求的最大值与最小值
求函数的最大值和最小值方法归纳总结
函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。
例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。
3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。
将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。
例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。
通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。
例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。
将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。
求一元二次方程的最大值和最小值
求一元二次方程的最大值和最小值在数学中，一元二次方程是一种形式为ax2+bx+c=0的二次方程。
对于一元二次方程ax2+bx+c=0，其中a、b、c是已知常数，x是未知数，我们可以通过求解这个方程来找到它的最大值和最小值。
求解一元二次方程要找到一元二次方程的最大值和最小值，我们首先需要解出这个方程的根。
对于一元二次方程ax2+bx+c=0，我们可以使用求根公式：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$使用这个公式可以得到方程的两个根x1和x2，分别为：$$ x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$$$ x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$最大值和最小值的判断一元二次方程的最大值和最小值与二次函数的凹凸性有关。
当a>0时，二次函数开口向上，此时曲线的顶点是函数的最小值点；当a<0时，二次函数开口向下，此时曲线的顶点是函数的最大值点。
所以，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当a>0时，最小值为 $f(-\\frac{b}{2a})$；当a<0时，最大值为 $f(-\\frac{b}{2a})$。
举例说明假设有一元二次方程2x2+4x−6=0，首先求解该方程的根：$$ x_1 = \\frac{-4 + \\sqrt{4^2 - 4 \\times 2 \\times -6}}{2 \\times 2} = 1 $$$$ x_2 = \\frac{-4 - \\sqrt{4^2 - 4 \\times 2 \\times -6}}{2 \\times 2} = -3 $$ 根据前面的判断，因为a>0，所以该二次函数开口向上，最小值为：$$ f(-\\frac{4}{2 \\times 2}) = f(-1) = 2 \\times (-1)^2 + 4 \\times (-1) - 6 = -12 $$所以，该一元二次方程的最小值为 -12。
求函数最大值最小值的方法
求函数最大值最小值的方法
求函数的最大值和最小值可以通过7种方法：1、配方法；2、判别式法；
3、利用函数的单调性；
4、利用均值不等式；
5、换元法；
6、数形结合法；
7、利用导数求函数最值。
1、配方法：形如的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法：形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。
由于，所以≥0，求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性：首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。
4、利用均值不等式，形如的函数，注意正、定等的应用条件，即：a，b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。
5、换元法：形如的函数，令，反解出x，代入上式，得出关于t的函数，注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。
还有三角换元法，参数换元法。
6、数形结合法：形如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，
在同一坐标系作出它们的图象，观察其位置关系，利用解析几何知识求最值。
求利用直线的斜率公式求形如的最值。
7、利用导数求函数最值。
求数列最大值与最小值项的方法
求数列最大值与最小值项的方法
求数列最大值与最小值项的方法：
1、排序法：通过排序将原来的数列变成有序的，最大值及最小值项将
被排在序列最高或最低位置，从而确定最大最小值。
2、求和法：将原来的数列逐项累加得到总和，将总和减每项数值得到
剩余总和，再从中求出每项的数值，最大值最小值值也就有了。
3、差分法：将原来的数列逐步求出每相邻项之间的差值，每相邻差值
的和可以得出每项数值，最大最小值也就确定了。
4、假设法：假设某一项数值是最大或最小，找出其他各个项数值之和，若等于总和减去该值，则该值就是最大或最小值；若不等，则假定另
一项数值为最大或最小，重复上述操作，直至找出最大或最小值为止。
5、比较法：将原数列的每一项两两比较，较大的数值为最大值，较小
的数值为最小值，一直比较到数列的一头，最后即可得到最大最小值。
6、直接比较法：从原来数列中直接得出最大值或最小值，如从数列中
有一个数值大于或小于其他数，则可以直接得出该数值就是最大或最
小值。
最大值与最小值计算公式
最大值与最小值计算公式在数学和统计学中，计算一组数据的最大值和最小值是一项基本的运算任务。
最大值是指一组数据中的最大数值，而最小值则是指其中的最小数值。
在实际应用中，我们常常需要找到数据集中的最大值和最小值，以便进行进一步的分析和处理。
最大值的计算公式计算一个数据集中的最大值通常需要遍历所有数据并找到其中的最大数值。
最大值的计算公式可以用以下步骤来描述：1.设定一个初始值为负无穷大的变量max_value用来存储最大值。
2.遍历数据集中的每个数值，将每个数值与max_value进行比较。
3.如果当前数值大于max_value，则将当前数值赋值给max_value。
4.继续遍历所有数值直至完成，此时max_value即为数据集中的最大值。
最大值的计算公式可以用伪代码表示如下：max_value = -∞for value in dataset:if value > max_value:max_value = value最小值的计算公式类似于最大值的计算方法，计算一个数据集中的最小值也需要遍历所有数据并找到其中的最小数值。
最小值的计算公式可以用以下步骤来描述：1.设定一个初始值为正无穷大的变量min_value用来存储最小值。
2.遍历数据集中的每个数值，将每个数值与min_value进行比较。
3.如果当前数值小于min_value，则将当前数值赋值给min_value。
4.继续遍历所有数值直至完成，此时min_value即为数据集中的最小值。
最小值的计算公式可以用伪代码表示如下：min_value = +∞for value in dataset:if value < min_value:min_value = value通过以上最大值和最小值的计算公式，我们可以方便快速地求解数据集中的最大值和最小值，为进一步的数据分析和处理提供基础支持。
函数的最大值和最小值的求解方法
知能迁移1
试讨论函数
f
(x)
ax x2 1,
x∈(-1,1)的单
调性（其中a≠0）.
解 方法一 根据单调性的定义求解.
设-1<x1<x2<1,
则f
(x1)
f
(x2 )
ax1 x12
1
ax2 x22 1
a(x2 x1)( x1x2 1) (x12 1)( x22 1)
.
∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,
x12 1 0, x22 1 0,| x1x2 | 1,
即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.
(x2 x1)( x1x2 1) 0. (x12 1)( x22 1)
因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,
知能迁移3 已知函数 f ( x) 1 1 (a>0,x>0),
ax
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;
(2)若f(x)在 [•1 ,2]上的值域是 [•1 ,2], 求a的值.
2
2
(1)证明 设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0,
f
(x2 )
f
( x1)
0
,1
0,
2 x1 x2 2 2 x1 x2
∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)= •7 .
导数法求最大最小值
令V(x)60x3x20,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=
16000.
2
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子
的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省?
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注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.
练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
函数的最大值 与最小值
一、复习与引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: ①如果在x0附近的左侧 f(x)0 右侧 f(x)0,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f(x)0右侧 f(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到.
例2:如图,铁路线上AB段长
C
100km,工厂C到铁路的
距离CA=20km.现在要
在AB上某一处D,向C修 一条公路.已知铁路每吨 B
D
A
千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料
从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x2 400 x2km.
最大值与最小值的数学期望的几种求法
最大值与最小值的数学期望的几种求法
一.求函数最值常用的方法
最值问题是生产,科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题,是高中数学的一个重点,它涉及到高中数学知识的各个方面,解决这类问题往往需要综合运用各种技能,灵活选择合理的解题途径,而教材中没有作出系统的叙述.因此,在数学总复习中,通过对例题,习题的分析,归纳出求最值问题所必须掌握的基本知识和基本处理方程.
常见的求最值方法有:
1.配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.
2.判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于,∴≥0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.
3.利用函数的单调性首先明确函数的定义域和单调性,再求最值.
4.利用均值不等式,形如的函数,及≥≤,注意正,定,等的应用条件,即:a,b 均为正数,是定值,a=b的等号是否成立.
5.换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t 的定义域范围,再求关于t的函数的最值.
还有三角换元法,参数换元法.
6.数形结合法形如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值.
求利用直线的斜率公式求形如的最值.
7.利用导数求函数最值。
求最大值最小值的方法
求最大值最小值的方法在数学和统计学中，求最大值和最小值是非常常见的问题，它们在各种实际问题中都有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍几种常见的方法来求解最大值和最小值的问题，以便读者能够更好地理解和应用这些方法。
一、暴力搜索法。
暴力搜索法是最简单直接的方法之一，它的思想是通过遍历所有可能的解，然后找出其中的最大值或最小值。
这种方法的优点是简单易懂，适用于各种类型的问题，但缺点是效率较低，当问题规模较大时，时间复杂度会很高。
二、数学分析法。
数学分析法是一种通过对函数进行求导或者进行数学推导来求解最大值和最小值的方法。
这种方法通常适用于连续函数或者可导函数的求解，通过求解函数的导数为零的点或者进行二阶导数的判定，可以得到函数的极值点。
数学分析法的优点是可以得到精确的最大值和最小值，但缺点是只适用于特定类型的函数，对于复杂函数求解可能较为困难。
三、贪心算法。
贪心算法是一种通过每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望最终得到全局最优解的方法。
对于求最大值和最小值的问题，贪心算法通常适用于具有最优子结构的问题，通过不断选择局部最优解，最终得到全局最优解。
贪心算法的优点是简单高效，但缺点是可能得不到全局最优解，只能得到局部最优解。
四、动态规划法。
动态规划法是一种通过将原问题分解为若干个子问题，然后通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解的方法。
对于求最大值和最小值的问题，动态规划法通常适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，通过存储子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。
动态规划法的优点是可以得到全局最优解，但缺点是需要存储大量的中间结果，对于问题规模较大时，空间复杂度较高。
综上所述，求最大值和最小值的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和局限性。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解最大值和最小值的问题，从而得到更好的解决方案。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这些方法。
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题绝对值求最大值和最小值的例题一、概念解释在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
它表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数或者负数。
绝对值通常用来表示距离的绝对量，它的定义如下：如果 x 是一个实数，那么 x 的绝对值表示为 |x|，它的计算公式如下：当x ≥ 0 时，|x| = x；当 x < 0 时，|x| = -x。
举例来说，-5 的绝对值是 |-5| = 5；而 5 的绝对值还是 5。
在实际问题中，经常会遇到需要对绝对值求最大值和最小值的情况，特别是在优化问题中，这个方法非常有用。
二、求最大值和最小值的例题接下来，我们通过例题来演示如何利用绝对值求最大值和最小值。
例题1：已知函数 f(x) = |2x - 3|，求 f(x) 的最大值和最小值。
解析：我们知道 |2x - 3| 表示一个关于 x 的带绝对值的函数。
要求最大值和最小值，可以考虑当 |2x - 3| 取得极值时的 x 值。
由于 |2x - 3| 的图像是关于 x 轴对称的，因此我们只需要考虑 |2x - 3| 在x ≥ 0 区间的情况。
当 2x - 3 ≥ 0 时，有 |2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，有 |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x。
我们可以得到两个函数：f1(x) = 2x - 3，x ≥ 0；f2(x) = 3 - 2x，x ≥ 0。
接下来，我们分别对 f1(x) 和 f2(x) 求导，找到导数为 0 的点，并判断极值的情况。
f1'(x) = 2；f2'(x) = -2。
由此我们可以知道，f1(x) 在x ≥ 0 时是单调递增的，而 f2(x) 在x ≥ 0 时是单调递减的。
f(x) = |2x - 3| 在x ≥ 0 区间上的最小值出现在 x = 0 处，最大值是 x 趋向无穷时的极限值。
经过计算和分析，我们可以得出最小值为 3，最大值为正无穷。
导数法求最大最小值
例1: 如图,在二次函数f(x)= y 2 4x-x 的图象与x轴所 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 2 . S( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
二、新课——函数的最值
y
观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ，最小值 大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
三、例题选讲
例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小 值. 3 y 4 x 4 x. 解: 令 y 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y, y 的变化情况如下表:
x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y’ 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.
最大值、最小值
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟
的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的
南岸B处向正东追击，
速度为2千米/分钟．
问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？
0.5公里
A
B
4公里
解 (1)建立敌我相距函数关系 设 t 为我军从B处发起
s( t )
0.5公里
追击至射击的时间(分 ). 敌我相距函数 s( t )
五、由 y x 2 , y 0 , x a (a 0 )围成一曲边三角形 OAB ，在曲线弧 OB 上求一点，使得过此点所作曲 OB 围成的三角形面积最大. 线 y x 2 的切线与OA ，
练习题答案
一、1、区间端点及极值点； 2、最大值 y ( 4) 80 , 最小值y ( 1) 5 ； p , [ 0, ) ； 3、10,6； 4、arctan , f cos sin 2 8 R3 2 4 6 4 , ( 0, 2 ) . 5、 , V 2 3 24 二、 x 3 时函数有最小值 27. 三、14. v v 3 3 , h2 ; d : h 1 : 1. 四、 r 2 2 2 4 2 五、( a , a ) . 3 9
16 4096 s( ) 为极大值. 3 27
16 4096 故 s( ) 为所有三角形中面积的 最大者. 3 27
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念.
实际问题求最值的步骤.
思考与练习:
1. 若 f (a ) 是 f ( x ) 在[a , b]上的最大值或最
A
s ( t ) ( 0 .5 t ) 2 ( 4 2 t ) 2
最大值与最小值
2 3 2 3 延伸1:设 3 a 1 ,函数 f ( x ) x 2 ax b( 1 x 1) 的最 6
大值为1,最小值为
f ( x) 3 x 2 3ax 0 得x=0或a. 解 :令 当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表:
2
4V V 3 2 ,即h=2r. 2
3
2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.
答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
C 例2:如图,铁路线上AB段长 100km,工厂C到铁路的 距离CA=20km.现在要 在AB上某一处D,向C修 B D A 一条公路.已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
2 18 k x － 2 x －6 x＋12 16k 2k 由I x ＝－ 3 ＋ ＝ ＝0 3 3 3 x x 3－x 3－x
解得x＝2，故当0＜x＜2时，I´(x)＜0；当2＜x＜3时， I´(x)＞0． 因此，x＝2时，I取得极小值，且是最小值． 答：在连结两光源的线段AB上，距光源A为2处的照度最小．
y极小值＝ f(x0) ，x0是极小值点．极大值与极小值统称
为极值．
注
意
1 ．在定义中，取得极值的点称 为极值点，极值点是自变量 ( x )
的值，极值指的是函数值(y)．
2．极值是一个局部概念，极值只 是某个点的函数值与它附近点的函
数值比较是最大或最小,并不意味
着它在函数的整个的定义域内最大
或最小．
又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以 3a 6 a 6 .
excel中条件求最大、最小值
在Excel中，你可以使用条件求最大值和最小值的方法如下：
首先，在你要找出最大值的范围中选择数据，并点击求和按钮。
如果你不能看到，你可能需要首先确保数据已添加到列或行中。
选择你想要的函数，点击最大值函数并确定范围。
这将列出数据范围中的最大值。
对于最小值，步骤类似，只需选择最小值函数并确定范围。
你也可以使用IF函数和ROW函数来实现条件求最大值和最小值。
例如，如果你想找出在某一列中每个单元格的值，你可以使用以下公式：
最大值公式：=MAX(IF(A1:Z1=1,A2:Z25))
这个公式会找出所有值为1的单元格的最大值。
最小值公式：=MIN(IF(A1:Z1=1,A2:Z25))
这个公式会找出所有值为1的单元格的最小值。
请注意，这些公式假设你的数据从A1到Z1，并且你想要找出的是在A列中值为1的单元格的最大值和最小值。
你需要根据你的实际情况修改这些公式。
希望这些信息对你有所帮助！如果你有任何其他问题，欢迎随时提问。
九年级数学最大值、最小值问题
( 0 x0 8 )
y
1 2 S ( 3 x0 64 x0 16 16) 0, 4
16 x0 , 3 x0 16 ( 舍去).
T
B
解得
S (
P
o
A
C
x
16 4096 16 S ( ) 为极大值 . ) 8 0. 3 217 3 16 4096 故 S( ) 为所有三角形中面积的 最大者. 3 27
f (1) 7;
比较得
f ( 4) 142.
最大值 f ( 4) 142， 最小值 f (1) 7.
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数;
(2)求最大值或最小值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值
即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租 金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 x 元,
x 180 租出去的房子有 50 套， 10
每月总收入为
x 180 R( x ) ( x 20 ) 50 10
x R( x ) ( x 20) 68 10
x x 1 R( x ) 68 ( x 20) 70 5 10 10
二、应用
例1 求函数 y 2 x 3 3 x 2 12 x 14 的在 [3,4]
上的最大值与最小值.
解 f ( x ) 6( x 2 )( x 1)
解方程 f ( x ) 0, 得
高等数学：第十二讲 最大值与最小值
x
m
，宽为
y
m
，则高为
2 xy
m，水箱所用材料的面积为
S 2(xy x 2 y 2 ) 2(xy 2 2)(x 0, y 0)
xy xy
yx
令
S x S y
2( y 2( x
2 x22 y2
) )
0 0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
由问题的实际意义，水箱所用材料面积的最小值一定存在，又只有一个
驻点，因此，当长、 宽均为
3
2、高为
3
2 23
2
3
2最大值和最小值的一般方法
最值可疑点
驻点
边界上的点
2.在实际问题中如何求解函数的最值
谢谢
dz
对此函数求导，得：
d
x
x(8
3x)
可知函数在区间 (0,4) 内的驻点为 x
在区间的两端点 x 0、x 4处 z
8，函数值为
0，3
z
256 27
.
所以 z 256为函数 z 在区域 D 的边界上的最大值.
27
由于
625 64
22576，所以二元函数
z
在区域
D上的最大值为
z
625 64
,
x2 (5 x 2 y) 0
求得在区域 D 内的驻点为 (5 , 5)，在驻点处的函数值为 z 625 .
24
64
例题1：
z x2 y(5 x y)
在边界 x 0, y 0上函数 z 的值恒为零； 在边界 x y 4 上，将 y 4 x 代入函数中，使函数 z 成为变
量 x 的一元函数：z x2 (4 x),0 x 4
最大值与最小值公式初中
最大值与最小值公式初中在初中数学中，我们经常会遇到求一个数据集合中的最大值和最小值的情况。
这是一种基本而重要的数学概念，在帮助我们分析数据、解决问题时起着至关重要的作用。
下面将介绍一些初中阶段常用的最大值与最小值的计算方法。
最大值的求解在一个数据集合中，最大值指的是数值中最大的那个值。
假设我们有一组数据集合：a1,a2,a3,...,a n，要求这组数据中的最大值，我们可以利用以下两种方法：1.直接比较法：逐个比较数据集合中的每个数值，找出其中最大的值。
例如，对于数据集合{3, 5, 9, 2, 7}，我们可以通过比较3和5，然后再拿5和9比较，以此类推，最终找到最大值9。
2.数学符号法：最大值通常用符号表示，我们可以用数学符号表示出这组数中的最大值。
即假设我们有数值集合a1,a2,a3,...,a n，则最大值为Max(a1,a2,a3,...,a n)。
例如，对于数据集合{3, 5, 9, 2, 7}，最大值可表示为Max(3,5,9,2,7)=9。
最小值的求解与最大值类似，最小值是指数值中最小的那个值。
要求一个数据集合中的最小值，我们可以采取如下方法：1.直接比较法：逐个比较数据集合中的每个数值，找出其中最小的值。
例如，对于数据集合{3, 5, 9, 2, 7}，我们可以通过比较3和5，然后再拿3和2比较，以此类推，最终找到最小值2。
2.数学符号法：最小值也可以用数学符号表示，表示方法与最大值相似。
假设我们有数值集合a1,a2,a3,...,a n，则最小值为Min(a1,a2,a3,...,a n)。
例如，对于数据集合{3, 5, 9, 2, 7}，最小值可表示为Min(3,5,9,2,7)=2。
概念应用举例最大值与最小值的概念常常在生活中得到应用。
例如，在分析考试成绩时，我们会关注学生得到的最高分（最大值）和最低分（最小值），以便了解整体情况。
在比赛中，冠军往往代表着最高的成绩，而最后一名则可能是最低的分数。
最大值最小值的求法
最大值最小值的求法最大值和最小值是数学中常见的概念，用于描述一组数据中的最大和最小的数值。
在实际应用中，求解最大值和最小值有多种方法，本文将介绍几种常见的求解最大值和最小值的方法。
一、遍历法遍历法是最简单直观的求解最大值和最小值的方法。
其基本思想是通过遍历数据集合中的每个元素，逐个比较找出最大值和最小值。
具体步骤如下：1. 初始化最大值和最小值为数据集合中的第一个元素。
2. 从第二个元素开始，依次与当前的最大值和最小值进行比较。
3. 如果当前元素大于最大值，则更新最大值；如果当前元素小于最小值，则更新最小值。
4. 继续遍历下一个元素，重复步骤3，直到遍历完所有元素。
5. 遍历结束后，最大值和最小值即为所求。
遍历法的优点是简单易懂，适用于数据量较小的情况。
但是当数据量较大时，遍历法的效率较低，需要进行大量的比较操作。
二、排序法排序法是一种常用的求解最大值和最小值的方法。
其基本思想是将数据集合进行排序，然后取排序后的第一个元素作为最小值，取最后一个元素作为最大值。
具体步骤如下：1. 对数据集合进行排序，可以使用冒泡排序、快速排序等排序算法。
2. 排序后，最小值即为排序后的第一个元素，最大值即为排序后的最后一个元素。
排序法的优点是求解最大值和最小值的过程简单明了，适用于数据量较大的情况。
但是排序算法的时间复杂度较高，对于大规模数据集合的排序会消耗较多的时间和计算资源。
三、分治法分治法是一种高效的求解最大值和最小值的方法。
其基本思想是将数据集合分成若干个子集，分别求解子集的最大值和最小值，然后将子集的最大值和最小值进行比较，得到整个数据集合的最大值和最小值。
具体步骤如下：1. 将数据集合分成若干个子集，可以使用递归的方式进行分割。
2. 对每个子集进行求解最大值和最小值，可以使用遍历法、排序法或其他方法。
3. 将子集的最大值和最小值进行比较，得到整个数据集合的最大值和最小值。
分治法的优点是能够充分利用计算资源，提高求解效率。
二元一次方程最大值与最小值公式
二元一次方程最大值与最小值公式二元一次方程是学习高等教育数学基础时需要掌握的基本知识，通过求最大值与最小值，其能够反映出函数图像的上下界，因此可以更清楚的建立函数关系的模型。
二元一次方程最大值与最小值的计算公式是：假设有y=ax+b构成一元一次方程，那么这个方程的最大值可以通过以下公式算出：最大值=max{-b/a，b/a+c/a}，最小值可以通过min{b/a，b/a+c/a}来计算。
二元一次方程最大值与最小值的计算方式相对非常简单，只需要简单的四则运算就可以得到前者的正确结果。
更重要的是，在学习函数模型的过程中，二元一次方程的最大值和最小值的公式可以帮助学生゛们更加清楚的拟定函数关系的模型。
由于，二元一次方程的最大值和最小值公式可以反映出函数图像的上下界，因此可以更加清楚饧明解答数学题型，提高算法技能，辅助高端知识培训，有助于准确掌握知识点，总之，二元一次方程的最大值和最小值公式在数学学习中确实是一个很重要的工具。
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例2、当点 ( x, y ) 在圆
2 2
x y 25 上时，
2 2
求 k 3x 4xy 6 y 的最大值与最小 值。
三、 用曲线定义或几何性质求最值 此种题型以选择题或填空题为多数，关键 要对曲线定义及曲线几何性质等概念理解透， 用得活。 例3、已知A（4，0），B（2，2）是
圆的方程.
（97年全国高考题）
例9、已知抛物线的对称轴为y轴，顶点
A的坐标是（0，-1），并且抛物线在x 轴上截得的BC（左B）的长为2，在此 抛物线上取两点P（异于B）、Q，若能 使BP⊥PQ，试求点Q存在范围.
（95上海高考题）
n
五、用二次方程根的判别式求最值 若函数式可变形为要求最值的变量作为另 一个变量二次方程的系数时，一般采用判别 式法求最值.
例8、设圆满足:①截y轴所得弦长为 2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比 为3:1,在满足条件①、②的所有圆中, 求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的
x2 y2 1 25 9
椭圆内的两个点，M是椭圆上
MA MB
的动点，求
的最大值和最小值。
x y 例4、已知双曲线 1的右焦点为 9 16
2
2
F，点A（9，2），试在这个双曲线上求
3 一点M，使 MA 5 MF
的值最小，并求出
这个最小值。
Y M N
B
A
F X
例5、已知直线l：x+y=8，点F1 (4,0) ，
四、利用不等式求最值
x2 y2 2 1(m n 0) 2 m n
例7、设椭圆的方程为 过原点且倾斜角为 和 (0 2 ) 的 两条直线分别交椭圆于A、C和B、D 四点。 （1）用θ,m,n表示四边形ABCD的面积S； （2）若m,n为定值，当θ在 0, 上变化 4 时，求S的最大值u; m （3）如果u>mn，求 的取值范围。
F2 (4,0) ，在l上取一点M，过以
F1 、
F2 为焦点作椭圆，程。
例6、求双曲线x2/25-y2/9=1上与直线x-y3=0距离最小的点的坐标
练习、定长为l(l 2p>0)线段AB的两 个端点在抛物线x 2 py 上移动，求AB
2
的中点M的纵坐标的最小值。
解几中的最值问题
一、用二次函数值域求最值 二次函数y=ax2+bx+c在闭区间内最大值最 小值求法，它在高中数学各分科中应用广泛， 在解析几何最值题型中亦唱主角
（90年高考题）设椭圆的中心 是坐标原点，长轴在x轴上，离心 率
3 e 2
3 ，已知点P(0, ) 到这个椭圆 2
上的点最远距离是 7 ，求这个椭圆 的方程，并求椭圆上到点P的距离等 于 7 的点的坐标。
例1、已知曲线C： y 2 x
2
2 （1）求曲线C上距点A（ ,0 ）最 3
近的点P的坐标及相应的距离 PA ； （2）设B（a,0），a R ，求曲线C
上的点M到点B距离最小值d.
二、用三角函数封闭性求最值 因为圆、椭圆的参数方程都用三角函数表 示，而-1≤sinθ≤1, -1≤cosθ≤1,故当曲线上一点 的坐标用参数表示时，其最大值和最小值就 用正、余弦的封闭性求出.