(p-1), (q-1)之间的整数e，并且e与(p-1)*(q-1)互质。
5.计算满足ed mod(p-1)*(q-1)=1的整数d，其中，d 为私钥。
6.公钥为P={e,n}，私钥为S={d,n}。
加密明文1.将明文M转化为ASCII码，并将其表示为整数。
2.使用公钥P对明文M进行加密，计算密文C=pow(M,e) mod n。
rsa算法例题
rsa算法例题为深入学习RSA算法，本文将通过一个具体的例题来加深理解。
RSA算法是一种非对称加密算法，由Rivest，Shamir和Adleman 三位杰出的科学家于1977年提出。
该算法是一种非对称加密算法，其中加密密钥和解密密钥是不同的，这就是所谓的“公钥”和“私钥”，可以用来建立安全的通信连接。
RSA算法的基本步骤如下：首先，用户必须选择两个非常大的质数p和q，它们的乘积n=pq将成为加密用的“密钥”；接着，用户计算出n的欧拉函数φ(n)的值，该值确定一个密钥的长度；接下来，用户选择另一个整数e，要求1＜e＜φ(n)，并且e与φ(n)互质；最后，计算出一个整数d，要求ed 1 (mod(n))。
其中，e和d就是RSA 算法中的公钥和私钥，用户可以用于加密和解密信息。
下面，我们以一个具体的例题来说明RSA算法的工作流程：假设用户选择的两个质数分别为p=11和q=17，则n=pq=11x17=187，φ(n)=160，用户选择的另一个整数e=5，满足1＜e＜φ(n)，并且e和φ(n)互质。
这样，就可以计算出符合ed 1 (mod(n))的整数d，显然在这种情况下d=23，故RSA算法得到的两个密钥分别为公钥(n,e)=(187, 5)和私钥d=23。
若要加密信息M，只需用公钥(187, 5)将M加密为M’，即M’=M5 mod 187；而要解密M’，则只需用私钥d=23将M’解密为M，即M=M’23 mod 187即可。
扩展到一般性的情况，将一个大的正整数M（被加密信息）用到RSA算法中，就要做两个步骤：一是将M划分为小的正整数（上述例子中，是将M分成了一段段，每段都是小于187的正整数）；二是利用RSA算法对每段小整数都进行一次加密。
从上面的描述可以看出，RSA算法是一种非常有用的加密方式，也是目前业界最常用的加密算法之一。
它的优点在于拥有高保密性以及计算量较小，可以有效地保证信息的安全传输。
rsa算法例题详细
rsa算法例题详细
RSA算法例题详解
一、RSA算法的基本流程
RSA算法是使用数字签名最常用的算法，其实就是求解一组大数间的加密解密问题。
这种算法的步骤一般分为：
1. 产生公钥和私钥
2. 把要签名的字符串转换成数字
3. 运用选定的算法进行加密
4. 把加密后的数字利用私钥解密
5. 把解密后的数字返回成字符串
二、RSA算法的具体流程
1. 选择两个大的质数p和q，计算N=pq，N就是公钥和私钥的模数。
2. 计算欧拉函数Φ(N)=(p-1)(q-1)
3. 选择一个整数e，要求1<e<Φ(N),且hcf(e,Φ(n))=1
4. 计算d，使de≡1(modΦ(N))
5. 将N和e封装成一个公钥，d封装成一个私钥
三、RSA算法实例
我们拿出一个例题来看一下：
给定质数： P= 17 Q= 23
求N，e，d
解：
N= P*Q= 17*23= 391
Φ(N)= (P-1)(Q-1)= 16*22= 352
令e=7，由于7<352且hcf(7,352)=1，故可行，求d：
由于de≡1(modΦ(N))，故得
d×7≡1 (mod352)
用欧几里德除法求出d，可得
d= 233
因此，公钥为（391，7），私钥为（391,233）。
rsa算法例题
rsa算法例题RSA算法是目前应用最广泛的公钥密码算法，它是一种非对称的加密算法。
下面我们通过一个具体的例子来简要介绍RSA算法。
首先，我们考虑一个大整数分解的案例，假设我们有一个5000位的大整数N，我们的目的是要分解N，即N=P Q，其中P和Q是大素数（一个大素数的定义是小于该素数的任何整数都不能被它整除）。
首先，我们定义一个元素表(elements table)，其中包含两个元素，P和Q，表中的值分别为1和N。
当我们增加一个元素时，会计算P和Q的积，然后比较积与N的大小，如果积小于N，则说明P小于N的平方根，然后P指数增加1，重新计算P和Q的积，如果积大于N，则说明Q小于N的平方根，然后Q指数增加1，重新计算P和Q的积，直到P和Q的积等于N，则说明P Q=N，大整数分解就完成了。
简而言之，RSA算法可以通过使用大整数分解的方法来实现加密。
它主要利用数学上大整数分解的困难性，当我们必须要解决大整数分解的问题时，就使用RSA算法来实现安全通信。
而在安全通信中，一方发出的信息将被RSA算法加密，由另一方使用发送方的私钥解密，从而实现安全通信。
为了说明RSA算法的安全性，我们还可以使用数学上的分析方法，以理解RSA算法的安全性。
假设N = p q，其中p和q是大素数，而且满足p q，那么求N的因数分解的问题仍然是一个未知的数学问题。
从几何上讲，可以认为这是一个多维问题，也就是说，要分解N，就要找到N的多个因数，其中每一个因数组成一个维度，最后求出一个近似于N的值。
这就是数学大整数分解的困难性。
因此，RSA算法可以通过大整数分解的方法来实现加密，而大整数分解的困难性又是数学上极其复杂的问题，因此RSA算法具有很强的安全性。
最后，RSA算法是一种复杂的加密算法，它可以有效的实现安全通信，成为当今应用最广泛的公钥密码算法。
用实例给新手讲解RSA加密算法
用实例给新手讲解RSA加密算法图为 RSA公开密钥算法的发明人,从左到右Ron Rivest, Adi Shamir, LeonardAdleman. 照片摄于1978年RSA加密算法是最常用的非对称加密算法，CFCA在证书服务中离不了它。
但是有不少新来的同事对它不太了解，恰好看到一本书中作者用实例对它进行了简化而生动的描述，使得高深的数学理论能够被容易地理解。
我们经过整理和改写特别推荐给大家阅读，希望能够对时间紧张但是又想了解它的同事有所帮助。
RSA是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。
RSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，这个算法经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性，但这恰恰说明该算法有一定的可信性，目前它已经成为最流行的公开密钥算法。
RSA的安全基于大数分解的难度。
其公钥和私钥是一对大素数（100到200位十进制数或更大）的函数。
从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数之积（这是公认的数学难题）。
RSA的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：可能各位同事好久没有接触数学了，看了这些公式不免一头雾水。
别急，在没有正式讲解RSA加密算法以前，让我们先复习一下数学上的几个基本概念，它们在后面的介绍中要用到：一、什么是“素数”？素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。
例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。
另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。
素数也称为“质数”。
二、什么是“互质数”（或“互素数”）？小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。
”这里所说的“两个数”是指自然数。
RSA算法例子范文
RSA算法例子范文RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是一种非对称加密算法，由Ron Rivest, Adi Shamir和Leonard Adleman于1977年共同提出。
RSA算法基于一个简单的数论事实：两个大质数相乘非常容易，但是给定一个大数的乘积却非常困难。
RSA算法是目前广泛使用的非对称加密算法之一，被广泛应用于数据通信、数字签名和数据加密等领域。
1.选择两个不同的大质数p和q。
假设p=13，q=172.计算n=p*q。
在本例中，n=13*17=221这里的n被称为公共模数，它将用于加密和解密操作。
3.计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
在本例中，φ(n)=12*16=192欧拉函数φ(n)表示小于n且与n互质的正整数个数。
4.选择一个公钥e，满足1<e<φ(n)并且e与φ(n)互质。
在本例中，选择e=5公钥e将用于加密明文。
5.计算私钥d，满足(d*e)%φ(n)=1、在本例中，d=77私钥d将用于解密密文。
6.现在，我们已经得到了公钥(n,e)和私钥(n,d)。
7.加密过程：对于明文M，计算密文C=M^e%n。
假设明文M=8，那么加密后的密文C=8^5%221=36密文C就是我们要传输的数据。
8.解密过程：对于密文C，计算明文M=C^d%n。
假设密文C=36，那么解密后的明文M=36^77%221=8明文M就是我们解密出来的原始数据。
RSA算法的安全性基于两个难解的数论问题：大数分解和离散对数。
图灵奖得主Ronald Rivest在提出RSA算法时指出，只要能找到两个大质数的乘积，那么就能够解出RSA问题，即大质数分解问题。
然而，在目前的计算能力下，对于大质数的因数分解仍然是一个非常复杂的问题，因此RSA算法被认为是安全的。
除了加密和解密外，RSA算法还被广泛用于数字签名的生成和验证。
数字签名是一种用于验证文件完整性和认证发送方身份的技术。
使用RSA 算法，发送方可以通过私钥对文件进行签名，接收方可以通过公钥验证签名的有效性。
用实例讲解RSA加密算法
用实例讲解RSA加密算法RSA加密算法是一种非对称加密算法，由三位科学家：Ron Rivest, Adi Shamir, 和Leonard Adleman命名。
它使用两个密钥：公钥和私钥，其中公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
RSA加密算法的安全性基于大数的质因数分解的难度，即当两个较大的质数相乘得到一个更大的数字时，将其因式分解会变得极为困难。
下面将使用一个实例来详细解释RSA加密算法的过程：假设Alice和Bob是两个通信的实体，Alice希望向Bob发送一条加密消息。
Bob生成一对RSA密钥：一个公钥（用于加密）和一个私钥（用于解密）。
Bob将公钥发送给Alice，Alice使用Bob的公钥对消息进行加密，并将加密后的消息发送给Bob。
示例场景如下：1. Bob生成RSA密钥对：a.随机选择两个不同的质数p=61和q=53，计算它们的乘积n=3233b.计算n的欧拉函数ϕ(n)=(p-1)(q-1)=60x52=3120。
c. 选择一个整数e（1 < e < ϕ(n)）使得e与ϕ(n)互质，这样e就是Bob的公钥指数。
假设e=17，e与ϕ(n)=3120互质。
d. 计算私钥指数d使得e.d ≡ 1 (mod ϕ(n))，即17.d ≡ 1(mod 3120)。
通过计算可以得到d=2753、这样，d就是Bob的私钥指数。
e. Bob的公钥是(n, e)=(3233, 17)，私钥是(n, d)=(3233, 2753)。
2. Alice使用Bob的公钥加密消息：a. Alice要发送一条消息M，将该消息转换成整数m，假设m=123b. Alice使用Bob的公钥(n, e)=(3233, 17)加密m，计算c ≡ m^e (mod n)。
即c ≡ 123^17 (mod 3233)。
通过计算可以得到c=8553. Alice将加密后的消息发送给Bob。
4. Bob使用私钥解密收到的消息：a. Bob使用私钥(n, d)=(3233, 2753)解密收到的密文c，计算m ≡ c^d (mod n)。
RSA加密算法举例
RSA加密算法举例1)为字母制定一个简单的编码，例如1到26分别对应于A到Z。
2)选择n，n为两个大的素数p和q的乘积。
如我们使用n = p * q = 11 * 7 = 77。
3)找出一个数字k，k与(p-1)*(q-1)互为素数。
我们选择k=7，与(p-1)*(q-1) = 10*6 = 60互为素数，数字k就是加密密钥。
我们总能找到有这种性质的数字k，数论中一个著名结果证明了它。
4)将信息分成很多部分。
一般地讲，为避免重复，每部分都包含很多字母。
然而，在本例中，每部分只包含一个字母。
若信息是“HELLO”，则为H、E、L、L和O。
5)对每部分，将所有字母的二进制编码串接起来，并将比特串解释为整数。
我们这里每部分只有一个字母。
所以，整数为8、5、12、12和15(最初与字母对应的数字)。
6)将每个数字增大到它的k次方而加密，并使用模n运算。
本例中，87mod 77；57mod 77等，结果就是加密信息。
这里，计算结果分别为57、47、 12、12和71(我们会说明怎样使计算更快捷)。
注意这里两个12表示重复字母。
这是每部分只有一个字母的结果。
若每部分包含多个字母，类似的重复就可避免。
接收方接收到加密信息57、47、12、12和71。
她又是怎样解密呢?1) 找出一个数字k’，使k * k’mod (p-1)*(q-1) = 1。
这意味着k*k’-1可被(p-1)*(q-1)整除。
k’的值就是解密密钥。
本例中，(p-1)*(q-1) = 60，而k’=43即可。
也就是，7*43-1=300可被60整除。
数论中欧拉和费马的著名结论证明了k’的值总能找到。
2)将从第6步中得到的加密数字增大到它的k’次方，并进行模n运算。
结果就是第5步中的数字。
本例中，要求下列运算：5743 mod 77；4743 mod 77；1243 mod 77；1243 mod 77；7143 mod 77结果为原来的数字：8、5、12、12和15。
RSA算法和实现及实例
RSA算法和实现及实例一、RSA算法原理1.密钥生成首先，选择两个不相等的素数p和q，并计算它们的乘积n。
然后计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)。
选择一个与φ(n)互质的数e，这个数即为公钥e。
然后选择一个数d，使得(d * e)mod φ(n) = 1，即d是e的模φ(n)的乘法逆元，d即为私钥。
2.加密解密加密时，将明文M进行加密，得到密文C = M^e mod n。
解密时，用私钥d对密文C进行解密，得到明文M = C^d mod n。
二、RSA算法实现实现RSA算法需要以下几个步骤：1.选择两个大素数p和q，计算乘积n=p*q。
2.计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)。
3.选择一个与φ(n)互质的正整数e，计算其模φ(n)的乘法逆元d。
4.所得到的公钥为(e,n)，私钥为(d,n)。
5. 加密时，将明文M通过公钥加密得到密文C = M^e mod n。
6. 解密时，用私钥对密文C进行解密得到明文M = C^d mod n。
三、RSA算法实例假设选择的两个素数p=13，q=17，计算乘积n=p*q=221计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)=12*16=192选择一个与φ(n)互质的正整数e=5计算e的模φ(n)的乘法逆元d=77所以所得到的公钥为(e,n)=(5,221)，私钥为(d,n)=(77,221)。
加密时，假设明文M = 8，利用公钥进行加密：C = M^e mod n =8^5 mod 221 = 40。
解密时，利用私钥进行解密：M = C^d mod n = 40^77 mod 221 = 8所以加密后的密文为40，解密后恢复得到原始明文为8总结：本文详细介绍了RSA算法的原理、实现方法以及一个实例。
RSA算法是一种非对称加密算法，通过选择两个大素数和计算乘积、欧拉函数、乘法逆元等步骤，实现了安全可靠的加密和解密过程。
通过加密后的密文可以通过相应的私钥解密得到原始明文，确保数据的安全性。
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RSA加密算法是最常用的非对称加密算法，CFCA在证书服务中离不了它。
但是有不少新来的同事对它不太了解，恰好看到一本书中作者用实例对它进行了简化而生动的描述，使得高深的数学理论能够被容易地理解。
我们经过整理和改写特别推荐给大家阅读，希望能够对时间紧张但是又想了解它的同事有所帮助。
RSA是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。
RSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，这个算法经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性，但这恰恰说明该算法有一定的可信性，目前它已经成为最流行的公开密钥算法。
RSA的安全基于大数分解的难度。
其公钥和私钥是一对大素数（100到200位十进制数或更大）的函数。
从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数之积（这是公认的数学难题）。
RSA的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：
可能各位同事好久没有接触数学了，看了这些公式不免一头雾水。
别急，在没有正式讲解RSA加密算法以前，让我们先复习一下数学上的几个基本概念，它们在后面的介绍中要用到：
一、什么是“素数”？
素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。
例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。
另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。
素数也称为“质数”。
二、什么是“互质数”（或“互素数”）？
小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。
”这里所说的“两个数”是指自然数。
判别方法主要有以下几种（不限于此）：
（1）两个质数一定是互质数。
例如，2与7、13与19。
（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。
例如，3与10、5与26。
（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。
如1和9908。
（4）相邻的两个自然数是互质数。
如15与16。
（5）相邻的两个奇数是互质数。
如49与51。
（6）大数是质数的两个数是互质数。
如97与88。
（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。
如7和16。
（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。
如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。
等等。
三、什么是模指数运算？
指数运算谁都懂，不必说了，先说说模运算。
模运算是整数运算，有一个整数m，以n为模做模运算，即m mod n。
怎样做呢？让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。
例如，10 mod 3=1；
26 mod 6=2；28 mod 2 =0等等。
模指数运算就是先做指数运算，取其结果再做模运算。
如
好，现在开始正式讲解RSA加密算法。
算法描述：
（1）选择一对不同的、足够大的素数p，q。
（2）计算n=pq。
（3）计算f(n)=(p-1)(q-1)，同时对p, q严加保密，不让任何人知道。
（4）找一个与f(n)互质的数e，且1<e<f(n)。
（5）计算d，使得de≡1 mod f(n)。
这个公式也可以表达为d ≡e-1 mod f(n)
这里要解释一下，≡是数论中表示同余的符号。
公式中，≡符号的左边必须和符号右边同余，也就是两边模运算结果相同。
显而易见，不管f(n)取什么值，符号右边1 mod f(n)的结果都等于1；符号的左边d与e 的乘积做模运算后的结果也必须等于1。
这就需要计算出d的值，让这个同余等式能够成立。
（6）公钥KU=(e,n)，私钥KR=(d,n)。
（7）加密时，先将明文变换成0至n-1的一个整数M。
若明文较长，可先分割成适当的组，然后再进行交换。
设密文为C，则加密过程为：。
（8）解密过程为：。
实例描述：
在这篇科普小文章里，不可能对RSA算法的正确性作严格的数学证明，但我们可以通过一个简单的例子来理解RSA的工作原理。
为了便于计算。
在以下实例中只选取小数值的素数p,q,以及e，假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B，过程如下：
（1）设计公私密钥(e,n)和(d,n)。
令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3与20互质）则e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。
d怎样取值呢？可以用试算的办法来寻找。
试算结果见下表：
通过试算我们找到，当d=7时，e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。
因此，可令d=7。
从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥（私钥）为：KR =(d,n)=(7,33)。
（2）英文数字化。
将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。
假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：
则得到分组后的key的明文信息为：11，05，25。
（3）明文加密
用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。
由C≡Me(mod n)得：
因此，得到相应的密文信息为：11，31，16。
（4）密文解密。
用户B收到密文，若将其解密，只需要计算，即：
用户B得到明文信息为：11，05，25。
根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得到了恢复后的原文“key”。
你看，它的原理就可以这么简单地解释！
当然，实际运用要比这复杂得多，由于RSA算法的公钥私钥的长度（模长度）要到1024位甚至2048位才能保证安全，因此，p、q、e的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。
最后简单谈谈RSA的安全性
首先，我们来探讨为什么RSA密码难于破解？
在RSA密码应用中，公钥KU是被公开的，即e和n的数值可以被第三方窃听者得到。
破解RSA密码的问题就是从已知的e和n的数值（n等于pq），想法求出d的数值，这样就可以得到私钥来破解密文。
从上文中的公式：d ≡e-1 (mod((p-1)(q-1)))或de≡1 (mod((p-1)(q-1))) 我们可以看出。
密码破解的实质问题是：从Pq的数值，去求出(p-1)和(q-1)。
换句话说，只要求出p和q的值，我们就能求出d的值而得到私钥。
当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。
比如当pq大到1024位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。
因此，RSA从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。
即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。
此外，RSA的缺点还有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。
B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。
因此，使用RSA只能加密少量数据，大量的数据加密还要靠对称密码算法。