高二数学空间向量的数乘运算PPT优秀课件

则 A 则、 B O 、 P P 三 1点 OA 共 线 OB 。 向量参数表示式 2
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空
a
间任意三个向量就不 一定共面的了。
复习：
1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平 行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系?
(2)OM2OAOBOC.
例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 O EkO A , O FkO B , O G kO C, O H k O D , 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
思考2（课本P88思考）
则通过平移一定可以使他们位于同一平面内， O A
由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，
使c＝x a＋y b
（2）充分性：如果c 满足关系式c＝xa＋yb，则可选定一点O， 作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝c， 显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故c，a，b共面
3.1.2空间向量的 数乘运算（二）
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的有向线
段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫
做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量
a ,b (b 0 ),a //b 的充要条件是存在实数 使
ab
推论:如果 l为经过已知点A且平行已知非零
（﹡）代入
k(A B A D )
k ( O B O A O D O A )
D H O EE
F
E F E H
所以 E、F、G、H共面。
例2 已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
试 证 明 :对 于 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C 和 平 面 A B C外 的 一 点 O ,空 间 一 点 P满 足 关 系 式 O P x O A yO B zO C,则 点 P在 平 面 ABC内 的 充 要 条 件 是 xyz1.
即，P、A、B、C四点共面。
证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC 可变形为 OP (1 y z)OA yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC ∴点 P 与 A、B 、C 共面.
试证明:对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的
一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性
∵ OP xOA yOB zOC 可变形为OP (1 y z)OA yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP m AB nAC
∴OP OA m(OB OA) n(OC OA)∴OP (1 m n)OA mOB nOC
∵ OP xOA yOB zOC .
2、平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向
量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一
的一对实数a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋a2 e2
3、共面向量定理：
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b
共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使
c＝x a＋y b
c
证明： （1）必要性：如果向量c与向量a，b共面， B C
向量 a的直线,那么对任一点O,点P在直线 上l 的
充要条件是存在实数t,满足等式 O P O A ta
其中向量 a 叫做直线 的l 方向向量.
若 O P O A tA B
P
a
(或 A PtA B )
B
则A、B、P三点共线。
A
若 O 若P P 为x AO ,A B中 y 点O ,B (x y 1 )， O
O E k O A , O F k O B , O G k O C , O H k O D
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG.
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴A C A B A D （﹡）
E G O G O E k O C k O A
k(O C O A )kAC
共面向量定理的剖析
如果两个向量 a，b 不共线,
★ 向量c与向量a，b共面
存在唯一的一对实数x，
y，使 c＝xa＋yb
★ c＝xa＋yb
(性质) 向量c与向量a，b共面
(判定)
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
呢?
又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面,
∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
为什么?
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的 任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C 三点共面：
(1)OM1OA1OB1OC; 333
⑴∵ AP与a 、b 共面,
C
p
P
b
AaB
∴ 唯一有序实数对(x, y),
使 AP xa yb .
O
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
⑵∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 AP xAB yAC ②