张量的基本性质

xx e1 e1
3 3 11e1 e1 12 e1 e 2 ...... 33 e3 e3 ij ei e j i 1 j 1
从数学上说，可引入 e1 e2 个基矢。
en
n 阶基， n阶基中有3 n
与
n
阶基相关连的量称为
Aik B jk Cij
表示9个方程：
i ，j为自由指标，k 为哑标
A1k B1k A11B11 A12 B12 A13 B13 C11 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13 B23 C12 A1k B3k A11B31 A12 B32 A13 B33 C13 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23 B13 C21
ij, j
i1 i 2 i 3 x j x1 x2 x3 ij
*若重复出现的标号不求和，应特别声明
1.2.3 自由指标
一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非 重复的的指标，称为自由指标。对于自由指标可以从最小数取 到最大数。 例如
11 12 13 1 0 0 0 1 0 22 23 21 31 32 33 0 0 1
ij 符号的性质： ei e j ij
① 对称性
ij ji
ii 11 22 33 3
x2
记法：
（1）实体记法： r
（或黑体字母） r
（2）分解式记法：同时写出矢量的分量和相应 分解分量的基。
3 r r1 e1 r2 e 2 r3 e3 ri ei i 1
（3）分量记法： 将矢量用其全部分量的集合 来表示
r（ r1、r2、r3 )
（4）矩阵记法：
xi aij x j
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。
一个自由指标每次可取整数1,2, 3, …, n，与哑标一样， 无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
a11x1 a12 x2 a13 x3 x1 a21x1 a22 x2 a23 x3 x2 a31x1 a32 x2 a33 x3 x3
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
含偏导数项的下标记号表示法：
ai a1 a2 a3 ai， i xi x1 x2 x3
S aij xi x j
i 1 j1
3
3
展开式（9项）
S a11 x1 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a21 x2 x1 a22 x2 x2 a23 x2 x3 a31 x1 x1 a32 x1 x2 a33 x1 x3
S aijk xi x j xk aijk xi x j xk
于是
S ai xi a j x j ak xk
or
or
* 1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）
*2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出
aibi xi
双重求和
是违约的，求和时要保留求和号
ab x
i 1
n
i i i
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和
S aij xi x j
矢量点积的实例 设
re
i 1 i
3
i
ri ei
a, b 为两矢量，其分量分别记为
3
ai , bi，则：
a b a1b1 a2b2 a3b3 ai bi ai bi
i 1
哑标：在表达式的某项中，若某指标重复出现两 次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和。 该重复指标称为“哑标”或“伪标”。
n 阶张量。
n 1 时为矢量；n 2 时为二阶张量（简 n 0 时为标量；
称张量）。
故矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。来自百度文库量由1个分量 组成，矢量由3个分量组成，二阶张量由9个分量组成； 三阶张量由27个分量组成，n阶张量由3n个分量组成。
1.2 张量表示 1.2.1.下标记号法——张量的最简洁的一种表示方法 点的坐标(x,y,z) （矢径） x1 , x2 , x3 xi (i 1,2,3) 点的位移(u,v,w) 点的速度 v x , v y , v z
F 等。矢量可用一个有向线段来确定。
x3 r
3 r r1 e1 r2 e 2 r3 e3 ri ei
其中 向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的 投影（分量），都有一个下标。
e1 、e2 、e3 为坐标的基矢量（单位
x1
i 1
e3
e e1 2
R3 C3 E3
规定： 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。
又如，方程
1 11 2 2 2 3 3 3
2 1 2 2 2 3
用指标法表示，可写成
j j i i i i i i i i i
i 1 j1 k 1
3
3
3
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题：
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33
ij ij i1 i1 i 2 i 2 i 3 i 3
i, j , k , 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.
n阶张量可表示为
ai1i2 i3 ... in (i1 1,2,3; i2 1,2,3; ; in 1,2,3)
ai1i2i3 ...in
1.2.2求和约定 （ Einstein求和约定）
r r 1e1 r 2 e2 r 3e3
张量基本知识
第一章 张量代数
1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标
1.1 基本概念
1. 标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选 择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量 无下标。
r 2. 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 （或黑
体）、位移 u 、力
微分符号：
f f f f , , f ,i x1 x 2 x3 xi ( i f ) (i 1,2,3)
2 f 2 f 2 f 2 f , 2 , 2 , f , ij 2 x1 x2 x3 x1 x2
(i, j 1,2,3)
约定： 在该约定 下，上述简写表达式后的说明 (i 1,2,3) 或 (i, j 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。
ij, j f i 0
表示如下3个方程：
i 为自由指标，j 为哑标
11 12 13 x t xy t xz f1 0 x y z f x 0 x2 x3 x1 t yx y t yz 21 22 23 等价为 fy 0 f2 0 y z x2 x3 x x1 t t zy z 31 32 33 zx fz 0 f3 0 x y z x x x 2 3 1
ij kj ik i1 k1 i 2 k 2 i 3 k 3
1 0 i j i j
ei e j ij
若
e1 , e 2 , e3
是相互垂直的单位矢量，则
ei e j i j
，但
ei ei e1 e1 e 2 e 2 e3 e3 3
② 可进行换标或运算
ij kj ik ij ij ii jj 3 lm mn np lp
ai ij a j aij ij aii
i1a1 i 2 a2 i 3a3 ij a j (i )(i ) ai ai
i 不参与求和，只在数值上等于 i
*3由
ai bi ai ci 不能得出
.
bi ci
例题：
e i Aije j
表示
i 为自由指标，j 为哑标
如下3个方程：
A11e1 A12e 2 A13e3 e1 e 2 A21e1 A22e 2 A23e3 e 3 A31e1 A32e 2 A33e 3
n
p n
常用的应力单元体也是如此：
每一个应力分量也必须用两个方向才能描述，第一个 方向为应力作用面的方向，第二个方向为应力作用的 方向。 于是引入二阶基：
e1 e2 e1e2
每个分量用一个标量 （具有两个下标）与两 个并在一起基矢量（并 矢）表示，称为二阶张 量。
t xye1 e 2
t xz e1 e 3
u1 , u 2 , u3 ui (i 1,2,3) v1 , v2 , v3 vi (i 1,2,3)
应力（张量）： x , y , z ,t xy ,t yx ,t yz ,t zy ,t zx ,t xz
11 , 22 , 33 , 12 , 21 , 23 , 32 , 31 , 13
{r },{ri }
3,张量：有大小，并具有多重方向性的量（可描 述更复杂的物理量）。 如应力 、应变。 有些量不能只利用一个方向来确定。如应力： 它与两个方向有关 在 n 方向（n 为作用面的法矢），应力矢 为 pn ；
. 而在n 方向，应力矢为 pn
pn
n
这说明应力矢本身有方向，而且还与其 作用面方向有关，必须用两个方向才能 描述应力矢。
ij (i, j 1,2,3)
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22 , 33 , 12 , 21, 23 , 32 , 31, 13
ij (i, j 1,2,3)
*1、自由指标仅表示为轮流取值，因此也可以换标， 但必须整个表达式换标 ；
xi aij x j
akj x j xk
x j a ji xi
*2若重复出现的标号不求和的表示：
R1 C1E1
R2 C2 E2
Ri Ci Ei Ci Ei
这里 i 相当于一个自由指标， 而 i 只是在数值上等于 i，并 不与 i 求和。
S a1 x1 a2 x2 an xn ai xi a j x j ak xk
i 1 j1 k 1 n n n
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
……
A3k B3k A31B31 A32 B32 A33 B33 C33
1.3 Kronecker 符号
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
1, i j （kronecher delta） i j 0, i j
i j 可确 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 定一单位矩阵：