第2章 粗糙集理论的基本概念

（3）x5 , x6 , x8 } {x3 , x4 , x7 , x8 } {x8 }. { 它们分别表示{R1 , R2 }的基本范畴：红色三角 形，蓝色方形，黄色三角形。同样，任何一 个人可以得到知识{R1 , R3 }或{R2 , R3}的基本范畴。 (4){x1 , x3 , x7 } {x3 , x4 , x7 , x8 } {x2 , x7 , x8 } {x7 } （5）x2 , x4 } {x2 , x6 } {x2 , x7 , x8 } {x2 } { （6）x5 , x6 , x8 } {x3 , x4 , x7 , x8 } {x2 , x7 , x8 } {x8 } { 它们分别表示知识{R1 , R2 , R3 }的基本范畴： 红色三角形，蓝色大方形，黄色大三角形。
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当然， U / IND ( Ri ) U / IND ( Ri ),
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所以根据定义2.4可知，知识库K1与知识库K 2不等价， 且知识库K1比知识库K 2更细。
2.2粗糙集的基本定义及其性质
定义2.5 (集合的下近似和上近似)给定知识库 (近似空间)K (U , S )，其中，U 为论域， S 表示论域U 上的等价关系簇，则X U 和论域U 上的一个等价关系R IND ( K )， 我们定义子集(概念或信息粒)X 关于知识 R的下近似和上近似分别为 R ( X ) { X | (x U ) ([ x]R X )} {Y | (Y U / R ) (Y X )}, (2.2) R ( X ) { X | (x U ) ([ x]R X )} {Y | (Y U / R ) (Y X )}, (2.3)
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都能在U / IND( Ri )中找到一个元素，使得前者
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包含或真包含于后者，
换句话说，U / IND ( Ri )的商集中的每一个
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元素都是U / IND ( Ri )的商集中某一个元素
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的子集或真子集。由此可得 U / IND ( Ri ) U / IND ( Ri ),
表2.1积木的信息表
U(积木) X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 R1 (颜色） R2（形状) R3（体积） 红 圆形 小 蓝 方形 大 红 三角形 小 蓝 三角形 小 黄 圆形 小 黄 方形 小 红 三角形 大 黄 三角形 大
解：按颜色分类：红 x1，x3，x7 ; 蓝 x2，x4 ；黄 x5，x6，x8 。 按形状分类：圆形 x1，x5 ； 方形 x2，x6 ；三角形 x3，x4，x7，x8 。 按体积分类：大 x2，x7，x8 ； 小 x1，x3，x4，x5，x6 。 换言之，三个属性定义了三个等价关系：颜色R1 , 形状R2，体积R3，通过这些等价关系，可以得到下面 用集合表示的论域的不同划分。
U / R1 {{x1 , x3 , x7 }， 2 , x4 }， 5 , x6 , x8 }}。 {x {x U / R2 {{x1 , x5 }， 2 , x6 }， 3 , x4 , x7 , x8 }}。 {x {x U / R3 {{x2 , x7 , x8 }， 1 , x3 , x4 , x5 , x6 }}。 {x 这些等价类构成知识库K (U ,{R1 , R2 , R3 }) 中的初等概念(初等范畴)。 基本范畴是由初等范畴的交集构成的，例如： （）x1 , x3 , x7 } {x3 , x4 , x7 , x8 } {x3 , x7 }, 1{ （2）x2 , x4 } {x2 , x6 } {x2 }, {
关于颜色R1，形状R2，体积R3的初等范畴： U / R1 {{x1 , x3 , x7 },{x2 , x4 },{x5 , x6 , x8 }}. U / R2 {{x1 , x5 },{x2 , x6 },{x3 , x4 , x7 , x8 }}. U / R3 {{x2 , x7 , x8 },{x1 , x3 , x4 , x5 , x6 }}. 关于{颜色R1 , 形状R2 }{颜色R1 , 体积R3 }， ， {形状R2 , 体积R3 }的基本范畴： U /{R1 , R2 } {{x1},{x2 },{x3 , x7 },{x4 },{x5 },{x6 },{x8 }}. U /{R1 , R3 } {{x1 , x3 },{x2 },{x4 }{x5 , x6 },{x7 },{ x8}}. U /{R2 , R3 } {{x1 , x5 },{x2 },{x3 , x4 }{x6 },{x7 , x8}}.
它们分别表示知识{R1}的初等范畴：红或蓝 (非黄)，蓝或黄(非红)，红或黄(非蓝)。 同样，通过分类我们可以获得知识{R2 }和{R3 } 的初等范畴。
注意：有些范畴在这个知识库中是无法得到 的，例如： （ ）x2 , x4 } {x1 , x5 } , 10 { （ ）x1 , x3 , x7 } {x2 , x6 } . 11 { 这也就是说，在这个知识库中不存在蓝色圆形 和红色方形的范畴，它们是空范畴。 上述方法是利用集合的交合并运算来获取知识 库的概念，也可以直接利用不可分辨关系来直 接获取知识概念。
第2章 粗糙集理论的基本概念 2.1知识与知识库
人的分类能力是对事物的认识能力， 是一种知识。从认知科学的观点来理解知 识，知识可以被理解为对事物的分类能力 及知识的分类能力可用知识系统的集合表 达形式来描述。知识在不同的范畴中有许 不同的含义。粗糙集理论认为，知识直接 与真实或抽象世界的不同分类模式联系在 一起。知识被看作是关于论域的划分，是 一种对对象进行分类的能力。
关于{颜色R1 , 形状R2 , 体积R3}的基本范畴： U /{R1 , R2 , R3} {{x1},{x2 },{x3},{x4 },{x5 },{x6 }, {x7 }{x8 }}. 上述概念是这个知识库中所有可定义的概念， 它们是在求解相关问题时可利用的知识基础。 类似地，我们可以讨论更复杂的知识库。
解：因为 U / IND( Ri ) [ x]Ri {{x1},{x2 },{x3},{x4 },{ x5}},
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U / IND( Ri ) [ x]Ri {{x1},{x3},{x2 , x4 , x5}}.
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显然，对于U / IND( Ri )中任意一个元素，
定义2.3（不可分辨关系（不分明关系）） 给定一个论域U和U上的一簇等价关系S， 若PS,且P≠，则P(P中所有等价关系的 交集）仍然是论域U上的一个等价关系， 称为∩P上的不可分辨关系，记为IND(P)， 也常简记为P。而且，
x U ,[ x]IND ( P ) [ x]P [ x]R
例2.2 给定两个知识库K1 (U ,{R1 , R2 , R3}) 和K 2 (U ,{R1 , R2 })， 其中论域U {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }，且 U / R1 {{x1 , x3},{x2 , x4 , x 5}}, U / R2 {{x1},{x2 , x3 , x4 , x5 }}, U / R3 {{x1 , x4 },{x2 , x3},{x 5}}. 试分析这两个知识库的粗细关系。
定义1.2（知识库) U为给定的一个论域，S 是U上的一簇等价关系，称二元组K= （U,S）是关于论域U上的一个知识库或近 似空间。 因此，论域上的等价关系就代表着划 分和知识。这样，知识库就表示了论域上 的由等价关系（这里指属性特征及其有限 个的交）导出的各种各样的知识，即划分 或分类模式，同时代表了对论域的分类能 力，并隐含着知识库中概念之间存在的各 种关系。
定义2.4（两个知识库的关系）设K1=(U,S1)和 K2=(U,S2)为两个知识库，如果IND(S1)=IND(S2)， 即U/IND(S1)=U/IND(S2)，则称知识库K1与K2是等 价的，记为K1K2或者S1S2。因此当两个知识库有 同样的基本范畴集时，这两个知识库中的知识都能 使我们确切的表达关于论域的完全相同的事实。这 就意味着可以用不同的属性集对论域的对象进行描 述，以表达关于论域完全相同的知识。如果 IND(S1)IND(S2)，我们称知识库K1（知识S1）比 知识库K1（知识S2）更精细，或者说K2（知识S2） 比K1（知识S1）更粗糙。当S1比S2更精细时，我们 也称S1为S2的转化，或S2为S1的泛化。泛化意味着 将某些范畴组合在一起，而特化则是将范畴分割成 更小的概念。如果上述两种情形都不满足，则称两 个知识库不能比较粗细。
我们知道U的划分{X1, X2,…, Xn}与U上 的等价关系R一一对应，即给定U的一个划 分{X1, X2,…, Xn}等同于给定U上的一个等 价关系R，从数学的角度讲，关系的表示和 处理比分类的表示和处Байду номын сангаас简单得多，因此， 我们通常用等价关系或关系来表示分类及知 识。因此知识也可以定义为，设R是U上的 一个等价关系，U/R ={X1, X2,…, Xn} 表示 R产生的分类，称为关于U的一个知识。 通常情形下，我们在问题求解的过程中， 处理的不是论域U上的单一划分（知识或分 类），而是论域U上的一簇划分，这导致了 知识库的概念。
定义1.1（知识和概念（范畴或信息粒）） 设U是给定研究对象的非空有限集合，称为 一个论域。论域U的任何一个子集X U， 称为论域U的一个概念或范畴。论域U的一 个划分{X1, X2,…, Xn}（概念簇）称为关于 U的抽象知识，简称知识。为了规范化，我 们认为空集也是一个概念，称为空概念。 在粗糙集理论中，主要讨论的是那些 能够在论域U上形成划分或覆盖的知识。
例2.1给定一玩具积木的论域, U x1 , x2 ,..., x8 并假设这些积木有不同的颜色(红、黄、蓝）， 形状（方形、圆形、三角形），体积（小、大）， 见表2.1.因此，这些积木都可以用颜色、形状、 体积这些知识来描述，例如一块积木可以是红色、 小而圆的，或黄色、大而方的等。如果我们根据 某一属性描述这些积木的情形，就可以按颜色、 形状或体积分来。
RP
(2.1)
这样，U/IND(P)= { [x]IND(P) | xU} 表示与 等价关系IND(P)相关的知识，称为知识库K=(U,S)中 关于论域U的P-基本知识（P-基本集)。在不可能产 生混淆的情况下，即P,U和K都明确时，为了简便， 我们可用P代替IND(P)。用U/P代替U/IND(P)， IND(P)的等价类也称为知识P的基本概念或基本范 畴。事实上，P基本范畴拥有知识P的论域的基本特 征，换句话说，他们是知识的基本模块。特别地， 如果QS,则称Q是关于论域U的Q-初等知识，Q的等 价类为知识S的Q初等概念或初等范畴。 我们用IND(K)={IND(P)| ≠P S}表示知识库 K=(U,S)中所有等价关系，他对于集合的交运算是封 闭的。任意有限个P-基本范畴的并，称为P-范畴； 知识库K=(U,S)中所有的范畴称为K-范畴。
下面考虑概念的组合： （7） x1 , x3 , x7 x2 , x4 x1 , x2 , x3 , x4 , x7 , （8） x2 , x4 x5 , x6 , x8 x2 , x4 , x5 , x6 , x8 , （9） x1 , x3 , x7 x5 , x6 , x8 x1 , x3 , x5 , x6 , x7 , x8 .