相似三角形压轴题含答案

2

1

F D

E

C

A

B

1、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，四边形ABCD 中，BC AD //，点

E 在CB 的延长线上，联结DE ，交AB 于点

F ，联结DB ，AFD DBE ∠=∠，且2DE BE CE =⋅.

(1) 求证：DBE CDE ∠=∠；

（2）当BD 平分ABC ∠时，求证：四边形ABCD 是菱形. 答案：（1）证明：∵CE BE DE ⋅=2，

∴

DE

BE

CE DE =

． …………………………………………（2分） ∵E E ∠=∠， …………………………………………（1分）

∴DBE ∆∽CDE ∆．……………………………………… （1分） ∴CDE DBE ∠=∠． ……………………………………………（1分）

（2） ∵CDE DBE ∠=∠，

又∵AFD DBE ∠=∠，

∴=∠CDE AFD ∠．………………………………………………（1分） ∴DC AB //． ………………………………………………（1分） 又∵BC AD //，

∴四边形ABCD 是平行四边形 ………………………………………（1分） ∵BC AD //，

∴1∠=∠ADB ． ……………………………………………（1分） ∵DB 平分ABC ∠，

∴21∠=∠． …………………………………………（1分） ∴2∠=∠ADB ．

∴AD AB =． ……………………………………………（1分）

∴四边形ABCD 是菱形． ……………………………………………………（1分）

2、（2010•山东省泰安市）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，且满足AD=AB ，∠ADE=∠C

（1）求证：∠AED=∠ADC ，∠DEC=∠B ； （2）求证：AB 2=AE·AC 2．（本小题满分8分）

证明：（1）在△ADE 和△ACD 中

∵∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴∠AED=180°—∠DAE —∠ADE ∠ADC=180°—∠ADE —∠C ∴∠AED=∠ADC

（2分）

∵∠AED+∠DEC=180° ∠ADB+∠ADC=180° ∴∠DEC=∠ADB 又∵AB=AD ∴∠ADB=∠B ∴∠DEC=∠B

（4分）

（2）在△ADE 和△ACD 中

由（1）知∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴△ADE ∽△ACD

（5分）

∴

AD

AC

AE AD

即AD 2=AE·AC

（7分）

又AB=AD ∴AB 2=AE·AC （8分）

3.

（2009泰安）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，C D ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F 。 （1） 求证：FD 2=F B ·FC 。 （2） 若G 是BC 的中点，连接GD ，GD 与EF 垂直吗？并说明理由。

【答案】证明：（1）∵E 是R t △ACD 斜边中点 ∴DE=EA ∴∠A=∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠A …

∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ∴∠FDC=∠FBD ∵F 是公共角 ∴△FB D ∽△FDC ∴

FC

FD

FD FB =

∴FC FB FD •=2 （2）GD ⊥EF

理由如下：

∵DG 是R t △CDB 斜边上的中线， ∴DG=GC ∴∠3=∠4

由（1）得∠4=∠1 ∴∠3=∠1

∵∠3+∠5=90° ∴∠5+∠1=90°

∴DG ⊥EF 4、（2010 广东珠海）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC

(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC AB ∥CD

∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF ∽△DEC

(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC CD=AB=4

又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD 在Rt △ADE 中，DE=63)33(2222=+=+AE AD

∵△ADF ∽△DEC ∴

CD

AF

DE AD =

∴4633AF = AF=32

5、（2010广东肇庆）如图5，∠ACB=90°， AC=BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与AB 交于F.

（1） 求证：△CEB ≌△ADC;

（2） 若AD=9cm ，DE ＝6cm ，求BE 和EF 的长.

【答案】解：（1）因为∠ACB=90°，所以∠BCE+∠ECA=90°. 因为AD ⊥CE 于D ，所以∠CAD+∠ECA=90°. 所以∠BCE=∠CAD.

因为BE ⊥CE 于E ，所以∠BEC=∠CDA=90°. 又因为AC=BC ，所以△CEB ≌△ADC （AAS ）. （3） 因为△CEB ≌△ADC ，所以CE=AD=9cm ，CD=BE.因为DE ＝6cm ，所以CD=CE-DE=3cm.

所以BE=3cm.因为∠BEF=∠ADF=90°，∠EFB=∠DFA,所以△EFB ∽△DFA.所以

BE EF =

AD FD .设EF=x cm ，所以DF=(6-x)cm,所以3=96-x x ,所以x =3

2

cm.

6、.(2009年潍坊)已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD

交AC 于点E ．

（1）求

AE

AC

的值； （2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．

解：（1）

过点F 作FM AC ∥，交BC 于点M ． F Q 为AB 的中点

M ∴为BC 的中点，1

2

FM AC =

． 由FM AC ∥，得CED MFD ∠=∠， ECD FMD FMD ECD ∠=∠∴，△∽△ 23

DC EC DM FM ∴==