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2018上海高三各区一模数学试卷及答案
随着2018高三期末考试的开始，2018高考一模考试来开帷幕，数学网高考频道在第一时间为考生整理全国各地2018高考一模考试试题及答案，想获悉更多高考资讯，请关注数学网高考频道专题。

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2018学年杨浦区高三年级一模试卷

2018学年杨浦区高三年级一模试卷

2018学年杨浦区高三年级一模试卷2018.12一、填空题1.设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}3,4,5A =，则u A =ð___________.2.已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为___________. 3.已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为___________. 4.若()na b +展开式的二项式系数之和为8，则n =___________. 5.若实数,x y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是___________.6.若圆锥的母线长()5l cm =，高()4h cm =，则这个圆锥的体积等于___________.7.在无穷等比数列{}n a 中，()121lim ,2n n a a a →+∞+++=则1a 的取值范围是___________. 8.若函数()1ln1xf x x +=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆,则实数a 的取值范围为___________.9.在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则()1y f x =+的零点是___________.10.已知复数())12cos 2,cos z x f x i z x x i =+=++，（,x R i ∈虚数单位）在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若1290Z OZ ∠=，其中是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期___________. 11.当0x a <<时，不等式()22112x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为___________. 12.设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前项和n T ，满足()()112n n n nT b n N *+=-∈，且52d a b ==，若实数{}()23,3k k k m P x a x a k N k *-+∈=<<∈≥，则称m 具有性质k P ，若是n H 数列{}n T 的前n 项和，对任意的n N *∈，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为___________. 二、选择题13.下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()arcsin f x x= （B ）lg y x= （C ）()f x x =-（D ）()cos f x x =14.某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 （ ）（A ）310 （B ） 35 （C ） 25 （D ）2315.已知()sin log ,0,2f x x θπθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，设sin cos ,,2a f b f θθ+⎛⎫== ⎪⎝⎭sin sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （A ）a b c ≤≤ （B ）b c a ≤≤ （C ）c b a ≤≤（D ）a b c ≤≤16.已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x R==∈，集合(){}0,B x f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）（ A ）[]0,4（B ）[]1,4- （C ）[]3,5- （D ）[]0,7三、解答题17.如图，,PA ABCD ⊥平面四边形ABCD 为矩形，1PA PB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动。

2017-2018上海市杨浦区高三数学一模试卷

2017-2018上海市杨浦区高三数学一模试卷

2017-2018上海市杨浦区高三数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算1lim(1)n n→∞-的结果是________ 2．已知集合1,{}2,A m =，{3,4}B =，若{3}A B ⋂=，则实数m =________ 3．已知3cos 5θ=-，则sin()2πθ+=________ 4．若行列式124012x -=，则x = .5．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=_________6．在62()x x -的二项展开式中，常数项的值为________7．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．8．.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数的反函数的图像上，则n a =________.9．在ABC ∆中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为________ 10．抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a -=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 .11．已知函数()cos (sin )f x x x x =+x ∈R ，设0a >，若函数()()g x f x α=+为奇函数，则α的值为________12．已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=，则实数λ的取值范围为________二、单选题13．在复平面内，复数2i i-对应的点位于（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14．给出下列函数：①2log y x =；②2y x ；③||2x y =；④arcsin y x =.其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④ 15．“0t ≥”是“函数()2f x x tx t =+-在(),-∞+∞内存在零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S 的最大值是（ ）.A ．12B ．2C ．4D ．8三、解答题17．（2020-2021学年上海市杨浦区高三数学一模）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18．如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）19．已知函数()1ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.20．设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点.（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）若0OA OB ⋅=，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程. 21．若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤-，112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”.（1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x 、y ；（2）若“U -数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值； （3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记{}012max ,,,n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.参考答案1．1【解析】11lim(1)1lim 101n n nn →∞→∞-=-=-= 故答案为12．3【解析】∵ 集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，且{}3A B ⋂=∴3m =故答案为33．35【解析】 ∵3cos 5θ=- ∴3sin()cos 25πθθ+==- 故答案为354．2 【解析】试题分析：由行列式的定义把方程转化为一般代数式方程即可.ab ad bc cd =-.考点：行列式的定义.5．6【分析】根据关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵，写出方程组，求出方程组的解，即可得到结论.【详解】 解：由题意关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 可得关于x y 、的二元线性方程组22x y y -=⎧⎨=⎩，可得42x y =⎧⎨=⎩，故6x y +=，故答案为：6.【点睛】本题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于基础题型.6．－160【解析】 展开式的通项为6621662()(2)r r r r r r r T C xC x x--+=-=- 令620r -=，得3r = ∴在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为336(2)160C -=- 故答案为160-点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1）求展开式中的特定项：可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； （2）已知展开式的某项，求特定项的系数：可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.7．112【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：所有的基本事件共6636⨯=个，其中，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，∴出现向上的点数之和为4的概率是313612=， 故答案为：112． 【点睛】本小题考查古典概型及其概率计算公式，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n=，属于基础题．8．12n -【解析】解：因为 221log (1)log (1)12212nn n n n n n y x n S S S a -=+∴=+∴+=∴=-∴= 9．3π 【解析】∵在ABC ∆中，sin A 、sin B 、sin C 依次成等比数列，∴2sin sin sin B A C = ，则由正弦定理可得：2b ac = 根据余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时取等号∴B 的取值范围为(0,]3π，即角B 的最大值为3π 故答案为3π 10．3π 【解析】试题分析：因为抛物线28y x =-的焦点为(2,0),-所以22212, 3.a a +==所以双曲线2221x y a-=的渐近线方程为y =3π. 考点：双曲线的渐近线考点：11．*()26k k N ππα=-∈【解析】∵()()cos sin f x x x x =∴sin 2cos 2)()sin(2)2223x x f x x π+=+-=+ ∵函数()()g x f x α=+为奇函数 ∴()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，则2()3k k Z παπ+=∈∵0a > ∴*()26k k N ππα=-∈ 故答案为*()26k k N ππα=-∈ 12．1[,3]3 【解析】①当直线斜率存在时，设过点()0,2M 的直线方程为2y kx =+，联立方程222{14y kx x y =++=，整理可得22(14)16120k x kx +++=，则22(16)4(14)120k k ∆=-⨯+⨯≥，即234k ≥ 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1221614k x x k +=-+，1221214x x k ⋅=+ ∵MD MC λ=∴12x x λ= ∴2216(1)14k x k λ+=-+，22212()14x k λ⋅=+，即2222222(1)161464641()114123(14)34k k k k k k λλ++=⨯==⨯+++ ∵234k ≥ ∴2(1)1643λλ+≤<∴133λ<< ②当直线斜率不存在时，则过点()0,2M 的直线方程为0x =，此时(0,1)C ，(0,1)D -，或(0,1)C -，(0,1)D当(0,1)C ，(0,1)D -时，3λ=；当(0,1)C -，(0,1)D 时，13λ= 综上，133λ≤≤ 故答案为1[,3]3 点睛：本题考查解析几何问题和向量的联系，题设中出现MD MC λ=，可以得出12x x λ=，结合韦达定理找到λ与k 之间的关系，再利用0∆≥建立不等关系即可得解，本题要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏.13．C【分析】 根据复数除法运算法则，求出2i i-的实部和虚部，即可得出结论. 【详解】 22i (2)()12i i i i i ---==---， 2i i-对应点的坐标为(1,2)--，位于第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的几何意义，属于基础题.14．B【解析】对于①，2log y x =的定义域为(0,)+∞，定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；对于②，2y x =是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件；对于③，2x y =是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件；对于④，arcsin y x =是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件.故选B15．A【解析】函数()2f x x tx t =+-在(),-∞+∞内存在零点，则240t t =+≥，解得0t ≥或4t ≤-. 所以“0t ≥”是“函数()2f x x tx t =+-在(),-∞+∞内存在零点”的充分而不必要条件. 故选A.点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x 轴的交点个数；四是，区间端点值.16．B【解析】设AB a =，AC b =，AD c = ．∵0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，∴AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即222244a b c R ++==．∵1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积， ∴()()22212311222S S S ab ac bc a b c ++=++≤++=，当且仅当a b c ==时取等号 ∴123S S S ++的最大值是2，故选B ．点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．17．（1）()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6l x =时，2max 12l y =. 【解析】（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，∴场地面积()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）()222333612l l y x l x x lx x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当且仅当6l x =时，2max 12l y =. 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l.18．（1）12π.（2）arctan 4. 【解析】试题分析：（1）根据圆锥的侧面积求出5BS =，从而求出4SO =，由此能求出圆锥的体积；（2）取OB 中点H ，连结PH AH 、，由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角，由此能求出异面直线SO 与PA 所成角的大小． 试题解析：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =， 故4SO == ，从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=. （2）如图，取OB 中点H ，连结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角.由SO ⊥平面OAB ⇒ PH ⊥平面OAB ⇒ PH AH ⊥.在OAH ∆中，由OA OB ⊥得AH ==在Rt APH ∆中，90AHP O ∠=，122PH SB ==，AH =则tan AH APH PH ∠==，∴异面直线SO 与PA 所成角的大小 . 19．（1）[1,0]- ;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0-（2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭ 而1ln32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.20．（1）2;（2）1x =，9x =;（3）2240x x y -+= 【解析】试题分析：（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p 的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线l 的方程为x my b =+，分0m =与0m ≠两种情况讨论，分析m 的取值，综合可得m 可取的值，将m 的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线:AB x my b =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线的方程与抛物线方程联立，结合0OA OB ⋅=，由根与系数的关系分析可得答案．试题解析：（1）∵抛物线Ω的方程为24y x =∴抛物线Ω的焦点到准线的距离为2 （2）设直线:l x my b =+当0m =时，1x =和9x =符合题意;当0m ≠时，()11,A x y 、()22,B x y 的坐标满足方程组24x my by x=+⎧⎨=⎩， ∴2440y my b --=的两根为1y 、2y ，()2160m b ∆=+>，124y y m += ∴2121242x x my b my b m b +=+++=+，∴线段AB 的中点()22,2M m b m + ∵1AB CM k k ⋅=-，1AB k m= ∴2225CM mk m m b ==-+-，得232b m =- ∴()()22161630m b m ∆=+=->，得203m<<∵4r ===∴23m =（舍去） 综上所述，直线l 的方程为：1x =，9x = （3）设直线:AB x my b =+，()11,A x y 、()22,B x y 的坐标满足方程组24x my by x =+⎧⎨=⎩，∴2440y my b --=的两根为1y 、2y()2160m b ∆=+>，124y y m +=，124y y b =-∴222121212124044y y OA OB x x y y y y b b ⋅=+=⋅+=-=，得0b =或4b =0b =时，直线AB 过原点，所以()0,0Q ； 4b =时，直线AB 过定点()4,0P设(),Q x y ∵OQ AB ⊥，∴()()22,4,40OQ PQ x y x y x x y ⋅=⋅-=-+=（0x ≠），综上，点Q 的轨迹方程为2240x x y -+=点睛：本题主要考查直线与圆相切，求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题.注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于,x y 的关系，化简即可求出轨迹方程.21．（1）12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩ ；（2）n 的最大值为65；(3)20288n n -+． 【解析】试题分析：（Ⅰ）直接根据“U -数列”的定义，讨论列举法即可求出x ，y ；（Ⅱ）11112k k k k k k k a a a a a a a +-+-+>⇔->-可得()()112201712n n --≤-，解得：6265n -≤≤，故65n ≤，另外，任意的264k ≤≤，1k k b b ->，故数列{}n a 为“U -数列”，此时651012632017a =++++⋅⋅⋅+=，即65n =符合题意；（Ⅲ）利用放缩法()221120012822228m m m a a m m a a n n m m M +++-+-+-+≥≥≥=，即可得结论. 试题解析：：（Ⅰ）12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）n 的最大值为65，理由如下一方面，注意到：11112k k k k k k k a a a a a a a +-+-+>⇔->-对任意的11i n ≤≤-，令1i i i b a a +=-，则i b Z ∈且1k k b b ->（21k n ≤≤-），故11k k b b -≥+对任意的21k n ≤≤-恒成立．当11a =，2017n a =时，注意到121110b a a =-≥-=，得()()()1122111i i i i i b b b b b b b b i ---=-+-+⋅⋅⋅+-+≥-（21i n ≤≤-）此时()()112110122122n n a a b b b n n n --=++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+-=-- 即()()112201712n n --≤-，解得：6265n -≤≤，故65n ≤ 另一方面，取1i b i =-（164i ≤≤），则对任意的264k ≤≤，1k k b b ->，故数列{}n a 为“U -数列”，此时651012632017a =++++⋅⋅⋅+=，即65n =符合题意．综上，n 的最大值为65．（Ⅲ）M 的最小值为200288n n -+，证明如下：当02n m =（2m ≥，*m N ∈）时，一方面：由（★）式，11k k b b +-≥，()()()1121m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++-+-+-+-=-+-+⋅⋅⋅+-≥．此时有：()()()()()()()()121122112111222111m m m m m m m m m m m a a a a b b b b b b b b b b b b m m m m m +++--++--+-+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-≥++⋅⋅⋅+=-故()221120012822228m m m a a m m a a n n m m M +++-+-+-+≥≥≥=另一方面，当11b m =-，22b m =-，…，11m b -=-，0m b =，11m b +=，…，211m b m -=-时，()()11111210k k k k k k k k k a a a a a a a b b +-+--+-=---=-=>取1m a =，则11m a +=，123m a a a a >>>⋅⋅⋅>，122m m m a a a ++<<⋅⋅⋅<，且()()11211112m m a a b b b m m -=-++⋅⋅⋅+=-+ ()()2112211112mm m m m a a b b b m m +++-=+++⋅⋅⋅+=-+此时()200122811128mn n M a a m m -+===-+=． 综上，M 的最小值为200288n n -+．。

2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)

2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)

2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。

上海市浦东新区2018届高三数学一模试题(解析版)

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上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合，，则________【答案】【解析】∵，，∴点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 不等式的解集为________【答案】【解析】由，得：，即解得：∴不等式的解集为.3. 已知函数的反函数是，则________【答案】3【解析】设，则即∴∴故答案为：34. 已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为________【答案】-1【解析】∵向量，，∴，，∴向量在向量的方向上的投影为故答案为：-15. 已知是虚数单位，复数满足，则________【答案】【解析】∵∴∴故答案为：点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．6. 在的二项展开式中，的系数是________【答案】80【解析】由题意得：，当时，∴的系数是80故答案为：807. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为________【答案】【解析】一工厂生产的10个产品中有9个一等品，1个二等品，现从这批产品中抽取4个，基本事件总数n==495，其中恰好有一个二等品的基本事件个数m=，∴其中恰好有一个二等品的概率p==．故答案为：8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是________【答案】【解析】∵函数是定义在上的偶函数，∴又在上是增函数，∴即，∴故答案为：9. 已知等比数列前项和为，则使得的的最小值为________【答案】10【解析】由题意知：即∴使得的的最小值为10故答案为：1010. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为________【答案】【解析】因为|OA|=3，所以底面圆周长为6π，所以底面圆的面积为9π，所以弧AB长为6π，又因为，则有，所以SA=9．扇形ASB的面积为，所以圆锥的表面积=9π+27π=36π故答案为：36π学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...【答案】【解析】由题意可知：∴又对任意的实数，都有成立，∴为的最小值，为的最大值∴，，，∴的最小值为12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________ 【答案】【解析】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵点M，N在双曲线上，所以，，故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），设k0M，k ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0M k ON=2，∴y1y2-2 x1x2=0，∴2x2-y2=20，所以P在双曲线2x2-y2=20上；设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若实数，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】当时，满足命题甲，但推不出命题乙，∴充分性不具备，当时，显然能推出命题甲“”，∴必要性具备，故答案为：必要非充分条件14. 已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，，，，，故选；B15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时A. 22B. 23C. 24D. 33【答案】C【解析】由题意可得：，解得：∴∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时故选：C16. 关于的方程恰有3个实数根、、，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】设，易知：为偶函数，若方程恰有3个实数根、、，其中一根必为0，另外两根互为相反数，，即，由图易得：另外两根为，∴故选：B点睛：本题考查的是函数零点的个数问题.函数零点问题的处理一般有以下几种方法：1、通过解方程得到函数的零点，得到零点个数；2、利用二分法判断函数的零点，3、利用函数与方程思想，通过分离化原函数为两个函数，转化为利用两个函数图象的交点个数来判断函数的零点个数.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在长方体中，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由是异面直线与所成的角或其补角.（2）利用等积法求三棱锥的体积.试题解析：（1）是异面直线与所成的角或其补角.在等腰中，易得.即：异面直线与所成的角.（2）.点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且. （1）求；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，易得：，利用正弦定理把条件统一到角上，从而易得的值；（2）由余弦定理及，易得：，再结合，得到的值.试题解析：（1）由，∴，由正弦定理得：，∴；；由，∴，∴；（2）由，∴，∴，∴；由知，，∴，∴点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：①定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.②定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.③求结果.19. 已知等差数列的公差为2，其前项和（，）.（1）求的值及的通项公式；（2）在等比数列中，，，令（），求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由求得的值及的通项公式；（2）由题意可得：，分奇偶项讨论，分组求和即可.试题解析：（1），，，，（2）∵，∴，，当时，，，，当时，是偶数，20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，设点，在中，，周长为.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.【答案】（1）；（2）过定点；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意布列关于的方程组，从而得到椭圆方程；(2)设直线方程：，联立方程可得：，利用根与系数的关系及，得到过定点.（3）设直线与椭圆相切，，两切线到的距离分别为，根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数. 试题解析：（1）由得：，所以………①又周长为，所以………②解①②方程组，得所以椭圆方程为（2）设直线方程：，交点依题：即：过定点.（3），设直线与椭圆相切，得两切线到的距离分别为当时，个数为0个当时，个数为1个当时，个数为2个当时，个数为3个当时，个数为4个点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数的定义域为，值域为，即，若，则称在上封闭. （1）分别判断函数，在上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为，且存在反函数，若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；（3）已知函数的定义域为，对任意，若，有恒成立，则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足 ，其中（），，证明：存在的真子集， ，使得在所有（）上封闭.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)根据在上封闭的定义，分别求出函数，在上的值域，即可判断是否封闭；（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到：.从而问题转化为：在两不等实根．（3）分两种情况：和，第一种情况显然不成立，第二种情况，因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说考虑到，即，因为是单射，则这样就有了.接着令，并重复上述论证证明..试题解析：（1）因为函数的定义域为，值域为，（取一个具体例子也可），所以在上不封闭.在上封闭（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到：.在单调递增.则在两不等实根．，故，解得．另解：在两不等实根．令在有两个不等根，画图，由数形结合可知，解得．（3）如果，则，与题干矛盾.因此，取，则.接下来证明，因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说考虑到，即，因为是单射，则这样就有了.接着令，并重复上述论证证明..。

2018——2019年上海各区高中数学高三数学一模试卷试题汇总

2018——2019年上海各区高中数学高三数学一模试卷试题汇总

第一学期教学质量检测高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________.()12,2. 抛物线24=y x 的焦点坐标为_________.()10, 3. 不等式2log 1021>x 的解为____________.4(,)+∞4. 已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为_________. 225. 若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y fx 的图像一定经过定点____.()13,6. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S .若936=S ，则348++=a a a ________.127. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边是,,a b c .若22)32(b a ⋅+=，c b =，则=A ___.56π 8. 已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 ．π3 9.已知二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为________.358x 10. 已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.(,-∞11. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)++=-++n n n na n a n a *()∈n N ， 且121,2,a a ==若1lim,+→∞=n n na A a 则=A ___________. 100912. 已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. [)2,6∈-a解：当[)12,∈+∞x 时，1211041616x x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，.当()2,2∈-∞x 时，（1）若2a ≥，则()11=22x aa xf x --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在(),2-∞上是单调递增函数，所以()2210,2a f x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若满足题目要求，则21100,162a -⎛⎫⎛⎤⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭⎝⎭，，所以24111,24,62162a a a -⎛⎫⎛⎫>=∴-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.又2a ≥，所以[)2,6a ∈. （2）若2a <，则()1,,21=21, 2.2a xx ax ax a f x a x ---⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x 在(),a -∞上是单调递增函数，此时()()0,1f x ∈；()f x 在[),2a 上是单调递减函数，此时()21,12a f x -⎛⎤⎛⎫∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦.若满足题目要求，则211,2162aa -⎛⎫≤∴≥- ⎪⎝⎭，又2a <，所以[)2,2a ∈-.综上，[)2,6a ∈-.二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13. “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ A ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 14. 下列命题正确的是（ D ）（A ）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（B ）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 （C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ B ）种.（A ）72 （B ）36 （ （D ）81 16. 已知点()()1,2,2,0-A B ，P ⋅AP AB 的取值范围为（ A ）（A ）[]1,7 （B ）[]1,7- （C）1,3⎡+⎣ （D）1,3⎡-+⎣三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知直三棱柱ABC C B A -111中，︒=∠===9011BAC ,AA AC AB .（1）求异面直线B A 1与11C B 所成角； （2）求点1B 到平面BC A 1的距离．解：（1）在直三棱柱ABC C B A -111中，AB AA ⊥1，AC AA ⊥1,︒=∠===9011BAC ,AA AC AB所以，211===BC C A B A ．…………………………2分因为，11C B //BC ，所以，BC A 1∠为异面直线B A 1与11C B 所成的角或补角．……4分 在BC A 1∆中，因为，211===BC C A B A ，所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………………………7分 （2）设点1B 到平面BC A 1的距离为h ， 由（1）得23322211=π⋅⨯⨯=∆sin S BC A ，…………………………9分 21112111=⨯⨯=∆B B A S ，…………………………11分 因为，B B A C BC A B V V 1111--=，…………………………12分所以，CA S h S B B A BC A ⋅=⋅∆∆1113131，解得，33=h ． 所以，点1B 到平面BC A 1的距离为33．…………………………14分 或者用空间向量：（1） 设异面直线B A 1与11C B 所成角为θ，如图建系，则()1011-=,,A ，()01111,,C B -=，…………4分A1C CB1B 1A因为，321221π=θ⇒=⋅-==θcos 所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………7分 （2）设平面BC A 1的法向量为()w ,v ,u n =，则B A n ,BC n 1⊥⊥． 又()011,,-=，()1011-=,,A ，……………9分所以，由⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001w u v u A ，得()111,,n =．…………12分所以，点1B 到平面BC A 1的距离33==d ．…………………………14分 18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.（1）若角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，求()f α的值； （2）当[,]63ππ∈-x 时，求()f x 的单调递增区间和值域.解：（1）∵角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，∴43sin =,cos =55αα ……2分2243432()cos 2sin 2()55525αααα=-=⨯-⨯=f …4分（2）2()cos 2sin f x x x x =-2cos21x x =+- …………………6分2sin(2)16x π=+- …………………………8分由222262k x k πππππ-≤+≤+得，36k x k ππππ-≤≤+又[,]63x ππ∈-，所以()f x 的单调递增区间是[,]66x ππ∈-； ………………10分∵[,]63x ππ∈-，∴52666x πππ-≤+≤…………………………12分 ∴1sin(2)126x π-≤+≤，()f x 的值域是[2,1]-. ………………14分19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E =    （6分）（2）03t <≤时，16()=20aH t t t++  （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨⎪⎩     （10分） ②39(,)1616343a a⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩    （12分） 综上，1[,)4a ∈+∞        （14分）20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线Γ: 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是 1F 、2F ，左、右两顶点分别是 1A 、2A ，弦 AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与 y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点 P （如图）．（1）若(2,3)d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若1PA =，5PB = ，2PC =，4PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且124A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．解：（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：即0bx ay ±=，所以3b a =，…………2分 从而3tan2θ=22tan 2tan 431tan2θθθ==-， 所以arctan 3θ=………………………………………………..4分（2）设 (,)P P P x y ，则由条件知：11()()322P x PB PA PA PB PA =-+=+=，11()()122P y PC PD PC PD PC =+-=-=，即(3,1)P ．…………6分所以(2,1)A ，(3,3)C ，………………………………………………………..…………7分代入双曲线方程知：2751,2781199114222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-b a ba b a ……9分 127527822=-y x ………………………………………………………………….. 10分 （3）因为124A A =，所以2a =，由（1）知，3b =Γ的方程为: 22143x y -=， 令00(,)C x y ，所以2200143x y -=，010:(2)2y CA y x x =++，令1x =，所以003(1,)2y M x +， 020:(2)2y CA y x x =--，令1x =，所以00(1,2y N x --， …………12分故以MN 为直径的圆的方程为：200003(1)()()022y y x y y x x --+--=+-， 即222000200033(1)()0224y y y x y y x x x -++--=-+-，即22000039(1)()0224y y x y y x x -++--=-+，…………………………………………….14分 若以MN 为直径的圆恒经过定点),(y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0231049)1(022y x y x y 所以圆过x 轴上两个定点5(,0)2和1(,0)2-……………………………………………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,n A A A A （*n N ∈），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B （*n N ∈），使得1k k kA B A -∆*()k N ∈都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n .（1）求(1),(2)f f ，并猜想()f n （不要求证明）； （2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)mm内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{}n b满足：11,2n b b +==数列{}n c 满足：111,n nc c +==求证：1()2n n n b f c π+<<.解：（1）(1)1f =，(2)2f =  （2分） 猜想()f n n =  （2分） （2）98n a n =-  （5分）由21218899899999m mm m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n  （6分）21199m m m t --∴=-  （7分） 352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- 352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=-- （9分） 2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S （10分）.（3）1sin,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+== *1()2n n n N πθ+⇒=∈  （12分） 1tan ,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈  （14分） 11sin,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知： 1111sin()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<=  （18分）杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2018.12.18一、填空题（本大题有12题，满分54分，第1——6题每题4分，第7—12题每题5分） 1、设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}3,4,5A =，则____u=2、已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为_____ 3、已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为_____ 4、若()na b +展开式的二项式系数之和为8，则____n = 5、若实数,x y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是_____6、若圆锥的母线长()5l cm =，高()4h cm =，则这个圆锥的体积等于_______7、在无穷等比数列{}n a 中，()121lim ,2n n a a a →+∞+++=则1a 的取值范围是____8、若函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆,则实数a 的取值范围__9、在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则()1y f x =+的零点是____10、已知复数())12cos 2,cos z x f x i z x x i =+=++，（,x R i ∈虚数单位）在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若1290Z OZ ∠=，其中是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期______ 11、当0x a <<时，不等式()22112x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为______ 12、设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前项和n T ，满足()()112nn n n T b n N *+=-∈， 且52d a b ==，若实数{}()23,3k k k m P x a x a k N k *-+∈=<<∈≥，则称m 具有性质k P ，若是n H 数列{}n T 的前n 项和，对任意的n N *∈，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为_____二、选题题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13、下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()arcsin f x x= （B ）lg y x= （C ）()f x x=-（D ）()cos f x x =14、某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 （ ）（A ）310 （B ） 35 （C ） 25 （D ）2315、已知()sin log ,0,2f x x θπθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，设sin cos sin ,,2sin cos a f b f c f θθθθθ+⎛⎫⎛⎫===⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （A ）a b c ≤≤ （B ）b c a ≤≤ （C ）c b a ≤≤（D ）a b c ≤≤16、已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x R ==∈，集合(){}0,B x f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） （ A ）[]0,4 （B ）[]1,4- （C ）[]3,5- （D ）[]0,7三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17、（本题满分14分，第1题满分6分，第2小题满分8分）如图，,PA ABCD ⊥平面四边形ABCD 为矩形，1PA PB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动。

杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷及答案

杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷及答案

杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷及答案 2018.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð ▲ ．2．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 ▲ ． 3．已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 ▲________．4. 若nb a )(+展开式的二项式系数之和为8，则n = ▲________．5. 若实数,x y 满足 221x y +=，则xy 的取值范围是▲________．6. 若圆锥的母线长=l )(5cm ，高)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于▲________()3cm . 7. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是▲________． 8. 若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+. 且B A ⊆， 则实数a 的取值范围为▲________．9. 在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作，则的零点是▲________10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++ (,R x λ∈，i 为虚数单位）．在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若︒=∠9021OZ Z ，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期 ▲________． 11. 当a x <<0时，不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立，则实数a 的最大值为 ▲________． 274434651xx--()f x 1()y f x =+12. 设d 为等差数列}{n a 的公差，数列}{n b 的前n 项和n T ，满足)N ()1(21*∈-=+n b T n n n n ，且25b a d ==. 若实数)3,N }(|{*32≥∈<<=∈+-k k a x a x P m k k k ，则称m 具有性质k P .若n H 是数列}{n T 的前n 项和，对任意的*N ∈n ，12-n H 都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为▲________.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 下列函数中既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是 ………( ). x x f arcsin )(=. lg y x =.()f x x =-.()cos f x x =14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人. 现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 ………( )()A .310()B .35()C .25()D .2315. 已知x x f θsin log )(=，，设sin cos ,2a f θθ+⎛⎫=⎪⎝⎭b f =，sin 2sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则c b a ,,的大小关系是 ………( )()A .b c a ≤≤.()B .a c b ≤≤. ()C .a b c ≤≤.()D .c b a ≤≤.16. 已知函数nx x m x f x ++⋅=22)(，记集合},0)(|{R x x f x A ∈==，集合},0)]([|{R x x f f x B ∈==，若B A =，且都不是空集，则n m +的取值范围是………( )()A . [0,4) ()B . [1,4)- ()C . [3,5]- ()D . [0,7)()A ()B ()C ()D )2,0(πθ∈三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF PE ⊥.18. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且5cos 13B =． （1）若4sin 5A =，求cos C ； （2）若4b =，求证：5-≥⋅BC AB ．19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产一种产品，每一小时可获得的利润是)315(xx -+元，其中101≤≤x .（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A ,，满足PB PA ,的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且),(),,(M M P P y x M y x P ，证明：M P y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的最小值.21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分） 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，其中*N ∈n . (1) 若2cos2n n n a π=+，请写出3b 的值； (2) 求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；(3) 若对任意n ，有||2018n a <, 且||1n b =，请问：是否存在*K ∈N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b += 成立？请说明理由．青浦区2018学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2018.12说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．{}1-； 2．“若a b <，则22am bm <”； 3．()2,3-；4．43； 5．12π；67．(0,4)(4,8)； 8．32；9. 80； 10. 14；11．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦；12.1,3⎤⎦.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. A ；14. D ； 15．C ；16. C .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， ∵1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂≠平面ABCD ， ∴1AA AD ⊥，故14AA =， ∴正四棱柱的侧面积为(43)448⨯⨯=， 体积为2(3)436⨯=．（2）建立如图的空间直角坐标系O xyz -，由题意 可得(0,0,0)D ,(3,3,0)B ,1(3,0,4)A ,(0,0,0)D ,3(,0,2)2E ,1(0,0,4)AA =，3(,3,2)2BE =--，设1AA 与BE 所成角为α，直线BE 与平面ABCD 所成角为θ，则11cos ||||AA BEAA BE α⋅===⋅ 又1AA是平面ABCD 的一个法向量， 故sin cos θα==，θ=．所以直线BE 与平面ABCD所成的角为arcsin61． 【另法提示：设AD 中点为G ，证EBG ∠即为BE 与平面ABCD 所成的角，然后解直角三角形EBG ，求出EBG ∠】arctan 1518．（本题满分14分）第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分.解：（1）,1,01BP t CP t t ==-≤≤45DAQ θ∠=︒-,1tan(45)1tDQ tθ-=︒-=+, 12111t tCQ t t-=-=++所以211t PQ t +===+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++ 所以△CPQ 的周长l 是定值2（2）111221ABP ADQ ABCD t t S S S S t ∆∆-=--=--⨯+正方形122(1)221t t=-++≤+当且仅当1t =时，等号成立所以摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S至多为22hm19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[)+∞4，上的弱渐近函数， 所以()()1mf xg x x-=≤ ，即m x ≤在区间[)+∞4，上恒成立， 即444m m ≤⇒-≤≤（2）()()2f x g x x x -==[)2,+x ∈∞，()()22(f x g x x x ∴-==-A DCBθP Q45令2()()()2(x xh x f x g x x=-===任取122x x≤<，则2212311x x≤-<-≤<120xx<<12()()h x h x⇒>⇒<即函数()()()2(h x f x g x x=-=在区间[)2,+∞上单调递减，所以(()()0,4f x gx-∈-，又([]0,41,1-⊆-，即满足()2g x x=使得对于任意的[)2,x∈+∞有()()1f xg x-≤恒成立，所以函数()2g x x=是函数()f x=在区间[)2,+∞上的弱渐近函数．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）242a a=⇒=，又双曲线的渐近线方程为y=，所以bba==双曲线的标准方程是221412x y-=．（2）法一：由题不妨设11()A x，22(,)B x，则1212(,)22x xP+，由P在双曲线上，代入双曲线方程得124x x⋅=；法二：当直线AB的斜率不存在时，显然2x=±，此时124xx⋅=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(0,y kxt k k=+≠≠则由y kx tAy=+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩同理y kx tBy=+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩此时223,33kt t P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭代入双曲线方程得224(3)t k =-，所以212243t x x k ⋅==-（3）①对称中心：原点；对称轴方程：,y y x ==②顶点坐标：3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，322⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；焦点坐标：(，(1,-实轴长：2a =、虚轴长：22b =、焦距：24c =③范围：()0,,2,x y ⎡≠∈-∞+∞⎣④渐近线：0,3x y x ==21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且11b =，3k =、4d =、0c =，所以当1n ≥，n *∈N 时，310n b +=，又*2016672N 3=∈，即20170b =， 20182017044b b d =+=+=，20192018448b b d =+=+= （2）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且12b =，4k =、2d =、1c =()()()414344341434243434312336n n n n n n n n n n b b cb b b d b b d b b d b d +---------=-=⨯+-=+-=+-==则数列前4n 项中的项43n b -是以2为首项，6为公差的得差数列，易知{}4n b 中删掉含有43n b -的项后按原来的顺序构成一个首项为2公差为2的等差数列，41543()n n S b b b -∴=+++()()()()23467846454442414+n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----++++++++++++⎡⎤⎣⎦2(1)3(31)26(3)2212822n n n n n n n n --=+⨯+⨯+⨯=+ 43nn S λ≤⋅，43nn S λ∴≤，设2412833n n n n S n n c +==，则()max n c λ≥，22211112(1)8(1)12824820333n n n n n n n n n n n c c +++++++-++-=-=当1n =时，2248200n n -++>，12c c <；当2n ≥，n *∈N 时，2248200n n -++<，1n n c c +<，∴123c c c <>>，∴()2max 649n c c ==， 即()2max 649n c c λ≥==（3）因为{}n b 既是“Γ数列”又是等比数列，设{}n b 的公比为1n nb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=，当m *∈N 时，21k m k m b b d ++-=，即()11km km km bq bq bq q d +-=-=① 1q =，则0d =，n b b =； ② 1q ≠，则()1kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-； 经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-.。

2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集 带答案

2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集 带答案

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第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ） 项和； （2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （ 、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比 数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上

杨浦区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

杨浦区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
7． 【答案】 B 【解析】 排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题． 【分析】根据题意，可将 7 台型号相同的健身设备看成是相同的元素，首先分给甲、乙两个社区各台设备，再 将余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论分配方案，①当三台设备都给一个社区，②当三台设 备分为 1 和 2 两份分给 2 个社区，③当三台设备按 1、1、1 分成三份时分给三个社区，分别求出其分配方案 数目，将其相加即可得答案． 【解答】解：根据题意，7 台型号相同的健身设备是相同的元素， 首先要满足甲、乙两个社区至少 2 台，可以先分给甲、乙两个社区各 2 台设备， 余下的三台设备任意分给五个社区， 分三种情况讨论： ①当三台设备都给一个社区时，有 5 种结果， ②当三台设备分为 1 和 2 两份分给 2 个社区时，有 2×C52=20 种结果， ③当三台设备按 1、1、1 分成三份时分给三个社区时，有 C53=10 种结果， ∴不同的分配方案有 5+20+10=35 种结果； 故选 B． 【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，其次注意型号相同的健身设备是相同的元素． 8． 【答案】D 【解析】解：对于 A，α∥β，l⊂α，n⊂β，l，n 平行或 异面，所以错误； 对于 B，α∥β，l⊂α，l 与 β 可能相交可能平行，所以错误； 对于 C，l⊥n，m⊥n，在空间，l 与 m 还可能异面或相交，所以错误． 故选 D． 9． 【答案】B 【解析】
杨浦区第一高级中学 2018-2019 学年高三上学期 11 月月考数学试卷含答案 一、选择题
1． 实数 a=0.2 A．a＜c＜b 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ ，b=log 0.2，c= 的大小关系正确的是（ C．b＜a＜c ） D．b＜c＜a ） B．a＜b＜c

2018年上海市杨浦区高考一模数学试卷【解析版】

2018年上海市杨浦区高考一模数学试卷【解析版】

2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算的结果是．2．（4分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{3，4}，若A∩B＝{3}，则实数m＝．3．（4分）已知，则＝．4．（4分）若行列式，则x＝．5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y ＝．6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于．7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．8．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若点（n，S n）（n∈N*）在函数y＝log2（x+1）的反函数的图象上，则a n＝．9．（5分）在△ABC中，若sin A、sin B、sin C成等比数列，则角B的最大值为．10．（5分）抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g （x）＝f（x+α）为奇函数，则α的值为．12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（5分）给出下列函数：①y＝log2x；②y＝x2；③y＝2|x|；④y＝arcsin x．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）＝x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•＝0，•＝0，•＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD 的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）A．B．2C．4D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA＝3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与P A所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2＝4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2＝16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．21．（18分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1＝1，a n＝2017，求n的最大值；（3）设n 0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s，其中max{x这s个数中最大的数，求M的最小值．2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算的结果是1．【考点】6F：极限及其运算．【解答】解：当n→+∞，→0，∴＝1，故答案为：1．2．（4分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{3，4}，若A∩B＝{3}，则实数m＝3．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，B＝{3，4}，A∩B＝{3}，∴实数m＝3．故答案为：3．3．（4分）已知，则＝﹣．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：∵，∴＝．故答案为：﹣．4．（4分）若行列式，则x＝2．【考点】O1：二阶矩阵．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4＝0即x﹣1＝1∴x＝2故答案为：25．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y ＝6．【考点】OT：特征向量的定义．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得x＝4，y＝2，∴x+y＝6．故答案为：6．6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：展开式的通项为T r+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r＝0可得r＝3常数项为（﹣2）3＝﹣160故答案为：﹣1607．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P＝＝．故答案为：．8．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若点（n，S n）（n∈N*）在函数y＝log2（x+1）的反函数的图象上，则a n＝2n﹣1．【考点】4R：反函数．【解答】解：由题意得n＝log2（S n+1）⇒s n＝2n﹣1．n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝s1＝21﹣1＝1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1；故答案为：2n﹣19．（5分）在△ABC中，若sin A、sin B、sin C成等比数列，则角B的最大值为．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵在△ABC中，sin A、sin B、sin C依次成等比数列，∴sin2B＝sin A sin C，利用正弦定理化简得：b2＝ac，由余弦定理得：cos B＝＝≥＝（当且仅当a＝c 时取等号），则B的范围为（0，]，即角B的最大值为．故答案为：．10．（5分）抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵抛物线y2＝﹣8x的焦点F（﹣2，0）与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合，∴a2+1＝4，解得a＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，故答案为：．11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g（x）＝f（x+α）为奇函数，则α的值为．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【解答】解：函数，＝，＝s，函数g（x）＝f（x+α）＝为奇函数，则：（k∈Z），解得：，故答案为：12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：假设CD的斜率存在时，设过点M（0，2）得直线方程为y＝kx+2，联立方程，整理可得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，设C（x1，y1），N（x2，y2），则△＝（16k）2﹣4×（1+4k2）×12≥0，整理得k2≥，x1+x2＝﹣，x1x2＝，（*）由，可得，x1＝λx2代入到（*）式整理可得＝＝，由k2≥，可得4≤≤，解可得＜λ＜3且λ≠1，当M和N点重合时，λ＝1，当斜率不存在时，则D（0，1），C（0，﹣1），或D（0，1），C（0，﹣1），则λ＝或λ＝3，∴实数λ的取值范围．故答案为：．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：∵＝，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．14．（5分）给出下列函数：①y＝log2x；②y＝x2；③y＝2|x|；④y＝arcsin x．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：①y＝log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；②y＝x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y＝2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．④y＝arcsin x是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，故选：B．15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）＝x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：t≥0⇒△＝t2+4t≥0⇒函数f（x）＝x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f（x）＝x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△＝t2+4t≥0⇒t≥0或t≤﹣4．∴“t≥0”是“函数f（x）＝x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A．16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•＝0，•＝0，•＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD 的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）A．B．2C．4D．8【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2＝4R2＝4+S△ACD+S△ADB＝（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）＝2所以S△ABC即最大值为：2故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x（l﹣3x）；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，l）；（2）y＝x（l﹣3x）＝×3x（1﹣3x）≤×（）2＝，当x＝时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3x＝l，最大面积为．18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA＝3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与P A所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LM：异面直线及其所成的角．【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（7分），第2小题满分7分）解：（1）由题意，π•OA•SB＝15π，解得BS＝5，…（2分）故…（4分）从而体积．…（7分）（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与P A所成角．…（10分）∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，…（11分）在Rt△APH中，∠AHP＝90O，，…（12分）则，∴异面直线SO与P A所成角的大小．…（14分）19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【考点】18：集合的包含关系判断及应用；3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：（1）令，解得﹣1＜x＜1，所以A＝（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明：函数f（x）的定义域A＝（﹣1，1），定义域关于原点对称，f（﹣x）＝ln＝ln（）﹣1＝﹣ln＝﹣f（x），而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2＝4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2＝16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2＝4x，则p＝2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x＝my+b当m＝0时，x＝1和x＝9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b＝0的两根为y1、y2．△＝16（m2+b）＞0，y1+y2＝4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m）因为k AB•k CM＝﹣1，，所以，得b＝3﹣2m2所以△＝16（m2+b）＝16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2＝3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x＝1，x＝9（3）设直线AB：x＝my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b＝0的两根为y1、y2△＝16（m2+b）＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b所以，得b＝0或b＝4b＝0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b＝4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2＝021．（18分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1＝1，a n＝2017，求n的最大值；（3）设n 0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s 这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】8K：数列与不等式的综合．【解答】解：（1）x＝1时，，所以y＝2或3；x＝2时，，所以y＝4；x≥3时，，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i＝a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1＝1，a n＝2017时，注意到b1＝a2﹣a1≥1﹣1＝0，得（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）＝b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）＝，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i＝i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65＝2017，即n＝65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0＝2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k＝（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）＝（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）＝（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）＝（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m＝m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故因为，所以，另一方面，当b1＝1﹣m，b2＝2﹣m，…，b m﹣1＝﹣1，b m＝0，b m+1＝1，b2m﹣1＝m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k＝（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）＝b k﹣b k﹣1＝1＞0取a m＝1，则a m+1＝1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且此时．综上，M的最小值为．。

高三数学-2018年上海市杨浦区高三模拟测试[转载] 精品

高三数学-2018年上海市杨浦区高三模拟测试[转载] 精品

2018年上海市杨浦区高三模拟测试(数学试卷)考生注意：1. 答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号等填写清楚；2. 本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔书写，请不要将答案写在试卷的密封线以内；3. 新教材试点学校的考生请注意试卷最后的符号说明。

一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1. 若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+=023x x x A ，集合}1|1|{>-=x x B ，则A ⋃B =__________。

2. 若向量},5{t =，}1,3{-=，并且+与垂直，则实数t 的值为__________。

3. 若函数y =8x 的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛a ,32，则log a 8的值是__________。

4. 若数列{log 3a n }为等差数列，并且log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=10，则a 5⋅a 6=__________。

5. 方程x 5+lg x =100的近似解为__________(精确到0.1)。

6. (理) 若二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+231(n 为正整数)展开式中只有第6项的系数最大，则展开式的常数项的值为__________。

(文) 无穷等比数列{a n }，公比为q ，并且21)(lim 32=+++∞→n n a a a ，则首项a 1的范围是__________。

7. 如图，三棱锥A -BCD 中，AC ⊥平面BCD ，∠BCD =90︒，BC =8，CD =34，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF =8，EF 与BC 所成的角为60︒，则三棱锥A -BC D 的体积V =__________。

ABDCEF8. 若双曲线1922=-m y x 的渐近线的方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为__________。

2018年上海高三数学一模中档题

2018年上海高三数学一模中档题

一、填空题8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =9. 在ABC ∆中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为10. 抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 二. 选择题15. “0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 三. 解答题19. 已知函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.一. 填空题9. 若公差为d 的等差数列{}n a （*n N ∈）满足3410a a +=，则公差d 的取值范围是 10. 著名的斐波那契数列{}:1,1,2,3,5,8,n a ⋅⋅⋅，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+（*n N ∈）， 那么357920171a a a a a +++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第 项 二. 选择题15. 现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（ ） A. 3353P P ⋅ B. 863863P P P -⋅ C. 3565P P ⋅ D. 8486P P - 三. 解答题18. 如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）图像的一部分，M 、N 是它与x 轴的两个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，(0,1)E 是线段MC 的中点.（1）若点M 的坐标为(1,0)-，求点C 、点N 和点D 的坐标；（2）若点M 的坐标为(,0)m -（0m >），且2344MC MD π⋅=-u u u u r u u u u r ，试确定函数()f x 解析式.19. 已知函数()||3mf x x x=+-（m R ∈，0x ≠）. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）讨论函数()y f x =的零点个数.上海市长宁（嘉定）区2018届高三一模数学试卷一. 填空题10. 已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数，当时[2,4]x ∈，43()|log ()|2f x x =-，则1()2f 的值为 三. 解答题18. 已知复数z 满足||z =，2z 的虚部为2. （1）求复数z ；（2）设z 、2z 、2z z -在复平面上的对应点分别为A 、B 、C ，求ABC ∆的面积.上海市崇明区2018届高三一模数学试卷一. 填空题9. 已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()2x f x ax =-，且(2)2f =，则a = 10. 若无穷等比数列{}n a 的各项和为n S ，首项11a =，公比为32a -，且lim n n S a →∞=，则a =二. 选择题15. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>” 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件一. 填空题9. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为10. 设1a 、2a 、3a 、4a 是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （1,2,3,4i =）使得i a i =成立，则满足此条件的不同排列的个数为 二. 选择题14. “0m >”是“函数()|(2)|f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件15. 用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ） A. 2582cm B. 4142cm C. 4162cm D. 4182cm 三. 解答题18. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降 低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元. （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件 送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少 百分之几？一. 填空题8. 半径为4的圆内接三角形ABC 的面积是116，角A 、B 、C 所对应的边依次为a 、b 、c ， 则abc 的值为9. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线22125144x y -=的右焦点是C 的焦点F ，若斜率 为1-，且过F 的直线与C 交于A 、B 两点，则||AB =10. 直角坐标系xOy 内有点(2,1)P --、(0,2)Q -，将POQ ∆绕x 轴旋转一周，则所得几何体的体积为 二. 选择题15. 若函数(2)y f x =-的图像与函数log 2y =的图像关于直线y x =对称， 则()f x =（ ）A. 223x -B. 213x -C. 23xD. 213x +上海市松江区2018届高三一模数学试卷一. 填空题9. 在ABC ∆中，90A ∠=︒，ABC ∆的面积为1，若BM MC =u u u u r u u u u r ，4BN NC =u u u r u u u r ，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的最小值为10. 已知函数()|2|1f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围为二. 选择题15. 若存在[0,)x ∈+∞使221xxm x<成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. [1,)+∞一. 填空题9. 已知(2,0)A ，(4,0)B ，动点P满足PA =，则P 到原点的距离为 10. 设焦点为1F 、2F 的椭圆22213x y a +=(0)a >上的一点P 也在抛物线294y x =上，抛物 线焦点为3F ，若32516PF =，则△12PF F 的面积为 二. 选择题15. 等差数列{}n a 中，10a ≠，若存在正整数m 、n 、p 、q 满足m n p q +>+时有m n p q a a a a +=+成立，则41a a =（ ） A. 4 B. 1 C. 由等差数列的公差决定 D. 由等差数列的首项1a 的值决定上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷一. 填空题9. 已知等比数列11,,1,93⋅⋅⋅前n 项和为n S ，则使得2018n S >的n 的最小值为 10. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形，则此圆锥的表面积为 二. 选择题14. 已知ABC ∆中，2A π∠=，1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，则BQ CP ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 4-B. 2-C. 1-D. 0一. 填空题8. 已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba= 10. 已知函数22log ()0()30x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是二. 选择题15. 已知向量i r 和j r 是互相垂直的单位向量，向量n a u u r 满足n i a n ⋅=r u u r ，21n j a n ⋅=+r u u r，*n N ∈，设n θ为i r 和n a u u r的夹角，则（ ）A. n θ随着n 的增大而增大B. n θ随着n 的增大而减小C. 随着n 的增大，n θ先增大后减小D. 随着n 的增大，n θ先减小后增大 三. 解答题18. 已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ，过点1(0,)2D 作直线l 与抛物线C 交于不同两点M 、N ，过M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为坐标原点.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.一. 填空题9. 已知数列{}n a 、{}n b 满足ln n n b a =，*n N ∈，其中{}n b 是等差数列，且431007a a e ⋅=，则121009b b b ++⋅⋅⋅+=10. 如图，向量OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为120°，||2OA =u u u r， ||1OB =u u u r ，P 是以O 为圆心，||OB u u u r为半径的弧»BC上的 动点，若OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ的最大值是二. 选择题15. 无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S （*n N ∈），则“10a d +>”是“{}n S 为递增数列”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要上海市虹口区2018届高三一模数学试卷一. 填空题9. 已知sin y x =和cos y x =的图像的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形ABC ∆，则ABC ∆的面积等于10. 设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两 点，若2MNF ∆的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆= 二. 选择题15. 已知函数20()(2)0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(1)(2)(3)(2017)f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 2017B. 1513C. 20172D. 30252一. 填空题8. 类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系xOy 中，若12OP xe ye =+u u u r u r u u r（其中1e u r 、2e u u r分别为斜坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，,x y R ∈），则点P 的坐标为(,)x y ，若在斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，点M 的坐标为(1,2)，则点M 到原点O 的距离为10. 已知函数(5)11()1xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩（0a >，1a ≠）是R 上的增函数，则实数a 的 取值范围为 二. 选择题15. 两条相交直线l 、m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件上海市金山区2018届高三一模数学试卷一. 填空题9. 数列{}n a 的通项公式是12n n a -=（*n N ∈），数列{}n b 的通项公式是3n b n =（*n N ∈），令集合12{,,,,}n A a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，12{,,,,}n B b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，*n N ∈，将集合A B U 中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为{}n c ，则数列{}n c 的前28项的和28S =10. 向量i r 、j r 是平面直角坐标系x 轴、y 轴的基本单位向量，且|||2|a i a j -+-=r r r r，则|2|a i +r r的取值范围为三. 解答题18. 已知函数()2cos 21f x x x =+-（x R ∈）. （1）写出函数()f x 的最小正周期以及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=u u u r u u u r， 且4a c +=，求b 的值.一. 填空题8. 若关于x 、y 的二元一次线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是1302m n ⎛⎫⎪⎝⎭，且11x y =⎧⎨=-⎩是该线性方程组的解，则三阶行列式1010321m n -中第3行第2列元素的代数余子式的值是9. 某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者（其中男生2人、女生5人）中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人，若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是 （结果用数值表示）10. 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，记ABC ∆的面积为S ， 若22()S a b c =--，则内角A = （结果用反三角函数值表示） 二. 选择题15. 用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++++（*n N ∈）时，由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的项是（ ）A. 121k + B. 11211k k -++ C. 112122k k +++ D. 112122k k -++。

上海市浦东新区2018届高三数学一模---精校解析Word版

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上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合，，则________【答案】【解析】∵，，∴点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 不等式的解集为________【答案】【解析】由，得：，即解得：∴不等式的解集为.3. 已知函数的反函数是，则________【答案】3【解析】设，则即∴∴故答案为：34. 已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为________【答案】-1【解析】∵向量，，∴，，∴向量在向量的方向上的投影为故答案为：-15. 已知是虚数单位，复数满足，则________【答案】【解析】∵∴∴故答案为：点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．6. 在的二项展开式中，的系数是________【答案】80【解析】由题意得：，当时，∴的系数是80故答案为：807. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为________【答案】【解析】一工厂生产的10个产品中有9个一等品，1个二等品，现从这批产品中抽取4个，基本事件总数n==495，其中恰好有一个二等品的基本事件个数m=，∴其中恰好有一个二等品的概率p==．故答案为：8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是________【答案】【解析】∵函数是定义在上的偶函数，∴又在上是增函数，∴即，∴故答案为：9. 已知等比数列前项和为，则使得的的最小值为________【答案】10【解析】由题意知：即∴使得的的最小值为10故答案为：1010. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为________【答案】【解析】因为|OA|=3，所以底面圆周长为6π，所以底面圆的面积为9π，所以弧AB长为6π，又因为，则有，所以SA=9．扇形ASB的面积为，所以圆锥的表面积=9π+27π=36π故答案为：36π.....................【答案】【解析】由题意可知：∴又对任意的实数，都有成立，∴为的最小值，为的最大值∴，，，∴的最小值为12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵点M，N在双曲线上，所以，，故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），设k0M，k ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0M k ON=2，∴y1y2-2 x1x2=0，∴2x2-y2=20，所以P在双曲线2x2-y2=20上；设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若实数，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】当时，满足命题甲，但推不出命题乙，∴充分性不具备，当时，显然能推出命题甲“”，∴必要性具备，故答案为：必要非充分条件14. 已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，，，，，故选；B15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时A. 22B. 23C. 24D. 33【答案】C【解析】由题意可得：，解得：∴∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时故选：C16. 关于的方程恰有3个实数根、、，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】设，易知：为偶函数，若方程恰有3个实数根、、，其中一根必为0，另外两根互为相反数，，即，由图易得：另外两根为，∴故选：B点睛：本题考查的是函数零点的个数问题.函数零点问题的处理一般有以下几种方法：1、通过解方程得到函数的零点，得到零点个数；2、利用二分法判断函数的零点，3、利用函数与方程思想，通过分离化原函数为两个函数，转化为利用两个函数图象的交点个数来判断函数的零点个数.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在长方体中，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由是异面直线与所成的角或其补角.（2）利用等积法求三棱锥的体积.试题解析：（1）是异面直线与所成的角或其补角.在等腰中，易得.即：异面直线与所成的角.（2）.点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且.（1）求；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，易得：，利用正弦定理把条件统一到角上，从而易得的值；（2）由余弦定理及，易得：，再结合，得到的值.试题解析：（1）由，∴，由正弦定理得：，∴；；由，∴，∴；（2）由，∴，∴，∴；由知，，∴，∴点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：①定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.②定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.③求结果.19. 已知等差数列的公差为2，其前项和（，）.（1）求的值及的通项公式；（2）在等比数列中，，，令（），求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由求得的值及的通项公式；（2）由题意可得：，分奇偶项讨论，分组求和即可.试题解析：（1），，，，（2）∵，∴，，当时，，，，当时，是偶数，20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，设点，在中，，周长为.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.【答案】（1）；（2）过定点；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意布列关于的方程组，从而得到椭圆方程；(2) 设直线方程：，联立方程可得：，利用根与系数的关系及，得到过定点.（3）设直线与椭圆相切，，两切线到的距离分别为，根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数.试题解析：（1）由得：，所以………①又周长为，所以………②解①②方程组，得所以椭圆方程为（2）设直线方程：，交点依题：即：过定点.（3），设直线与椭圆相切，得两切线到的距离分别为当时，个数为0个当时，个数为1个当时，个数为2个当时，个数为3个当时，个数为4个点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数的定义域为，值域为，即，若，则称在上封闭.（1）分别判断函数，在上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为，且存在反函数，若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；（3）已知函数的定义域为，对任意，若，有恒成立，则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足，其中（），，证明：存在的真子集，，使得在所有（）上封闭.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)根据在上封闭的定义，分别求出函数，在上的值域，即可判断是否封闭；（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到：.从而问题转化为：在两不等实根．（3）分两种情况：和，第一种情况显然不成立，第二种情况，因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说考虑到，即，因为是单射，则这样就有了.接着令，并重复上述论证证明..试题解析：（1）因为函数的定义域为，值域为，（取一个具体例子也可），所以在上不封闭.在上封闭（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到：.在单调递增.则在两不等实根．，故，解得．另解：在两不等实根．令在有两个不等根，画图，由数形结合可知，解得．（3）如果，则，与题干矛盾.因此，取，则.接下来证明，因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说考虑到，即，因为是单射，则这样就有了.接着令，并重复上述论证证明..。

(11套)2018年上海市 含所有区 高考数学一模试卷 汇总(打包下载)

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（11套）2018年上海市含所有区高考数学一模试卷汇总2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=．S11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=2．S【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，=a，且S可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），=（2a，0），∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a2﹣8acosα+4=4（a2﹣2acosα）+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，=AB×BC=2×2=4，∵S正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则=．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC 的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=．11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+12018年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为（﹣∞，2）．【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，故答案为：0．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则= 1．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的首项和公比均为，则其前n项和S n==1﹣（）n，则=1；故答案为：1．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是[，] ．【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，∴，即a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，则ab=cosθ•sinθ=，∴ab∈[，]．故答案为：．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18．【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，则一共有9+9=18种选法；故答案为：187．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，∵M是AB的中点，∴，∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，则，，∴=．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（±3，0），则有a2=9，则双曲线的方程为：﹣y2=1，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为故答案为：9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，∵底边长为一个周期T=2π，高为，∴△ABC的面积=2=，故答案为：．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=4．【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，△MNF2的内切圆的面积为π，∴△MNF2内切圆半径r=1．∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案为：411．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：如图所示，∵D是BC的中点，∴=+=+，又=+，，∴+=+a n（+），）+，化为：=（1﹣a n﹣a n+1∵点列P n（n∈N*）在线段AC上，+=1，∴1﹣a n﹣a n+1化为：a n=﹣，又a1=1，+1则数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为﹣．∴a n=．故答案为：．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为（0，0）或（1，0）．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x，方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点，则有，解可得x=0，即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，则f（x）=x2+2a•x，解可得x1=0或x2=﹣2a，f（f（x））=（x2+2a•x）2+2a（x2+2a•x），若函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，分析可得a=0或a=1，则（a，b）为（0，0）或（1，0）；故答案为（0，0）或（1，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，∴θ的范围是（0，]．故选：C．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=1009×f（﹣1）+1008×f（0）=1009×2﹣1+1008×20=．故选：D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．故选B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，∴PM⊥AB，∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．解：（2）连结BM，∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，∴PM==，BM===，∴tan∠PBM===，∴．∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S==（x＞1）；（2）由（1）得：S′=（x＞1）；当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，故x=2时，S min=4．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=﹣，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d﹣，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，在△EAF中，cos∠EAF==1﹣，可得﹣≤cos∠EAF≤，可得arccos≤π﹣arccos，则∠EAF的取值范围是[arccos]；（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得∠AMF=∠MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得∠AMF+∠EFM=90°，tan∠AMF=cot∠EFM==，可设y0＞0，则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），则y0y﹣y02=px﹣px0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，即为（y﹣y0）2=0，可得y=y0，x=x0，即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+1【解答】解：（1）∵无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．a2=2，且对于一切正整数n，均有，∴==1，=，由此猜想=23﹣n．再利用数学归纳法证明：①当n=1时，=4，成立．②假设n=k时，成立，即，则a k+1====2（6﹣2k）﹣（4﹣k）=22﹣k=23﹣（k+1）．由①②得，∴{a n}是首项为4，公比为的等比数列，∴S n==8（1﹣）．（2）∵对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，∴S n=a n a n+1，S n﹣1=a n﹣1a n，∴a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∴a n+1﹣a n﹣1=1．a1=4，由a n•a n+1=S n，得a2=1，a3=5，a4=3，…∴当n为偶数时，+===．当n为奇数时，S n=++==．证明：（3）∵对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，∴a n+a n+1=3S n，a n﹣1+a n=3S n﹣1，∴a n+1﹣a n﹣1=3a n，a1+a2=3a1，a2=2a1=8，能被8整除，a3﹣a1=3a2，a3=28，假设a3k﹣1=8m，m∈N*．=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k﹣1）+a3k则a3k+2=10a3k+a3k﹣1=40p+24q，p，q∈N*能被8整除，综上，a3n能被8整除．﹣12018年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是（用符号“＜“连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n}满足，则称数列{a n}为“算术平方根递推数列”．，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x 已知数列{x n}满足，且，点（x n+1的图象上．（1）试判断数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n=lg（2x n+1）（n∈N*），求证：数列{y n}是等比数列，并求出通项公式y n；}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，（3）从数列{y把这些项重新组成一个新数列{z n}：．若数列{z n}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A= {x|﹣1＜x≤} ．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁U B={x|x≤}，则（∁U B）∩A={x|﹣1＜x≤}，故答案为：{x|﹣1＜x≤}，2．（3分）函数的定义域是（1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞）3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为﹣1．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣18．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n ＜β（用符号“＜“连接起来）．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是（1，] ．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，。

年上海市杨浦区高考数学一模试卷

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201８年上海市杨浦区高考数学一模试卷一．填空题（本大题共12题，1-6每题４分，7-12每题5分，共54分)1.（4分)计算的结果是.2.（4分）已知集合A={１，2,m}，Ｂ＝{3,4},若A∩B＝{3},则实数ｍ= ．3．(４分）已知，则＝．４.（4分）若行列式,则x＝.５．（４分）已知一个关于ｘ、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则ｘ+y=．6.（4分）在的二项展开式中，常数项等于.７.（5分)若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,３,4,5,６个点的正方体玩具），先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为４的概率是.8．(5分）数列{a n}的前n项和为Sｎ，若点(n，S n）(n∈Ｎ＊）在函数y=log2（x+１)的反函数的图象上，则a n= ．9．（５分）在△ＡBC中,若sinA、sｉｎB、sinC成等比数列,则角B的最大值为．1０．(5分)抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为.11．（５分)已知函数,ｘ∈Ｒ，设a>０，若函数ｇ(x）=f（x+α）为奇函数,则α的值为.12.（5分）已知点C、Ｄ是椭圆上的两个动点，且点M（0，2）,若，则实数λ的取值范围为．二.选择题（本大题共４题，每题５分，共20分）13.（5分)在复平面内,复数对应的点位于（)A.第一象限Ｂ.第二象限 C.第三象限ﻩD．第四象限14.（5分)给出下列函数：①y=log2x；②y＝x2；③y=2|ｘ|;④y=ａrcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是( )A.①②B．②③C．①③ﻩD.②④１5．（5分)“t≥0”是“函数f(x）＝x2+ｔx﹣t在(﹣∞,+∞）内存在零点”的() A.充分非必要条件ﻩＢ．必要非充分条件C.充要条件ﻩD.既非充分也非必要条件1６．(5分）设A、Ｂ、C、D是半径为１的球面上的四个不同点，且满足•=０，•=０，•=０，用Ｓ1、S2、S３分别表示△ＡBC、△AＣD、△ABD的面积,则S１＋S２+S3的最大值是( )Ａ.ﻩB.2ﻩＣ.４ﻩD．8三.解答题(本大题共5题，共14+14+１4+16+18=76分）17．(14分）如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开．（1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域;（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少?18．（1４分)如图,已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OＡ和ＯＢ互相垂直，且ＯA=3,P是母线BＳ的中点.（1)求圆锥的体积;（２)求异面直线SO与PＡ所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)19.(1４分)已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1)，且B⊆A.（１）求实数a的取值范围；(2)求证：函数f（ｘ)是奇函数但不是偶函数．20．(1６分)设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点. (1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离;（2）若直线ｌ又与圆Ｃ:（x﹣５）2＋y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点,求直线l的方程;（３)若，点Q在线段AB上，满足OＱ⊥ＡB,求点Q的轨迹方程. 21.（18分)若数列Ａ：a1,a２,…,ａn(n≥3)中(1≤i≤n）且对任意的２≤ｋ≤n﹣1,a k+1+a k﹣1＞2aｋ恒成立,则称数列A为“Ｕ﹣数列”．（1）若数列1，x,y,7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“Ｕ﹣数列”A:ａ1,a2,…，a n中，ａ1=1,ａn＝2０1７，求n的最大值；（3）设n 0为给定的偶数,对所有可能的“U﹣数列”A:a1,a2，…，，记,x2，…，x s}表示x1,ｘ2，…，x s这s个，其中max{x１数中最大的数，求M的最小值.ﻬ20１８年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题，1-６每题4分，7-12每题5分，共54分)1.(４分）计算的结果是１．【解答】解：当ｎ→＋∞,→0,∴＝1，故答案为:1.2．（4分)已知集合A={１，2，m}，B={3，4｝,若A∩B＝{3},则实数m= 3 .【解答】解:∵集合Ａ={1,2,m}，B={３，4}，A∩B＝{3},∴实数m=3．故答案为:３．3．（4分）已知，则= ﹣.【解答】解:∵，∴=.故答案为:﹣．4．（4分)若行列式，则x＝2．【解答】解：∵，∴2×2x﹣１﹣4＝0即ｘ﹣1=1∴ｘ=2故答案为:25．（４分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+ｙ= 6 ．【解答】解:∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得ｘ=4，y＝2，∴ｘ+ｙ=6．故答案为：６.６.（4分）在的二项展开式中,常数项等于﹣16０．=x6﹣ｒ（﹣）r=(﹣2）r x６﹣2r【解答】解:展开式的通项为Tｒ+１令６﹣2ｒ=0可得ｒ=3常数项为(﹣2)3=﹣1６0故答案为:﹣1６07.（５分)若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3,４，5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是.【解答】解：基本事件共６×6个,点数和为4的有（1,３）、(2，2)、(3,1）共３个，故P==.故答案为：．８．（5分）数列{a}的前ｎ项和为S n,若点（ｎ,S n)(n∈N*)在函数y＝log２（ｘ＋ｎ1)的反函数的图象上，则a n= ２n﹣1.【解答】解：由题意得n=loｇ2（S n+1)⇒s n=２n﹣1．n≥２时，aｎ=s n﹣sｎ﹣1=2n﹣2n﹣１＝２ｎ﹣1,当n=1时,a1=s1＝２1﹣1=1也适合上式,∴数列{a n｝的通项公式为ａn=２ｎ﹣1；故答案为：2ｎ﹣19.(５分）在△AＢC中，若sinA、sinB、sｉnC成等比数列，则角B的最大值为.【解答】解:∵在△ABC中,sinA、sinB、sinＣ依次成等比数列,∴ｓｉn2B=ｓinAsinC,利用正弦定理化简得：b2＝aｃ,由余弦定理得：ｃoｓＢ==≥＝(当且仅当a=c时取等号），则B的范围为（０，］,即角Ｂ的最大值为.故答案为:.10.（5分）抛物线ｙ2=﹣８x的焦点与双曲线﹣ｙ2=1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【解答】解:∵抛物线y2=﹣８x的焦点F(﹣2,0)与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合,∴ａ２+１=4,解得ａ=，∴双曲线的渐近线方程为ｙ＝,∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，故答案为：.１1.(5分）已知函数,x∈R,设a>0,若函数ｇ(ｘ)=f （ｘ+α)为奇函数,则α的值为．【解答】解:函数,=,＝s，函数g(x）=f(x+α）=为奇函数,则:（ｋ∈Z）,解得：,故答案为：12.（５分)已知点Ｃ、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若，则实数λ的取值范围为．【解答】解:假设CD的斜率存在时,设过点Ｍ（0，2)得直线方程为y＝kx+2,联立方程,整理可得（1+4k2)x2+16ｋx+１2=0，设C(x1，ｙ1），Ｎ(x2，y2），则△=(１６k)2﹣４×（1＋4ｋ2)×12≥0,整理得k2≥, x1+x２＝﹣,x1x２=,(*）=λｘ2代入到(*）式整理可得由,可得,ｘ１==,由k2≥，可得4≤≤,解可得<λ<3且λ≠１，当Ｍ和N点重合时，λ=1，当斜率不存在时，则D（０，1),C（0,﹣1）,或D(0，1）,C(0,﹣1)，则λ=或λ=3∴实数λ的取值范围.故答案为：．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13.（５分)在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限ﻩB．第二象限C．第三象限ﻩD．第四象限【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（﹣１，﹣2),位于第三象限．故选：C．14．(5分)给出下列函数：①y＝ｌog2x;②y=x２;③y=2|ｘ|;④ｙ=ａrcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是()A.①②B.②③ﻩC．①③ D.②④【解答】解:①y＝log2x的定义域为(0,+∞)，定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数;②y=x２;是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y=２|x|是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.④y=arcｓiｎｘ是奇函数，图象关于ｙ轴不对称，不满足条件，故选:B.15．(5分)“t≥0”是“函数f（ｘ)=ｘ2+ｔｘ﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分非必要条件ﻩＢ.必要非充分条件Ｃ.充要条件ﻩD．既非充分也非必要条件【解答】解：ｔ≥0⇒△=t２+4t≥０⇒函数f（x）=ｘ２+tx﹣t在（﹣∞，＋∞）内存在零点,函数f（x）＝x2+ｔｘ﹣t在(﹣∞,+∞)内存在零点⇒△=t2+4ｔ≥0⇒ｔ≥０或ｔ≤﹣４.∴“t≥０”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞,＋∞)内存在零点”的充分非必要条件.故选:A．16.（5分)设Ａ、B、Ｃ、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0,•=0，用S１、Ｓ2、S3分别表示△ＡBC、△ＡCD、△ABＤ的面积，则S+S2＋S3的最大值是(）１A. B.2ﻩC．4 D．8【解答】解:设ＡB=a,AC=b，AＤ＝c，因为AB，ＡC,ＡＤ两两互相垂直，扩展为长方体,它的对角线为球的直径,所以a ２＋b2+c2=４R2=4所以S△ＡBC ＋Ｓ△ＡＣD+Ｓ△ＡDB＝(ａb+ac+bc)≤（a2+ｂ2+c２)=2即最大值为:2故选:Ｂ．三.解答题（本大题共5题,共14+14＋14+１6+１8=７6分)1７．(1４分）如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成ｘ的函数,并确定这个函数的定义域;（２）怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?【解答】解:（１）设场地面积为ｙ,垂直于墙的边长为ｘ,它的面积y=x(l﹣３ｘ）；由ｘ>0,且l﹣3x＞０,可得函数的定义域为（０,l);(2)ｙ=ｘ（ｌ﹣3x）=×3ｘ(1﹣３x)≤×（)2＝，当x=时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3ｘ=l,最大面积为.１８．（14分）如图,已知圆锥的侧面积为１５π，底面半径OA和ＯB互相垂直，且OA=3,Ｐ是母线ＢS的中点.(1)求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PＡ所成角的大小．（结果用反三角函数值表示)【解答】（本题满分（14分),第1小题满分（7分），第2小题满分7分)解：(1)由题意,π•OＡ•ＳＢ＝1５π,解得BS=5,…（2分)故…(４分）从而体积.…(７分)(2）如图,取OB中点H，连结PＨ、AH．由P是SＢ的中点知ＰＨ∥SO，则∠APH(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角．…(10分）∵SO⊥平面ＯAB，∴ＰH⊥平面OAB，∴PH⊥AH.在△OAＨ中，由OA⊥OB,得，…(1１分）在Rt△ＡPＨ中,∠AHP=90O,，…（12分)则,∴异面直线ＳＯ与PA所成角的大小.…（14分)19.（14分)已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a＋1)，且Ｂ⊆Ａ．（１）求实数a的取值范围;（2）求证：函数f（x)是奇函数但不是偶函数.【解答】解：（１）令,解得﹣1＜x＜１,所以A=(﹣1，１）,因为B⊆A，所以,解得﹣1≤a≤0,即实数ａ的取值范围是[﹣1,０]；(2)证明：函数f（ｘ）的定义域A＝(﹣1，1)，定义域关于原点对称，f(﹣ｘ)=ln＝ln(）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以,所以函数f(x)是奇函数但不是偶函数．20.（1６分）设直线ｌ与抛物线Ω：ｙ2=4x相交于不同两点A、B,Ｏ为坐标原点．(1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：(x﹣5）2+ｙ2=16相切于点Ｍ,且M为线段AB的中点，求直线l的方程；(3)若，点Q在线段AB上，满足ＯQ⊥AＢ,求点Ｑ的轨迹方程．【解答】解:(1)根据题意,抛物线Ω的方程为y２＝４x,则p=2,故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2;(２）设直线l:ｘ=my＋b当ｍ=0时,x=1和x=9符合题意；当m≠0时,A（x,y1)、Ｂ（ｘ２，y２)的坐标满足方程组，１所以y2﹣４my﹣4b=0的两根为y1、ｙ2．△=16（m２+b）＞0，y1+y2=４m，所以,所以线段AB的中点M（2ｍ2+ｂ，2m）因为k AB•kＣM=﹣1,，所以,得b=3﹣２m２所以△=16(m2+b)＝16（3﹣m2)>0，得０<m２<3因为,所以m２=３(舍去)综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3)设直线AB:x＝mｙ+b,A(x1，y1)、Ｂ(ｘ2,ｙ2)的坐标满足方程组，所以y2﹣4ｍy﹣4ｂ=0的两根为y1、y2△＝１６(ｍ２+b）>０,y1＋y２=4m，y1ｙ2＝﹣4b所以,得b=0或b=4b=０时，直线ＡB过原点，所以Q(０,0）；b=4时，直线AB过定点P（4，０）设Q(x,y),因为OQ⊥AB，所以(ｘ≠０）,综上,点Q的轨迹方程为x２﹣4x+y2=０2１.(１8分)若数列A:ａ1，a2,…，ａn（n≥３)中(1≤i≤n）且对任意的２+a k﹣１>2aｋ恒成立,则称数列Ａ为“U﹣数列”．≤ｋ≤n﹣1,ａk+1（1）若数列1,x，ｙ,７为“U﹣数列”,写出所有可能的x、y;（２）若“U﹣数列”A:a1,a２,…,ａn中，ａ1=1，a n=2０17，求n的最大值；（３)设n０为给定的偶数,对所有可能的“Ｕ﹣数列”A:a1，ａ2，…，，记,其中max{x １，x2，…，x s}表示x1，ｘ2,…，xｓ这ｓ个数中最大的数,求M的最小值.【解答】解：（1)x=１时,,所以y=2或３；x=2时,，所以y＝4；x≥３时，，无整数解；所以所有可能的x,ｙ为，或．（2)ｎ的最大值为65，理由如下：一方面，注意到:aｋ+1+ａk﹣1＞2ａk⇔a k+１﹣ａk＞ａk﹣a k﹣1．对任意的1≤ｉ≤n﹣1,令b i＝a i+1﹣a i，则ｂi∈Z且b k＞b k﹣1（2≤ｋ≤n﹣１),故bｋ≥b k﹣１+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．(*）当a1=1，ａn＝20１7时，注意到b1=a２﹣ａ1≥1﹣1＝0,得（2≤i≤n﹣1)即b i≥i﹣１,此时a n﹣a1＝(a n﹣a n﹣1）＋(a n﹣1﹣ａn﹣2）+…+（a2﹣a1)=ｂn﹣１+b n﹣2＋…+b1≥0+1+2＋…+(ｎ﹣２)=,(*＊)即,解得：﹣6２≤n≤6５，故n≤65．另一方面，为使（*＊)取到等号,所以取b i=i﹣1(1≤i≤64），则对任意的2≤ｋ≤64，b k＞b k﹣1，故数列{ａn}为“U﹣数列”，此时由（**)式得,所以a65＝2017,即n=65符合题意．综上,n的最大值为6５.（３）M的最小值为,证明如下：当ｎ0＝2m（m≥2,ｍ∈Ｎ*）时,一方面：由(*）式,b k+1﹣bｋ≥１，b m+k﹣b k＝(b m+k﹣b m＋k﹣１)+(ｂm+k﹣1﹣ｂm＋ｋ﹣2）+…+（ｂk+1﹣bｋ）≥m.此时有：（a1+ａ2m）﹣(a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1)﹣(a m﹣ａ1）=（b m＋1+b m＋2+…+b2ｍ﹣1）﹣（b１＋ｂ2+…+bｍ﹣１)=(b m+1﹣b1）+(b m＋2﹣ｂ2)+…＋（b2m+1﹣b m﹣１)≥m+ｍ＋…+ｍ=m(m﹣1）．即（a1+a2ｍ）≥(aｍ+a m+1）＋ｍ(ｍ﹣1）故因为，所以,另一方面，当b1＝１﹣ｍ,b2=2﹣m,…，bｍ﹣1＝﹣1,bｍ=０,ｂm+1=1，b２ｍ﹣1＝m﹣１时，ａk＋1+aｋ﹣1﹣２ａk=（ａk+1﹣a k）﹣(a k﹣ａｋ﹣1）＝b k﹣b k﹣1=1＞0取aｍ=1，则a m＋1=1,a1>ａ２>a3>…＞aｍ,a m+1＜aｍ+2<…<a2m，且此时.综上，M的最小值为.。

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上海市杨浦区2018届高三一模数学试卷
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 计算的结果是________
【答案】1
【解析】
故答案为1
2. 已知集合，，若，则实数________
【答案】3
【解析】∵ 集合，，且
∴
故答案为3
3. 已知，则________
【答案】
【解析】∵
∴
故答案为
4. 若行列式，则________
【答案】6
【解析】试题分析：由行列式的定义把方程转化为一般代数式方程即可.. 考点：行列式的定义.
5. 已知一个关于、的二元一次方程组的增广矩阵是，则________ 【答案】6
【解析】∵一个关于、的二元一次方程组的增广矩阵是
∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式
∴
∴
故答案为6
6. 在的二项展开式中，常数项的值为________
【答案】－160
【解析】展开式的通项为
令，得
∴在的二项展开式中，常数项的值为
故答案为
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
（1）求展开式中的特定项：可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；（2）已知展开式的某项，求特定项的系数：可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________
【答案】1
考点：组合问题、概率.
8. 数列的前项和为，若点（）在函数的反函数的图像上，则
________
【答案】
【解析】解：因为
9. 在中，若、、成等比数列，则角的最大值为________
【答案】
【解析】∵在中，、、依次成等比数列，
∴，则由正弦定理可得：
根据余弦定理得，当且仅当时取等号
∴的取值范围为，即角的最大值为
故答案为
10. 抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为________
【答案】
【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为所以所以双曲线
的渐近线方程为，其夹角为.
考点：双曲线的渐近线
考点：
11. 已知函数，，设，若函数为奇函数，则的值为________
【答案】
【解析】∵
∴
∵函数为奇函数
∴为奇函数，则
∵
∴
故答案为
12. 已知点、是椭圆上的两个动点，且点，若，则实数的取值范围为________
【答案】
【解析】①当直线斜率存在时，设过点的直线方程为，联立方程，整理可得，则，即
设，，则，
∵
∴
∴，，即
∵
∴
∴
②当直线斜率不存在时，则过点的直线方程为，此时，，或，当，时，；
当，时，
综上，
故答案为
点睛：本题考查解析几何问题和向量的联系，题设中出现，可以得出，结合韦达定理找到与之间的关系，再利用建立不等关系即可得解，本题要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏.
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 在复平面内，复数对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【解析】试题分析：，对应的点为，在第三象限
考点：复数运算
14. 给出下列函数：①；②；③；④.其中图像关于轴对称的函数的序号是（）
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ②④
【答案】B
..................
故选B
15. “”是“函数在内存在零点”的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】函数在内存在零点，则，解得或.
所以“”是“函数在内存在零点”的充分而不必要条件.
故选A.
点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：
一是，开口；
二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
三是，判别式，决定于x轴的交点个数；
四是，区间端点值.
16. 设、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足，，
，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是（）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】设，，
∵，，
∴，，两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即
∵、、分别表示、、的面积
∴，当且仅当时取等号
∴的最大值是
故选B
点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图所示，用总长为定值的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.
（1）设场地面积为，垂直于墙的边长为，试用解析式将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1），（2）时，.
【解析】试题分析：（1）由题意设平行于墙的边长为，则篱笆总长，表示出面积，由＞0，且，可得函数的定义域；（2）对其表达式进行配方，然后求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．
试题解析：（1）设平行于墙的边长为，
则篱笆总长，
即，
∴场地面积，
（2），
∴当且仅当时，
综上，当场地垂直于墙的边长为时，最大面积为
18. 如图，已知圆锥的侧面积为，底面半径和互相垂直，且，是母线的中点.
（1）求圆锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）.（2）.
【解析】试题分析：（1）根据圆锥的侧面积求出，从而求出，由此能求出圆锥的体积；（2）取中点，连结，由是的中点知∥，则（或其补角）就是
异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的大小．
试题解析：（1）由题意，得，故，从而体积.
（2）如图，取中点，连结. 由是的中点知∥，则（或其补角）就是异面直线与所成角.
由平面平面.
在中，由得；
在中，，，
则，
∴异面直线与所成角的大小 .
19. 已知函数的定义域为集合，集合，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：函数是奇函数但不是偶函数.
【答案】（1） ;（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合，再由集合的包含关系，可得的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得的定义域，计算与比较，即可得到所求结论．
试题解析：（1）令，解得，所以，
因为，所以，解得，即实数的取值范围是
（2）函数的定义域，定义域关于原点对称。

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