第17章《反比例函数》期末复习资料
专题17 反比例函数篇(解析版)
专题17 反比例函数1. 反比例函数的性质与图像：反比例函数()0≠=k xky k 的符号＞k 0＜k 所在象限一、三象限二、四象限大致图像增减性在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而减小。
在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而增大。
对称性图像关于原点对称2. 反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。
②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。
这个三角形的面积等于2k 。
3. 待定系数法求反比例函数解析式：在反比例函数中只有一个系数k ，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k 的值，从而求出反比例函数解析式。
4. 反比例函数与一次函数的不等式问题：若反比例函数()0≠=k x ky 与一次函数()0≠+=k b kx y 有交点，则不等式b kx xk +＞的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式b kx xk＜的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。
反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。
1．（2022•湘西州）如图，一次函数y ＝ax +1（a ≠0）的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝xk的图象在第一象限交于点B （1，3），过点B 作BC ⊥x 轴于点C ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）求△ABC 的面积．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用直线的解析式求得点A 坐标，利用坐标表示出线段CA ，BC 的长度，利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵一次函数y ＝ax +1（a ≠0）的图象经过点B （1，3），∴a +1＝3，∴a ＝2．∴一次函数的解析式为y ＝2x +1，∵反比例函数y ＝的图象经过点B （1，3），∴k ＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝．（2）令y ＝0，则2x +1＝0，∴x ＝﹣．∴A （﹣，0）．∴OA ＝．∵BC ⊥x 轴于点C ，B （1，3），∴OC ＝1，BC ＝3．∴AC ＝1＝．∴△ABC 的面积＝×AC •BC ＝．2．（2022•德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I （单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）请求出这个反比例函数的解析式；（2）蓄电池的电压是多少？（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将点（8，6）代入I＝，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2）根据电压＝电流×电阻即可求解；（3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，∵图象经过（8，6），∴6＝，解得k＝6×8＝48，∴I＝；（2）蓄电池的电压是6×8＝48；（3）∵I≤10，I＝，∴≤10，∴R≥4.8，即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．3．（2022•大连）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V ＝5m 3时，ρ＝1.98kg /m 3．（1）求密度ρ关于体积V 的函数解析式；（2）若3≤V ≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．【分析】（1）设密度ρ关于体积V 的函数解析式为ρ＝（k ≠0），利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k 值，进而可得出密度ρ关于体积V 的函数解析式；（2）由k ＝9.9＞0，利用反比例函数的性质可得出当V ＞0时ρ随V 的增大而减小，结合V 的取值范围，即可求出二氧化碳密度ρ的变化范围．【解答】解：（1）设密度ρ关于体积V 的函数解析式为ρ＝（k ≠0）．∵当V ＝5m 3时，ρ＝1.98kg /m 3，∴1.98＝，∴k ＝9.9，∴密度ρ关于体积V 的函数解析式为ρ＝（V ＞0）．（2）∵k ＝9.9＞0，∴当V ＞0时，ρ随V 的增大而减小，∴当3≤V ≤9时，≤ρ≤，即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1≤ρ≤3.3．4．（2022•淄博）如图，直线y ＝kx +b 与双曲线y ＝xm相交于A （1，2），B 两点，与x 轴相交于点C （4，0）．（1）分别求直线AC 和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞xm的解集．【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）直线AC ：y ＝﹣x +与双曲线：y ＝（x ＞0）相交于A （1，2），B 两点，联立方程组，求出点B 的坐标为（3，），根据组合法（即基本图形面积的和差）即可以解决问题；（3）根据图象即可解决问题．【解答】解：（1）将A （1，2），C （4，0）代入y ＝kx +b ，得，解得：，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +，将A （1，2）代入y ＝（x ＞0），得m ＝2，∴双曲线的解析式为y ＝（x ＞0）；（2）∵直线AC 的解析式为y ＝﹣x +与y 轴交点D ，∴点D 的坐标为（0，），∵直线AC ：y ＝﹣x +与双曲线：y ＝（x ＞0）相交于A （1，2），B 两点，∴，∴，，∴点B 的坐标为（3，），∴△AOB 的面积＝4×﹣4×﹣×1＝；（3）观察图象，∵A （1，2），B （3，），∴当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞的解集是1＜x ＜3．5．（2022•镇江）如图，一次函数y ＝2x +b 与反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象交于点A （1，4），与y 轴交于点B ．（1）k ＝ ，b ＝ ；（2）连接并延长AO ，与反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象交于点C ，点D 在y 轴上，若以O 、C 、D 为顶点的三角形与△AOB 相似，求点D 的坐标．【分析】（1）将点A （1，4）分别代入反比例函数y ＝（k ≠0）和一次函数y ＝2x +b 的解析式中，求解即可；（2）根据题意，需要分类讨论：当点D 落在y 轴的正半轴上，当点D 落在y 轴的负半轴上，△COD ∽△AOB 或△COD ∽△BOA ，依次根据比例关系，求解即可．【解答】解：（1）将点A （1，4）代入反比例函数y ＝（k ≠0）的解析式中，∴k ＝1×4＝4；将A （1，4）代入一次函数y ＝2x +b ，∴2×1+b ＝4，解得b ＝2．故答案为：4；2．（2）当点D 落在y 轴的正半轴上，则∠COD ＞∠ABO ，∴△COD 与△ABO 不可能相似．当点D 落在y 轴的负半轴上，若△COD ∽△AOB ，∵CO ＝AO ，BO ＝DO ＝2，∴D （0，﹣2）．若△COD ∽△BOA ，则OD ：OA ＝OC ：OB ，∵OA ＝CO ＝，BO ＝2，∴DO ＝，∴D （0，﹣），综上所述：点D 的坐标为（0，﹣2），（0，﹣）．6．（2022•宁夏）如图，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别相交于C 、B 两点，与反比例函数y ＝xm（m ≠0，x ＞0）的图象相交于点A ，OB ＝1，tan ∠OBC ＝2，BC ：CA ＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D 是线段AB 上任意一点，过点D 作y 轴平行线，交反比例函数的图象于点E ，连接BE ．当△BDE 面积最大时，求点D 的坐标．【分析】（1）根据正切函数的定义可得出OC 长，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，则△ACF ∽△BCO ，由相似比可得出CF 和AF 的长，进而可得出点A 的坐标，代入反比例函数可得出m 的值，进而可得结论；（2）由（1）可得直线AB 的解析式．设点D 的横坐标为t ，由此可表达点D ，E 的坐标，根据三角形的面积公式可表达△BDE 的面积，根据二次函数的性质可得结论．【解答】解：（1）如图，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，∴AF ∥y 轴，∴△ACF ∽△BCO ，∴BC ：AC ＝OB ：AF ＝OC ：CF ＝1：2．∵OB ＝1，tan ∠OBC ＝2，∴OC ＝2，∴AF ＝2，CF ＝4，∴OF ＝OC +CF ＝6，∴A （6，2）．∵点A 在反比例函数y ＝（m ≠0，x ＞0）的图象上，∴m ＝2×6＝12．∴反比例函数的表达式为：y ＝（x ＞0）．（2）由题意可知，B （0，﹣1），∴直线AB 的解析式为：y ＝x ﹣1．设点D 的横坐标为t ，则D （t ，t ﹣1），E （t ，）．∴ED ＝﹣t +1．∴△BDE 的面积为：（t ﹣0）（﹣t +1）＝﹣t 2+t +6＝﹣（t ﹣1）2+．∵﹣＜0，∴t ＝1时，△BDE 的面积的最大值为，此时D （1，﹣）．7．（2022•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x +2的图象与反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点C ．（1）求点A 的坐标和反比例函数的解析式；（2）点B 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接AB ，CB ，求△ACB 的面积．【分析】（1）由一次函数的解析式求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）作BD ∥x 轴，交直线AC 于点D ，则D 点的纵坐标为1，利用函数解析式求得B 、D 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y ＝x +2的图象过点A （1，m ），∴m ＝1+2＝3，∴A （1，3），∵点A 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴k ＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝；（2）∵点B 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，∴B （3，1），作BD ∥x 轴，交直线AC 于点D ，则D 点的纵坐标为1，代入y ＝x +2得，1＝x +2，解得x ＝﹣1，∴D （﹣1，1），∴BD ＝3+1＝4，∴S △ABC ＝×4×3＝6．8．（2022•菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax +b 的图象与反比例函数y ＝xk的图象都经过A （2，﹣4）、B （﹣4，m ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过O 、A 两点的直线与反比例函数图象交于另一点C ，连接BC ，求△ABC 的面积．【分析】（1）把A ，B 两点的坐标代入y ＝中可计算k 和m 的值，确定点B 的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；（2）如图，设AB 与x 轴交于点D ，证明CD ⊥x 轴于D ，根据S △ABC ＝S △ACD +S △BCD 即可求得．【解答】解：（1）将A （2，﹣4），B （﹣4，m ）两点代入y ＝中，得k ＝2×（﹣4）＝﹣4m ，解得，k ＝﹣8，m ＝2，∴反比例函数的表达式为y ＝﹣；将A （2，﹣4）和B （﹣4，2）代入y ＝ax +b 中得，解得，∴一次函数的表达式为：y ＝﹣x ﹣2；（2）如图，设AB 与x 轴交于点D ，连接CD ，由题意可知，点A 与点C 关于原点对称，∴C （﹣2，4）．在y ＝﹣x ﹣2中，当x ＝﹣2时，y ＝0，∴D （﹣2，0），∴CD 垂直x 轴于点D ，∴S △ABC ＝S △ADC +S △BCD ＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．9．（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在y 轴上，A ，C 两点的坐标分别为（4，0），（4，m ），直线CD ：y ＝ax +b （a ≠0）与反比例函数y ＝xk （k ≠0）的图象交于C ，P （﹣8，﹣2）两点．（1）求该反比例函数的解析式及m 的值；（2）判断点B 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．【分析】（1）把P （﹣8，﹣2）代入y ＝可得反比例函数的解析式为y ＝，即得m ＝＝4；（2）连接AC ，BD 交于H ，由C （4，4），P （﹣8，﹣2）得直线CD 的解析式是y ＝x +2，即得D （0，2），根据四边形ABCD 是菱形，知H 是AC 中点，也是BD 中点，由A （4，0），C （4，4）可得H（4，2），设B （p ，q ），有，可解得B （8，2），从而可知B 在反比例函数y ＝的图象上．【解答】解：（1）把P （﹣8，﹣2）代入y ＝得：﹣2＝，解得k ＝16，∴反比例函数的解析式为y ＝，∵C （4，m ）在反比例函数y ＝的图象上，∴m ＝＝4；∴反比例函数的解析式为y＝，m＝4；（2）B在反比例函数y＝的图象上，理由如下：连接AC，BD交于H，如图：把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：，解得，∴直线CD的解析式是y＝x+2，在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，∴D（0，2），∵四边形ABCD是菱形，∴H是AC中点，也是BD中点，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），设B（p，q），∵D（0，2），∴，解得，∴B（8，2），在y＝中，令x＝8得y＝2，∴B在反比例函数y＝的图象上．10．（2022•绵阳）如图，一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y ＝xk 2在第一象限交于M （2，8）、N 两点，NA垂直x 轴于点A ，O 为坐标原点，四边形OANM 的面积为38．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）点P 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN 的面积最小时点P 的位置（不需证明），并求出点P 的坐标和△PMN面积的最小值．【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出（8+）•（m ﹣2）＝30，解方程即可求得N 的坐标，然后把M 、N 的坐标代入y ＝k 1x +b ，进一步求得一次函数的解析式；（2）求出与直线MN 平行且在第三象限内与反比例函数y ＝有唯一公共点的坐标即为点P 的坐标，此时△PMN 面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y ＝过点M （2，8），∴k 2＝2×8＝16，∴反比例函数的解析式为y ＝，设N （m ，），∵M （2，8），∴S △OMB ＝＝8，∵四边形OANM 的面积为38，∴四边形ABMN 的面积为30，∴（8+）•（m ﹣2）＝30，解得m 1＝8，m 2＝﹣（舍去），∴N （8，2），∵一次函数y ＝k 1x +b 的图象经过点M 、N ，∴，解得，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +10；（2）与直线MN 平行，且在第三象限与反比例函数y ＝有唯一公共点P 时，△PMN 的面积最小，设与直线MN 平行的直线的关系式为y ＝﹣x +n ，当与y ＝在第三象限有唯一公共点时，有方程﹣x +n ＝（x ＜0）唯一解，即x 2﹣nx +16＝0有两个相等的实数根，∴n 2﹣4×1×16＝0，解得n ＝﹣8或x ＝8（舍去），∴与直线MN 平行的直线的关系式为y ＝﹣x ﹣8，∴方程﹣x ﹣8＝的解为x ＝﹣4，经检验，x ＝﹣4是原方程的解，当x ＝﹣4时，y ＝＝﹣4，∴点P （﹣4，﹣4），如图，过点P 作AN 的垂线，交NA 的延长线于点Q ，交y 轴于点D ，延长MB 交PQ 于点C ，由题意得，PD ＝4，DQ ＝8，CD ＝2，MC ＝8+4＝12，NQ ＝2+4＝6，∴S △PMN ＝S △MPC +S 梯形MCQN ﹣△＝×6×12+（12+6）×6﹣×12×6＝36+54﹣36＝54，答：点P （﹣4，﹣4），△PMN 面积的最小值为54．11．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝21x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A （﹣4，0）、B 两点，与双曲线y ＝xk （k ＞0）交于点C 、D 两点，AB ：BC ＝2：1．（1）求b ，k 的值；（2）求D 点坐标并直接写出不等式21x +b ﹣x k ≥0的解集；（3）连接CO 并延长交双曲线于点E ，连接OD 、DE ，求△ODE 的面积．【分析】（1）根据点A在直线上，把点A代入，求出b的值；过C作CF⊥x轴于点F，得△AOB∽△AFC，根据AB：BC＝2：1，可求出点F的坐标，可得点C的坐标，代入反比例函数，即可求出k的值；（2）根据交点坐标的性质，可求出点D的坐标，根据，得，根据函数图象，即可得到解集；（3）根据同底同高，得S△ODE ＝S△COD，S△COD＝S△COA+S△ADO即可．【解答】解：（1）∵点A在直线上，A（﹣4，0），∴，解得b＝2，过C作CF⊥x轴于点F，∴△AOB∽△AFC，∵AB：BC＝2：1，∴，∴AF＝6，∴OF＝2，在中，令x＝2，得y＝3，∴C（2，3），∴，∴k＝6．（2）∵D点是和交点，∴，解得或，∵D点在第三象限，∴D（﹣6，﹣1），由图象得，当﹣6≤x＜0或x≥2时，，∴不等式的解集为﹣6≤x ＜0或x ≥2．（3）∵△ODE 和△OCD 同底同高，∴S △ODE ＝S △OCD ，∵S △COD ＝S △COA +S △ADO ，∴．12．（2022•资阳）如图，一次函数y 1＝kx +b 的图象与反比例函数y 2＝x6的图象交于点A （1，m ）和点B （n ，﹣2）．（1）求一次函数的表达式；（2）结合图象，写出当x ＞0时，满足y 1＞y 2的x 的取值范围；（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．【分析】（1）将A 、B 两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）当x ＞0，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应x 的即可；（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图象即可判断反比例函数的系数k ，进而得到反比例函数的解析式．【解答】解：（1）由题意得：，，∴m ＝6，n ＝﹣3，∴A （1，6），B （﹣3，﹣2），由题意得：，解得：，∴一次函数的表达式为：y ＝2x +4；（2）由图象可知，当x ＞0时，一次函数的图象在反比例函数的图像上方对应x 的值为x ＞1，当x ＞0时，满足y 1＞y 2的x 的取值范围为x ＞1；（3）一次函数y ＝2x +4的图象平移后为y ＝2x ，函数图象经过第一、三象限，要使正比例函数y ＝2x 与反比例函数没有交点，则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的k ＜0，∴当k ＝﹣1时，满足条件，∴反比例函数的解析式为（答案不唯一）．13．（2022•徐州）如图，一次函数y ＝kx +b （k ＞0）的图象与反比例函数y ＝x8（x ＞0）的图象交于点A ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，AD ⊥x 轴于点D ，CB ＝CD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ．（1）点E 是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形．①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当|PE ﹣PB |最大时，求点P 的坐标．【分析】（1）设点A 的坐标为（m ，），根据轴对称的性质得到AD ⊥CE ，AD 平分CE ，如图，连接CE交AD 于H ，得到CH ＝EH ，求得E （2m ，），于是得到点E 在这个反比例函数的图象上；（2）①根据正方形的性质得到AD ＝CE ，AD 垂直平分CE ，求得CH ＝AD ，设点A 的坐标为（m ，），得到m ＝2（负值舍去），求得A （2，4），C （0，2），把A （2，4），C （0，2）代入y ＝kx +b 得，解方程组即可得到结论；②延长ED 交y 轴于P ，根据已知条件得到点B 与点D 关于y 轴对称，求得|PE ﹣PD |＝|PE ﹣PB |，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE 的解析式为y ＝x ﹣2，于是得到结论．【解答】解：（1）点E 在这个反比例函数的图象上，理由：∵一次函数y ＝kx +b （k ＞0）的图象与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象交于点A ，∴设点A 的坐标为（m ，），∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ，∴AD⊥CE，AD平分CE，如图．连接CE交AD于H，∴CH＝EH，∵BC＝CD，OC⊥BD，∴OB＝OD，∴OC＝AD，∵AD⊥x轴于D，∴CE∥x轴，∴E（2m，），∵2m×＝8，∴点E在这个反比例函数的图象上；（2）①∵四边形ACDE为正方形，∴AD＝CE，AD垂直平分CE，∴CH＝AD，设点A的坐标为（m，），∴CH＝m，AD＝，∴m＝×，∴m＝2（负值舍去），∴A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，∴；②延长ED交y轴于P，∵CB＝CD，OC⊥BD，∴点B与点D关于y轴对称，∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P 即为符合条件的点，由①知，A （2，4），C （0，2），∴D （2，0），E （4，2），设直线DE 的解析式为y ＝ax +n ，∴，∴，∴直线DE 的解析式为y ＝x ﹣2，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴P （0，﹣2）．故当|PE ﹣PB |最大时，点P 的坐标为（0，﹣2）．14．（2022•济南）如图，一次函数y ＝21x +1的图象与反比例函数y ＝xk （x ＞0）的图象交于点A （a ，3），与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．【分析】（1）将点A 的坐标代入y ＝求得a ，再把点A 坐标代入y ＝求出k ；（2）先求出A ，B ，C 三点坐标，作CD ⊥x 轴于D ，交AB 于E ，求出点E 坐标，从而求得CE 的长，进而求得三角形ABC的面积；（3）当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB为边时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y＝求得点P的横坐标．【解答】解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝x+1得，，∴a＝4，把x＝4，y＝3代入y＝得，3＝，∴k＝12；（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y＝得x＝2，∴C（2，6），①如图1，作CD⊥x轴于D，交AB于E，当x＝2时，y＝＝2，∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴x A＝＝8；②如图2，当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，∴y P＝1+3﹣0＝4，当y＝4时，4＝，∴x＝3，∴P（3，4），当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的▱ABQ′P′），由y Q′﹣y B＝y P′﹣y A得，0﹣1＝y P′﹣3，∴y P′＝2，当y＝2时，x＝＝6，∴P′（6，2），综上所述：P（3，4）或（6，2）．15．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间x（天）3569……硫化物的浓度y（mg/L）4.5 2.7 2.25 1.5……（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？【分析】（1）设AC的函数关系式为：y＝kx+b，将A和C代入，从而求得k，b，进而求得的结果；（2）可推出x•y＝13.5为定值，所以当x≥3时，y是x的反比例函数，进而求得结果；（3）将x＝15代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，从而得出结论．【解答】解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，∴，∴，∴线段AC的函数表达式为：y 2.5x+12（0≤x＜3）；（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，∴y是x的反比例函数，∴y＝（x≥3）；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：当x＝15时，y＝＝0.9，∵13.5＞0，∴y随x的增大而减小，∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．。
初二下期末复习经典讲义反比例函数
反比例函数在其定义域内具有单调性、奇偶性等 性质。
易错点归纳及防范措施
易错点一
忽视反比例函数中 $k neq 0$ 的条件，导致解题错误。防范措施：在解题前务必检查 $k$ 的值，确保 $k neq 0$。
易错点二
混淆反比例函数与其他函数的性质。防范措施：清晰理解反比例函数的性质，避免与其他 函数性质混淆。
其他实际问题
电阻、电压、电流关系
在电路中，当电阻与电流成反比时， 电压保持恒定。因此，可以通过反比 例函数来描述电阻与电流之间的关系 ，进而分析电路特性。
经济学中的供需关系
在经济学中，当供应量与价格成反比 时，需求量保持恒定。因此，可以通 过反比例函数来描述供需关系，进而 分析市场均衡价格。
工程学中的力与距离关系
伸缩后性质
伸缩后的反比例函数图像仍具有中心对称性，但形状可能发生变 化。
05
反比例函数在几何图形中 应用
相似三角形判定与性质
判定条件
两个三角形如果对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似。反比例函数 图像上的点坐标符合这一性质，可用于判定相似三角形。
性质应用
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。在反比例函数中，通过相似三角形可 以推导出一些重要的几何性质和结论。
平移后性质
03
平移后的反比例函数图像仍具有中心对称性。
对称变换
对称中心
反比例函数的对称中心为原点。
对称轴
无对称轴，因为任意一点关于原点的对称点都在 图像上。
对称后性质
对称后的反比例函数图像形状不变，但可能改变 位置。
伸缩变换
伸缩方向
反比例函数图像可沿x轴或y轴进行伸缩。
伸缩因子
《第十七章反比例函数》专项复习
（3）若与成正比例，与成反比例，则与成什么比例呢？ 设，，则，即即与成反比例关系 可以把正比例当成“＋”，反比例当成“－”，然后在运用乘法法则判断 所求关系．如上述（3）中，“＋”ד—”＝“－”，所以结果为反比例．
2.反比例函数的图像和性质
（1）画反比例函数图象：描点法（先列表，再描点，后连线）． 注意：①列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的的 一对一对的数值，这样既可简化计算，又方便描点，作出的图象对称； ②在列表、描点时要尽可能地多取一些数值，多描一些点，这样便于连 线；③连线时，必须用光滑的曲线连接各点；④由于反比例函数中的， 故函数图象与轴、轴都没有交点，所画出的双曲线的两个分支要分别体 现无限接近坐标轴，但永远不能到达轴、轴的变化趋势. （2）反比例函数的性质： ①反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线； 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限 内y随x的增大而减小； 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限 内y随x的增大而增大． ②由于反比例函数的图象是双曲线，所以它是一个以原点为中心的 中心对称图形. ③双曲线除上面的主要性质外还具有：随着|k|的增大，双曲线的位 置相对于坐标原点越来越远；双曲线关于直线y=±x对称；双曲线与关 于坐标轴对称． 上述性质的理解与应用含两个方面：①已知k的符号，可用反比例函 数图象所在的象限或增减性解决有关问题；②已知反比例函数图象所在 的位置或增减性，可得到k的取值范围，进而解决有关问题．这是中考 主要考查的内容之一． 例3若反比例函数的图象在第一、三象限，则k值为_______．（写 出满足条件的一个k的值即可） 析解：因为反比例函数图象在第一、三象限，所以，即k>2．故本题 填大于2的任何数皆可，如3. 例4若、、三点都在函数（k＜０）的图象上，则y1、y2、y3的大小 关系为（ ）. Ａ． Ｂ． C． D．
最新九年级反比例函数经典复习资料
联立反比例函数和一次函数的方程， 可以求解出交点的坐标。具体方法是 将两个方程相等，解出x的值，再代入 其中一个方程求出y的值。
交点存在性判断及求解方法
交点存在性判断
判断反比例函数与一次函数是否有交点，可以通过观察两个 函数的图像位置关系来判断。如果两个函数的图像有交点， 则它们在某一点上的函数值相等。
最新九年级反比例函数经典 复习资料
汇报人：XXX
汇报时间：2024-01-28
目录
• 反比例函数基本概念与性质 • 反比例函数与直线交点问题 • 反比例函数在实际问题中应用
目录
• 反比例函数综合题型解析 • 复习策略与备考建议
01
反比例函数基本概念与性 质
反比例函数定义及表达式
01
反比例函数定义
求解方法
求解反比例函数与一次函数的交点坐标，可以通过联立两个 函数的方程来求解。具体步骤包括将两个方程相等，解出x的 值，再代入其中一个方程求出y的值。在求解过程中，需要注 意判断解的有效性和合理性。
03
反比例函数在实际问题中 应用
面积、体积问题中反比例关系建立
03
矩形面积与长和宽的关系
圆柱体积与底面积和高的关系
其他点的位置。
历年中考真题回顾与解析
题目
解析
题目
解析
（2019年中考）已知反比例函 数 y = k/x (k > 0) 的图象上有 两点 A(x1, y1)，B(x2, y2)，且 x1 < x2 < 0，则下列结论正确 的是 ( )
本题考查了反比例函数的增减 性，根据 k > 0 和 x1 < x2 < 0 判断出 y1 和 y2 的大小关系 。答案为 C。
第17章反比例函数期末复习
拓展提高
（2010·济宁中考）如图， 正比例函数y= y=
k x 1 2
x的图象与反比例函数
(k≠0)在第一象限的图象交于A点，
过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知 △OAM的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A
不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最 小.
1 x 2x2
③ xy=1 ⑦
④ y = 2x
3
y = 3x
2.若 y ( m 1) x
y=
m 2
1 y = 3x
为反比例函数，则
m＝______ .
知识点归纳
y y
0
4、性质：
位
x
0
x
k>0
k<0
当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内; 置： 当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内.
y 4 x
.
的图象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)
8、已知点A(-2,y1),B(-1,y2) C(4,y3)都在反比
例函数
k x
(k 0) 的
图象上,则y1、y2 与y3
y
-2 -1 y3 o
的大小关系(从大到小)
y3 ＞y1＞y2 为____________ .
C 4
A
B
y=x
0
12
x
例
题
当堂达标
－１
h
10 2r 1 2
10 2r
h
(
, 2)
(
1 2
, 2)
Ｂ
精心整理反比例函数复习(含经典例题)
第十七章 反比例函数第1节 反比例函数 本节内容：1、 反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）函数：在某变化过程中有两个变量x ，y.若给定其中一个变量x 的值，y 都有唯一确定的值与它对应,则称y 是x 的函数. 1、反比例函数的定义一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xky =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
其中x 是自变量，y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。
注：（1）x ky =也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式； （2）xky =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零；（3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积； （4）因变量y 的取值范围是y≠0的一切实数。
■例1：下列函数中是反比例关系的有 （填序号）。
①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23-=⑥21=xy ⑦28x y = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数，)0≠k■例2：当m 取什么值时，函数是反比例函数？2、 反比例函数定义的应用（重点）确定解析式的方法仍是 待定系数法 ，由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
■例3由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。
（1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时，求电流强度。
■例4：已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5（3） 求y 与x 的函数关系式 （4） 当x ＝－2时，求函数y 的值第2节 反比例函数的图象与性质本节内容：反比例函数的图象及其画法 反比例函数的性质（重点）反比例函数xky =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义（难点） 反比例函数与正比例函数图象的交点 1、 反比例函数的图象及其画法 反比例函数图象的画法——描点法：（1） 列表——自变量取值应以0（但(x≠0)为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y 的值；（2） 描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。
第17章《反比例函数》复习.ppt
已知一次函数 y x 3 的图象与反比例 函数 y k 的图象都经过点A（a，4）
x
（1）求 a 和 k 的值？
把 (a,4) 代入 y x 3
4 a 3 把 (1,4) 代入 y k
a 1
x
∴点A为(1,4)
3、性质：
函数
图象
k＞0
S 4
x
xy4
又∵图象在第二、四象限
k xy 4 ∴函数为 y 4
x
性
质 k＜0
正比例在函每数个象 y=kx限内
经点 (0,0) , (1,k )的直线
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
反比例函数
y —xk
关于 原点对
称的双曲线
y随x的增大 而减小；
y随x的增大 而增大
1、函数 y 3 图像大概是（ A ） yx
x
4、y 5 3m (x 0) y随x的增大而减小（ C ）
复习
兖州市第十四中学
1、两个量的乘积是常数，这两个量成反比例函数；
xy k(常数)
y k (k 0) x
y kx1
2、待定系数法：
（1）1个点求 1个 待定系数；
（2）2个点求 2个 系数； （3）半个点 代入已知 函数；
近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距x（米 成反比例，已知400度镜片的焦距为
0.25米，求镜片度数y 与焦距x 的解析式？
解：设反比例函数为 y k (k 0) ， x
把 (0.25,400) 代入
400 k 0.25
k 100
∴函数解析式为 y 100 x
压力不变的情况下，某物体承受的压强 p（Pa） 是受力面积的反比例函数.求p与S的解析式？
章复习 第17章 反比例函数
章复习 第17章 反比例函数一、反比例函数1、反比例函数的概念一般地，形如______（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是__________________．注：①反比例函数可变形为______或______；②反比例函数中自变量的指数是-1，比例系数k ≠O ，自变量x ≠0． 2、反比例函数的图象及性质 ⑴反比例函数的图象．反比例函数的图象是______，是由______条曲线组成的，k>O 时，这两条曲线分别分布在第______象限内；k<O 时，这两条曲线分别分布在第______象限内．如右图. 注：①反比例函数的图象与x 、y 轴均没有交点，只是无限靠近；②反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴有两条，为y=±x ，也是中心对称图形，对称中心为(0，0)． ⑵反比例函数的性质．反比例函数)0(=/=k xky 的图象是双曲线．①当k>O 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而______．②当k<O 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而______．注：反比例函数的图象是不连续的曲线，是断开的两部分，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限地接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势．二、反比例函数的应用1、利用待定系数法确定反比例函数根据两变量之间的反比例关系，设出形如______的函数关系式，再由已知条件求出k 的值，从而确定函数关系式．注：反比例函数只有一个基本量k ，故只需一个条件即可确定反比例函数，这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x 、y 的一对对应值． 2、反比例函数的应用解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．三、典型问题问题1 计算与双曲线上的点有关的几何图形的面积设),(00y x P 是双曲线)0(=/=k xk y 上任意一点，有：(1)如图1，过P 作x 轴的垂线，垂足为A ，则=∆AOP S AP OA ⋅21=||2100y x ⋅=2||k .图1 图2 图3(2)如图2，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，则 0APB S 矩形=AP OA ⋅=||||00k y x =⋅.(3)如图3，设),(00y x P 关于原点的对称点是),(00y x P --，过P 作x 轴的垂线与过P '作y 轴的垂线交于A 点，则：'PAP S ∆=1|'|2AP AP ⋅=|22|2100y x ⋅=||2k 问题2 比例函数的应用用反比例函数的知识灵活解决，它涉及的问题很广泛，往往与物理、化学知识相结合，如电阻、电流、电压问题，气体的质量、体积、密度问题，压强、压力、受力面积问题等等，我们首先要弄清这些跨学科问题的有关知识，然后运用反比例函数的知识解答．例 在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线)0(3>=x xy 上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会( )． A ．逐渐增大 B ．不变 C ．逐渐减小 D ．先增大后减小四、课时练习〖课前热身〗1．已知反比例函数k y x=的图象经过点(36)A --，，则这个反比例函数的解析式是 ．2．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为 ． 3．在反比例函数3k y x-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）A ．k ＞3B ．k ＞0C ．k ＜3D ． k ＜0 4．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3) 的反比例函数，其图象如图1所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ） A ．不小于54m 3B ．小于54m 3C ．不小于45m 3D ．小于45m 35．如图2，若点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，A M x⊥轴于点M ，A M O △的面积为3，则k = ． 〖典例精析〗例1 某汽车的功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v （米／秒）与它所受的牵引力F （牛）之间的函数关系如右图所示：⑴这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；⑵当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？⑶如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F 在什么范围内？例2 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；⑵求AO B △的面积．〖中考演练〗1．已知点(12)-，在反比例函数k y x=的图象上，则k = ．2．在对物体做功一定的情况下，力F (牛)与此物体在力的方向上移动的距离s (米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P (5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米．3.已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3），则m 的值为 ．1-1yOxP4.若正方形AOBC 的边OA 、OB 在坐标轴上，顶点C 在第一象限且在反比例函数y ＝x1的图像上，则点C 的坐标是 .5.如图,某个反比例函数的图象经过点P,则它的解析式为( )A.y ＝1x(x>0) B.y ＝－1x (x>0) C.y ＝1x(x<0) D.y ＝－1x(x<0)6．某反比例函数的图象经过点(23)-，，则此函数图象也经过点（ ）A ．(23)-，B ．(33)--，C ．(23)，D ．(46)-，7．对于反比例函数2y x=，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(21)--，在它的图象上B ．它的图象在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 8.反比例函数6y x=-的图象位于第（ ）象限A ．一、三B ．二、四C ．二、三D ．一、二 9．某空调厂装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），每天组装150台空调. ⑴从组装空调开始，每天组装的台数m （单位： 台／天）与生产的时间t （单位:天）之间有怎样的函数关系？⑵由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？10.如图，已知A(-4，2)、B(n ，-4)是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象的两个交点.⑴求此反比例函数和一次函数的解析式；⑵根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围.。
第17章《反比例函数》复习
y3 ＞y1＞y2 为____________ .
A
B
y1 y2
4
x
变式一：则y1-y2的值是（ A ） A.正数 B.负数 C.非正数
D.不能确定
……
谈谈本节的学习你有哪些收获 和体会,你学会了哪些数学思想和 解题方法?
#11： 已知一次函数 y x 3 的图象与反比例
k 函数 y 的图象都经过点A（a，4） x
（1）求 a 和 k 的值？ 把 (a,4) 代入
y x3
k 把 (1,4) 代入 y x
4 a3 a 1
∴点A为(1,4)
3、性质：
函数 图象 正比例函数 在每个象 y=kx限内 经点 (0,0) , (1,k )的直线 y随x的增 大而增大 反比例函数 k y — x 关于 原点对 称的双曲线
拓展提升：
变式二：已知，点A在第一象限内，且为双曲 线上一点，过A作AC⊥x轴，垂足为C，S△AOC =2．
⑴求该反比例函数解析式；
⑵若点(-2, y1 ),(-1, y2)在双曲线上，试比较y1、 y2的大小．
y
A
o
C
x
拓展提升：
2.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) C(4,y3)都在反比 k 例函数 y (k 0) 的 y x 图象上,则y1、y2 与y3 C -2 -1 y3 o 的大小关系(从大到小)
x
5 3m 4、y ( x 0) y随x的增大而减小（ C ） x 5 5 5 5 A、m B、m C、m D、m 3 3 3 3
4、面积与函数： 已知A是函数图象上一点，
若正方形面积为4，求反比例函数的解析式？
k 解： 设反比例函数为 y (k 0) ，点A ( x, y ) x S 4
八年级数学下册 第17章《反比例函数》知识考点复习和
第17章《反比例函数》知识要点复习一、本章主要内容 （一）、概念1.反比例函数：一般地，如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成：ky x= (k 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数.自变量x 不能为零． ★2.反比例函数的三种形式：①ky x= ；②xy k =；③ 1y kx -=。
（二）、反比例函数的图像性质k 的取值 当k>0时 当k<0时函数的图象函数的性质两支曲线分别位于第一、三象限,在每一象限内,函数值y 随自变量x 的增大而减小。
两支曲线分别位于第二、四象限,在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而增大。
渐近性： 反比例函数的图象无限接近于x 轴和y 轴,但永远和坐标轴不相交。
对称性： 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形 ，对称轴为直线y=x 、 y=-x 。
（三）、反比例函数与面积有关的问题：★1.面积性质：①．设P （m ，n ）是双曲线xky =（k ≠0）上任意一点，过P 作x 轴的垂线， 垂足为A ，则A oyP(m,n)x12111||||||222OAP S OA APn m mn k ∆=⋅⋅=•==②．若将此题改为过P 点作y 轴的垂线段,其结论成立吗?2.面积性质：过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A ，B ，（四）、利用反比例函数解决实际问题:关键是:建立反比例函数模型，主要类型: (1)形积类:体积不变,底面积与高成反比例. (2)行程类:总路程不变,速度与时间成反比例 (3)压强类:压力不变,压强与面积成反比例. (4)杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂。
(5)电学类:电压不变,输出功率与电阻成反比例；电压不变,电流与电阻成反比例. ★反比例函数性质：增减性、渐近性、中心对称性、轴对称性、面积不变性. 1.函数的思想是一种重要的数学思想，它是刻画两个变量之间关系的重要手段. 2. 熟练掌握用待定系数法求解析式和图形分割法求面积.3. 深刻体会变化与对应的思想，数形结合思想和转化思想在反比例函数中的应用.12111||||||222OAPS OA AP m n mn k ∆=⋅⋅=•==xyA P(m,n )oxoP(m,n)yB A S OAPB OA AP m n mn k •=•==则矩形＝第17章单元测试卷 一、填空题1．已知反比例函数()0≠=k xky 的图象经过点（2，－3），则k 的值是_______,图象在__________象限，当x>0时，y 随x 的减小而__________. 2若反比例函数xk y 3-=的图象位于一、三象限内，正比例函数x k y )92(-=过二、四象限，则k 的整数值是________。
反比例函数复习ppt17 人教版
问题6：制作一种产品，需先将材料加热，达到60℃后， 再进行操作，据了解，该材料加热时，温度y℃与时间 x（min）成一次函数关系；停止加热进行操作时，温 度y℃与时间x（min）成反比例关系，如图所示，已知 该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min后温度 达到60 ℃。 y （1）分别求出将材料加热 和停止加热进行操作时y与 x的函数关系式；
3 的平行线，与y= x
的图象
交点依次是Q1（x1，y1）， Q2（x2，y2），Q3（x3，y3）， …，Q2005（x2005，y2005）， 则y2005= 2004.5 ．
应用问题
问题1：海门吉安隧道是中国大陆第一条海底隧道， 设计主线时速为80km/h，计划2009年通车，隧道 全长9km，其中海底隧道6km，隧道建筑限界净宽 13.5m，净高5m。 （1）求每天挖出土方量m（m3）与开挖隧道天数n 的函数关系：并求通车后，列车通过隧道的时速v 与时间t的函数关系； （2）计划2009年通车，假设一期工程打通隧道共 计约1000天，问每天至少挖运多少m3的土方，每 天进展至少为多少米？
D （4，0）
6(贵州省)在直角坐标系中,横、纵坐标都是整数
3 的点叫整点，则反比例函数 y 的图象上的 x 整点有_______ 个 4
7小明妈妈用180元买了5m多的布，则布每 30<x<36 米的价格X（元）的范围是___________
2.某工厂拟建一座平面是矩形，且面积为２００平方米 的三级污水处理池，由于受地形的限制，污水处理池的 长，宽都不超过１６米，设污水处理池的一边长为 x米， 另一边长为y米．（１）写出y关于x的函数关系式和x的 取值范围（２）若污水处理池的外围墙的造价为４００ 元／米，中间的两道隔墙的造价为３００元／米，池底 的造价为８０元／米（池底的厚度忽略不计）当污水处 理池的长x是宽y的２倍时，求这个三级污水处理池的总 造价？
人教版初二数学第十七章 反比例函数知识梳理
第十七章 反比例函数
第一节 反比例函数
一、概念
形如y=
x
k (k 为常数，k ≠0)，x 是自变量，y 为函数 *y=11+x ,y=x a ,y=x 5,5=x y 都不是反比例关系（a 没有标注≠0） 二、用待定系数法求解析式
由于反比例函数y=x
k 只有一个待定系数，因此只需要一组对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
三、反比例函数图像与性质
k<0时，图像在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小 k>0时，图像在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大
*反比例函数的增减性不连续，所以讨论增减时，必须有“在每一象限”
四、比例系数k 的几何意义
双曲线y=x
k (k 为常数，k ≠0)上任意A （x,y)作x\y 轴垂线AB 、AC ，S=AB ×AC=¦xy ¦=¦k ¦;连接三角形，S=2k
*y=x k 与y=-x
k 关于x 轴、y 轴对称
第二节 实际问题与反比例函数
R
U I = P=R U ² 杠杆定律：阻力×阻力臂=动力×动力臂。
第17章反比例函数期末复习
Ｃ Ｃ
－３
±６
知识回顾
２
２
（１，２）
y
A
O
C
x
知识点归纳
1、反比例函数解析式
y k 或y x1 (k 0的常数) x
2、自变量取值范围是 x≠0的一切实数
3、图象：双曲线
y
y
0x k>0
0
x
k<0
知识点归纳
y
4、性质：
0x
y 0x
k>0
k<0
位 置：当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;
0.6亿元
当堂达标
－１
h 10 2r
( 1 , 2) 2
Ｂ
h 10 2r
m=3,k=-1
h 10 2r
( 1 ,.75元之间，经测算，
若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－
0.4)元成反比例．又当x＝0.65元时，y＝0.8．(1)求y
与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价0.3元，
电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯
收人多少?
y 1 5x 2
当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内.
增减性：当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大. 渐近性： 双曲线无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴.
对称性：双曲线关于原点和直线y=±x对称.
例题
例题
例2 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，
最新人教版八年级下册数学精品课件第17章 反比例函数-17.3 反比例函数总复习(两个课时)--
4.(2003年海南)
如图,已知反比例函数y 12的图象与一次函数 x
y kx 4的图象相交于P,Q两点,并且P点的 纵坐标是6.
(1)求这个一次函数的解析式; y
(2)求POQ的面积.
P
o Q
x
最新人教版数学精品课件设
3.(2003年成都) 如图,已知一次函数y kx b的图象与反比例函数
关系式是
I
10 R
.
3.试举出反比例函数的实例.
最新人教版数学精品课件设
设P(m, n)是双曲线y k (k 0)上任意一点,有 : x
(1)过P作x轴的垂线,垂足为A,则 面积性质
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|
|
n
|
1 2
|
k
|
（一）
y
P(m,n)
y
oA
x
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x
其中k= 2 ，自变量x的取值范围为 x≠ 0 .
2.函数 y 6 的图象位于第一、三象限,
x
在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , 当x＞0时,y ＞ 0,这部分图象位于第 一 象限.
最新人教版数学精品课件 设计
3.函数 y 6 的图象位于第二、四象限,
x
在每一象限内,y的值随x的增大而 增大 , 当x＞0时,y ＜ 0,这部分图象位于第 四 象限.
o
x
最新人教版数学精品课件设
4.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
都在反比例函数 y 4
x
的图象上,
则y1与y2的大小关系(从大到小)
第17章《反比例函数》期末复习(学案)(
第17章《反比例函数》期末复习【复03】Part1.反比例函数的概念:形如)0(≠=k k xky 是常数，的函数叫做反比例函数. 形式变形：())0(1≠=k xky ,())0(21≠=-k kx y ,())0(3≠=k k xy 练习：1.下列函数中，是反比例函数的是______________34)1(x y =，94)2(-=x y ，x y 35)3(-=，11)4(-=x y ，02)5(=+xy ，5)6(1-=x y 2．已知函数23(2)m y m x -=-，当m 取何值时（1）是正比例函数；（2）是反比例函数。
3.已知y 与x 2成反比例，并且当x =3时，y =2．(1)求y 与x 的函数关系式； (2)求x =1.5时，y 的值； (3)求y =18时，x 的值.4.已知y=y 1-y 2,y 1是x 的反比例函数，y 2与x －2成反比，当x=1时，y ＝-1,当x=3时，y=5，求y 的函数解析式Part2.反比例函数的图象: 练习：1.若双曲线xy 6=过点A （m ，3），则m 的值为（ ） A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-32．已知矩形的面积为10，则它的长y 与宽x 之间的关系用图象大致可表示为（ ）3．如图，过原点的一条直线与反比例函数 （k<0）的图像分别交于A 、B 两点，若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点的坐标为（ ）A.(a ，b)B.(b ，a) C ．(-b ，-a) D ．(-a ，-b)4．如图，双曲线xy 8=的一个分支为（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④5．在同一直角坐标系中，函数x y 23-=与xy 3-=的图象交点在_______象限 6．若一次函数y=kx+b 与反比例函数xky =的图象的交点是（2，3），则k=，b=7.已知反比例函数xky =(k ≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，（1）k 的取值范围是_________，（2）一次函数y ＝kx －k 的图象经过的象限是______________ Part3:反比例函数的性质:(1)当k ＞0时，函数图象的两个分支分别分布在第____________象限内，在每一个象限中，y 随x 的增大而__________；当k ＜0时，两个分支分别分布在第_________________象限内，在______________象限中，y 随x 的增大而___________． 练习：1.已知点（2，5）在反比例函数xay =的图象上，其中“a ”是被污染的无法辨认的字迹，则下列各点在该反比例函数图象上的有______________A ．（2，-5）B.（5，2）C.（－5，－2）D.（－5，2） 2.函数）0(<=k xky 的图象上有两点（－3,y 1）, （－1,y 2）,则函数值y 1、y 2的大小关系是_______________;若（2,y 3）也是图象上的点，y 1、y 2 、y 3的大小关系是____________ 3.已知点P 是反比例函数xky =(k ≠0）的图像上任一点，过P 点分别作x 轴，y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为（ ） A ．2 B ．-2 C ．±2 D ．44.写出一个反比例函数，使它的图象在第二、四象限，这个函数解析式为5.下列四个函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是（） A.y =2x B.y =x +3 C. x y 2-= D.xy 2= 6.已知反比例函数xmy -=3的两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，当x 1＜0＜x 2时，y 1＜y 2。
第17章《反比例函数》期末复习资料
《反比例函数》的基本知识、主要考点、配套试题§17．1．1 反比例函数的意义反比例函数的形式为)0,(≠=k k xky 为常数，两种变式：①1-=kx y ；②xy k = ◆考点1．变式①考题：函数4||)3(--=a x a y 是反比例函数，则a= ；若函数52)1(-+=a xa y 的图象是双曲线，有一分支在第四象限，则a= 。
变式②“xy k =”有多重含义：第一重： 反比例函数的两个变量之积等于一个常量（定值） ◆考点2．判断两个变量是否成反比例关系考题：下列各问题中的两个变量是否成反比例函数关系，填上“是”或“否” (1)中国水资源总量不变，人均占有水资源y （吨）与人口数n 的关系 （ ） (2)小明骑车速度不变，所走路程s （米）与骑行时间t （秒）的关系 （ ） (3)小明家离校300m ，小明上学路上所花时间t 与行走速度v 的关系 （ ） (4)流经定值电阻的电流I 与电阻两端电压U 的关系 （ ） 第二重： 利用两个变量（或纵横坐标）之积求比例系数k 的值 ◆考点3．待定系数法 考题：1、点：M （1，－6）、N （2，4）、P （－6，－1）、Q （3，－2），其中在反比例函数xy 6= 图象上的点是（ ）A ．M 点B ．N 点C ．P 点D ．Q 点 2、将反比例函数)0(1>=x xy 的图象先向右平移两个单位，再向上平移一个单位，所得图象的函数解析式是（ ） A ．)0(5>-=x x y B ．)0(5>=x x y C ．)0(6>-=x x y D ．)0(6>=x xy 第三重： 双曲线上任一点与x 、y 轴构成的矩形面积是定值||k ；双曲线上任一点作一条坐标轴的垂线，并与原点一起构成的直角三角形面积也是定值2||k 。
◆考点4．利用k 求面积，或利用面积求k 的值. 考题：1、函数x y =与xy 4=的图象交于点A 、B ，过点A 作AC ⊥y 轴，则△ABC 的面积是 。
第十七章反比例函数知识点及复习题
反比例函数的复习一、反比例函数的概念： 知识要点：1、一般地，形如 y = xk( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A ）y = xk（k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0）（用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式；）（C ）y=kx -1（k ≠0）注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 反比例函数的自变量，故函数图象与x 轴、y 轴无交点．例题讲解：有关反比例函数的解析式1、（1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x= ；其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。
2.下列函数中，哪些是反比例函数？( )（1）y=-3x ； （2）y=2x+1； （3） y=x2；（4）y=3(x-1)2+1；3、下列函数中，哪些是反比例函数（x 为自变量）？说出反比例函数的比例系数：（1）x y 1-= ；（2）xy=12 ；（3） xy= -13 （4）y=3x4、列出下列函数关系式，并指出它们是分别什么函数．说出比例系数①火车从安庆驶往约200千米的合肥，若火车的平均速度为60千米／时，求火车距离安庆的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式②某中学现有存煤20吨，如果平均每天烧煤x 吨，共烧了y 天，求y 与x 之间的函数关系式．5、.已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是ycm ，宽是5cm ，高是xcm ． （1） 写出用高表示长的函数式； （2） 写出自变量x 的取值范围； （3） 当x ＝3cm 时，求y 的值（1）y 和x 之间的函数关系式；（2）当x 31=时，求y 的值； (3)y ＝3时，x 的值。
反比例函数复习
2.过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的 面积等于｜k｜.
课时训练
1.(2002年· 泸州市)如图所示，当k＜0时，反比例函数 y=k/x和一次函数y=kx+2的图像大致是图 ( B )
课时训练
2.(2002年· 武汉市)若点(3，4)是反比例函数 m 2 + 2 m 1 的图像上一点，则此函数图像必经过点( A ) y
x
A.(2，6)
B.(2，-6)
C.(4，-3)
D.(3，-4)
3.如图所示，正比例函数y=kx (k＞0) 与反比例函数y=1/x的图像相交于A、C 两点，过A作x轴的垂线交x轴于B， 连接BC.若△ABC面积为S，则 (A) A.S=1 B.S=2 C.S=3 D.不能确定
课时训练
4.已知：y=y1+y2，其中y1与x成反比，且比例系数是k1 ，y2与x2成正比，且比例系数是k2，若x=-1时，y=0， 则k1与k2的关系是( B ) A.k1+k2=0 B.k1-k2=0 C.k1· 2=1 k D.k1· 2=-1 k 5.如图所示，已知点P是反 比例函数y=k/x的图像在第 二象限内的一点，过P点分 别作x轴、y轴的垂线，垂 足为M、N，若矩形OMPN 的面积为5，则k= -5 .
k3 k1 k2 y ,y ,y 4.如图三个反比例函数 x x x
课前热身
在x轴上方的图像，由此观察得到的大小关系为（ B ） A.k1>k2>k3 B.k2>k3>k1 C.k3>k2>k1 D.k3>k1>k2
课前热身
5.(2003年· 重庆市)如图所示.如果 函数y=-kx(k≠0)与y=-4/x的图像 交于A、B两点，过点A作AC垂直 于y轴，垂足为点C，则△BOC的 面积为 2 . 6.(2003年· 山西省)已知：反比例函数y=k/x(k≠0)，当x ＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx-k的图 像经过( B ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
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《反比例函数》的基本知识、主要考点、配套试题§17．1．1 反比例函数的意义1-=kx y ；②xy k = ◆考点1．变式①考题：函数4||)3(--=a x a y 是反比例函数，则a=；若函数52)1(-+=a xa y 的图象是双曲线，有一分支在第四象限，则a=。
变式②“xy k =”有多重含义：第一重：反比例函数的两个变量之积等于一个常量（定值） ◆考点2．判断两个变量是否成反比例关系考题：下列各问题中的两个变量是否成反比例函数关系，填上“是”或“否” (1)中国水资源总量不变，人均占有水资源y （吨）与人口数n 的关系（） (2)小明骑车速度不变，所走路程s （米）与骑行时间t （秒）的关系（） (3)小明家离校300m ，小明上学路上所花时间t 与行走速度v 的关系（） (4)流经定值电阻的电流I 与电阻两端电压U 的关系（） 第二重：利用两个变量（或纵横坐标）之积求比例系数k 的值 ◆考点3．待定系数法 考题：1、点：M （1，－6）、N （2，4）、P （－6，－1）、Q （3，－2），其中在反比例函数xy 6=图象上的点是（）A ．M 点B ．N 点C ．P 点D ．Q 点 2、将反比函数)0(1>=x xy 的图象先向右平移两个单位，再向上平移一个单位，所得图象的函数解析式是（） A ．)0(5>-=x x y B ．)0(5>=x x y C ．)0(6>-=x x y D ．)0(6>=x xy 第三重：双曲线上任一点与x 、y 轴构成的矩形面积是定值||k ；双曲线上任一点作一条坐标轴的垂线，并与原点一起构成的直角三角形面积也是定值2||k 。
◆考点4．利用k 求面积，或利用面积求k 的值. 考题：1、函数x y =与xy 4=的图象交于点A 、B ，过点A 作AC ⊥y 轴，则△ABC 的面积是。
2、如图，正方形OABC 的边长为1，反比例函数xk y = 的图象经过点B ，则k 的值为。
（注意点：利用面积求k 时，一定要“看象限定符号” ）§17．1．2 反比例函数的图象与性质反比例函数的图象是双曲线，两个分支关于原点对称；当k ＞0时，图象处于一、三象限，在每个象限内y 都随x 的增大而减小； 当k ＜0时，图象处于二、四象限，在每个象限内y 都随x 的增大而增大。
◆考点1．k 的符号⇔图象位置（草图）⇔增减性 考题：1、请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数。
2、在反比例函数xky -=1图象的每个分支上，y 都随x 的增大而增大，则k 的值可能是（） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23、点A 是x 正半轴上的一个定点，点B 是双曲线)0(3>=x xy 上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△AOB 的面积将会（）A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小xxx◆考点2．函数值的大小比较解法指导：选择恰当特殊值计算、比较；或画草图比较点的高低 考题：1、若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是双曲线xy 3=上的两点，且x 1＞x 2＞0，则y 1y 2（填“＞”、“＜”或“＝” ）。
2、反比例函数xm y 12-=的图象如图所示，A （－1，b 1），B （－2，b 2）是该图象上的两个点。
(1)比较b 1与b 2的大小； (2)求m 的取值范围。
◆考点3．根据情景选择恰当图象（解法指导：看象限、看趋势、看函数类型） 考题：1、一个直角三角形的两直角边分别为x ，y ，面积为2，则y 关于x 的关系用图象表示大致是（）2、物体的质量不变，它对地面的压强P 与它跟地面接触面积S 的关系大致符合图（）若改为：S 不变，则P 与F 的关系应该是图（）◆考点4．图象的共存性 解法指导：各行其是、寻找矛盾 考题：1、函数b kx y +=与xkby =（0≠kb ）图象在同一个坐标系中大致是（）2、函数k x k y +-=)1(与xky =的图象在坐标系中的图象可以是（）◆考点5．反比例函数综合题一般的解题程序： 考题：1、直线AB 分别与x 、y 轴交于点B 、A ，与双曲线xmy =交于点C （1，6）、D （3，n ）。
过点C 作CE ⊥y 轴于E ，过点D作DF⊥x 轴于F 。
(1)求m ，n 的值；(2)求直线AB 的函数解析式； (3)求证：△AEC ≌△DFB 。
数法待定系符号注意x2、如图，点A 、B 在函数)0(>=x xmy 上。
(1)求m 的值及直线AB 的解析式；(2)我们称纵横坐标均为整数的点为格点，请直接写出 图中阴影部分（不包括边界）的格点个数。
3、已知图中曲线是反比例函数xm y 5-=图象一支。
(1)图象另一支在第象限，常数m 的取值范围；(2)该图象与直线x y 2=在第一象限交于点A ，过点A ， 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，△AOB 面积为4，则点A 坐 标为，m=。
4、正方形OABC 面积为4，点B 在双 曲线xky =上，R 是双曲线上异于B 的动点， 作RM ⊥x 轴，RN ⊥y 轴，从矩形OMRN 中减 去正方形OABC 的面积为m ，则点R 坐标用m 表示为。
（注意：分类讨论）5、点P （2，1.5），PA ∥x 轴且交y 轴于点A ， 交双曲线xky =于点N ，过点P 作PM ⊥AN 交双曲线 于点M ，已知PN=4，则k=，△APM 的面积 为。
6、如图，一次函数1+=kx y 的图象与反比例函数xy 92=的图象在第一象限交于点A ，过点A 分别作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，若四边形OBAC 是正方形，求一次函数的解析式。
7、函数)0(1≥=x x y 和)0(42>=x xy 的图象如图所示，则结论： (1)两函数图象的交点A 的坐标为（2，2）； (2)当x ＞2时，y 2＞y 1； (3)当x=1时，BC=3；(4)当x 逐渐增大时，y 1随x 的增大而增大， y 2随x 的增大而减小。
其中正确的结论的序号是。
8、如图，一次函数1+=x y 与反比例函数xky =图象都过点（1，m ） (1)求反比例函数的关系式；(2)根据图象直接写出使这两个函数值都 小于0时的x 的取值范围。
9、直线b kx y +=与双曲线xmy =交于点A （－4，n ），B （2，－4）。
(1)求两个函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 面积；(3)求方程0=-+xmb kx 的解；(4) 求不等式0<-+xmb kx 的解集。
10、如图，反比例函数xky =的图象与直线m x y +=在第一象限交于点P （6，2），A 、B 为直线上两点，点A 横坐标为2，点B 横坐标为3，AD 、BC 分别平行于y 轴。
(1)直接写出k ，m 的值； (2)求梯形ABCD 的面积。
11、反比例函数xky =在第一象限的图象如图所示， 则k 的值可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．412、点A 在双曲线)0(3>=x xy 上，则正△AOB 的 面积为，点B 坐标为。
13、双曲线)0(16>=x xy 上有A 、B 、C 、 D 、E 共5个整点，分别向坐标轴作垂线段，由垂 线段所在正方形的边长为半径作两条四分之一圆 周组成橄榄形，则五个橄榄形（阴影部分）的面 积总和为（用π表示）。
§17．2 反比例函数的应用◆考点：极值思想和实际问题考题：（09河南）点A （2，1）在双曲线xky =上，当41<<x 时，则y 的取值范围是。
（09山西）反比例函数xy 3=，当1-<x 时，y 的取值范围是。
（09舟山）某公司有某种海产品2104kg ，为寻求合适价格，进行8天试销，情况如下：(1)猜想函数关系式：，并补全表格；(2)试销8天后，公司决定将售价定为150元/kg ，则余下海产品预计天可全部售出？(3)按(2)中价格继续销售15天后，公司发现剩余海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新价格销售，那么新确定的价格最高不超过多少元/kg才能完成销售任务？附：“反比例函数与图形面积”的专题学习★要点简述:如图，对于双曲线xky =上任意一点P(m ，n)，恒有mn=k ，过点P 作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，则有PA=OB=| n |，PB=OA=| m |。
例题．（06滨州）如图，点M(2，1)、N(2，6)，反比例函数xky =的图象与线段MN 相交，过点P 作PG ⊥y 轴，则△OPG 的面积S 取值范围是。
分析：∵k ＞0，∴S=21k=21xy∵2×1≤xy≤2×6∴1≤S≤6练习：1．如图，点P 是双曲线xky =上一点， 若△POD 的面积为8，则k=。
2． 上图中，点P 是双曲线xy 2-=上一点， PD ⊥x 轴，则△POD 的面积是。
拓展①如图，直线AB 与双曲线xy 4-=交于 点A 、B ，过点A 作AC ⊥y 轴，连接BC ， 则△ABC 的面积是。
拓展②如图，直线AB 与双曲线xy 4-=交于点A 、B ，AC ⊥y 轴，BC ⊥x 轴，则△ABC.||21|;|||||:k S S k n m S OPB OPA OAPB ===⋅=∆∆矩形从而有xx的面积是。
拓展③如图，直线AC 与双曲线xy 4=交于点 A 、B ，AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，连接BC ，AD ， 则四边形ABCD 的面积是。
3． 如图，点A 、B 是双曲线同一支上两点，过 点A 作AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，OB 与AM 交于 点P ，则有（）A ．BPMN AOP S S 梯形<∆B ．BPMN AOP S S 梯形=∆C ．BPMN AOP S S 梯形>∆D ．无法确定 拓展①如图，点A 、B 是双曲线同一支上两点，过点 A 作AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，连接AB ，设△AOB 的 面积为S 1，梯形AMNB 的面积为S 2，则有（） A ．21S S < B ．21S S = C ．21S S > 拓展②如图，点A 、B 在反比例函数xky =的图象上， 点A 、B 的横坐标分别为a ，2a （a ＞0），AC ⊥x 轴 于点C ，△AOC 的面积为2， (1)k=；(2)若点A （－a ，y 1）、B （－2a ，y 2）在该双曲线上， 则有y 1y 2； (3)S △AOB =。
拓展③双曲线x k y =（k ＞0）与直线x y 21=交于点A 、点A 的横坐标为4， (1)k=，点A （），B （）；(2)过原点O 还有一条直线l 与双曲线交于点P ，Q （点P在A 的上方），若四边形APBQ 的面积为24， 则点P 坐标为（）。