高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1教学文稿
排列组合的常见模型(1)
4 n 4 3 34 排列组合的常见模型（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求 的元素。
例如：用0,1, 2,3, 4 组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是 0，所以先处理首位，共有 4 种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为 N = 4 ⨯ A 4= 96种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再 用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如：在 10 件产品中，有 7 件合格品，3 件次品。
从这 10 件产品中任意抽出 3 件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少 1 件次品”包含 1 件，2 件，3 件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。
N = C 3 - C 3 = 85 （种）1073、先取再排（先分组再排列）：排列数 A m是指从 n 个元素中取出 m 个元素，再将这 m 个元素进行排列。
但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。
例如：从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人，分别从事 3 项不同的工作，若这 3 人中只有一名女生，则选派方案有多少种。
解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生， 共有 C 2C 1 种可能， 然后将选出的三个人进行排列： A 34 33C 2C 1 A 3 = 108 种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如：5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余 3 个元素排列，则共有 A 4种位置，第二步考虑。
排列组合(教师版)
组合一、课堂目标1．理解组合的定义，掌握组合数公式及性质的应用．2．掌握常见的组合问题的模型及应用．【备注】【教师指导】1.本讲的重点是理解组合的定义，掌握组合数公式及性质的应用；难点是掌握常见的组合问题的模型及应用；重点题型是利用组合数及性质进行计算、组合问题的常见模型解决计数问题以及排列与组合的综合应用.2.排列组合与二项式定理属于历年高考必考题，在期中期末也属于常考题，属于重点内容.对于排列与组合的考查，有时难度比较大，学生也不好理解，在求解时会漏掉一些情况或者多数一些情况.对于这些问题，学生要理解对应的模型，熟练掌握对应模型的应用.二、知识讲解问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名取参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？【备注】【教师指导】1.本模块为【知识引入】环节.2.问题1：，从3个元素中取出2个元素的一个排列，此时是有顺序的；问题2：甲乙，甲丙，乙丙，从3个不同元素中取出2个元素合成一组，此时是没有顺序的.从而引出本节课要学习的新知识：组合.1. 组合的定义知识精讲1.组合的定义一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.2.排列与组合的联系与区别共同点：都是从n个不同元素中取出个元素.不同点：排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.，，，，【备注】【教师指导】对于排列与组合的不同点：只有元素相同且顺序相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.例如，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但是元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排序.知识点睛1.组合的定义中有两个要点（1）取出元素，且要求个元素是不同的；（2）“只取不排”，即取出的个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质.2.两个组合相同只要两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何.经典例题1.【解析】给出下列问题：（）从，，，四名学生中选名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？（）从，，，四名学生中选名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？（），，，四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？（），，，四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？（）某人射击枪，命中枪，且命中的枪均为枪连中，不同的结果有多少种？（）某人射击枪，命中枪，且命中的枪中恰有枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中， 是组合问题， 是排列问题．【答案】（）（）（） ; （）（）（）（）名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．（）名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．【备注】【教师指导】考查排列和组合的定义及区别，要求学生掌握排列与组合的联系及区别.【标注】（）单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．（）冠亚军是有顺序的，是排列问题．（）命中的枪均为枪连中，没有顺序，是组合问题．（）命中的枪中恰有枪连中，即连中枪和单中枪，有顺序，是排列问题．【知识点】排列；组合巩固练习（1）（2）（3）（4）（5）2.（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【标注】判断下列问题是组合问题还是排列问题．设集合，则集合的含有个元素的子集有多少个？某铁路线上有个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？从本不同的书中取出本给某同学．个人去做种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法？把本相同的书分给个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？【答案】（1）（2）（3）（4）（5）组合问题．排列问题．组合问题．排列问题．组合问题．因为集合的任一个含个元素的子集与元素顺序无关，故它是组合问题．车票与起点终点顺序有关，例如“甲乙”与”“乙甲”的车票不同，故它是排列问题．从本不同的书中取出本给某同学，取出的本书并不考虑书的顺序，故它是组合问题．因为一种分工方法就是从种不同工作中取出种，按一定顺序分给人去干，故它是排列问题．因为本书是相同的，把本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，故它是组合问题．【知识点】组合；排列2. 组合数及公式知识精讲1.组合数从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.注意：（1）组合数与组合是两个不同的概念，组合是从个不同的元素中任取个元素并成一组，它是一件事，而组合数是一个数.（2）从集合的角度来看，从个不同的元素中任取个元素并成一组的组合的全体构成一个集合，组合数就是这个集合中元素的个数.，，，，，，2.组合数公式①连乘表示：.②阶乘表示：.规定：.注意：组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式②的主要作用有：计算较大时的组合数；对含有字母的组合数式子进行变形.，，，【备注】【教师指导】组合数公式的推导一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分如下两步：第1步，求从个元素中取出个元素的组合数；第2步，求每一个组合中个元素的全排列数.根据分步乘法计数原理得：，因此有.经典例题3.【标注】计算： ．【答案】【知识点】组合【备注】【教师指导】本题考查的是组合数公式的直接运用.巩固练习4.【解析】【标注】 ．【答案】．【知识点】组合数计算经典例题5.【标注】计算：．【答案】【知识点】组合【备注】【教师指导】本题考查排列数公式和组合数公式的综合运算，要提醒学生注意二者计算公式的差异.A.B.C.D.6.【解析】【标注】已知，则的值是（ ）．【答案】C ∵，∴，化简得，解得或（不合题意，舍去），∴的值是．故选：．【知识点】组合【备注】【教师指导】本题考查排列数公式和组合数公式的综合运算，要求学生熟记且灵活应用公式.巩固练习7.【解析】【标注】若，则 ．【答案】由题意如：，，解得：或（舍），∴．【知识点】组合；排列经典例题8.【解析】【标注】设，，，求证：．【答案】证明见解析．由组合数公式知，．【知识点】组合数计算【备注】【教师指导】对公式的直接考查，利用组合数的公式进行证明等式成立问题.巩固练习A. B. C. D. 9.【解析】下列等式正确的是（ ）．【答案】ABD通过计算得到选项，，的左右两边都是相等的．对于选项，，所以选项是错误的．故选．【备注】【教师指导】此题为多选题，是新高考形式下的新题型.【标注】【知识点】组合数计算；排列数计算3. 组合数的性质知识精讲1.性质1：【备注】【教师指导】下列内容，可板书展示给学生：1.性质1的证明：2.性质1的意义：由于，因此该等式在时也成立．该性质反映了组合数的对称性．其组合意义是从个不同的元素中任取个元素的组合与任取个元素的组合是一一对应的．因为从个不同元素中取出个元素后，就剩下个元素，因此从个不同元素中取出个元素的方法，与从个不同元素中取出个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从个不同元素中取出个元素的每一个组合，都对应着从个不同元素中取出个元素的唯一的一个组合，反过来也一样．即从个不同元素中取出个元素的组合数等于从个不同元素中取出个元素的组合数”，也就是．3．等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标．4．应用：（1）简化计算，当时，通常将计算转化为计算，如；（2）列等式，由，可得或，如若则或，故或．2.性质2：【备注】【教师指导】下列内容，可板书展示给学生：1.性质2的证明：2.性质2的意义：性质2可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从个不同元素中取出个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的个元素中再取个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的个元素中取出个元素，有种取法.由分类加法计数原理可得：.3.等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的上标相同的一个组合数．4．应用：恒等变形，简化运算．，，经典例题A.B.C.D.10.方程的解集为（ ）．【答案】C【备注】【教师指导】本题是对性质1：的直接考查，要注意有两种情况.【解析】【标注】由得或， ∴或， 经检验知和均符合题意． 故选．【知识点】组合11.【解析】【标注】若，则 ．【答案】若，则．故答案为：.【知识点】组合【备注】【教师指导】本题是对性质1：的逆运用.巩固练习12.【解析】【标注】方程的解为 ．【答案】或已知，∵或，∴或，∴或．【知识点】组合经典例题A.B.C.D.13.若，则等于（ ）．【答案】C【备注】【教师指导】本题是对性质2：的直接运用.【解析】【标注】，即，所以，即．故选．【知识点】组合数计算14.【解析】【标注】计算 ．【答案】∵，∴原式．故答案为：．【知识点】组合数计算【备注】【教师指导】本题是对性质2：的运用吗，但需要利用进行一步配凑.巩固练习（1）15.（1）（2）【解析】求值：．【答案】（1）（2）．．．【标注】．【知识点】组合数计算4. 组合问题模型—分组分配问题知识精讲在日常生活中，常会将一些物品分发出去，这种问题称为分组分配问题.通常采用先分组后分配的方法解决.题型主要涉及：①平均分组；②部分平均分组；③不均匀分组.（1）平均分组例题：按下列要求分配6本不同的书，有多少种不同方法？①平均分3组；②平均分给甲、乙、丙三人.解析：①平均分成3组：有种方法；②平均分给甲、乙、丙三人：有种方法.注意：先分组，后分配；平均分成组，一定要除以.（2）部分平均分组例题：按下列要求分配6本不同的书，有多少种不同的方法？①一份4本，另两份各1本；②甲、乙各得1本，丙得4本.解析：①有两组是平均分配的，有：种方法；②可以先按第①问分组，因为甲、乙分别得到哪本书不同，故需对甲、乙排序，共有：种方法.（3）不均匀分组例题：按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同分配方式？①一份1本，一份2本，1份3本；②甲、乙、丙三人中一人1本，一人2本，一人3三本.解析：①因为不涉及均匀分配问题，直接利用乘法原理即可：种分配方式；②甲、乙、丙三人中谁得到一本，二本，三本是不清楚的，需要再次排列，所以共有种分配方式.经典例题（1）（2）（3）16.（1）（2）（3）【解析】【标注】按下列要求把个人分成个小组，各有多少种不同的分法？各组人数分别为，，人；平均分成个小组；平均分成个小组，进入个不同车间．【答案】（1）（2）（3）种．种．种．．．分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有种不同的分法．【知识点】分组分配法【备注】【教师指导】本题的第（1）问考查的是不均匀分组，不需要考虑排列；第（2）问考查的是均匀分组，不需要考虑排列；第（3）问考查的是均匀分组，需要考虑排列.巩固练习17.【解析】【标注】将本不同的书分成堆，每堆本，有 种不同的分法．【答案】．【知识点】分组分配法18.【解析】将名男生，名女生分成两组，每组人，参加两项不同的活动，每组名男生和名女生，则不同的分配方法有 种．【答案】【标注】先将名男生，名女生分成两组，每组人，有不同的两组，然后将这两组分配到两项不同的活动中，则不同的分配方法有种．故答案为：．【知识点】分组分配法经典例题19.【解析】【标注】将位心智助教分成组，其中两个组各人，另两个组各人，分赴四个不同班级服务，不同的分配方案有 种？（用数字作答）【答案】将人分成，，，人数的四组，则分配方案有：种．故答案为：．【知识点】分组分配法；排列【备注】【教师指导】本题考查的是部分平均分组，并且要考虑排列问题.巩固练习A. B. C. D.20.【解析】若有本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（ ）．【答案】B根据题意，分步进行分析：①将本不同的书分成组，若分成、、的三组，有种分组方法；若分成、、的三组，有种分组方法；则有种分组方法；②将分好的三组全排列，对应三人，有种情况，则有种不同的分法．【标注】故选．【知识点】分步乘法计数原理；分组分配法21.【解析】【标注】年月日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将位志愿者分成组，其中两组各人，另一组人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有 种．（用数字作答）【答案】不同的分配方案有（种）．【知识点】分组分配法5. 组合问题模型—相同元素隔板法知识精讲个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．经典例题22.【解析】【标注】个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方法?【答案】．由挡板法可得，.【知识点】隔板法【备注】【教师指导】本题是对组合问题模型—相同元素隔板法直接考查：10个相同元素形成9个空，再在9个位置放置7个挡板一共有多少种结果.巩固练习23.有个三好学生名额，分配到高三年级的个班里，要求每班至少个名额，共有 种不同的分配方案．【解析】【标注】【答案】把个相同的元素放到个班中，每班至少一个，可以用挡板法来解，把个元素一字排列形成个空，再在个位置放置个挡板共有种结果．【知识点】隔板法24.【解析】【标注】为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了箱相同规格的医用外科口罩，现需将这箱口罩分配给家医院，每家医院至少箱，则不同的分法共有 种．【答案】将箱相同口罩分配给家医院，采用隔板法，在个空中隔个板即可，∴不同的分法共有种．故答案为．【知识点】隔板法6. “先选后排”解排列组合综合问题知识精讲解决先选后排问题，应遵循三大原则：(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步.经典例题A.B.C.D.25.从名学生中选出名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）．【答案】D【备注】【教师指导】先特殊再一般，是对特殊元素甲先排，再排其他的元素.【解析】【标注】根据题意，从名学生中选出名分别参加竞赛，分种情况讨论：①选出的人没有甲，即选出其他人即可，有种情况，②选出的人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有种选法，在剩余人中任选人，参加剩下的三科竞赛，有种选法，则此时共有种选法，则有种不同的参赛方案；故选：．【知识点】特殊元素优先法巩固练习26.【解析】【标注】某地奥运火炬接力传递路线共分段，传递活动分别由名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）【答案】从特殊位置入手分类和分步完成，从最后一棒分类．甲为最后一棒，再考虑第一棒，再考虑其余位置，依次有；乙为最后一棒，再考虑第一棒，再考虑其余位置，依次有，则有．故答案为：．【知识点】特殊元素优先法；分类加法计数原理；分步乘法计数原理【素养】逻辑推理；数学运算经典例题A.种B.种C.种D.种27.将甲，乙等位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这所大学就读，则每所大学至少保送人的不同保送方法数共有（ ）．【备注】【教师指导】先组合后排列：先将四名同学进行分组，再将这三组同学进行排列，分配到三所学校中.【解析】【标注】将名同学分为组，共有种分法，再将这组分配给所学校，共有种分法，∴总共有种方法．故选．【知识点】分组分配法巩固练习28.【解析】【标注】将位志愿者分成组，其中两个组各人，另两个组各人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种．（用数字作答）．【答案】先分组 ,再排列．【知识点】分组分配法经典例题A.B.C.D.29.【解析】某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ）．【答案】B根据题意，分步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况，②将这个整体与英语全排列，有种顺序，排好后，有个空位，③数学课不排第一节，有个空位可选，在剩下的个空位中任选个，安排物理，有种情况，则数学、物理的安排方法有种，则不同排课法的种数是种．【备注】【教师指导】先分类后分步，是对分类加法原理和分步乘法原理综合考查.【标注】【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；加法原理与乘法原理的综合运用巩固练习A.本B.本C.本D.本30.【解析】【标注】给一些书编号，准备用个字符，其中首字符用，，后两个字符用，，（允许重复），则不同编号的书共有（ ）．【答案】D 分两步：第一步：选定首字符，有种可能；第二步：选后两个字符，又分两小步：第二字符，有种可能，第三个字符，也有种可能，所以利用乘法原理，最终就有种不同的组合情况，也就是说可以编本书．故选．【知识点】分步乘法计数原理三、思维导图你学会了吗？请你画出本节课的思维导图．【备注】四、出门测A.B.C.D.31.【解析】【标注】（ ）．【答案】D ，故选：．【知识点】组合数计算A.或B.C.D.32.【解析】【标注】方程的解为（ ）．【答案】A 当时，解得；当时，解得．故选：．【知识点】组合A.B.C.D.33.【解析】【标注】将个相同名额分给个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是（ ）．【答案】D将个相同元素分成组，用隔板法即可，即每班至少得到一个名额的不同分法种数是，故选：．【知识点】隔板法（1）（2）34.（1）（2）【解析】【标注】王华同学有课外参考书若干本，其中有本不同的外语书，本不同的数学书，本不同的物理书．若从这些参考书中选本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？将本不同的外语书全部分享给名室友，每人至少一本，有多少种分法？【答案】（1）（2）种．种．带本外语书和本数学书时有种带法；同样地，带外语书，物理书各本，有种带法；带数学书，物理书各本，有种带法，故有种带法．先把本外语书分组分三组：①三组本数分别为，，，种方法，②三组本数分别为，，，种方法，再分配给三个人，共种分法．【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；分步乘法计数原理；排列；分组分配法。
高中数学教案：排列与组合
高中数学教案：排列与组合一、教学目标：1. 让学生理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 引导学生运用排列与组合的知识解决生活中的问题，提高学生的数学应用意识。
二、教学内容：1. 排列的概念及计算方法2. 组合的概念及计算方法3. 排列与组合的应用三、教学重点与难点：1. 重点：排列与组合的计算方法，以及它们在实际问题中的应用。
2. 难点：排列与组合的原理理解，以及如何解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解排列与组合的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子掌握排列与组合的计算方法。
3. 采用问题驱动法，激发学生的思考，提高学生解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实际问题，引入排列与组合的概念。
2. 讲解排列与组合的概念，让学生理解它们的含义。
3. 讲解排列与组合的计算方法，让学生掌握计算技巧。
4. 案例分析：通过实际例子，让学生运用排列与组合的知识解决问题。
5. 练习与讨论：让学生进行练习，巩固所学知识，并引导学生进行讨论，分享解题心得。
6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并引导学生思考排列与组合在生活中的应用。
7. 布置作业：让学生课后巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和讨论，评价学生对排列与组合概念的理解程度。
2. 通过课后作业和实际问题解决，评价学生对排列与组合计算方法的掌握情况。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，评价学生的逻辑思维能力和数学应用意识。
七、教学准备：1. 准备相关的生活案例和实际问题，用于引导学生理解和应用排列与组合知识。
2. 准备排列与组合的计算方法讲解PPT，以便进行清晰的教学演示。
3. 准备练习题和讨论题目，用于巩固学生所学知识和促进学生思考。
八、教学反思：1. 反思教学过程中的有效性和学生的参与程度，考虑如何改进教学方法以提高教学效果。
高三数学精品课件：排列与组合
[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
小题诊断
法一：可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不 5同．的(2选01法8·高有考C全21C国24＝卷1Ⅰ2(种)从)；2 第位二女种生情，况4 位，男有生2中位选女3生人入参选加， 科不技同比的赛选法，有且 至C22少C14有＝41(种位)．女 生 入 选 ， 则 不 同 的 选 法 共 有 _根__据1_6_分__类_种加．法(计用数数原字理填知写答 ，至案少) 有 1 位女生入选的不同的选 法有 16 种． 法二：从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C36＝20(种)，从 6 人中任选 3 人都是男生，不同的选法有 C34＝4(种)，所以至少 有 1 位女生入选的不同的选法有 20－4＝16(种)．
生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生都有，
则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为( )
A．85
B．86
C．91
D．90
思路分析：可采用直接法求解，也可用间接法求解，注意题目
中“至少”的含义．
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[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素 是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
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考点二 组合应用题 (核心考点——合作探究)
解析：法一：(直接法)由题意，可分 3 类情况： 第 1 类，若男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为 C31C24＋ C32C14＋C33＝31； 第 2 类，若男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为 C41C23＋ C42C13＋C34＝34； 第 3 类，若男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为 C23＋C14C13 ＋C24＝21. 所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31＋34＋21 ＝86.
高考培优课程数学讲义：排列组合的经典模型及其应用【学生版】
高考培优数学“排列组合的经典模型及其应用”讲义编号：排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？经典方法知识的讲解已结合在下面的例题中。
排列组合中的经典方法（★★☆☆☆）我竟然不知道以下经典方法，太恐怖了！1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
数学高中排列组合讲解
数学高中排列组合讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是基于高中数学课程，针对排列组合的知识点进行深入讲解。
排列组合是组合数学的基础，对于培养学生的逻辑思维、抽象思维和问题解决能力具有重要意义。
通过本节课的学习，学生将掌握排列组合的基本原理，学会运用排列组合知识解决实际问题，为后续学习概率论打下坚实基础。
2、教学对象本次教学的对象为高中一年级学生，他们在之前的学习中已经掌握了基本的数学知识，如数学运算、方程、不等式等，具备一定的逻辑思维和抽象思维能力。
然而，排列组合作为一门新的知识点，对学生来说可能存在一定的难度。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，因材施教，使学生在轻松愉快的氛围中掌握排列组合知识。
同时，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学素养和应用能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解排列组合的概念，掌握排列、组合的计算公式。
（2）能够运用排列组合知识解决实际问题，如计数问题、概率问题等。
（3）培养运用数学符号和术语进行表达、推理的能力。
（4）提高数学思维能力，尤其是逻辑思维和抽象思维能力。
2、过程与方法（1）通过实例引入排列组合的概念，引导学生发现规律，总结计算方法。
（2）采用问题驱动的教学方法，让学生在解决实际问题的过程中，掌握排列组合知识。
（3）运用小组讨论、合作探究等方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（4）设计不同难度的练习题，使学生在梯度训练中提高解题技巧和思维能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养良好的学习态度。
（2）引导学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，提高学生的数学素养。
（3）培养学生勇于探索、善于思考的品质，增强克服困难的信心和勇气。
（4）通过小组合作，培养学生的团队精神，学会尊重他人、倾听他人意见。
（5）培养学生严谨、踏实的学术态度，树立正确的价值观，认识到知识的力量。
在教学过程中，教师应关注学生的全面发展，将知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值观三者有机结合，以提高学生的数学素养和综合能力。
排列组合讲义
排列组合讲义(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--排列组合方法篇一、两个原理及区别二、排列数公式三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：六、排列组合应用!n n ++⋅=m n +- )1(n m ++ n m ⨯⨯ =r 002412n n n nC C C -+=+++=.解决排列组合一般思路1.审题要清常见题型归类及决策：一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位置分析法和元素分析法2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
三.不相邻问题插空策略1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4431. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法2. 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法五.重排问题求幂策略1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为3、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略1. 8人围桌而坐,共有多少种坐法A B C D E AE H G F2. 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略1. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法后 排八.排列组合混合问题先选后排策略允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再1.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.2.一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种九.小集团问题先整体后局部策略1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数之间,这样的五位数有多少个2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为3. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种 十.元素相同问题隔板策略1.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案一班二班三班四班六班七班2. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少1个，有多少装法3. 100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数十一.正难则反总体淘汰策略1.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和偶数,不同的取法有多少种2.我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种十二.平均分组问题除法策略解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C -- 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再1. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法2、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法3、 10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人,但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______ 十三. 合理分类与分步策略1.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2 人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法2.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有3. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.十四.构造模型策略1. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不 能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有 多少种2.某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种十五.实际操作穷举策略1.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法3号盒 4号盒 5号盒平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n n A (n 为均分的组数)避免重复计数。
高中数学排列与组合课件(经典)
或 A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？ 解：（1） (5 3) 5 5
2
（2） (n 3) n
2
例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
m个元素的组合数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合个数是: C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球 比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
从7位同学中 选出3位同学 构成一个组合
剩下的4位同 对应 学构成一个组
合
从7位同学中 选出3位同学
从7位同学中 选出4位同学
的组合数
C
3 7
的组合C数74
即：C73 C74
思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素, 因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n– m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同 元素的组合数,等于从这n个元素中取出 n-m个元素的组合数.即
高中数学教案：排列与组合
高中数学教案：排列与组合一、教学目标1. 理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。
二、教学内容1. 排列的概念与计算方法2. 组合的概念与计算方法3. 排列与组合的应用4. permutation 和bination 的概念与计算公式5. 排列与组合在实际问题中的应用案例。
三、教学重点与难点1. 重点：排列与组合的概念、计算方法及应用。
2. 难点：排列与组合的计算公式推导及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列与组合的规律。
2. 利用实例分析，让学生体会排列与组合在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识与团队精神。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的一些实例，引入排列与组合的概念。
2. 讲解排列与组合的定义及计算方法：讲解排列的概念、计算方法，引导学生理解排列的意义；讲解组合的概念、计算方法，让学生掌握组合的计算技巧。
3. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，加深对排列与组合的理解。
4. 应用拓展：分析一些实际问题，让学生运用排列与组合的知识解决实际问题。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生反思自己在学习过程中的收获与不足。
教案参考示例：一、教学目标1. 理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。
二、教学内容1. 排列的概念与计算方法2. 组合的概念与计算方法3. 排列与组合的应用4. permutation 和bination 的概念与计算公式5. 排列与组合在实际问题中的应用案例。
三、教学重点与难点1. 重点：排列与组合的概念、计算方法及应用。
2. 难点：排列与组合的计算公式推导及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列与组合的规律。
排列组合ppt课件高中
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
高中排列组合基础题(含答案)教学文稿
精品文档排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列.例 1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有 A 33＝ 6 种，然后再将甲、乙二人全排列有 A 22＝2 种，所以共有6×2＝ 12 种排法 .二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端） .例 2 7 个同学并排站成一排，其中只有A、 B 是女同学，如果要求 A、 B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余 5 个同学先全排列，排列故是 A 55＝120. 再把 A、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图 0× 0× 0×0× 0“×”表示空位，“ 0”表示 5 个同学）有 A 24＝ 2 种方法 .则共有 A 55 A 24＝ 440 种排法 .三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素 . 例 3 6 个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有种 .分析：优先排女的（元素优先） .在中间四个位置上选一个，有 A 14种排法 .然后将其余 5 个排在余下的 5 个位置上，有 A 55种方法 .则共 A 14A 55＝ 480 种排法 .还可以优先排两端（位置优先） .四、同元问题“隔板法”例 4 10 本完全相同的书，分给 4 个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的 10 本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图：×× × ××× ××××一种插法对应于一种分法，则共有C93＝ 84 种分法 .五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和 .例 5 由数字 0，1， 2， 3， 4， 5 组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）（A ）210 个（B）300个（C）464个（D）600个分析：由题意知，个位数字只能是0， 1， 2， 3， 4 共 5 种类型，每一种类型分别有 A 55个、A14 A 13A 33个、 A 13A 13A 33个、 A 12 A13 A 33个、 A 13A 33个，合计300 个，所以选B 例 6 用 0，1，2，3，， 9 这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个 ?【解法 1】考虑 0 的特殊要求，如果对 0 不加限制，应有C35C25A55种，其中 0 居首位的有 C35 C14 A 44种，故符合条件的五位数共有C53 C52 A 55C53C14A 44＝ 11040 个 .【解法 2】按元素分类：奇数字有1， 3， 5， 7， 9；偶数字有0， 2， 4， 6， 8.把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0 的 .①不含 0 的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有C53C42A 55个；②含 0 的，这时 0 只能排在除首位以外的四个数位上，有 A 14种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有C53C14A 44 A14种排法 .综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有C53C42A 55＋ C53C14A 44A 14＝ 11040 个 .例 8 由数字 1，2，3， 4，5 可以组成多少个无重复数字，比20000 大，且百位数字不是 3精品文档的自然数？【解】设 A＝ { 满足题设条件，且百位数字是 3 的自然数 } ，B＝ { 满足题设条件，且比 20000大的自然数 } ，则原题即求U，画韦恩图如图，阴影部分card B I e A U即 B I e U A ，从图中看出card B I e U A card B AIB. A I B B I e A 又 A I B? B，由性质2，有 card B A I B card B card A I B .U card B 即由数字1， 2， 3，4， 5 组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知card B A14A 44 .card AI B即由数字1，2，3， 4，5 组成无重复数字、比20000大，且百位数字是 3 的自然数的个数，易知card A I B A13A 33，所以 card B I e U A A 14A 44A13 A 33＝ 78.即可组成 78 个符合已知条件的自然数 .典型例题例 1 用 0 到 9 这 10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法 1：当个位数上排“ 0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选 3 个来排列，故有 A93个；当个位上在“ 2、 4、 6、 8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A41 A81 A82（个）．∴ 没有重复数字的四位偶数有A93A41 A81 A82504 1792 2296 个．例 2 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单。
排列组合公式演示文稿
(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
第十七页，共121页。
几个记号
下阶乘函数
[x]n x(x 1)(x n 1)
上阶乘函数 [x]n x(x 1)(x n 1)
[ ]n ( 1)( n 1)
Cn
n
[ ]n
n!
(
1)(
n!
n 1)
第十八页，共121页。
计算
例题
• 证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。
• 提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类，k 个物体属于第二类，… ，k个物体属于第(k-1)! 类。
第三十二页，共121页。
推论
• 多项式(x1+x2+…+xr)n的展开式中有 的系x1数n1 x为2n2 xr。nr
(2x1 3x2 5x3 )6
• k=0时
第四十九页，共121页。
例题
• 书架上有1-24共24卷百科全书，从其中选5卷使
得任何两卷都不相继，这样的选法有多少种？
第五十页，共121页。
7、圆排列
• n个元素的r-无重圆排列数
• 圆排列与线排列的区别 • 计算
第五十一页，共121页。
例题
例1 把20个不同的钉子钉在鼓表面一周，订钉子的方式
• 求解方法1 • 求解方法2
第三十页，共121页。
例题
• 五条短划和八个点可以安排成多少种不同的方 式？
13! 5!8!
• 如果只用这十三个短划和点中的七个，则有 多少种不同的方式？
7! 7! 7! 7! 7! 7! + + + ++
(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题常见模型1
高中数学讲义摆列组合问题的常有模型1知识内容1．基本计数原理⑴加法原理分数原理：做一件事，达成它有n 法，在第一法中有m1种不一样的方法，在第二法中有 m2种方法，⋯⋯，在第 n 法中有 m n种不一样的方法．那么达成件事共有N m1 m2 L m n种不一样的方法．又称加法原理．⑴乘法原理分步数原理：做一件事，达成它需要分红 n 个子步，做第一个步有 m1种不一样的方法，做第二个步有 m2种不同方法，⋯⋯，做第 n 个步有 m n种不同的方法．那么完成件事共有N m1 m2 L m n种不一样的方法．又称乘法原理．⑴加法原理与乘法原理的综合运用假如达成一件事的各样方法是互相独立的，那么计算达成这件事的方法数时，使用分类计数原理．假如达成一件事的各个步骤是互相联系的，即各个步骤都一定达成，这件事才告达成，那么计算达成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导摆列数、组合数公式的理论基础，也是求解摆列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要一定仔细学好，并正确地灵巧加以应用．2．摆列与组合⑴摆列：一般地，从n 个不一样的元素中任取m(m ≤ n) 个元素，依据必定的次序排成一列，叫做从n 个不一样元素中拿出m 个元素的一个摆列．（此中被取的对象叫做元素）摆列数：从 n 个不一样的元素中拿出m(m ≤ n) 个元素的所有摆列的个数，叫做从n个不一样元素中拿出m 个元素的摆列数，用符号 A m n表示．摆列数公式： A m n 全摆列：一般地，n的阶乘：正整数由n(n 1)(n 2) L (n m 1) ， m，n N，而且 m ≤ n ．n 个不一样元素所有拿出的一个摆列，叫做n 个不一样元素的一个全摆列．1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n! 表示．规定： 0! 1 ．思想的挖掘能力的飞腾1高中数学讲义⑴组合：一般地，从 n 个不一样元素中，随意拿出 m ( m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m个元素的一个组合．组合数：从 n 个不一样元素中，随意拿出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不一样元素中，随意拿出 m 个元素的组合数，用符号C n m表示．组合数公式： C n m n( n1)(n 2)L( n m1)n!， m, n N ，而且m≤ n ．m!m!( n m)!组合数的两个性质：性质1：C n m C n n m；性质 2：C n m1 C n m C n m 1．（规定 C n0 1 ）⑴摆列组合综合问题解摆列组合问题，第一要用好两个计数原理和摆列组合的定义，即第一弄清是分类仍是分步，是排列仍是组合，同时要掌握一些常有种类的摆列组合问题的解法：1．特别元素、特别地点优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其余元素；地点优先法：先考虑有限制条件的地点的要求，再考虑其余地点；2．分类分步法：对于较复杂的摆列组合问题，常需要分类议论或分步计算，必定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．清除法，从整体中清除不切合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的摆列，能够先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其余元素进行摆列，而后再给那“一捆元素”内部摆列．5．插空法：某些元素不相邻的摆列，能够先排其余元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n个同样元素，分红 m( m≤ n) 组，每组起码一个的分组问题——把n个元素排成一排，从 n 1个空中选 m 1 个空，各插一个隔板，有C n m11．7．分组、分派法：分组问题（分红几堆，无序）．有平分、不平分、部分平分之别．一般地均匀分红 n 堆（组），一定除以n ！，假如有m 堆（组）元素个数相等，一定除以m ！8．错位法：编号为 1 至n的n个小球放入编号为 1 到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不一样，这类摆列称为错位摆列，特别当n 2 ，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44．对于 5、6、7 个元素的错位摆列的计算，能够用剔除法转变为 2 个、 3 个、 4 个元素的错位摆列的问题．1．摆列与组合应用题，主要考察有附带条件的应用问题，解决此类问题往常有三种门路：⑴元素剖析法：以元素为主，应先知足特别元素的要求，再考虑其余元素；⑴地点剖析法：以地点为主考虑，即先知足特别地点的要求，再考虑其余地点；⑴间接法：先不考虑附带条件，计算出摆列或组合数，再减去不切合要求的摆列数或组合数．2思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义求解时应注意先把详细问题转变或归纳为摆列或组合问题；再经过剖析确立运用分类计数原理仍是分步计数原理；而后剖析题目条件，防止“选用”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．详细的解题策略有：⑴对特别元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和正确分类，分类后要考证能否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行摆列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采纳捆绑法；对于元素间隔摆列的问题，采纳插空法或隔板法；⑴次序固定的问题用除法办理；分几排的问题能够转变为直排问题办理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，能够考虑反面．⑴对于一些摆列数与组合数的问题，需要结构模型．典例剖析排队问题【例 1】三个女生和五个男生排成一排⑴ 假如女生一定全排在一同，可有多少种不一样的排法？⑵ 假如女生一定全分开，可有多少种不一样的排法？⑶ 假如两头都不可以排女生，可有多少种不一样的排法？【例 2】 6 个人站成一排：⑴此中甲、乙两人一定相邻有多少种不一样的排法？⑴此中甲、乙两人不相邻有多少种不一样的排法？⑴此中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不一样的排法？⑴此中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不一样的排法？思想的挖掘能力的飞腾3高中数学讲义【例 3】 7 名同学排队照相．⑴若分红两排照，前排 3 人，后排 4 人，有多少种不一样的排法？⑵若排成两排照，前排 3 人，后排 4 人，但此中甲一定在前排，乙一定在后排，有多少种不一样的排法？⑶ 若排成一排照，甲、乙、丙三人一定相邻，有多少种不一样的排法？⑷若排成一排照，7 人中有 4 名男生， 3 名女生，女生不可以相邻，有多少种不一样的排法？【例 4】 6 个队员排成一排，⑴共有多少种不一样的排法？⑴若甲一定站在排头，有多少种不一样的排法？⑶若甲不可以站排头，也不可以站排尾，问有多少种不一样的排法？【例 5】ABCDE 五个字母排成一排，若 ABC 的地点关系一定按 A 在前、 B 居中、 C 在后的原则，共有 _______种排法（用数字作答）．【例 6】用 1 到 8 构成没有重复数字的八位数，要求 1 与 2 相邻， 3 与 4 相邻，5 与6 相邻，而7 与8 不相邻，这样的八位数共有___个（用数字作答）．4思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 7】记者要为5名志愿者和他们帮助的2 位老人拍照，要求排成一排， 2 位老人相邻但不排在两头，不一样的排法共有（）A ．1440 种B． 960种C． 720种D． 480 种【例 8】12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现拍照师要从后排 8人中抽 2 人调整到前排，若其余人的相对次序不变，则不一样调整方法的总数是（）22B．2622D．22A ．C C C A CA A A【例 9】记者要为5名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排， 2 位老人相邻但不排在两头，不一样的排法共有（）A ． 1440 种B ．960 种C．720 种 D ．480 种【例 10】在数字 1，2 ，3与符号，五个元素的所有全摆列中，随意两个数字都不相邻的全摆列个数是（）A ．6B．12C．18D．24【例 11】计划展出 10 幅不一样的画，此中 1 幅水彩、 4 幅油画、 5 幅国画，排成一列陈设，要求同一品种的画一定连在一同，而且水彩画不放在两头，那么不一样的陈设方式有_____种．思想的挖掘能力的飞腾5高中数学讲义【例 12】 6 人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不一样的排法（用数字作答）．【例 13】一条长椅上有7 个座位， 4 人坐，要求 3 个空位中，有 2 个空位相邻，另一个空位与 2 个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例 14】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是（）A． 360B． 288C． 216D． 96【例 15】古代“五行”学说以为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不一样属性的物质随意排成一列，但摆列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的摆列方法有种（结果用数值表示）．【例 16】在1，2，3，4，5，6，7的任一摆列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的摆列方式共有（）种．A． 288B． 576C． 864D． 11526思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 17】从会合P ，Q ，R ，S 与 0 ，1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不可以重复）．每排中字母 Q和数字0至多只好出现一个的不一样排法种数是_________．（用数字作答）【例 18】从会合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不可以重复）．每排中字母 O，Q 和数字 0 至多只好出现一个的不一样排法种数是_________．（用数字作答）【例 19】6个人坐在一排10个座位上，问⑴空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种?⑶ 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种?【例 20】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是（）A ． 360B． 288C． 216D． 96思想的挖掘能力的飞腾7高中数学讲义【例 21】12名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现拍照师要从后排8 人中抽 2 人调整到前排，其余人的相对次序不变，则不一样调整的方法的总数有（）2 A 2B．2A6C．2A2D．22A ．C C C C A【例 22】两部不一样的长篇小说各由第一、二、三、四卷构成，每卷1本，共 8 本．将它们随意地排成一排，左侧 4 本恰巧都属于同一部小说的概率是_______．【例 23】2007年12月中旬，我国南方一些地域遭受历史稀有的雪灾，电煤库存吃紧．为了增援南方地域抗灾救灾，国家一致部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对 6 列电煤货运列车进行编组调动，决定将这 6 列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．假如甲所在小组 3 列列车先开出，那么这 6 列列车先后不一样的发车次序共有（）A． 36种B．108种C． 216种D． 432种数字问题【例 24】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能构成多少个四位数？⑴可能构成多少个四位奇数？⑴可能构成多少个四位偶数？⑴可能构成多少个自然数？【例 25】用 0 到 9 这 10 个数字，可构成多少个没有重复数字的四位偶数？8思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 26】在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4， 6，8 中任取两个数字，可构成多少个不一样的五位偶数．【例 27】用1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位数 a1，a2，a3，a4，a5，满足a1 a2，a2 a3，a3 a4，a4 a5的五位数有多少个？【例 28】用0，1，2，L，9这十个数字构成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例 29】用数字0，1，2，3，4，5，6构成没有重复数字的四位数，此中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例 30】有4张分别标有数字1，2，3 ，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字1，2，3，4 的蓝色卡片，从这8思想的挖掘能力的飞腾9张卡片中拿出 4 张卡片排成一行．假如拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10 ，则不一样的排法数一共有种．432；【例 31】有8张卡片分别标有数字1， 2 ， 3， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8，从中拿出 6 张卡片排成 3行 2列，要求 3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 ，则不一样的排法共有（）．．A ．1344种B ．1248种C．1056种D．960种【例 32】有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4 张分别标有数字 1，2 ，3，4的蓝色卡片，从这 8张卡片中拿出 4 张卡片排成一行．假如拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10 ，则不一样的排法共有 ____种（用数字作答）．【例 33】用 1， 2， 3， 4， 5， 6 构成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不一样，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是__________ （用数字作答）．【例 34】用数字1,2,3,4,5能够构成没有重复数字，而且比20000大的五位偶数共有（）A．48个B．36个C．24个D．18个【例 35】从1，2，3，8，9，10这6个数中，拿出两个，使其和为偶数，则共可获得个这样的不一样偶数？10思想的挖掘能力的飞腾【例 36】求无重复数字的六位数中，能被 3 整除的数有 ______个．【例 37】用数字0，1，2，3，4，5，6构成没有重复数字的四位数，此中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）．【例 38】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，构成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B． 216C．180D． 162【例 39】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，构成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B． 216C．180D．162【例 40】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能构成多少个没有重复数字的七位数？此中随意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑴上述七位数中三个偶数排在一同的有几个？⑴⑴中的七位数中，偶数排在一同、奇数也排在一同的有几个？思想的挖掘能力的飞腾11⑷ ⑴此中随意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例 41】用0到9这九个数字．可构成多少个没有重复数字的四位偶数？【例 42】有4张分别标有数字1，2，3，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字1，2 ，3，4 的蓝色卡片，从这8张卡片中拿出 4 张卡片排成一行．假如拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10 ，则不一样的排法共有 ______种（用数字作答）．【例 43】在由数字1，2，3，4，5构成的所有没有重复数字的5 位数中，大于23145且小于 43521的数共有（）个A． 56个B． 57个C． 58个D． 60个【例 44】由0，1，2，3，4这五个数字构成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的次序排成一个数列 a n，则 a19_____．A ． 2014B ． 2034C． 1432D． 143012思想的挖掘能力的飞腾【例 45】从数字0、 1、 3、 5、 7 中拿出不一样的三个作系数，可构成多少个不一样的一元二次方程ax2bx c0 ，此中有实数根的有几个？【例 46】从 3 ， 2 ， 1，0 ，1，2 ，3 ，4 中任选三个不一样元素作为二次函数y ax2bx c 的系数，问能构成多少条图像为经过原点且极点在第一象限或第三象限的抛物线?思想的挖掘能力的飞腾13。
高中数学排列组合模型讲义
高中数学排列组合模型讲义定义：从n 个不同的元素中取出m(n m ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列。
记作：Km HY2.构成：{⎧⎪⎨⎪⎩原始的元素:n 个取出的元素：m 个【元素】 【位置】m 个元素按照一定的顺序排列【分步】 本质：【顺序】从n 个不同的元素中取出的m 个元素进行排列时顺序是固定的 【集合】有限集合K={}n a a a ......,21{},,|),......,,(.....21j i x x k x x x x K K K K j i i m m ≠≠∈=**=(1)(2)......(1)m mn k n n n n m A =*--*-+=【元素个数】⎪⎩⎪⎨⎧=⊇≥=n A card BA mn mB card )()(【数】m 个不同的元素【个数】从n 个不同的元素中取出m(n m ≤)个元素的所有不同元素的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数【K 集合中的两个元素】1.相邻 2.不相邻3．在特定的位置 4.不在特定的位置 【三个元素】1.相邻 2.不相邻3.在特定的位置4.不在特定的位置【四个元素】从a,b,c,d 四个元素中取出三个元素的排列共有34A 个，abc 是其中一个排列 【m 个元素】1.取出的m 个元素可以重复 2.取出的m 个元素不可以重复 【位置与元素】1.特定的元素排在特定的位置 2.特定的元素不排在特定的位置 3.分类【元素的个数】{【有限】有穷数列【无限】无穷数列【顺序】{组合数列【m 】{时，全排列时，选排列n m n m =<4.条件1.【定义】从n 个不同的元素中取出m(n m ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列2.【位置】元素相同，位置也相同，则是同一个排列；元素完全不同，或元素不完全相同，或元素相同，位置不同都不是同一个排列 5.性质【个数】)!(!m n n A mn -=【m=n 】!n A nn =11--=m n m n nA A排列模型一、 直线排列：元素不完全相同的直线排列⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊃⊃⎢⎣⎡⊃⎢⎣⎡+-+-⊃→置特定元素必不在特定位特定元素必在特定位置元素顺序不固定元素顺序固定必不相邻模型）！元素顺序不固定（）！元素顺序固定（必相邻模型排列数不重复排列m m m m n m m n m !11 模型个人，每个人至少一件映射个数为排列数为重复排列k n m ⊃→→ 元素不完全相同的直线排列走楼梯法排列数⊃→!!!!!321k m m m m n二、 环状排列⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎣⎡⊃→长方形排列正多边形排列项圈排列排列数为无编号直线排列有编号 直线排列一、 不同元素的排列问题 （一） 不重复排列 1、 必相邻模型：站法？必须站在一起，有几种名女生站成一排，女生名男生和例、有）数为（元素进行排列，总排列对个元素顺序不固定个元素排列元素看成一个元素，解析：用捆绑法把）元素顺序不固定：（）、（）总排列数为（个元素顺序一定个元素排列一个元素，然后对元素捆绑在一起，看成解析：把）元素顺序固定：（、元素必相邻的排列数：个不同元素中，34!!11!!12!11!1)1(m m n m m m n m m m n m m n m m n m m n m m n +-∴+-+-+-∴+-+-2、 不相邻模型：有几种站法？女生和女生都不相邻，不相邻，有几种站法？名女生站成一排，女生名男生和例、有方法并按顺序排列，共有种个元素，个空来放个空，从中取出个元素全排列，则有解析：对元素顺序不固定：）、（顺序固定，即有个元素，个空来放个空，从中取出个元素全排列，则有解析：对元素顺序固定：、数：个元素必不相邻的排列个不同元素中，45121)1(m m m n m n m m m m n m n m m n +--+--3、特定元素必在特定位置站法？在两端，有几种不同的必须站中间，乙必须站个人站成一排，其中甲例、排列。
高中数学排列组合讲解
高中数学排列组合讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是向高中学生讲解数学中的排列组合知识。
排列组合是数学中的重要组成部分，也是高中阶段数学学习的重点和难点。
通过本节课的学习，学生应能理解排列组合的基本概念，掌握排列组合的计算方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2、教学对象本节课的教学对象是高中学生，他们已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的数学运算和逻辑思维能力。
然而，由于排列组合的概念较为抽象，学生在学习过程中可能会遇到一定的困难。
因此，作为教师，我们需要关注学生的学习情况，针对不同学生的特点和需求，采用适当的教学策略，帮助他们理解和掌握这一部分内容。
此外，考虑到高中生的认知水平和思维能力，我们将注重培养学生的逻辑推理、问题解决和团队合作能力，使他们在学习排列组合的过程中，提高自身的数学素养。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解排列组合的基本概念，掌握排列、组合的定义及其区别；（2）掌握排列组合的计算公式，并能运用这些公式解决实际问题；（3）掌握排列组合在实际问题中的应用，例如：分配问题、分组问题等；（4）培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力，提高他们解决排列组合问题的效率。
2、过程与方法（1）通过实例引入排列组合的概念，让学生在实际问题中发现排列组合的规律；（2）采用启发式教学，引导学生主动探究排列组合的计算方法，培养他们的自主学习能力；（3）组织小组讨论和合作学习，让学生在交流中碰撞思维火花，提高解决问题的能力；（4）设计丰富的课堂练习，巩固所学知识，并及时给予学生反馈，帮助他们查漏补缺；（5）运用信息技术手段，如多媒体教学、网络资源等，丰富教学形式，提高教学效果。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学习的兴趣和热情，使他们认识到排列组合在现实生活中的重要作用；（2）引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识对社会发展的贡献，增强社会责任感；（3）培养学生严谨、勤奋的学术态度，让他们在解决问题的过程中，体验数学的严密性和美感；（4）鼓励学生面对困难时保持积极的心态，培养他们克服困难的勇气和毅力；（5）通过小组合作学习，培养学生团结协作的精神，提高他们的团队意识和沟通能力。
高中数学排列组合教案(6篇)
高中数学排列组合教案（6篇）高中数学排列组合教案（精选篇1）教学主题：主要涉及到简洁排列组合问题，相同元素和不同元素排列组合问题。
捆绑法插空法特别元素法特别位置法定序法分组安排教学内容及分析：排列组合问题是高中数学学问的一个重要组成部分，在高考中也是必考内容，难度一般在中等偏上，只要把握的排列组合的几种典型方法，就能快速理解题型题意，快速找到突破口，对症下药，事半功倍，关键是要把握住什么题型用什么方法，通过题型对比分析相同点和不同点，区分易错的，难点。
另外，排列组合在适应新高考有着自然出题优势，由于排列组合更贴近显示生活，可以把我们课本上的抽象概念和数学公式和实际生活联系起来，数学学问走进生活，学问来与是但高于生活，最终回归于生活，才是我们学习学问，专研学问的立足点。
本文就对数学中概率统计中的一小点内容——排列组合，做一个简洁的对比分析。
教学对象及特点：排列组合在高中数学选修2—3。
人教版教材，高二的同学在日常生活中，有许多需要用排列组合来解决的学问。
作为二班级的同学，已有了肯定的生活阅历及解决问题的力量。
因此，在设计中，我通过创设一个完整的、好玩的生活情境来进行教学，力求使同学在经受日常生活最简洁的事例中体验到重要的数学思想方法，从而也感受到数学思想也是依托于生活，来源于生活，是有生命活力的。
教学目标：基于对教材的理解，我把本节课的教学重点定为：在经受简洁事物排列与组合规律的过程中体会排列与组合的数学思想。
教学难点定为：培育同学全面有序的思索问题的意识。
通过观看、猜想、比较、试验等活动，培育同学学习初步的观看、分析力量和有序、全面地思索问题的意识。
培育同学大胆猜想、乐观思维的学习方法，使同学感受学习数学的欢乐，进一步激发同学学习数学的爱好。
教学过程：一、排列问题例1：有4个男生，5个女生站队，在下列条件下，有多少种状况？（1）9个人全部站成一排；（2）9个人站成两排，前排站4人，后排站5人；（3）9个人全部站一排，全部女生站在一起；（捆绑法）（4）9个人全部站一排，全部男生都不相邻；（插空法）（5）9个人全部站一排，甲乙相邻，丙丁不相邻；（6）9个人全部站一排，甲不在两端；（特别元素法，特别位置法）（7）9个人全部站一排，甲不在最左边，乙不在最右边；（8）9个人全部站一排，甲在乙的左边，可以不相邻；（定序）（9）9个人全部站一排，甲在乙的前面，乙在丙的前面，可以不相邻；（10）9个人全部站一排，甲在乙和丙的中间，可以不相邻；二、组合问题例2：有25件产品，其中5件次品，从中任取3件，在下列条件下，有多少种状况？（1）次品甲在内；（2）次品甲不在内；（3）恰有1件次品；（4）至少1件次品；（5）至少2件次品；三、分组安排问题（不同元素）例3：有6名同学安排到三个班级，在下列条件下，有多少种状况？（1）随机安排；（2）每个班表达对一名同学的争取意愿，6名同学实力相当；（3）安排到三个班的人数分别为1、2、3人；（4）安排到三个班的人数分别为1、1、4人；（5）安排到三个班的人数分别为2、2、2人；四、分组安排问题（相同元素）例4：9个相同的乒乓球分给3个不同的人，在下列条件下，有多少种状况？（1）3个人分别分到2个乒乓球，3个乒乓球，4个乒乓球；（2）3个人分别分到2个乒乓球，2个乒乓球，5个乒乓球；（3）3个人平均分，每人得到3个乒乓球；（4）3个人每人至少分到1个乒乓球；（5）3个人每个人至少分到2个乒乓球；（6）3个人随机安排这9个乒乓球；五、分组安排问题（部分元素相同）例5：有外形大小相同，颜色不全相同的乒乓球，其中红色乒乓球，黄色乒乓球，黑色乒乓球分别有5个，从中取出四个乒乓球排一排，在下列条件下，有多少种状况？（1）取3个红色乒乓球，1个黄色乒乓球；（2）取2个红色乒乓球，2个黄色乒乓球；（3）取2个红色乒乓球，1个黑色乒乓球，1个黄色乒乓球；（4）取出的4个乒乓球中刚好3个乒乓球颜色相同；（5）取出的4个乒乓球中刚好2个乒乓球颜色相同，其他两个乒乓球颜色也相同；取出的4个乒乓球中刚好2个乒乓球颜色相同，其他两个乒乓球颜色不同；所选技术以及技术使用的目的：选取的技术是PPT演示文稿，电子文档，交互式电子白板，目的是能和同学共享资源，实时授课，不用边抄题目边讲课，节省时间，集中精力。
高中数学排列组合教学教案
高中数学排列组合教学教案一、引言排列组合是高中数学中的重要概念，它是组合数学的基础，也是解决实际问题中常用的方法之一。
本教案将重点介绍高中数学排列组合的基本概念、计算方法和应用。
二、排列与组合的基本概念1. 排列的定义与计算方法排列是将一组事物按一定顺序排列的方式。
对于n个不同的元素，从中选取r 个元素进行排列，可以使用排列公式进行计算：P(n, r) = n! / (n-r)!2. 组合的定义与计算方法组合是从一组事物中选取若干元素，无关顺序的方式。
对于n个不同元素，从中选取r个元素进行组合，可以使用组合公式进行计算：C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)三、排列组合的应用场景1. 问题一：班级幸运抽奖假设班级有20位学生，老师要进行一次幸运抽奖，抽取3个学生得到奖励。
这是一个排列问题，通过计算排列数可以得到抽奖的可能性为：P(20, 3) = 20! / (20-3)! = 114002. 问题二：足球队的组队一支足球队有20名队员，教练要从中选取11名队员组成首发阵容。
这是一个组合问题，通过计算组合数可以得到选取队员的可能性为：C(20, 11) = 20! / (11!*(20-11)!) = 1679603. 问题三：密码的生成假设一个密码由4个数字组成，每个数字范围为0-9，且不允许重复。
这是一个排列问题，通过计算排列数可以得到密码的总数为：P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 5040四、排列组合的计算方法1. 通过计算阶乘进行求解排列组合的计算可以通过计算阶乘来实现，但是对于大数计算可能会非常繁琐。
因此，可以利用计算器或数学软件快速计算。
2. 利用公式简化计算排列组合公式中的阶乘计算部分可以进行简化，避免重复计算。
例如，在计算P(10, 4)时，可以先计算出10*9*8*7，再除以4*3*2*1，避免了重复计算。
五、排列组合的性质与规律1. 对称性排列组合中，对称性是常见的特征之一。
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1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑴乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑴加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．知识内容排列组合问题的常见模型1⑴组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑴排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：⑴对特殊元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排队问题【例1】三个女生和五个男生排成一排⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑴其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例3】7名同学排队照相．⑴若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑴若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】ABCDE五个字母排成一排，若ABC的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．【例6】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个（用数字作答）．【例7】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种 B ．960种C ．720种D ．480种【例8】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A【例9】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【例10】 在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【例11】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．【例13】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360B ．288C ．216D ．96【例15】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．【例16】 在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）种．A ．288B ．576C ．864D ．1152【例17】 从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例18】 从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例19】 6个人坐在一排10个座位上，问⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种? ⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例20】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360B ．288C ．216D ．96【例21】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C A D ．2285C A【例22】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】 2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（ ） A ．36种 B ．108种 C ．216种 D ．432种数字问题【例24】 给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑴可能组成多少个四位奇数？⑴可能组成多少个四位偶数？⑴可能组成多少个自然数？【例25】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例26】 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】 用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足12233445a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例28】 用0129L ，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例29】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例30】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有 种． 432；【例31】 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ） A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种【例32】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种（用数字作答）．【例33】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例34】 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【例35】 从1238910，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 个这样的不同偶数？【例36】求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字【例37】用数字0123456之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）．，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的【例38】从012345个数为（）A．300B．216C．180D．162，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的【例39】从012345个数为（）A．300B．216C．180D．162【例40】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑴上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑴⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】 用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种（用数字作答）．【例43】 在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例44】【例45】 由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430【例46】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例47】【例48】 从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。