清华大学微积分高等数学课件第1讲函数
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《微积分》(上下册) 教学课件 01.第1章 函数、极限、连续 高等数学第一章第9-10节
12
定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续 下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
13
例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察 各 极 限
lim sin x x0 x
定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续 下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
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例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察 各 极 限
lim sin x x0 x
清华微积分高等数学课件第一讲函数
理等。
在清华，微积分课程是理工科学生的必修课，对于培养学生的
03
逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
课程目标
01
掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性、 可微性、积分等。
02
学会运用微积分的方法解决实际问题，提高分析问 题和解决问题的能力。
03
培养学生对微积分的兴趣和热爱，为后续学习打下 坚实的基础。
通过选取一定数量的x值，计算对应的 y值，然后在坐标纸上标出这些点，再 用直线连接这些点。这种方法适用于 绘制简单的函数图像。
计算机绘制
使用数学软件或编程语言，如Matlab、 Python等，可以快速绘制函数的图像， 并可以自定义坐标轴范围、刻度等参 数。
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。平移变换包括左移和右 移、上移和下移。
02 函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中的基本概念，用于描述两个集合之间的映射关 系。
详细描述
函数是建立在两个数集之间的一种对应关系，对于数集A中的每 一个元素x，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素y与之 对应。
函数的表示
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、 表格法和图象法。
详细描述
解析法是用数学表达式表示函数关系， 是最常用的一种表示方法；表格法是 用表格列出函数值，便于查找和计算； 图象法则是通过绘制函数图像来表示 函数关系。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内的取值范围有限；单调性是指函数在某一区间内的增减性；周期性是指函数按照一 定周期重复的特性；奇偶性则是指函数图像关于原点或y轴的对称性。
清华大学微积分课件(全)x66_ppt课件
3 d ) rdr 0(r 1 2
1 2
D
11
[解法2] 利用Gauss公式
补上底面 S 1:
S : z 1 x y
2
2 2
2
z 0 , x y 1
xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy S
S
1
z
n
y
SS 1
o
n1
D xy
D xy
Z dx ^ dy 0 Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 2 )
1
S3
同理可证
Z Zdx ^ dy dV 比较 ( 1 ) 式与 (2 ) 式 ,可以得到 z S
X Xdy ^ dz dV , x S
S3
n
Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 1 ) 1
2018/11/16
D xy
9
另一方面,曲面积分
S外
Zdx ^ dy Zdx ^ dy Zdx ^ d Zdx^ dy
S 1 S 2 S 3
[注意] Z [x ,y ,z ( x , y )] dxdy 2
z
n
y
T 2 2 v ( x ,y , z ), dS 1 4 x 4 y d o D xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy
S
2 2 x v ndS (x y 1 ) d
S 2
0
2018/11/16
2若 向 向 曲 量 面 场
定1 理 ： 设 为空间有 ,其 界 边 S 是 闭 界 分 域
微积分第一课(函数极限).
x
须注意的几点:
(1)上面三类函数的极限, 它们的 定义须满足一定条件, 也就是 :
X的变化趋势 函数的定义域
x
x x
( m , ) ( , m ) ( , )
这就要求我们, 在求这三类函数极限 时, 一定要注意了函数的定义域. 1 如 : f ( x) 的定义域为x 0, 有 3x 1 1 lim 0, 而 lim 不存在. x x 3x 3x 1 当然 lim 也就不存在了. x 3x
-1000 -0.001
-10000 -0.0001
-100000 -0.00001
… …
6
1 fx = x
4
2
-5
5
10
-2
-4
-6
当自变量x取负值并且绝对值无限 增大时，如果函数f ( x)无限趋近于一 个常数a, 就说当x趋向于负无穷大时， 函数f ( x)的极限是a, 记作： lim f ( x) a,
今天我们要讨论的是函 数的" 单侧" 极限, 即自变量x只能从表示x0的点 的一侧无限趋近于x0时函数f ( x )的 极限.
先考虑函数 x 1 y f ( x) 0 x 1 当x 0时的极限.
(当x 0时) (当x 0时) (当x 0时)
3
2
1
-4 -2
x x0
lim f ( x) a, 也可记作： lim f ( x)也叫做函数f ( x)在点x x0
当x x0时，f ( x) a.
x x0
处的极限。
须注意的几点： （ 1 ）x x0时，函数f ( x)的极限，是函数 f ( x)在x0处的局部性质。 （2）定义中，“自变量x无限趋近于x0 " 并不要求函数在x x0处一定有意义， 这里包含两点：第一，x趋近于一个定 点x0的极限 lim f ( x) a是从x趋近于
须注意的几点:
(1)上面三类函数的极限, 它们的 定义须满足一定条件, 也就是 :
X的变化趋势 函数的定义域
x
x x
( m , ) ( , m ) ( , )
这就要求我们, 在求这三类函数极限 时, 一定要注意了函数的定义域. 1 如 : f ( x) 的定义域为x 0, 有 3x 1 1 lim 0, 而 lim 不存在. x x 3x 3x 1 当然 lim 也就不存在了. x 3x
-1000 -0.001
-10000 -0.0001
-100000 -0.00001
… …
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1 fx = x
4
2
-5
5
10
-2
-4
-6
当自变量x取负值并且绝对值无限 增大时，如果函数f ( x)无限趋近于一 个常数a, 就说当x趋向于负无穷大时， 函数f ( x)的极限是a, 记作： lim f ( x) a,
今天我们要讨论的是函 数的" 单侧" 极限, 即自变量x只能从表示x0的点 的一侧无限趋近于x0时函数f ( x )的 极限.
先考虑函数 x 1 y f ( x) 0 x 1 当x 0时的极限.
(当x 0时) (当x 0时) (当x 0时)
3
2
1
-4 -2
x x0
lim f ( x) a, 也可记作： lim f ( x)也叫做函数f ( x)在点x x0
当x x0时，f ( x) a.
x x0
处的极限。
须注意的几点： （ 1 ）x x0时，函数f ( x)的极限，是函数 f ( x)在x0处的局部性质。 （2）定义中，“自变量x无限趋近于x0 " 并不要求函数在x x0处一定有意义， 这里包含两点：第一，x趋近于一个定 点x0的极限 lim f ( x) a是从x趋近于
大一高数上-PPT课件
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-aBiblioteka |<}。O a- a a+ x
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二、函数的概念
1. 常量与变量 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不
同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同 一数值，这种量叫做常量。
还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。
理论性更强 概念更复杂 表达形式更加抽象 推理更加严谨
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因此在学习高等数学时，应当认真阅读 和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象 的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内 涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确 领会一些重要的数学思想方法，另一方面也 要培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习 题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且 也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想 方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能 认为，只要做了题，就算学好了数学。
精品课件
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以 下显著特点：
＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞ 同济大学编（同济大学出版社）
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大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
2019高等数学课件第1章 微积分-函数.ppt
a
2
(2) a a a
(3)K 0 : a ()K K ()a () K a () K a () K 或a () K
(1) a b a b
4)运算性质：
(三角不等式)
(2) a b a b a b
即a b ab a b
x 无界
y=f(x)
o -M o
x0
X
定义2：设函数f ( x )在集合D内有定义，若A（或B )，使x D， 都有 f ( x ) A(或f ( x ) B )成立，则称f ( x )在D内有上界
-M
（或有下界），也称f ( x )是D内的有上界(或下界)的函数。
有界函数 有上界和下界的函数
实数集：全体实数组成的集合，记 R 数轴：具有原点、正方向和单位长度的直线
数轴上的全体点( 数 全体实数
一一 对应
微积分--函数
a 3
点
a 3
)
7
2.实数的性质
1)连续性(充满数轴，无空隙) 2)稠密性(任两不等实数间既有有理数,又有无理数) 3)有序性(有大小顺序) 4)对四则运算封闭
(3) a b a b
a a (4) (b 0) b b
微积分--函数 9
1.2 常用实数集
N Z Q R.
1. 自然数集N; 整数集Z; 有理数集Q; 实数集R 2.区间: a, b R, 且a b. : 任意给定( Arbitrary) { x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
微积分 经济类高等数学 线性代数 概率论与数理统计
微积分： 极限论 一元积分学
一元微分学 多元微分学 级数论
[理学]清华大学微积分课件全x
![[理学]清华大学微积分课件全x](https://img.taocdn.com/s3/m/cbaf741767ec102de3bd8910.png)
最大、最小值.
f ( 1) 2,
1 13 f( ) 2 2 8
13
2018/11/20
fmax f (0) 0,
fmin f (1) 2
[例4] 要做一个容积为V0的圆柱形无盖 铁桶,问底半径与高的比例为 多少 时, 用料最省？
[解] 设底半径为r ,高为h, 所需铁皮面积为
2018/11/20 23
f ( x ) f ( x1 ) f (1 ) x x1
f ( x ) f ( x2 ) f ( 2 ) x x2
由已知, 有f (1 ) f ( 2 )
因此有 f ( x ) f ( x1 ) f ( x ) f ( x2 ) x x1 x x2
2V0 S r (0 r ) r 3 2V0 2 r 2V0 令 S ( r ) 2 r 2 0 2 r r
2
2018/11/20
得唯一驻点 r1 3
V0
14
从问题的实际意义知道 , S ( r )的最小值 必存在.
又
r 0
lim S ( r ) ,
2 d , 所以有 3
d : h : b 3 : 2 :1
这就是说, 把直径三等分, 在 等分点作垂线交圆于一 点, 作 这点与直径两端点的连 线, 即为
2018/11/20
所求.
18
二、函数的凸性
（一） 凸性定义及性质
设函数 f ( x ) : [a , b] R. 如果 x1 , x 2 [a , b], 不等式 f (1 x1 2 x 2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x 2 ) 对于满足 1 2 1 的任意非负实数1和 2 都成立, 则称 f 在 [a , b] 上为下凸 函数. 如果 f (1 x1 2 x 2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x 2 ) 则称 f 在 [a , b] 上为上凸函数.
清华大学微积分课件(全x5
11
f ( x0 x ) f ( x0 ) 左导数 lim f ( x0 ) x 0 x f 在 x0 左可导 f ( x0 x ) f ( x0 ) 右导数 lim f ( x0 ) x 0 x f 在 x0 右可导 定理： 函数 f 在点 x 0 可导 f 在 x0 的
即 f ( x )在点 x0 可微, 且A( x0 ) f ( x0 )
2013-7-28 17
[证] (2) 设函数 f ( x )在点 x0可微
f ( x0 ) A( x0 ) x o(x )
(x 0)
f ( x 0 ) f ( x0 ) lim x 0 x A( x0 )x o( x ) lim A( x0 ) x 0 x
0
[注意1] 当确定点 x0 时, 微分df ( x0 )是
x x x0 的线性函数 .
[注意2] 当x很小时, 微分df ( x0 ) 可作为 增量f ( x0 ) 的近似值, 其误差
f ( x0 ) df ( x0 )
是x的高阶无穷小.
2013-7-28
微分是增量的“线性主部”
20
y x
o
2013-7-28
尖点
x
21
[例] 研究 f ( x ) x 在 x 0 的可导性
y f ( 0 x ) f ( 0) ( x ) 1 [解] x x x ( x ) y 1 lim lim 2 x 0 x x 0 ( x ) 3
当 x 很小时,
y dy 即
在点x 0附近 , 用切线近似代替 曲线 — “以直代曲” .
2013-7-28 26
清华微积分(高等数学)课件--微积分(一)小结-PPT课件
(1)两个连续函数经有限次四则运算
和复合得到的新函数仍是连续函数。
x ) C [ a ,b ] (2)若函数 f( ，则有以下重
要定理： 1）有界定理 2）根值定理（零点定理） 3）介值定理
2019/3/11 13
4）最值定理
3.初等函数在其定义区间上是连续的
要求
(1)会利用初等函数的连续性求函数 的极限。 (2)掌握连续函数的性质，并能够运 用它们分析证明简单的问题。
2019/3/11
不存在
7
搞清以下关系
（ 1 ） lim f(x )A
x x 0
f(x )A (x ), lim (x ) 0 .
x x 0
1 ( 2 ) lim ( x ) 0 lim . x x x x 0 0 ( x ) ( 3 ) ( x ) ~ ( x ) ( x ) ( x )
有定义 .如 果 当 “ x 无限趋于 x0时 ”， 其 对 的常数 A， 则 称 A是 当 x趋 于 x0 时,函 数 f ( x )的 极 限 , 记作 lim f ( x ) A
应 的 函 数f 值 ( x“ ) 无限趋于”一个 定确
或 f ( x ) A ( x x ) 0
2019/3/11 4
2019/3/11 11
三.连续函数
1.定义 若 f (x)在 x 的邻域中有定义， 0
x x 0
limf (x) f (x 则称 f (x)在 x 点连续 0), 0
要求
(1)能叙述两种函数在 x 0 连续的等价定义.
(2)会确定间断点及其类型.
2019/3/11 12
2.连续函数的性质
2019/3/11 9
和复合得到的新函数仍是连续函数。
x ) C [ a ,b ] (2)若函数 f( ，则有以下重
要定理： 1）有界定理 2）根值定理（零点定理） 3）介值定理
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4）最值定理
3.初等函数在其定义区间上是连续的
要求
(1)会利用初等函数的连续性求函数 的极限。 (2)掌握连续函数的性质，并能够运 用它们分析证明简单的问题。
2019/3/11
不存在
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搞清以下关系
（ 1 ） lim f(x )A
x x 0
f(x )A (x ), lim (x ) 0 .
x x 0
1 ( 2 ) lim ( x ) 0 lim . x x x x 0 0 ( x ) ( 3 ) ( x ) ~ ( x ) ( x ) ( x )
有定义 .如 果 当 “ x 无限趋于 x0时 ”， 其 对 的常数 A， 则 称 A是 当 x趋 于 x0 时,函 数 f ( x )的 极 限 , 记作 lim f ( x ) A
应 的 函 数f 值 ( x“ ) 无限趋于”一个 定确
或 f ( x ) A ( x x ) 0
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三.连续函数
1.定义 若 f (x)在 x 的邻域中有定义， 0
x x 0
limf (x) f (x 则称 f (x)在 x 点连续 0), 0
要求
(1)能叙述两种函数在 x 0 连续的等价定义.
(2)会确定间断点及其类型.
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2.连续函数的性质
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高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
清华大学微积分高等数学课件第1讲函数
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
(1
x1
2
x2
x1
)
1 2 1
Y ( x) 1 f ( x1 ) 2 f ( x2 )
2019/9/4
25
（一） 凸性定义：
设函数 f ( x) : [a, b] R. 如 果 x1, x2 [a, b], 不 等 式
2019/9/4
不定积分 定积分概念与计算 积分学应用
10
第一讲 函数
一、予备知识
二、函数概念
三、函数的初等性质
四、复合函数与反函数
五、初等函数
2019/9/4
11
一、予备知识
1. 常用的数的集合
N {0，1，2,，n,} 自然数集
Z {0， 1， 2,， n,} 整数集
Q { p p, q为 互 质 的 整 数} 有理数集 q
• 珍惜时光
• 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术
• 学会自学 学会向书本、老师、周围学
尝试研究性的学习方法：
提出问题、研究问题、解决问题
注重持续性学习：
有计划地安排学习
2019/9/4
7
（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
抽象性 （研究对象）
演绎性 广泛性
（论证方法）
假设
结论
logic
（应用）
xx
f (2t 1) 2(2t 1)2 1
例: y x与y x2 x
2019/9/4
定义域不同， 表 示 的 是 不 同 的 函16 数
三、函数的初等性质
1. 函数的奇偶性
清华微积分(高等数学)课件第一讲-实数和函数46页PPT
清华微积分(高等数学)课件第一讲-实 数和函数
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
ห้องสมุดไป่ตู้
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
ห้องสมุดไป่ตู้
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
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( f(x1 ) f(x2 )),称f 为 单 调 减 函 数
（严 格 单 调 减)函 数 05.12.2020
教学ppt
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3. 函数的周期性
T0, xR f(xT)f(x) 称 f为 周 期 函 数 若 f有最小 T,则 周 T 称 是 期 f的周
[注意] 并不是所有的函数都有最小周期 例如：考察狄里克雷函数
记N 作 (x0,).
x x 0 x 0 x x 0
x0 O
x0
x0
x
N ( x 0 ,) { x x x 0 } ( x 0 ,x 0 )
数{集 x0xx0}N*(x0,)称为
点 x的 05.12.0 2020 空邻 心教学域 pp(t x0,x0){1x 3 0}
3.逻辑符号
（1）全称量词“” “”表示“任意的”。 例如：“xR”表示“对于任意的实数 x”。
（2）存在量词“” “ ”表示“存在”。
例如：“ a ,b Q ,ab , c Q 且 c （ a ,b ）
表 示 “ 任 意 两 个 有 理 数a,b之 间 ， 存 在
有 理 数c". 05.12.2020
(x)
1, 0,
当x为 有 理 数 当x为 无 理 数
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4. 函数的有界性
定义： (1)如果存在一个M实,使数得对 每 x 一 D ,都 个 f(有 x)M , 则称函数 f 在D上是有上界 . 的
(2)如果存在一个N实,使数得对
每一 x D ,都 个 f(有 x)N
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二、函数概念
存在
唯一
定义： 设DR为非空数.集
如果 xD,按确定的f,规 !实 则数
y与之对 ,记应作 yf(x)则 . 称 f为定义
在D上的一个 . 函数
或记 f: D R
x— 自 变 , y— 因 量变 ,D — 量 定 义 . 域
{yy R ,yf(x )x , D }— 值f 域 ( D)
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或R( f ) 15
函数的两个要素：
1.对应规则 f
2.定义域 D
例f(： x)2x21
对 应 规f则表 示 f()221 f(1)2121 f (1)2(1)21
xx f(2t1 )2 (2t1 )21
例:yx与yx2 定 义 域 不 同 ，
x
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表 教学ppt 示 的 是 不 同 的 函16 数
所,y以 ex和 yex在 (, )上 ,
有下 ,无界 上 . 界
05.12.2020
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20
[问题] 如何定义无界函数？
如 果 对 任M 意 0的 ,总正 存x*数 在 D,
使 得 f(x*)M,则 称 函 f在D 数 上 无 . 界
[例] y1 在 ( ,0)(0,)上是无. 界
对任 x M 意 0,取 的 x*1,则有
三、函数的初等性质
1. 函数的奇偶性
xD, f(x)f(x),f(x)称为奇
xD, f(x)f(x),f(x)称为偶
2. 函数的增减性
x1, x2I, x1 x2 f(x1 ) f(x2 )
（f(x1 ) f(x2 )）,称f 为单调增函数
（严格单调增) 函数 x1, x2I, x1 x2 f( x1 ) f( x2 )
欢迎你！
清华园的
新主人
05.12.2020
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1
05.12.2020
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2
微积分
讲课教师 陆小援
05.12.2020
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3
参考书目：
1. 《微积分教程》 韩云瑞等
清华大学出版社
2. 《一元微积分》 萧树铁 主编
高教出版社
3. 《微积分学习指导》韩云瑞等
清华大学出版社
4. 《大学数学概念、方法与技巧 》
1
2M
2MM
x xx*
对任 意 0,在 ( 的 , ] [, )上
有界 . 1 的 1
05.12.2020
x
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5.函数的凸性
y凸的（下凸）y Fra bibliotek(x)B
A
o x1
x x2
x
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1. 常用的数的集合
N {0 ， 1 ， 2 , ， n , }自 然 数 集
Z { 0 ， 1 ， 2 , ， n , }整数集
Q{ p p,q为互质的整}数有理数集 q
R{xx是 实 数 } 实 数 集
C{xiyx,yR } 复数集
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2. 邻域 设 x0R, 0 数{集 xxx0}称为 x0的 点 邻域
抽象性 （研究对象）
演绎性 广泛性
（论证方法）
假设
结论
logic
（应用）
理性 思维
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关于学习数学的要求 1)搞清概念，侧重思路。 2)适当做题，掌握基本。 3)广泛联想，多方应用。
05.12.2020
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9
（三）这个学期学什麽？
利用极限研究函数的种种表达及其诸多 性质
• 一元函数微分
极限的直观定义与计算 导数与微分的概念与计算 微分学应用
不定积分
• 一元函数积分 定积分概念与计算
积分学应用
• 简单微分方程
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第一讲 函数
一、予备知识
二、函数概念
三、函数的初等性质
四、复合函数与反函数
五、初等函数
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一、予备知识
则称函数 f 在D上是有下界 . 的
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(3)既 有 上 界 又 有 下数 界,称 的为 函 有 界 函 数.
即存在一个 M正 0,使 数得对
每x 一 D ,成 个f立 (x )M .
[例] y e x和 y e x x (, )
因 x ( 为 , )有 ,e x 0 和 e x 0
05.12.2020
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引言
（一）上大学学什麽？
• 珍惜时光
• 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术
• 学会自学 学会向书本、老师、周围学
尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题
注重持续性学习：
有计划地安排学习
05.12.2020
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（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
微积分部分
刘坤林等
05.12.2020
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清华大学出版社 4
作业
P3 习题1.1 4(2)(4)(6). 7.
P7 习题1.2 2. 5. P12 习题1.3 7. 9.
预习：P27—39
05.12.2020
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交作业时间： 星期一 答疑时间地点：
星期五 课后
理科楼 数学系 1111