(no.1)2013年高中数学教学论文 新教材之见

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从平面向量的引入浅鉴高中数学新教材改革之一隅

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随着人类新型知识体系的构建和形成，新的教育理念正在向传统的教育模式发起挑战，促使其必须进行重大革命，以适应高度发展起来的现任新型知识体系。直到19世纪末20世纪初才发展起来的“向量数学”，以其在物理学、空间物质结构中的广泛应用，而备受人们所观注，进而很快形成了一套具有优良运算通法的数学体系，现已被纳入中学数学基础教程中，成为数学新教材改革的一大闪光点。

一、人类新知识体系，使得21世纪的基础教育课程结构更加现代化。

按照英国技术预测专家詹姆斯·马丁的预测，人类的科学知识在10世纪是每50年增加1倍，在20世纪中期是每10年增加1倍，而当前是每3—5年增加1倍。他的预测的精确程度还有待考究，但据联合国教科文组织的统计，截止1980年，当代人类知识体系中，人类有史以来100多万年积累的知识占10%，而近30年积累的占90%，而90年代后，人类知识积累速度更加迅速。显然人类新知识体系显现出了前所未有的高度膨胀的短周期效应，这就使人类基础教育课程结构改革必须跟上时代发展的步伐。

现代电子办公一体化的形成，复印机、传真机、可视电话、移动通信、国际互联网（Internet）以及全球卫星定位系统可谓是真正进入了人们的日常生活。比如，网络时代的产物：E-mail的接发、信息查询（Archie）、登录环球各信息网站（www）等等，这些都标志着的高度信息化社会的到来，大量有用的和无用的信息越来越多，传播越来越便捷，人们获取和传播信息的方式和能力显然与过去有了天地之别，这对现代中学基础教课程教材提供了众多新的课题。

由于刚过去的20世纪，我国教育从中小学到大学基本了停留在18、19世纪的旧知识体系上，不少陈旧知识占去了学生相当多的学习时间，学习知识老化与迅速发展的科学技术极不相称。更加让学子们不能接受的事实是，现在所学的内容在今后5—6年毕业后，已经陈旧甚至被淘汰。怎样解决这一系列矛盾呢？现代化的电子媒介技术为基础教育课程改革提供了的新的广阔前景，这也许就是人们通常所认为的“教学相长”吧，教育推动了科学技术的

进步，同样进步了的科学技术反过来又会推动教育向更高层面上发展。

在现代教育技术支持下，教师一改过去“单一的传授教材知识”转变为“辅以现代媒体技术的现代教材体系”。目前，新的课程数学教学要求中，明确增加通过“研究性课题”使学生学会提出问题，明确探究方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力。二、平面向量的引入，充分体现了高新教材改革的深度和广度。

受新知识体系的影响，作为最近一个世纪才兴起的“向量数学”这套数学体系，以其优良的运算通性，将数学中的“数量”运算与物理中的“矢量”运算有机地结合起来，充分数学作为一门基础性学科的重要地位。

向量作为一种新的量，它不同于数量，数量的代数运算在向量范围不一定能施行，因此在实际教学中，应明确数量和向量的区别，并重新规定了向量的加法、减法、实数和向量的积、向量的数性积和矢性积等运算法则。并在引入二维坐标系后，将向量与坐标紧紧联系起来，增加了向量的渗透性和实用性，更体现了向量运算的价值，下面简单附几例以亨读者。

例1 设△ABC是锐角三角形，在△ABC外分别作等腰Rt△BCD、△ABE、△CAF，在这三个三角形中，∠BDC、∠BAE、∠CFA是直角，又在四边形BCFE外作等腰Rt△

EFG，∠EFG是直角，求证：（1）GA=2AD （2）∠GAD=1350

（1994年上海市试题）

【简析】：以点A为原点建立直角坐标系（复平面），

记G相应的复数为Z G，D相应复数为Z D，如图，

Z G=AG=AF+FG

=AF+EF i

=AF+（EA+AF）i =AF（1+i）+BA （-1+i）Z

D=（-1+

i）AD

=DA+AD i

=DB+BA+（AC+CD）i

=BA+DB+BD+AC i

=BA+（AF+FC）i

=BA+AF（1+i）

∴Z G=（-1+i）Z D即 GA=2AD ，∠GAD=1350 。

【评析】：此题将向量与复数二维坐标系完美地结合起来，化繁为简，创造性使用向量完成了证明，值得同学们借鉴。本题也可用传统平几证明方法证明，这里不再赘述。

例2 如图，已知位于同一平面内的正三角形ABC ，CDE 和EHK （顶点依逆时针方向排

列），并且AD=D K 。证明：△BHD 也是正三角形。

（1981年苏联试题）

【简析】：将△CAD 绕C 点逆时针旋转600，易知其得到△CBE ， ∴ │AD │=│BE │ 且AD 、BE 夹角

为600 又∵AD=DK

∴│DK │=│AD │=│BE │ 且DK 、BE 的夹

角也是600

再将△HBE 绕H 顺针旋转600，又因为

△

EHK 是正三角形，所以点E 转到K ，线段EB

与KD 重合，即B 转到D

于是│HB │=│HD │，∴HB 、HD 夹角为600

∴ △BHD 是正三角形。 【评析】：此题巧妙利用了向量与向量的夹角证明了正三角形的结论。实际题中条件“”等价于“在一直线上，”这个条件，读者可以利用初等平几知识进行证明，但均不如向量证法简洁明了。

例3 在半径为15cm 的均匀铁板上，挖去一个圆洞，已知圆洞的圆心和铁板的中心相距8cm ，圆洞的半径是5cm 【简析】：如图，以铁板中心O 1为原点建立直角坐

标系，设挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为

O ’（x,0）及圆洞中心O 2

如果在O ’（x,0）处给一个支持点，根据重

心原理，剩下的铁板应该处于力的平衡状态，即

其余各力的力矩和应为，则

│F 1│·│O ’ O 1│-│F 2│·│O ’ O 2│=│0│

------------------------------------------

----------------(*)

这里，│F 1│=π×152 │F 2│=π×52

│O ’ O 1│= x │O ’ O 2│= 8+x

代入(*)得，x = -1

∴挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为O ’（-1,0） 【评析】：这实质上是一道物理题的“变题”，利用“物体在平衡时，力矩和为0”来解题，