穿根法解不等式及习题
高三数学不等式解法15个典型例题doc
高三数学不等式解法15个典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一.方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数得系数为正。
使用方法:①在数轴上标出化简后各因式得根,使等号成立得根,标为实点,等号不成立得根要标虚点。
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2－ｘ)3<0(2) 错误!≤1解:(1) 原不等式等价于(x ＋４)(x+5)2(x —２)3＞0(2)根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< １ 3 或＼f( 1 , 2 )【例２】 解不等式:(１)2x 3－x 2—1５x 〉０;(2)(x+4)(x+5)2(2—x)3<0。
【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式得积,则一元高次不等式ｆ(x)＞0(或f(ｘ)＜0)可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根得情况、 解:(1)原不等式可化为x(２ｘ＋５)(x-3)〉0顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(５－1)得阴影部分.(2)原不等式等价于(x+4)(ｘ+5)2(ｘ-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|ｘ＜-5或－５＜ｘ〈—4或x ＞2｝、【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意．．．．．．．．．．．．．．:．①各一次项中．．．．．．x ．得．系数必为正．．．．．;．②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．(．２．)．得解法转化为不含重．．．．．．．．．根得不等式．．．．．,．也可直接用“穿根法．．．．．．．．．",．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．.．其法如图．．．．(5．．－．２．)．.． 二.数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。
(注意:一定要保证x 前得系数为正数)例如:将x^3—2x^2—x+2>0化为(x-2)(x-１)(x+1)＞０第二步:将不等号换成等号解出所有根。
穿根法
典例讲解
例1解下列不等式
（1）
( x 1) 0
3
（2）
( x 1) 0
2
1是实根
1是虚根
1是3重根属于奇穿 解集为： [1,)
1是2重根属于偶切 解集为：(,1) (1,)
典例讲解
( x 1)(x 2) 2 0 例2解不等式 3 ( x 3) (5 x) ( x 1)(x 2) 2 0 解：原不等式可化为： 3 ( x 3) ( x 5)
分式不等式与高次不等式解法
---------------穿根法
沂源二中
吴东平
穿根法解不等式的步骤：
1 、整理：不等式的右端化为零，左端分解因式且 x 的系数都 化为正。 2、标根：令各因式等于零，把根依次标在数轴上， 要注意 实根和虚根的标法。 3、穿根：顺序是从右至左、自上而下依次穿每一根，要注 意：奇重根要穿偶重根要 切。 4、根据图示写出解集。
解集为：
[1,3) (5,)
反馈训练
练习：解下列不等式 （限时4分钟）
( x 2) 2 ( x 3) (1) 0 x 1 ( x 2) 2 ( x 5) (3) 0 x4 ( x 2) 2 ( x 3) (2) 0 x 1 ( x 2) 2 ( x 3) 3 (4) 0 x 1
答案： (1)
(3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1,2) (2,3)
(2)
(4)
(1,3]
(1,2) (2,3)
{x | x 2或4 x 5}
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或(2) 变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2) ≥0根据穿根法如图不等式解集为{x x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}.【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的系．．数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根．．．．．．．．．．的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)x2-4x+13x2-7x+2≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}.(2) 变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2) ≥0根据穿根法如图不等式解集为{x x< 1 3 或 1 2≤x ≤1或x>2}.【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数．．．必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．的解法转化为不含重根的．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(5．．－．2)．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
专题8-数轴穿根法
专题：数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：经由过程不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0.（留意：必定要包管x前的系数为正数）例如：(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根.例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2,x2=1,x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根.例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为尺度,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右跟”上去,一上一下依次穿过各根.第四步：不雅察不等号,假如不等号为“>”,则取数轴上方,穿根线以内的规模;假如不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内的规模.例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解.因为不等号威“>”则取数轴上方,穿根线以内的规模.即：-1<x<1或x>2.穿根法的奇过偶不过定律：“奇穿过,偶弹回”.还有关于分式的问题：当不等式移项后,可能是分式,同样是可以用穿根法的,但是留意,解不克不及让本来分式下面的式子等于0专项练习：1.解不等式0)3)(1)(12(>--+x x x解析：1）一边是因式乘积.另一边是零的情势,个中各因式未知数的系数为正.2）因式)12(+x .)1(-x .)3(-x 的根分离是1-.1.3.在数3）从最大根3的右上方开端,向左依次穿线（数轴上方有线暗示数轴上方有函数图象,数轴下方有线暗示数轴下方有函数图象,此线其实不暗示函数的真实图象）.4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间,为0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集,数轴下方曲线对应的x 的取值区间,为0)3)(1)(12(<--+x x x 的解集.∴不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集为),3()1,21(+∞- . 在上述解题进程中,学生计在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正;为什么从最大根的右上方开端穿线;为什么数轴上方曲线对应的x 的聚集是大于零不等式的解集,数轴下方曲线对应x 的聚集是小于零不等式的解集.2.解不等式0)3()121)(2(32<--+x x x解析：1）一边是因式乘积.另一边是零的情势,个中各因式未知数的系数为正.2）因式)2(+x .2)121(-x .3)3(-x 的根分离为2-.2.3,在数轴上把它们标出（如图2）.3）从最大根3的右上方开端向左依次穿线,次数为奇数的因式的根一次性穿过,次数为偶数的因式的根穿而不过.4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间,为0)3()121)(2(32>--+x x x 的解集,模,为0)3()121)(2(32<--+x x x 的解集. ∴0)3()121)(2(32<--+x x x 的解集为2()2,2( - 数轴标根法.分式不等式.绝对值不等式一.数轴标根法解不等式1.（x-1）（x-2）(x+3)>02. （x-1）（x-2）(x+3)<03. （1- x ）（x-2）(x+1)0≤4.（x- 1）2（x-2）3 (x+1)0≥二． 分式不等式思虑 （1）()()303202x x x x ->-->-与解集是否雷同,为什么？（2）()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否雷同,为什么？ 解：办法1：应用符号轨则转化为一元一次不等式组,进而进行比较.图2办法2：在分母不为0的前提下,双方同乘以分母的平方. 经由过程例1,得出解分式不等式的根本思绪：等价转化为整式不等式（组）：（1）()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅>（2）()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 1.302x x -≥- 2.11≤x 3.2113x x ->+ 4.2232023x x x x -+≤-- 5.()2309x x x -≤- 6.101x x<-< 三.含绝对值的不等式的解法|x|>a(a>0)⇔________________ |x|<a(a>0)⇔________________例3:解下列不等式 1. 312≤-x 2. 0)1(1≥+-x x3.|x 2-2x|>x 2.4.0)1(1>+-x x 巩固演习1. 解不等式222310372xx x x ++>-+ 2. 解不等式3113x x+>-- x x x x 1212->-的解集是4 .（2012 山东理）若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤,则实数k =__________.5. 解不等式（2x- 1）2（x-2）3(x+1)0≥6. 解不等式（3- x ）2（x-2）(x+1) 70≤不等式解法15种典范例题典范例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ;（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 剖析：假如多项式)(x f 可分化为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解,但要留意处理好有重根的情形． 解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 按序标上数轴．然后从右上开端画线按序经由三个根,其解集如下图的暗影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或解释：用“穿根法”解不等式时应留意：①各一次项中x 的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但留意“奇穿偶不穿”,其法如图．典范例题二例 2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ; （2）12731422<+-+-x x x x剖析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时,要留意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ; ②⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f （1）解：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(.（2）解法一：原不等式等价于 027313222>+-+-x x x x 212131><<<⇔x x x 或或,∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋃⋃-∞. 解法二：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋂⋃-∞典范例题三例3 解不等式242+<-x x剖析：解此题的症结是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种办法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ;二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<,是以本题有如下两种解法．解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或,即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x ,故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或． 典范例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 剖析：这是一个分式不等式,其左边是两个关于x 二次式的商,由商的符号轨则,它等价于下列两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-041205622x x x x ,所以,原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-0412,05622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-0412,05622x x x x ⎩⎨⎧<-+<--⇔;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或⎩⎨⎧>-+>--;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x ；⎩⎨⎧<<-<<⇔62,51x x 或⎩⎨⎧>-<><6,2,5,1x x x x 或或 ,51<<⇔x 或2-<x 或6>x ．∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．解法二：原不等式化为0)6)(2()5)(1(>-+--x x x x ．画数轴,找因式根,分区间,定符号．)6)(2()5)(1(-+--x x x x 符号 ∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．解释：解法一要留意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,不然会产生误会．解法二中,“定符号”是症结．当每个因式x 的系数为正值时,最右边区间必定是正值,其他各区间正负相间;也可以先决议含０的区间符号,其他各区间正负相间．在解题时要准确应用．典范例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 剖析：不等式阁下双方都是含有x 的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为0再解．解：移项整顿,将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ． 由012>++x x 恒成立,知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x ． 解之,得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或．解释：此题易消失去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误会法．防止误会的办法是移项使一边为０再解．别的,在解题进程中,对消失的二项式要留意其是否有实根,以便剖析不等式是否有解,从而使求解进程科学合理．典范例题六例6 设R m ∈,解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．剖析：进行分类评论辩论求解．解：当0=m 时,因03<-必定成立,故原不等式的解集为R ．当0≠m 时,原不等式化为0)1)(3(<-+mx mx ;若0>m 时,解得m x m 13<<-;若0<m 时,解得mx m 31-<<． 综上：当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-m x m x 13; 当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x m x31． 解释：解不等式时,因为R m ∈,是以不克不及完整按一元二次不等式的解法求解．因为当0=m 时,原不等式化为03<-,此时不等式的解集为R ,所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情形来评论辩论． 在解出03222=-+mx x m 的两根为m x 31-=,m x 12=后,以为m m 13<-,这也是易消失的错误之处．这时也应分情形来评论辩论：当0>m 时,mm 13<-;当0<m 时,m m 13>-． 典范例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．剖析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类评论辩论求解．解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ,得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ,故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时,1212≤-+≤a a a ,121>++a a ,不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ,不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时,不等式组(1)无解,(2)的解是2a x ≥． 综上可知,当20≤<a 时,原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ;当2>a 时,原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ． 解释：本题分类评论辩论尺度“20≤<a ,2>a ”是根据“已知0>a 及(1)中‘2a x >,1≤x ’,(2)中‘2a x ≥,1>x ’”肯定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点,也是近几年高考的热门．一般地,分类评论辩论尺度（解不等式）大多半情形下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去肯定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．改正错误的办法是闇练控制无理不等式根本类型的解法．典范例题八例8 解不等式331042<--x x ．剖析：先去失落绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可．解答：去失落绝对值号得3310432<--<-x x ,∴原不等式等价于不等式组 ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-325021x x x 或． 解释：解含绝对值的不等式,症结是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等价转化为不等式组,变成求不等式组的解．典范例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．剖析：不等式中含有字母a ,故需分类评论辩论．但解题思绪与一般的一元二次不等式的解法完整一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根,然后写出不等式的解,但因为方程的根含有字母a ,故需比较两根的大小,从而引出评论辩论． 解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．(1)当2a a <（即1>a 或<a ）时,不等式的解集为：{}2a x a x x><或;(2)当2a a >（即10<<a ）时,不等式的解集为：{}ax a x x ><或2;(3)当2a a =（即=a 或1）时,不等式的解集为：{}a x R x x ≠∈且．解释：对参数进行的评论辩论,是根据解题的须要而天然引出的,并不是一开端就对参数加以分类.评论辩论．比方本题,为求不等式的解,需先求出方程的根a x =1,22a x =,是以不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不克不及肯定,是以须要评论辩论2a a <,2a a >,2a a =三种情形．典范例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．剖析：按照一元二次不等式的一般解法,先肯定系数c 的正负,然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．解：(解法1)由题可断定出α,β是方程02=++c bx ax 的两根,∴ab -=β+α,ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x,解释0<a ．而0>α,0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ,∴0022<++⇔>++ca x cb x a bx cx ．∴2<++ca x cb x ,即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x , 即0)1)(1(<β-α-x x ．又β<α<0,∴β>α11,∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x． (解法2)由题意可断定出α,β是方程02=++c bx ax 的两根,∴ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x,解释0<a ．而0>α,0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ．对方程02=++a bx cx 双方同除以2x 得0)1()1(2=+⋅+⋅c xb xa ．令xt 1=,该方程即为02=++c t b t a ,它的两根为α=1t ,β=2t ,∴α=11x ,β=21x ．∴α=11x ,β=12x ,∴方程02=++a bx cx 的两根为α1,β1．∵β<α<0,∴β>α11．∴不等式2>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ． 解释：(1)万变不离其宗,解不等式的焦点等于肯定首项系数的正负,求出响应的方程的根;(2)联合应用韦达定理,本题中只有α,β是已知量,故所求不等式解集也用α,β暗示,不等式系数a ,b ,c 的关系也用α,β暗示出来;(3)留意解法2顶用“变换”的办法求方程的根．典范例题十二例12 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ,求a .b 的值．剖析：不等式本身比较庞杂,要先对不等式进行同解变形,再根据解集列出关于a .b 式子．解：∵043)21(122>++=++x x x ,043)21(122>+-=+-x x x ,∴原不等式化为0)()2(2>-++--+b a x b a x b a ．依题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=-+->-+34231202b a b a b a b a b a ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2325b a ． 解释：解有关一元二次方程的不等式,要留意断定二次项系数的符号,联合韦达定理来解．典范例题十三例13 不等式的解集为{}21<<-x x,求a 与b 的值．剖析：此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为{}21<<-x x,不等式022<-+bx ax 需知足前提0>a ,0>∆,022=-+bx ax 的两根为11-=x ,22=x ．解法一：设022=-+bx ax 的两根为1x ,2x ,由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+a x x a b x x 22121由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=-+-=-21221aab∴1=a ,1-=b ,此时知足0>a ,0)2(42>-⨯-=∆a b ． 解法二：结构解集为{}21<<-x x的一元二次不等式：0)2)(1(<-+x x ,即022<--x x ,此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式,故需知足：2211--=-=b a ∴1=a ,1-=b ． 解释：本题考核一元二次方程.一元二次不等式解集的关系,同时还考核逆向思维的才能．对有关字母抽象问题,同窗往往控制得不好．典范例题十四例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．剖析：本题考核一元一次不等式与一元二次不等式解法,因为含有字母系数,所以还考核分类思惟． 解：分以下情形评论辩论(1)当0=a 时,原不等式变成：01<+-x ,∴1>x (2)当0≠a 时,原不等式变成：0)1)(1(<--x ax ①①当0<a 时,①式变成0)1)(1(>--x ax ,∴不等式的解为1>x 或ax 1<． ②当0>a 时,①式变成0)1)(1(<--x ax ． ②∵aa a-=-111,∴当10<<a 时,11>a,此时②的解为ax 11<<．当1=a 时,11=a,此时②的解为11<<x a．解释：解本题要留意分类评论辩论思惟的应用,症结是要找到分类的尺度,就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数a 的聚集的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏．别的,解本题还要留意在评论辩论0<a 时,解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变成正数再求解．典范例题十五例15 解不等式x x x ->--81032．剖析：无理不等式转化为有理不等式,要留意平方的前提和根式有意义的前提,一般情形下,)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =,而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ． 解：原不等式等价于下面两个不等式组：①⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-222)8(103010308x x x x x x 由①得⎩⎨⎧-≤≥>258x x x 或,∴8>x 由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.1374258x x x x 或81374≤<x ,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x或,即为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x ．解释：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解,留意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f , 这里,设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x xA 81032,则所求不等式的解集为A的补集A,由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ．即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或,∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。
3.2.2数轴穿根法及分式不等式
4、解不等式 ( x 1)( x 2) 0 ( x 1)( x 3)
解：原不等式等价于(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0，将方程 (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0的根-1,1,2,3标在数轴上，从右到左 画出示意图，
∴原不等式的解集是{x|-1<x<1或2<x<3}
解 ： 因 为 关 于x的 不 等 式a x 1的 解 集 是{ x | x 0},
a 1， 又∵ loga ( x 2 4x 4) 0,
x2 4x 4 0
x2
4x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
1
解 得1 x 2或2 x 3
原 不 等 式 的 解 集 是{ x | 1 x 2或2 x 3}
数轴标根法
复习：解一元二次不等式的一般步骤 （1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大 于零； （2）计算相应的判别式； （3）当△>0时，求出相应的一元二次方程的两个 根； （4）画出相应二次函数的草图； （5）根据函数图像写出一元二次不等式的解集。
记忆口诀： (前提a>0). 大于取两边，小于取中间
① 当a 1时
a f (x) a g(x) f ( x) g( x);
f (x) 0
loga
f ( x) loga
g(
x)
g(x) 0
f ( x) g( x)
② 当0 a 1时
a f (x) a g(x) f ( x) g( x);
f (x) 0
loga
f ( x) loga
g(
x)
g(x) 0
f ( x) g( x)
1、求y log 1 (2x 2 x)的定义域 __________
不等式解法种典型例题
或 或 .∴原不等式解集是 .
解法二：原不等式化为 .画数轴，找因式根，分区间，定符号.
符号
∴原不等式解集是 ．
说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解.解法二中，“定符号”是关键.当每个因式 的系数为正值时,最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间;也可以先决定含０的区间符号,其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
解：(解法1)由题可判断出 ， 是方程 的两根,
∴ ， ．又 的解集是 ，说明 .
而 , ，∴ ．
∴ ,即 ,即 .
又 ，∴ ,∴ 的解集为 .
(解法2)由题意可判断出 , 是方程 的两根,
∴ ．又 的解集是 ,说明 .
而 , ．
对方程 两边同除以 得 ．
令 ,该方程即为 ，它的两根为 , ,
∴ ， .∴ , ，∴方程 的两根为 ， ．
典型例题八
例8解不等式 ．
分析:先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得 ,
∴原不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为 ．
说明：解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解.
典型例题九
例９解关于 的不等式 .
∵ ，∴ ．∴不等式 的解集是 ．
说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根；(２)结合使用韦达定理,本题中只有 ， 是已知量，故所求不等式解集也用 ， 表示，不等式系数 ， , 的关系也用 ， 表示出来;（3)注意解法２中用“变换”的方法求方程的根.
解法一：原不等式 ，即
穿根法解不等式的原理步骤和应用范例
穿根法解不等式的原理步骤和应用范例穿根法是一种用于解不等式的方法。
其基本原理在于，通过将不等式的两边加减同一个值，使得不等式左边的平方根消失，从而简化不等式的形式。
穿根法常用于解二次不等式，特别是当不等式的左边为一个完全平方时。
以下是穿根法解不等式的步骤：1.将不等式转化为一个完全平方的形式。
如果不等式的左边不是一个完全平方，则需要对其进行平方操作，使其成为一个完全平方。
2.对不等式的两边取平方根。
根据平方根的性质，在不等式中同时取平方根并不改变不等号的方向。
3.根据取平方根的结果，得到不等式的解。
在取平方根后，需要根据不等号的方向确定不等式的解集。
以下是穿根法解不等式的应用范例：范例1:解不等式x^2-7x+12>0首先，将不等式转化为一个完全平方的形式。
通过将不等式左边进行因式分解，得到(x-3)(x-4)>0。
接下来，我们需要确定不等式(x-3)(x-4)>0的解集。
可以通过穿根法的步骤进行求解。
1.首先，我们观察到(x-3)(x-4)是一个二次函数的乘积形式，其中一个因子是(x-3)，另一个因子是(x-4)。
这两个因子之间有一个转折点，当x>4时，(x-3)(x-4)>0；当3<x<4时，(x-3)(x-4)<0；当x<3时，(x-3)(x-4)>0。
2.接下来，我们对(x-3)(x-4)取平方根。
注意到我们对一个乘积进行取平方根，即√[(x-3)(x-4)]。
3.因为√[(x-3)(x-4)]与(x-3)(x-4)的符号相同，我们可以直接对(x-3)(x-4)>0进行解析求解。
我们发现，当x>4时或x<3时，(x-3)(x-4)>0。
因此，通过穿根法，我们得到x>4或x<3是原不等式的解。
首先，我们将不等式转化为一个完全平方的形式。
通过将不等式左边进行因式分解，得到(2x+1)(x-3)≤0。
习题 三角函数公式-带习题
“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
奇过偶不过就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。
向量三点共线定理——在平面中，A、B、C三点共线的充要条件是：OA= X³OB + Y³OC （O为平面内任意一点，OA、OB、OC为平面向量），其中X + Y=1。
三角函数公式巩固●重点记忆：1.两角和与差的三角函数.（1）cos(α±β)=βαβαsin sin cos cos ； （2）sin(α±β)=βαβαsin cos cos sin ±；（3）tan(α±β)= βαβαtan tan 1tan tan ±. 2.倍角公式.(1)sin2α=2sin αcos α; 2)cos2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α=cos 2α－sin 2α；(3)tan2α=αα2tan 1tan 2-.3.半角公式. (1)sin =2α2cos 1α-±; (2)cos 2α=2cos 1α+±；（3）tan 2α=ααcos 1cos 1+-±. 4、积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/25、和差化积公式：sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sin θ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]【例1】 已知2π<β<α<43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin 2α值. 【解前点津】 进行“角变形”.用α+β及α－β的形式表示2α,就能与条件对上号!【解答归纳】 应用三角公式，为了与条件对上号，掌用的变形手段有：①变角，(本题就是对角进行变形).②变名，(改变函数名称).③变式，(改变式子结构).【例2】 已知－22,22πβππαπ<<-<<,且tan α,tan β是方程x 2+6x +7=0的两个根，求α+β的值.【解前点津】 先计算tan(α+β)的值及α+β的取值范围,再确定α+β值.【解后归纳】 考察α+β的取值范围,是一项精细的工作，要善于综合利用“各种信息”，去伪存真，从而达到“准确定位”.【例3】 已知sin α+sin β=22,求cos α+cos β的取值范围. 【解前点津】 令m =cos α+cos β,利用条件,构造关于m 的方程.【解后归纳】 本题的解答体现了“方程思想”构造方程,并利用三角函数的有界性，是解题的基本思路. ●对应训练一、基础夯实1.已知sin α²sin β=1,那么cos(α+β)的值等于 ( )A.－1B.0C.1D.±12.若A ,B 是△ABC 的内角，并且(1+tan A )²(1+tan B )=2,则A +B 等于 ( ) A.4πB.43πC.45πD.4ππ+k (k ∈Z )3.若0<α<2π<β<π,且cos β=－31,sin(α+β)=97,则sin α的值是 ( ) A.271B.275C.31D.27234.在△ABC 中，若sin A ²sin B <cos A ²cos B ,则三角形的外心位于 ( )A.三角形外部B.三角形内部C.三角形边上D.不能确定5.在锐角三角形ABC 中,若tan A +tan B >0,则tan A ²tan B 的值是 ( )A.大于1B.小于1C.可能等于1D.与1的大小关系不定6.已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos=0,则cos(β－γ)= ( )A.－21B. 21C.－1D.17.若tan α=3,0tan 22tan tan 3,221=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ββαα、β∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,则α+β=( ) A.6πB.3πC.2πD.32π8.如果tan n mA=2,那么m ²cos A －n ²sin A = ( )A.nB.－nC.－mD.m 9.tan 12cot 12ππ+的值为 ( )A.2B.3C.4D.6二、思维激活10.计算:=-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--ααπαπαcos 33sin 24sin 2cos 2 .11.已知:sin α=31,2π<α<3π,则sin 2cos 2αα+= .12.已知0<α<π,化简:αααααcos 222cos 2sin )cos sin 1(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙++= . 13.函数y =sin x ²⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+2tan tan 1x x 的最小正周期是 . 三、能力提高14.已知1+sin x +cos x +sin2x +cos2x =0,求tan x .15.已知4sin 2x －6sin x －cos 2x +3cos x =0,求:)2tan 1()2cos 1(2sin 2cos x x x x -∙--之值. 16.求sin10°²sin50°²sin70°的值.17.在△ABC 中，tan B +tan C +3tan B ²tan C =3.且3tan A +3tan B +1=tan A ²tan B , 试判断△ABC 的形状.。
高一数学不等式解法经典例题
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典型例题一
例1解不等式：（1）015223x x x
；（2）0)2()5)(4(32x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(x f （或0)(x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
解：（1）原不等式可化为
0)
3)(52(x x x 把方程0)3)(52(x x x 的三个根3,25,0321x x x 顺次标上数轴．然后从右上
开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．
∴原不等式解集为
3
025x x x 或（2）原不等式等价于2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x
x x x x
x x
x 或∴原不等式解集为2
455x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或
奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”
，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．
典型例题二
例2 解下列分式不等式：
（1）22
123
x x ；（2）1
2731422
x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()
(或x g x f 时，要注意它的等价变形。
专题数轴穿根法
专题：数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x 前的系数为正数）例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2，x 2=1，x 3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
穿根法的奇过偶不过定律： “奇穿过，偶弹回”。
还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0 专项训练：1、解不等式0)3)(1)(12(>--+x x x解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。
2）因式)12(+x 、)1(-x 、)3(-x 的根分别是1-、1、3。
在数轴上把它们标出（如图1）。
3）从最大根3图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。
4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集，数轴下方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(<--+x x x 的解集。
∴不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集为),3()1,21(+∞- 。
在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为什么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应的x 的集合是大于零不等式的解集，数轴下方曲线对应x 的集合是小于零不等式的解集。
一元二次不等式的经典例题
例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”.典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ② 0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例3 解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．典型例题四例4 解不等式04125622<-++-xx x x ． 分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-041205622x x x x 所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解． 说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解． 说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．分析：进行分类讨论求解．典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2a x >，1≤x ’，(2)中‘2a x ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．例8 解不等式331042<--x x ．分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可． 说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例12 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a 、b 式子．说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．典型例题十三例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为{}21<<-x x ，不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>∆，022=-+bx ax 的两根为11-=x ，22=x ．说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十四例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十五例15 解不等式x x x ->--81032．分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ． 说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ，。
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穿根法解不等式穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。
然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。
现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。
一、原理穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0）的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。
在穿根法中我们引入序轴的概念。
序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。
（一）一次不等式标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0）我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。
所以可以如图标注，图中+、- 用以表示f(x)=x-x1的符号。
我们还可以以动态的思想来考察该问题。
当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。
由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。
（二）二次不等式标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或<0）(1) x1≠x2时，不妨设x1<x2将f(x)=0的二根x1、x2标在序轴上，则可以发现：处于(-∞, x1)，(x2,+∞)内的点满足f(x) >0，处于(x1,x2)内的点满足f(x) <0。
当我们动态考察该问题时，我们也可以发现：当点x=a在x2右方时，x-x1、x-x2均正，故有f(x) >0；而当点x=a从x2右侧移动到左侧时，x-x2变为负值，而x-x1符号不变，所以有f(x)必然变号，此时由正变负；而再当点x=a从x1右侧移动到左侧时，x-x1由正变负，而x-x2符号不变，所以f(x)又一次变号，此时由负变正。
总之，无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注。
(2) x1=x2时，即形如f(x)=(x-x1)2时显然，(-∞,x1)与( x1 ,+∞)都是f(x) >0的解。
而若动态的考察此问题，则有点x=a 从x1右侧移动向左侧移动时，由于平方项内的x-x1由正到0又到负，所以f(x)经历了由正到0又回到正的过程。
故而f(x)在x1两侧符号同正，只有在x=x1处为0。
（三）高次不等式标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0），x1≤x2≤……≤x n(1)x1<x2<…<x n时动态考察f(x)的符号，则有当点x=a在x n右方时，x-x i (i=1,2,…,n)均大于0，故而f(x) >0；而当点x=a从x n右侧移动到左侧时，x-x n符号变化，而其余任一x-x i均不变号，所以有f(x)由正变负；类似可得：对任一i，当点x=a从x i右侧移动到左侧时，x-x i符号变化，而其余每个x-x j(j≠i)都不变号，所以有f(x)必然变号，或由正变负，或由负变正。
就这样，由于每过一个x i都恰有一个因式x-x i变号，所以我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根的线，这正是穿根法的原理和名称由来。
(2)x1≤x2≤……≤x n且有等号成立时其标准形式可写为f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2…(x-x n) mn >0 （或<0），x1<x2<…<x n , m i∈N*(i=1,2,…,n)当点x=a在x n右方时，所有x-x i (i=1,2,…,n)均为正，故而f(x)为正。
而每当x=a从x i右侧移动到x i左侧时，若m i为奇，则(x-x i)mi 由正变负，f(x)符号改变；而若m i为偶，则(x-x i) mi符号不变，f(x) 符号也不变，原正仍为正，原负仍为负。
这里值得一提的是，每当x=x i 成立，即有f(x)= 0。
所以，使用穿根法当遇到m i为奇，则穿根线在根x i穿过序轴；当遇到m i为偶，则穿根线与根x i接触即回，好像被序轴弹了回去。
此称为“奇穿偶回”。
二、步骤（一）一元高次不等式对于不等式f(x) >0，其中f(x)为x的高次多项式，用穿根法解的步骤如下：（1）整理——原式化为标准型把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2…(x-x n) mn >0（或<0），m i∈N*(i=1,2,…,n)（2）标根——在序轴上标根将f(x)=0的n个不同的根x1,x2,……x n按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。
（3）画线——画穿根线从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，作为穿根线。
遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”。
（4）选解——写出解集如例图，在序轴上方的曲线对应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)<0解集。
（二）分式不等式一、先将不等式整理成f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的形式，其中，f(x)、g(x)为整式。
二、f(x)/g(x)>0 f(x)·g(x)>0 f(x)/g(x)<0 f(x)·g(x) <0即将分式不等式转化为整式不等式再处理。
（三）含等号的整式、分式不等式对于整式不等式，要注意写解集时将各个根包括进去。
一般只需将开区间符号改为闭区间符号，同时注意必要时合并区间。
对于分式不等式，尤其要注意分母非0。
f(x)/g(x)≥0 ·g(x)≥0 且g(x)≠0f(x)/g(x)≤0 f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0这样就要求在标根时，将能够使不等式成立的根标为实点，否则标为虚点。
（四）注意分式不等式和高次不等式在化简时每一步变形都应是不等式的等价变形。
对于变形中出现的形如x2+px+q=0的因式，若其△≥0，则继续分解。
若△<0，则直接消去，因为此时该式恒大于0。
三、应用范例例1解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0具体步骤：1 将(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)=0的根记入演算数据区。
其中，由于1是偶次根，在其下加一点以区别于其它奇次根。
2 画有向直线作为序轴，在序轴上由小到大、由左到右标根。
每标一根，在数据区相应根下打一标记表示已取。
标偶次根时，在序轴该根位置上方或下方加一点，即偶次根标重（cong）点。
3 从最大根2的右上方开始画穿根线，首先让线穿过根2，当接着到1时，由于1是偶次根，附近有重点，故线被弹回。
然后线又依次穿过根-1和-4。
如图。
4穿根线与序轴围成的区域，序轴上方标“+”号，表示f(x)在该区间取正值。
序轴下方标“-”号，表示f(x)在该区间取负值。
5 所有的根均不能使不等式成立，故各根均标上虚点。
6 写出解集，一般用区间方式列出。
解：用穿根法作图如右，可知原不等式解集为：(-∞,-4)∪(-1,1)∪(1,2)例2解不等式：(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-2)≤0解：用穿根法作图如右。
（注意“奇穿偶回”，每个根都标为实点。
）可知原不等式解集为：(-∞,-2]∪{-1}∪[1,2]说明：也可将原不等式转化为(x+2)(x+1)2(x-1)(x-2)≤0以后，再用穿根法做。
例3解不等式：(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)>120解：将原不等式变形：[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]-120>0(x2-5x+4)(x2-5x+6)-120>0(x2-5x)2+10(x2-5x)-96>0(x2-5x+16)(x2-5x-6)>0(x2-5x+16)(x-6)( x+1)>0∵x2-5x+16恒大于零，于是得与原不等式同解的不等式(x-6)( x+1)>0对此也可用穿根法解决，如图所以，原不等式的解集是：(-∞,-1)∪(6,+∞)例4解不等式：(3x-5)/( x2+2x-3) ≤2解：原不等式(3x-5-2x2-4x+6)/(x2+2x-3)≤0(2x2+4x-6-3x+5)/(x2+2x-3)≥0(2x2+x-1)/(x2+2x-3)≥0(x+1)(2x-1)/(x+3)(x-1)≥0(x+1)(2x-1)(x+3)(x-1)≥0 且(x+3)(x-1)≠0如图，用穿根法，注意区分实点和虚点，可得原不等式解集为：(-∞,-3)∪[-1，1/2]∪(1,+ ∞)例5解关于x的不等式：(x-1)(x-t)<0解：1) t<1时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：(t,1) 2）t=1时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：3）t>1时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：(1,t)例6 若a≠±1，解关于x的不等式(x-a)/(x+1)(x-1)≤0解：1) a<-1时，如图用穿根法，∴原不等式解集为：(-∞,a)∪(-1,1)2）-1<a<1时，如图用穿根法，∴原不等式解集为：(-∞, -1)∪[a,1)3）a>1时，如图用穿根法，∴原不等式解集为：(-∞, -1)∪(1, a]说明：解整式、分式不等式注意事项，可记以下口诀：移项调号，分解排序，奇穿偶回，分母非零，参数讨论，小心等号。
习题：1、 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x 解下列分式不等式：2、 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 3、 解不等式242+<-x x4、 解不等式04125622<-++-x x x x 5、 解不等式x x x x x <-+-+222322。