杨辉三角应用
研究性学习课题：杨辉三角
THANKS
感谢观看
杨辉三角在其他数学领域的应用研究
总结词
杨辉三角在组合数学、概率论、数论等领域 都有广泛的应用，研究这些应用有助于深入 理解相关数学领域的基本原理。
详细描述
杨辉三角是组合数学中的重要工具，它可以 用来计算组合数、排列数等。此外，杨辉三 角在概率论中也有应用，如计算概率的加法 定理等。同时，杨辉三角在数论中也有应用 ，如计算质因数分解等。研究这些应用有助 于深入理解相关数学领域的基本原理和应用
杨辉三角在计算机科学中的应用
总结词
杨辉三角在计算机科学中也有着广泛的应用，它为计算机算法设计和数据结构提供了重 要的启示。
详细描述
杨辉三角的规律性和高效性使得它在计算机科学中有着广泛的应用。例如，利用杨辉三 角可以设计高效的算法来计算组合数、排列数等，同时也可以利用杨辉三角来设计一些 特殊的数据结构，如动态规划等。此外，杨辉三角在计算机图形学、加密算法等领域也
3
杨辉三角的数字排列方式具有对称性、规律性和 高效性等特点，使得它在解决一些数学问题时具 有独特的优势。
杨辉三角的性质和特点
杨辉三角的每一行数字都是上 一行相邻两个数字之和，这种 递推关系使得杨辉三角具有高
度的自相似性。
杨辉三角的数字排列具有规律 性，如每一行的数字个数、对 称性等，这些规律使得杨辉三 角在解决数学问题时具有高效
杨辉三角在数学归纳法中的应用
总结词
数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的数学方法，而 杨辉三角为其提供了一种有效的工具。
详细描述
在数学归纳法的应用过程中，杨辉三角可以提供组合数的一 些性质和关系，从而简化了归纳法的证明过程。例如，利用 杨辉三角可以证明组合数的递推公式，进而证明与自然数有 关的命题。
杨辉三角经典例题
杨辉三角经典例题
杨辉三角是一种数学图形，由数字排列组成。
它由中国数学家杨辉在公元1261年发明。
杨辉三角的构造规律很简单，每一行的两端都是1，其他数是上一行左右两数之和。
例如，第三行的数字是1 2 1，第四行的数字是1 3 3 1。
杨辉三角在组合数学中，有着广泛的应用，适用于二项式定理的展开、多项式的幂的展开、组合数的计算等问题。
以下是杨辉三角的一个经典例题：给定一个整数n，输出杨辉三角的前n行。
例如，当n=5时，输出：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
解题思路：使用二维数组来表示杨辉三角，先将每一行的两端元素赋值为1，再根据构造规律计算中间的数字。
代码实现：
int main() {
int n;
cin >> n;
int a[100][100] = {0};
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i][1] = a[i][i] = 1;
for (int j = 2; j < i; j++) {
a[i][j] = a[i-1][j-1] + a[i-1][j];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
以上就是关于杨辉三角经典例题的介绍。
20-21版：数学探究 杨辉三角的性质与应用（创新设计）
@《创新设计》
斐波那契数列是指从 0，1 两个数开始，每一位数始终是前两位的和．这个数列 有个神秘的特性，即越往后，相邻两数的比值越来越逼近黄金分割数 0.618(或 1.618，两数互为倒数)．斐波那契数列和黄金分割数不但在大自然中处处可见， 在人类的艺术设计中也是应用非常广泛．
14
@《创新设计》
数学探究 杨辉三角的性质与应用
相关知识阅读 杨辉三角的历史沿革 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．
@《创新设计》
1
@《创新设计》
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中， 记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世 纪 中 叶 ( 约 公 元 1050 年 ) 贾 宪 的 《 释 锁 算 术 》 ， 并 绘 画 了 “ 古 法 七 乘 方 图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”． 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘 方图”． 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发 现一元三次方程解的塔塔利亚．
7．素数 素数是指只能被1和它本身整除的数字．然而在杨辉三角里，除了第二层自然数 列包含了素数以外，其他部分的数字都完美避开了素数．
15
8．可以被特定数整除的数字形成了奇妙的分形结构
@《创新设计》
16
@《创新设计》
17
@《创新设计》
18
@《创新设计》
19
@《创新设计》
如果我们把杨辉三角再放大，就会发现这些可以被特定数字整数的数的分布非常 有规律，它们会形成类似分形的图案．
9
队列的应用杨辉三角的输出的原理
队列的应用：杨辉三角的输出的原理1. 杨辉三角简介杨辉三角是一种数学图形，在中国古代数学中有重要的地位。
它以数的形式构成的三角形，在图形中的每个位置上的数字是上方两个数字之和。
杨辉三角以数学家杨辉的名字命名，也称为帕斯卡三角。
在程序设计中，通过使用队列的应用，我们可以实现杨辉三角的输出。
2. 队列的概念队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构。
它类似于现实生活中排队的场景，先来的人先服务，后来的人后服务。
队列中的元素只能在队列尾部添加，而只能在队列头部删除。
这种特性使得队列在解决许多问题中非常有用，如杨辉三角的输出。
3. 杨辉三角的输出过程杨辉三角的输出可以通过队列来实现。
下面是杨辉三角的输出过程的详细步骤：3.1 创建一个初始队列我们需要创建一个初始的队列，用于存储杨辉三角的每一行的数字。
3.2 将初始队列添加第一行的数值根据杨辉三角的定义，第一行只有一个数字1。
我们将这个数字添加到初始队列中。
3.3 循环生成杨辉三角的每一行从第二行开始，每一行的数字是上一行数字的相邻两个数字之和。
我们可以通过循环来生成每一行的数字，并将这些数字添加到队列中。
3.4 打印队列中的每一行通过遍历队列中的每一行，我们可以按照杨辉三角的格式，将每一行的数字打印出来。
3.5 重复步骤3和步骤4，直到输出指定的行数通过不断循环步骤3和步骤4，我们可以生成并输出指定行数的杨辉三角。
4. 使用队列实现杨辉三角的输出的优势使用队列来实现杨辉三角的输出有以下优势：4.1 简化代码实现通过使用队列，我们可以简化代码实现，减少重复的循环和逻辑判断，使代码更加清晰易懂。
4.2 节省内存空间使用队列的方式可以避免存储整个杨辉三角的所有数字，只需要存储上一行的数字即可，从而减少了内存空间的使用。
4.3 提高代码的可扩展性通过使用队列，我们可以方便地修改程序以输出不同行数的杨辉三角，提高了代码的可扩展性。
结论通过使用队列的应用，我们可以方便地实现杨辉三角的输出。
杨辉三角在日常生活中的有趣应用
杨辉三角在日常生活中的有趣应用杨辉三角，也被称为帕斯卡三角，是一个在数学中非常重要的结构。
它不仅仅在数学中有广泛的应用，而且在日常生活中也有很多有趣的应用。
下面我们就来看看杨辉三角在日常生活中的一些有趣应用。
1.组合数学：杨辉三角的一个重要应用是在组合数学中。
二项式系数是组合数学中的一个重要概念，表示在n个不同元素中选取k个元素的组合数。
杨辉三角的第n行第k个数字就是二项式系数，也就是C(n, k)。
这使得杨辉三角成为了一个非常方便的工具，可以快速地查找二项式系数。
2.概率论：在概率论中，杨辉三角也被广泛应用。
比如，在赌博游戏中，我们可以用杨辉三角来计算各种可能的结果的概率。
假设有一个游戏，玩家可以猜一个骰子的点数，如果猜对了就得奖。
我们可以用杨辉三角来计算玩家猜对点数的概率。
3.编码理论：在编码理论中，杨辉三角也被用来构造一些特殊的编码。
比如，有一种叫做"里德-所罗门码"的编码，就是用杨辉三角来生成的。
这种编码具有很强的纠错能力，被广泛应用在各种数字设备和通信系统中。
4.图形学：在图形学中，杨辉三角也被用来生成一些特殊的图形。
比如，有一种叫做"杨辉三角图"的图形，就是用杨辉三角来生成的。
这种图形具有很强的对称性和美感，被广泛应用在各种设计和艺术作品中。
5.生物学：在生物学中，杨辉三角也被用来描述一些生物学的现象。
比如，在遗传学中，有一种叫做"孟德尔遗传"的现象，就是用杨辉三角来描述的。
这种现象描述了基因在遗传过程中的规律，对于理解生物的遗传和进化具有重要意义。
6.投资理财：在投资理财中，杨辉三角也可以被用来计算投资收益。
假设有一个投资计划，每年投资一定的金额，并且每年的收益率为一定的百分比。
我们可以用杨辉三角来计算在一定年限后，投资的总金额和总收益。
7.教育教学：在教学活动中，杨辉三角也是一个非常好的教学工具。
它可以帮助学生更好地理解数学概念，比如组合数学、概率论等。
浅谈杨辉三角的奥秘及应用
浅谈杨辉三角的奥秘及应用摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。
关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。
随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。
1 杨辉三角与数字11的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。
后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。
假设y=11n当n=0时： y=1；当n=1时： y=11；当n=2时：y=121；当n=3时：y=1331；当n=4时：y=14641；以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下：当n=5时： 1 4 6 4 1⨯ 1 11 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1当n=6时： 1 5 10 10 5 1⨯ 1 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。
如下图：1 (110) 1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116) ……其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。
浅谈杨辉三角的奥秘及和实际中的应用
y 11n
110
111
112
113
1 11 1 21 1 3 31
14 641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
………………………………
与数字2的幂的关系
杨辉三角
这样的二项式系 数表，早在我国南 宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九 章算法》一书里就 已经出现了，在这 本书里，记载着类 似下面的表：
杨辉
中国南宋末年数学家、数 学教育家。大约在13世纪 中叶至后半叶活动于苏、 杭一带。字谦光，钱塘 （今杭州）人。其生卒年 及生平无从详考。杨辉的 数学著作甚多有《日用算 法》 《杨辉算法》等
a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 有：an=an-1+an-2 (n≥3)
1 11 12
1112358
1 3 31
14 641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数与植物花瓣 3……百合和蝴蝶花 5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花 8………………………翠雀花 13………………………金盏和玫瑰
n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和
与二项式展开系数的关系
11 1 21
（a+b)1= 1a+1b
1 3 31 146 41
（a+b)2= 1a2+2ab+1b2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
（a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3
杨辉三角知识讲解
杨辉三角知识讲解杨辉三角是中国古代数学宝库中的一颗明珠，它以其独特的形式和深刻的数学意义而闻名于世。
杨辉三角是由中国数学家杨辉在13世纪发现并命名的，但实际上它的起源可以追溯到更早的时期。
这个三角形的形式非常简单，但它蕴含的数学规律却非常复杂。
在本文中，我们将深入探讨杨辉三角的基本原理和一些有趣的应用。
让我们来看一下杨辉三角的形式。
它是一个由数字构成的三角形，第一行只有一个数字1，接下来的行每一行的数字都是上一行相邻两个数字之和。
例如，第二行有两个数字1，第三行有三个数字1，第四行的两个1之间的数字是上一行两个1之和，即2，以此类推。
这种规律一直延续到三角形的最后一行，最后一行的数字就是杨辉三角的第n行。
杨辉三角的规律不仅仅是一些数字的排列，它还有一些非常有趣的数学性质。
首先，杨辉三角的每一行都对应着二项式系数的展开式中的一项。
例如，第n行的数字依次是1、n、n(n-1)/2、n(n-1)(n-2)/6，以此类推。
这个性质可以通过数学归纳法来证明，但我们不会在文章中提到具体的证明过程。
除了二项式系数的性质，杨辉三角还有一些其他有趣的应用。
其中之一是计算组合数。
组合数是指从n个元素中取出m个元素的不同方式的数量。
在杨辉三角中，第n行的第m个数字就是从n个元素中取出m个元素的不同方式的数量。
这个性质可以通过杨辉三角的定义和组合数的定义来证明。
杨辉三角还有一些其他的应用，例如在概率论中的二项分布、多项式定理的展开、计算幂等等。
这些应用都与杨辉三角的数学规律密切相关，但我们不会在文章中详细讨论它们。
总结一下，杨辉三角是中国古代数学的宝贵遗产，它以其独特的形式和深刻的数学意义而闻名于世。
它不仅仅是一种数字的排列，还有一些非常有趣的数学性质和应用。
通过研究杨辉三角，我们可以更好地理解数学中的一些基本概念和原理。
希望本文能够帮助大家更好地理解杨辉三角的知识，并对数学产生更浓厚的兴趣。
注：本文旨在介绍杨辉三角的基本原理和一些有趣的应用，不涉及具体的数学证明和计算过程。
杨辉三角函数
杨辉三角函数杨辉三角函数是一个重要的数学函数，在日常生活中广泛应用。
这种函数可以用来解决复杂的数学问题，在工程、科学以及数学实验中，都可以用杨辉三角函数来解决实际问题。
杨辉三角函数，又叫做“三角函数”，是一种用来描述三角形角度的函数。
它指的是三角形的边和角度之间的函数关系。
通过杨辉三角函数，可以用角的三边的长度来求出角的度数，也可以通过角的度数来求出三边的长度。
杨辉三角函数主要有三种：正弦、余弦和正切。
每一种函数都有其独特的性质，它们之间在应用上也存在着很多的关联。
正弦函数的曲线是一个“S形曲线”；余弦函数的曲线是一条“钝角曲线”；正切函数的曲线是一条“斜线曲线”。
正弦函数就是余弦函数的竖直平移，两者具有很多相同的特性，最重要的是它们都从0°开始变化，产生循环特性。
如果给定一个角的弧度数，可以用来求出正弦函数和余弦函数的值。
此外，还可以根据正弦函数和余弦函数的值计算出角度的弧度数。
正切函数和正弦函数、余弦函数有很大的不同，它从0°开始变化，但是没有循环特性，它是一条从无穷大到无穷小的斜线曲线，可以用来求出角度的正切值，但是不能用于求出角度的正弦和余弦值。
杨辉三角函数在许多领域得到了广泛的应用，其中最重要的是在解决数学问题的时候，它可以用来求解三角形的角度、内角和外角等问题，还可以用来求解抛物线、圆形、椭球面等物体的位置，以及用来求解波的传播、振动的传播等问题。
在工程、科学以及数学实验中，也常常用杨辉三角函数来解决实际问题。
在微积分中，杨辉三角函数也非常重要，它涉及到求微分、积分等数学概念，而这些概念又和微积分密切相关。
有了杨辉三角函数，我们可以更好地解决微积分中复杂的问题，提高解决问题的效率和准确性。
杨辉三角函数可以说是数学的一个奇迹，它不仅广泛应用于微积分中，而且在许多领域都得到了广泛的应用，这些应用涉及到图形学、统计学、工程学以及物理学及其他学科。
杨辉三角应用
杨辉三角应用
杨辉三角是一种古老而精妙的数学工具，它的发现可以追溯到中国古代的数学家杨辉。
美国历史学家约翰·哈理斯·莫珀特(J.H. Moulton)将其称作“阿拉伯数学中的魔方”，
因为它的特点类似于一个魔方或者魔方棱镜。
杨辉三角在代数、概率学、组合数学等领域
中广泛应用。
在代数学中，杨辉三角可以用于展开二项式系数(binomial coefficients)。
展开在许多方面都是很有用的，比如计算某个数的幂、求解方程的根等等。
杨辉三角的展开公式是(a + b)n = Σ(n, r=0) ( n!/(n-r)!r! ) a(n-r) br。
在概率学中，杨辉三角可以用来计算组合问题。
假设每一个点上的数字都是1或0，1的概率为p，0的概率为1-p，那么我们可以用杨辉三角计算从n次试验中取出r次成功的概率。
在组合数学中，杨辉三角是一个重要的工具，可以用来计算组合问题的不同组合方式。
比如，从n个不同的物品中取出k个物品的组合数是C(n,k)，可以用杨辉三角计算。
除了这些应用外，杨辉三角还可以用来证明一些基本数学理论。
例如，杨辉三角中相
邻两个数字之和等于上面一行两个数字之和，这说明了斐波那契数列中相邻两个数之和等
于下一个数。
综上所述，杨辉三角虽然简单，但是它却在现代数学中扮演着重要的角色。
无论是在
代数、概率学、组合数学中，还是在证明一些基本数学理论中，杨辉三角都有非常广泛的
应用。
杨辉三角的性质与应用2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
《杨辉三角的性质与应用》（第三课时）教学设计高数学探究课对于发展学生的思维能力，学会数学的思维方式，学会数学探究等具有重要作用。
前两课时学生已经通过搜集资料了解了杨辉三角的历史，分小组探究出了杨辉三角的性质，并选择某条性质探究它的应用，本节课就是展示同学们小组探究的成果。
下面从以下几个环节进行汇报：一、教材分析本节课选自人教A版选择性必修三第六章数学探究课的第三课时，是在学习过二项式定理后的一节数学探究课。
结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养.在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养.二、学情分析数学学习并不单纯是数学知识的学习，更重要的是通过学习数学知识所蕴令的丰富的数学思想方法提高学生的思维能力。
进入高二以后，从学生的知识结构来看，学生已学习了两个计数原理和二项式定理，这为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了知识基础。
从学生的心理特征来看，高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，数学学习能力有了很大提高，特别是观察、探究能力也有了长足的进步，为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了能力基础。
三、重点、难点重点、难点是杨辉三角性质的应用.四、教学过程环节一、知识回顾简单回顾杨辉三角的历史背景、地位和作用，并梳理探究出来的杨辉三角的性质.环节二、小组展示课前开展学习活动，前两课时已经了解了杨辉三角的历史背景、地位和作用，探究了杨辉三角的性质，之后各小组选择某条性质来探究性质的应用，课上分小组进行成果展示.潜新组——探究杨辉三角在弹球游戏中的应用（见附表1）恒学组——探究杨辉三角在纵横图中的应用（见附表2）探源组——探究杨辉三角在堆垛术中的应用（见附表3）环节三、课堂小结通过三个课时的探究，同学们了解了杨辉三角的历史背景、地位和作用，探究出了杨辉三角的性质，并探究了性质在生活中的应用。
杨辉三角在日常生活中的有趣应用
杨辉三角在日常生活中的有趣应用[摘要]中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
杨辉三角是中国古代数学家贾宪在公元11世纪发现，并被南宋数学家杨辉在他的书中所引述，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。
[关键词]杨辉三角趣味性日常生活杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
杨辉三角形所蕴含的数字排列规律，让我们在感受数学美的同时，也体会到它的趣味性和实用性。
下面就通过三个实例与读者共享。
例1.随着经济的快速发展，越来越多的人加入炒股大军。
股票的涨停问题也成为人们的重要谈资。
有一天，同事谈到股票涨停时，提出一个问题：要经过几次涨停，股资才能翻一倍？大家知道，股票涨停一次，股资增加了原来的百分之十。
构建一个模型：设原来股资为a元，一次涨停后，股资变成a+10%a=(1+0.1)a=1.1a；二次涨停后，股资变成1.1a+10%×1.1a=1.12a；如此递推，当n(n∈z+)次涨停后，股资变成1.1na元。
要经过几次涨停，股资才能翻一倍呢？可以建立以下不等式：1.1na＞2a，即 1.1n＞2。
那么，最小正整数n是多少？简单推算：1.11=1.1，1.12=1.21，1.13=1.331，……手边没有计算器，再算下去就有一点复杂了。
但观察结果的数字，惊奇的发现前三个的结果与杨辉三角相对应。
如图1是否1.14=1.4641呢？结果与计算相同。
但当n=5时，出现了两位数的情形，怎么解决？能不能像加法运算一样进位加一变成1.61051呢？经过验算猜想与答案完全一致。
这样求最小正整数n的运算就可以通过观察得到。
当n=8时，1.18＞2。
也就是经过8次涨停后，股资翻倍。
例2.在游戏场所经常可以看到这样的弹球游戏：一个小球向下跌落，碰到第一层阻挡物后等可能的向两侧跌落。
碰到第二层阻挡物再等可能的向两侧的第三层跌落。
杨辉三角与组合定理
杨辉三角与组合定理杨辉三角是一种中国古老而神奇的数学图形，以其独特的性质和美妙的规律而闻名于世。
组合定理是数学中一个重要的概念，与杨辉三角有着密切的关系。
本文将对杨辉三角与组合定理进行探讨，介绍其定义、性质以及应用。
一、杨辉三角的定义与性质杨辉三角是一个由数字排列成金字塔形状的三角形，其中每个数字是由它上方两个数字的和给出。
三角形的左侧和右侧都为1，其他位置上的数字是由上方两个数字相加得到。
例如，第三行的数字为1、2、1，第四行的数字为1、3、3、1，以此类推。
杨辉三角具有许多有趣的性质。
其中最为著名的性质是每一行的数字之和都等于2的n次方，其中n为行数。
例如，第三行数字之和为1+2+1=4，等于2的2次方。
这一性质被称为二项式定理。
另一个有趣的性质是杨辉三角中的数字与组合数相关。
组合数是组合学中的一个重要概念，用于表示从n个元素中取出k个元素的方法数。
杨辉三角中的每个数字都可以用来表示一种组合数。
例如，第三行的数字1、2、1分别对应着1个元素取1个、2个元素取1个、以及2个元素取2个的组合数。
二、组合定理的定义与性质组合定理是一个用于计算组合数的公式。
组合数计算的问题可以简化为利用组合定理求解。
组合定理有两种常见的形式，分别是阶乘形式和递推形式。
阶乘形式的组合定理表示为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，其中n!表示n的阶乘。
这个公式意味着从n个元素中取出k个元素的方法数等于n的阶乘除以k的阶乘乘以(n-k)的阶乘。
递推形式的组合定理利用了杨辉三角的性质来计算组合数。
根据杨辉三角的规律，第n行第k个数字等于第n-1行第k-1个数字与第n-1行第k个数字之和。
因此，可以使用递推公式C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)来计算组合数。
组合定理还有一些重要的性质。
其中最为著名的是组合恒等式，表示为C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。
这个恒等式意味着从n个元素中取出k个元素的方法数等于从n-1个元素中取出k-1个元素的方法数与从n-1个元素中取出k个元素的方法数之和。
数学探究杨辉三角的性质与应用课件
视察和实验
1
① ①
1
1
② ③
1
2
1
⑤ ⑧
1
3
3
1
⑬ ㉑
1 4 6 4 1㉞
5 将各条虚线上的数分别相加， 得到 1，1，2，3，5，8，13，21，…
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数列.
1
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
推理和论证
猜性想质1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
证明：
递归性 Cnr
C r1 n1
Cnr1
C r 1 n 1
Cnr1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n r 1)!
(n 1)! r (n r)
1 3 6 78 364
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n)
1 11
1 3 6 n(n 1)
121
2
1331
C22 C32 C42 Cn21
14641
C3 n2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角 第8 行
C80
C81
C82
C83
C84
C85
C86
C87
C88
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
反过来，
C140 即120
数
形
数列应用-杨辉三角
1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 将全体正整数排成一个三角形数阵
Hale Waihona Puke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………… 按照以上排列的规律, 按照以上排列的规律,第n行(n≥3) 从左向右的第3 从左向右的第3个数为
∴ 2007 = 1981 + ( j − 1) × 2,∴ j = 14
8.数列{a 的各项排成如图所示的三角形形状. 8.数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状. 数列
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ……………… (1)若数列{a 是首项为1,公差为2 1,公差为 (1)若数列{an}是首项为1,公差为2的 若数列 等差数列,写出图中第5行第5个数； 等差数列,写出图中第5行第5个数； 29
1 行共有1+2+3+… ∵前(i-1)行共有 行共有 3 5 个数. +(i-1)= i (i − 1) 个数. 7 9 11 2 13 15 17 19
………………
前i行共有1+2+3+…+i= 行共有1+2+3+…+i= i (i + 1) 个数. 个数 2 i (i − 1) i (i + 1) ∴ < 1004 ≤ 2 2
2
∵前m-1行共有的项数为： 行共有的项数为：
1 + (m − 1) m −m 1 + 2 + 3 + L + (m − 1) = × (m − 1) = , 2 2
m −m 2 am2 −m = 2 × ( +1) −1 = m − m +1. +1 2 2
【精品】杨辉三角应用
【精品】杨辉三角应用杨辉三角是一种经典的图形，也是一种非常有应用价值的数学工具。
在杨辉三角中，每一行的数字都是上一行数字的组合数之和，从而形成一个有规律的三角形。
换句话说，这个三角形可以用来计算从n个元素中选择k个元素的不同方法数量。
除了计算组合数之外，杨辉三角还有许多其他的应用。
一、数学定理杨辉三角是一个由排列组合与二项式系数构成的三角形，因此它可以用于研究这些数学对象。
实际上，杨辉三角可以帮助证明某些组合恒等式和二项式定理，这些都是非常基础的数学概念。
1. 二项式定理二项式定理是数学中非常基础的一个概念，它描述了两个数字的幂次和式展开的形式。
具体来说，它声称：$$(a + b)^ n = \sum _{k = 0} ^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ k $$其中$ {n \choose k} $是n个元素中选择k个元素的组合数。
比如说，我们可以用杨辉三角来证明这个公式。
事实上，杨辉三角的第n行是$ (a+b)^ n $的系数。
2. 组合恒等式组合恒等式指的是一类形如下列公式的恒等式：这个公式意味着，我们可以用第n-1行的数字来计算第n行的数字，这正是杨辉三角的精髓所在。
实际上，组合恒等式可以证明二项式定理，因为在二项式定理中，组合数是关键的。
二、统计学杨辉三角不仅在纯数学领域中有应用，它也有很多在统计学中的应用。
1. 投掷硬币假设你有一个有头和正反两面的硬币，并且你以50%的概率投掷每一次。
你可以使用杨辉三角来计算$n$次投掷中出现$m$次正面的不同方法数量。
具体而言，你可以计算杨辉三角的第$n$行中第$m+1$个数字，因为这个数字正是$n$次投掷中$m$个正面的不同方法数量。
2. 赌场游戏在赌场游戏中，杨辉三角也有应用。
例如，赌徒可以使用杨辉三角来计算获得$n$个数字中的$m$个数字的所有不同排列的数量。
这个问题可以很容易地转化为组合问题，并且可以通过计算杨辉三角来解决。
杨辉三角教学目标
杨辉三角教学目标一、杨辉三角是什么要说杨辉三角，大家第一反应是不是有点懵？感觉听着就像个高深莫测的数学术语，其实啊，它其实就像一个很有趣的数字大金字塔，里面藏着好多神奇的秘密。
看着这个三角形，咱们从第一行开始，咳咳，第一行只有一个数字，1。
然后第二行两个数字，也都是1，像个“小小双胞胎”。
然后呢，第三行开始，那个数字就变得有点儿意思了。
你会发现，三角形的每个数字都等于它正上方两个数字的和，真的是个巧妙的设计！别看它简单，数学家们可都在研究它呢。
其实杨辉三角很像一个游戏，像什么呢？像数独，又像拼图。
你每填上一个数字，都得根据周围的规则推算得出来。
要说它的神奇之处，真不是盖的，它不仅能帮我们算组合数、排列，还能和二项式定理扯上关系，别看它现在看起来有点“萌”，但它真的是数学中不可或缺的小能手！像你做一道组合题，找出所有的可能性，这个三角形就能帮你轻松搞定。
二、杨辉三角在教学中的作用大家可能会想，杨辉三角和我有啥关系啊？其实呀，它在数学课堂上可真是个“大明星”！你看，很多复杂的数学题目，别说你，连老师都有点头疼，但杨辉三角的出现，简直是“救星”。
你要做组合、概率这些题目，只要对杨辉三角有点了解，基本就能“轻松搞定”。
还记得我上学时，做那种“从100个同学里选3个”之类的题目，最初做得我头大得不行，后来发现有了杨辉三角，就像开了挂一样，公式轻松套用，答案马上就出来了！这要是当年有杨辉三角在，可能我数学就不会那么差了。
更妙的是，杨辉三角不仅能用来做数学，还能培养学生们的逻辑思维和计算能力。
通过它，学生能够直观地看到数与数之间的关系，也能锻炼他们的推理能力。
就比如，你教学生如何通过简单的规律推导出每一行的数字，这不就像是训练他们的思维肌肉吗？这也能让他们在今后的学习过程中，遇到其他问题时，能更加得心应手。
三、如何在课堂上有效教学杨辉三角讲到这里，大家应该已经觉得杨辉三角有点意思了吧？怎么把这个“神奇的小三角”教给学生，让他们既不觉得枯燥，又能真正理解它的内涵呢？这里可有一番学问。
杨辉三角函数
杨辉三角函数杨辉三角函数：杨辉三角形是一个由数字和箭头组成的三角形，其主要内容是每个数字都是上一行两个数字之和。
它最初是中国古代数学家张丹阳用来求解三角形面积的。
在17世纪，法国数学家斯蒂芬勒拜雷特发现了它的用途，以及它的其他用途，称它为“杨辉三角形”。
此后，它在各种学科中发挥了很大的作用，如数学，物理，化学，生物等。
杨辉三角的函数是一种特殊的函数，它是由杨辉三角形中的数字构成的，通过建立某种条件来表示三角形中数字之间的关系。
它是数学中一种重要的函数，主要用于求解三角形面积、多项式根及三角函数等问题。
在求解三角形面积时，可以用杨辉三角函数求解和求积。
三角函数的应用非常广泛，可以用杨辉三角函数表示任何复杂的三角形。
例如，当求多项式根时，可以利用杨辉三角函数来寻找多项式根，以此解决多项式求根问题。
杨辉三角函数也可以用来计算三角函数，如正弦函数、余弦函数及正切函数等。
以此计算三角函数，可以更加准确地求解函数，有利于数学中更复杂的计算和求解。
此外，杨辉三角函数在物理计算中也得到了广泛的应用，如求解重力加速度的投影面积、求解简谐运动的时间周期等。
它也应用于光学、化学、生物学等学科，用于解决诸如度量平面、微观结构分析等问题。
在现代数学中，杨辉三角函数的研究主要集中在函数的性质及其在现代数学中的应用等方面。
例如，现在已利用杨辉三角函数对图像处理、编码、数据加密、统计模型建模等问题进行深入的研究。
可以看出，杨辉三角函数不仅是以古代中国数学家张丹阳为主要发现者，而且是数学研究中一个非常重要的函数。
它可以解决许多复杂的数学问题，也可以解决微观分析的各种问题，甚至在现代科技中得到广泛的应用。
它的研究和应用，对进一步深化我们对数学的理解和认识，有着重要的意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1杨辉三角概述1.1 杨辉三角的产生唐代以来一些数学著作的失传，大概是五代十国分裂战乱所造成的文化后果。
到了宋代，雕版印数的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。
事实上，整个宋元时期（公元960—1368），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。
商业的繁荣、手工业的兴盛以及由此引起的技术进步（四大发明中有三项——指南针、火药和活字印刷是在宋代完成并获得广泛应用），给数学的发展带来新的活力。
这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。
北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，他的主要贡献是创造了'贾宪三角'和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。
南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”（如下图）。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。
在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
同时，这也是多项式(a+b)n打开括号后的各个项的二次项系数的规律。
因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y nCr x）。
我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2x-1 (即(a+b)x中a,b都为1的时候) 。
上述(a nCr b) 指组合数。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。
简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。
这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。
杨辉三角于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。
如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去。
杨辉三角里面数字排列的规则里面数字排列的规则如下：1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1 16 15 20 15 6 1 ………………………………………第 n 行 1，11-n C ，21-n C ，…，11--r n C ，r n C 1-，…，21--n n C ，1 第n +1行 1，1n C ，2n C ， … ，r n C ， … ，1-n n C ，1………………………………………………… 1.2杨辉三角的构成如图1，在一块倾斜的木板上钉上一些正六角形的小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方框子。
把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面，以后，落到第二层中间一个六角板的左边或右边的两个竖直通道里去。
再以后，它又会落到下一层的三个竖直通道之一里面去。
这里，如果要弹子落到最左边的通道里，那末它一定要是从上一层的左边通道里落下来的才行（1个可能情形）；同样，如果要它落在最右边的通道里，它也非要从上一层的右边通道里落下来不可（1个可能情形）；至于要它落在中间的通道里，那就无论它是从上一层的左边或右边落下来的都成（2个可能情形）。
这样一来，弹子落在第三层（有几个竖直通道就算第几层）的通道里，按左、中、右的次序，分别有1，2，1个可能情形。
不难看出，在再下面的一层（第四层），左、右两个通道都只有1个可能情形（因为只有当弹子是从第三层的左边或右边落下来时才有可能）；而中间的两个通道，由于它们可以接受从上一层的中间和一边（靠左的一个可以接受左边，靠右的一个可以接受右边）掉下来的弹子，所以它们所有的可能情形应该分别是第三层的中间和一边（左边或右边）的可能情形相加，即是3个可能情形。
因此第四层的通道按从左到右的次序，分别有1，3，3，1个可能情形。
照同样的理由类推下去，我们很容易发现一个事实，就是任何一层的左右两边的通道只有一个可能情形，而其他任何一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加， 这正是杨辉三角组成的规则。
于是我们知道，第n +1层通道从左到右，分别有1，1n C ，2n C ， … ，r n C ， … ，1-n n C ，1个可能情形。
我们还可以这样来看上面的结论：如果在倾斜板上做了n +1层通道；从顶上漏斗里放下1+121-+++n n n n C ••C •C +1颗弹子，让它们自由地落下，掉在下面的n +1个长方框里。
那末分配在各个框子中的弹子的正常数目（按照可能情形来计算），正好是杨辉三角的第n+1行。
注意，这是指“可能性”而不是绝对如此。
这种现象称为概率现象。
1.3杨辉三角的性质这个三角形的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数都等于它肩上的两个数相加。
例如2=1+1，3=1+2，4=1+3，6=3+3，…。
其实杨辉三角正就是按照这个规则作成的。
在一般的情形，因为,)!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111•C ••••••••••r n r n•••••••••••r n r r n r n ••••••••••r n r n r n r n C C r n rn r n =-=-+--=---+---=+--- 这说明了，上图中的任一数r n C 等于它肩上的两数11--r n C 和rn C 1-的和。
为了方便起见，我们把本来没有意义的记号0n C 和n n C 1-令它们分别等于1和0，这样就可以把刚才得到的结果写成关系式：,),,2,1(,111••n •••••r ••C C C r n r n r n ==+---而称它为杨辉恒等式， 这是杨辉三角最基本的性质。
杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。
（1）对称性：橫行与首末两端“等距离”的两个数字相等。
这一性质可直接由公式r n n r n C C -=得到。
（2）增减性：前半部分递增，后半部分递减。
（3）最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+ 取得最大值。
（4）各行数字的和满足：0122n r nnn n n n C C C C C =++++++。
此外，有这个由这些拓展而来的性质还有很多。
（1）杨辉三角的2k -1(k 为整数)的各个数字除去1外都是质数的积。
（2）杨辉三角中若第P 行除去1外，P 整除其余所有的数，则行数P 是质数。
（3）杨辉三角中第M 条斜（从右上到左下）上前N 个数字的和，等于第M+1条斜线上的第N 个数。
（4）根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第M 条斜线（从左上到右下）上前N 个数字的和等于第M+1条斜线上第N 个数。
1.4 对杨辉三角运用规律的总结加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。
归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。
特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。
排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。
两条性质两公式，函数赋值变换式。
2杨辉三角的应用2.1 杨辉三角在数的乘方中的应用 2.1.1 另觅数的平方新算法我们已知两个数相乘的传统算法，但对于数的平方的计算，受完全平方公式的启发，可以得到一种更简便的方法，下面将通过几个具体例题来详细阐述这种方法。
首先我们来看看完全平方公式：a2=a2(a+b)2=a2+b2+2ab(a+b+c)2=a2+b2+c2+2bc+2ab+2ac(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2cd+2bc+2ab+2bd+2ac+2ad…下面我们来看一些例子：例1计算52。
解：52=25 （这根据乘法口诀表就可以得到）例2计算122 ，892 。
解：我们可以把122和892看成(10+2)2和(80+9)2，由上面的完全平方公式可知：122=(10+2)2=102+22+2×10×2=100+4+2×20 =104+40892=(80+9)2=802+92+2×80×9=6400+81+2×720 =6481+1440用竖式计算为:0 1 0 4+ 0 41 4 4其中第一行的“0 1”和“0 4”分别是十位数和个位数的平方，各占两个位置，其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”，再把它们并排排列；第二行的“0 4”为十位数与个位数相乘的2倍，占两个位置，其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”。
再把它们按上面竖式相加就得到了122=144。
同样我们也可以用同样的竖式得出892。
6 4 8 1+ 1 4 47 9 2 1其中第一行的“64”和“81”分别是十位数和个位数的平方，各占两个位置，再把它们并排排列；第二行的“144”是十位数与个位数乘积的2倍，再按上面的竖式把它们加起来就得出892=7921。
例3 计算7892。
解：同样我们也可以把7892看成（700+80+9)2, 由上面的完全平方公式可知：(700+80+9)2=7002+802+92+2×80×9+2×700×80+2×700×9=490000+6400+81+1440+112000+12600=496481+113440+12600用竖式计算为：4 9 6 4 8 11 1 3 4 4+ 1 2 66 2 2 5 2 1其中第一行中的数字分别是百位数，十位数和个位数的平方，各占两个位置，再把它们并排排列；第二行中的“44”是个位数与十位数的乘积的2倍的结果后两位数字，占两个位置。
把百位上的“1”进到前面去，所以第二行的“113”等于“2×7×8+1”即百位数和十位数的乘积的2倍再加上进到的“1”，把它们并排排列；第三行中的“126”为百位数与个位数乘积的2倍。
按上面竖式相加即可得到(789)2=622521。
例4 计算67892。
解：我们同样可以把67892看成(6000+700+80+9)2,由上面的完全平方公式展开得：(6000+700+80+9)2=60002+7002+802+92+2×80×9+2×700×80+2×6000×700+2×700×9+2×6000×80+2×6000×9=36000000+490000+6400+81+1440+112000+8400000+12600+960000+108000=36496481+8513440+972600+108000用竖式计算为：3 64 9 6 4 8 18 5 1 3 4 49 7 2 6+ 1 0 84 6 0 9 05 2 1其中第一行是每位数的平方，占两个位置，再把它们并排排列；第二行的数字是相邻的两位数相乘的2倍，即“44”是个位数与十位数乘积的2倍的结果的后两位数字，占两个位置，把百位上的“1”进到前面去，“13”是百位数与十位数的乘积的2倍再加上进到的“1”所得的结果的后两位数字，占两个位置，再把百位上的“1”进到前面去，“85”是千位数与百位数的乘积的2倍再加上进到的“1”，再把它们并排排列；第三行的数字隔一个数的两数相乘的2倍，“26”是个位数与百位数的乘积的2倍所得结果后两位数字，占两个位置，把百位上的“1”进到前面去，“97”是千位数与十位数的乘积的2倍再加上进到的“1” ，再把它们并排排列；第四行的数字是隔两个数的两数相乘的2倍。